新课程高中数学《1.1.2四种命题》教案 新人教A版选修11.doc

1.1.2 四种命题1.1.3 四种命题间的相互关系学习目标 1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题.知识点一四种命题的概念思考1 初中已学过命题与逆命题的知识，什么叫做命题的逆命题？答案在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题.思考2 除了命题与逆命题之外，是否还有其它形式的命题？答案有.梳理名称阐释互逆命题对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.其中的一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题互否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，我们把这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题互为逆否命题对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题知识点二四种命题间的相互关系思考1 命题与其逆命题之间是什么关系？答案互逆.思考2 原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间又是什么关系？答案原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系.梳理(1)四种命题间的关系(2)四种命题间的真假关系原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.知识点三逆否证法与反证法1.逆否证法由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，所以在直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接证明原命题为真命题.2.反证法(1)反证法的步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结论成立.(2)反证法导出结果的几种情况：①导出綈p为真，即与原命题的条件矛盾；②导出q为真，即与假设“綈q为真”矛盾；③导出一个恒假命题，即与定义、公理、定理矛盾；④导出自相矛盾的命题.3.反证法与逆否证法的联系(1)依据相同：都是利用原命题与其逆否命题的等价性.(2)起步相同：都是从“綈q”(即否定结论)出发(入手)；(3)思想相同：都是“正难则反”思想的具体体现.4.反证法与逆否证法的区别(1)目的不同：反证法否定结论的目的是推出矛盾，而逆否证法否定结论的目的是推出“綈p”(即否定条件)；(2)本质不同：逆否证法实质是证明一个新命题(逆否命题)成立，而反证法是把否定的结论作为新的条件连同原有的条件进行逻辑推理，直至推出矛盾，从而肯定原命题的结论.类型一四种命题的关系及真假判断命题角度1 四种命题的写法例1 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题.(1)正数的平方根不等于0；(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；(3)对顶角相等.解(1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0.逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数.否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0.逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数.(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0.逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2.否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0.逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2.(3)原命题：若两个角是对顶角，则它们相等.逆命题：若两个角相等，则它们是对顶角.否命题：若两个角不是对顶角，则它们不相等.逆否命题：若两个角不相等，则它们不是对顶角.反思与感悟由原命题写出其他三种命题的关键是找到原命题的条件和结论，根据其他三种命题的定义，确定所写命题的条件和结论.跟踪训练1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题.(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形.解(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数.否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数.逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数.(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高.否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等.逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高.命题角度2 四种命题的真假判断例2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.(1)若a>b，则ac2>bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形.解(1)逆命题：若ac2>bc2，则a>b.真命题.否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.真命题.逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.假命题.(2)逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补.真命题.否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形.真命题.逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补.真命题.反思与感悟若原命题为真命题，则它的逆命题、否命题可能为真命题，也可能为假命题. 原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题.互为逆否命题的两个命题的真假性相同.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数要么是0，要么是2，要么是4. 