初高中衔接课程第二讲：二次根式——初遇分母(子)有理化

最简二次根式和同类二次根式
一、知识要点
1、最简二次根式
同时满足：①分母中不含根号,根号中不含分母及小数；②被开方数中不含含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．
2、分母有理化和互为有理化因式
利用分式的性质分子分母同乘以一个非0式子等方式使分母化成有理数的过程叫做分母有理化，相乘为有理式的两个二次根式互为有理化因式。

3、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.
二、典型例题
例1、在根式8,17,1
2
，0.1，327a b ，22a b +，，，，,，最简二次根式是______________________ 例2、化简下列各式：
48= 2312(0)a b a > =
1
2 = 13
= 0.1= 例3、下列各式中，哪些是同类二次根式？
.
1212,26,
83
2
,
3,27
1,501,
75,23b a b
a b
ab +
例4、若最简二次根式a a 241-+与是同类二次根式，则a 值为 例5、在8，12，18
，27中,和3是同类二次根式的有________ 例6、下列根式中，与6x 不是同类二次根式的是（ ）
Ａ．
6
x Ｂ．
6x
Ｃ．
1
6x
Ｄ．6x +
三、同步练习
（一）
（二）
四、能力提升
（一）
（二）。

初升高衔接课同学们，新的征程开始了，首先要祝贺同学们进入新的学校继续学习，为三年后的金榜题名打下坚实的基础．初中知识是高中学习的基础，本节课的内容能够很好的把初中与高中知识衔接起来，帮助你赢在高中起跑线上！一 数与式的运算●知识点1 二次根式 (1)定义：一般地，形如a (a ≥0)的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式．(2)二次根式a 2的意义：a 2＝|a |＝⎩⎨⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.(3)分母(子)有理化：①定义：把分母(子)中的根号化去，叫做分母(子)有理化．为了进行分母(子)有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．②方法：(ⅰ)分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；(ⅱ)分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程．(4)注意点：①x 2的意义为求算术平方根，是非负值，故x 2＝x 不正确，应为x 2＝|x |； ②对于双根号，如3－22，可以通过配方成(2－1)2，实现开方的目的，不能简单认为不能开方；③根式有理化是重要的解题思想，因此遇到无理式，尽量设法转化为有理式，特别是分子中含有无理式时，容易忽视分子有理化．试比较下列两个数的大小：12－11和11－10.【导学号：60462000】[解] ∵12－11＝12－111＝(12－11)(12＋11)12＋11＝112＋11，11－10＝11－101＝(11－10)(11＋10)11＋10＝111＋10，又∵12＋11>11＋10>0，∴12－11<11－10.[规律方法] 比较两个无理数的大小的一般方法是：通过平方，把无理数化为有理数来比较大小.但本题是巧妙地运用有理化知识，将分子有理化后，转化为比较分母的大小，计算量小，解法简洁.[对点练]已知：y ＝8－x ＋x －8＋12，求x y ＋yx ＋2－x y ＋yx －2的值．[解] 因为8－x ＋x －8有意义，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－x ≥0，x －8≥0，解得x ＝8.所以y ＝8－x ＋x －8＋12＝8－8＋8－8＋12＝0＋0＋12＝12.所以x y ＋yx ＋2－x y ＋yx －2＝(x ＋y )2xy －(x －y )2xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋1228×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫8－1228×12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17224－⎝ ⎛⎭⎪⎫15224＝174－154＝12.●知识点2 常用的乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： (1)平方差公式 (a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2； (2)完全平方公式 (a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2. 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (1)立方和公式 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)＝a 3＋b 3； (2)立方差公式 (a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＝a 3－b 3；(3)三数和平方公式 (a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )；(4)两数和立方公式 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (5)两数差立方公式 (a －b )3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3. 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．计算：(x ＋1)(x －1)(x 2－x ＋1)(x 2＋x ＋1).【导学号：60462001】[解] 法一：(应用平方差、立方差公式) 原式＝(x 2－1)[(x 2＋1)－x ][(x 2＋1)＋x ] ＝(x 2－1)[(x 2＋1)2－x 2] ＝(x 2－1)(x 4＋x 2＋1) ＝x 6－1.法二：(应用立方和立方差公式) 原式＝(x ＋1)(x 2－x ＋1)(x －1)(x 2＋x ＋1) ＝(x 3＋1)(x 3－1) ＝x 6－1.[规律方法] 在代数式的化简、求值与证明中，要注意公式的灵活运用. [对点练](1)已知x ＋1x ＝5，求x 2＋1x 2的值； (2)已知x 2－3x ＋1＝0，求x 3＋1x 3的值.【导学号：60462002】[解] (1)由已知等式平方得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝x 2＋2＋1x 2＝25， 所以x 2＋1x 2＝23.