找圆心 画轨迹 几何作图定成败

专题四电场和磁场第1课时电场和磁场基本问题1.电场强度的三个公式(1)E＝Fq是电场强度的定义式，适用于任何电场。

电场中某点的场强是确定值，其大小和方向与试探电荷q无关，试探电荷q充当“测量工具”的作用。

(2)E＝k Qr2是真空中点电荷所形成的电场场强的决定式，E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定。

(3)E＝Ud是场强与电势差的关系式，只适用于匀强电场。

注意：式中d为两点间沿电场方向的距离。

2.电场能的性质(1)电势与电势能：φ＝E p q。

(2)电势差与电场力做功：U AB＝W ABq＝φA－φB。

(3)电场力做功与电势能的变化：W＝－ΔE p。

3.等势面与电场线的关系(1)电场线总是与等势面垂直，且从电势高的等势面指向电势低的等势面。

(2)电场线越密的地方，等差等势面也越密。

(3)沿等势面移动电荷，电场力不做功，沿电场线移动电荷，电场力一定做功。

4.带电粒子在磁场中的受力情况(1)磁场只对运动的电荷有力的作用，对静止的电荷无力的作用。

(2)洛伦兹力的大小和方向：F洛＝q v B sin θ。

注意：θ为v与B的夹角。

F的方向由左手定则判定，四指的指向应为正电荷运动的方向或负电荷运动方向的反方向。

5.洛伦兹力做功的特点由于洛伦兹力始终和速度方向垂直，所以洛伦兹力永不做功。

1.主要研究方法(1)理想化模型法。

如点电荷。

(2)比值定义法。

如电场强度、电势的定义方法，是定义物理量的一种重要方法。

(3)类比的方法。

如电场和重力场的类比；电场力做功与重力做功的类比；带电粒子在匀强电场中的运动和平抛运动的类比。

2.静电力做功的求解方法(1)由功的定义式W＝Fl cos α来求。

(2)利用结论“电场力做功等于电荷电势能变化量的负值”来求，即W＝－ΔE p。

(3)利用W AB＝qU AB来求。

3.电场中的曲线运动的分析采用运动合成与分解的思想方法。

4.匀强磁场中的圆周运动解题关键找圆心：若已知进场点的速度和出场点，可以作进场点速度的垂线，依据是F洛⊥v，与进出场点连线的垂直平分线的交点即为圆心；若只知道进场位置，则要利用圆周运动的对称性定性画出轨迹，找圆心，利用平面几何知识求解问题。

实验二、应用轨迹与跟踪功能绘制简单几何图形一、实验内容1、实验教材§2.4 、§2.52、设A、B为平面上的两个定点，a为定值点，P满足条件PA×PB=2a，作出P的轨迹图形3、作出过平面一定点的直线系。

过两个定点的圆系4、作出与已知定圆、定直线都相切的圆的圆心的轨迹二、实验步骤1、实验教材§2.4 、§2.5（1）§2.4一条线段CD的一个端点C在定圆A上运动，线段CD的垂直平分线与直线AC的交点的轨迹（步骤请参照课本52页）得到图形如下：【请你试一试】①在范例的基础上，设直线k与圆A的另一个交点J，作出线段DJ的垂直平分线l，作出直线l与直线j的交点K，作出点K的轨迹（步骤与范例类似略）得到图形如下：②一点P，过P作CD的垂线，作出这条垂线与直线AC的交点Q，作出Q的轨迹，然后拖动点P，观察点Q的轨迹(步骤类似)当拖动P时，Q点的轨迹会随着P的移动而发生变化得到图形如下:③设△ABC的顶点A在定圆D上运动，B、C固定，作出△ABC的外心W的轨迹。

拖动点C位于各种不同的位置，观察点W的轨迹形状步骤：作出定圆D,在圆上任取一点A，作出△ABC与上述实验类似步骤结论：移动C点，可以发现C点在圆内时W的轨迹是一条直线，C点在圆外是W的轨迹是一条线段或者两条射线得到图形如下：E（2）§2.5根据椭圆的定义“平面上到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹”画椭圆 （步骤请参照课本58页） 得到图形如下：B【请你试一试】画出一条定长的线段EF在定圆C上运动，作出线段EF的中点G，作出点G的轨迹步骤：取线段AB，确定圆C，在圆C上任取一点E，以E为圆心、AB为半径画出圆E圆C与圆E的交点确定为F，取EF的中点选定点G与E，点击“作图”下的“轨迹”得到图形如下：BPA×PB=2a，作出P的轨迹图形步骤（1）打开几何画板（2）作出线段CD，选定C、D点“构造”“直线”，在直线上任取一点P（3）选定C、D点“度量”“距离”，选定P、C点“度量”“距离”。

