弹簧质量对振动系统的影响 修改(1)

《振动力学》习题集（含答案）1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。

求系统的固有频率。

图E1.1解： 系统的动能为：()222121x I l x m T +=其中I 为杆关于铰点的转动惯量：2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ⎰⎰==⎪⎭⎫⎝⎛=则有：()221221223616121x l m m x l m x ml T +=+=系统的势能为：()()()2121212414121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x lg m x mgl U +=+=-⋅+-=利用x xn ω= 和U T =可得： ()()lm m gm m n 113223++=ω1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。

求系统的固有频率。

图E1.2解：如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为：22222243212121θθθ mR mR mR I T B =⎪⎭⎫ ⎝⎛+==()[]()222212θθa R k a R k U +=+⋅=利用θωθn= 和U T =可得： ()mkR a R mR a R k n 343422+=+=ω1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。

求系统的固有频率。

图E1.3解： 系统的动能为：221θ J T =2k 和3k 相当于串联，则有：332232 , θθθθθk k =+=以上两式联立可得：θθθθ32233232 , k k k k k k +=+=系统的势能为：()232323212332222*********θθθθ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=++=k k k k k k k k k k U利用θωθn= 和U T =可得： ()()3232132k k J k k k k k n +++=ω1.4 在图E1.4所示的系统中，已知()b a m i k i , ,3,2,1 和=，横杆质量不计。

等效弹簧常数与等效质量对机械振动系统的动力学模型精度影响引言：机械振动系统是工程领域中重要的研究对象之一，深入理解机械振动系统的动力学模型精度影响因素对于优化设计和控制振动有着重要的意义。

其中，等效弹簧常数和等效质量是决定系统动力学特性的关键参数。

本文将重点探讨等效弹簧常数和等效质量对机械振动系统动力学模型的精度影响。

一、等效弹簧常数的影响等效弹簧常数是描述机械振动系统弹性特性的参数，它代表了系统在单位位移下的恢复力大小。

等效弹簧常数的准确确定对于机械振动系统的动力学分析至关重要。

影响等效弹簧常数确定精度的主要因素包括弹性元件的非线性、材料的非均匀性和接触面的失效等。

1. 弹性元件的非线性影响实际弹性元件在大变形条件下常常呈现非线性特性，如刚度随位移的变化、材料的非线性等。

这种非线性特性使得等效弹簧常数难以准确确定，对系统动力学模型的精度造成较大影响。

解决这一问题的方法之一是采用等效线性化模型或非线性模型，并通过系统测试数据进行参数辨识，以提高模型的精确度。

2. 材料的非均匀性影响弹性元件材料的非均匀性包括材料的异质性和各向异性。

材料的异质性使得等效弹簧常数在不同位置上存在差异。

各向异性则表现为材料在不同方向上的刚度不同。

这些因素的存在使得等效弹簧常数在模型中的应用带来很大的不确定性，对模型精度有一定的影响。

3. 接触面失效影响在机械振动系统中，接触面的失效往往会导致部件之间随时间的相对位移。

这种失效会改变系统的刚度特性，从而对等效弹簧常数的确定产生影响。

在模型分析中，需对接触面失效进行充分考虑，避免对系统动力学性能的不准确描述。

二、等效质量的影响等效质量是描述机械振动系统惯性特性的参数，它代表了系统对外加力响应的惯性大小。

等效质量的精确确定对于机械振动系统的性能分析和控制具有重要影响。

等效质量的大小取决于振动系统的质量分布、惯性矩阵和系统运动状态等因素。

1. 质量分布的影响振动系统的质量分布对等效质量的确定具有重要影响。

第２６卷第５期Ｖ０１．２６Ｎｏ．５周口师范学院学报ＪｏｕｒｎａｌｏｆＺｈｏｕｋｏｕＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ２００９年９月Ｓｅｐ．２００９弹簧质量与弹簧振子振动周期关系的探讨周俊敏，王玉梅（周口师范学院物理系，河南周口４６６００１）摘要：从能量的观点出发，分别讨论了弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解微分方程，得出结论．这些结论对指导实验和生产实践有一定的参考价值．关键词：弹簧振子；振动周期；机械能守恒；运动方程中图分类号：０３２６文献标识码：Ａ文章编号：１６７１—９４７６（２００９）０５—００５８—０３弹簧振子在生产实践中有着十分广泛的应用，而振动的周期是描述振动系统运动的一个非常重要的基本物理量，因此探讨弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响就显得十分必要．在实验教学中笔者发现，大部分实验教材直接给出弹簧振子的振动周ｒ‘‘—？———＝７的正方向，建立坐标系如图１（ｂ）所示．设质点的位置坐标为Ｘ，引即为质点相对于坐标原点的位移．取物体为研究对象，作用在物体上的力有两个：重力大小为ｍｇ，方向竖直向下；弹簧对物体的拉力Ｆ＝一ｋ（ｘ＋ｚ。