(2)因为x 2－3x ＋1＝0，所以x －3＋1x ＝0即x ＋1x ＝3.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＝9，所以x 2＋1x 2＝9－2＝7所以，x 3＋1x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋1x 2＝3×(7－1)＝18. 即x 3＋1x 3＝18.●知识点3 因式分解的常用方法(1)十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数，即运用乘法公式(x ＋a )(x ＋b )＝x 2＋(a ＋b )x ＋ab 的逆运算进行因式分解．(2)提取公因式法：当多项式的各项有公因式时，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积形式的方法．(3)公式法：把乘法公式反过来用，用某些多项式因式分解的方法． (4)求根法：若关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根是x 1，x 2，则二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就可分解为a (x －x 1)(x －x 2)．(5)试根法：对于简单的高次因式，可以通过先试根再分解的方法分解因式． 如2x 3－x －1，试根知x ＝1为2x 3－x －1＝0的根，通过拆项，2x 3－x －1＝2x 3－2x 2＋2x 2－2x ＋x －1提取公因式后分解因式．因式分解：(1)2x 2＋4xy ＋2y 2－8z 2； (2)x 2－(a ＋b )xy ＋aby 2.[解] (1)原式＝2(x 2＋2xy ＋y 2－4z 2) ＝2[(x ＋y )2－4z 2] ＝2(x ＋y －2z )(x ＋y ＋2z )(2)如图，将x 2分解成图中的两个x 的积，再将aby 2分解成－ay 与－by 的乘积．而图中的对角线上的两个式子的乘积的和为－(a ＋b )xy, p所以原式＝(x －ay )(x －by )[对点练]因式分解：(1)x2－3x＋2；(2)x2＋4x－12；(3)xy－1＋x－y.[解](1)如图①，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个式子乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图①中的两个x 用1来表示(如图②所示)．(2)由图③，得x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．(3)法一：(提取公因式法)xy－1＋x－y＝(xy＋x)－(1＋y)＝x(1＋y)－(1＋y)＝(x－1)(y＋1)法二：(十字相乘法)xy－1＋x－y＝xy＋(x－y)－1＝(x－1)(y＋1)(如图④所示)．④二一元一次、一元二次方程及不等式●知识点1一元一次方程(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的等式叫一元一次方程．(2)解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为1.(3)关于方程ax＝b解的讨论：①当a ≠0时，方程有唯一解x ＝ba ； ②当a ＝0，b ≠0时，方程无解；③当a ＝0，b ＝0时，方程有无数解，此时任一实数都是方程的解．已知(a 2－1)x 2－(a ＋1)x ＋8＝0是关于x 的一元一次方程．(1)求代数式201(a ＋x )(x －2a )＋3a ＋5的值． (2)求关于y 的方程a |y |＝x 的解．[解] (1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，－(a ＋1)≠0，解得：a ＝1，则方程变为－2x ＋8＝0，解得：x ＝4， 原式＝201(1＋4)(4－2)＋3＋5＝2018. (2)当a ＝1，x ＝4时，|y |＝4，所以y ＝±4.●知识点2 一元二次方程(1)定义：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．(2)判断依据：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有 ①当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根 x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－b2a ；③当Δ<0时，方程没有实数根．判定下列关于x 的方程的根的情况(其中a 为常数)，若方程有实数根，写出方程的实数根．(1)x 2－ax －1＝0；(2)a(a＋1)x2＋x－a(a－1)＝0. 【导学号：60462003】[解](1)Δ＝a2＋4>0，所以方程有两个不相等的实数根，解得x1＝a－a2＋42，x2＝a＋a2＋42.(2)当a＝0时，方程的根为x＝0，当a＝－1时，方程的根为x＝2. 当a≠0且a≠－1时，Δ＝1＋4a2(a2－1)＝(2a2－1)2≥0，故当a＝±22时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根，即当a＝22时，x1＝x2＝1－2，当a＝－22时，x1＝x2＝1＋2；当a≠0且a≠－1且a≠±22时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根x1＝1－1a，x2＝－a a＋1.[对点练]解方程(1)x2－ax＋(a－1)＝0；(2)x2－2x＋a＝0.[解](1)因为Δ＝a2－4a＋4≥0，方程有实数根，方程变为(x－1)[x－(a－1)]＝0，解得x1＝1，x2＝a－1，当a＝2时，方程有两个相等的实数根x＝1，当a≠2时，方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1.(2)Δ＝4－4a ，当a >1时，Δ<0，方程无实数根；当a ＝1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数根1； 当a <1时，Δ>0，方程有两个不相等的实数根x 1＝1－1－a ，x 2＝1＋1－a .●知识点3 根与系数的关系 (1)根与系数的关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a .(2)应用：若已知x 1，x 2是一元二次方程的两个根，则可设一元二次方程为x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2＝0；对应的一元二次函数设为f (x )＝x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2.