高中数学必修五北师大版 3 解三角形的实际应用举例 作业(含答案)1

第1课时　距离问题与高度问题课时过关·能力提升1.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°方向上,灯塔B在观察站C的南偏东40°方向上,则灯塔A与灯塔B的距离为( )A.a kmB.3a kmC.2a kmD.2a km,由题意可知∠ACB=120°,AC=BC=a km.在△ABC中,由余弦定理,得AB=AC2+CB2-2AC·CBcos∠ACB=3a(km).2.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3 ℎ,该船实际航程为( )A.215 kmB.6 kmC.221 kmD.8 km,由题意∠AOB=120°,∴A=60°,知|OA|=23,|OB|=43,·cos 30°=6(km).故经h,该船的航程为6 km.|OC|=|OB|过 33.在200 m高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高是( )A .4003m B.40033mC.2003 m D .200 m,设塔AB 的高为h ,在Rt △CDB 中,CD=200 m,∠BCD=90°-60°=30°,∴BC =200cos30°=40033(m).在△ABC 中, ∠ABC=∠BCD=30°,∠ACB=60°-30°=30°,∴∠BAC=120°.在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin120°=ABsin30°,∴AB (m).=BC ·sin30°sin120°=4003 即塔高hm .=40034.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=519 m,起吊的货物与岸的距离AD 为( )A.30 m B .1523 mC.153 mD.45 m△ABC 中,由余弦定理,得cos ∠ACB=AC 2+BC 2-AB 22AC ·BC =152+102-(519)22×15×10=‒12,∴∠ACB=120°,∴∠ACD=180°-120°=60°.∴AD=AC ·sin 60°=153(m).5.如图,从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ,C 的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD 是60 m,则河流的宽度BC 是( )A.240(3‒1)m B .180(2‒1)mC.120(3‒1)m D .30(3+1)m,在Rt △ADC 中,C=30°,AD=60 m,∴AC=120 m .在△ABC 中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC =ACsin∠BAC sin∠ABC =120×26+24=120(3‒1)(m).6.已知A 船在灯塔C 北偏东80°方向,且A 到C 的距离为2 km,B 船在灯塔C 北偏西40°方向,A ,B 两船的距离为3 km,则B 到C 的距离为 km .(6‒1)★7.如图所示,在观礼台上某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面,∠BAD=15°,在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°,且座位A ,B 的距离为106 m,则旗杆的高度为______________m .∠BAN=105°,∠BNA=30°.由正弦定理,得AN sin45°=106sin30°,解得AN=203(m),在Rt △AMN 中,MN=260°=30(m).03sin 故旗杆的高度为30 m .8.湖中有一小岛,沿湖有一条南北方向的公路,在这条公路上的一辆汽车上测得小岛在南偏西15°方向,汽车向南行驶1 km 后,又测得小岛在南偏西75°方向,则小岛到公路的距离是 km .,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,∠ACB=180°-105°-15°=60°,AB=1 km .由正弦定理BC sin∠CAB =AB sin∠ACB ,得BC =sin15°sin60°=6-223(km).设点C 到直线AB 的距离为d ,则d=BC sin 75°=6-223×6+24=36(km).★9.在海岛A (可视岛A 为一点)上有一座海拔1 km 的山,山顶设有一个观察站P ,上午11时,测得一轮船在岛的北偏东30°、俯角为30°的B 处匀速直线行驶,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°、俯角为60°的C 处.(1)求该船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛正西方向的D 处,此时船距岛A 有多远?由题意得,在Rt △PAB 中,∠APB=60°,∠PAB=90°,PA=1 km,∴AB km .= 3在Rt △PAC 中,∠APC=30°,∠PAC=90°,∴AC km .=33 在△ACB 中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC =AC 2+AB 2=(33)2+(3)2=303(km).故船的航行速度是303÷16=230(km/ℎ).(2)∠DAC=90°-60°=30°,sin ∠DCA=sin(180°-∠ACB )=sin ∠ACB =AB BC =3330=310,sin ∠CDA=sin(∠ACB-30°)=sin ∠ACB cos 30°-cos ∠ACB sin 30°=31010×32‒12×1-(31010)2=(33-1)1020.在△ACD 中,由正弦定理,得AD sin∠DCA =AC sin∠CDA,∴AD=AC ·sin∠DCA sin∠CDA =3×310(33-1)1020=9+313(km),即此时船距岛A km .有9+313。

