高中数学 3.2《古典概型》教案(1) 苏教版必修3

高二年级数学学科学案古典概型（1）学习目标1.了解基本事件的特点。

2.了解古典概型的定义。

3.会应用古典概型的概率公式解决实际问题。

一复习旧知：1概率必须满足的两个基本条件是什么发生的概率二．课堂导航（一）认识事件的特征材料一：有红心1,2,3和黑桃4,5这5张扑克牌,将其牌点向下置于于桌上,现从中任意抽取一张,那么抽到的牌为红心的概率有多大问题1：试验的基本事件是什么？问题2：抽到红心“为事件B，那么事件B发生是什么意思？问题3：这5种情况是等可能的吗？问题4：抽到红心的概率是多大？材料二：投掷一个骰子，观察它落地时向上的点数，则出现的点数是3的倍数的概率是多大？问题1：试验的基本事件是什么？问题2：“出现的点数是3的倍数”为事件A，则事件A的发生是什么意思？问题3：这几种情况的发生是等可能的吗？问题4：点数为3的倍数的概率为多大？问题5：以上两段材料的基本事件有什么共同特征？（1）（2）（二）认识古典概型的计算公式（三）理解古典概型及其计算公式例1:一只口袋内装有大小相同的五只球,其中3只白球,2只黑球,从中一次摸出两只球。

1 共有多少个基本事件2 摸出两只球都是白球的概率是多少问题1：共有哪些基本事件？问题2：是古典概型吗？为什么？问题3“抽出两只求都是白球”为事件A，事件A的发生是什么意思？问题4：事件A的概率是多大？问题5：你能否总结一下运用古典概型解决实际问题的步骤？例2: 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定,其中决定高的基因记为D,决定矮的基因d,则杂交所得第一代的一对基因为Dd。

若第二子代的D, d基因的遗传是等可能的,求第二子代为高茎的概率。

请你按照上题的解题思路解决本题。

思考:你能求出上述第二代的种子经自花传粉得到的第三子代为高茎的概率吗例3：将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数,问:1 共有多少种不同的结果2 两数之和是3的倍数的结果有多少种3 两数之和是3的倍数的概率是多少（四）巩固练习:1 某班准备到郊外野营,为此向商店定了帐篷。

§3.2 古典概型三维目标1．知识与技能(1)理解基本事件的特点；(2)通过实例，理解古典概型及其概率计算公式；(3)会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过两个试验的观察让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比骰子试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题．3．情感态度与价值观概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些随机现象。

适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。

使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神．重点难点重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率．难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．教学时要以概率与频率的关系为知识的切入点，从学生的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合掷骰子试验，使学生经历从直观到抽象，从特殊到一般的认知，引导学生概括出古典概型的概念及特征；从而化解难点．引导学生总结基本事件的特点；通过例题与练习让学生掌握古典概型概率的求解方法；以强化重点．教学建议教法分析：根据本节课的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主观能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来。