若x1，x 2是方程x 2＋2x －2018＝0的两个根，试求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；(2)1x 1＋1x2；(3)(x 1－5)(x 2－5)；(4)|x 1－x 2|. [思路探究] 本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计算．这里，可以利用根与系数的关系来解答．[解] 由题意，根据根与系数的关系得：x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－2018；(1)x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝(－2)2－2(－2018)＝4040；(2)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2－2018＝11009；(3)(x 1－5)(x 2－5)＝x 1x 2－5(x 1＋x 2)＋25＝－2018－5(－2)＋25＝－1983； (4)|x 1－x 2|＝(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－2)2－4(－2018)＝8076＝22019.[对点练](1)若关于x 的方程x 2－x ＋a －4＝0的一个根大于零、另一个根小于零，求实数a 的取值范围．(2)若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1、另一个根小于1，求实数a的取值范围.【导学号：6046204】[解](1)设方程的两个根为x1，x2，由题意x1x2＝a－4<0，解得a<4.所以实数a的取值范围是a<4.(2)设方程的两个根为x1，x2，由题意(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1<0，即a＋1＋1<0，解得a<－2.所以实数a的取值范围是a<－2.●知识点4不等式(1)解一元一次不等式(组)的注意事项．①移项要变号．②不等式两边同除一个正数，不等号方向不变；不等式两边同除一个负数，不等号方向改变.③解不等式组，可先对每个不等式求解，再求这些解的公共部分(也就是求同时满足这些不等式的解)，口诀“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找”．(2)含字母的一元一次不等式可化为形如mx>n的不等式，需要分以下几种情况讨论(形如mx<n的不等式类比求解)．f(x)>0⇔f(x)g(x)>0g(x)f(x)<0⇔f(x)g(x)<0g(x)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎨⎧ f (x )g (x )≥0g (x )≠0 f (x )g (x )≤0⇔⎩⎨⎧f (x )g (x )≤0g (x )≠0 解下列不等式及不等式组(1)3－x <2x ＋6.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12>1，7x －8<9x .(3)2x －3x ＋1<0. [解] (1)原不等式变为－3x <3，解得不等式的解为x >－1. (2)不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧x >1，x >－4，故不等式组的解集为x >1.(3)原不等式等价于(2x －3)(x ＋1)<0， 所以原不等式的解为－1<x <32. [对点练](1)x －22≥7－x 3.(2)⎩⎪⎨⎪⎧5x －2>3(x ＋1)，12x －1≤7－32x .(3)1x ＋2≤3. [解] (1)原不等式变为3x －6≥14－2x ， 即5x ≥20，解得不等式的解为x ≥4. (2)不等式组变为⎩⎪⎨⎪⎧2x >5，2x ≤8，即⎩⎨⎧x >52，x ≤4，故不等式组的解集为52<x ≤4. (3)原不等式可化为：1x ＋2－3≤0，即3x ＋5x ＋2≥0，上不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧(3x ＋5)(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得x <－2或x ≥－53.故不等式的解为x <－2或x ≥－53.三 正、反比例函数与一次、二次函数●知识点1 正比例函数与一次函数 (1)定义． ①一次函数．若两个变量y ，x 间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (b 为常数，k 为不等于0的常数)的形式，则称y 是x 的一次函数．②正比例函数．在一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中，若b ＝0，称y 是x 的正比例函数． (2)性质．①正比例函数的特征．正比例函数y ＝kx 的图象是经过原点的一条直线． ②一次函数的图象、性质．位：km/h)之间的函数关系(30≤x ≤120)，已知线段BC 表示的函数关系中，该汽车的速度每增加1 km/h ，耗油量增加0.002 L/km.图1(1)当速度为50 km/h 、100 km/h 时，该汽车的耗油量分别为________ L/km 、________L/km.(2)求线段AB 所表示的y 与x 之间的函数表达式． (3)速度是多少时，该汽车的耗油量最低？最低是多少？【导学号：60462005】[解析] (1)设AB 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 把(30,0.15)和(60,0.12)代入y ＝kx ＋b 中得： ⎩⎪⎨⎪⎧ 30k ＋b ＝0.15，60k ＋b ＝0.12解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－0.001，b ＝0.18， 所以AB ：y ＝－0.001x ＋0.18，当x ＝50时，y ＝－0.001×50＋0.18＝0.13， 由线段BC 上一点坐标(90,0.12)得： 0．12＋(100－90)×0.002＝0.14. [答案] 0.13 0.14(2)由(1)得：线段AB 的解析式为： y ＝－0.001x ＋0.18.(3)设BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ，把(90,0.12)和(100,0.14)代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎪⎨⎪⎧ 90k ＋b ＝0.12，100k ＋b ＝0.14解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.002，b ＝－0.06， 所以BC ：y ＝0.002x －0.06，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－0.001x ＋0.18，y ＝0.002x －0.06，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝80，y ＝0.1.