§ 3解三角形的实质应用举例( 二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ____________ ．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、B 两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋153mC． 15＋ 30 3m D．15＋33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为来的 2 倍，持续在平行地面上行进θ，对着山岳在平行地面上行进 600 m200 3 m 后，测得山岳的仰角为本来的后测仰角为原4 倍，则该山岳的高度是()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．如下图， D、C、B 三点在地面同向来线上，DC ＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是β、α( β<．α)则 A 点离地面的高AB 等于 ()asin α sinβA.sin(α－β)asin α sinβB.cos(α－β)asin α cosβC.sin( α－β)acosα cosβD.cos(α－β)二、填空题7.如下图，丈量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D，现测得∠ BCD ＝α，∠ BDC ＝β，CD ＝s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为θ，则塔高 AB 为 ________．8．甲船在A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．9. 如图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的 A 、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE＝ 200 m，于C 处测得水深 CF＝ 110 m，则∠ DEF 的余弦值是 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD.12．在海岸 A 处，发现北偏东45°的方向，距离 A ( 3－ 1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西75°的方向，距离 A 2 n mile 的度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？C 处的缉私船受命以10 3 n mile/h 的速的速度从 B 处向北偏东30°的方向逃跑，能力提高13．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成 30°角，求两条船之间的距离．14．如图， A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东45°， B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60°且与 B 点相距 203海里的C 点的营救船立刻前去营救，其航行速度为30 海里 /时，该救援船抵达D 点需要多长时间？1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：2.3解三角形的实质应用举例(二)(含答案分析)§ 3解三角形的实质应用举例 (二 )答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B2．A[h 甲＝ 20tan 60 40 ＝°20 3(m)． h 乙 ＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°3(m)． ]33．A[ 在 △PAB 中，由正弦定理可得1＝ PB60×＝ 3060 ， PB ＝ 2 ， h ＝ PBsin 45 °＝(30 ＋ 30 3)m.]sin(45 －°30°) sin 30 ° sin 15 °sin 15 °4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝ 3，∴ θ＝ 15°，2∴ h ＝200 3·sin 4＝θ300 (m)． ]h6．A[ 设 AB＝h ，则 AD ＝，∵∠ CAD ＝α－β，CDAD∴sin(α－ β)＝sin .β∴ a＝ h，∴ h ＝ asin α sin βsin(α－ β) sin α sin β sin(α－ β).]s · tan θ sin β7.sin( α＋ β)分析在 △ BCD 中，∠ CBD ＝ π－ α－β.BCCD由正弦定理，得 sin ∠ BDC ＝sin ∠ CBD.CDsin ∠ BDC s · sin β∴BC ＝＝.sin ∠ CBDsin( α＋ β)s · tan θ sin β在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCtan ∠ ACB ＝ sin(α＋ β) .8．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BC AC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ，sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝12，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝ 30°，∴ BC ＝AB ＝ a ，22 2 2 2 212∴ AC ＝ AB ＋BC － 2AB ·BCcos 120°＝ a ＋ a － 2a ·－ 2 ＝ 3a ，∴ AC ＝ 3a.16 9.65分析作 DM ∥AC 交 BE 于点 N ，交 CF 于点 M.DF ＝ MF 2＋DM 2＝ 302＋ 1702＝ 10 298(m)， DE ＝ DN 2＋ EN 2＝ 502＋ 1202＝ 130(m)EF ＝ (BE － FC)2＋ BC 2＝ 902＋ 1202＝ 150(m)在 △DEF 中，由余弦定理的变形公式，得DE 2＋ EF 2－ DF 2＝1302 ＋1502－ 102×298 ＝ 16cos ∠ DEF ＝2DE ·EF2×130 ×15065.2 10.3分析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在 △ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2或 t ＝－52×10×9tcos 120 ，°解得 t ＝ 312(舍 )．