最后在例题中加入模型的展示，帮助学生突破教学难点．(2)学法分析：学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现了学生的主体地位，培养了学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神．教学流程创设问题情境，引出问题：掷硬币两次，正反面向上的问题．⇒引导学生结合抛硬币、掷骰子等试验，初步从中体验到每个试验结果出现“机会均等”知识，进一步观察、得出古典概型的概念．⇒通过引导学生回答所提问题理解古典概型的条件、特征及讨论由古典概型能够解决的问题．⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握基本事件的计数问题．⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握古典概型问题的解题策略．⇒通过例3及其变式训练，使学生明确用古典概型解决问题的基本模式．掌握古典概型的综合应用．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正．⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.【问题导思】掷一枚质地均匀的硬币两次，共有几种结果？ 【提示】 共有正正、正反、反正、反反四种结果． 1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．2．等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能事件．【问题导思】在掷硬币的试验中的基本事件有何特点？ 【提示】 有限性和等可能性．古典概型的特点：①有限性：所有基本事件只有有限个．②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．在掷两枚硬币的试验中，两枚硬币均正面向上的概率是多少？【提示】 基本事件共有4种结果，两枚正面向上的只有一种，故概率为14.如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n ；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A )＝m n .即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.例1(1)共有多少个基本事件？(2)事件“两个都是白球”包含几个基本事件？【思路探究】 根据基本事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，即得基本事件，再数出“两个均为白球”的基本事件数．解 法一：采用列举法分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，有以下基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个基本事件(其中(1,2)表示摸到1号、2号球)．法二：设5个球分别为：a ，b ，c ，d ，e ，其中a ，b ，c 为白球，d ，e 为黑球． 列表如下：10个基本事件．(2)法一中“两个都是白球”包括(1,2)，(1,3)，(2,3)，3个基本事件． 法二中，包括(a ，b )，(b ，c )，(c ，a )，3个基本事件． 规律方法求基本事件个数的方法1．列举法或列表法，此法适合于较简单的试验题目；2．树状图法，树状图是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件的求法． 不论用哪种方法，要注意不重复不遗漏． 变式训练有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1个正四面体玩具出现的点数，y 表示第2个正四面体玩具出现的点数．试写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于3”； (3)事件“出现点数相等”． 解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．类型2古典概型的概率问题例2 (1)点数之和是4的倍数的概率； (2)点数之和大于5且小于10的概率．【思路探究】 用坐标法找出基本事件总数n 和事件A 发生的基本事件数m ，用公式求解．解 从图中容易看出，基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P (A )＝14.(2)记“点数之和大于5且小于10”的事件为B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件共有20个(已用虚线圈出)，所以P (B )＝2036＝59.规律方法1．借助坐标系求基本事件的方法：(1)将基本事件都表示成(i ，j )的形式，其中第一次的试验结果记为i ，第二次的试验结果记为j .(2)将(i ，j )以点的形式在直角坐标系中标出，点所对应的位置填写i ，j 之和(差或积，看题目要求)．(3)看图，找出符合条件的基本事件． 2．求古典概型概率的计算步骤是： (1)求基本事件的总数n ；(2)求事件A 包含的基本事件的个数m ； (3)求事件A 的概率P (A )＝mn .变式训练先后抛掷两枚大小相同的骰子． (1)求点数之和出现7点的概率； (2)求出现两个4点的概率； (3)求点数之和能被3整除的概率．解 如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种．(1)记“点数之和出现7点”为事件A ，从图中可以看出，事件A 包含的基本事件共有6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)．故P (A )＝636＝16.(2)记“出现两个4点”为事件B ，从图中可以看出，事件B 包含的基本事件只有1个，即(4,4)．故P (B )＝136.(3)记“点数之和能被3整除”为事件C ，则事件C 包含的基本事件共有12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)．故P (C )＝1236＝13.类型3古典概型的综合应用例3 一节是随机的，求(1)体育不排在第一节的概率．(2)数学、物理不相邻的概率．【思路探究】 利用树形图列举基本事件，按古典概型求概率． 解 列树形图如下图．(1)设“体育不排在第一节”为事件A ，由上图知含基本事件18个，∴P (A )＝1824＝34.(2)设“数学、物理不相邻”为事件B ，则事件B 含基本事件12个，∴P (B )＝1224＝12.规律方法1．凡是站队排序问题，均可用树形图列举基本事件，通过树形图较易计算基本事件的个数．2．本例两问都有简捷算法．(1)问中，可设基本事件为体育的排法，显然基本事件有4个，∴P (A )＝34.(2)问中，可先求数学、物理相邻的基本事件个数为12，从而得出事件B 的基本事件为24－12＝12. 变式训练某人有4把钥匙，但他忘记了打开办公室门的是哪一把，于是随机试开，求此人试开不超过2次就能够打开房门的概率．解 记某人的4把钥匙分别是a ，b ，c ，d ，假设其中a 能够打开房门，列举2次试开的所有等可能结果：ab ，ac ，ad ，ba ，bc ，bd ，ca ，cb ，cd ，da ，db ，dc .共有12种等可能结果，其中不超过2次就能够打开房门的基本事件有ab ，ac ，ad ，ba ，ca ，da ，共有6种，代入古典概型的概率计算公式即可得所求概率为612＝12.思想方法技巧古典概型与统计综合问题的转化典例 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：编号n 1 2 3 4 5 成绩x n7076727072(1)求第6位同学的成绩x 6，及这6位同学成绩的标准差s .(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 【思路点拨】 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算．(1)由这6位同学的平均成绩为75分，建立关于x 6的方程，可求得x 6，然后求方差，再求标准差；(2)用列举法可得所求古典概型的概率．【规范解答】 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90，2分 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.4分(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，8分恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，10分即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.12分 思维启迪解决此类题目步骤是：第一步：根据题目要求求出数据；第二步：列出所有基本事件，计算基本事件总数； 第三步：找出所求事件的个数； 第四步：根据古典概型公式求解； 第五步：明确规范表述结论．课堂小结1．在求概率时，通常把全体基本事件列表或用直角坐标系中的点来表示，以方便我们更直接、准确地找出某个事件所包含的基本事件的个数，然后再根据古典概型的概率公式，求出相应的概率即可．2．解题时，将所有基本事件全部列出是避免重复或者遗漏的有效方法；对于用直接方法难以解决的问题，可以求其对立事件的概率，进而求得其概率，以降低难度.当堂检测1．若书架上放有数学、化学、物理书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是物理书的概率为________．【解析】 基本事件总数为5＋3＋2＝10本，而物理书有2本，∴P ＝15.【答案】 152．一个家庭有2个小孩，这两个小孩是一男一女的概率为________．【解析】 所有的基本事件有{男，男}，{女，女}，{女，男}，{男，女}共4个，事件 “一个男孩，一个女孩”含有两个基本事件，故P ＝24＝12.【答案】 123．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．【解析】 两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．∴P ＝210＝0.2.【答案】 0.24．从甲、乙、丙、丁四人中，选取两人参加某项活动，(1)求甲、乙均被选中的概率； (2)求甲被选中的概率．解 选取两人作为一个基本事件，则每个基本事件都是等可能的，属于古典概型问题．基本事件为甲乙，甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙丁，共6个．(1)设“甲乙均被选中”为事件A ，则A 含一个基本事件，∴P (A )＝16.(2)设“甲被选中”为事件B ，则B 含三个基本事件，∴P (B )＝36＝12.。

