2012高三数学一轮复习单元练习题：函数的单调性

江苏省扬州市数学高考一轮复习第五讲函数的单调性与最值姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共14题；共28分)1. （2分） (2017高三上·太原月考) 奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(8)＋f(5)的值为（）A . 2B . 1C . －1D . －22. （2分）如图，偶函数的图象形如字母M，奇函数的图象形如字母N，若方程：,,的实数根的个数分别为a、b、c、d，则a+b+c+d=（）A . 27B . 30C . 33D . 363. （2分）已知函数是上的奇函数，且当时，函数,若，则实数的取值范围是（）A .B .C . (1,2)D .4. （2分） (2016高一上·福州期中) 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）·（1）y=﹣|x|（x∈R）（2）y=﹣x3﹣x（x∈R）（3）y=（）x（x∈R）（4）y=﹣x+ ．A . （2）B . （1）（3）C . （4）D . （2）（4）5. （2分） (2019高一上·汤原月考) 函数的单调递增区间为（）A . (- ， ]B . [ ,+ )C . (- ,1）D . （2,+ )6. （2分） (2018高一下·鹤壁期末) 已知函数，和，的图象的对称轴相同，则在上的单调递增区间是（）A .B .C .D .7. （2分）函数y＝x2－2x在区间[a，b]上的值域是[－1，3]，则点(a，b)的轨迹是图中的（）A . 线段AB和线段ADB . 线段AB和线段CDC . 线段AD和线段BCD . 线段AC和线段BD8. （2分） (2015高一下·普宁期中) 已知f（x）=lg（﹣ax）是一个奇函数，则实数a的值是（）A . 1B . ﹣1C . ±1D . 109. （2分） (2017高二下·河口期末) 函数的零点所在的区间是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（）.A .B .C .D .11. （2分）函数f(x)=log2(3x＋3−x)是（）A . 奇函数B . 偶函数C . 既是奇函数又是偶函数D . 非奇非偶函数12. （2分）对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”．若函数存在“和谐区间”，则a的取值范围是（）A .B .C .D .13. （2分） (2015高二下·周口期中) 函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是（）A .B .C .D . （π，2π）14. （2分）若函数f（x）= 在R上的单调递增，则实数a∈（）A . （1，+∞）B . （1，8）C . （4，8）D . [4，8）二、填空题 (共6题；共8分)15. （2分） (2019高三上·西藏月考) 函数在定义域上单调递增，则a的取值范围是________16. （1分） (2019高一下·蛟河月考) 设，则的最大值为________17. （1分） (2016高一上·常州期中) 已知函数f（x）= ．若f（a）=2，则a=________．18. （2分） (2016高一上·南京期中) 若函数f（x）=2x+3，函数g（x）= ，f（g（27））的值是________．19. （1分）已知函数f（x）= ，则f（f（4））=________，f（x）的最大值是________．20. （1分） (2016高一上·松原期中) 函数y=（）单调递增区间是________．三、解答题 (共4题；共40分)21. （10分） (2019高一上·镇原期中) 已知函数 .（1）求函数的单调区间；（2）求函数的值域.22. （10分） (2017高一上·巢湖期末) 设奇函数f（x）在区间[﹣7，﹣3]上是减函数且最大值为﹣5，函数g（x）= ，其中a＜．（1）判断并用定义法证明函数g（x）在（﹣2，+∞）上的单调性；（2）求函数F（x）=f（x）+g（x）在区间[3，7]上的最小值．23. （10分） (2019高三上·中山月考) 已知函数在上有最大值和最小值，设（为自然对数的底数）.（1）求的值；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.24. （10分） (2019高三上·佛山月考) 已知函数， .（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若对于任意的都有，使得，试求的取值范围.参考答案一、单选题 (共14题；共28分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、填空题 (共6题；共8分)15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、三、解答题 (共4题；共40分)21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、23-3、24-1、。

3.2导数与函数的单调性、极值1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．『梳理自测』一、函数的导数与单调性1．(教材改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0，2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增2．函数f(x)＝x2－2ln x的单调减区间是()A．(0，1)B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1，1)3．(教材改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．4．函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．『答案』1.A 2.A 3.(－1，11) 4.『－3，＋∞)◆以上题目主要考查了以下内容：在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)为增函数；f′(x)≤0⇔f(x)在(a，b)为减函数．二、函数的导数与极值1．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2 B．