11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋ β，∠ABC ＝ 90°－ α，∠BAC ＝ α－β，∠ CAD ＝ β.ACBCACBC依据正弦定理得： sin ∠ ABC ＝sin ∠ BAC，即sin(90 －°α)＝sin( α－ β)，∴AC ＝ BCcos α hcos α＝ sin(α－ β).sin( α－ β)在 Rt △ACD 中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝ hcos α sin βhcos α sin βsin(α－β) .即山高 CD 为 sin( α－ β) .12．解如下图，设缉私船用t h在 D 处追上走私船，则有CD ＝ 10 3t ， BD ＝ 10t ，在 △ ABC中，∵AB ＝3－1， AC ＝ 2，∠ BAC ＝ 120°，∴由余弦定理，得BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ·AC ·cos ∠ BAC ＝ (3－ 1)2＋22－ 2×(3－1) ×2×cos 120＝°6，∴ BC ＝6，且 sin ∠ ABC ＝ AC ·sin ∠ BACBC＝2×3＝6 22 2.∴∠ ABC ＝ 45°，∴ BC 与正北方向垂直．∴∠ CBD ＝ 90°＋30°＝ 120°，在 △BCD 中，由正弦定理得sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠CBD ＝ 10tsin 120＝°1，CD10 3t2∴∠ BCD ＝ 30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船． 13．解 如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ADB ＝ 30°，∠ACB ＝ 45°∵ AB ＝30，∴ BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴CD＝30，即两船相距 30 m.14．解由题意知 AB ＝ 5(3＋ 3)海里，∠ DBA ＝ 90°－ 60°＝ 30°，∠ DAB ＝ 90°－45°＝45°，∴∠ ADB ＝ 180 °－ (45 °＋ 30°)＝ 105 °.在△DAB 中，由正弦定理，得DB＝AB，sin∠ DAB sin∠ ADB∴DB＝AB·sin∠ DAB＝5(3＋ 3) ·sin 45°5(3＋ 3) ·sin 45 °＝5 3( 3＋1)sin∠ ADB sin 105 °＝sin 45 cos° 60 ＋°cos 45 sin° 60°3＋12＝10 3(海里 )．又∠ DBC ＝∠ DBA ＋∠ ABC ＝ 30°＋ (90 °－ 60°)＝ 60°，BC＝ 203(海里 )，在△DBC 中，由余弦定理，2221，得 CD ＝BD＋BC －2BD·BC·cos ∠DBC ＝ 300＋ 1 200－ 2×103×20 3×＝9002∴CD＝30(海里 )，30∴需要的时间t＝＝1(小时)．故营救船抵达 D 点需要 1 小时．。

一、选择题1．已知方程x 2sin A ＋2x sin B ＋sin C ＝0有重根，则△ABC 的三边a ，b ，c 的关系满足( )A ．b ＝acB ．b 2＝acC ．a ＝b ＝cD ．c ＝ab 【答案】 B【解析】 ∵由方程有重根，∴Δ＝4sin 2B －4sin A sin C ＝0，即sin 2B ＝sin A sin C ，∴b 2＝ac .2．在△ABC 中，a ＝6，b ＝4，C ＝30°，则△ABC 的面积是( )A ．12B ．6C ．12 3D ．8 3 【答案】 B【解析】 由S ＝12ab sin C 得S △ABC ＝12×6×4sin30°＝6.3．在△ABC 中，a ＝6，B ＝30°，C ＝120°，则△ABC 的面积是( )A ．9B ．8C ．9 3D ．18 3 【答案】 C【解析】 由题知A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin30°＝b sin30°，∴b ＝6，∴S ＝12×6×6sin120°＝9 3.二、填空题4．在△ABC 中，A ＝30°，AB ＝2，BC ＝1，则△ABC 的面积为________．【答案】 32【解析】 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos30°， ∴AC 2－23AC ＋3＝0.∴AC ＝ 3.∴S △ABC ＝12AB ·AC sin30°＝12×2×3×12＝32.5．在△ABC 中，已知a ＝8，c ＝6，且S △ABC ＝123，则B ＝________.【答案】 60°或120°【解析】 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×8×6×sin B ＝123，∴sin B ＝32，∵0°<B <180°，∴B ＝60°或120°.三、解答题6．在△ABC 中，求证：a －c cos B b －c cos A ＝sin B sin A. 【解析】 证法一：化角为边，左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2ac b －c (b 2＋c 2－a 2)2bc＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2＋a 2－c 2＝b a ＝sin B sin A＝右边． 证法二：化边为角，左边＝sin A －sin C cos B sin B －sin C cos A ＝sin (B ＋C )－sin C cos B sin (A ＋C )－sin C cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin B sin A ＝右边．。