甲、乙两人玩掷骰子游戏，他们约定：两颗骰子掷出去，如果朝上的两个数的和是5，那么甲获胜，如果朝上的两个数的和是7，那么乙获胜．问题1：若甲获胜，那么两颗骰子出现的点数有几种？ 提示：会出现(1，4)，(4，1)(2，3)，(3，2)四种可能． 问题2：若乙获胜，两颗骰子出现的点数又如何？提示：会出现(1，6)，(6，1)，(2，5，)，(5，2)，(3，4)，(4，3)六种可能． 问题3：这样的游戏公平吗？提示：由问题1、2知甲获胜的机会比乙获胜的机会少，不公平． 问题4：能否求出甲、乙两人获胜的概率？ 提示：可以．1．基本事件与等可能事件(1)基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果．(2)等可能事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件．2．古典概型 (1)古典概型的特点：①有限性：所有的基本事件只有有限个； ②等可能性：每个基本事件的发生都是等可能的．(2)古典概型的定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型． (3)古典概型概率的计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P (A ) ＝m n．即P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数.1．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型，例如在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”，这个试验的基本事件有两个：“发芽”、“不发芽”，而“发芽”与“不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等的，故此试验不符合古典概型的等可能性．2．古典概型的概率公式P (A )＝m n 与事件A 发生的频率m n 有本质的区别，其中P (A )＝m n是一个定值，且对同一试验的同一事件m 、n 均为定值，而频率中的m 、n 均随试验次数的变化而变化，但随着试验次数的增加频率总接近于P (A )．[例1] 将一颗骰子先后抛掷两次，求： (1)一共有几个基本事件？(2)“出现点数之和大于8”包含几个基本事件？[思路点拨] 求基本事件的个数可用列举法、列表法、树形图法． [精解详析] 法一：(列举法)：(1)用(x ，y )表示结果，其中x 表示第1颗骰子出现的点数，y 表示第2颗骰子出现的点数，则试验的所有结果为：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．共36个基本事件．(2)“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件：(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．法二：(列表法)：如图所示，坐标平面内的数表示相应两次抛掷后出现的点数的和，基本事件与所描点一一对应．(1)由图知，基本事件总数为36.(2)总数之和大于8包含10个基本事件(已用虚线圈出)．法三：(树形图法)：一颗骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树形图直接表示．如图所示：(1)由图知，共36个基本事件．(2)点数之和大于8包含10个基本事件(已用对勾标出)．[一点通]基本事件个数的计算方法有：(1)列举法：列举法也称枚举法．对于一些情境比较简单，基本事件个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举，即可得出随机事件所含的基本事件．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法：对于试验结果不是太多的情况，可以采用列表法．通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以便更直接地找出基本事件个数．列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适合较复杂问题中基本事件数的求解．1．本例中条件变为“一枚硬币连续掷三次”，会有多少种不同结果？ 解：画树形图共8种．2．一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有号码的3个黑球，从中摸出2个球． (1)共有多少种不同的结果(基本事件)? (2)摸出2个黑球有多少种不同结果？解：(1)共有6种不同结果，分别为{黑1，黑2}，{黑1，黑3}，{黑2，黑3}，{白，黑1}，{白，黑2}，{白，黑3}．(2)从上面所有结果中可看出摸出2个黑球的结果有3种.[例2] (12分)同时投掷两个骰子，计算下列事件的概率：(1)事件A ：两个骰子点数相同；(2)事件B ：两个骰子点数之和为8；(3)事件C ：两个骰子点数之和为奇数．[思路点拨] 先判断这个试验是否为古典概型，然后用列举法求出所有基本事件总数及所求事件包含的基本事件的个数，最后用公式P (A )＝m n求结果．[精解详析] (1)将两个骰子标上记号A ，B ，将A ，B 骰子的点数记为(x ，y )，则共有36种等可能的结果．如下(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)．⇨(3分)出现点数相同的结果有(1，1)(2，2)(3，3)(4，4)(5，5)(6，6)共6种． ∴P (A )＝636＝16.⇨(6分)(2)出现点数之和为8的结果有(2，6)(3，5)(4，4)(5，3)(6，2)共5种， ∴P (B )＝536.⇨(9分)(3)出现点数之和为奇数包括“x 是奇数、y 是偶数”和“x 是偶数、y 是奇数”，共有18种， ∴P (C )＝1836＝12.⇨(12分)[一点通]求古典概型概率的步骤：(1)用列举法求出基本事件总个数n .(2)用列举法求出事件A 包含的基本事件的个数m .(3)利用公式P (A )＝事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数＝mn求出事件A 的概率．3．先后从分别标有数字1，2，3，4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，则抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________．解析：基本事件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1，1)、(1，2)、(1，3)、(1，4)、(2，1)、(2，2)、(2，3)、(3，1)、(3，2)、(4，1)，共10种，所以所求概率为1016＝58.★答案★：584．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，问： (1)两数之积是奇数的概率是多少？ (2)两数之积是3的倍数的概率是多少？解：每次抛出的点数都可能有1，2，3，4，5，6这6种结果，两次点数之积的不同结果如下表所示共有36种.1 2 3 4 5 6112345 6 224681012 3369121518 44812162024 551015202530 661218243036(1)设事件A表示“两数之积是奇数”，则事件A包含的不同结果的个数为9，所以P(A)＝936＝14.(2)设事件B表示“两数之积是3的倍数”，则事件B包含的不同结果的个数为20，所以P(B)＝2036＝59.1．解决古典概型问题的关键是：分清基本事件总数n与事件A所包含基本事件的个数m，注意问题：(1)试验基本结果是否有等可能性．(2)本试验的基本事件有多少个．(3)事件A包含哪些基本事件．只有弄清这三个方面的问题解题才不致于出错．2．求基本事件的个数有列举法、列表法和树形图法，一是注意按一定顺序，防止重复和遗漏；二是可先数一部分，找出规律，推测全部．课下能力提升(十六)一、填空题1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为________．解析：本题中基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含两个基本事件，故甲被选中的概率为23.★答案★：232．在平面直角坐标系内，从横坐标与纵坐标都在集合A ＝{0，1，2}内取值的点中任取一个，此点正好在直线y ＝x 上的概率为________．解析：由x ，y ∈{0，1，2}，这样的点共有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)9个，其中满足在直线y ＝x 上的点(x ，y )有(0，0)，(1，1)，(2，2)3个，所以所求概率为P ＝39＝13.★答案★：133．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则b >a 的概率是________．解析：随机选取的a ，b 组成实数对(a ，b )，有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，共15种．其中b >a 的有(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3种，所以b >a 的概率为315＝15.★答案★：154．从长度分别为2，3，4，5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．解析：从四条线段中任取三条有4种取法：(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)．其中能构成三角形的取法有3种：(2，3，4)，(2，4，5)，(3，4，5)，故所求概率为34.★答案★：345．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：从3只白球、1只黑球中随机摸出两只小球，基本事件有(白1，白2)，(白1，白3)，(白2，白3)，(白1，黑)，(白2，黑)，(白3，黑)，其中颜色不同的有三种，故所求概率为P ＝12.★答案★：12二、解答题6．从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，求两种品牌都齐全的概率．解：3台甲型电脑为1，2，3，2台乙型电脑为A ，B ，则所有基本事件为：(1，2)，(1，3)，(1，A )，(1，B )，(2，3)，(2，A )，(2，B )，(3，A )，(3，B )，(A ，B )，共10个. 记事件C 为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以P (C )＝610＝35.7．设集合P ＝{b ，1}，Q ＝{c ，1，2}，P ⊆Q ，若b ，c ∈{2，3，4，5，6，7，8，9}． (1)求b ＝c 的概率；(2)求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率．解：(1)因为P ⊆Q ，当b ＝2时，c ＝3，4，5，6，7，8，9；当b ＞2时，b ＝c ＝3，4，5，6，7，8，9，基本事件总数为14.其中b ＝c 的事件数为7种，所以b ＝c 的概率为：714＝12.(2)记“方程有实根”为事件A ，若使方程有实根，则Δ＝b 2－4c ≥0，即b ＝c ＝4，5，6，7，8，9共6种. 所以P (A )＝614＝37.8．对某项工程进行竞标，现共有6家企业参与竞标，其中A 企业来自辽宁省，B ，C 两家企业来自江苏省，D ，E ，F 三家企业来自山东省，此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同．(1)列举所有企业的中标情况；(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的概率是多少？解：(1)从这6家企业中选出2家的选法有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．(2)在中标的企业中，至少有一家来自江苏省的选法有(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种．所以，“在中标的企业中，至少有一家来自江苏省”的概率为915＝35.。