跟踪训练2 下列命题中为真命题的是( )①“若x2＋y2≠0，则x，y不全为零”的否命题；②“正三角形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题.A.①②③④B.①③④C.②③④D.①④答案 B解析①原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为零”.故为真命题.②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”.故为假命题.③原命题的逆否命题为“若x 2＋x －m ＝0无实根，则m ≤0”. ∵方程无实根，∴判别式Δ＝1＋4m <0，∴m <－14<0.故为真命题.④原命题的逆否命题为“若x 不是无理数，则x －2不是有理数”. ∵x 不是无理数，∴x 是有理数.又2是无理数，∴x －2是无理数，不是有理数.故为真命题. 故正确的命题为①③④，故选B. 类型二 等价命题的应用例3 证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明 方法一 原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”. 若a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ). 即原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题为真命题.方法二 假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a . 又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， ∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )， ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ).这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾， 因此假设不成立，故a ＋b ≥0.反思与感悟 因为原命题与其逆否命题是等价的，可以证明一个命题的逆否命题成立，从而证明原命题也是成立的.正确写出原命题的逆否命题是证题的关键，同时注意这种证明方法与反证法的区别.跟踪训练3 证明：若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1.证明 “若a 2－4b 2－2a ＋1≠0，则a ≠2b ＋1”的逆否命题为“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”.∵a ＝2b ＋1，∴a 2－4b 2－2a ＋1＝(2b ＋1)2－4b 2－2(2b ＋1)＋1 ＝4b 2＋1＋4b －4b 2－4b －2＋1＝0.∴命题“若a ＝2b ＋1，则a 2－4b 2－2a ＋1＝0”为真命题. 由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证.类型三 反证法的应用例4 若a 、b 、c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.证明 假设a 、b 、c 都不大于0， 即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0. 而a ＋b ＋c＝x 2－2y ＋π2＋y 2－2z ＋π3＋z 2－2x ＋π6＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3. ∵π－3>0，且(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0， ∴a ＋b ＋c >0，这与a ＋b ＋c ≤0矛盾， 因此a 、b 、c 中至少有一个大于0.反思与感悟 (1)求解此类含有“至少”“至多”等命题，常利用反证法来证明.用反证法证明命题的一般步骤：①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确. (2)常见的一些词语和它们的否定词语对照如下：跟踪训练4 设a ，b ，c ∈R ，且a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数.证明 方法一 (逆否证法)依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题.为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2”为真命题即可.∵a ，b ，c 都是奇数，∴a 2，b 2，c 2都是奇数， ∴a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，∴a 2＋b 2≠c 2. ∴原命题的逆否命题为真命题. ∴原命题也为真命题.方法二 (反证法)假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数. ∴a 2＋b 2为偶数.而c 2为奇数， ∴a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾. ∴假设不成立，原命题成立.1.命题“若綈p，则q”的逆否命题为( )A.若p，则綈qB.若綈q，则綈pC.若綈q，则pD.若q，则p答案 C2.下列命题为真命题的是( )A.命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题B.命题“若x＝1，则x2>1”的否命题C.命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题D.命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题答案 A解析对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题.3.命题“若x>1，则x>0”的逆命题是_____________，逆否命题是_____________.答案若x>0，则x>1 若x≤0，则x≤14.在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________.答案 4解析逆命题为“若A∩B≠A，则A∪B≠B”；否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”；逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪B＝B”，全为真命题.5.已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”.(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假.解(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”.(2)命题p的否命题是真命题.