,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．如图，为了测量隧道两口A 、B 之间的长度，对给出的四组数据， 计算时要求最简便，测量时要求最容易，应当采用的一组是( )A ．a ，b ，γB ．a ，b ，αC ．a ，b ，βD ．α，β，a解析：选A.根据实际情况，α，β都是不易测量的数据，在△ABC 中，a ，b 可以测得，角γ也可测得，根据余弦定理能直接求出AB 的长．2．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/小时 B ．346海里/小时C.1722海里/小时 D ．342海里/小时解析：选A.如图所示，在△PMN 中， PM sin 45°＝MNsin 120°，所以MN ＝68×32＝346，所以v ＝MN 4＝1726(海里/小时)．3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(30＋303)mB ．(30＋153)mC ．(15＋303)mD ．(15＋153)m解析：选A.在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32 －22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，所以PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，所以树的高度为PB sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303) m. 4．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)()A ．14.5 km/hB ．15.6 km/hC ．13.5 km/hD ．11.3 km/h解析：选C.由物理学知识， 画出示意图，AB ＝15，AD ＝4，∠BAD ＝120°.在▱ABCD 中，D ＝60°， 在△ADC 中，由余弦定理得AC ＝AD 2＋CD 2－2AD ·CDcos D＝16＋225－4×15＝181 ≈13.5. 5.如图，从气球A 测得正前方的济南全运会东荷、西柳两个场馆B 、C 的俯角分别为α、β，此时气球的高度为h ，则两个场馆B 、C 间的距离为( )A.h sin αsin βsin （α－β） B.h sin （β－α）sin αsin βC.h sin αsin βsin （α－β）D.h sin βsin αsin （α－β）解析：选B.在Rt △ADC 中，AC ＝h sin β，在△ABC 中，由正弦定理得BC ＝ACsin α·sin(β－α)＝h sin （β－α）sin αsin β.6．海上的A 、B 两个小岛相距10 km ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，那么B 岛和C 岛间的距离是________km.解析：如图所示，则C ＝180°－(60°＋75°)＝45°. 在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BCsin A，得BC ＝AB sin A sin C ＝10·sin 60°sin 45°＝56(km)．答案：5 67．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲观测点连线及甲、乙两观测点连线所成的角为120°，甲、乙两观测点相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是________．解析：由题意画出示意图，设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知BC ＝h ，在Rt △ABD 中，由已知BD ＝3h ，在△BCD 中，由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得，3h 2＝h 2＋5002＋h ·500，解得h ＝500 m(负值舍去)．答案：500 m8．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知：x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200，AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB＝2002＋1202－2×200×120cos 120° ＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理，得ABsin α＝BCsin 120°，即sin α＝AB sin 120°BC＝200×32280＝5314. 10．为了测量两山顶M 、N 间的距离，飞机沿水平方向在A 、B 两点进行测量，A 、B 、M 、N 在同一个铅垂平面内，如图，飞机能测量的数据有俯角和A 、B 间的距离，请设计一个方案；包括：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用文字和公式写出计算M 、N 间的距离的步骤．解：(1)需要测量的数据有A 到M 、N 的俯角α1、β1，B 到M 、N 的俯角α2、β2，A 、B 的距离d (如图所示)．(2)方案一：第一步：计算AM ，由正弦定理得AM ＝d sin α2sin （α1＋α2）；第二步：计算AN ，由正弦定理得AN ＝d sin β2sin （β2－β1）；第三步：计算MN ，由余弦定理得MN ＝AM 2＋AN 2－2AM ·AN cos （α1－β1）.