答：速度是80 km/h 时，该汽车的耗油量最低，最低是0.1 L/km. ●知识点2 反比例函数(1)定义：一般地，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的形式，那么称y 是x 的反比例函数．自变量x 的取值范围是x ≠0.(2)图象与性质：①当k >0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小；②当k <0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大．如图2，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上有一点A (m,4)，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，将点B 向右平移2个单位长度得到点C ，过点C 作y 轴的平行线交反比例函数的图象于点D ，CD ＝43.图2(1)点D 的横坐标为________(用含m 的式子表示)． (2)求反比例函数的解析式． [解] (1)由题意知，B (m,0)，又C 点是由B 向右平移2个单位得到的，则C (m ＋2,0)， 又CD ∥y 轴，所以点D 的横坐标为m ＋2. (2)因为CD ∥y 轴，CD ＝43， 所以点D 的坐标为：⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋2，43，因为A ，D 在反比例函数y ＝kx (x >0)的图象上， 所以4m ＝43(m ＋2)，解得：m ＝1， 所以点A 的坐标为(1,4)，所以k ＝4m ＝4， 所以反比例函数的解析式为：y ＝4x . [对点练]如图3，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝kx 的图象相交于点A (－4，－2)，B (m,4)，与y 轴相交于点C .【导学号：60462006】图3(1)求反比例函数和一次函数的表达式． (2)求点C 的坐标及△AOB 的面积．[解] (1)因为点A (－4，－2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，所以k ＝－4×(－2)＝8.所以反比例函数的表达式为y ＝8x ；因为点B (m,4)在反比例函数y ＝8x 的图象上， 所以4m ＝8，解得：m ＝2，所以点B (2,4)． 将点A (－4，－2)，B (2,4)代入y ＝－ax ＋b 中， 得：⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝4a ＋b ，4＝－2a ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，所以一次函数的表达式为y ＝x ＋2.(2)令y ＝x ＋2中x ＝0，则y ＝2，所以点C 的坐标为(0,2)．所以S △AOB ＝12OC ×(x B －x A )＝12×2×[2－(－4)]＝6.●知识点3 一元二次函数(1)一元二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与性质．①一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：y ＝a (x －h )2＋k ，其中顶点坐标为(h ，k )(a ≠0)；③两点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根．如图4，已知抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3与x 轴交于点A ，B 两点，与y轴交于点C ，点B 的坐标为(3,0)．图4(1)求m 的值及抛物线的顶点坐标．(2)点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当P A ＋PC 的值最小时，求点P 的坐标．[解] (1)把点B 的坐标(3,0)代入抛物线y ＝－x 2＋mx ＋3得：0＝－32＋3m ＋3，解得：m ＝2，所以y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，所以顶点坐标为(1,4)．(2)连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时P A ＋PC 的值最小， 设直线BC 的解析式为：y ＝kx ＋b ， 因为点C (0,3)，点B (3,0)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝3k ＋b .3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝3，所以直线BC 的解析式为y ＝－x ＋3， 当x ＝1时，y ＝－1＋3＝2，所以当P A ＋PC 的值最小时，点P 的坐标为(1,2)．[对点练]在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2,2)两点． (1)试求抛物线的解析式．(2)记抛物线顶点为D ，求△BCD 的面积．(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线段BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．[解] (1)由题意⎩⎪⎨⎪⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－1，所以抛物线解析式为y ＝12x 2－x ＋2. (2)因为y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32. 所以顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32， 因为直线BC 为y ＝－x ＋4，所以对称轴与BC 的交点H (1,3)，所以S △BDC ＝S△BDH ＋S △DHC＝12·32·3＋12·32·1＝3.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y ＝12x 2－x ＋2，消去y 得到x 2－x ＋4－2b ＝0，当Δ＝0时，直线与抛物线相切，1－4(4－2b )＝0，所以b ＝158，当直线y ＝－12x ＋b 经过点C 时，b ＝3， 当直线y ＝－12x ＋b 经过点B 时，b ＝5，因为直线y＝－12x向上平移b个单位所得的直线与抛物线段BDC(包括端点B，C)部分有两个交点，所以158<b≤3.。