），方向竖直向上．由此可知物体的合力Ｆ台一一点（ｚ＋Ｘ。

）＋ｍｇ＝一妇．由简谐图１期公式为Ｔ一２，ｒ＾／ｍ＋ｃＭ，学生通过实验测出ｆＶＫ值的范围为０．３２～０．３４，但未从理论上分析ｃ值在这一范围的原因［１－３］．另外，教材中分析弹簧振子振动周期时，大都从力的观点［４＿５１出发得出运动方程．笔者从能量的观点出发，分别讨论弹簧振子垂直地面放置和平行地面放置时所遵守的运动方程，并通过解运动方程得出弹簧振子的振动周期以及１振动的定义“质点在线性回复力的作用下，围绕平衡位置的运动是简谐振动”可知，竖直放置的弹簧振子将作简谐振动．对于作简谐振动的振子来说，只有保守力作功，可以用机械能守恒定律来求运动方程．选取平衡位置为重力势能零点，振动物体重力势能为Ｅ，＝一ｍｇｘ，弹簧的弹性势能为Ｅ如＝弹簧质量对振动周期的修正系数ｃ＝÷，从理论上Ｏ证明了学生的实验结果在误差范围内是正确的．１１．１忽略弹簧质量时弹簧振子的振动周期弹簧与地面垂直弹簧的原长为Ｌ０，劲度系数为ｋ，上端固定，下－｝ｋ（ｘ＋ｚ。

振动系统的自由度和阻尼对振动的影响如何一、振动系统的自由度振动系统的自由度是指系统在空间中独立运动的数量。

在物理学中，一个自由度通常指的是一个物体在某个参考系下可以独立运动的程度。

对于振动系统来说，自由度决定了系统的复杂程度和可能的状态。

1.单自由度系统：指系统在空间中只能沿一个方向或一个轴进行振动。

例如，一根弹簧振子就是一个单自由度系统。

2.多自由度系统：指系统在空间中有多个方向或多个轴可以进行振动。

例如，一个弹簧-质量系统，如果它可以在三维空间中的任意方向振动，则它是一个三自由度系统。

二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中能量耗散的机制，它会使振动的振幅逐渐减小，直至振动停止。

阻尼对振动的影响主要表现在以下几个方面：1.阻尼比：阻尼比是描述阻尼特性的一个参数，定义为阻尼力与恢复力的比值。

阻尼比越大，系统的振动衰减越快，振幅减小得越迅速。

2.阻尼对振动幅值的影响：在初始阶段，阻尼对振动幅值的影响较小，但随着振动时间的增加，阻尼作用逐渐明显，振幅逐渐减小。

3.阻尼对振动周期的影响：阻尼对振动周期没有直接影响，振动周期仅与系统的弹性特性和质量有关。

4.阻尼对振动稳定性的影响：适当的阻尼可以提高振动的稳定性，防止系统发生过度振动或共振。

然而，过大的阻尼可能会导致系统过早地停止振动，影响某些应用中的振动性能。

三、自由度和阻尼的相互作用自由度和阻尼的相互作用表现在以下几个方面：1.自由度越多，系统可能出现的振动状态越多，同时阻尼对振动的影响也越复杂。

2.在多自由度系统中，各个自由度之间的振动可能会相互耦合，使得系统的振动特性更加复杂。

3.阻尼的存在可能会影响自由度之间的耦合关系，从而改变系统的振动特性。

综上所述，振动系统的自由度和阻尼对振动的影响是多方面的，它们相互作用决定了系统的振动特性。

了解这些知识点有助于我们更好地分析和解决实际问题。

习题及方法：1.习题：一个单自由度弹簧振子在无阻尼状态下做简谐振动，其质量为m，弹簧常数为k，振动的初始位移为A。

等效弹簧常数与等效质量对机械振动系统多自由度耦合振动的影响机械振动系统在工程实践中得到广泛应用，多自由度耦合振动是其中一个复杂而重要的问题。

在研究多自由度耦合振动时，等效弹簧常数与等效质量是两个关键参数，它们对振动系统的动力学性质产生着重要的影响。

本文将探讨等效弹簧常数与等效质量对多自由度耦合振动系统的影响机制及其应用。

1. 弹簧常数的等效性及其影响等效弹簧常数是指一个多自由度振动系统在特定条件下，通过计算或测量得到的与实际耦合弹簧情况下所产生的同等效果的单自由度振动系统的弹簧常数。

