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13-18年上海中考数学第18,24,25题含详细答案

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25．在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图10）．已知13AD =，5AB =．设AP x =，BQ y =．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ．如果4EF EC ==，求x 的值．25．（14分）（2014•上海）如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=8，cosB=，点P是边BC上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）连接AP，当AP∥CG时，求弦EF的长；（3）当∥AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．25．（14分）已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=，设OP=x，△CPF的面积为y．（1）求证：AP=OQ；（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．25．如图所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．（1）求线段CD的长；（2）如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；（3）如果点F在边CD上（不与点C、D重合），设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．25．（14分）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB=AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．（1）求证：△OAD∽△ABD；（2）当△OCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；（3）记△AOB、△AOD、△COD 的面积分别为S1、S2、S3，如果S2是S1和S3的比例中项，求OD的长．24．如图9，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线()20y ax bx a =+>经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，2AO BO ==，120AOB ∠=．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM ，求AOM ∠的大小；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标24．（12分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，求点F的坐标；（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t＞3，如果△BDP和△CDP的面积相等，求t的值．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），抛物线y=ax2﹣4与x 轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B，AB=2，点P在抛物线上，线段AP与y轴的正半轴交于点C，线段BP与x轴相交于点D，设点P的横坐标为m．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m的代数式表示线段CO的长；（3）当tan∠ODC=时，求∠PAD的正弦值．24．如图，抛物线25y ax bx =+-()0a ≠经过点()4,5A -，与x 轴的负半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，且OC =5OB ，抛物线的顶点为点D ．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、CD 、DA ，求四边形ABCD 的面积；（3）如果点E 在y 轴的正半轴上，且∠BEO =∠ABC ，求点E 的坐标．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（2，2），对称轴是直线x=1，顶点为B．（1）求这条抛物线的表达式和点B的坐标；（2）点M在对称轴上，且位于顶点上方，设它的纵坐标为m，联结AM，用含m的代数式表示∠AMB的余切值；（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点C在x轴上．原抛物线上一点P平移后的对应点为点Q，如果OP=OQ，求点Q的坐标．18．如图5，在△ABC 中，AB AC =，8BC =，32tanC =，如果将△ABC 沿直线l 翻折后，点B 落在边AC 的中点处，直线l 与边BC 交于点D ，那么BD 的长为 ．18．（4分）如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE=2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB=t ，那么△EFG 的周长为 _________ （用含t 的代数式表示）．18．（4分）已知在△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D 处，延长线段AD ，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ，那么线段DE 的长等于 ．18．如图，矩形ABCD 中，BC=2，将矩形ABCD 绕点D 顺时针旋转90°，点A 、C 分别落在点A ′、C ′处．如果点A ′、C ′、B 在同一条直线上，那么tan ∠ABA ′的值为 ．18．（4分）我们规定：一个正n 边形（n 为整数，n ≥4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做这个正n 边形的“特征值”，记为λn ，那么λ6= ．25．（2013年）．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．25．(2014年)分析：（1）当点A在∥C上时，点E和点A重合，过点A作AH∥BC于H，直接利用勾股定理求出AC进而得出答案；（2）首先得出四边形APCE是菱形，进而得出CM的长，进而利用锐角三角函数关系得出CP以及EF的长；（3）∥GAE≠∥BGC，只能∥AGE=∥AEG，利用AD∥BC，得出∥GAE∥∥GBC，进而求出即可．解答：解：（1）如图1，设∥O的半径为r，当点A在∥C上时，点E和点A重合，过点A作AH∥BC于H，∥BH=AB•cosB=4，∥AH=3，CH=4，∥AC==5，∥此时CP=r=5；（2）如图2，若AP∥CE，APCE为平行四边形，∥CE=CP，∥四边形APCE是菱形，连接AC、EP，则AC∥EP，∥AM=CM=，由（1）知，AB=AC，则∥ACB=∥B，∥CP=CE==，∥EF=2=；（3）如图3：过点C作CN∥AD于点N，∥cosB=，∥∥B＜45°，∥∥BCG＜90°，∥∥BGC＞45°，∥∥BGC＞∥B=∥GAE，即∥BGC≠∥GAE，又∥AEG=∥BCG≥∥ACB=∥B=∥GAE，∥当∥AEG=∥GAE时，A、E、G 重合，则∥AGE不存在．即∥AEG≠∥GAE∥只能∥AGE=∥AEG，∥AD∥BC，∥∥GAE∥∥GBC，∥=，即=，解得：AE=3，EN=AN﹣AE=1，∥CE===．点此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，利用分类讨论得出∥AGE是等腰三角形时只能∥AGE=∥AEG进而求出是解题关键．25.(2015年)【分析】（1）连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=得到OH=PO=x，从而得到S△=AO•PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函AOP数解析式；（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时，当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．【解答】解：（1）连接OD，在△AOP和△ODQ中，，∴△AOP≌△ODQ，∴AP=OQ；（2）作PH⊥OA，∵cos∠AOC=，∴OH=PO=x，=AO•PH=3x，又∵△PFC∽△PAO，∴S△AOP∴==（）2，整理得：y=，∵AP延长线与CD相交于点F，∴CF≤CD=16，易知△CPF∽△OPA，∴，∴x的定义域为：＜x＜10；（3）当∠POE=90°时，CQ==，PO=DQ=CD﹣CQ=（舍）；当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；当∠OEP=90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，∴∠APO=∠OQD，∴∠AOQ=∠OQD=∠APO，∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），∴此种情况不存在，∴线段OP的长为8．【点评】本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．25．(2016年)【分析】（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，则DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；（2）分类讨论：当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，则判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，通过证明Rt△AME∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，则利用相似比可表示出EG=，则可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：（1）作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；（2）当EA=EG时，则∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，则AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；当GA=GE时，则∠AGE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15，综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9，HE=AE﹣AH=x﹣9，在Rt△ADE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=（﹣）：，∴y=（9＜x＜）．【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．25．