第7讲 期中复习一
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第七讲期中复习一——立体几何初步一、综合复习题1．已知正方体外接球的体积是323，那么正方体的棱长等于（）.A. 22B. 233C.423D.433.2．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（）.A.316B.916C.38D.9323．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积为（）.A. 24πcm2，12πcm3B. 15πcm2，12πcm3C. 24πcm2，36πcm3D. 以上都不正确4．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是（）.A. 23B.76C.45D.565．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（）.6．一个边长为2cm的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为，体积为。
7．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①原图形中平行于y轴的线段，其对应线段平行于y′轴，长度变为原来的12；②画与直角坐标系xoy对应的x′o ′y’时，∠x′o ′y ′必须是45°；③在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤ 梯形的直观图仍然是梯形；⑥ 正三角形的直观图一定为等腰三角形。
其中说法正确的序号依次是 .8．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m ，底面的边长是1.5m ，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）0.851.5ESO9．已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm ）10．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成正三棱锥模型, 另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一个剪拼方法, 分别用虚线标示在图1、图2中, 并作简要说明；（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（3） 如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3）, 要求剪拼成一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一个剪拼方法,用虚线标示在图3中, 并作简要说明.11、如图所示，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，如果163P ABCD V -=，则球O 的表面积是 （ ）A. 4πB. 8πC. 12πD. 16π12、如图（单位：cm ）所示，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.13、如图所示，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱1AA = 8. 若11AA B B 水平放置时，液面恰好过1111,,,AC BC AC B C 的中点，则当底面ABC 水平放置时，液面的高为多少？24 5BCA D14、如图所示是一个奖杯的三视图. 求这个奖杯的体积. （精确到0.01 cm 3）15．已知二面角l αβ--的大小为60︒，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，则,m n 所成的角为（ ）.A. 30︒B. 60︒C. 90︒D. 120︒16．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）A ．α、β都垂直于平面rB ．α内存在不共线的三点到β的距离相等C ．l ，m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α, l ∥β，m ∥β17．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ） .A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°18．对于平面α和共面的直线m 、,n 下列说法中正确的是（ ）A. 若,,m m n α⊥⊥则n α∥B. 若m αα∥,n ∥,则m ∥nC. 若,m n αα⊂∥,则m ∥nD. 若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n19．若l m n ，，是互不相同的空间直线，αβ，是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若l n αβαβ⊂⊂∥，，，则//l nB ．若l αβα⊥⊂，，则l β⊥C ．若l n m n ⊥⊥，，则l m ∥D ．若,//l l αβ⊥，则αβ⊥20．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =．若二面角1C AB C --的大小为60 ，则点C 到平面1ABC 的距离为_____________。
21．已知m 、n 是直线，α、β、γ是平面，给出下列说法：① 若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ② 若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③ 若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④ 若α∩β＝m ，n ∥m 且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α且n ∥β.其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都．填上）。