它的计算方法与实际弹簧之间的力学关系有关。

等效弹簧常数的变化将影响多自由度耦合振动的频率响应和振型分布。

首先，等效弹簧常数的增大会导致多自由度耦合振动系统的频率响应增大。

通常情况下，振动系统的频率是由弹簧常数以及质量和阻尼等其他参数决定的。

当等效弹簧常数增大时，系统的固有频率也会相应增大。

这意味着系统需要更大的激励力才能达到相同的振幅。

此外，等效弹簧常数的增加还可能导致系统频率的偏移，使得原本平衡的振动系统在某些频率点上出现共振现象，从而引起振幅的剧烈增大。

其次，等效弹簧常数的变化也会对多自由度耦合振动系统的振型分布产生影响。

振型是指一个振动系统中各部件相对于平衡位置的振动模式。

等效弹簧常数的变化将影响各自由度之间的相互关系，从而改变振型的形态。

当等效弹簧常数相对较大时，各自由度之间的耦合效应会增强，系统的主要振动模式可能变得更加集中，而在弹簧常数相对较小时，各自由度之间的相互作用减弱，系统的振动模式可能变得分散。

2. 等效质量的影响及其应用等效质量是指将多自由度振动系统化简为单自由度振动系统时所需具备的质量。

与等效弹簧常数类似，等效质量也是一个重要的参数，它对系统的动力学性质产生着直接的影响。

首先，等效质量的增大会导致系统的频率响应减小。

等效质量可以看作是振动系统中质量与其耦合程度的综合体现。

当等效质量变大时，系统对激励力的响应变得迟缓，频率响应减小。

1 1 1 M vA 2 + mv A 2+ kx 2. 2 6 2 dx 式中 v A = . 由于系统做无阻尼 自由振动 , 系 统的机 械能 dt dE 守恒 , 有 = 0 , 即 dt dx d2 x 1 d x d2 x dx M # + m + kx = 0. d t dt 2 3 d t dt 2 dt 由此得 k d2 x + x = 0. d t2 M + m 3 此即简谐振动的动 力学方程 , 由 此可得 简谐振动 的圆频 率 E= 为 . m 3 此即为弹簧 质量 不能 忽略 时弹 簧振 子的 固有 圆频 率表 达 式 , 其周期为 M+ T = 2P M+ m 3 X= k
1 1 1 m v 2= m v 2+ m v 2 , 即 m1 L E = m 1 L D 2 1 E 2 1 D 2 2 F + m 2 L F , 则说明两小球的碰撞是弹性碰撞 . 评析 : 课本上验证动量 守恒定 律的实验 装置 是在水 平 面上的平抛运动 , 而本实验装置改为在斜面上的平抛运动 , 这样就克服了难于 控制水平 面的实 验难点 , 实验 操作要 简 便些 . ( 收稿日期 : 2009- 06- 17)
读了本刊 2009 年第 5 期/ 非轻 质弹簧问 题的 分析0 一 文 , 受益 非浅 . 但 文中认 为 , 一质 量为 m 的 弹簧与 物体 M ( 视为质点 ) 组成的一个/ 弹簧振子0 , 弹 簧振子的 振动周期 T = 2P M+ ( 见原文情景延伸 3 和延伸 4 ) . 笔 者认为 2 此结论有误 , 当弹簧质量不能忽略时 , 弹簧振子的固有周期 T 与弹簧的质量 m 、 振 动物 体的质 量 M 和 弹簧 的劲 度系 数 k 的关系可以推导如下 . 设弹簧 的总长度 为 L、 质量为 m , 且质 量沿 L 均匀分 布 , 则单 位长 弹 簧的质量为 G= m . L 图1 由于 我 们 讨 论 的 是 弹簧振子 , 弹簧上各部分的振动可以看 作与物体 A 的振动 同相 , 亦即弹簧的总伸长为 x 、 A 的振动速度为 v A 时 , 虽然 弹簧上各处的振动速度 不同 , 但 都应 该与 A 的速 度同 相 , 对距 O 点为 l 的一小段弹 簧 $ l , 其振动速度可表示为 vA v= l. L 1 弹簧振子的总机 械能由 3 部分组成 : 振子的 动能 M v A 2 、 2 1 2 弹簧的势能 kx 和弹簧的动能 E k. 其中 2 L 1 1 m vA 2 L 2 1 Ek= G# v 2 # dl = ( ) l dl = mv A 2 . 2 L L 6 0 2 0 m 2