(2017年)【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C=∠B，由OA=OC，推出∠OAC=∠C=∠B，由∠ADO=∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；（2）如图2中，当△OCD是直角三角形时，需要分类讨论解决问题；（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．想办法用x表示AD、AB、CD，再证明AD2=AC•CD，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图1中，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC，∴∠C=∠B，∵OA=OC，∴∠OAC=∠C=∠B，∵∠ADO=∠ADB，∴△OAD∽△ABD．（2）如图2中，①当∠ODC=90°时，∵BD⊥AC，OA=OC，∴AD=DC，∴BA=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，在Rt△OAD中，∵OA=1，∠OAD=30°，∴OD=OA=，∴AD==，∴BC=AC=2AD=．②∠COD=90°，∠BOC=90°，BC==，③∠OCD显然≠90°，不需要讨论．综上所述，BC=或．（3）如图3中，作OH⊥AC于H，设OD=x．∵△DAO∽△DBA，∴==，∴==，∴AD=，AB=，∵S2是S1和S3的比例中项，∴S22=S1•S3，∵S2=AD•OH，S1=S△OAC=•AC•OH，S3=•CD•OH，∴（AD•OH）2=•AC•OH••CD•OH，∴AD2=AC•CD，∵AC=AB．CD=AC﹣AD=﹣，∴（）2=•（﹣），整理得x2+x﹣1=0，解得x=或，经检验：x=是分式方程的根，且符合题意，∴OD=．（也可以利用角平分线的性质定理：==，黄金分割点的性质解决这个问题）【点评】本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、比例中项等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．24．（2013年）解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．24.(2014)分析：（1）根据待定系数法可求抛物线的表达式，进一步得到对称轴；（2）因为AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，所以CE∥AF．分别求出直线CE、AF的解析式，进而求出点F的坐标；（3）∥BDP和∥CDP的面积相等，可得DP∥BC，根据待定系数法得到直线BC的解析式，根据两条平行的直线k值相同可得直线DP的解析式，进一步即可得到t的值．解答：解：（1）∥抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣2），∥，解得．故抛物线的表达式为：y=x2﹣x﹣2=（x﹣1）2﹣，对称轴为直线x=1；（2）设直线CE的解析式为：y=kx+b，将E（1，0），C（0，﹣2）坐标代入得：，解得，∥直线CE的解析式为：y=2x﹣2．∥AC与EF不平行，且四边形ACEF为梯形，∥CE∥AF．∥设直线AF的解析式为：y=2x+n．∥点A（﹣1，0）在直线AF上，∥﹣2+n=0，∥n=2．∥设直线AF的解析式为：y=2x+2．当x=1时，y=4，∥点F的坐标为（1，4）．（3）点B（3，0），点D（1，﹣），若∥BDP和∥CDP的面积相等，则DP∥BC，则直线BC的解析式为y=x﹣2，∥直线DP的解析式为y=x﹣，当y=0时，x=5，∥t=5．点评：考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求抛物线的表达式，待定系数法求直线的解析式，两条平行的直线之间的关系，三角形面积，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．24.(2015)【分析】（1）根据已知条件先求出OB的长，再根据勾股定理得出OA=2，求出点A的坐标，再把点A的坐标代入y=ax2﹣4，求出a的值，从而求出解析式；（2）根据点P的横坐标得出点P的坐标，过点P作PE⊥x轴于点E，得出OE=m，PE=m2﹣4，从而求出AE=2+m，再根据=，求出OC；（3）根据tan∠ODC=，得出=，求出OD和OC，再根据△ODB∽△EDP，得出=，求出OC，求出∠PAD=45°，从而求出∠PAD的正弦值．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2﹣4与y轴相交于点B，∴点B的坐标是（0，﹣4），∴OB=4，∵AB=2，∴OA==2，∴点A的坐标为（﹣2，0），把（﹣2，0）代入y=ax2﹣4得：0=4a﹣4，解得：a=1，则抛物线的解析式是：y=x2﹣4；（2）方法一：∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，m2﹣4），过点P作PE⊥x轴于点E，∴OE=m，PE=m2﹣4，∴AE=2+m，∵=，∴=，∴CO=2m﹣4；方法二：∵点P在抛物线上，∴P（m，m2﹣4），设PA的直线方程为：y=kx+b，∴⇒，∴l PA：y=（m﹣2）x+2m﹣4，∴CO=2m﹣4；（3）方法一：∵tan∠ODC=，∴=，∴OD=OC=×（2m﹣4）=，∵△ODB∽△EDP，∴=，∴=，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴OC=2×3﹣4=2，∵OA=2，∴OA=OC，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=sin45°=．方法二：∵P（m，m2﹣4），B（0，﹣4），∴l PB：y=mx﹣4，∴D（，0），tan∠ODC=⇒，OC=2m﹣4，∴OD=，∵线段AP与y轴的正半轴交于点C，∴OC=2m﹣4（m＞2），∴，经整理：m2﹣2m﹣3=0，∴m1=﹣1（舍去），m2=3，∴P（3，5），∴l PA：y=x+2，∴∠PAD=45°，∴sin∠PAD=．【点评】此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、特殊角的三角函数值，关键是根据题意作出辅助线，构造相似三角形．24．（2016年）．【分析】（1）先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；（2）分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；（3）由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是已知的，从而利用tan∠BEO=tan∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣5与y轴交于点C，∴C（0，﹣5），∴OC=5．∵OC=5OB，∴OB=1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B （﹣1，0）．∵抛物线经过点A （4，﹣5）和点B （﹣1，0），∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x 2﹣4x ﹣5．（2）由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为（2，﹣9）．连接AC ，∵点A 的坐标是（4，﹣5），点C 的坐标是（0，﹣5），又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18． （3）过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =×AB×CH=10，AB=5，∴CH=2， 在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH==3， ∴tan ∠CBH==．∵在RT △BOE 中，∠BOE=90°，tan ∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC ，∴，得EO=， ∴点E 的坐标为（0，）．【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第（3）问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．24．（2017年）【分析】（1）依据抛物线的对称轴方程可求得b 的值，然后将点A 的坐标代入y=﹣x 2+2x +c 可求得c 的值；（2）过点A作AC⊥BM，垂足为C，从而可得到AC=1，MC=m﹣2，最后利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）由平移后抛物线的顶点在x轴上可求得平移的方向和距离，故此QP=3，然后由点QO=PO，QP∥y轴可得到点Q和P关于x对称，可求得点Q的纵坐标，将点Q的纵坐标代入平移后的解析式可求得对应的x的值，则可得到点Q 的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=1，∴x=﹣=1，即=1，解得b=2．∴y=﹣x2+2x+c．将A（2，2）代入得：﹣4+4+c=2，解得：c=2．∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+2．配方得：y=﹣（x﹣1）2+3．∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．（2）如图所示：过点A作AC⊥BM，垂足为C，则AC=1，C（1，2）．∵M（1，m），C（1，2），∴MC=m﹣2．∴cot∠AMB==m﹣2．（3）∵抛物线的顶点坐标为（1，3），平移后抛物线的顶点坐标在x轴上，∴抛物线向下平移了3个单位．∴平移后抛物线的解析式为y=﹣x2+2x﹣1，PQ=3．∵OP=OQ，∴点O在PQ的垂直平分线上．又∵QP∥y轴，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的纵坐标为﹣．将y=﹣代入y=﹣x2+2x﹣1得：﹣x2+2x﹣1=﹣，解得：x=或x=．∴点Q的坐标为（，﹣）或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、锐角三角函数的定义、二次函数的平移规律、线段垂直平分线的性质，发现点Q与点P关于x轴对称，从而得到点Q的纵坐标是解题的关键．（2013年）18题（2014年）18题18.(2015年)18.(2016年)【考点】旋转的性质；矩形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，则CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】本题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．18.(2017年)【分析】如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，只要证明△BEC是直角三角形即可解决问题．【解答】解：如图，正六边形ABCDEF中，对角线BE、CF交于点O，连接EC．易知BE是正六边形最长的对角线，EC是正六边形的最短的对角线，∵△OBC是等边三角形，∴∠OBC=∠OCB=∠BOC=60°，∵OE=OC，∴∠OEC=∠OCE，∵∠BOC=∠OEC+∠OCE，∴∠OEC=∠OCE=30°，∴∠BCE=90°，∴△BEC是直角三角形，∴=cos30°=，∴λ6=，故答案为．【点评】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．。

