线性代数论文(矩阵在自己专业中的应用及举例)

线数考研第一章 前 言 (1)第二章 几种矩阵的判定和应用 (2)2.1逆矩阵 (2)2.1.1n 阶矩阵可逆的定义 (2)2.1.2逆矩阵的性质 (2)2.1.3矩阵可逆的条件 (2)2.1.4求逆矩阵的方法 (2)2.1.5求逆矩阵的例子 (3)2.2伴随矩阵 (6)2.2.1伴随矩阵的定义 (6)2.2.2伴随矩阵的性质 (6)2.2.3有关伴随矩阵的例子 (6)2.3对角矩阵 (7)2.3.1可对角化矩阵的定义 (7)2.3.2对角化矩阵判定条件和方法 (7)2.3.3有关可对角化矩阵的例子 (8)2.4正交矩阵 (12)2.4.1正交矩阵的定义 (12)2.4.2正交矩阵的性质 (12)2.4.3正交矩阵的例子 (12)2.5实对称矩阵 (14)2.5.1实对称矩阵的定义 (14)2.5.2实对称矩阵的性质 (14)2.5.3实对称矩阵()nn ij a A ⨯=正交相似于对角矩阵的计算方法： ............ 14 2.5.4有关实对称矩阵的例子 (14)2.6正定矩阵 (17)2.6.1正定矩阵的定义 (17)2.6.2正定矩阵的判定条件 (17)2.6.3正定矩阵的性质 (17)2.6.4正定矩阵的判定方法 (17)2.6.5有关正定矩阵的例题 (18)第三章 矩阵与矩阵之间的关系和应用 (22)3.1矩阵合同 (22)3.1.1合同矩阵的定义 (22)3.1.2合同矩阵的性质和有关结论 (22)3.1.3矩阵合同的判定和证明 (22)3.1.4有关合同矩阵的例题 (22)3.2矩阵相似 (25)3.2.1相似矩阵的定义 (25)3.2.2相似矩阵的性质 (25)3.2.3相似矩阵的判定方法 (25)3.2.4有关相似矩阵的例子 (25)3.3矩阵等价 (27)3.3.1矩阵等价的定义 (27)3.3.2矩阵等价的定理和性质 (27)3.3.3有关矩阵等价的例子 (27)结束语 ..................................................................... 30 致谢 ....................................................... 错误！未定义书签。

关于矩阵和行列式线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是：行列式 矩阵 空间向量和线性方程组。

矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。

利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。

矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。

行列式与矩阵的本质区别在于它们的定义。

行列式是一种特殊的算式,它是根据求解方程组个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的，经计算能算出其数值，而矩阵只是一个数表，无法通过计算求得其值；而且两者的表示方法也不同。

如下例：4321表示的是一个2阶行列式；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321则表示是一个2×2的矩阵。

而且4321可以通过计算求得其值为-2；而⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321只能表示一个数表，不能求出值。

行列式的行数和列数必须是相等的；而矩阵的行数和列数可以相等也可以不相等。

由n 2个数组成的n 行n 列行列式为n 阶行列式；由m 行n 列组成的数表为m ×n 矩阵。

只有行数和列数相等的矩阵即方阵才能计算其行列式。

如：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531 是一个3×4的矩阵；而620816732531这样的行列式是不存在的，因此⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛620816732531无法求其行列式。

而且行列式和矩阵的性质和运算法则也不同。

如下：（1）记D=nnn n nn a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212222111211，D T =nnn nn n a a a a a a a a a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯212221212111，则称D T 为D 的转置行列式，并有D= D T ，行列式中行与列具有同等的地位，因此，行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立；同样的矩阵A 的转置矩阵A T 是指把矩阵A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，即记A=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，则A T =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯nn n n n a a a a a a a a a 2n 12221212111，但有（A T ）T=A 。

