随机过程考试真题

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题学号 姓名 成绩 注意：试卷共七道大题，请将答案写在答题本上并写明题号与详细解题过程。

考试时间120分钟。

考试日期：2008年1月10日一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下：54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？二、 （15分）在数 14159263.=π的前800位小数中, 数字93210,,,,, 各出现的次数记录如下检验这10个数字的出现是否是等概率的?（取显著性水平050.=α）三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α， 计算结果保留三位小数.四、（15分）三个工厂生产某种型号的产品，为评比质量，分别从各厂生产的产品中随机抽取5只作为样品，测得其寿命（小时）如下：在单因素试验方差分析模型下，检验各厂生产的产品的平均寿命有无显著差异？取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数.五、（15分）设}),({0≥t t N 是强度为3的泊松过程，求（1）})(,)(,)({654321===N N N P ；（2）})(|)({4365==N N P ；（3）求协方差函数),(t s C N ，写出推导过程。

六、（15分）设{,}n X n T ∈是一个齐次马尔可夫链，其状态空间{0,1,2}I =，一步转移概率矩阵为 121414201335250P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（1）求}|,,,,{202021054321======X X X X X X P ；（2）求}|{122==+n n X X P ；（3）证明此链具有遍历性（不必求其极限分布）。

西 南 交 通 大 学本科生考试试卷B课程名称 随 机 过 程二零零三年二零零四年第一学期 考试日期班级 学号 姓名 成绩一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令为t 时刻的队长)(t X 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t t Y T t t X ∈∈是随机过程吗为什么二试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形 1若A 是在(上均匀分布的随机变量)1 ,1−−ω在(0, 2π)上服从均匀分布而Θ为常数 2若A 服从上均匀分布)1 ,1(−Θ服从(0, 2π)上均匀分布而ω为常数三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度为6的一个泊松过程每位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t )是[0, t )时段内店主从订阅中所获得总收入试求 1)]([t Y E 即[0, t )时段内总收入的平均收入2)]([t Y D四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(i p C Ct X −因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论{的平稳性}0),(≥t tX五若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么六一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵七设一齐次马氏链的概率转移图如下图}0),({≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1 二步转移概率矩阵2 3)3(,2)1({==X X P }2)5(,=X参考解答一顾客来到服务台要求服务当服务台中的服务员都正在为别的顾客服务时来到的顾客就要排队等待服务顾客的到达是随机的每个顾客所需服务时间也是随机的若令)(t X 为时刻的队长t 即正在被服务的顾客和等待服务的顾客的总数目Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待时间}),({},),({T t Y T t t X ∈∈是随机过程吗t 为什么解答若令X (t )为t 时刻的队长,则固定t 时, X (t )为一随机变量,其可能取值为0,1,2,…, 其参数空间为表示t 时刻的状态,故状态空间为因此为一随机过程}0|{≥=t t T ,n t X =)(},2,1,0{L =E , }0),({≥t t X若令Y (t )为t 时刻来到的顾客所需等待的时间, 则固定t 时, Y (t ) 为一随机变量,其可能取值为即其参数空间为为t 时刻的状态,故状态空间为因此亦为一随机过程0≥t , }0|{≥=t t T ,s t X =)(}0|{≥=s s E ,}0),({≥t t Y 二试写出.