弹簧振子周期的影响因素（南京 210096）摘要：本文研究了弹簧质量对弹簧振子系统周期的影响，分析了不同方法近似成立的条件并对计算结果进行了讨论。

并且通过对弹簧振子研究的进一步探析，发现如果弹簧的形状不是几何对称, 即使用相同的方法对弹簧两端分别挂测，其质量对周期公式产生的影响也是不同的。

从而发现弹簧振子的周期与其重心位置也是有关的。

关键词：弹簧振子；周期；质量；重心Spring vibrator cycle impact factors(Information science and engineering college of Southeast University, Nanjing, 210096)Abstract:This paper studies the quality of spring spring vibration subsystem the influence of the cycle, and analyzes on the different methods of approximate established condition and the calculation results are discussed. And through the spring vibrator further analysis, found that if the shape of the spring is not symmetrical geometric, that is, using the same method of spring ends hang separately measured, its quality to cycle the impact of the formula is also different. Spring vibrator to find the cycle of barycenter position is also related with.key words: spring vibrator; cycle;quality;focus人们在讨论弹簧振子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量。

也谈弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响金彪（浙江省上虞市春晖中学，浙江 上虞 312353）贵刊（《物理教师》）2010年第1期《弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响》一文，指出了贵刊（同上）2009年第5期《非轻质弹簧问题的分析》一文中的错误，认为“一质量为m 的弹簧与物体M （视为质点）组成的一个‘弹簧振子’，弹簧振子的振动周期为kmM T 22+=π。

”的结论是错误的，并经过计算后得出：一质量为m 的弹簧与一质量为M 的质点组成的“弹簧振子”震动周期为：kmM T 32+=π。

而笔者认为此结论同样是错误的，我们可以先假设0=M ，即去掉质点M,让质量为m 的弹簧自由振动，振动稳定时，振动的周期由上式得kmT 32π=。

这个结论是否正确呢？总长度为L ，质量为m ，劲度系数为k 的弹簧一端固定，另一端自由（如图1所示），其振动的固有周期到底为多少呢？设另有一根弹簧的总长度很长，质量均匀分布，且弹簧单位长度的质量为Lm=η，劲度系数为k 。

让这根弹簧两端以相同的振幅和频率沿弹簧方向振动起来，稳定后必然在弹簧上形成驻波。

调节波源频率，使长弹簧的波长恰好为4L ，则相邻波腹与波节的距离恰好为L 。

由于驻波的波节振幅为零，与图1弹簧的固定点O 一样；驻波的波腹振幅最大，与自由点P 一样，可得图1弹簧的振动与长弹簧波节到相邻波腹振动情况完全一样。

由于固体中弹性纵波的波速ρYv =（1）其中Y 为杨氏模量，ρ为密度，对于上述弹簧来说，等效密度和杨氏模量分别为：SkLY LS m ==,ρ，代入（1）式得： mkL v 2=（2） 欲使弹簧波波长为4L ，则图1弹簧的固有周期为：kmmkL L vT 442===λ（3） 由此可知“弹簧质量对弹簧振子振动周期的影响”一文的结论是错误的。

那么为什么会引起这样的错误呢？该文认为：“对距O 点为l 的一小段弹簧l ∆，其振动速度可表示为O P图1l L v v A =。

简谐运动的规律和图像一、简谐运动的基本规律1.简谐运动的特征2.注意：（1）弹簧振子（或单摆）在一个周期内的路程一定是4A，半个周期内路程一定是2A，四分之一周期内的路程不一定是A。

（2）弹簧振子周期和频率由振动系统本身的因素决定（振子的质量m和弹簧的劲度系数k ），与振幅无关。

二、简谐运动的图像1．简谐运动的数学表达式：x＝A sin(ωt＋φ)2．根据简谐运动图象可获取的信息(1)振幅A、周期T(或频率f)和初相位φ(如图所示)．(2)某时刻振动质点离开平衡位置的位移．(3)某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示各时刻质点的速度的大小和速度的方向，速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定．(4)某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图象上总是指向t轴．(5)某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况．3．简谐运动图象问题的两种分析方法法一图象－运动结合法解此类题时，首先要理解x －t 图象的意义，其次要把x －t 图象与质点的实际振动过程联系起来．图象上的一个点表示振动中的一个状态(位置、振动方向等)，图象上的一段曲线对应振动的一个过程，关键是判断好平衡位置、最大位移及振动方向．法二 直观结论法简谐运动的图象表示振动质点的位移随时间变化的规律，即位移－时间的函数关系图象，不是物体的运动轨迹．三、针对练习1、一个小物块拴在一个轻弹簧上，并将弹簧和小物块竖直悬挂处于静止状态，以此时小物块所处位置为坐标原点O ，以竖直向下为正方向建立Ox 轴，如图所示。