判断如下：因为ac<0，所以－ac>0⇒Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，所以该命题是真命题.写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误.若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可.40分钟课时作业一、选择题1.“△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B全是锐角”的否命题为( )A.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B全不是锐角B.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角C.△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B中必有一钝角D.以上都不对答案 B解析若∠C≠90°，则∠A，∠B不全是锐角，此处“全”的否定是“不全”.2.若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是( )A.互逆命题B.互否命题C.互为逆否命题D.以上都不正确答案 A解析设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”.故q 与r为互逆命题.3.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为( )A.a，b，c都是奇数B.a，b，c都是偶数C.a，b，c中至少有两个偶数D.a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数答案 D解析用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数.故选D.4.如果方程x2＋(m－1)x＋m2－2＝0的两个实根一个小于－1，另一个大于1，那么实数m的取值范围是( )A.(－2，2)B.(－2，0)C.(－2，1)D.(0，1)答案 D解析由题意，构建函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋m2－2，∵两个实根一个小于－1，另一个大于1， ∴f (－1)<0，f (1)<0， ∴0<m <1. 5.原命题为“若a n ＋a n ＋12<a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( ) A.真、真、真 B.假、假、真 C.真、真、假 D.假、假、假答案 A解析 从原命题、逆命题的真假入手，a n ＋a n ＋12<a n ⇔a n ＋1<a n ⇔{a n }为递减数列，即原命题、逆命题都为真命题，则其逆否命题、否命题也为真命题. 6.给出下列四个命题：①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④ 答案 D解析 根据面面垂直的判定定理可知②是真命题；根据面面垂直的性质定理“若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线必垂直于另一个平面”，可知④是真命题. 二、填空题7.命题：“若|x |＝1，则x ＝1”的否命题为______________________________. 答案 若|x |≠1，则x ≠18.已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是_____. 答案 [1，2]解析 由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立.∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2，∴1≤m ≤2.9.下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②若一个四边形对角互补，则它内接于圆； ③正方形的四条边相等；④圆内接四边形对角互补； ⑤对角不互补的四边形不内接于圆；⑥若一个四边形的四条边相等，则它是正方形.其中互为逆命题的有_______；互为否命题的有_______；互为逆否命题的有_______. 答案 ②和④，③和⑥ ①和⑥，②和⑤ ①和③，④和⑤解析 命题③可改写为“若一个四边形是正方形，则它的四条边相等”；命题④可改写为“若一个四边形是圆内接四边形，则它的对角互补”；命题⑤可改写为“若一个四边形的对角不互补，则它不内接于圆”，再依据四种命题间的关系便不难判断. 10.给出下面3个命题：①函数y ＝tan x 在第一象限是增函数； ②奇函数的图象一定过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题. 其中真命题的序号是________. 答案 ③解析 ①举反例：x ＝2π＋π6或π4，tan(2π＋π6)＝33，tan π4＝1，因为2π＋π6>π4，tan(2π＋π6)<tan π4，所以原命题为假命题；②例如y ＝1x 是奇函数但不过原点；③“若0<log a b <1，则a >b >1”的逆命题为“若a >b >1，则0<log a b <1”是真命题，因为a >b >1，所以1＝log a a >log a b >log a 1＝0，即0<log a b <1. 三、解答题11.已知命题P ：lg(x 2－2x －2)≥0，命题Q ：1－x ＋x 24<1，若命题P 、Q 至少有一个是真命题，求实数x 的取值范围.解 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1， 解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24<1，得x 2－4x <0，解得0<x <4.若命题P 、Q 至少有一个是真命题，则有以下三种情形： ①P 真Q 假；②P 假Q 真；③P 真Q 真.当P 真Q 假时，有⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3，x ≤0或x ≥4.解得x ≤－1或x ≥4.当P 假Q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <3，0<x <4，解得0<x <3.11 / 11 当P 真Q 真时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1或x ≥3，0<x <4，解得3≤x <4.综上，满足条件的实数x 的取值范围为以上三种情况的并集，即(－∞，－1]∪(0，＋∞).12.判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假.解 方法一 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4>0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真.方法二 (利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0无实根，则b >－1”.方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b <0，所以b >0，所以b >－1成立，即原命题的逆否命题为真.13.已知：在△ABC 中，∠BAC >90°，D 是BC 边的中点，如图所示.求证：AD<12BC . 证明 假设AD ≥12BC . (1)若AD ＝12BC ，由平面几何中“若三角形一边上的中线等于该边长的一半，则这条边所对的角为直角”，知∠BAC ＝90°，与题设矛盾.∴AD ≠12BC . (2)若AD >12BC ，由题意知BD ＝DC ＝12BC ， ∴在△ABD 中，AD >BD ，从而∠B >∠BAD ；同理∠C >∠CAD .∴∠B ＋∠C >∠BAD ＋∠CAD ，即∠B ＋∠C >∠BAC .∵∠B ＋∠C ＝180°－∠BAC ，∴180°－∠BAC >∠BAC ，则∠BAC <90°，与题设矛盾. 由(1)(2)知AD <12BC .。