(1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数 解答 ()12,ππ=2()sin()cos()2sin()sin()X t A tA t X t A t A t πωωωπωΘ=+==+=−取三一书亭用邮寄订阅销售杂志订阅的顾客数是强度的一个泊松过程图2每为6位顾客订阅1年2年3年的概率分别为0.20.30.5彼此如何订阅是相互独立的每订阅一年店主即获利5元设Y (t [0t )时段内)是, 店主从订阅中所获得总收入试求1)]([t Y E 即[0, )时段内总收入的平均收入t2)]([t YD解答(1) 法一 设N(t)为订阅杂志的顾客数, 为订阅j 年的顾客数()j N t 123()()()()()N t N t N t N t N t ⇒=++且 (6)t π故由已知π123232323()3),()(2),()()()[0,)()10()15()()()10()15()531021550()2()100()225()2531002225500N t t N t t N t t Y t t t N t N t EY t t EN t EN t t t t tDY t t DN t DN t t t t tππ++∴=++=×+×+==++=⋅+⋅+=111服从服从服从均为泊松过程记为内店主的总收入则Y(t )=5N 5EN 5D N法二 设店主从第n 个订阅者处获利X(n)则5 10 15X(n) p k 1/2 1/3 1/6X(n)相互独且 立 EX(n)=50/6, DX(n)=500/6()()()N t Y t X n =∑总获利100221()[(()/())](()/())(())5050(())(())5066(2)()(()())[[(()())/()]]500(())5006n k k EY t E E Y t N t E Y t N t k P N t k kP N t k E N t tDY t E Y t EY t E E Y t EY t N t E N t t =∞=∞==========−=−==∑∑四在电报信号传输中信号是由不同的电流符号给出C C −,且对于任意的t电路中电流X (t )具有概率分布2121)(ip C Ct X − 因电流的发送有一个任意的持续时间电流变换符号的时间是随机的 设X (t )在[0, t )内变量的次数N (t )为强度λ的泊松过程试讨论}0),({≥t t X的平稳性解答1对于任意的tEX (t)=02 +∞<=22)(c t EX3对于 时21t t <})()({})()({)()(),(221222122121c t X t X P c c t X t X P c t X t EX t t R X −=−===})({})({122122奇数偶数=−−=−=t t N P c t t N P c )(0121220)(21221212)!12())(()!2())((t t k k k t t k e k t t c e k t t c −−+∞=++∞=−−∑∑+−−−=λλλλ )(!))((122)(22)(01221212t t R c e c e k t t c X t t t t k k −==−−=−−−−+∞=∑λλλ类似地, 对于时, 有12t t <)(),(21221t t R c t t R X X −=因此,合并两式即得, )(),(122222112t t R c ec t t R X t t X −==−−λ与无关,可见,t }0),({≥t t X为宽平稳过程五 若每隔一分钟观察噪声电压以X (n )表示第n 分钟观察噪声电压所得结果则X (n )为一随机变量}1),({≥n n X 为一随机过程此过程是马氏过程吗为什么解答: 由于第n 分钟观察噪声电压所得结果与其它各次观察噪声电压所得结果互不影响,显然为独立随机序列}1),({≥n nX 因此对于任意的正整数, 的条件联合分布函数为 n n n n m <<<<L 21)(),(,),(),(21n X n X n X n X m L })(,)(|)({),,,,,,,|,(112121m m m n x n X x n X x n X P n n n x x x n x F ≤≤≤=L L L })(,)({})(,)(,)({1111m m m m x n X x n X P x n X x n X x n X P ≤≤≤≤≤=L L})({})({})({})({})({})({})({})({1111m m m m m m m m x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P x n X P ≤≤≤=≤≤≤≤≤=L L},|,{})(|)({})({})(,)({m m m m m m m m n x n x F x n X x n X P x n X P x n X x n X P =≤≤=≤≤≤=满足马尔科夫性,因此此过程是马氏过程六 一质点在圆周上作随机游动圆周上共有N 格质点以概率p 顺时针游动一格以概率逆时针移动一格p q −=1试用马氏链描述游动过程并确定状态空间及转移概率矩阵解答 将N 个格点分别记为1,2,…..,N如图排列 用X(n)表示n 时质点的位置显然它只与 X(n-1)时的位置有关与X(n-1)以前的位置无关满足马尔科夫性,因此为马氏过程}1),({≥n n X 其状态空间为E={ 1, 2, . . . . . .,N},参数空间为}1{≥=n T 故 为一马氏链}1),({≥n n X 其一步转移概率为((1)/())111ij p P X k j X k i p j i q j i i N o =+===+⎧⎪==−<<⎨⎪⎩其它1((1)/()1)2((1)/())11j N j p P X k j X k p j q j N o p P X k j X k N p j q j N o =+===⎧⎪==⎨⎪⎩=+===⎧⎪==−⎨⎪⎩其它其它七设一齐次马氏链{的概率转移图如下图}0),(≥n n