先将小物块竖直向上托起使弹簧处于原长，然后将小物块由静止释放并开始计时，经过s 10π，小物块向下运动20cm 第一次到达最低点，已知小物块在竖直方向做简谐运动，重力加速度210m /s g =，忽略小物块受到的阻力，下列说法正确的是（ ）A ．小物块的振动方程为0.1sin 102x t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（m ） B ．小物块的最大加速度为2gC 2m /sD ．小物块在0～1330s π的时间内所经过的路程为85cm2、（多选）某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，其位移x 随时间变化的关系式为x ＝A sin ωt ，如图所示，则( )A ．弹簧在第1 s 末与第5 s 末的长度相同B ．简谐运动的频率为18Hz C ．第3 s 末，弹簧振子的位移大小为22A D ．第3 s 末至第5 s 末，弹簧振子的速度方向不变3、（多选）如图甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，在C 、D 两点之间做简谐运动，O 点为平衡位置。

分析物体在弹簧上的振动物体在弹簧上的振动是物理学中的一个重要研究课题，也是我们日常生活中经常观察到的现象之一。

本文将从理论和实践两个方面，对物体在弹簧上的振动进行深入分析。

一、理论分析物体在弹簧上的振动可以通过弹簧的恢复力和物体的质量来描述。

根据胡克定律，弹簧的伸缩量与作用在弹簧上的力成正比，即F=kx，其中F为弹簧的恢复力，k为弹簧的劲度系数，x为伸缩量。

当物体偏离平衡位置并被弹簧拉伸或压缩时，弹簧的恢复力会使物体产生反向的加速度，从而使物体发生振动。

物体在弹簧上的振动可分为简谐振动和非简谐振动两种情况。

简谐振动的表达式可以写为x=Acos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。

简谐振动的特点是周期性、等幅和有固定的相位差。

非简谐振动则没有固定的振幅和相位差，且振动周期可能发生变化。

非简谐振动通常由于系统的阻力、耗散等因素引起。

二、实践分析在实际的物理实验中，我们可以利用弹簧振子的实验装置来观察物体在弹簧上的振动。

1. 实验装置一个典型的弹簧振子实验装置包括一个固定在支架上的弹簧和一个悬挂在弹簧下端的小球。

我们可以通过对小球施加额外的力或者改变弹簧的劲度系数来改变振子的振动特性。

2. 实验现象当我们释放小球并使其偏离平衡位置时，振子将开始振动。

我们可以观察到以下几个现象：（1）振动幅度与释放位置有关：当小球偏离平衡位置较远时，振动幅度较大，反之亦然。

（2）振动频率与弹簧的劲度系数有关：劲度系数越大，振动频率越高。

（3）振动频率与物体的质量无关：根据公式可以得知物体的质量并不影响振动的频率，而只是影响振动的振幅。

3. 实验结论通过以上实验观察和分析，我们可以得出以下结论：（1）物体在弹簧上的振动可以分为简谐振动和非简谐振动两种情况。

（2）振动幅度与释放位置有关，劲度系数越大，振动频率越高。

（3）物体的质量并不影响振动的频率，而只是影响振动的振幅。

三、应用分析物体在弹簧上的振动在实际生活和工程领域中有着广泛的应用。

弹簧的弹性系数对振动周期的影响弹簧是一种常见的物体，广泛应用于许多领域。

它的主要作用是提供弹性力并产生振动。

而弹簧的弹性系数则是衡量其弹性力的重要参数。

本文将探讨弹簧的弹性系数对振动周期的影响。

首先，我们需要了解弹簧的弹性系数是如何定义的。

弹簧的弹性系数通常用弹簧常数k来表示，其定义为单位位移引起的弹性力的大小。

弹簧常数越大，说明弹簧越难被拉伸或压缩，弹性力也就越大。

当我们将一个弹簧固定在一端，然后施加一个外力使其产生位移时，弹簧会产生回弹力抵抗这个位移。

而弹簧的弹性系数就是衡量这种弹性力的大小。

接下来，我们来讨论弹簧的弹性系数对振动周期的影响。

首先，我们先了解一下振动周期的定义。

振动周期是指一个物体从起始位置到达下一个相同位置所需要的时间。

在弹簧的振动中，振动周期即弹簧从拉伸或压缩到再次回到原始长度所经过的时间。

弹簧的弹性系数对振动周期的影响是显而易见的。

根据胡克定律，即弹性力与位移成正比，可以得出以下公式：F = -kx，其中F是弹簧的弹性力，k是弹簧的弹性系数，x是弹簧的位移。

这个公式告诉我们，对于同一个位移，当弹簧的弹性系数增大时，弹性力也会跟着增大。

假设我们有两个弹簧，弹簧A的弹性系数是kA，弹簧B的弹性系数是kB。

我们将它们悬挂在垂直方向，然后分别给它们施加一个相同的外力，使它们拉伸或压缩相同的位移。

由于弹性力与弹簧的弹性系数成正比，我们可以得出以下结论：弹簧A的弹性力FA = -kAx，弹簧B的弹性力FB = -kBx。

因为FA = -kAx = mAN，FB = -kBx = mBN，其中m是质量，N是单位质量受力的加速度。

所以，加速度A 和加速度B成正比。

在其他条件相同的情况下，质量相同的物体，加速度越大，振动周期就越小。

从上面可以看出，弹簧的弹性系数越大，弹簧受力越大，加速度也越大，振动周期就越小。

这是由于弹簧的弹性系数决定了弹簧的弹性力大小，而弹性力又是产生振动的重要因素之一。

玉林师范学院本科生毕业论文弹簧质量对振动系统的影响The Influence of Spring Quality on Vibration System院系物理科学与工程技术学院专业物理学学生班级2009级2班姓名戴石贵学号200905401240指导教师单位物理科学与工程技术学院指导教师姓名关小蓉指导教师职称副教授弹簧质量对振动系统的影响物理学2009级2班戴石贵指导教师关小蓉摘要弹簧振子是物理学中的一个典型模型,弹簧振子是指忽略质量的轻弹簧系一物体所组成的系统。

在实验中得到的弹簧振子的振动频率和理论结果存在着较大的差异,其中有很多原因,但主要是由于弹簧的质量对振动有一定的影响。

人们在讨论弹簧振m、弹性系数子的振动情况时，往往忽略弹簧本身的质量，实际弹簧振子由质量为为k的弹簧和连接于弹簧一端质量为m的振动物体组成，为解决实际弹簧振子弹簧质量对振动系统的影响问题，采用研究系统的能量方法，建立了有弹簧质量时系统的动能和势能公式，从不同角度定量的分析了弹簧质量对振动系统的周期之间的影响，该研究对实际振动系统的振动问题具有一定的参考价值和指导意义。