方案二：第一步：计算BM ，由正弦定理得BM ＝d sin α1sin （α1＋α2）；第二步：计算BN ，由正弦定理得BN ＝d sin β1sin （β2－β1）；第三步：计算MN ，由余弦定理得MN ＝BM 2＋BN 2＋2BM ·BN cos （β2＋α2）.[B.能力提升]1．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，由炮台顶部测得两船俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距( )A ．10 3 mB ．100 3 mC ．2030 mD ．30 m解析：选D.设炮台顶部为A ，两条船分别为B 、C ，炮台底部为D ，可知∠BAD ＝45°， ∠CAD ＝60°，∠BDC ＝30°，AD ＝30.分别在Rt △ADB ，Rt △ADC 中， 求得DB ＝30，DC ＝30 3. 在△DBC 中，由余弦定理得BC 2＝DB 2＋DC 2－2DB ·DC cos 30°，解得BC ＝30.2．在船A 上测得它的南偏东30°的海面上有一灯塔，船以每小时30海里的速度向东南方向航行半个小时后，于B 处看得灯塔在船的正西方向，则这时船和灯塔相距(sin 15°＝6－24)( )A.15（6－2）2海里 B.152－562海里C.15（6－2）4海里 D.152－564海里解析：选B.如图所示，设灯塔为C ，由题意可知，在△ABC 中，∠BAC ＝15°，B ＝45°，C ＝120°，AB ＝30×0.5＝15(海里)，所以由正弦定理，可求得BC ＝15sin 120°·sin 15°＝1532×6－24＝152－562(海里)．3．如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为________m.解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°， 所以∠ABS ＝30°.AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝ 1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°. 所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500，且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500， 从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 0004．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________km.解析：由题意，知∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔C 的距离为x km ，即BC ＝x ，由余弦定理，可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos 120°，即9＝4＋x 2－2×2x ×(－12)，整理得x 2＋2x －5＝0，解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.答案：6－15．要航测某座山的海拔高度，如图，飞机的航线与山顶M 在同一个铅垂面内，已知飞机的飞行高度为海拔10 000 m ，速度为900 km/h ，航测员先测得对山顶的俯角为30°，经过40 s(已飞过M 点)后又测得对山顶的俯角为45°，求山顶的海拔高度．(精确到1 m ，可能要用到的数据：2＝1.414，3＝1.732，6＝2.450)解：900 km/h ＝250 m/s ，AB ＝250×40＝10 000(m)， 在△ABM 中，由正弦定理得BMsin 30°＝AB sin 105°，BM ＝AB sin 30°sin 105°.作MD ⊥AB 于D ， 则MD ＝BM sin 45°＝AB sin 30°sin 105°×sin 45°＝10 000×12×2222×12＋22×32＝10 0003＋1＝5 000(3－1)＝3 660， M 的海拔高度为10 000－3 660＝6 340 (m)．即山顶的海拔高度为6 340 m.6．某海上养殖基地A 接到气象部门预报，位于基地南偏东60°距离20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地并持续2小时．求台风移动的方向．解：如图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，影响结束时台风中心为D ，则B ，C ，D 在同一直线上，且AD ＝20海里，AC ＝20海里．由题意知，AB ＝20(3＋1)海里，DC ＝2×102＝202海里，BC ＝(3＋1)×102海里．在△ADC 中，因为DC 2＝AD 2＋AC 2， 所以∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理的变形公式得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32，所以∠BAC ＝30°，又因为B 位于A 的南偏东60°， 且60°＋30°＋90°＝180°，所以D 位于A 的正北方向，又因为∠ADC ＝45°， 所以台风移动的方向为CD →的方向，即北偏西45°方向． 所以台风向北偏西45°方向移动．。