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2017年上海市数学中考真题(含答案)

2017年上海市数学中考真题(含答案)

2017年上海市数学中考真题(含答案)2017年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷注意事项：1.本试卷共25题；2.试卷满分150分，考试时间100分钟；3.答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；4.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.下列实数中，无理数是A。

√2；B。

2；C。

-2；D。

(2/7)²。

2.下列方程中，没有实数根的是A。

x²-2x=0；B。

x²-2x-1=0；D。

x²-2x+2=0.3.如果一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图像经过第一、二、四象限，那么k、b应满足的条件是C。

k>0，且b<0.4.数据2、5、6、6、1、8的中位数和众数分别是D。

5和8.5.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是D。

等腰梯形。

6.已知平行四边形ABCD，AC、BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是D。

∠BAC=∠ADB。

二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.计算：2a·a²=____▲____。

8.不等式组{2x>6.x-2>0}的解集是____▲____。

9.方程2x-3=1的根是____▲____。

10.如果反比例函数y=k/x（k是常数，k≠0）的图像经过点(2,3)，那么在这个函数图像所在的每个象限内，y的x值随x的值增大而___▲___。

（填“增大”或“减小”）11.某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米，去年比前年下降了10%。

如果今年PM2.5的年均浓度比去年也下降10%，那么今年PM2.5的年均浓度将是___▲___微克/立方米。

12.从不透明的布袋中摸出一个红球的概率可以通过红球的数量除以总球数来计算，即3/(2+3+5)=3/10.13.二次函数的标准形式为y=ax^2+bx+c，其中a决定了开口方向和大小，由于题目中开口向上，所以a>0.又因为顶点坐标为(0,-1)，所以c=-1.因此二次函数的解析式为y=ax^2-1.14.根据图1可知，第一季度总产值为100万元，二月份产值为72万元，因此其他两个月份的产值之和为100-72=28万元。

2024年中考数学第二次模拟考试+解析(上海卷)

2024年中考数学第二次模拟考试+解析(上海卷)