3.2《古典概型》教案(1)教学目标:（1）理解基本事件、等可能事件等概念；（2）会用枚举法求解简单的古典概型问题；教学重点、难点：古典概型的特征和用枚举法解决古典概型的概率问题．教学过程：一、问题情境1．情境：将扑克牌红心１,红心２, 红心3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其排牌向下置于，桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到红心的概率有多大？2．问题：是否一定要进行大量的重复试验，用“出现红心”这一事件的频率估计概率？这样工作量较大且不够准确．有更好的解决方法吗？二、学生活动把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这3种情况.把“抽到黑桃”记为事件Ａ, 那么事件A相当于“抽到黑桃4”，“抽到黑桃5”这2种情况.这5种情况有什么关系?把“抽到红心”记为事件B，那么事件B相当于“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情况，而同样抽到其他牌的共有39种情况；由于是任意抽取的，可以认为这52中情况的可能性是相等的。

所以，当出现红心是“抽到红心１”，“抽到红心２”，…，“抽到红心K”这13中情形之一时，事件B就发生，于是131 ()524P B==；三、建构数学1．基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；2．等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；3．古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型①所有的基本事件只有有限个；②每个基本事件的发生都是等可能的；4．古典概型的概率：如果一次试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是1n，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为()mP An=．四、数学运用1．例题例1、一个口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，２只黑球，从中一次摸出两个球。

（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两个都是白球的概率是多少？分析：可用枚举法找出所有的等可能基本事件．解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件（摸到1,2号球用(1,2)表示）：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3)(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)因此，共有10个基本事件；（2）上述10个基本事件法上的可能性是相同的，且只有3个基本事件是摸到两个白球（记为事件A），即(1,2),(1,3),(2,3,)，故3 ()10 P A=∴共有10个基本事件，摸到两个白球的概率为3 10；【归纳】求古典概型的步骤：（1）判断是否为等可能性事件；（2）计算所有基本事件的总结果数n．（3）计算事件A所包含的结果数m．（4）计算P(A)=m/n例2、豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D，决定矮的基因记为d，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd，若第二子代的Dd基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D则其就是高茎，只有两个基因全是d时，才显现矮茎）．解：Dd与Dd的搭配方式共有４中：,,,DD Dd dD dd，其中只有第四种表现为矮茎，故第二子代为高茎的概率为30.75 4答：第二子代为高茎的概率为0.75．思考：第三代高茎的概率呢？解：由于第二子代的种子中DD，Dd，dD，dd型种子各占1/4，其下一代仍是自花授粉，则产生的子代应为DD，DD，DD，DD；DD，Dd，dD，dd；DD，dD，Dd，dd；dd,dd,dd,dd。