教学研究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀巧用几何画板让轨迹有 迹 可循∗几何动点轨迹问题方法探究◉淄博市临淄区第二中学㊀路渠清◉淄博市临淄区金岭回族镇中心学校㊀桑艺荣㊀㊀摘要:几何动点轨迹问题常因动点的轨迹看不见㊁摸不着,学生在解决时存在很大的困难．初中阶段,动点的轨迹主要分为 直线型轨迹 和 圆弧形轨迹 两种．教师在授课时可以借助几何画板来探寻动点的运动轨迹,让轨迹有 迹 可循．关键词:动点;轨迹;几何画板㊀㊀点动成线,线动成面,面动成体 是初中数学的一个重要数学事实．而 点动成线 应该是几何学发展的基础,在此基础上延伸出的轨迹问题是初中几何的基本问题之一,也是近几年中考的常见题型,重在考查学生对知识的应用能力．解答轨迹问题,需要深入思考,发现并揭示问题的内部规律以及各知识之间的联系,考查的基本题型有利用轨迹求最值㊁判断轨迹并求轨迹的长等,这些问题大都可以利用数形结合思想㊁转化思想将几何问题转化为代数问题进行求解．１题型概述轨迹问题主要分为 直线型轨迹 和 圆弧型轨迹 两类．因为点在运动过程中的轨迹是未知的㊁ 隐形 的,学生往往无从下手．对于学生来说,点的运动轨迹如果单纯用语言来描述,缺乏直观形象,不易接受．因此,教学中如能利用几何画板的动画功能直观地演示出轨迹的运动路径,让其不再 隐形 ,学生解决问题将会容易很多．２典例解析２．１直线型轨迹图１例１㊀如图１,等腰直角三角形A B C 中,斜边A B 的长为２,O 为A B 的中点,P 为A C 边上的动点,O Q ʅO P 交B C 于点Q ,M 为P Q 的中点,当点P 从点A 运动到点C 时,点M 所经过的路径长为．分析:先确定轨迹,在讲解时借助几何画板变换点P 的位置,则点Q 的位置随之发生变化．在P Q 变化的过程中,点M 的运动轨迹是一条端点位于A C 和B C 之间的线段,并且与A B 平行．在基本确定点M 的运动轨迹的基础上,再来进一步探究．如图２,连接O M ,C M ,由 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ,可得O M ＝C M ＝１２P Q ,进而判断出点M 在线段O C 的垂直平分线上,即点M 的运动轨迹是әA B C 的中位线(如图３)．图２㊀㊀图３学生在解题时手中并不具备几何画板这一工具,因而可以采用 三点显形法 (即起点㊁过程点和终点三点确定其形状),其基本做法如下:一画:画出动点的起点㊁过程点和终点．二看:观察三点是否在一直线上,在一直线上是线段．三定:线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决．图４四算:常用勾股定理㊁相似三角形等知识进行求解．解析:如图４,连接O C ,易证әA P O ɸәC Q O ,可得O P ＝O Q ,从而可知әO P Q为等腰直角三角形．由此可以确定点M 运动的始㊁末两点分别是A C ,B C 的中点(如图５),则M ᶄM ᵡ的长度即为所求(如图６)．由于M ᶄM ᵡ是әA B C 的中位线,８２∗课题信息:本文系山东省淄博市教育科学 十四五 规划课题 全环境育人背景下 快课 辅助学生学习力提升的策略研究 (课题编号:２０２２Z J Z X ０６３)的研究成果．Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀教学研究㊀㊀㊀㊀M ᶄM ᵡ＝１２A B ＝１．故点M 所经过的路径长为１．图５㊀㊀图６图７变式㊀如图７,等腰直角三角形A B C 中,斜边A B 的长为２,O 为斜边A B 上的一个动点,过点O 作O P ʅA C 于点P ,作O Q ʅO P 于点Q ,M 为P Q 的中点,则当点O从点A 运动到点B 时,点M 所经过的路径长为．解析:运用几何画板,变换点O 的位置,点P ,Q 的位置随之变化,点M 的轨迹随之显现,即әA B C 的中位线,其长度为１．