2024年中考第二次模拟考试（上海卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．在下列图形中，为中心对称图形的是( ) A ．等腰梯形 B ．平行四边形 C ．正五边形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A 、C 、D 都不符合； 是中心对称图形的只有B ． 故选B ．2．下列方程有实数根的是A ．4x 20+=B 1=−C ．2x +2x −1=0D ．x 1x 1x 1=−− 【答案】C【详解】A ．∵x4＞0，∴x4+2=0B ．，无解，故本选项不符合题意；C ．∵x2+2x−1=0，∆ =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；D ．解分式方程1xx −=11x −，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．故选C ．3．计算：AB BA +=（ ） A ．AB ； B ．BA ；C ．0；D ．0．【答案】C【分析】根据零向量的定义即可判断． 【详解】AB BA +=0． 故选C ．4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC【答案】C【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；C，能，符合题意；D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．故选C．5．下列命题中，假命题是（）A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．【答案】C【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．【详解】A是真命题；B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命题；C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．故选C．【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何两个，那么也就具备其他三个．6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（）A ．4<OB <7 B ．5<OB <7C ．4<OB <9D ．2<OB <7【答案】A【分析】作⊙A 半径AD ，根据含30度角直角三角形的性质可得4OA =，再确认⊙B 与⊙A 相切时，OB 的长，即可得结论．【详解】解：设⊙A 与直线OP 相切时的切点为D ， ∴AD OP ⊥，∵∠POQ=30°，⊙A 半径长为2，即2AD =， ∴24OA AD ==，当⊙B 与⊙A 相切时，设切点为C ，如下图，∵5BC =，∴4(52)7OB OA AB =+=+−=，∴若⊙B 与⊙A 内含，则OB 的取值范围为47OB <<． 故选：A ．【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 7．分解因式：2218m −= ．【答案】()()233m m +−/()()233m m −+【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：2218m −=2（m2-9） =2（m+3）（m -3）．故答案为：2（m+3）（m -3）．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 8．x −的解是 ． 【答案】x ＝﹣1．【分析】把方程两边平方后求解，注意检验． 【详解】把方程两边平方得x+2＝x2， 整理得（x ﹣2）（x+1）＝0， 解得：x ＝2或﹣1，经检验，x ＝﹣1是原方程的解． 故本题答案为：x ＝﹣1．【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根． 9．函数y =x 的取值范围是 ． 【答案】0x ≥且2x ≠【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．【详解】解：由题意可知：020x x ≥⎧⎨−≠⎩，解得：0x ≥且2x ≠， 故答案为：0x ≥且2x ≠．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．10．△ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG = （用a b 、表示）. 【答案】23a b−+. 【详解】试题分析： ∵在△ABC 中，点G 是重心，AD b =，∴23AG b=，又∵BG AG AB =−，AB a =，∴2233BG b a a b =−=−+；故答案为23a b −+．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率是 . 【答案】13【详解】解: 列树状图得共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是13.12．在方程2234404x x x x+−+=−中，如果设y=x 2﹣4x ，那么原方程可化为关于y 的整式方程是 ．【答案】2430y y ++=【分析】先把方程整理出含有x2-4x 的形式，然后换成y 再去分母即可得解． 【详解】方程2234404x x x x +−+=−可变形为x2-4x+214x x −+4=0,因为24y x x =−，所以340y y ++=，整理得，2430y y ++=13．如果⊙O 1与⊙O 2内含，O 1O 2＝4，⊙O 1的半径是3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是 ． 【答案】7r >/7r <【分析】由题意，⊙O1与⊙O2内含，则可知两圆圆心距d r r <−小大，据此代入数值求解即可．【详解】解：根据题意，两圆内含，故34r−>，解得7r>．故答案为：7r>．【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长率都为x，那么可列方程是．【答案】100（1＋x）2＝200【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，即可列出关于x的一元二次方程．故答案为：100（1＋x）2＝200【详解】设平均每月的增长率为x，根据题意可得：100（1＋x）2＝200．故答案为：100（1＋x）2＝200．【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．15．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是．【答案】【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO＝12BD，BD⊥AC，在Rt△ABO中，由cos∠ABO即可求得BO，继而得到BD的长．【详解】解：如图，∵四边形ABCD为菱形，∴AB CD∥，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠ABC：∠BCD＝1：2，∴∠ABC＝60°，∴∠ABD＝12∠ABC＝30°，BO＝12BD，BD⊥AC．在Rt△ABO中，cos∠ABO＝BOAB＝，∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4×＝∴BD＝2BO＝故答案为：【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数求解线段长度是解题的关键．16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC = ．【答案】10【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，解出即可得出OC的长．【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16∴AD=12AB=8，在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2解得：r=10故答案为10.【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形ABCD 中，10AB =，12BC =，5CD =，3tan 4B =，那么边AD 的长为 ．【答案】9【分析】连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点，由3tan 4B =，10AB =，可得AE=6，BE=8，并求出AC 的长，作CF AD ⊥交AD 于F 点，可证B DCF ∠=∠，最后求得AF 和DF 的长，可解出最终结果． 【详解】解：如图，连接AC ，作AE BC ⊥交BC 于E 点， 3tan 4B =，10AB =，∴3tan 4AE B BE ==，设AE=3x ，BE=4x ，∴222AE BE AB+=，则()()2223425100x x x +==，解得x=2，则AE=6，BE=8， 又12BC =，∴CE=BC -BE=4，∴AC ==作CF AD ⊥交AD 于F 点，+=90B D ∠∠︒，90D DCF ∠+∠=︒，∴B DCF ∠=∠，3tan 4B ==tan DCF ∠=DF CF ，又5CD =，∴同理可得DF=3，CF=4，∴6AF ==，∴AD=AF+DF=9．故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．18．如图，在Rt∆ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，那么⊙A的半径长为．2=+可得结论；【分析】分两种情况：①如图，A与O内切，连接AO并延长交A于E，根据AE AO OE=−可得结论．②如图，A与O外切时，连接AO交A于E，同理根据AE OA OE【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：①如图1，A与O内切时，连接AO并延长交O于E，O 与A 相内切，E ∴为切点，122OE BC ∴==，90ACB ∠=︒，根据勾股定理得：OA ，2AE OA OE ∴=+；即A 2；②如图2，A 与O 外切时，连接AO 交O 于E ，同理得2AE AO OE =−，即A 2，综上，A 22．2．【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出AE 是A 的半径．第Ⅱ卷三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19．（10()()()202201cot 453sin 30π−−︒+−−︒ ．【答案】【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．202201(cot 45)(3)(sin30)π−−︒++−−︒202211(1)1()2−=−+−112=−=【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键是准确熟练地化简各式．20．（10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.（1）求△ABC 的面积； （2）求CE ∶DE .【答案】解：（1）；（2）31.【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH 和AH 的长，从而可以求得△ABC 的面积； （2）根据三角形的相似和题意可以求得CE ：DE 的值．试题解析：解：（1）∵AB=AC=6，cosB=23，AH 是△ABC 的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，=∴△ABC 的面积是；2BC AH ⋅=（2）作DF ⊥BC 于点F ．