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在△ABC 中，|BC →|＝3，|CA →|＝5，|AB →|＝7，则CB →·CA→的值为( )【导学号：47172091】A ．－32 B.32 C ．－152 D ．152【解析】 由余弦定理cos C ＝|CA →|2＋|BC →|2－|AB →|22|CA →|·|BC →|＝52＋32－722×5×3＝－12，∴CB →·CA →＝|CB →|·|CA →|cos C ＝3×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－152. 【答案】 C2．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2【解析】 设另两边长为8x,5x ，则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2，解得x ＝2，∴另两边长分别为16和10， ∴S ＝12×16×10×sin 60°＝40 3.选A. 【答案】 A3．E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ∠ECF ＝( )图2-2-4A.1627B.23C.33D.34【解析】 设AC ＝1，则AE ＝EF ＝FB ＝13AB ＝23. 由余弦定理得CE ＝CF＝AE 2＋AC 2－2AC ·AE cos 45°＝53， 所以cos ∠ECF ＝CE 2＋CF 2－EF 22CE ·CF ＝45，tan ∠ECF ＝sin ∠ECF cos ∠ECF＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45245＝34. 【答案】 D4．如图2-2-5，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD,2AB＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为( )图2-2-5A.33B.36C.63D.66【解析】 设AB ＝c ，则AD ＝c ，BD ＝2c 3，BC ＝4c 3， 在△ABD 中，由余弦定理得cos A ＝c 2＋c 2－43c22c 2＝13.则sin A ＝223，在△ABC 中，由正弦定理得c sin C ＝BCsin A ＝4c3223，解得sin C＝66.【答案】 D5．若△ABC 的周长为20，面积为103，A ＝60°，则a 等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8【解析】 S ＝12bc sin A ＝12bc ·32＝103，∴bc ＝40， 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－2bc －2bc ·12，∴a 2＝(20－a )2－120， ∴a ＝7. 【答案】 C 二、填空题6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 的值为________. 【导学号：47172092】【解析】 因为sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，所以sin 2B ＝sin A ·sin C ，由正弦定理得b 2＝ac ，又c ＝2a ，故cos B ＝a 2＋c 2－b22ac＝4a 2＋a 2－2a 24a 2＝34.【答案】 347．在△ABC 中，AB ＝3，点D 是BC 的中点，且AD ＝1，∠BAD ＝30°，则△ABC 的面积为________．【解析】 ∵D 为BC 的中点，∴S △ABC ＝2S △ABD ＝2×12×|AB ||AD |·sin ∠BAD ＝2×12×3×1×sin 30°＝32. 【答案】 328．如图2-2-6所示，已知圆内接四边形ABCD 中AB ＝3，AD ＝5，BD ＝7，∠BDC ＝45°，则BC ＝________.。

课时作业15解三角形的实际应用举例时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据为()A．α、a、b、βB．αC．a、b、γD．β、b【答案】 C【解析】根据实际情况，测量△ABC的边AC和BC及角C较容易，故选C.2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为()A ．10km B.3km C ．10错误!kmD ．10错误!km【答案】 D 【解析】 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴AC ＝107km.∴选D.3．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°(如图所示)，那么这座塔的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33m B ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m【答案】 B 【解析】 由题意知CE ＝AE ·tan60°＝20 3.∴CD ＝DE ＋CE ＝20＋203＝20(1＋3)．4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )A.4003mB.40033mC.20033mD.2003m【答案】 A【解析】 作出示意图如图，由已知：在Rt △OAC 中，OA ＝200m ，∠OAC ＝30°，则OC ＝OA ·tan ∠OAC ＝200tan30°＝20033(m)．在Rt △ABD 中，AD ＝20033m ，∠BAD ＝30°，则BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝20033·tan30°＝2003(m)，∴BC ＝CD －BD ＝200－2003＝4003(m)．5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a kmD ．2a km【答案】 B【解析】 易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2， ∴AB ＝3a (km)．6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( ) A.1762海里/时B ．346海里/时 C.1722海里/时D ．