3.2 古典概型 1整体设计教材分析本节课是必修（数学3）第3章概率第二大节内容——3.2古典概型.我们可以把它分为2个课时.第一课时主要学习古典概型的概念；第二课时主要是古典概型的运用，通过利用古典概型来解题进一步加深对概念及公式的理解，同时也激发学生对概率的热爱.第一个课时通过创设问题情境“现有方块J 、Q 、K 和梅花A 、2共5张扑克牌，将这些牌正面向下摆放在桌面上，现从中任意抽取一张，试问抽到的牌为方块的概率为多少？”引导学生发现求此事件的概率，如果再进行大量重复试验来求的话，既耗时又不精确.从而激发学生勇于探索的精神，引入古典概型（全称为：古典概率模型）的概念及特点.并围绕创设的问题情境，由学生通过自主探究来得到古典概型的概率计算公式：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为：P(A)=nm . 得出古典概型的概率计算公式之后，我们通过例题教学与课堂练习进一步理解古典概型的概念及特点，同时也进一步巩固古典概型的概率计算公式.在每个例题的讲解过程中，步步为营，注重学生的参与性.讲解完每个例题之后，由学生自己谈感受，总结得失.课堂练习主要由学生完成，教师适时作出适当的点拨.最后的课堂小结也让学生来参与，由他们自己来总结，更利于学生对知识、技能的掌握与提高.三维目标1.通过创设问题情境引出古典概型的概念及特点，采用启发式、探究式教学.2.理解古典概型的概念及特点，会判断一个随机事件是否符合古典概型.3.通过进行大量重复试验来求问题情境中概率，既耗时又不精确，所以必须找到方法来解决，从而探究出古典概型的概率计算公式.4.掌握古典概型的概率计算公式.会用列举法列举出随机事件所含的基本事件数.5.会利用古典概型的概率计算公式来解决一些简单的概率问题,培养学生实事求是的科学态度，激发学生勇于探索、坚持不懈的精神.重点难点教学重点:1.理解古典概型的概念及特点.2.古典概型的概率计算公式的运用.教学难点:1.会判断一个随机事件是否符合古典概型.2.会运用古典概型的概率计算公式来解题.课时安排2课时教学过程第1课时导入新课设计思路一：（问题导入）请同学们思考并回答下面的问题：现有方块J 、Q 、K 和梅花A 、2共5张扑克牌，将这些牌正面向下摆放在桌面上，现从中任意抽取一张，试问抽到的牌为方块的概率为多少？设计思路二：（实验感知）在课前，教师布置任务，以数学小组为单位，完成下面两个模拟试验：试验一：抛掷一枚质地均匀的硬币，分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数，要求每个数学小组至少完成20次（最好是整十数），最后汇总起来；试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，分别记录“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”的次数，要求每个数学小组至少完成60次（最好是整十数），最后汇总起来.推进新课新知探究对于导入思路一：倘若进行大量重复试验，用“出现方块”这一事件的频率估计概率，不仅工作量大而且还不准确.因此我们不妨这样来解决：把“抽到方块”记为事件A ，那么事件A 相当于“抽到方块J”、“抽到方块Q”、“抽到方块K”这3种情况，而“抽到梅花”相当于“抽到梅花A”、“抽到梅花2” 这2种情况，由于是任意抽取的，因此，认为出现这5种情况的可能性都相等.当出现方块J 、Q 、K 这3种情形之一时，事件A 就发生，因而有P(A)=53. 在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件（elementary event ）.如在上面的问题中“抽到方块”即为一个基本事件.如果在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件.上面的问题有这样两个特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即具有有限性；（2）每个基本事件出现的可能性相等即具有等可能性.我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型（classical probability model ）.倘若一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= nm . 对于导入思路二：在课上，学生展示模拟试验的操作方法和试验结果，并与同学交流活动感受.教师最后汇总方法、结果和感受，并提出问题.1.用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？（不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率.）2.根据以前的学习，上述两个模拟试验的每个结果之间都有什么特点？（在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且它们都是互斥的，由于硬币质地是均匀的，因此出现两种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是21； 在试验二中随机事件有六个，即“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”和“6点”，并且它们都是互斥的，由于骰子质地是均匀的，因此出现六种随机事件的可能性相等，即它们的概率都是61.） 我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果.基本事件有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和.特点（2）的理解：在试验一中，必然事件由基本事件“正面朝上”和“反面朝上”组成；在试验二中，随机事件“出现偶数点”可以由基本事件“2点”“4点”和“6点”共同组成.因此有：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）（2）每个基本事件出现的可能性相等.（等可能性）我们将满足上述条件的概率模型称为古典概型（classical probability model ）. 在实验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P （“正面朝上”）＝P （“反面朝上”），P （“出现正面朝上”)＝基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现正面朝上”“21=. 在试验二中，出现各个点的概率相等，即P （“1点”）＝P （“2点”）＝P （“3点”）＝P （“4点”）＝P （“5点”）＝P （“6点”），所以P （“1点”）＝P （“2点”）＝P （“3点”）＝P （“4点”）＝P （“5点”）＝P （“6点”）＝61. 进一步地，还可以计算这个试验中任何一个事件的概率，例如， P （“出现偶数点”）＝P （“2点”）＋P （“4点”）＋P （“6点”）＝2163616161==++， 即P （“出现偶数点”）＝基本事件的总数数所包含的基本事件的个出现偶数点”“63=. 根据上述两则模拟试验，可以概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式为 P （A ）＝基本事件的总数所包含基本事件个数A . 因此有：如果一次试验的等可能基本事件共有n 个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是n 1.如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)= nm . 应用示例思路1例1 为了考查玉米种子的发芽情况，在1号、2号、3号培养皿中各种一粒玉米种子，（1）列举全体等可能基本事件；(2)下列随机事件由哪些等可能基本事件组成.事件A ：三粒都发芽；事件B ：恰有两粒发芽；事件C ：至少有一粒发芽.分析：根据实际问题，在正确理解等可能事件的含义的基础上来列举等可能事件，再根据所列举的等可能事件来确定某一个随机事件由哪些等可能事件组成.解：（1）按1号、2号、3号培养皿的顺序，玉米种子发芽的情况可能出现的结果有（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽），（不发芽，不发芽，不发芽），即1号培养皿有两种可能结果，对于1号培养皿的每种可能结果2号培养皿又有两种可能结果，对于1号、2号培养皿的每种可能结果，3号培养皿又有两种可能结果，所以共有2×2×2=8种不同的结果.因此全体等可能基本事件是：（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽），（不发芽，不发芽，不发芽）.（2）事件A 由一个基本事件组成即（发芽，发芽，发芽），事件B 由3个基本事件组成即（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），事件C 由7个基本事件组成即（发芽，发芽，发芽），（发芽，发芽，不发芽），（发芽，不发芽，发芽），（不发芽，发芽，发芽），（发芽，不发芽，不发芽），（不发芽，发芽，不发芽），（不发芽，不发芽，发芽）.点评：(1)枚举法是一种重要的计数方法，在用枚举法计数时特别需要注意的是不重复不遗漏；(2)正确理解等可能事件的意义，能够正确地将某一个事件分解成等可能基本事件是解决古典概型问题的关键.例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球.（1）共有多少个基本事件？（2）摸出的两只球都是白球的概率是多少？分析：可以用枚举法找出所有的等可能基本事件.解：（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下基本事件〔摸到1，2号球用有序实数对（1，2）表示〕：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），因此，共有10个基本事件.（2）记事件A=“摸出的两只球都是白球”，（1）中的10个基本事件发生的可能性相同，事件A 包含了3个基本事件，即（1，2），（1，3），（2，3），如下图所示，根据古典概型的概率计算公式可得：P(A)=103.答：（1）共有10个基本事件；（2）摸出的两只球都是白球的概率是103. 点评：运用枚举法列举构成各个事件的基本事件是直接有效的方法，我们必须掌握这种方法，在运用枚举法时要做到不重复不遗漏.例3 豌豆的高矮性状的遗传由其一对基因决定，其中决定高的基因记为D ，决定矮的基因记为d ，则杂交所得第一子代的一对基因为Dd.若第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，求第二子代为高茎的概率（只要有基因D 则其就是高茎，只有两个基因全是d 时，才显现矮茎）.分析：由于第二子代的D ，d 基因的遗传是等可能的，所以可以将各种可能的遗传情形都枚举出来：解：Dd 与Dd 的搭配方式有4种：DD ，Dd ， dD ，dd ，即总共有4个等可能基本事件；其中只有第四种“dd”1种表现为矮茎，即事件“第二子代为高茎”共包含了3个等可能基本事件，故事件“第二子代为高茎”的概率为43=75%. 答：第二子代为高茎的概率为75%.点评：应用枚举法时也可以用树形图来列举出所有的基本事件.例4 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A ，B ，C ，D 四个选项中选择一个正确答案.如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案.假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？分析：解决这个问题的关键，即讨论这个问题什么情况下可以看成古典概型.如果考生掌握或者掌握了部分考查内容，这都不满足古典概型的第2个条件——等可能性，因此，只有在假定考生不会做，随机地选择了一个答案的情况下，才可以化为古典概型.