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三角函数培优

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三角函数夯实基础

1.已知函数()sin()(0),24fxx+x，为()fx的零点，4x为()yfx图像的对称轴，且()fx在51836，单调，则的最大值为

（A）11 （B）9 （C）7 （D）5

2.函数()fx=cos()x的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为( )

(A)13(,),44kkkZ (B)13(2,2),44kkkZ

(C)13(,),44kkkZ (D)13(2,2),44kkkZ

3. 设函数cxbxxfsin|sin|)(，则()fx的最小正周期（ ）

A．与b有关，且与c有关 B．与b有关，但与c无关

C．与b无关，且与c无关 D．与b无关，但与c有关 4.已知函数sinfxx（，，均为正的常数）的最小正周期为，当23x时，函数fx取得最小值，则下列结论正确的是（ ）

（A）220fff （B）022fff

（C）202fff （D）202fff

5.设函数()sin()fxAx（,,A是常数，0,0A）.若()fx在区间[,]62上具有单调性，且2()()()236fff，则()fx的最小正周期为 .

6.xy2sin与|)1ln(|xy图象的交点的个数 .

7.xnxmxf2cos2sin)(图象过点(,3)12和点2(,2)3.

（Ⅰ）求,mn的值；

（Ⅱ）将()yfx的图象向左平移（0）个单位后得到函数()ygx的图象.若()ygx的图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()ygx的单调增区间.

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8. 某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

x 0 π2 π 3π2 2π

x π3 5π6

sin()Ax 0 5 5 0 （Ⅰ）请将上表数据补充完整，并直接写出函数()fx的解析式；

（Ⅱ）将()yfx图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到()ygx的图象. 若()ygx图象的一个对称中心为5π(,0)12，求的最小值.

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9. 某实验室一天的温度（单位：C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系；

)24,0[,12sin12cos310)(ttttf.

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11C，则在哪段时间实验室需要降温？

三角函数基础答案

1.由题意知：

则，其中

在单调，接下来用排除法

若，此时，在递增，在递减，不满足在单调若，此时，满足在单调递减.

2.【解析】由五点作图知，1+4253+42，解得=，=4，所以()cos()4fxx，令22,4kxkkZ，解得124k＜x＜324k，kZ，故单调减区间为（124k，324k），kZ，故选D.

3.21cos2cos21()sinsinsinsin222xxfxxbxcbxcbxc，其中当0b时，cos21()22xfxc，此时周期是；当0b时，周期为2，而c不影响周期．故选B．

4【解析】由题意，sin(0,0,0)fxxA，22||T，所以2，精品资料 欢迎下载

则sin2fxx，而当23x时，2322,32kkZ，解得2,6kkZ，所以sin2(0)6fxxA，则当2262xk，即,6xkkZ时，()fx取得最大值.要比较2,2,0fff的大小，只需判断2,2,0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0,2与6比较近，2与56比较近，所以，当0k时，6x，此时|0|0.526，|2|1.476，当1k时，56x，此时5|2()|0.66，所以(2)(2)(0)fff，故选A.

5.试题分析：由)(xf在区间]2,6[上具有单调性，且)6()2(ff知，函数)(xf的对称中心为)0,3(，由)32()2(ff知函数)(xf的对称轴为直线127)322(21x，设函数)(xf的最小正周期为T，所以，6221T，即32T，所以43127T，解得T.

考点：函数)sin()(xAxf的对称性、周期性，容易题.

6.函数xy2sin与|)1ln(|xy图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，

7.试题解析：（1）由题意知：()sin2cos2fxabmxnx.

因为()yfx的图象过点(,3)12和2(,2)3， 所以3sincos66442sincos33mnmn，即1332231222mnmn，

解得3,1mn.

（2）由（1）知：()3sin2cos22sin(2)6fxxxx.

由题意知：()()2sin(22)6gxfxx，设()ygx的图象上符合题意的最高点为0(,2)x，由题意知：2011x，所以00x，即到点0,3（）的距离为1的最高点为0,2（）.

将其代入()ygx得sin(2)16，因为0，所以6，

因此()2sin(2)2cos22gxxx，由222,kxkkZ，得

,2kxkkZ，所以，函数()ygx的单调递增区间为[,],2kkkZ.