矩阵的应用及案例矩阵是数学中一种重要的数据结构，它的使用不仅可以方便我们分析和解决数学问题，而且在现实应用中也得到了广泛的应用。

本文将介绍矩阵的应用及其实际案例。

首先，我们来看一下矩阵的一般定义。

一个矩阵是由m行n列的实数组成的数学表示，用来表示常量或连续变量的特殊容器，可以用来描述数据的多维关系，也可以用来解决多元函数和多元方程组等数学问题。

矩阵在现实生活中，也有着广泛的应用。

比如，矩阵可以用来解决运输问题，它可以解决产品在运输过程中的最优选择问题；矩阵也可以用来求解复杂的统计问题，比如计算各类投资的最优组合，从而有效提高投资回报；矩阵还可以用来解决线路规划问题，比如求解最短路径、最优路线等。

此外，矩阵也可以应用于许多其它领域，比如机器学习中的支持向量机（SVM）、神经网络建模和图像处理等。

因此，我们可以看到矩阵在很多领域得到了广泛的应用。

让我们看看一些现实的案例，以更具体的方式来了解矩阵的应用。

比如，在金融领域，矩阵可以用来计算定价，比如期权定价和资产定价，也可以用来计算风险、收益投资组合等；在基因组学中，矩阵可以用来分析基因的表达模式、比较基因家族信息，以及追踪变异基因的演化轨迹等；在信息分析领域，矩阵可以用来提取特征、估计参数和建立模型，也可以用来进行文档类别划分等。