3C．4 D．52．(教材改编)函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．『答案』1.D 2.2◆以上题目主要考查了以下内容：(1)判断f(x0)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，①如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；②如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值．(2)求可导函数极值的步骤：①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③检查f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点．『指点迷津』1．一个方程求函数y＝f(x)的极值点，先解方程f′(x)＝0的根．2．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．3．三个步骤求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)解出相应的x的范围．当f′(x)＞0时，f(x)在相应的区间上是增函数；当f′(x)＜0时，f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间．考向一利用导数研究函数的单调性(2014·湖北省八校联考)已知函数f(x)＝(x＋a)2－7b ln x＋1，其中a，b是常数且a≠0.(1)若b ＝1时，f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2)当b ＝47a 2时，讨论f(x)的单调性．『审题视点』 (1)当x ＞1时，f′(x)≥0恒成立，求a 的范围．(2)讨论a ＞0和a ＜0时，f(x)的单调性．『典例精讲』 (1)∵b ＝1，∴f(x)＝(x ＋a)2－7ln x ＋1，∴f′(x)＝2x ＋2a －7x.∵当x ＞1时，f(x)是增函数，∴f′(x)＝2x ＋2a －7x ≥0在x ＞1时恒成立．即a≥72x －x 在x ＞1时恒成立．∵当x ＞1时，y ＝72x－x 是减函数， ∴当x ＞1时，y ＝72x －x ＜52，∴a≥52. (2)∵b ＝47a 2，∴f(x)＝(x ＋a)2－4a 2ln x ＋1，x ∈(0，＋∞)． ∴f′(x)＝2x 2＋2ax －4a 2x ＝2（x －a ）（x ＋2a ）x .当a ＞0时，f′(x)＞0，得x ＞a 或x ＜－2a ， 故f(x)的减区间为(0，a)，增区间为(a ，＋∞)； 当a ＜0时，f′(x)＞0，得x ＞－2a 或x ＜a ，故f(x)的减区间为(0，－2a)，增区间为(－2a ，＋∞)．『类题通法』 (1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)直接得到单调递增(或递减)区间．(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f′(x)≥0(『或f′(x)≤0』，x ∈(a ，b)』恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围．1．(2014·山东名校联考)已知函数f(x)＝3xa－2x 2＋ln x ，其中a 为常数且a≠0.(1)若a ＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间『1，2』上为单调函数，求a 的取值范围．『解析』(1)当a ＝1时，f(x)＝3x －2x 2＋ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝1x－4x ＋3＝－4x 2＋3x ＋1x ＝－（4x ＋1）（x －1）x(x ＞0)，当x ∈(0，1)时，f′(x)＞0，故函数f(x)在区间(0，1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (2)由题易得f′(x)＝3a －4x ＋1x (x ＞0)，因为函数f(x)在区间『1，2』上为单调函数， 所以在区间『1，2』上，f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，即3a －4x ＋1x ≥0或3a －4x ＋1x ≤0在x ∈『1，2』时恒成立，即3a ≥4x －1x 或3a ≤4x －1x (1≤x≤2)，即3a ≥(4x －1x )max 或3a ≤(4x －1x)min ，其中1≤x≤2. 令h(x)＝4x －1x (1≤x≤2)，易知函数h(x)在『1，2』上单调递增，故h(1)≤h(x)≤h(2)．所以3a ≥h(2)或3a ≤h(1)，即3a ≥4×2－12＝152，3a ≤4×1－11＝3，解得a ＜0或0＜a≤25或a≥1.故a 的取值范围为(－∞，0)∪(0，25)∪『1，＋∞)．考向二 利用导数求函数的极值(2012·高考江苏卷)若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点．已知a ，b 是实数，1和－1是函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点．(1)求a 和b 的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．『审题视点』 1和－1为f(x)的极值点，则有f′(1)＝0，f′(－1)＝0求a 和b ，再根据极值的概念求g(x)的极值点．『典例精讲』 (1)由题设知f′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，且f′(－1)＝3－2a ＋b ＝0，f′(1)＝3＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝0，b ＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x 3－3x.因为f(x)＋2＝(x －1)2(x ＋2)，所以g′(x)＝0的根为x 1＝x 2＝1，x 3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x ＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x ＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点． 