故点M 所经过的路径长为１．本题亦可证明四边形O P C Q 为矩形,M 既是P Q 的中点,也是O C 的中点(如图８)．如图９,过点C 作C E ʅA B 于点E ,过M 作MD ʅA B 于点D ,取C E 的中点M ᶄ,连接MM ᶄ．易证әO DM ʐO E C ,则DME C＝O M O C ＝１２,其中C E 的长为定值,则DM 的长也为定值,即点M 到线段A B 的距离为定值．由此可确定点M 的轨迹为әA B C 的中位线．图８㊀㊀图９２．２圆弧型轨迹２．２．１圆弧型轨迹长度问题例２㊀如图１０,在әA B C 中,øA C B ＝９０ʎ,A C ＝B C ,A B ＝４c m ,C D 是中线,点E ,F 同时从点D 出发,以相同的速度分别沿D C ,D B 方向移动,当点E 到达点C 时,运动停止,直线A E 分别与C F ,B C 相交于点G ,H ,则在点E ,F 移动过程中,点G 运动路径的长度为．图１０㊀㊀图１１分析:先确定轨迹．在几何画板中变化点E ,F 的位置,发现点G 的运动轨迹不再是直线,由此可以判断点G 的运动轨迹为圆弧．如图１０,易证әA D E ɸәC D F ,从而øD A E ＝øD C F ．又因为øA E D ＝øC E G ,所以øA D C ＝øA G C ＝９０ʎ．据此可以判断A ,C ,G ,D 四点共圆,点G 的运动轨迹为C D ︵(如图１１)．圆弧型轨迹问题的解题方法如下:一画:画出动点的起点㊁过程点和终点．二看:观察三点是否在同一直线上,若不在同一直线上,则转迹是圆弧．三定:圆弧型轨迹问题常利用 对称性 和 ９０ʎ的圆周角所对弦是直径 等知识确定圆心和半径．四算:常用勾股定理㊁相似三角形等知识来求解．解析:如图１１,点G 的运动轨迹是以A C 为直径的C D ︵,易得C D ︵所对圆心角øC O D ＝９０ʎ,半径O C ＝２．故点G 的运动轨迹的长为９０πˑ２１８０＝２２π．２．２．２圆弧型轨迹最值问题图１２例３㊀如图１２,☉O 的直径A B 的长为１２,长度为４的弦D F在半圆上滑动,D E ʅA B 于点E ,O C ʅD F 于点C ,连接C E ,A F ,则s i nøA E C 的值是,当C E 的长取得最大值时,A F 的长是．分析:先确定轨迹．在几何画板中移动弦D F ,发现点C 的运动轨迹不在一条直线上,由此可以判断点C 的运动轨迹是一个圆弧．如图１３,连接OD ,由题意可得øO C D ＝OE D ＝９０ʎ,则O ,C ,D ,E 四点共圆,即点C 的运动轨迹是以O D 为直径的圆．第二个空求当C E 最大时A F 的长,需要明确C E 是以O D 为直径的圆中的一条弦,当C E ＝O D 时最大(如图１４)．在几何画板中呈现这一特殊情况,分析A F 长度的求法．图１３㊀㊀㊀图１４解析:如图１３,根据勾股定理可求出弦心距O C ＝４２．又在以O D 为直径的圆中øA E C ＝øO D C ,所以s i n øA E C ＝s i n øO D C ＝O C O D ＝４２６＝２２３．如图１４,过点F 作F G ʅA B 于点G ,易证四边形O C F G 是矩形,可得O G ＝C F ＝２,F G ＝O C ＝４２,A G ＝O A －O G ＝４．在R t әA F G 中,由勾股定理可得A F ＝A G ２＋F G ２＝４３．３总结在解决动点问题时,要学会用运动变化的眼光审题,根据图形的性质,探究隐藏在变化过程中不变的量和关系,化动为静,从而画出动点的运动轨迹．几何画板只是我们解题的工具,而不是解题的依据．动点问题千千万,但是万变不离其宗,通过判断动点的运动轨迹再去解决与轨迹有关的问题是永恒的核心,只要把握好这一核心,那么轨迹都将有 迹 可循!Z９２Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