专题3 二次根式分母有理化与分子有理化的技巧（解析版）第一部分 典例精析+变式训练类型一 分母有理化技巧1 一般法：如果分母只含一个根号，先把分母化为最简二次根式，再将分子分母同乘分母的根号部分即可。

典例1（2021秋•A ．4bB ．CD 思路引领：根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．解：∵a ＞0，ab ＞0，即a ＞0，b ＞0；=1故选：D ．总结提升：=a ≥0，b ≥0）a ＞0，b ≥0）．当结果的分母中含有根式时，需分母有理化．变式训练1．（2022春•东莞市期中）化简：1= ．思路引领：==总结提升：本题主要考查分母有理数，熟练掌握分母有理化的方法以及二次根式的化简是解决本题的关键．2．（2021春• ．思路引领：如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此即可求出答案．解：原式总结提升：本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义，本题属于基础题型．技巧2 平方差公式法：如果分母是两个根号的和或差，可以利用平方差公式有理化分母典例2（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．解：1．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1的结果为： ；（2）猜想：若n 是正整数，则1进行分母有理化的结果为： ；（3）若有理数a ，bb=，求a ，b 的值．思路引领：（1）分子分母同乘以2（2（3）先化简右式，其结果应等于左式，解方程即可．解：（1）1===2+故答案为：2（2）1（3b=（a +b （b ﹣a ），∵a+b=1，∴a +b =2a−b =−1，得a =12b =32．总结提升：本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解题关键．变式训练1．（2022秋•宝山区期中）“分母有理化”= ．思路引领：2，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．解：1=2．2．总结提升：本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化和平方差公式等知识点，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．2．（2022秋•牡丹区期末）若1的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2+（1+ab ＝ ．思路引领：先将1分母有理化并根据a 、b 的值，再代入代数式进行计算即可得解．∵23，∴5＜3+6，∴2.53，∵1的整数部分是a ，小数部分是b ，∴a ＝2，b 2所以，a 2+（1ab ＝22+（1+×2=4+（7﹣1）＝4+6＝10．故答案为：10．总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，估算无理数的大小，分母有理化，难点在于将所给二次根式分母有理化并确定出取值范围从而求出a 、b 的值．技巧3 分解因式法：提取分子分母中的公因式，然后约分化简典例3 化简：思路引领：提取分母中的公因式，然后约分化简==总结提升：本题考查了二次根式的化简求值，把分母提取公因式，用因式分解的方法，再约分，比较简便。

