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二次函数和锐角三角函数培优

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教师辅导教案

授课时间：

学员姓名 年 级 初三 辅导课目 数学

学科教师 班主任 课时数 2h

教学课题 二次函数和锐角三角函数

教

学

目

标 1.复习二次函数题型二

2.复习锐角三角函数

教

学

重

难

点 1.二次函数性质的应用

2.锐角三角函数的应用

教学内容 课堂收获

一、二次函数题型二

五、二次函数极值问题

1.二次函数2yaxbxc中，2bac，且0x时4y，则（ ）

A.4y最大B.4y最小C.3y最大D.3y最小

2.若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数（ ）

A.最大值B..最大值C.最小值D.有最小值

3.若二次函数2()yaxhk的值恒为正值, 则 _____.

A. 0,0ak B. 0,0ah

C. 0,0ak D. 0,0ak

六、二次函数应用利润问题

4.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．

（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（2）求该批发商平均每天的销售利润w（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式．（3分）

（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？（4分）

5.我区某工艺厂为迎接建国60周年，设计了一款成本为20元 ∕ 件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，其中工艺品的销售单价x（元 ∕ 件）

与每天销售量y（件）之间满足如图3-4-14所示关系．

2 ① x/元 50 1200

800 y/亩

O

② x/元 100 3000 2700 z/元

O

图4DCBA25m（1）请根据图象直接写出当销售单价定为30元和40元时相应的日销售量；

（2）①试求出y与x之间的函数关系式；

②若物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价－成本总价）。

6.（泰安）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图3-4-13①所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z与x之间也大致满足如图3-4-13②所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？

（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式；

（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

七、二次函数应用几何面积问题与最大最小问题

7.（韶关市）为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym².

求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

3

八、二次函数与四边形及动点问题

8.如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.

（1）求AD的长；

（2）设CP=x，问当x为何值时△PDQ的面积达到最大，并求出最大值；

9.如图: 在一块底边BC长为80㎝、BC边上高为60㎝的三角形ABC铁板上截出一块矩形铁板EFGH ,

使矩形的一边FG在BC边上, 设EF的长为x㎝, 矩形EFGH的面积为y2cm. (1) 试写出y与x之间的函数关系式

(2) 当x取何值时, y有最大值? 是多少?

10.如图，在等边三角形ABC中，AB=2，点D、E分别在线段BC、AC上（点D与点B、C不重合），且∠ADE=600. 设BD=x,CE=y.

（1）求y与x的函数表达式；

（2）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？

CEDBA

4

11.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，82,8OAcmOCcm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为t秒．

（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；

（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；

（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线214yxbxc经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．

二、锐角三角函数

1.锐角三角函数的含义和特殊角的三角函数值

2.练习题：

1.如图，如果△APB绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A＇P＇B，且BP=2，那么PP＇的长为____________． (不取近似值. 以下数据供解题使用：sin15°=624，cos15°=6+24)

第4题图

5

2.根据图中所给的数据，求得避雷针CD的长约为_______m（结果精确的到0.01m）．（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）

3.甲、乙两楼相距45米,从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为30°,观测乙楼的底部的俯角为45°,试求两楼的高.

5. 从A处观测铁塔顶部的仰角是30°,向前走100米到达B处,观测铁塔的顶部的仰角是 45°,求铁塔高.

课后题：

1. 如图4，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已知8AB，10BC，AB=8,则tanEFC∠的值为 ( )

Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ．45 A D

E

C B F

2. 如图6，在等腰直角三角形ABC中，90C，6AC， A 40°

52m C D

第9题图 B 43°300 450 D

C B A

6 D为AC上一点，若1tan5DBA ，则AD的长为( )

A．2 B．2

C．1 D．22

3. 如图，RtABC中，90C,D是直角边AC上的点，且2ADDBa,

15A ，则BC边的长为 ．

4. 如图10，在矩形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，若4tan3AEH，四边形EFGH的周长为40，则矩形ABCD的面积为 ______．

5. 如图12所示，ABC中，ABAC，BDAC于D，6BC，12DCAD，

则cosC____．

6. 如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在1A处，已知3OA，1AB，则点1A的坐标是

7. 等腰三角形腰上的高等于底上的高的一半，则底角的余弦值为______.