解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A 、选择B 、选择C 、选择D ，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A ，B ，C ，D 的可能性是相等的.从而由古典概型的概率计算公式得： P(“答对”)＝基本事件的总数数所包含的基本事件的个答对”“＝41＝0.25. 点评：解答本题的关键是判断随机事件是否适合古典概型，如果是古典概型则运用古典概型概率计算公式进行计算.例5 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.（1）如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；（2）如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.分析：（1）为返回抽样；（2）为不返回抽样.解：（1）有放回地抽取3次，按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x,y,z 都有10种可能，所以试验结果有10×10×10=103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8=83种，因此，P(A)= 33108=0.512. （2）可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录（x,y,z ），则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8=720种.设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6=336, 所以P(B)= 720336≈0.467. 点评：关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.对于问题（2）还可以有如下解法：看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序（x,y,z ）记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但（x,y,z ），（x,z,y ），（y,x,z ），（y,z,x ），（z,x,y ），（z,y,x ），是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6=120，按同样的方法，事件B 包含的基本事件个数为8×7×6÷6=56，因此P(B)= 12056≈0.467. 思路2例1 有5段线段，它们的长度分别为2，4，6，8，10，从中任取三段，能构成三角形的概率是（ ）103.51.52.203.D C B A 分析：用枚举法将从5段线段中任取三段的等可能基本事件列举出来，再根据三角形的三边必须满足两边之和大于第三边来确定事件“任取三段线段能构成三角形”的等可能基本事件数.从5段长度分别为2，4，6，8，10的线段任取三段共有（2，4，6），（2，4，8），（2，4，10），（2，6，8），（2，6，10），（2，8，10），（4，6，8），（4，6，10），（4，8，10）（6，8，10）等10种情况，即共有10个等可能基本事件，能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”，因此能够作为三角形三边的线段长为（4，6，8），（4，8，10），（6，8，10）三种，即事件A“能够构成三角形”含有3个等可能基本事件，所以有P(A)=103. 答案：D点评：根据概率的计算公式P(A)=nm ，必须要解决m,n 的值是多少的问题，这可以运用枚举法来解决；对于本题运用枚举法时还可以有如下方法：因为任取三个数后剩下两个数，因此取三个数与取两个数的情况是相同的，因此只要列举取两个数的情况，如下：（2，4），（2，6），（2，8），（2，10），（4，6），（4，8），（4，10），（6，8），（6，10），（8，10），共10种情况，共有10个等可能基本事件，能够构成三角形必须满足“两边之和大于第三边”，因此能够作为三角形三边的线段长为（4，6，8），（4，8，10），（6，8，10）三种，即事件A“能够构成三角形”含有3个等可能基本事件，所以有P(A)= 103. 例2 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率.分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型.解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……（出现6点），所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3.所以，P （A ）=5.02163===n m . 点评：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重复不遗漏.例3 从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.分析：将符合“每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次”的所有结果一一列举出来，就得到等可能基本事件的总数，用同样的方法得到符合“取出的两件产品中恰有一件次品”所包含的基本事件总数，就可以得到本题的解答.解：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2），（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）.其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品用A 表示“取出的两种中，恰好有一件次品”这一事件，则A=［（a 1，b 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 1，a 2）］.事件A 由4个基本事件组成，因而，P （A ）=3264=. 点评：本题是不放回问题，注意与有放回问题的区别.例4 袋中有红、白色球各一个，有放回地抽三次，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次抽取的红球多于白球.分析：运用枚举法列出基本事件总数,然后再计算某个事件包含的基本事件总数.解：每个基本事件为(x,y,z)，其中x,y,z 分别取红、白球，全集U={(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(白，白，红)，(白，红，白)，(红，白，白)，(白，白，白)}，从而n=8.（1）记事件A 为“三次颜色恰有两次同色”，因为A 中含有基本事件的个数m=6， 所以P(A)=75.086==n m ； （2）记事件B 为“三次颜色全相同”，因为B 中含有基本事件的个数m=2， 所以P(B)=25.082==n m ； （3）记事件C 为“三次抽取的红球多于白球”，因为C 中含有基本事件的个数m=4， 所以P(C)=5.084==n m . 点评：对于第(3)小题，因为三次取球，红、白色球的个数必定不相等，故红球多于白球与白球多于红球的概率相等，都是0.5.例5 在一个口袋中装有10个标有1到10这十个整数的小球，从口袋中任意取出一个小球，记下它的标号x ，然后第二次再从口袋中任意取出一个小球，记下它的标号y ，试求：(1)x+y 是10的倍数的概率；(2)xy 是3的倍数的概率.分析：运用枚举法列出基本事件总数以及某一个事件包含的基本事件数.解：先后两次取出小球，第一次取出的小球有10种不同的结果，第二次取出的小球也有10种不同的结果，而且对于第一次的每一个结果第二次有10种结果与它对应，所以先后两次取出小球共有10×10=100个不同的结果，故基本事件个数是100个.(1)因为x+y 是10的倍数，它包含下列情况：（1，9），（2，8），（3，7），（4，6），（5，5），（6，4），（7，3），（8，2），（9，1），（10，10）共10种基本事件，因此所求事件“x+y 是10的倍数”的概率P=10010=0.1. (2)因为xy 是3的倍数，所以x 是3的倍数或y 是3的倍数，又1到10这十个数可以分为是3的倍数和不是3的倍数两类，记A=｛3,6,9｝，B=｛1,2,4,5,7,8,10｝，当x∈A，y∈B 时，xy 是3的倍数共有3×7=21种，当y∈A，x∈B 时，xy 是3的倍数也有3×7=21种，当x∈A，y∈A 时，xy 是3的倍数共有3×3=9种，因此所求事件“xy 是3的倍数”的概率P=1005110092121=++=0.51. 答：(1)x+y 是10的倍数的概率为0.1；(2)xy 是3的倍数的概率为0.51.点评：运用等可能事件的概率公式时，一定要将基本事件总数和满足条件的事件总数求正确，枚举法和分类讨论是解决这类问题行之有效的常用方法.知能训练1.先后抛掷两枚均匀的硬币，出现一枚正面、一枚反面的概率是（ ）1.21.31.41.D C B A2.在所有的两位数中，任取一个数，则这个数能被2或3整除的概率为（ ） 21.54.32.65.D C B A 3.从甲、乙、丙、丁四人中选3人作代表参加某个会议，则甲一定当选的概率为________________ .4.有4个房间安排3个人住宿，每个人可以住进任一房间，且住进房间是等可能的，求：(1)事件“指定的3个房间各有1人”的概率；(2)事件“第1号房间有1人，第2号房间有2人”的概率.（每个房间最多可以住3人）解答：1.C2.B3.从四人中选出3人共有4种等可能结果（甲，乙，丙），(甲，乙，丁) ，(甲，丙，丁) ，(乙，丙，丁)，其中甲一定当选的有3种，故甲一定当选的概率为P=43=0.75. 4.(1)运用枚举法可得基本事件总数是43，记“指定的3个房间各有1人”为事件A ，则A 中包含的基本事件数为3×2=6个，所以P(A)= 323463=. (2) 记“第1号房间有1人，第2号房间有2人”为事件B ，则B 中包含的基本事件数为3个，所以P(B)= 643433=. 课堂小结数学是一门严谨的科学，而用进行大量重复试验来估计事件的概率，既麻烦又不准确，因此在一些特殊的情况下，我们可以构造出计算事件概率的通用方法，从而直接得到概率的准确值.就是运用古典概型的概率计算公式来计算相应事件的概率，比较简单.运用古典概型的概率计算公式计算事件的概率时，一定要验证该试验中所构造的基本事件是否满足古典概型的第二个条件，即每个结果出现是等可能的，否则计算出的概率将是错误的.利用“数形结合”的方法即画树形图的方法来得到基本事件的个数，可以帮助我们大大简化计算量，而且还很直观.尤其是树形图可以帮助我们来枚举随机试验包含的所有基本事件，不容易遗漏.作业课本习题3.2 1～5.设计感想根据本课时教学内容的特点，采用引导发现和归纳概括相结合的教学方法，通过提出问题、思考问题、解决问题等教学过程，观察对比、概括归纳古典概型的概念及其概率公式，再通过具体问题的提出和解决，来激发学生的学习兴趣，调动学生的主体能动性，让每一个学生充分地参与到学习活动中来.使学生在教师创设的问题情景中，通过观察、类比、思考、探究、概括、归纳和动手尝试相结合，体现学生的主体地位，培养学生由具体到抽象，由特殊到一般的数学思维能力，形成实事求是的科学态度，增强锲而不舍的求学精神.本节课的教学通过提出问题，引导学生发现问题，经历思考交流概括归纳后得出古典概型的概念，由两个问题的提出进一步加深对古典概型的两个特点的理解；再通过学生观察类比推导出古典概型的概率计算公式.这一过程能够培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.在解决概率的计算上，鼓励学生尝试枚举和画出树形图，让学生感受求基本事件个数的一般方法，从而化解由于没有学习排列组合而学习概率这一教学困惑.。