从以上的案例可以看出，矩阵可以用来解决很多现实问题，在许多领域得到了广泛的应用。

然而，在有些情况下，使用矩阵可能会遇到一些问题，比如矩阵求解非常耗费计算资源，或者在处理非线性函数和方程时，可能不能得到最优解等。

总之，矩阵在很多领域都有很多应用，可以解决很多实际问题，但也要考虑到它可能带来的一些问题，以便更好地应用它。

以上就是有关矩阵的应用及其实际的案例。

希望本文能够给读者介绍矩阵的应用及实际案例，从而使读者更加深入地了解矩阵的应用。

线性代数中矩阵理论的应用研究王永静【摘要】线性代数作为一种领域性学科，其研究方向为线性空间及方程组等，具有空间性、实用性和工程性等优点，其预算优势可扩展到无限维度空间.其中矩阵理论作为线性代数中的重要组成部分之一，其在工科领域、技术领域、自然科学领域中被广泛应用.本文对线性代数进行介绍，并分析线性代数的矩阵理论在量纲分析法中的应用，在生物成长动态趋势预期分析中的应用.【关键词】线性代数;矩阵理论;应用研究当前科研水平的不断提升使数学科学领域迅速发展起来.矩阵理论作为线性代数的重要组成部分，其理论内容以线性空间、线性变换、特征向量、矩阵、内机空间为主，在对理论进行研究时，在研究领域的不断扩展下，使其理论性地位得到提升.当前在高端性科研领域中矩阵理论的运算效果具有明显优势，通过维度空间性算法，可使其在数学、物理学、密码学、计算机图形學等学科领域中被广泛应用.一、线性代数定义线性代数的主要研究对象是线性空间、线性变换、有限维的线性方程组等，在泛函分析、抽象代数等被广泛应用，在对其进行解析时以几何解析的方式可使其被完整地表现出来.线性代数中的线性在数学学科中可从一阶导数作为常数函数的层面进行认知，其主要是指函数量和函数量之间的直线比例关系.线性代数理论是数学家对二维直角坐标系和三维直角坐标系的研究，在科学技术的不断突破下，其研究范围已经扩展到无限维度空间.当前线性代数具有空间性、实用性和工程性，空间性是指立体化运算，由量到点，从点到线，以线构面，可在维度空间中进行运算，例如，空间性投影、线性转换等，其转换方式已经脱离传统的符号转换范畴，以线性量之间的转换方式完成其维度空间的运算.实用性是指其应用领域较广，可对基本方程式进行预算，并可通过相应函数量计算物体在空间维度的量值大小，也可对系统力学、电力导向结构等进行维度分析，甚至可对经济均衡形式进行运算.工程化是指对问题进行求解时，可将实际场景和数据场景进行转换，将事物进行数据映射，将问题进行数据化，以运算的方式解决问题，目前此种方式对问题进行解决的理论有高斯消元、奇异值分解和克拉默法则，这些理论与线性代数的本体差异在于功能性表现.二、线性代数的矩阵理论在量纲分析法中的应用量纲分析法作为研究自然科学的分析方式，其在对事物进行分析时，以量为基准，通过寻求量存在的原因与形式，对事物进行数据分析，并找出与事物相关联数量之间的联系.科学家通过量纲分析可对物理学规律现象的方程式计算进行核对，并可对物理现象的预期发展规律进行探索.量纲分析中对物理学中的力学量具有特定的方程公式，质量的量纲式为M、长度的量纲式为L、时间的量纲式为T、速度的量纲式为LT-1、加速度的量纲式为LT-2、力学量纲式为MLT-2、角度量纲式为1（M0L0T0）等，其中基本量为时间、质量和长度，其他为导出量.其量与量之间在相等的情况下，一般遵循一致性原则，通过量性相等的原则可建立相应的线性方程式，并以矩阵理论对其中量的变化进行解决.例如，在进行勾股定理证明时，可将直角三角形的斜边边长设置为q，直角边边长分别设置为o和p，设面积为Z，研究两个锐角ε、η与q之间的变量关系.可得出f（Z，q，ε，η）=0，其上述公式具有四个纲量，其中q，ε，η为基本纲量、Z为无纲量，可将量进行量纲矩阵列表，其中列数代表变量型量纲数据.qεηZM1002N0000K0000由矩阵可得出其解线性方程为：100000000y11y21y31=200，可得出y11=2，y21=0，y31=0，可得出关系等式为Z=μq2，μ为确定值，属于无量纲量，依据等式可得出直角三角形的Z与q2成正比.在此基础上，可将直角三角形的斜边设置一个垂直高，将其分成两个相似直角三角形，将两个相似直角三角形的面积分别设置为Z1和Z2，此时直角三角形Z的两个直角边o和p，作为Z1和Z2的斜边，通过相似原理可得出Z1=μo2，Z2=μp2，通过Z=Z1+Z2，可得出μq2=μo2+μp2，进而可推导出q2=o2+p2.