8. 等腰三角形的三边的长分别为1、1、3，那么它的底角为

A.15° B.30° C.45° D.60°

9. ABC中，∠A=60°，AB=6 cm，AC=4 cm，则△ABC的面积是

A.23 cm2 B.43 cm2

C.63 cm2 D.12 cm2

10. 在菱形ABCD中，60ABC，AC=4,则BD的长是 （ ）

83A、 43B、 23C、 8D、

11,如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在北偏西30方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处测得灯塔C在北偏西60方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果保留根号）

图6

图10 图12

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中考最后冲刺《锐角三角函数与二次函数》精析精练

中考最后冲刺《锐角三角函数与二次函数》精析精练

A

C B 锐角三角函数精析精练

一、知识梳理

1. 三角函数的概念：在Rt△ABC中，∠C=90，

SinA=斜边的对边A，cosA=斜边的邻边A， tanA=的邻边的对边AA

例1：已知在RtABC△中，∠C为直角，AC = 4cm，BC = 3cm，sin∠A = ．

例2：在RtABC△中，90C°，abc，，分别是ABC，，的对边，若2ba，则tanA ．

例3：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值是（ ）

A．215 B．25 C．212 D．52

图1 图2

例4：如图2，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，sinA＝54，则BC的长为 ___cm.

例5：正方形网格中，AOB∠如图3放置，则cosAOB∠的值为（ ）

Ａ．55 Ｂ．255 Ｃ．12 Ｄ．2

2. 特殊角的三角函数值：

30 45 60

Sinα 21 22 23

Cosα 23 22 21

tanα 33 1 3

例6：若30∠，则∠的余角是 °，cos ．

例7：如果a是等腰直角三角形的一个锐角，则tan的值是（ ） A

B O

图3

度 数 三 角 函 数 Ａ．12 Ｂ．22 Ｃ．1 Ｄ．2

例8：45cos45sin的值等于（ ）

A. 2 B. 213 C. 3 D. 1

例9：因为1sin302，1sin2102，

所以sin210sin(18030)sin30；因为2sin452，2sin2252，

所以sin225sin(18045)sin45，

由此猜想，推理知：一般地当为锐角时有sin(180)sin，

初三数学二次函数和锐角三角函数习题训练

初三数学二次函数和锐角三角函数习题训练

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教 学 内 容

第一课时 二次函数

一、填空题：

1、函数21(1)21mymxmx是抛物线，则m＝ .

2、抛物线223yxx与x轴交点为 ，与y轴交点为 .

3、二次函数2yax的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ，

当x 时，y随x的增大而增大.

4．抛物线2)1(62xy可由抛物线262xy向 平移 个单位得到．

5．抛物线342xxy在x轴上截得的线段长度是 ．

6．抛物线4222mxxy的图象经过原点，则m ．

7．抛物线mxxy2，若其顶点在x轴上，则m ．

8. 如果抛物线cbxaxy2 的对称轴是x＝－2，且开口方向与形状与抛物线

相同，又过原点，那么a＝ ，b＝ ，c＝ .

9、二次函数2yxbxc的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y时，

对应x的取值范围是 .

10、已知二次函数21(0)yaxbxca与一次函数2(0)ykxmk的图象相交于点

A（－2，4）和B（8，2），如上右图所示，则能使1y2y成立的x的取值范围 .

二、选择题：

11.下列各式中,y是x的二次函数的是 ( )

A．21xyx B． 220xy C． 22yax D．2210xy

备战中考数学备考之锐角三角函数压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及答案

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一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60，5CBm＝,2.7CDm＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：400.64400.77400.84sincostan，，.21.41,31.73）

【答案】AB的长约为0.6m．

【解析】

【分析】

作BFCE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．

【详解】

解：作BFCE于F，

在RtBFC中，3.20BFBCsinBCF＝，

3.85CFBCcosBCF＝，

在RtADEE中，331.73tan3ABDEADE，

0.200.58BHBFHFAHEFCDDECF＝﹣＝，＝＝﹣＝

由勾股定理得，22BHAH0.6(m)AB，

答：AB的长约为0.6m．

【点睛】

考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

2．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结

（1）求证：

（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析（2）存在，或

【解析】

（1）证明：∵四边形为正方形，∴

杭州市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(专题培优)

杭州市九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》综合经典习题(专题培优)

学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________

一、选择题

1．如图，将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BECE的值是（

）

A．3 B．33 C．2 D．32

2．如图，O是ABC的外接圆，60BAC，若O的半径OC为1，则弦BC的长为（ ）

A．12 B．32 C．1 D．3

3．如图，为了测量某建筑物MN的高度，在平地上A处测得建筑物顶端M的仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端M的仰角为45°，则建筑物MN的高度等于( )

A．8(31)m B．8(31)m

C．16(31)m D．16(31)m

4．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，tan∠B＝2，则AC的长为 （ ）

A．1 B．2 C．5 D．25

5．一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为34，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（ ）

A．34m

B．13m C．23m D．12m

6．如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）

A．BDBC

B．BCAB C．ADAC D．CDAC

7．如图，小明在一条东西走向公路的O处，测得图书馆A在他的北偏东60方向，且与他相距200m，则图书馆A到公路的距离AB为（ ）

A．100m B．1002m C．1003m D．2003m3

8．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使得其面积变为原矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的内角BCD的大小为（ ）

A．100° B．120° C．135° D．150°

9．在Rt△ABC中，若∠ACB＝90°，tanA＝12，则sinB＝（ ）