3.2古典概型（1）泰州市蒋垛中学彭小红教学目标：1. 掌握基本事件的概念；2. 正确理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；3. 掌握古典概型的概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率．教学重点：掌握古典概型这一模型．教学难点：如何判断一个实验是否为古典概型，如何将实际问题转化为古典概型问题. 教学方法：问题教学、合作学习、讲解法、多媒体辅助教学．教学过程：一、问题情境1.有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，则抽到的牌为红心的概率有多大？2.猜想两个实验的结果：（1）有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，该实验的所有可能结果是什么？（2）抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么？二、学生活动1．进行大量重复试验，用“抽到红心”这一事件的频率估计概率，发现工作量较大且不够准确；2．（1）共有“抽到红心1”“抽到红心2”“抽到红心3”“抽到黑桃4”“抽到黑桃5”5种情况，由于是任意抽取的，可以认为出现这5种情况的可能性都相等；（2）6个；即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”, 这6种情况的可能性都相等；三、建构数学1．介绍基本事件的概念，等可能基本事件的概念；2．让学生自己总结归纳古典概型的两个特点（有限性）、（等可能性）；3．得出随机事件发生的概率公式：四、数学运用1．例题.例1有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取2张共有多少个基本事件？（用枚举法，列举时要有序，要注意“不重不漏”）探究（1）：一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，共有多少个基本事件？该实验为古典概型吗？（为什么对球进行编号？）探究（2）：抛掷一枚硬币2次有（正，反）、（正，正）、（反，反）3个基本事件，对吗？学生活动：探究（1）如果不对球进行编号，一次摸出2只球可能有两白、一黑一白、两黑三种情况，“摸到两黑”与“摸到两白”的可能性相同；而事实上“摸到两白”的机会要比“摸到两黑”的机会大．记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，通过枚举法发现有10个基本事件，而且每个基本事件发生的可能性相同．探究（2）：抛掷一枚硬币2次，有（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）四个基本事件．（设计意图：加深对古典概型的特点之一等可能基本事件概念的理解．）例2 一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球，则摸到的两只球都是白球的概率是多少？问题：在运用古典概型计算事件的概率时应当注意什么？①判断概率模型是否为古典概型②找出随机事件A中包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．教师示范并总结用古典概型计算随机事件的概率的步骤例3同时抛两颗骰子，观察向上的点数，问：（1）共有多少个不同的可能结果？（2）点数之和是6的可能结果有多少种？（3）点数之和是6的概率是多少？问题：如何准确的写出“同时抛两颗骰子”所有基本事件的个数？学生活动：用课本第102页图3-2-2，可直观的列出事件A中包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．问题：点数之和是3的倍数的可能结果有多少种？(介绍图表法)例4甲、乙两人作出拳游戏(锤子、剪刀、布)，求：（1）平局的概率；（2）甲赢的概率；（3）乙赢的概率.设计意图：进一步提高学生对将实际问题转化为古典概型问题的能力．2．练习.（1）一枚硬币连掷3次，只有一次出现正面的概率为_________.（2）在20瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为_________.．（3）第103页练习1,2．（4）从1，2，3，…，9这9个数字中任取2个数字，①2个数字都是奇数的概率为_________；②2个数字之和为偶数的概率为_________.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容：1．基本事件，古典概型的概念和特点；2．古典概型概率计算公式以及注意事项；3.求基本事件总数常用的方法：列举法、图表法．。