X 且已知其初始分布为31})0({==i XP 3,2,1=i21试求1二步转移概率矩阵2}2)5(,=X 3)3(,2)1({==X XP解答1⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012/12/102/12/10P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2/12/104/14/12/14/14/12/10012/12/102/12/100012/12/102/12/102P 2}2)5(,3)3(,2)1({===X X X P}3)3(|2)5({}2)1(|3)3({}2)1({======X X P X X P X P2412141]02121[31])0([)2(31)2(23231=××++==∑=p p p p i i i西 南 交 通 大 学本科生考试试卷A课程名称随 机 过 程二零零二年二零零三年第一学期 考试日期 2003.1.6班级 学号 姓名 成绩 一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 二20分试写出随机过程),( ) sin()(+∞−∞∈Θ+=t t A t X ω的任意两个样本函数并画出其图形1若A 是上均匀分布的随机变量)1 ,1(−ω, Θ均为常数2若Θ服从(0, 2π)上的均匀分布A , ω为常数三10分试求随机过程的一维分布函数} , cos )({R t t A t X ∈=ω一维概率密度函数自相关函数与协方差函数其中A 服从标准正态分布N (0,1)四20分设在[0, t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘客在3分钟内到达售票处的概率 五10分设)},( sin cos )({+∞−∞∈+=t t B t A t X ωωω为常数为一随机过程其中A 与B 是互不相关随机变量且 0)()(==B E A E2)()(σ==B D A D 试问此随机过程是否平稳过程为什么六20分设在每次试验中事件A 发生的概率为)10(<<p p 现将这项试验独立地重复进行多次以X (n )表示到第n 次为止事件A 发生的次数1试问{是何种随机过程},2,1),(L =n n X2试写出{的一维概率分布},2,1),(L =n n X七10分一只老鼠放在迷宫内见下图每隔单位时间老鼠在迷宫中移动一次随机地通过格子也就是说如果有R 条通路供离开那么选取其中任一条通路的概率为R1试用马氏链描述老鼠的移动规律给出它的状态空间和一步转移矩阵参考解答:一10分设质点M 在一直线上移动每单位时间移动一次且只能在整数点上移动质点M 的移动是随机的试建立描述这一随机现象的随机过程 解答设Y 为第n 个单位时刻质点M 所在位置, 而令随机变量n⎩⎨⎧−=向左移动一个整数单位质点向右移动一个整数单位质点M M X i 11L ,2,1=i 由于质点M 的移动是随机的, 故 21}1{}1{=−===X P X P 则在时刻 t=n 时, 质点所在的位置为M 1nn i i Y X ==∑,易知参数集为状态集为, 因此}1,{≥=n n T ,},2,1,0{L ±±=E {,1}n Y n ≥成为描述上述随机现象的随机过程二试写出. (1) 若A 是(-1, 1)上均匀分布, 为常数解答()sin()()X t A t t R ω=+Θ∈的任意两个样本函数,ωΘ图1取 12A =±得随机过程的两个样本函数图形如图111(sin(x t ω=+Θ2))21()sin()2t x t t ω=−+Θ 见图1(2)若 服为常Θ从(0,2),,U A πω数解答 ()12,2()sin()cos()2sin()sin()Xt A t A t X t A t A t πππωωωπωΘ=取=+==+=− 见图2{()cos ,}X t A t t R ωω=∈是一常数三试求随机过程的一维分布函数一维概率其中A 服从标准正态分布N (0, 1)密度函数自相关函数与自协方差函数 解答在一个给定时刻t 0随机变量X (t )为A 的性函数0线而A 服从标准正态分布N (0, 1)由概率论知(t X 0)服从正态分布0(0,(cos ))N t ω2故一维率密度函数为概一维分布函数为自相关函数为12=((),())R X t X t 212(cos cos E A t t ωω)])t t DA A ωω=+212cos cos ([E 因为所以自协方差函数1,0,DA EA ==12cos cos t t ωω= 12121(2),())((),())()()X X C X t X t R X t X t m t m t =−0 所以 Co 2t X 2ωω=(因为,()X t R m t ∀∈=))(),((v 1t X 1t t cos cos 四设在[0,t )时段内乘客到达某售票处的数目为一强度是3=λ人/分的泊松过程试求1在5分钟内有7位乘客到达售票处的概率2第3位乘在客3分钟内到达售票处的概率 解答设N(t)为[0t 内到达的乘客数则 N(t)(1) (3)t π773515(35((5)7N ==)15)7!7!P e e −×−×= 153315(3)((3)3)!n k k n P P N ek ττ∞−=≤=≥=∑表第个乘客到达的时间()21000 cos t 0cos 2t ωω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭1(,)f x t =()200 cos t 0cos 2dx t ω⎧⎫⎛⎞⎪≠⎬⎪⎭101(,)xF x t ω−∞=∫(2)。

