第五章 刚体力学

第五章 刚 体 力 学(一）

第五章

刚体是由许许多多质点组成的，可以说是质点组．但刚体又是一种特殊的质点组，它的特点在于：刚体的大小与形状始终不变，也即是刚体内任意两质点之间的距离保持不变．

一个自由的质点有三个自由度，N个质点所组成的质点组，如果没有什么约束，显然有3N个自由度．而刚体由于内部任意两质点间的距离保持不变，却只有六个自由度：三个移动自由度，三个转动自由度．刚体还常受到一些约束条件的限制，例如转动轴是固定不变的等等．这样，它的自由度还会少于六个．

刚体既然有六个自由度，它的一般运动就可以归结为六个运动方程．

刚体的质心遵守质心运动定理，这归结为三个分量方程

000000xxyyzzFmaFmaFma （5. 1）

式中 xF是刚体受到的 x方向的外力的和， 0m是整个刚体的质量． 0xa是刚体的质心在 x方向的加速度。 00xxFma是质心在 x方向的运动方程，同理，另外二个式子是 y， z方向的质心运动方程．

除质心的运动以外，刚体还可以绕质心转动，这包括转轴通过质心而平行于 x轴， y轴， z轴三个自由度．刚体的任意运动，可以看成是整个刚体随质心平动和绕质心转动的合成．

刚体的转动遵守绕 x， y， z轴的动量矩定理

xxyyzzMJMJMJ （5. 2） （5．2）式也可以用单个矢量式表示，即

ddtJM

其中力矩 iiiMrF，动量矩 iiiimJrv。

这样，六个运动方程对应于刚体的六个自由度，刚体的运动情况就可以完全确定了．

质心是刚体上很重要的一点，质心的质量就等于整个刚体的质量．质心的位置可用下面的积分式来求：

000xdmxdmydmydmzdmzdm （5. 3）

1 第四章 刚体的转动

§4-1 刚体的定轴转动

1． 研究对象:刚体,即物体内任意两质点间的距离在运动中保持不变。（不变质点组）。

2． 对刚体运动的分类：

（1）平动：刚体内任何一条给定直线在刚体运动过程中方向不变。所有点的运动相同。

（2）定轴转动：刚体中所有点都绕一固定直线作圆周运动。

（3）刚体的平面运动：这种运动可分解为质心的平动和以质心为轴的转动。

（4）刚体的空间运动：这种运动可分解为平动、轴的运动、绕轴的转动。

3． 角量和线量的关系：

rS，rv，ra，rvran22

规定：方向与刚体转动方向成右手螺旋关系，于是的方向与转轴平等

由于：dtd，所以角加速度的方向也在转轴上。

若以为正方向，β为正表示加速，β为负表示减速。

以后将学到的力矩的方向、动量矩的方向等都在转轴上。

4． 力矩：

力作用于刚体，应综合考虑力的三要素：大小、方向、作用点。

力矩就是综合描述这三要素的一个物理量。

定义：frM

大小：sinrfdfM

分量值：cosfrrfMz

f在转动平面内。若f不在转动平面内，将f分解为平行于转轴和垂直于转轴两部分。

平行于转轴部分对刚体的转动无贡献。

几个力同时作用于刚体，它们的合力矩是这几个力的力矩的矢量合： iMM

（注意：不是合力的力矩，而是力矩的矢量合。力矩的矢量合合力的力矩。）

例：求匀质园盘在水平面上转动时所受的摩擦力矩。

解：取rdrdm2

gdmdf

rdfdMf

mgRgRdrgrdMMRff32322320 O 

rv

τ

r

d f

α O

θ

O r dr 2 §4-2 转动动能 转动惯量 转动定律

1． 转动动能： iiiiiiiiikrmrmvmE22222)(212121

1 第五章 刚体动力学的基本概念

班级 学号 姓名

5-1 如图所示，等边直角三角锥，边0AOBOCa，在边BC中点D受沿AD

方向、大小为F的力作用，求力F在x，y，z轴上的投影。

5-2 如图所示，在边长为a的正方形顶角A和B处，分别作用力1F和2F，求此

两力在x，y，z轴上的投影和对x，y，z三轴、OA轴之矩。

2 5-3 如图所示，水平圆盘的半径为r，外缘C处作用有已知力F，且力F与C处

圆盘切线同位于铅直平面内，它们之间的夹角为60，其他尺寸如图所示。求力

F对x、y、z轴之矩。

5-4 画出下列各图中构件AB或ACB的受力图。未画重力的构件的重量不计，所

有接触处均为光滑接触,系统处于平衡。

FFW

F

题5-9图W

FFWW

FW

FFW

F

题5-9图W

FFWW

FW

FW

F

题5-9图W

FFWW

FW

FFW

F

题5-9图W

FFWW

FW3 5-5 画出下列各图中指定物体或物系的受力图。未画重力的构件的重量不计，所

有接触处均为光滑接触，系统处于平衡。

梁AB及杆CBW梁AC、CB及整体

折杆AC及整体物块C、D

FFF

题5-10图W

球A、BW右拱及整体

横梁AB、立柱AC及整体梁AB（连同滑轮）、梁AB（不带滑轮）、整体W

WW

左、右拱及整体F4 5-6 画出下列各复杂物系中指定物体的受力图. 未画重力的构件的重量不计，所有接触处均

为光滑接触

第五张 刚体力学

平动中见彼此,转动中见分高低.运动美会让你感受到创造的乐趣.走过这遭,也许会有曾经沧海难为水的感叹.别忘了,坐标变换将为你迷津救渡,同时亦会略显身手.

【要点分析与总结】

1 刚体的运动

（1）刚体内的任一点的速度、加速度（A为基点）

（2）刚体内的瞬心S：21sAArr

〈析〉为基点转动的矢量和，12

值得注意的是：有转动时r与r的微分，引入了r与

r项。

2 刚体的动量，角动量，动能

（1）动量：cPm

（2）角动量： xxxxxyxziiiyyxyyyzyzxzyzzzzLJJJLrmLJJJJJJJL

式中：

转动惯量222222xxyyzzJyzdmJzxdmJxydm 惯量积xxyyzzJxydmJyzdmJzxdm

且cccLrmL

* le方向（以l为轴）的转动惯量：

（,,分别为le与,,xyz轴夹角的余弦）

* 惯量主轴

惯量主轴可以是对称轴或对称面的法线

若X轴为惯量主轴，则含X的惯量积为0，即: 0xyxzJJ

若,,xyz轴均为惯量主轴，则:xxyyzzLJiJjJk

〈析〉建立的坐标轴轴应尽可能的是惯量主轴，这样会降低解题繁度。

(3) 动能：22211112222ciicciTmmmJ

*

定轴转动时: 212TJ

* 平面平行运动: 221122ccTmJ

3刚体的动力学方程

与质点动力学方程相同。

〈析〉求角动量L时，须注意：