1．1.2四种命题1．1.3四种命题间的相互关系【课标要求】1．了解四种命题的概念，会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．2．认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系．3．会利用命题的等价性解决问题．【核心扫描】1．结合命题真假的判定，考查四种命题的结构．(重点)2．掌握四种命题之间的相互关系．(重点)3．等价命题的应用．(难点)自学导引1．四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫原命题，另一个叫做原命题的逆命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”．(2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”则否命题为“若綈p，则綈q”．(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题．也就是说，若原命题为“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q，则綈p”．想一想：任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题吗？提示任何一个命题的结构都包含条件和结论，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题，因而任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．2．四种命题的相互关系3．四种命题的真假性(1)四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况.逆命题否命题逆否命题真真真假假真真真假(2)①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．想一想：在四种命题中，真命题的个数可能会有几种情况？提示因为原命题与逆否命题，逆命题和否命题互为逆否命题，它们同真同假，所以真命题的个数可能为0,2,4.名师点睛1．四种命题一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用綈p和綈q分别表示p与q的否定，则四种命题的形式可表示为：原命题：若p，则q；逆命题：若q，则p；否命题：若綈p，则綈q；逆否命题：若綈q，则綈p.(1)关于四种命题也可叙述为：①交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的逆命题；②同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原命题的否命题；③交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题．(2)已知原命题，写出它的其他三种命题，首先将原命题写成“若p，则q”的形式，然后找出条件和结论，再根据定义写出其他命题，对于含有大前提的命题，在改写时大前提不动．如“已知a，b为正数，若a>b，则|a|>|b|”中，“已知a，b为正数”在四种命题中是相同的大前提，写其他命题时都把它作为大前提．2．四种命题的真假关系原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真；原命题的逆命题为真，它的否命题一定为真．3．四种命题的等价关系的应用判断某个命题的真假，如果直接判断不易，可转化为判断它的逆否命题的真假，如带有否定词的命题真假的判断．因此，证明某一问题时，若直接证明不容易入手，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题.题型一四种命题之间的转换【例1】写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路探索]可先分清命题的条件和结论，写成“若p，则q”的形式，再写出逆命题、否命题和逆否命题．解(1)逆命题：如果直线垂直于平面，那么直线垂直于平面内的两条相交直线；否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么直线不垂直于平面；逆否命题：如果直线不垂直于平面，那么直线不垂直于平面内的两条相交直线．(2)逆命题：如果x>0，那么x>10；否命题：如果x≤10，那么x≤0；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10.(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2；否命题：如果x≠2，那么x2＋x－6≠0；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2.规律方法(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当的添加一些词语，但不能改变条件和结论．【变式1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．解(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0.否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0.题型二四种命题真假的判断【例2】有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．[思路探索]可先逐一分清两个命题的条件和结论，再利用有关知识判断真假．解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②“若a2≤b2，则a≤b”，取a＝0，b＝－1，a2≤b2，但a>b，故是假命题．③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”是假命题．答案 1规律方法要判断四种命题的真假：首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．