由于弹簧本身有质量，这种弹簧振子不是理想的振子，它的振动周期与弹簧的质量有着密切的联系，当我们把这种影响仅归于质量因素时，振子的周期可以写成与弹簧有效质量有关的表达式，实际上处理这类问题的方法有很多种，像四阶龙格——库塔法、瑞利法、传递矩阵法、求解波动方程法、试探法求解微分方程、机械能守恒近似法、迭代法等等，本文主要运用机械能守恒定律和迭代法分别近似求解实际弹簧振子的周期，并对结果做出详细的讨论。

关键词：弹簧振子，弹簧质量，周期，动能，势能The Influence of Spring Quality on Vibration SystemPhysics2009-2Dai Shi-guiSupervisor Guan Xiao-rongAbstractSpring oscillator is a typical model of physics, the spring oscillator means to ignore the quality of the light spring an object composed of system. Experiment spring oscillator frequency of vibration and theoretical results there is a greater difference, there are many reasons, but mainly due to the quality of the spring have a certain impact on the vibration. In the discussion of the spring oscillator vibration case, people tend to ignore the quality of the spring itself, the actual child of spring vibration by the spring-mass for m0, elastic coefficient k for the spring and quality connection on one end of the spring to m vibrating object composition, to address the actual spring oscillator spring-mass vibration system, energy research system, the establishment of the formula of kinetic and potential energy of the spring-mass system, a quantitative analysis of the quality of the spring between the period of the vibration system from different angles, the the actual vibration of vibration problems, the study has some reference value and significance.Spring quality, this spring vibration sub-vibration sub is not ideal, the quality of its vibration cycle with spring's has close ties, when we put this effect is only attributed to the quality factor, the oscillator cycle can be written as spring-effective quality-related expression, in fact, deal with such issues are many, like Runge - Kutta method, Rayleigh method, transfer matrix method for solving the wave equation method, heuristics for solving differential equations of conservation of mechanical energy approximation , iterative method, etc. In this paper, the use of mechanical energy conservation law and the iterative method of approximate solution to the actual spring oscillator cycle, and the results make a detailed discussion.Key words：S pring oscillator，Spring-mass，Cycle，Kinetic energy，Potential energy目录1前言 (1)2振动系统的动能和势能 (2)2.1弹簧振动系统的动能分析概况 (2)2.2弹簧振动系统势能分析概况 (4)2.3弹簧振动系统的机械能 (5)2.3.1弹簧振子放置水平位置（0=θ）弹簧振动系统的机械能 (5)2.3.2弹簧振子放置竖直位置（2/πθ=）弹簧振动系统的机械能 (6)2.3.3弹簧振子放置倾斜程度为θ位置（2/0πθ<<）弹簧振动系统的机械能 (6)3弹簧质量对振动周期的影响 (7)3.1机械能守恒近似法研究弹簧质量对振动周期的影响 (7)3.2迭代法研究弹簧质量对振动周期的影响 (9)3.3弹簧质量对振动周期影响的分析 (11)致谢 (13)参考文献 (14)玉林师范学院本科生毕业论文11前言弹簧振动作为自然界中最普遍的最广泛的运动形式之一,在物理学的基础理论研究中同样是具有显著地位,正确理解并掌握其振动系统的客观规律对于今后深入研究并掌握自然界的普遍运动规律具有非常重要的理论上的意义和实践中的意义。