22．直线a 、b 、c 共点P ，且两两成60°角，求c 与a 、b 所确定的平面α所成角的余弦值。
23．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点。
（1）求证：AC PB ⊥； （2）求证：//PB 平面AEC ； （3）求二面角E AC B --的大小。
24．如图所示，在多面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E ，F 两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c ，d 与a ，b ，且a ＞c ，b ＞d ，两底面间的距离为h .（1）求侧面ABB 1A 1与底面ABCD 所成二面角的正切值； （2）证明：EF ∥面ABCD ；（3）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式V 估=S 中截面·h 来计算.已知它的体积公式是V =6h（S 上底面+4S 中截面+S 下底面），试判断V 估与V 的大小关系，并加以证明。
（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面）25、如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 分别在其面的对角线A 1B 、AC 上运动，且A 1M =AN ，求MN 的最小值。
26、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1CC 的中点，F 是AC ,BD 的交点，求证：1A F BED ⊥平面．27、正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为A 1B 1、A 1D 1的中点，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点.（1）求证：E 、F 、B 、D 共面； （2）求证：平面AMN ∥平面EFDB 。
28、已知正三棱锥P ABC -的体积为723，侧面与底面所成的二面角的大小为60 . （1）证明：PA BC ⊥； （2）求底面中心O 到侧面的距离。
GFE DCB AD 1C 1B 1A1二、 复习题答案1、D2、A3、A4、D5、B6. 243cm π，2π cm 37. ①⑤8. 解：220.850.75SE =+.所需铁板面积为22214( 1.50.850.75) 3.40()2S m =⨯⨯⨯+≈.9. 解：图中的几何体可看成是一个底面为直角梯形的直棱柱. 直角梯形的上底为1，下底为2，高为1；棱柱的高为1.可求得直角梯形的四条边的长度为1，1，2，2.所以此几何体的体积)(2311)21(213cm h S V =⨯⨯+⨯=⋅=梯形. 表面积212(12)12()2S S S cm =+=+⨯⨯+⨯侧面表面底（1＋1＋2＋2）1=7＋2.10. 解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起,可得一正三棱锥；如图2, 正三角形三个角上剪出三个相同的四边形, 其中较长的直角边为原正三角形边长的四分之一, 沿虚线折起矩形, 可组成一正三棱柱, 而剪下的三个四边形恰可组成三棱柱的上底.（2）设正三角形边长为2, 则221333222()()34261224V =⋅⋅-==锥，31131482423V =⋅⋅==柱. ∴ V V >柱锥. （3）如图3, 分别连接三角形的内心与三个顶点, 得到三条线段, 再以这三条线段的中点为顶点得到一个三角形(虚线表示), 以此三角形为直三棱柱的底面, 过虚线三角形三顶点作三边的垂线, 沿6条垂线段裁剪三角形, 剪下的三个四边形恰拼成上底, 即可得符合条件的直三棱柱.11、解：如图，正四棱锥P ABCD -底面的四个顶点,,,A B C D 在球O 的同一个大圆上，点P 在球面上，PO ⊥底面ABCD ，PO =R ，22ABCD S R =，163P ABCD V -=， 所以2116233R R ⋅⋅=，解得R =2，则球O 的表面积是16π，选D.12、解：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面.S 半球=8π ， S 圆台侧=35π ，S 圆台底=25π. 故所求几何体的表面积为68π . 由[],5245)5(2(2312222πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=圆台V ， 341162323V ππ=⨯⨯=半球.所以，旋转体的体积为31614052)33V V cm πππ-=-=圆台半球(. 13、解：当11AA B B 水平放置时，纵截面中水液面积占13144-=， 所以水液体积与三棱柱体积比为34. 当底面ABC 水平放置时，液面高度为3864⨯=. 14、解：由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个正四棱台，杯身是一个长方体，顶部是球体。
由221515151111851.6673V =⨯⨯+⨯+≈正四棱台（），8641886=⨯⨯=长方体V 343113.097,3V π=⨯≈球所以，这个奖杯的体积为31828.76()V V V V cm =++≈正四棱台长方体球. 15、B 16、D 17、C 18、C 19、D 20、3421、②④22. 解：在c 上截PQ =1，a b P = 确定平面α. 过Q 作QH ⊥α于H ，过H 作HA ⊥a 于A ，HB ⊥b 于B ，连QA 、QB .13,22HB PB PB QBH PB QB PB QB QH PB ⊥⎫⇒⊥⇒⊥⇒==⎬⊥⎭面. 易得△QPB ≌△QPA ⇒△QHB ≌△QHA HB HA PH ⇒=⇒为∠APB 的角平分线3303HPA PH ⇒∠=︒⇒=. ∴ 3cos 3QPH ∠=. 即c 与a 、b 所确定的平面α所成角的余弦值为33. 23. 解：（1）∵ PA ⊥平面 ABCD ，∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB . （2）连接BD ，与 AC 相交于 O ，连接 EO . ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，∴EO ∥PB . 又 PB ⊄平面 AEC ，EO ⊂平面 AEC ， ∴PB ∥平面 AEC . （3）135 。