1北京邮电大学随机信号分析与处理综合练习题一、判断题：1. 设()X t 和()Y t 是相互独立的平稳随机过程，则它们的乘积也是平稳的。

2.()X t 为一个随机过程,对于任意一个固定的时刻i t ,()i X t 是一个确定值。

3。

设X 和Y 是两个随机变量，X 和Y 不相关且不独立，有()()()D X Y D X D Y +=+。

4。

一般来说,平稳正态随机过程与确定性信号之和仍然为平稳的正态过程。

5. 设()X t 是不含周期分量的零均值平稳随机过程，其自相关函数为()X R τ，从物理概念上理解,有lim ()0X R ττ→∞=。

6. 对于线性系统，假设输入为非平稳随机过程，则不能用频谱法来分析系统输出随机过程的统计特性。

7. 若随机过程X (t )满足，与t 无关,则X (t )是广义平稳(宽平稳）过程.8. 随机过程的方差表示消耗在单位电阻上瞬时功率的统计平均值。

9. 广义循环平稳的随机过程本身也是一种广义平稳的随机过程。

10. 高斯白噪声经过匹配滤波器后仍然为高斯白噪声。

二．选择填空1．对于联合平稳随机过程()X t 和()Y t 的互相关函数()XY R τ,以下关系正确的是（1） 。

（1） A ．()()XY XY R R ττ-= B. ()-()XY YX R R ττ-=C. )()(ττYX XY R R =-D. )()(ττXY XY R R -=-2. 随机过程X(t)的自相关函数满足1212(,)()()0X X X R t t m t m t =≠，则可以断定1()X t 和2()X t 之间的关系是 （2） 。

（2) A 。

相互独立 B 。

相关 C. 不相关 D 。

正交3．两个不相关的高斯随机过程)(t X 和)(t Y ，均值分别为X m 和Y m ，方差分别为2X σ和2Y σ，则)(t X 和)(t Y 的联合概率密度为 (3） .（3) A．2222()()(,)22X Y X Y x m y m f x y σσ⎧⎫⎡⎤--⎪⎪=-+⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭ B 。

Stochastic Processes
Final Exam: Gauss Award - Page 3 of 9
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2. (15 points) When three fair six-sided dice are rolled, what is the probability that the sum of the total numbers will be 12?
Stochastic Processes
Final Exam: Gauss Award - Page 6 of 9
26/12/16
5. (20 points) A Yule process starts at time 0 with one organism. This organism splits into two organisms after a time Y1 with the density fY1 (y ) = λe−λy , y ≥ 0. Each of these two organisms splits into two more organisms after independent exponentially distributed delays, each with the same density λe−λy . In general, each old and new organism continues to split forever after a delay y with the same density λe−λy . (a) (5 points) Let T1 be the time at which the first organism splits, and for each i > 1, let Ti be the interval from (i − 1)st splitting until the ith. Show that Ti is exponential with parameter iλ and explain why the Ti are independent. (b) (5 points) For each n ≥ 1, let the continuous random variable Sn be the time at which the n th splitting occurs, i.e. Sn = T1 + . . . + Tn . Find a simple expression for the distribution function of Sn . (c) (5 points) Let X (t) be the number of organisms at time t > 0. Express the distribution function of X (t) for each t > 0 in terms of Sn for each n. Show that X (t) is a random variable for each t > 0 (i.e., show that X (t) is finite with probability 1). (d) (5 points) Find E [X (t)] for each t > 0.