342海里/时【答案】 A【解析】 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MN sin120°，∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里/时)．7．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．( )A.6943B ．1 C.7043D ．2【答案】 C【解析】 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 最小．二、填空题(每小题5分，共15分)8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝60°，则a ＝________.【答案】 1＋ 3【解析】 由余弦定理可得a 2＋4－2×2a ·cos60°＝6，即a 2－2a－2＝0，∴a ＝1±3，∵a >0，∴a ＝1＋ 3.9．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．【答案】 60(3－1)【解析】 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)．10．某海域上有A 、B 、C 三个小岛，已知A ，B 之间相距8n mile ，A ，C 之间相距5n mile ，在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相距________n mile.【答案】 7【解析】 由题意知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝82＋52－2×8×5×12＝49，则B 岛与C 岛相距7n mile.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)A 、B 是一条河岸边两点，相距800m ，河对岸有一铁塔，在A点测得塔顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求塔高CD .【解析】解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°，得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)．12．(15分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF ＝110m，求∠DEF的余弦值．【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665. 13．(20分)某市电力部门在一次救灾过程中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A ，B 两地距离．现测量人员在相距3km 的C ，D 两地(假设A ，B ，C ，D 在同一平面上)，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约是A ，B 距离的43倍，问施工单位至少应准备多长的电线？【解析】 在△ACD 中，由已知可得，∠CAD ＝30°，所以AC ＝3km ，在△BCD 中，由已知可得，∠CBD ＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24. 由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22.cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ＝(3)2＋(6＋22)2－23·6＋22·cos75°＝5.所以AB ＝5(km)．施工单位应准备的电线长为435km.答：施工单位应准备的电线长为435km.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作课时作业15解三角形的实际应用举例时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，计算时应当用的数据为()A．α、a、b、βB．αC．a、b、γD．β、b【答案】 C【解析】根据实际情况，测量△ABC的边AC和BC及角C较容易，故选C.2．已知A、B两地的距离为10km，B、C两地的距离为20km，观测得∠ABC＝120°，则AC两地的距离为()A ．10km B.3km C ．10错误!km D ．10错误!km【答案】 D【解析】 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，B ＝120°，由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202－2×10×20×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝700，∴AC ＝107km.∴选D.3．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°(如图所示)，那么这座塔的高是( )A ．20⎝⎛⎭⎪⎫1＋33mB ．20(1＋3)mC ．10(6＋2)mD ．20(6＋2)m【答案】 B【解析】 由题意知CE ＝AE ·tan60°＝20 3. ∴CD ＝DE ＋CE ＝20＋203＝20(1＋3)．4．在200m 高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为( )A.4003m B.40033m C.20033m D.2003m【答案】 A【解析】 作出示意图如图，由已知：在Rt △OAC 中， OA ＝200m ，∠OAC ＝30°，则OC ＝OA ·tan ∠OAC ＝200tan30°＝20033(m)．在Rt △ABD 中，AD ＝20033m ，∠BAD ＝30°，则BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝20033·tan30°＝2003(m)，∴BC ＝CD －BD ＝200－2003＝4003(m)．5．