二次函数培优专题

二次函数培优专题

一、二次函数的基本概念

1. 二次函数的定义

- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。

- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b = 3，c=-1。

- 题目解析：判断一个函数是否为二次函数，关键看其是否符合y = ax^2+bx +

c(a≠0)的形式。比如y=3x + 2就不是二次函数，因为它不符合二次函数的定义形式，其中x的最高次数是1；而y=(1)/(x^2)也不是二次函数，因为它不是整式函数。

2. 二次函数的图象

- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。

- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。

- 例如，对于二次函数y = x^2，a = 1>0，其图象开口向上；对于y=-2x^2，a=-2 < 0，其图象开口向下。

- 题目解析：给定二次函数，判断其图象开口方向是常见题型。如y = 3x^2-2x + 1，因为a = 3>0，所以图象开口向上。对于二次函数图象开口方向的理解，可以从二次函数的增减性角度来看，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大；当a < 0时，在对称轴左侧y随x的增大而增大，在对称轴右侧y随x的增大而减小。

3. 二次函数的对称轴和顶点坐标

- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其对称轴公式为x =-(b)/(2a)，顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。 - 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 3，a = 2，b=-4，c = 3。对称轴x=-(-4)/(2×2)=1，顶点纵坐标y=frac{4×2×3-(-4)^2}{4×2}=(24 - 16)/(8)=1，所以顶点坐标为(1,1)。

- 题目解析：求二次函数的对称轴和顶点坐标是重要考点。例如，已知二次函数y=-x^2+2x + 3，先确定a=-1，b = 2，根据对称轴公式x =-(b)/(2a)=-(2)/(2×(-1)) = 1，再求顶点纵坐标y=-1×1^2+2×1+3=-1 + 2+3 = 4，顶点坐标为(1,4)。这种题型在解决二次函数的最值问题、图象平移等问题时经常用到。

二、二次函数的性质

1. 二次函数的最值

- 当a>0时，二次函数y = ax^2+bx + c在x =-(b)/(2a)处取得最小值y=frac{4ac

- b^2}{4a}；当a < 0时，在x =-(b)/(2a)处取得最大值y=frac{4ac - b^2}{4a}。

- 例如，对于二次函数y = x^2-2x + 3，a = 1，b=-2，c = 3。对称轴x = 1，因为a>0，所以当x = 1时，y_min=frac{4×1×3-(-2)^2}{4×1}=(12 - 4)/(4)=2。

- 题目解析：求二次函数的最值问题有多种情况。比如在实际应用题中，已知一个二次函数模型，求最大利润或者最小成本等。例如，某商品的利润y与售价x之间的关系为y=-2x^2+100x - 100，a=-2，b = 100，对称轴x =-(100)/(2×(-2)) = 25，因为a < 0，所以当x = 25时，y_max=frac{4×(-2)×(-100)-100^2}{4×(-2)}=(800 - 10000)/(-8)=1150。

2. 二次函数的增减性

- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大。当a < 0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减小。

- 例如，对于二次函数y = 2x^2-4x + 1，对称轴x = 1，a = 2>0。当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大。 - 题目解析：判断二次函数在某区间内的增减性是常考内容。如对于二次函数y=-3x^2+6x - 2，a=-3，b = 6，对称轴x = 1。当x>1时，因为a < 0，所以y随x的增大而减小。在解决函数值大小比较等问题时，需要根据二次函数的增减性来判断。

三、二次函数的图象变换

1. 平移变换

- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象平移遵循“上加下减常数项，左加右减自变量”的原则。

- 例如，将二次函数y = x^2向右平移2个单位，再向下平移3个单位。根据原则，得到y=(x - 2)^2-3=x^2-4x + 4 - 3=x^2-4x + 1。

- 题目解析：对于图象平移的题目，关键是要准确理解平移原则。例如，已知二次函数y = 2x^2+4x - 1，将其向左平移1个单位，向上平移2个单位。先将原函数化为顶点式y = 2(x + 1)^2-3，向左平移1个单位后为y = 2(x+1 + 1)^2-3，即y = 2(x +

2)^2-3，再向上平移2个单位得到y = 2(x + 2)^2-3+2=2(x + 2)^2-1。

2. 轴对称变换

- 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)关于x轴对称的函数为y=-ax^2-bx - c；关于y轴对称的函数为y = ax^2-bx + c。

- 例如，二次函数y = x^2-2x + 3关于x轴对称的函数为y=-(x^2-2x + 3)=-x^2+2x - 3；关于y轴对称的函数为y = x^2+2x + 3。

- 题目解析：求二次函数的轴对称图象对应的函数解析式时，要注意符号的变化。例如，已知二次函数y=-3x^2+6x - 1，求其关于y轴对称的函数解析式。根据规则，a=-3不变，b变为-b，所以对称后的函数解析式为y=-3x^2-6x - 1。

四、二次函数与一元二次方程的关系

1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)与一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)的联系 - 二次函数y = ax^2+bx + c的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax^2+bx + c = 0的根。

- 当Δ=b^2-4ac>0时，二次函数图象与x轴有两个交点，一元二次方程有两个不同的实数根；当Δ=b^2-4ac = 0时，二次函数图象与x轴有一个交点，一元二次方程有两个相同的实数根（即重根）；当Δ=b^2-4ac<0时，二次函数图象与x轴没有交点，一元二次方程没有实数根。

- 例如，对于二次函数y = x^2-2x - 3，令y = 0，则x^2-2x - 3=0，Δ=(-2)^2-4×1×(-3)=4 + 12=16>0，函数图象与x轴有两个交点，方程x^2-2x - 3 = 0的根为x=-1或x = 3。

- 题目解析：这种关系在解题中有很多应用。比如已知二次函数图象与x轴交点情况求参数范围。例如，二次函数y = kx^2-2x - 1的图象与x轴有两个交点，那么Δ=(-2)^2-4× k×(-1)>0，即4 + 4k>0，解得k>-1且k≠0。

2. 利用二次函数图象解一元二次方程

- 我们可以通过画出二次函数y = ax^2+bx + c的图象，观察图象与x轴的交点来求解一元二次方程ax^2+bx + c = 0。

- 例如，要解方程x^2-3x + 2 = 0，我们可以画出二次函数y = x^2-3x + 2的图象，其图象与x轴交点的横坐标就是方程的解。通过因式分解y=(x - 1)(x - 2)，可知图象与x轴交点为(1,0)和(2,0)，所以方程的解为x = 1或x = 2。

- 题目解析：这种方法在一些特殊情况下很有用。比如对于一些难以用因式分解或求根公式求解的一元二次方程，可以通过观察二次函数图象来大致确定根的范围或者个数。例如，对于方程x^2-x - 1 = 0，画出y = x^2-x - 1的图象，通过图象可以看出方程有两个实数根，并且可以大致估计根的位置。