8.【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π5,2,6A. 数据补全如下表：

x 0 π2 π 3π2 2π

x π12 π3 7π12 5π6 13π12

sin()Ax 0 5 0 5 0

且函数表达式为π()5sin(2)6fxx.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6fxx，得π()5sin(22)6gxx.

因为sinyx的对称中心为(π,0)k，kZ. 精品资料 欢迎下载

令π22π6xk，解得ππ212kx，kZ .

由于函数()ygx的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π21212k，

解得ππ23k，kZ. 由0可知，当1k时，取得最小值π6.

9.【解析】（1）因为)312sin(210)12sin2112cos23(210)(ttttf，

又240t，所以373123t，1)312sin(1t，

当2t时，1)312sin(t；当14t时，1)312sin(t；

于是)(tf在)24,0[上取得最大值12，取得最小值8.

故在10时至18时实验室需要降温.

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【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)

【中考冲刺】初三数学培优专题 12 三角函数(含答案)(难)

三角函数

阅读与思考

三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的重要体现，解三角函数相关问题时应注意以下两点：

1．理解同角三角函数间的关系．

（1）平方关系：1cossin22；

（2）商数关系：cossintan，sincoscot；

（3）倒数关系：1cottan．

2．善于解直角三角形．

从直角三角形中的已知元素推求其未知的一些元素的过程叫作解直角三角形．解直角三角形，

关键是合理选用边角关系，它包括勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数的概念．许多几何计算问题都可归结为解直角三角形，常见的基本图形有：

例题与求解

【例1】在△ABC中，BC＝1992，AC＝1993，AB＝19931992，则CAcossin ．

（河北省竞赛试题）

解题思路：通过计算，寻找BC2，AC2，AB2之间的关系，判断三角形形状，看能否直接用三角函数的定义解题．

【例2】某片绿地形状如图所示，其中∠A＝600，AB⊥BC，AD⊥CD，AB＝200m，CD＝100m．

求AD，BC的长．（精确到1m，732.13）

图2图1FEAEAABCDDCBDCB

解题思路：本题的解题关键是构造直角三角形，构造的原则是不能破坏∠A，所以连结AC不行．延长AD和BC交于一点E（如图1），这样既构造出了直角三角形，又保全了特殊角∠A；或过点D作矩形ABEF（如图2）来求解．

【例3】如图，已知正方形ABCD中，E为BC上一点．将正方形折叠起来，使点A和点E重合，折痕为MN．若31tanAEN，DC＋CE＝10．

（1）求△ANE的面积；

（2）求ENBsin的值．

解题思路：将31tanAEN与DC＋CE＝10结合起来，可求出相关线段的长，为解题铺平道路．

【例4】如图，客轮沿折线A—B—C从A出发经B再到C匀速航行，货轮从AC的中点D出发沿某一方向匀速直线航行，将一批物品送达客轮．两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处．已知AB＝BC＝200海里，∠ABC＝900，客轮速度是货轮速度的2倍．

三角函数 培优讲义

三角函数 培优讲义

1 培优讲义

1．(2010年苏、锡、常、镇四市调研)若tan(α＋β)＝25，tan(β－π4)＝14，则tan(α＋π4)＝________.

2．(2009年高考陕西卷改编)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为________．

3．设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝62，则a、b、c的大小关系是________．

4.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是________．

5．若tanα＋1tanα＝103，α∈(π4，π2)，则sin(2α＋π4)的值为_________．

6．若函数f(x)＝sin2x－2sin2x·sin2x(x∈R)，则f(x)的最小正周期为________．

7．(2010年无锡质检)2cos5°－sin25°cos25°的值为________．

8．向量a＝(cos10°，sin10°)，b＝(cos70°，sin70°)，|a－2b|＝

9．(2010年江苏省南通市调研)已知1－cos2αsinαcosα＝1，tan(β－α)＝－13，则tan(β－2α)＝________.

10．已知tanα＝2.求

(1)tan(α＋π4)的值；

(2)sin2α＋cos2(π－α)1＋cos2α的值．

11．如图，点A，B是单位圆上的两点，A，B两点分别在第一、二象限，点C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB是正三角形，若点A 2 的坐标为(35，45)，记∠COA＝α.

(1)求1＋sin2α1＋cos2α的值；

(2)求|BC|2的值．

12．(2009年高考江西卷)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA＋sinBcosA＋cosB，sin(B－A)＝cosC.