当前量纲分析作为一种运算法则，科学家在进行实验运算时，一般以事物价值为衡量标准，当实验价值较高，研究人员一般以运算为主，并对情况进行假设，对事物的发生进行预判，在模型建立下，以实际效果为导向，对假设模型进行最优化选取.三、线性代数的矩阵理论在生物成长动态趋势预期分析中的应用生物种群在发展过程中，如未受到环境的制约和外力性损坏，其动态发展将具备一定的规律.在对规律进行臆测时，可由矩阵方程、矩阵对角、矩阵乘法等知识，可对其进行数学计算，得出矩阵高次幂，以其结果对预期发展状况进行判断，使结果数据化，并可对种群的增长情况进行模拟.当对种群进行研究时，可对其繁衍主体雌性动物进行分析，将雌性动物生长年限设为M，在[0，M]之间可设置相应的年龄组为m，由此可得出其中第a组年龄段为a-1mM，amM，种群在繁衍过程中，存在生育率（平均生育量）和存活率（a阶段到a+1阶段的种群存活的数目与a阶段的种群总体数目相比），设a组年龄段的生育率为ra，存活概率为ha，将种群年龄分布设为：Y（0）=（y（0）1y（0）2y（3）3…y（0）m）T，取tv=vmM，v=1，2，3，…由上述公式可得出Y（v）=（y（v）1y（v）2y（v）3…y（v）m）T.经过时间的不断推移，动物种群的年龄段数目也在不断变化，以平衡原则为主，其年龄段也在改变，上一阶段的幼体成长为本阶段的具有繁殖能力的动物成体，即tv年龄组中的繁殖性动物等于tv-1到tv各年龄段中幼体数目之和，由此可得出公式Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，通過y（v）a+1=qay（v-1）a，a=1，2，3，…，m-1可得出Y（v）1=p1y（v-1）1+p2y（v-1）2+p3y（v-1）3+…+pmy（v-1）m，Y（v）2=q1y（v-1）1，Y（v）3=q2y（v-1）2，……Y（v）m=qm-1yv-1m-1，其矩阵乘积为Y（v）=AY（v-1），v=1，2，3，…，m-1，矩阵系数是：A=p1p2…pm-1pmq10…000q2…0000…qm-10 .由此可知，Y（v）=A（v）y（0），v=1，2，3，…m-1，由上述公式可知动物种群年龄分布的初始时刻，其在tv阶段种群量值的分布为Y（v）.此时将M取值为30，并对其进行年龄分组，[0，10]，[11，20]，[21，30]，种群在[0，10]的生育率为0，[11，20]的生育率为4，[21，30]的生育率为3;种群存活率[0，10]阶段为0.5，[11，20]阶段为0.25，[21，30]阶段为0.在三个阶段的雌性数量为2000，2000，4000，求出10年后的种群数量，可得出Y（0）=200020004000，A=0430.50000.250，可得出：A2=20.750021.50.12500，进而推导出Y（2）=20.750021.50.12500200020004000=550010000500 .经过上述公式可对10年后的种群数量进行预算，[0，10]，[11，20]，[21，30]年龄段的数量分别为5500，10000，500.当种群数量的年龄组m趋于无限大时，可对Am进行求解，以可对角化矩阵，在有限的空间维度，进行向量转换，使其具备可对角化的线性映射，在对m→∞进行极限讲解，进而可对种群的总个数进行趋势预判.因此，在对种群数量进行预测时，以科学的计算方法为引导，可对其发展趋势进行严谨性运算，有利于提升对生物领域的认知程度. 三、结语综上所述，本文对线性代数进行介绍，以空间性、实用性和工程性三方面阐述其结构优势.线性代数作为数学领域中的一门学科，其对线性关系可进行空间性算法，在科学技术的不断提升下，使其算法向无限维度层面拓展，有效扩大线性代数的应用范围.矩阵理论通过线性变换、特征向量、矩阵等运算方法，以数据为基准，可将问题进行简化，并对问题的发展通过数据的表现进行预期判断，有效提升运算的科学性和精准性.【参考文献】[1]李东升.简述在线性代数教学中培养学生数学思维意识的一些思考[J].现代交际，2018（16）：158-159.[2]白阿拉坦高娃.《线性代数》教学中矩阵理论在图像处理中的应用[J].科技创新导报，2017（1）：211，213.[3]马中华.卓越师资班线性代数课程矩阵乘法教学方法研究[J].高师理科学刊，2016（7）：66-69.[4]徐薇薇.矩阵的秩在线性代数中的应用[J].民营科技，2015（2）：259，18. -全文完-。