∵DF ⊥BH ，AH ⊥BH ，∴DF ∥AH ，∴AD HF CE CHAB HB DE HF ==，．∵AD ：DB=1：2，BH=CH ，∴AD ：AB=1：3，∴13HF HB =，∴31CE CH BH DE HF HF ===，即CE ：DE=3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 是反比例函数y ＝kx的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，已知点A 的纵坐标为2．经过点A 且与正比例函数y ＝kx 的图象垂直的直线交反比例函数y ＝kx的图象于点B （点B 与点A 不是同一点）．(1)求k 的值； (2)求点B 的坐标． 【答案】(1)2(2)（4，12）【分析】（1）根据题意得到22k k =，解方程求得k ＝2； （2）先求得A 的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入解得b 52=，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B 的坐标． 【详解】（1）解：∵点A 是反比例函数y kx =的图象与正比例函数y ＝kx 的图象在第一象限内的交点，点A的纵坐标为2， ∴22kk =， ∴2k ＝4，解得k ＝±2， ∵k ＞0， ∴k ＝2； （2）∵k ＝2， ∴反比例函数为y2x =，正比例函数为y ＝2x ，把y ＝2代入y ＝2x 得，x ＝1， ∴A （1，2）， ∵AB ⊥OA ，∴设直线AB 的解析式为y12=−x+b ，把A 的坐标代入得2112=−⨯+b ， 解得b52=，解21522y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=−+⎪⎩得12x y =⎧⎨=⎩或412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴点B 的坐标为（4，12）．待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB 的解析式，本题属于中等题型．22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD 的上底BC 表示主跨桥，两腰AB ，CD 表示桥两侧的斜梯，A ，D 两点在地面上，已知AD ＝40m ，设计桥高为4m ，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A 左侧25m 点P 处有一棵古树，有关部门划定了以P 为圆心，半径为3m 的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m ，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN 作为轮椅坡道，坡道终点N 在左侧的新斜梯上，并在点N 处安装无障碍电梯，坡道起点M 在AP上，且不能影响到古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计是否可行．表：轮椅坡道的最大高度和水平长度【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡A B''的水平距离A E'进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点A'和点D'，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点B'，射线FC过点C'，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝25m，B'E＝5m，∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即AE＝1：2.4，∴AE＝4×2.4＝9.6（m），又∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AE＝DF＝9.6m，∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），AB10.4（m）＝CD，∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡A B ''的坡度为1：4，即B E A E ''＝1：4，∴A 'E ＝5×4＝20（m ）， ∴A A '＝20﹣9.6＝11.4（m ），A 'G ＝4NG ＝4×0.9＝3.6（m ），∴AG ＝11.4﹣3.6＝7.8（m ），点M 到点G 的最多距离MG ＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m ）， ∵14.2＜14.4，∴轮椅坡道的设计不可行．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B Ð=°，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE=CE ．即可以利用“AAS”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE ADCB AC =．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠． 又∵E 是AC 中点， ∴AE=CE ，∴在AED △和CEF △中，ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌， ∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形． （2）∵//AD BC ， ∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE ADCB AC =， ∴ADE CAB ∽△△， ∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥． ∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线235y x bx c =−++与y 轴交于点(0,3)A ，与x 轴的正半轴交于点(5,0)B ，点D 在线段OB 上，且1OD =，联结AD ，将线段AD 绕着点D 顺时针旋转90︒，得到线段DE ，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的表达式； (2)联结DF ，求cot ∠EDF 的值；(3)点P 在直线l 上，且∠EDP =45°，求点P 的坐标． 【答案】(1)2312355y x x =−++；(2)cot 2EDF ∠=；(3)(4,6)或3(4,)2−．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）证明()OAD HDE AAS ∆∆≌，再根据全等三角形的性质得1EH OD ==，3DH OA ==，可得(4,1)E ，(4,3)F ，求出3FH DH ==，则45DFH ∠=︒，DF =E 作EK DF ⊥于K，根据等腰直角三角形的性质可得KF KE =DK DF KF =−=，在Rt DKE ∆中，根据余切的定义即可求解；（3）分两种情形①点P 在点E 的上方时；②点P 在点E 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决问题．【详解】（1）解：把点(0,3)A ，点(5,0)B 代入235y x bx c=−++，得：15503b c c −++=⎧⎨=⎩，解得：1253b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为2312355y x x =−++；（2）解：如图：90AOD ADE DHE ∠=∠=∠=︒，90ADO OAD ∴∠+∠=︒，90ADO EDH ∠+∠=︒，OAD EDH ∴∠=∠，AD DE =，()OAD HDE AAS ∴∆∆≌，1EH OD ∴==，3DH OA ==， (4,1)E ∴，过点E 作直线l x ⊥轴，垂足为H ，交抛物线2312355y x x =−++于点F ．(4,3)F ∴，3FH ∴=，3FH DH ∴==，90DHE ∠=︒，45DFH ∴∠=︒，DF =过点E 作EK DF ⊥于K ，312EF =−=，KF KE ∴=，DK DF KF ∴=−=在Rt DKE ∆中，cot 2DK EDF KE ∠=；（3）解：①当点P 在点E 的上方时，45EDP DFH ∠=∠=︒，DEP ∠是公共角，EDF EPD ∴∆∆∽，∴EF EDED EP =，2ED EF EP ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，又2EF =，ED102(1)y ∴=−，解得6y =，∴点P 的坐标为(4,6)；②当点P 在点E 的下方时，45EDP DFP ∠=∠=︒，DPF ∠是公共角，PED PDF ∴∆∆∽，∴PE DPPD FP =，2DP PE PF ∴=⋅，设(4,)P y ，则1EP y =−，3FP y =−，DP ，29(1)(3)y y y ∴+=−−，解得32y =−，∴点P 的坐标为3(4,)2−； 综上所述，当45EDP ∠=︒时，点P 的坐标为(4,6)或3(4,)2−． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质． 25．（14分）如图，半径为1的⊙O 与过点O 的⊙P 相交，点A 是⊙O 与⊙P 的一个公共点，点B 是直线AP 与⊙O 的不同于点A 的另一交点，联结OA ，OB ，OP ．(1)当点B 在线段AP 上时， ①求证：∠AOB ＝∠APO ；②如果点B 是线段AP 的中点，求△AOP 的面积；(2)设点C 是⊙P 与⊙O 的不同于点A 的另一公共点，联结PC ，BC ．如果∠PCB ＝α，∠APO ＝β，请用含α的代数式表示β．【答案】(1)①见解析；② (2)β＝60°﹣23β【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ，则∠AOB ＝∠APO ；②首先利用△AOB ∽△APO ，得OA ABAP OA =，可得AP 的长，作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，利用勾股定理列方程求出OH 的长，从而得出AH ，即可求得面积； （2）联结OC ，AC ，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，再利用SSS 说明△OAP ≌△OCP ，得∠OAP ＝∠OCP ，从而解决问题． 【详解】（1）①证明：∵OA ＝OB ， ∴∠OAB ＝∠OBA ， ∵PA ＝PO ， ∴∠BAO ＝∠POA ， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠AOP ， ∴∠AOB ＝∠APO ；②解：∵∠AOB ＝∠APO ，∠OAB ＝∠PAO ，∴△AOB ∽△APO ， ∴OA AB AP OA =， ∴OA2＝AB•AP ＝1，∵点B 是线段AP 的中点，∴AP作AH ⊥PO 于点H ，设OH ＝x ，则PH x ，由勾股定理得，12﹣x22x ）2，解得x ＝，∴OH ＝4，由勾股定理得，AH ，∴△AOP 的面积为1122OP AH ⨯⨯=＝； （2）解：如图，联结OC ，AC ，∵∠AOB ＝∠APO ，∴∠AOB ＝β，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝12β，∠ACO ＝12∠APO ＝12β，∴∠OCP＝β+α，∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，∴β＝60°﹣23．【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．。