分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

有理化因式确定方法如下：a =ba-与ba-等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。

如a与a，，3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】例1 把下列各式分母有理化（1（2（3（4）例2 把下列各式分母有理化（1（2（3）（4）例3 把下列各式分母有理化：（1（2（3例4已知x=y=，求下列各式的值：（1）x yx y+-（2）223x xy y-+例5 把下列各式分母有理化：（1)a b≠（2（3例6 计算：（122⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦（299+++例7 （1）已知x =y =，求221010x xy y ++的值。

（22a =+2b =【练 习】 A 组1．计算（1）； （2）⎛- ⎝；（3 （4）+2．设梯形上底为a ，下底长为b ，高为h ，面积为s 。

（1）a =b =h =s ； （2）a =b =h =s ；（3）a =b =，h =s ；3．已知x =，求5x x -的值。

4．已知a =b =的值。

课后作业1．计算：（1） （2（3）（4）（5）（6（33a -+ （4）-⎝（55 （6+。

二次根式衔接课教案一、知识梳理：二次根式的性质（10)a≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如32a b，等是无理式，而212x++，22x y+（2a==,0,,0.a aa a≥⎧⎨-<⎩（3）二次根式的化简与运算二次根式的乘法：abba=),(0≥≥ba；二次根式的除法：先把除法写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法：合并同类二次根式．（4）其性质如下：2、有理化因式和分母有理化1．分解因式的方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法．2．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与， 一般地，与与b 与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分子的有理化因式，化去分子中的根号的过程二、例题讲解：【例1】化简下列各式：(1)(2)1)x ≥解：(1) 原式=2|1|211-+=+=(2) 原式=(1)(2)2 3 (2)|1||2|(1)(2) 1 (1x 2)x x x x x x x x -+-=->⎧-+-=⎨---=≤≤⎩说明||a =的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．【例2】计算(没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数)：(1)83 (2)(3)(4) -解：(1)83=46282383=⨯⨯=(2) 原式623==--(3) 原式(4) 原式==说明：(1)二次根式的化简结果应满足： ①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． (2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(如)或被开方数有分母()形式(如) ，转化为 “分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．(其中2+2-)．【例3】计算：(1) 21)(1++--(2)+解：(1) 原式=22(1()21a b a +--++=--(2) 原式+)说明：有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．【例4】设x y =33x y +的值．解：77 14,1x y x y xy ==+=-⇒+==原式=2222()()()[()3]14(143)2702x y x xy y x y x y xy +-+=++-=-=说明：有关代数式的求值问题：(1)先化简后求值；(2)当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．三、强化练习1a =-成立的条件是( )A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数2．若3x <|6|x -的值是( )A ．－３B ．３C ．－９D ．９3．计算： (1) 2(34)x y z --(2) 2(21)()(2)a b a b a b +---+(3)322)())((b a b ab a b a +-+-+(4) 221(4)(4)4a b a b ab -++4．化简(下列a 的取值范围均使根式有意义)：(1)(2) a(3)(4)+-5．化简：(1)102m (2)0)x y >>6．若112x y -=，则33x xy y x xy y +---的值为( )： A ．35B ．35-C ．53-D ．537．设x y ==，求代数式22x xy y x y +++的值．8．已知11120,19,21202020a xb xc x =+=+=+，求代数式222a b c ab bc ac ++---的值．9．设x =4221x x x ++-的值．10．化简或计算：(1)+÷(2) +(3)-答案： 1． C 2． A3． (1) 2229166824x y z xy xz yz ++--+ (2) 22353421a ab b a b -++-+(3) 2233a b ab --(4)331164a b -4．2 12a b ----5． 6． D 7．8． 3 9．3 10．-。