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.3a km C.2a km D ．2a km【答案】 B【解析】 易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝2a 2－2a 2×(－12)＝3a 2，∴AB ＝3a (km)．6．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P 的南偏西75°距塔68海里的M 处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船的航行速度为( )A.1762海里/时 B ．346海里/时 C.1722海里/时 D ．342海里/时【答案】 A【解析】 如图所示，在△PMN 中，PM sin45°＝MNsin120°，∴MN ＝68×32＝346， ∴v ＝MN 4＝1726(海里/时)．7．线段AB 外有一点C ，∠ABC ＝60°，AB ＝200km ，汽车以80km/h 的速度由A 向B 行驶，同时摩托车以50km/h 的速度由B 向C 行驶，则运动开始________h 后，两车的距离最小．( )A.6943 B ．1 C.7043 D ．2【答案】 C【解析】 如图所示，设t h 后，汽车由A 行驶到D ，摩托车由B 行驶到E ，则AD ＝80t ，BE ＝50t .因为AB ＝200，所以BD ＝200－80t ，问题就是求DE 最小时t 的值．由余弦定理，得DE 2＝BD 2＋BE 2－2BD ·BE cos60°＝(200－80t )2＋2 500t 2－(200－80t )·50t ＝12 900t 2－42 000t ＋40 000.当t ＝7043时，DE 最小．二、填空题(每小题5分，共15分)8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若c ＝2，b ＝6，B ＝60°，则a ＝________.【答案】 1＋ 3【解析】 由余弦定理可得a 2＋4－2×2a ·cos60°＝6，即a 2－2a －2＝0，∴a ＝1±3，∵a >0，∴a ＝1＋ 3.9．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 和对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，则河的宽度为________米．【答案】 60(3－1)【解析】 过C 点作CD ⊥AB 于D ，设BD ＝x ，则CD ＝x ，AD ＝120－x ，又∵∠CAB ＝30°，∴x 120－x ＝33，解之得，x ＝60(3－1)．10．某海域上有A 、B 、C 三个小岛，已知A ，B 之间相距8n mile ，A ，C 之间相距5n mile ，在A 岛测得∠BAC 为60°，则B 岛与C 岛相距________n mile.【答案】 7【解析】 由题意知BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos60°＝82＋52－2×8×5×12＝49，则B 岛与C 岛相距7n mile.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)A 、B 是一条河岸边两点，相距800m ，河对岸有一铁塔，在A 点测得塔顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求塔高CD .【解析】解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此，只需在△ABD中求出AD即可．在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由ABsin15°＝ADsin45°，得AD＝AB·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．∴CD＝AD＝800(3＋1)≈2 186(m)．12．(15分)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF ＝110m，求∠DEF的余弦值．【解析】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力．解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝MF2＋DM2＝302＋1702＝10298，DE＝DN2＋EN2＝502＋1202＝130，EF＝(BE－FC)2＋BC2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理 cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ×EF＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.13．(20分)某市电力部门在一次救灾过程中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量A ，B 两地距离．现测量人员在相距3km 的C ，D 两地(假设A ，B ，C ，D 在同一平面上)，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约是A ，B 距离的43倍，问施工单位至少应准备多长的电线？【解析】 在△ACD 中，由已知可得，∠CAD ＝30°，所以AC ＝3km ，在△BCD 中，由已知可得，∠CBD ＝60°，sin75°＝sin(45°＋30°)＝6＋24.由正弦定理，得BC ＝3sin75°sin60°＝6＋22. cos75°＝cos(45°＋30°)＝6－24，在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠BCA ＝(3)2＋(6＋22)2－23·6＋22·cos75°＝5.所以AB ＝5(km)．施工单位应准备的电线长为435km. 答：施工单位应准备的电线长为435km.。