【变式2】下列命题中是真命题的是()．A．命题“若0<log a b<1，则0<a<1<b”的逆命题B．命题“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．命题“当x＝2时，x2－3x＋2＝0”的否命题D．命题“相似三角形的对应角相等”的逆否命题解析对于A，逆命题为“若0<a<1<b，则0<log a b<1”，由对数函数图象得，当0<a<1<b 时，log a b<0，∴A为假；B项，逆命题是“若b2＝9，则b＝3”，它未必成立，因为b可能等于－3，所以B为假；C项，否命题是“当x≠2时，x2－3x＋2≠0”，因为x＝1时也可以使x2－3x＋2＝0成立，所以为假；D项，逆否命题是“两个三角形对应角不相等，则这两个三角形不相似”，因为原命题与逆命题同真假，且原命题为真，所以逆否命题为真，故选D.答案 D题型三等价命题的应用【例3】(12分)判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，则a≥1”的逆否命题的真假．审题指导本题的命题意图是考查逆否命题的应用．由于原命题与它的逆否命题同真同假，所以可写出原命题的逆否命题，再判断其真假，或者由判断原命题的真假得出逆否命题的真假．[规范解答] 法一 原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a <1，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．真假判断如下： 3分∵抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7， 6分 若a <1，则4a －7<0.即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴无交点. 9分 所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集为空集．故原命题的逆否命题为真. 12分 法二 先判断原命题的真假．因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，所以Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0， 4分 即4a －7≥0，解得a ≥74. 8分 因为a ≥74，所以a ≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价，所以逆否命题为真．12分【题后反思】 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．【变式3】 判断命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题的真假． 解 ∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0.∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．方法技巧 反证法的应用1．反证法的理论基础：反证法就是证明结论的反面不成立，从而证明原结论成立．由于互为逆否命题的两个命题具有等价性，从逻辑角度看，原命题为真，则它的逆否命题也为真．在直接证明原命题有困难时，就可转化为证明它的逆否命题成立．2．反证法的思想方法：命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若非q ，则非p ”，假设q 不成立，即非q 成立，由此进行推理，则非p 一定成立，这与p 成立矛盾，那么就说明“假设q 不成立”为假，从而可以导出“若p ，则q ”为真，达到论证的目的，这就是反证法的思想方法．3．反证法证明命题的步骤：(1)反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的否定成立；(2)归谬：从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(3)说明：由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．否定结论是反证法的第一步，它的正确与否，对于反证法有直接影响．【示例】 若a 2＋b 2＝c 2，求证：a ，b ，c 不可能都是奇数．[思路分析]可以证明原命题的逆否命题为真命题，也可以运用反证法．证明 法一 依题意，就是证明命题“若a 2＋b 2＝c 2，则a ，b ，c 不可能都是奇数”为真命题．为此，只需证明其逆否命题“若a ，b ，c 都是奇数，则a 2＋b 2≠c 2.”为真命题即可．∵a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．于是a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a2＋b 2≠c 2.∴原命题的逆否命题为真命题，所以原命题成立．法二 假设a ，b ，c 都是奇数，则a 2，b 2，c 2都是奇数．得a 2＋b 2为偶数，而c 2为奇数，即a 2＋b 2≠c 2，与a 2＋b 2＝c 2矛盾．所以假设不成立，从而原命题成立．方法点评上述两种证明方法的本质是一致的，只是叙述的格式不同罢了，而以什么方式表达某一数学事实，这仅是阐述理由的外在表现形式，绝不影响数学事实的本质特点．两种方法相比较，反证法更具有“程式化”特点．注意含有否定词的命题常用反证法证明.。

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人教A版高中数学选修1-1 1.1.2四种命题真假关系共19张PP
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例 4 、 判 断 命 题 ： 若 m > 0 ， 则 x2+ x - m = 0 有 实 根 。 的 逆 否 命 题 的 真 假 。
此 命 题 是 真 命 题 。
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例2 设原命题是：当c>0时，若a>b，则ac>bc. 写出它的 逆命题、否命题、逆否命题。并分别判断它们的真假。
分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。
原命题的条件是“a>b”，结论是“ac>bc”。
解：逆命题：当c>0时，若ac>bc, 则a>b.
解：逆命题：若m+n≤0，则m≤0或n≤0。 否命题：若m>0且n>0, 则m+n>0. 逆否命题：若m+n>0, 则m>0且n>0.
根据命题的等价关系： 原命题：若m≤0或n≤0，则m+n≤0
（真） （真） （假）
（假）
分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且” “或”的 否定为“或” “且”。
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1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 民们最 朴素的 方位标 识.