分母有理化的公式(一)分母有理化的公式在代数学中，分母有理化是一种将有理数的分数形式转化为整数分母的方法。

这个过程常常用于化简表达式或解方程中。

下面是一些常见的分母有理化的公式及其例子。

1. 二次根式分母有理化公式：对于一个二次根式的分母有理化，我们可以使用以下公式：a/√b = a√b / b示例：将分数1/√2进行分母有理化，根据公式可以得到：1/√2 = 1√2 / 2 = √2 / 22. 立方根分母有理化公式：对于一个立方根的分母有理化，我们可以使用以下公式：a/∛b = a∛(b^2) / b示例：将分数1/∛3进行分母有理化，根据公式可以得到：1/∛3 = 1∛(3^2) / 3 = ∛9 / 33. 分母为有理数二次根式分母有理化公式：对于一个分母为有理数二次根式的分母有理化，我们可以使用以下公式：a/(√b + √c) = (a(√b - √c)) / (b - c)示例：将分数1/(√2 + √3)进行分母有理化，根据公式可以得到：1/(√2 + √3) = (1(√2 - √3)) / (2 - 3) = (√2 - √3) / (-1) = √3 - √24. 分母为有理数立方根的分母有理化公式：对于一个分母为有理数立方根的分母有理化，我们可以使用以下公式：a/(∛b + ∛c) = (a(∛b^2 - ∛bc + ∛c^2)) / (b - c)示例：将分数1/(∛2 + ∛3)进行分母有理化，根据公式可以得到：1/(∛2 + ∛3) = (1(∛4 - ∛6 + ∛9)) / (2 - 3) = (∛4 - ∛6 + ∛9) / (-1) = ∛6 - ∛4 - ∛9以上是一些常用的分母有理化的公式及其例子。

通过运用这些公式，我们可以将分母有理化，从而简化表达式或解决特定问题。

最简二次根式及分母有理化说课稿
最简二次根式及分母有理化说课稿
尊敬的各位老师，大家好。

我是来，今天我说课的题目是《最简二次根式及分母有理化》。

我将从教材分析、学情分析、学习目标、教法学法、学习流程等几个方面进行阐述。

一：教材分析
《最简二次根式及分母有理化》是北师大版八年级上册第二章第六节的第二课时，是“数与代数”的重要内容，是学习二次根式运算的依据。

一方面，它是在了解了勾股定理、学习了平方根的基础之上对实数的进一步深入和拓展。

另一方面，又为学习二次根式的加减法、一元二次方程、二次函数、三角函数等知识垫定了基础。

因此我认为本节内容在教材中起着承上启下、穿针引线的工具性作用。

二、学情分析
1、学生已有知识储备
八年级学生已经学习了分解因数和平方差公式，进入本学期以来又学习了二次根式的乘除法及二次根式的化简公式。

班上学生基础知识、基本技能掌握较好。

但是部分学生作业时常常粗心大意，在解题速度和正确率上还有待提高。

2、学生已有的学习能力
我校学生进校以来，我们一直采用“自主学习、小组合作、当堂训练、即时巩固”的柏合教学模式。

班上学生每5 人一组，经过一年的训练，我班的学生在学案的引导下已经具备了较强的小组合作学习能力，加上多元化的小组评。