矩阵在线性代数中的应用案例探讨作者：刘昱岑来源：《赢未来》2018年第05期摘要：近年来，随着信息科技的不断发展，社会经济发展速度越来越快，线性代数也开始在各个学科中被广泛应用，其中矩阵的应用领域也逐渐变得广泛。

线性代数一直以来都是数学学科学习中的重点和难点，高中阶段的数学学习，线性代数的学习还很简单。

本文主要是对矩阵在线性代数中的应用案例探讨。

关键词：矩阵；线性代数；应用分析一、线性代数的概念线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量、向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

在高中数学学习中，求解线性方程是重要的知识点，主要学习了线性代数的向量概念，向量也是線性代数中一个最基本的概念。

当前，线性代数在数学、物理学和技术学科中都发挥着重要的作用，可见线性代数对于强化知识技能，增益科学智能方面是非常有利的。

矩阵是在线性代数中比较具有研究价值且被研究次数最多的，矩阵能表现出一种规律，一种利用代数理论知识来表现的一种数表变化规律，并且经常利用数表来分析得到结论[1]。

二、矩阵在线性代数中的应用案例分析（一）线性方程组与向量首先，向量是解决线性方程组的一个有力武器。

向量是一个在解析几何和物理中都有的概念，但是在解析几何和物理中的向量概念是不一样的，而且利用向量处理线性方程组是非常有用的[2]。

线性代数中的向量与物理中学习到的向量是不同的。

线性代数中的向量有两个要素，一个是大小另一个是方向。

所以两个向量只要大小和方向一致，那么这两个向量就是相等的，所以向量中只有重合没有平行，不存在相反方向但是相等的向量。

因此，向量最基本的运算就是加法和减法两种。

比如，α-β=α+β这个向量的加法，就是将它们的各个分量分别相加。

另外，由于向量的加法符合平行四边形的运算法则。

所以运算的时候，可以把向量α 和向量β假设为一个平行四边形的两条边，这样向量α+β的计算就是那个平行四边形的对角线，平行四边形的对角线向量就是α+β所对应的向量。

论线性代数的应用实例线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。

向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。

线性代数的理论已被泛化为算子理论。

由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中。

线性代数是理工类、经管类数学课程的重要内容。

在日常学习、工作和生活中，有很多问题，运用线性代数的方法就可以使问题简化，以下举一些线性代数的应用实例。

一、药方配制问题问题：某中药厂用9种中草药（A-I），根据不同的比例配制成了7种特效药，各用量成分见表1（单位：克）已经卖完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。

（2）现在该医院想用这7种草药配制三种新的特效药，表2给出了三种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？解:(1)把每一种特效药看成一个九维列向量，分析7个列向量构成向量组的线性相关性。

若向量组线性无关，则无法配制脱销的特效药；若向量组线性相关，并且能找到不含3u，6u的一个最大线性无关组，则可以配制3号和6号药品。

可使用matlab软件进行运算：在Matlab窗口输入1 2 3 4 5 6 7[10;12;5;7;0;25;9;6;8];[2;0;3;9;1;5;4;5;2];[14;12;11;25;2;35;17;16;12]; [12;25;0;5;25;5;25;10;0]; [20;35;5;15;5;35;2;10;0]; [38;60;14;47;33;55;39;35;6]; [100;55;0;35;6;50;25;10;20];u u u u u u u =======1234567 [,,,,,,]u u u u u u u u =[0u ,r]=rref(u )计算结果为0u =10100000120030000101000001100000001⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭从矩阵中可以看出，有四个零行，r=1、2、4、5、7从最简行阶梯型0u 中可以看 出，R （u ）=5，向量组线性 相关，一个最大无关组为： 1u 2u 4u 5u 7u3u = 1u +22u 6u =32u +4u +5u故可以配制新药。

【精品】高代论文--矩阵在实际中的应用
矩阵是高等代数中的一个重要概念，它广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵在实际中的应用，包括图像处理、网络分析、量子力学等方面。