弹簧质量对振动的影响
黄兆梁
【期刊名称】《大学物理》
【年(卷),期】1998(017)003
【摘要】给出了弹簧质量不可忽略的弹簧振子系统的振动解,导出了弹簧的有效质量的渐近级数表达式,指出振动呈拟周期性.
【总页数】5页(P12-16)
【作者】黄兆梁
【作者单位】常州工业技术学院,江苏常州,213002
【正文语种】中文
【中图分类】O325
【相关文献】
1.圆台形弹簧质量对振动周期的影响 [J], 张敬昕;侯灿;张峰
2.弹簧质量对振动周期的影响 [J], 沈钟伟;张峰
3.弹簧和振动物体质量对弹簧振动周期的影响 [J], 李宗领;张辉;李耀宗;张晓娣
4.弹簧质量对振子振动周期影响的实验研究 [J], 徐月明
5.弹簧质量对振动及波动特性的影响 [J], 杨晶然;赵丽明;周云松;隗功民
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弹簧质量对谐振系统固有频率的影响
周超
【期刊名称】《西安建筑科技大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2001(033)004
【摘要】根据弹簧质量的谐振系统固有频率的两种算法,讨论了弹簧质量对谐振系统固有频率的影响,并做出了相关曲线,得出了比有关文献中更准确的频率相对误差.【总页数】3页(P401-403)
【作者】周超
【作者单位】西安建筑科技大学理学院,陕西,西安,710055
【正文语种】中文
【中图分类】O4
【相关文献】
1.弹簧质量系统固有频率忽略自身质量的计算误差 [J], 邱伟华
2.弹簧质量对弹簧谐振子圆频率的影响 [J], 刘大鹏;关荣华
3.弹簧的质量,材料及其几何性质对弹簧谐振子角频率的影响 [J], 孙春峰
4.弹簧质量对谐振动固有频率的影响 [J], 龚善初
5.弹簧安装方式对质量非均衡产品缓冲系统的影响 [J], 孙颖;杨小俊;徐哲;李博因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

包X 吕佩伟，王小贞，马靖：简谐振动实验中弹簧有效质量的测量及误差分析简谐振动实验中弹簧有效质量的测量及误差分析**基金项目：福州大学2018年一流本科优秀案例建设项目一一电学设计性实验的教学改革；福州大学2018年一流课程建设项目——基于创新人才培养的《大学物理实验》课程改革。

收稿日期：2020-11-2作者简介：吕佩伟（ 1988—）,福建泉州人，实验师，主要从事物理实验教学工作。

吕佩伟，王小贞，马靖（福州大学物理与信息工程学院，福建福州350116）摘 要：在简谐振动实验中，通过改变滑块的质量测量不同质量滑块的振动周期。

文章用Origin 软件对实验数据进行线性拟合，得到滑块质量与振动周期平方的关系曲线的斜率及截距大小，从而能够准确的计算出弹簧有效质量的大小。

实验结果表明，对于轻质弹簧而言，弹簧的有效质量是其质量的1/3，实验误差主要是受滑块的黏滞阻 力、空气阻力及弹簧受重力的影响。

关键词：简谐振动；弹簧；有效质量；误差分析doi ： 10.3969/j.issn.1007-550X.2021.04.008中图分类号：04-33 文献标识码：A 文章编号：1007-550X （ 2021 ） 04-0026-031引言气垫导轨是一种现代化的力学实验仪器，导轨表面与滑块之间有一层很薄的气垫使得滑块可以浮在气垫层上，与导轨轨面脱离接触，极大地减小了以往在力学实验中由于摩擦力引起的误差，因此大 学物理实验中也通常采用气垫导轨系统来研究简谐振动［1，2］。

简谐振动的理想模型是光滑水平面上的弹 簧振子，可以忽略一切阻力和弹簧的质量［3］。

但实际 的简谐振动运动中的弹簧并不是无质量的理想弹簧，振动周期会受到弹簧质量的影响。

文献［3-5］中均推导 出弹簧的有效质量为其质量的1/3,滑块的简谐振动周期公式中需要把弹簧质量的1/3加到滑块的质量上。

本实验主要分析弹簧有效质量对振动周期的影响，通过实验测量不同质量滑块所对应的振动周期大小，禾呷Origin 软件辅助进行线性拟合，计算得到弹簧的有效质量，并分析弹簧的有效质量偏大的原因。