1．1.2 & 1.1.3 四种命题四种命题间的相互关系观察下列四个命题：(1)若一个四边形的两条对角线相等，则这个四边形是矩形．(2)若一个四边形是矩形，则其两对角线相等．(3)若一个四边形两条对角线不相等，则这个四边形不是矩形．(4)若一个四边形不是矩形，则其两对角线不相等．问题：命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？提示：命题(1)的条件是命题(2)的结论，且命题(1)的结论是命题(2)的条件；对于命题(1)和(3)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定；对于命题(1)和(4)，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定．1．四种命题2．四种命题之间的关系3．四种命题的真假性之间的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．1．写四种命题时，一定要先找出原命题的条件和结论，再根据条件和结论的变化分别得到逆命题、否命题、逆否命题．2．互为逆否命题的两个命题真假性相同．[例1](1)如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于平面；(2)如果x>10，那么x>0；(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.[思路点拨]首先把命题写成“若p，则q”的形式，再按四种命题之间的关系写出逆命题、否命题和逆否命题．[精解详析] (1)逆命题：如果一条直线垂直于平面，那么这条直线垂直于平面内的两条相交直线，否命题：如果直线不垂直于平面内的两条相交直线，那么这条直线不垂直于平面； 逆否命题：如果一条直线不垂直于平面，那么这条直线不垂直于平面内的两条相交直线． (2)逆命题：如果x >0，那么x >10； 否命题：如果x ≤10，那么x ≤0； 逆否命题：如果x ≤0，那么x ≤10. (3)逆命题：如果x 2＋x －6＝0，那么x ＝2； 否命题：如果x ≠2，那么x 2＋x －6≠0； 逆否命题：如果x 2＋x －6≠0，那么x ≠2. [一点通](1)要实现四种命题的转化首先找出原命题的条件和结论，然后利用四种命题的条件、结论之间的关系进行转化即可．(2)如果原命题含有大前提，在写原命题的逆命题、否命题、逆否命题时，必须注意各命题中的大前提不变．1．(2012·湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知C 正确．答案：C2．写出命题“若a>1，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数”的逆命题、否命题和逆否命题．解：逆命题：若函数y＝log a x在(0，＋∞)上是增函数，则a>1.否命题：若a≤1，则函数y＝log a x在(0，＋∞)上不是增函数．逆否命题：若函数y＝log a x在(0，＋∞)上不是增函数，则a≤1.[例2](1)垂直于同一个平面的两直线平行．(2)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0.[思路点拨]写出命题的条件、结论→写出四种命题→判断命题的真假[精解详析](1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面；假命题．否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行；假命题．逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面；真命题．(2)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0；假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根；假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0；真命题．(3)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0；真命题．否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0；真命题．逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0；真命题．[一点通]要判断四种命题的真假，首先要熟练掌握四种命题的相互关系，以及它们的真假性之间的关系；其次利用相关知识判断真假时，一定要熟练掌握有关知识．3．有下列四个命题：(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；(2)“若x>y，则x2<y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；(4)“等边三角形有两边相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：4．写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)在△ABC中，若a>b，则A>B；(2)相等的两个角的正弦值相等；(3)若x2－2x－3＝0，则x＝3；(4)若x∈A，则x∈A∩B.解：(1)逆命题：在△ABC 中，若A >B ，则a >b ；真命题． 否命题：在△ABC 中，若a ≤b ，则A ≤B ；真命题． 逆否命题：在△ABC 中，若A ≤B ，则a ≤b ；真命题．(2) 逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等；假命题． 否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等；假命题． 逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等；真命题． (3)逆命题：若x ＝3，则x 2－2x －3＝0；真命题． 否命题：若x 2－2x －3≠0，则x ≠3；真命题． 逆否命题：若x ≠3，则x 2－2x －3≠0；假命题． (4)逆命题：若x ∈A ∩B ，则x ∈A ；真命题． 否命题：若x ∉A ，则x ∉A ∩B ；真命题． 逆否命题：若x ∉A ∩B ，则x ∉A ；假命题.[例3] [思路点拨] 解答本题可以直接进行逻辑推理判断；可以从逆否命题直接判断；也可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断．[精解详析] 法一：∵m >0，∴12m >0，∴12m ＋4>0. ∴方程x 2＋2x －3m ＝0的判别式Δ＝12m ＋4>0.∴原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”为真．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题也为真．法二：原命题“若m >0，则方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根”的逆否命题为“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”．方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根， ∴Δ＝4＋12m <0.∴m <－13≤0.∴“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． 法三：p ：m >0，q ：方程x 2＋2x －3m ＝0有实数根； 綈p ：m ≤0，綈q ：方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根． 