2024年上海市松江区中考一模 数学 试题(学生版+解析版)

2024年上海市松江区中考一模 数学 试题(学生版+解析版)

2024年上海市松江区中考一模数学试题（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题．2.答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明．或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】l.下列函数中，属千二次函数的是（A. y=x-2B. y = x 2C.y = x 2一(x + 1)22D.y =2X2.已知在Rtt.ABC 中，乙C=90°,乙A=a ,BC=m,那么AB 的长为（）A msma:B.mc os a :C.二：smaD.二．cos a3.关于二次函数y =-2(x-1)2的图像，下列说法正确的是()A升口向上C.对称轴右侧的部分是下降的4下列条件中，不能判定a II b 的是()A. a I I c, b II c ;B. a=-c, b = 2cB经过原点D 顶点坐标是(-1,0)C. a =-2bD. liil =31叶5如图，在Rt6ABC 中，乙BAC=90°,斜边BC 上的高AH=3,矩形DEFG 的边DE 在边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，如果GF 正好经过c.ABC 的重心，那么BD·EC 的积等千()AB DH E CA.4B.I16-25c 9-25D6某同学对“两个相似的四边形”进行探究四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1是相似的图形，点A 与点ABA I、点B与点队、点C与点C l、点D与点D I分别是对应顶点，已知一—=k该同学得到以下两个结A IB I论＠四边形ABCD和四边形A1B1C i D1的而积比等千k2:＠四边形ABCD和四边形A i B1C)队的两条对角线的和之比等千k.对千结论＠和＠，下列说法正确的是（）A ＠正确，＠错误B ＠错误，＠正确C ＠和＠都错误 D.＠和＠都正确二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）Y I m,Y7.若一＝－，则一＝．X 2 X+ y8.A、B两地的实际距离AB=250米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是9.某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x,那么三月份的印书量y （万册）与x的函数解析式是＿＿＿＿．l0已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP,如果AB=5,那么AP=·11.在直角坐标平面中，将抛物线y= -(x +1)2 + 2,先向左平移l个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是12.如果一个二次函数图像的顶点在r轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式：13如图，一辆小车沿养坡度为1:2.4的斜坡从A点向上行驶了50米，到达8点，那么此时该小车上升的高度为米．BA 水平面14如图，梯形ABCD中，ABII CD,且AB 4＝－CD 3，若A B=m,A万＝n•请用m,11来表示AC=A B15如图，已知直线l1、/2、/3分别交白线m于点A、B、C,交直线n于点D、E、F,且l1// I2 /／l3, AB=2BC, DF=6,那么EF=.l16如图，在梯形ABCD中，ADIi BC,点E是AD的中点，BE、CD的延长线交千点F,如果AD:B C=2:3,那么S心EDF:S b.,\£8 = ·FB cl7在t.A BC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，BE与CD相交千点O,如果公OBC是等边三角形，那么tanL.ABC=.18如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=3,将边AB绕点A逆时针旋转，点B落在B'处，连接BB'、C B'，若LBB'C=90°,则BB'=·”('三、解答题（本大题共7题，满分78分）19.二次函数y= a x2 +bx+c(a ;1:. 0)的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．X ．．． 。