当－2＜x ＜1或x ＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点． 所以g(x)的极值点为－2.『类题通法』 利用导数研究函数的极值的一般流程：2．(2014·广东省惠州市高三调研)已知函数f(x)＝x 3－3ax(a ∈R)．(1)当a ＝1时，求f (x )的极小值；(2)若对任意的m ∈R ，直线x ＋y ＋m ＝0都不是曲线y ＝f (x )的切线，求a 的取值范围． 『解析』(1)当a ＝1时，f ′(x )＝3x 2－3， 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1， 当x ∈(－1，1)时，f ′(x )＜0，当x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，∴f (x )在(－1，1)上单调递减，在(－∞，－1』，『1，＋∞)上单调递增， ∴f (x )的极小值是f (1)＝－2.(2)f ′(x )＝3x 2－3a ，直线x ＋y ＋m ＝0即y ＝－x －m ，依题意，切线斜率k ＝f ′(x )＝3x 2－3a ≠－1，即3x 2－3a ＋1＝0无解， ∴Δ＝0－4×3(－3a ＋1)＜0， ∴a ＜13.用导数研究函数单调性和极值(2014·烟台四校达标检测)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫m ＋1m ln x ＋1x －x ，其中常数m ＞0. (1)当m ＝2时，求函数f (x )的极大值； (2)讨论函数f (x )在区间(0，1)上的单调性． 『审题视点』 讨论f ′(x )＝0的根与区间(0，1)的关系．『思维流程』求定义域，并求导函数f ′(x )． 确定极值点． 确定极大值．求导函数f ′(x )＝0的根．分三种情况讨论m 与区间(0，1)的关系，从而确定f ′(x )的正负．确定单调性．『规范解答』 (1)当m ＝2时，f (x )＝52ln x ＋1x－x ，∵f ′(x )＝52x －1x 2－1＝－（x －2）（2x －1）2x 2(x ＞0).2分∴当0＜x ＜12或x ＞2时，f ′(x )＜0；当12＜x ＜2时，f ′(x )＞0.∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和区间(2，＋∞)上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫12，2上单调递增，4分∴函数f (x )的极大值为f (2)＝52ln 2－32.6分(2)由题意知，f ′(x )＝m ＋1m x －1x2－1＝－x 2－⎝⎛⎭⎫m ＋1m x ＋1x 2＝－（x －m ）⎝⎛⎭⎫x －1m x 2(x ＞0，m ＞0).8分①当0＜m ＜1时，1m ＞1，故当x ∈(0，m )时，f ′(x )＜0，当x ∈(m ，1)时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )在区间(0，m )上单调递减，在区间(m ，1)上单调递增.10分 ②当m ＝1时，1m ＝1，故当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－（x －1）2x 2＜0恒成立，此时函数f (x )在区间(0，1)上单调递减.11分③当m ＞1时，0＜1m ＜1，故当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1m 时，f ′(x )＜0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1m ，1时，f ′(x )＞0， 此时函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，1m 上单调递减，在区间⎝⎛⎭⎫1m ，1上单调递增.12分『规范建议』 ①在第一步中，不能忽视定义域(x ＞0)否则单调区间求错．②在第五步讨论中，不可丢掉m ＝1的情况．1．(2013·高考福建卷)设函数f (x )的定义域为R ，x 0(x 0≠0)是f (x )的极大值点，以下结论一定正确的是( )A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点『解析』选D.本题考查的是函数的极值．函数的极值不是最值，A错误；因为－f(－x)和f(x)关于原点对称，故－x0是－f(－x)的极小值点，D正确．2．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在『－π，π』的图象大致为()『答案』D3．(2012·高考重庆卷)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()『解析』选C.当x＜－2时，y＝xf′(x)＞0，当x＝－2时，y＝0，当0＞x＞－2时，y＝xf′(x)＜0，当x＝0时，y＝0，当x＞0时，y＞0，选C.4．(2013·高考全国大纲卷)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(1)当a＝－2时，讨论f(x)的单调性；(2)若x∈『2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．『解析』(1)当a＝－2时，f(x)＝x3－32x2＋3x＋1，f ′(x )＝3x 2－62x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝2－1，x 2＝2＋1. 当x ∈(－∞，2－1)时，f ′(x )＞0， f (x )在(－∞，2－1)上是增函数； 当x ∈(2－1，2＋1)时，f ′(x )＜0， f (x )在(2－1，2＋1)上是减函数； 当x ∈(2＋1，＋∞)时，f ′(x )＞0， f (x )在(2＋1，＋∞)上是增函数． (2)由f (2)≥0，得a ≥－54.当a ≥－54，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥3⎝⎛⎭⎫x 2－52x ＋1 ＝3⎝⎛⎭⎫x －12(x －2)＞0， 所以f (x )在(2，＋∞)上是增函数，于是当x ∈『2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－54，＋∞.。