一、图像处理
图像处理是指对数字图像进行各种操作和变换的技术，其中大量的图像处理算法都基于矩阵运算。

例如，将一个彩色图像转换为黑白图像就是通过对图像的RGB三个通道进行矩阵变换
得到的。

再例如，图像匹配、图像拼接、图像增强等操作也可以使用矩阵运算实现。

二、网络分析
网络分析是指对一个复杂的系统进行分析和建模的技术，它广泛应用于社交网络、物流网络、金融网络等领域。

网络分析通常使用矩阵表示网络结构和节点之间的关系，其中最常用的矩阵是邻接矩阵和拉普拉斯矩阵。

邻接矩阵记录了网络节点之间的连接关系，而拉普拉斯矩阵则反映了网络中节点之间的相似度和差异度。

三、量子力学
量子力学是研究原子和分子的运动和相互作用的科学，其中矩阵在表达量子力学中的物理概念时具有重要作用。

例如，哈密顿矩阵用于描述粒子的能量和运动状态，而密度矩阵则用于描
述量子系统的统计特性。

矩阵的形式与操作方式不仅简化了量子力学的计算和分析过程，同时也能够更加清晰地表达量子力学的概念和结论。

综上所述，矩阵在实际中的应用非常广泛，不仅是一种数学工具，更是一种解决实际问题的有力手段。

在不同应用领域中，矩阵的作用也各有侧重，相互之间相互关联，互为补充。

浅谈矩阵的初等行变换在线性代数中的应用张亚龙(北京科技大学天津学院基础部㊀３０１８３０)摘㊀要:本文从矩阵的初等行变换出发ꎬ分别提出在矩阵㊁向量组㊁线性方程组㊁矩阵的特征向量㊁二次型中的一些应用ꎬ并呈现对应例题ꎬ加强学生对矩阵的初等行变换的理解与应用.关键词:初等行变换ꎻ矩阵ꎻ向量组ꎻ线性方程组中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２２)２１－００２９－０３收稿日期:２０２２－０４－２５作者简介:张亚龙(１９９２－)ꎬ男ꎬ硕士ꎬ助教ꎬ从事计算数学研究.㊀㊀目前ꎬ«线性代数»这门课程是理工科和经管类必开设的一门课程ꎬ主要内容包括行列式㊁矩阵㊁线性方程组㊁向量组㊁相似矩阵㊁二次型等.矩阵的初等行变换贯穿在整个线性代数的内容中ꎬ为了方便学生学习ꎬ下面归纳总结了关于矩阵初等行变换在线性代数中的应用.１矩阵中的应用１.１求矩阵的逆若矩阵Ａ可逆ꎬ则Ａ－１也可逆ꎬＡ－１可以表示成若干个初等矩阵的乘积ꎬ因此可由矩阵的初等行变换求Ａ－１ꎬ即(ＡꎬＥ)初等行变换ң(ＥꎬＡ－１)ꎬ我们将矩阵Ａ和单位矩阵Ｅ都做初等行变换ꎬ当矩阵Ａ化为单位矩阵Ｅ时ꎬ单位矩阵Ｅ就变成了Ａ－１.例１㊀求矩阵Ａ＝１－２０１２０２２１éëêêêùûúúú的逆.解㊀作一个３ˑ６的矩阵(ＡꎬＥ)ꎬ并对其做矩阵的初等行变换.(ＡꎬＥ)＝１－２０１００１２００１０２２１００１éëêêêùûúúúң１００１２１２００１０－１４１４０００１－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú＝(ＥꎬＡ－１).因此ꎬＡ－１＝１２１２０－１４１４０－１２－３２１éëêêêêêêêùûúúúúúúú.１.２求矩阵的秩矩阵秩的定义是非零子式的最高阶数ꎬ我们知道初等变换不改变矩阵的秩ꎬ对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵Ｂꎬ由行列式的性质可知ꎬ矩阵Ａ和矩阵Ｂ的非零子式最高阶数相同ꎬ所以矩阵Ａ与矩阵Ｂ的秩相等.例２㊀求矩阵Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúú的秩.解㊀对矩阵Ａ做初等行变换化为行阶梯形矩阵.９２Ａ＝１－１２１０１００１１２－２４２００３００１éëêêêêêùûúúúúúң１－１２１００１－２０１００６０－２０００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ因为矩阵Ｂ中有三个非零行ꎬ即Ｒ(Ｂ)＝３ꎬ所以Ｒ(Ａ)＝３.２在向量组中应用２.１求向量组的秩由于任何矩阵Ａꎬ它的行秩＝列秩＝Ｒ(Ａ)ꎬ因此我们只需将向量组中的向量均按列构成一个矩阵Ａꎬ向量组的秩就等于矩阵Ａ的秩.例３㊀求向量组α１＝(１ꎬ－２ꎬ２)ꎬα２＝(１ꎬ－４ꎬ０)ꎬα３＝(１ꎬ－２ꎬ２)的秩.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为阶梯形矩阵Ｂ.Ａ＝１１１－２－４－２２０２éëêêêùûúúúң１１１０－２００－２０éëêêêùûúúúң１１１０１００００éëêêêùûúúú＝Ｂꎬ得Ｒ(Ａ)＝Ｒ(Ｂ)＝２ꎬ又因为向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩等于矩阵Ａ的秩ꎬ即向量组α１ꎬα２ꎬα３的秩为２.２.２求向量组的极大无关组由于初等行变换不改变矩阵列向量的线性关系ꎬ因此可由初等行变换求解向量组的极大无关组.例４㊀求向量组α１＝(１ꎬ２ꎬ３ꎬ０)ꎬα２＝(－１ꎬ－２ꎬ０ꎬ３)ꎬα３＝(２ꎬ４ꎬ６ꎬ０)ꎬα４＝(１ꎬ－２ꎬ－１ꎬ０)的一个极大线性无关组.解㊀以αＴ１ꎬαＴ２ꎬαＴ３ꎬαＴ４为列向量构成矩阵Ａꎬ并对矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ把Ａ化为行最简形矩阵Ｂ.㊀Ａ＝１－１２１２－２４－２３０６－１０３００éëêêêêêùûúúúúúң１０２００１０００００１００００éëêêêêêùûúúúúú＝Ｂ非零行首非零元１所在的列作极大线性无关组ꎬ因此向量组α１ꎬα２ꎬα３ꎬα４的一个极大线性无关组为α１ꎬα２ꎬα４.