2022年上海市中考数学试题(含答案解析)

2022年上海市中考数学试题(含答案解析)

2022年上海市初中学业水平考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题，试卷满分150分，考试时间100分钟。

2．答题时，考生务必按要求在答题纸上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效。

3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。

一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．8的相反数是A. 8-B. 8C. 18D.18-2．下列运算正确的是A. a²+a³=a6B. （ab）2 =ab2C. （a+b）²=a²+b²D. （a+b）（a-b）=a² -b23．已知反比例函数y=kx（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为A. （2，3）B. （-2，3）C. （3，0）D. （-3，0）4．我们在外卖平台点单时会有点餐用的钱和外卖费6元，我们计算了点单的总额和不计算外卖费的总额的数据，则两种情况计算出的数据一样的是A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差5．下列说法正确的是A. 命题一定有逆命题B. 所有的定理一定有逆定理C. 真命题的逆命题一定是真命题D. 假命题的逆命题一定是假命题6．有一个正n边形旋转90后与自身重合，则n为A. 6B. 9C. 12D. 15二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：3a－2a＝__________．8．已知f（x）=3x，则f（1）=_____．9．解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____． 10．已知x -23x +m =0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是_____． 11．甲、乙、丙三人参加活动，两个人一组，则分到甲和乙的概率为_____．12．公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．13．为了解学生的阅读情况，对某校六年级部分学生的阅读情况展开调查，并列出了相应的频数分布直方图（如图所示）（每组数 据含最小值，不含最大值）（0-1小时4人，1-2小时10人， 2-3小时14人，3-4小时16人，4-5小时6人），若共有200名 学生，则该学校六年级学生阅读时间不低于3小时的人数是 _____．14．已知直线y =kx +b 过第一象限且函数值随着x 的增大而减小，请列举出来这样的一条直线：_____．15．如图所示，在口ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，,,BO a BC b ==则DC =_____．16．如图所示，小区内有个圆形花坛O ，点C 在弦AB 上，AC =11，BC =21，OC =13，则这个花坛面积为_____．（结果保留π） 17．如图，在△ABC 中，∠A =30°，∠B =90°，D 为AB 中点，E 在线段AC上，AD DE AB BC=，则AEAC =_____． 18．定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大 时，这个圆的半径为_____．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：11221|()123--+-20．（本题满分10分）解关于x 的不等式组34423x x xx >-⎧⎪+⎨>+⎪⎩21．（本题满分10分，每小题满分各5分）一个一次函数的截距为1，且经过点A （2，3）． （1）求这个一次函数的解析式；（2）点A ，B 在某个反比例函数上，点B 横坐标为6，将点B 向上平移2个单位得到点C ，求cos ∠ABC 的值．22．（本题满分10分，每小题满分各5分）我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆AB 的长．（1）如图1所示，将一个测角仪放置在距离灯杆AB 底部a 米的点D 处，测角仪高为b米，从C 点测得A 点的仰角为α，求灯杆AB 的高度．（用含a ，b ，ａ的代数式表 示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图2所示，现将一高度为2米的木杆CG 放在灯杆AB 前，测得其影长CH 为1米，再将木 杆沿着BC 方向移动1.8米至DE 的位置，此时测得其影长DF 为3米，求灯杆AB 的高度23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点E ，F 在线段BC 上，点Q 在线段AB 上，且CF =BE ，AE ²=AQ ·AB 求证： （1）∠CAE =∠BAF ； （2）CF ·FQ =AF ·BQ24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题①满分4分，第（2）小题②满分4分） 已知：212y x bx c =++经过点()21A --，，()03B -，． （1）求函数解析式；（2）平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）．①倘若3OPB S =△，且在x k =的右侧，两抛物线都上升，求k 的取值范围； ②P 在原抛物线上，新抛物线与y 轴交于Q ，120BPQ ∠=时，求P 点坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题①满分4分，第（1）小题②满分4分，第（2）小题满分6分）平行四边形ABCD ，若P 为BC 中点，AP 交BD 于点E ，连接CE ． （1）若AE CE =，①证明ABCD 为菱形；②若5AB =，3AE =，求BD 的长．（2）以A 为圆心，AE 为半径，B 为圆心，BE 为半径作圆，两圆另一交点记为点F ，且2CE AE =．若F 在直线CE 上，求ABBC的值．2022年上海初中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．A2．D3．B4．D5．A6．C二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．