(1)求角A，C.

(2)若S△ABC＝3＋3，求a，c.

13、已知向量m＝(2cosx2，1)，n＝(sinx2，1)(x∈R)，设函数

三角函数图像变换培优题目8个有答案

三角函数图像变换培优题目8个有答案

答案第1页，总4页 三角函数图像变换培优题目8个有答案

1．将函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥的图像向左平移𝜋12个单位，再向上平移1个单位，得到𝑔(𝑥)的图像.若𝑓(𝑥1)𝑔(𝑥2)=2，则|2𝑥1+𝑥2|的最小值为（）

A. 𝜋6 B. 𝜋3 C. 𝜋2 D. 2𝜋3

2．若直线𝑦=1与函数𝑓(𝑥)=2sin2𝑥的图象相交于点𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，且|𝑥1−𝑥2|=2𝜋3，则线段𝑃𝑄与函数𝑓(𝑥)的图象所围成的图形面积是

A. 2𝜋3+ 3 B. 𝜋3+ 3 C. 2𝜋3+ 3−2 D. 𝜋3+ 3−2

3．已知𝜔>0，在函数𝑦=4sin𝜔𝑥与𝑦=4cos𝜔𝑥的图象的交点中，距离最近的两个交点的距离为6，则𝜔的值为（）

A. 𝜋6 B. 𝜋4 C. 𝜋3 D. 𝜋2

4．已知函数𝑓(𝑥)=2sin(𝜔𝑥+𝜑)−1(𝜔>0,|𝜑|<𝜋)的一个零点是𝑥=𝜋3，𝑥=−𝜋6是𝑦=𝑓(𝑥)的图像的一条对称轴，则𝜔取最小值时，𝑓(𝑥)的单调增区间是（）

A. −73𝜋+3𝑘𝜋,−16𝜋+3𝑘𝜋 ,𝑘∈𝑍 B. [−53𝜋+3𝑘𝜋,−16𝜋+3𝑘𝜋],𝑘∈𝑍

C. [−23𝜋+2𝑘𝜋,−16𝜋+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍D. [−13𝜋+2𝑘𝜋,−16𝜋+2𝑘𝜋],𝑘∈𝑍

5．将函数𝑓(𝑥)=3sin(2𝑥+𝜃)(−𝜋2<𝜃<𝜋2)的图象向右平移𝜑(𝜑>0)个单位长度后得到函数𝑔(𝑥)的图象，若𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的图象都经过点𝑃(0,3 22)，则𝜑的值不可能是（）

A. 3𝜋4 B. 𝜋 C. 7𝜋4 D. 5𝜋4

著名机构初中数学培优讲义锐角三角函数性质.第01讲(A级).教师版

著名机构初中数学培优讲义锐角三角函数性质.第01讲(A级).教师版

内容 基本要求 略高要求 较高要求

锐角三角函数

了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题

1． 掌握锐角三角函数的概念，会熟练运用特殊三角函数值；

2． 知道锐角三角函数的取值范围以及变化规律；

3． 同角三角函数、互余角三角函数之间的关系；

4． 将实际问题转化为数学问题，建立数学模型．

“正弦”的由来

公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献．尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由于印度数学家的努力而大大的丰富了．三角学中“正弦”和“余弦”的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表． 课前预习 重难点 中考要求 锐角三角函数

托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的．印度数学家不同，他们把半弦(AC)与全弦所对弧的一半(AD)相对应，即将AC与∠AOC对应，这样，他们造出的就不再是“全弦表”，而是“正弦表”了．印度人称连结弧(AB)的两端的弦(AB)为“吉瓦”，是弓弦的意思；称AB的一半(AC) 为“阿尔哈吉瓦”．后来“吉瓦”这个词译成阿拉伯文时被误解为“弯曲”、“凹处”，阿拉伯语是“dschaib”．十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了“sinus”．三角学输入我国，开始于明崇祯4年(1631年)，这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学．在《大测》中，首先将sinus译为“正半弦”，简称“正弦”，这就成了正弦一词的由来．

模块一 三角函数基础

一、锐角三角函数的定义

如图所示，在RtABC△中，a、b、c分别为A、B、C的对边．

（1）正弦：RtABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即sinaAc．