３在线性方程组中的应用通过一系列的初等行变换ꎬ将系数矩阵或增广矩阵化为行最简形矩阵ꎬ判断方程组是否有解ꎬ有解的情况下ꎬ求出通解.３.１解齐次线性方程组例５㊀求解齐次线性方程组２ｘ１＋ｘ２－ｘ３＋３ｘ４＝０ｘ１＋２ｘ２＋３ｘ３＋ｘ４＝０３ｘ２＋７ｘ３－ｘ４＝０ｘ１－ｘ２－４ｘ３＋２ｘ４＝０ìîíïïïïïï解㊀对系数矩阵Ａ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵ꎬＡ＝２１－１３１２３１０３７－１１－１－４２éëêêêêêùûúúúúúң１２３１０１７３－１３００００００００éëêêêêêêùûúúúúúúң１０－５３５３０１７３－１３００００００００éëêêêêêêêùûúúúúúúú得同解方程组为ｘ１＝５３ｘ３－５３ｘ４ｘ２＝－７３ｘ３＋１３ｘ４ìîíïïïï其中ｘ３ꎬｘ４为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３ｘ４æèççöø÷÷依次取１０æèçöø÷ꎬ０１æèçöø÷ꎬ得基础解系η１＝５３－７３１０æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬη２＝－５３１３０１æèçççççççöø÷÷÷÷÷÷÷ꎬ所以齐次线性方程组的通解为ｃ１η１＋ｃ２η２ꎬ(ｃ１ꎬｃ２为任意常数).３.２解非齐次线性方程组例６㊀求非齐次线性方程组ｘ１＋ｘ２＝５２ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋２ｘ４＝１５ｘ１＋３ｘ２＋２ｘ３＋２ｘ４＝３ìîíïïïï的通解.解㊀对增广矩阵Ｂ进行初等行变换ꎬ化为行最简形矩阵.０３Ｂ＝１１００５２１１２１５３２２３éëêêêùûúúúң１０１２－４０１－１－２９０００－２－４éëêêêùûúúúң１０１０－８０１－１０１３０００１２éëêêêùûúúú可以得出系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩ꎬ并且小于未知量的个数ꎬ因此方程组有无数个解.即它的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３－８ｘ２＝ｘ３＋１３ｘ４＝２ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令自由未知量ｘ３＝０ꎬ得特解α０＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷.导出组的同解方程组为ｘ１＝－ｘ３ｘ２＝ｘ３ｘ４＝０ìîíïïïïꎬ其中ｘ３为自由未知量ꎬ令ｘ３＝１ꎬ得对应齐次线性方程组的基础解系η＝－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ所以线性方程组的通解为α０＋ｃη＝－８１３０２æèççççöø÷÷÷÷＋ｃ－１１１０æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ为任意常数.４在矩阵特征向量中的应用上面我们介绍了用初等行变换求解线性方程组ꎬ计算矩阵的特征向量就会涉及到解齐次线性方程组.例７㊀求矩阵Ａ＝２２－２２５－４－２－４５éëêêêùûúúú的特征向量.解㊀由Ａ－λＥ＝２－λ２－２２５－λ－４－２－４５－λ＝－(１－λ)２(λ－１０)＝０ꎬ得矩阵的特征值λ１＝１０ꎬλ２＝λ３＝１.当特征值λ１＝１０时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－１０Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－１０Ｅ＝－８２－２２－５－４－２－４５éëêêêùûúúúң２０１０１１０００éëêêêùûúúúң１０１２０１１０００éëêêêêêùûúúúúú得基础解系η１＝－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ１＝１０的全部特征向量为ｃ１－１２－１１æèççççöø÷÷÷÷ꎬ其中ｃ１为任意非零常数.当λ２＝λ３＝１时ꎬ解齐次线性方程组(Ａ－Ｅ)Ｘ＝０ꎬ即Ａ－Ｅ＝１２－２２４－４－２－４４éëêêêùûúúúң１２－２００００００éëêêêùûúúúꎬ其基础解系为η２＝－２１０æèçççöø÷÷÷ꎬη３＝２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ故Ａ的对应于特征值λ２＝λ３＝１的全部特征向量为ｃ２－２１０æèçççöø÷÷÷＋ｃ３２０１æèçççöø÷÷÷ꎬ其中ｃ２ꎬｃ３是不全为零的任意常数.㊀矩阵的初等行变换贯穿于整个线性代数章节中ꎬ熟练应用初等行变换是学好线性代数的基础ꎬ学生要在平时学习中ꎬ学会归纳总结ꎬ使每个知识点建立联系.参考文献:[１]同济大学数学系.工程数学线性代数[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１４.[２]郝秀梅ꎬ姜庆华.线性代数[Ｍ].北京:经济科学出版社ꎬ２０１７.[责任编辑:李㊀璟]１３。