綈p ：A ＝{m |m ≤0}，綈q ：B ＝{m |方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根} ＝{m |m <－13}．∴B ⊆A ，∴“若綈q ，则綈p ”为真，即“若方程x 2＋2x －3m ＝0无实数根，则m ≤0”为真． [一点通](1)原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．(2)命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关集合、不等式及二次方程的综合题．这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且要有一定的分析推理能力．5．把本例命题改换成“已知a ，x 为实数，若关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集，则a <2”，判断其逆否命题的真假．解：法一：原命题的逆否命题：已知a ，x 为实数，若a ≥2，则关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集．判断真假如下：抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2开口向上， 判别式Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7. ∵a ≥2，∴4a －7>0，即抛物线y ＝x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2与x 轴有交点，所以关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．法二：判断原命题的真假：因为a ，x 为实数，且关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集是空集， ∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)＝4a －7<0，∴a <74，∴a <2，∴原命题为真命题．因为原命题和逆否命题等价，故逆否命题为真命题．6．已知a ，b ，c ∈R ，证明：若a ＋b ＋c <1，则a ，b ，c 中至少有一个小于13.证明：原命题的逆否命题为：已知a ，b ，c ∈R ，若a ，b ，c 都大于或等于13，则a ＋b＋c ≥1.由条件a ≥13，b ≥13，c ≥13，得a ＋b ＋c ≥1.显然逆否命题为真命题． 所以原命题也为真命题．即已知a ，b ，c ∈R ，若a ＋b ＋c <1， 则a ，b ，c 中至少有一个小于13.1．写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p 和结论q ；(2)写出条件p 的否定綈p 和结论q 的否定綈q ； (3)按照四种命题的结构写出所有命题．2．一般地，四种命题之间的真假性，有且仅有下面四种情况：1．若命题p的逆命题是q，q的逆否命题是r，则命题r是命题p的() A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．等价命题解析：根据四种命题之间的关系可知命题r是命题p的否命题．答案：B2．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是()A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D ．若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1解析：根据原命题与逆否命题之间的关系可知D 正确．答案：D3．命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4解析：原命题“若a >b ，则ac 2>bc 2(a ，b ，c ∈R)”为假命题；逆命题“若ac 2>bc 2，则a >b (a ，b ，c ∈R)”为真命题；否命题“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2(a ，b ，c ∈R)”为真命题；逆否命题“若ac 2≤bc 2，则a ≤b (a ，b ，c ∈R)”为假命题．答案：B4．有下列命题：①“若x 2＋y 2＝0，则x ，y 全是0”的否命题；②“全等三角形是相似三角形”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集是R ”的逆命题；④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①④解析：①否命题为“若x 2＋y 2≠0，则x ，y 不全是0”，为真．②否命题为“不全等的三角形不相似”，为假．③逆命题为“若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3>0的解集为R ，则m ≥1”．∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ<0，即m >1. ∴其逆命题是假命题．④原命题为真，逆否命题也为真．答案：D5．命题“对顶角相等”与它的逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数是________，假命题的个数是________．解析：原命题“对顶角相等”是真命题，逆命题“如果两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，所以否命题是假命题，逆否命题是真命题．答案：2 26．已知命题“若m －1<x <m ＋1，则1<x <2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________．解析：由已知得，若1<x <2成立，则m －1<x <m ＋1也成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧m －1≤1，m ＋1≥2.∴1≤m ≤2. 答案：[1,2]7．写出命题“如果|x －2|＋(y －1)2＝0，则x ＝2且y ＝1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．解：逆命题：如果x ＝2且y ＝1，则|x －2|＋(y －1)2＝0；真命题．否命题：如果|x －2|＋(y －1)2≠0，则x ≠2或y ≠1；真命题．逆否命题：如果x ≠2或y ≠1，则|x －2|＋(y －1)2≠0；真命题．8．证明：已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R ，若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ≥0.证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，a ，b ∈R.若a ＋b <0，则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )”．∵a ＋b <0，∴a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )，即逆否命题为真命题．∴原命题为真命题．法二：假设a ＋b <0，则a <－b ，b <－a .又∵f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，∴f (a )<f (－b )，f (b )<f (－a )．∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )．这与已知条件f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )相矛盾．所以假设不成立，故a ＋b ≥0.。