课题§3.2.1古典概型项目内容理论依据或意图教材地位及作用本节课是高中数学3（必修）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是在随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下学习的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，有利于解释生活中的一些问题，有利于增强学生学习数学的兴趣。

教学重点理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

根据本节课的地位和作用以及新课程标准的具体要求，制订教学重点。

教学难点如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。

根据本节课的内容，即尚未学习排列组合，以及学生的心理特点和认知水平，制定了教学难点。

教材分析教学目标1．知识与技能（1）理解基本事件概念；（2）理解古典概型概念，掌握古典概型概率计算公式；（3）会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

2．过程与方法根据本节课的内容和学生的实际水平，通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，小组合作探究，观察类比分析各个试验，归纳总结出古典概型的概率计算公式，体现了从特殊到一般，化归的等重要数学思想，掌握列举法，学会运用数形结合、分类讨论的思想解决概率的计算问题。

3．情感态度与价值观树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点，培养学生用随机的观点来理性的理解世界。

适当地增加学生合作学习交流的机会，尽量地让学生自己举出生活和学习中与古典概型有关的实例。

使得学生在体会概率意义的同时，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。

根据新课程标准，并结合学生心理发展的需求，以及人格、情感、价值观的具体要求制订而成。

《 3.2.1古典概型(一)》说课稿石阡中学：陈学发一、教材分析1、教材所处的地位和作用：本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学》必修3，3.2.1节，《古典概型》共安排2课时，本节课是第1课时。

是在学习了概率的意义和概率的基本性质的基础上，进一步研究古典概型的概率求法，以及古典概型在实践中的广泛应用，古典概型是一种特殊的数学模型，它是概率论发展中的主要研究对象，在概率论中占有很重要的地位，是学习概率必不可少的内容。

故其教学重、难点如下：重点：理解古典概型的的定义及特征，并掌握及概率的计算公式。

难点：古典概型的定义及特征，并能鉴别生活中一些古典概型的案例。

2、教学目标：知识与技能：①要求学生掌握古典概型的定义及特征；②要求学生会计算古典概型的概率；③要求学生会鉴别生活中古典概型的案例。

过程与方法：在教学过程中，可通过“掷一枚质地均匀的硬币”试验和“掷一粒质地均匀的骰子”试验，让学生合作探究得出基本事件的概念，通过分析这两个试验总结出古典概型的两个特征及其概率计算公式。

情感态度与价值观：选用具有现实意义的例题，激发学生的学习兴趣和求知欲望，体会数学的趣味性和实用价值，增强应用意识，提高数学建模能力，形成理论联系实际的辨证唯物主义观点。

并进一步培养学生发现生活中的数学“美”，并在教学中渗透法制教育：——赌博的危害。

二、指导思想和教学方法1、树立以学生发展为本的思想。

通过构建以学习者为中心、有利于学生主体精神、创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索和动手操作的机会，鼓励他们创新思考，亲身参与知识的形成过程。

2、在具体问题的分析、引导过程中，依据建构主义教学原理，通过类比、对比、和归纳，把新的知识化归到学生原有的认知结构中去。

3、利用多媒体辅助教学，增强动感与直观性，提高教学效果和教学质量。

三、学法指导本节课采用学生经过探索、观察、对比分析、自已发现结论的学习方法，以培养学生逻辑思维能力、自学能力、动手实践能力和探索精神，并渗透了辩证唯物主义认识论和方法论的教育。

《古典概型》的教学设计一、内容和内容解析内容：古典概型的概念及概率计算公式。

内容解析：本节课是高中数学（必修3）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，是学生在初中阶段学习了概率初步，在高中阶段学习随机事件的概率之后，几何概型之前，尚未学习排列组合的情况下进行教学的。

古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它曾是概率论发展初期的主要研究对象，在概率论中占有相当重要的地位，它的引入，使我们可以解决一类随机事件（等可能事件）的概率，而且可以得到概率精确值，同时避免了大量的重复试验。

学好古典概型可以为其它概率的学习奠定基础，有利于理解概率的概念，并能够解释生活中的一些问题。

本课题中古典概型是核心概念，但基本事件也是一个很重要的概念，它对学生正确认识与获得古典概型的概念起着十分关键的作用。

基本事件概念中有如下的两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。

古典概型概念中的核心是它的两个特征，（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性），尤其是特征（2），所以教学的重点不是“如何计算概率”，而是要引导学生动手操作，开展小组合作学习，通过举出大量的古典概型的实例与数学模型使学生概括、理解、深化古典概型的两个特征及概率计算公式。

同时使学生初步能够把一些实际问题转化为古典概型，并能够合理利用随机、统计、化归、数形结合等数学思想方法有效解决有关的概率问题。

教学重点：理解古典概型及其概率计算公式。

二、目标和目标解析目标：理解古典概型及其概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率。

目标解析：1、借助掷硬币、骰子及例1的试验，使学生初步理解基本事件的两个特点，并由学生举例，通过比较、分析引导学生发现随机试验中出现的基本事件有等可能，也有不等可能的情形。

2、引导学生从具有等可能的基本事件的试验中概括出古典概型的两个特征。