上饶师范学院数学与计算机科学学院本科毕业论文论文题目：矩阵可对角化的充分必要条件专业：数学与应用数学班级：09数（3）学号：***************指导教师姓名：龚和林上饶师范学院数学与计算机科学学院2013年04 月摘要在高等代数中，方阵A可对角化当且仅当它可相似于对角矩阵，即存在一个可逆矩阵P,使APP1 是对角矩阵。

因为对角矩阵的特征值与特征向量是已知的，从而，对矩阵的对角化有积极的意义。

本文给出了矩阵四种可对角化的充分必要条件和相应的证明。

关键词方阵；特征值；特征向量；对角化2目录绪论.................................... 错误!未定义书签。

1 矩阵可对角化的概念 (5)1.1特征值、特征向量的概念 (5)1.2矩阵可对角化的概念 (6)2 矩阵可对角化的充分必要条件 (3)2.1利用特征向量判断矩阵可否对角化 (3)2.2 利用特征根的性质判断矩阵可否对角化 (4)2.3利用最小多项式判定矩阵可否对角化 (5)2.4 利用线性变换相关知识判断矩阵可否对角化 (5)3 矩阵可对角化的应用 (7)结论 (16)参考文献 (16)致谢 (17)34绪论矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。

而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。

研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。

相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。

矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。

人们对此研究得出了很多有用的结论。

诸如一些充要条件：n 阶方阵A 可以对角化的充要条件是它有n 个线性无关的特征向量；方阵A 可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A 可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。