量纲方法与弹簧振子周期的二级质量修正周国全;祁宁【摘要】本文将量纲理论结合实验方法,应用于弹簧质量对弹簧振子谐振动周期影响的研究,得到谐振周期的一、二级修正公式,与弹性振动理论导出的结论正相吻合;并阐明应用量纲方法的一般手续与原则.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2019(029)001【总页数】4页(P31-34)【关键词】弹簧振子;谐振周期;量纲方法;Π定理;质量修正;一、二级修正【作者】周国全;祁宁【作者单位】武汉大学物理科学与技术学院,湖北武汉 430072;武汉大学物理科学与技术学院,湖北武汉 430072【正文语种】中文关于弹簧质量对谐振周期的影响, 其研究结论已散见于各种文献[1-4]，一般是根据弹性理论建立振动微分方程加以解决。

本文介绍一种简便而实用的方法——量纲方法[5-9]，配合实验研究，可以在不求解弹簧谐振动系统的振动微分方程的情况下同样得出正确的谐振周期一、二级修正公式T≐(1)及(2)其中，M，m分别为弹簧振子及弹簧本身的质量；k为弹簧的劲度系数。

通过这一实例，可以体会到量纲理论在物理教学研究中的辅助作用。

1 量纲和谐原理与Π定理的应用量纲和谐原理要求：支配物理现象的数学物理方程的等号两侧的量纲表达式必须是相同的，亦即所涉及的各基本单位的量纲指数必须是独立而唯一的。

这是量纲理论的基本要求。

具体研究思路如下：首先根据量纲和谐原理的要求，用量纲方法确定(M，m，k)振动系统周期T的基本形式，求出基本形式中各未知指数；寻找和构造若干独立的无量纲量，再根据Π定理，建立各无量纲量之间的函数关系，其中某些待定系数(或参量)可以通过理想情况或极限、特例情形的泰勒级数展开、精确的实验数据、巧妙的线性拟合技术加以确定。

以均匀直螺旋弹簧振子系统(M，m，k)为例，决定其周期T的因素如下：① 弹簧劲度系数k；② 振子质量M;③ 弹簧的质量m。

量纲理论指出，周期T作为这一振动系统的一个特征物理量, 必然满足T=CMαkβ(3)其中,α,β为待定常数指数；C是与一些无量纲量有关的因子。

一、选择题（共100分）1、任何一个实际弹簧都是有质量的，若考虑其质量，则弹簧振子振动周期将： （ ）（A ）不变； （B ）变小； （C ）变大； （D ）无法确定；2、作简谐振动的物体，每次通过同一位置时，不一定相同的量是 （ ）（A ）位移 ； （B ）速度 ； （C ）加速度； （D ）能量；3、一个单摆，若摆球质量增加为原来的四倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的一半，则单摆（ ）（A ）频率不变，振幅不变； （B ）频率不变，振幅改变；（C ）频率改变，振幅不变； （D ）频率改变，振幅改变；4、以频率ν作简谐振动的系统，其动能和势能随时间变化的频率为 （ ）（A ）2/ν； （B ）ν； （C ）ν2； （D ）ν4；5、劲度系数为m N /100的轻弹簧和质量为10g 的小球组成的弹簧振子，第一次将小球拉离平衡位置4cm ，由静止释放任其运动；第二次将小球拉离平衡位置2cm 并给以2cm/s 的初速度任其振动。

这两次振动能量之比为 （ ）（A ）1:1； （B ）4:1； （C ）2:1； （D ）3:22；6、一谐振系统周期为0.6s ，振子质量为200g ，振子经平衡位置时速度为12cm/s ，则再经0.2s 后振子动能为 （ ）（A ）J 4108.1-⨯； （B ）0； （C ）J 31044.1-⨯； （D ）J 4106.3-⨯；7、一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，如果简谐振动振幅增加为原来的2倍，重物的质量增加为原来的4倍，则它的总能量E '变为 （ ）（A ）4E E ='； （B ）2E E ='； （C ）E E 2='； （D ）E E 4='； 8、一弹簧振子作简谐振动，当其偏离平衡位置的位移大小为振幅的41时，其动能为振动总能量（ ） （A ）169； （B ）1611； （C ）1613； （D ）1615； 9、质点作周期为T ，振幅为A 的简谐振动，质点由平衡位置运动到离平衡位置2A 处所需最短时间为：（ ）（A ）4T ； （B ）6T ； （C ）8T ； （D ）12T ； 10、一质点作简谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从2A 处到最大位移A 处这段路程所需要的时间为 （ ）（A ）4T ； （B ）12T ； （C ）6T ； （D ）8T ； 11、质点作周期为T 的简谐振动，质点由平衡位置向+x 方向运动到最大位移一半处的最短时间是（ ）（A ）6T ； （B ）8T ； （C ）12T ； （D ）712T ； 12、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm 4=A ，周期s 2=T ，取平衡位置为坐标原点。