a 8．39．21x y =⎧⎨=-⎩10．m <3 11．1312．20% 13．88 14．2y x =-+（答案不唯一） 15．2a b -+16．400π17．12或1418．22三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19．解：11221|()123--+--=1 20．解：34423x x x x >-⎧⎪⎨+>+⎪⎩①②，解①得：x >-2， 解②得：x <-1， ∴-2<x <-1．21．（1）解：设这个一次函数的解析式y =kx +1，把A （2，3）代入，得3=2k +1， 解得：k =1，∴这个一次函数的解析式为y =x +1；（2）解：如图，设反比例函数解析式为y =m x， 把A （2，3）代入，得3=2m ， 解得：m =6，∴反比例函数解析式为y =6x， 当x =6时，则y =66=1，∴B （6，1），∴AB =22(62)(13)25-+-=， ∵将点B 向上平移2个单位得到点C ， ∴C （6，3），BC =2， ∵A （2，3），C （6，3）， ∴AC ∥x 轴，∵B （6，1），C （6，3）， ∴BC ⊥x 轴， ∴AC ⊥BC ， ∴∠ACB =90°，∴△ABC 是直角三角形， ∴cos ∠ABC =25525BC AB ==． 22．（1）解：如图由题意得BD =a ，CD =b ，∠ACE =α ∠B =∠D =∠CEB =90° ∠四边形CDBE 为矩形， 则BE =CD =b ，BD =CE =a ， 在Rt ∆ACE 中，tan α=AECE， 得AE =CE =CE ×tan α=a tan α 而AB =AE +BE ，故AB = a tan α+b答：灯杆AB 的高度为a tan α+b 米 （2）解：由题意可得，AB ∥GC ∥ED ，GC =ED =2，CH =1，DF =3，CD =1.8 由于AB ∥ED ， ∠∆ABF ~∆EDF ，此时ED ABDF BF = 即2=3 1.83ABBC ++∠， ∠AB ∠GC ∠∆ABH ~∆GCH ， 此时AB GCBH CH=， 211AB BC =+ ∠ 联立∠∠得24.8321AB BC AB BC ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 解得： 3.80.9AB BC =⎧⎨=⎩答：灯杆AB 的高度为3.8米23．（1）证明：∵AB =AC ，∴∠B =∠C ， ∵CF =BE ， ∴CE =BF ，在△ACE 和△ABF 中，AC ABC B CE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABF （SAS ）， ∴∠CAE =∠BAF ；（2）证明：∵△ACE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，∠CAE =∠BAF ， ∵AE ²=AQ ·AB ，AC ＝AB ，∴AE AB AQ AE =，即AE ACAQ AF =， ∴△ACE ∽△AFQ ， ∴∠AEC =∠AQF ， ∴∠AEF =∠BQF ， ∵AE ＝AF ， ∴∠AEF =∠AFE ， ∴∠BQF =∠AFE ， ∵∠B =∠C ， ∴△CAF ∽△BFQ ， ∴CF AFBQ FQ=，即CF ·FQ =AF ·BQ ． 24．（1）解：把()21A --，，()03B -，代入212y x bx c =++，得 1223b c c -=-+⎧⎨-=⎩，解得：03b c =⎧⎨=-⎩， ∠函数解析式为：2132y x =-； （2）解：∠∠2132y x =-， ∠ 顶点坐标为(0，-3)，即点B 是原抛物线的顶点， ∠ 平移抛物线使得新顶点为(),P m n （m ＞0）． ∠ 抛物线向右平移了m 个单位， ∠ 1332OPB S m =⨯=△， ∠ m =2，∠ 平移抛物线对称轴为直线x =2，开口向上， ∠ 在x k =的右侧，两抛物线都上升， 又∠ 原抛物线对称轴为y 轴，开口向上，∠ k ≥2，∠ 把P （m ，n ）代入2132y x =-，得n =2132m -， ∠ P （m ，2132m -） 根据题意，得新抛物线解析式为：y =12(x -m )2+n =12x 2-mx +m 2-3， ∠ Q (0，m 2-3)， ∠ B （0，-3）， ∠ BQ =m 2，BP 2=2222411(33)24m m m m +-+=+，PQ 2=22222411[(3)(3)]24m m m m m +---=+，∠ BP =PQ ，如图，过点P 作PC ∠y 轴于C ，则PC =|m |，∠ BP =PQ ，PC ∠BQ ，∠ BC =12BQ =12m 2，∠BPC =12∠BPQ =12×120°=60°，∠ tan∠BPC = tan 60°=2123||mBC PC m ==，解得：m =±23，∠ n =2132m -=3，故P 的坐标为（23，3）或（-23，3）25．（1）①证明：如图，连接AC 交BD 于O ，∵平行四边形ABCD ， ∴OA =OC ， ∵AE =CE ，OE =OE ， ∴△AOE ≌△COE (SSS)， ∴∠AOE =∠COE ，∵∠AOE +∠COE =180°， ∴∠COE =90°， ∴AC ⊥BD ，∵平行四边形ABCD ， ∴四边形ABCD 是菱形； （1）②∵OA =OC ，∴OB 是△ABC 的中线， ∵P 为BC 中点， ∴AP 是△ABC 的中线， ∴点E 是△ABC 的重心， ∴BE =2OE ， 设OE =x ，则BE =2x ，在Rt △AOE 中，由勾股定理，得OA 2=AE 2-OE 2=32-x 2=9-x 2, 在Rt △AOB 中，由勾股定理，得OA 2=AB 2-OB 2=52-(3x )2=25-9x 2, ∴9-x 2=25-9x 2，解得：x ,∴OB =3x ， ∵平行四边形ABCD ，∴BD =2OB ； （2）解：如图，∵⊙A 与⊙B 相交于E 、F ， ∴AB ⊥EF ，由（1）②知点E 是△ABC 的重心， 又F 在直线CE 上， ∴CG 是△ABC 的中线， ∴AG =BG =12AB ，GE =12CE ，∵CE AE ，∴GE =2AE ，CG =CE +GE =2AE ， 在Rt △AGE 中，由勾股定理，得AG2=AE2-GE E=AE2-(22AE)2=12AE2,∴AG=22AE,∴AB=2AG=2AE，在Rt△BGC中，由勾股定理，得BC2=BG2+CG2=12AE2+（322AE）2=5AE2，∴BC=5AE，∴21055AB AEBC AE．2022年初中学业水平考试数学试卷第11页（共11页）。