第6节带电粒子在匀强磁场中的运动学习目标核心提炼1.知道带电粒子沿着垂直于磁场的方向射入匀强磁场会做匀速圆周运动。

1种分析方法——洛伦兹力提供向心力q v B＝mv2r2个推论公式——r＝m vqB，T＝2πmqB2个应用——质谱仪和回旋加速器2.理解洛伦兹力对运动电荷不做功。

3.能够用学过的知识分析、计算有关带电粒子在匀强磁场中受力、运动问题。

4.知道回旋加速器、质谱仪的基本构造、原理及用途。

一、带电粒子在匀强磁场中的运动1.运动轨迹带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场时：(1)当v∥B时，带电粒子将做匀速直线运动。

(2)当v⊥B时，带电粒子将做匀速圆周运动。

2.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动(1)运动条件：不计重力的带电粒子沿着与磁场垂直的方向进入匀强磁场。

(2)洛伦兹力作用：提供带电粒子做圆周运动的向心力，即q v B＝m v2r。

(3)基本公式①半径：r＝m vqB；②周期：T＝2πmqB。

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期与粒子运动速率和半径无关。

3.洛伦兹力的作用效果洛伦兹力只改变带电粒子速度的方向，不改变带电粒子速度的大小，或者说洛伦兹力不对带电粒子做功，不改变粒子的能量。

二、质谱仪1.原理图：如图1所示。

图12.加速：带电粒子进入质谱仪的加速电场，由动能定理得qU＝12m v2。

3.偏转：带电粒子进入质谱仪的偏转磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：q v B＝m v2 r。

4.结论：r＝1B2mUq。

测出粒子的轨迹半径r，可算出粒子的质量m或比荷qm。

5.应用：可以测定带电粒子的质量和分析同位素。

三、回旋加速器1.构造图：如图2所示。

图22.核心部件：两个半圆金属D形盒。

3.原理：高频交流电源的周期与带电粒子在D形盒中的运动周期相同，粒子每经过一次加速，其轨道半径就大一些，粒子做圆周运动的周期不变。

4.最大动能：由q v B＝m v2R和E k＝12m v2得E k＝q2B2R22m(R为D形盒的半径)，即粒子在回旋加速器中获得的最大动能与q、m、B、R有关，与加速电压无关。

圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法归纳圆的轨迹方程求法是数学中研究圆的有效方法，可以用于求解圆的相关问题。

本文将从四个方面介绍圆的轨迹方程求法：一是介绍圆的定义及特征；二是介绍求解圆的几种基本方法；三是介绍求解圆的一些技巧；四是介绍圆的轨迹方程求法归纳。

一、圆的定义及特征圆是一种特殊的曲线，它是由一个点作为中心，一个半径向外指向的圆弧所组成的。

圆的特征是它的曲线是一个完全封闭的曲线，它的每个点都离中心点的距离（即半径）都相同。

二、求解圆的几种基本方法1、求圆的标准方程要求出圆的标准方程，首先需要知道圆的中心坐标和半径，根据它们可以算出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

2、求圆的参数方程如果需要求出圆的参数方程，则需要知道圆心的坐标及其与圆心的距离，可以用参数x和y来表示圆心，t来表示距离，因此可以得出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。

3、求圆的极坐标方程极坐标可以表示圆上任意一点，极坐标方程可以用来求出圆上任意点的坐标，极坐标方程为：x=rcosθy=rsinθ其中，r是圆的半径，θ是定义域的角度范围，一般定义域的角度范围为0~2π。

三、求解圆的一些技巧1、利用圆的对称性圆的特征之一就是具有对称性，利用这一性质可以从比较简单的方向着手，可以减少求解的难度。

2、利用实际问题实际问题中经常涉及到求解圆的问题，在实际问题中有时可以把圆简化为线段，这样可以更容易地求解圆。

3、利用解析几何解析几何是一种求解几何形状的有效方法，利用解析几何可以更容易地求解圆的标准方程和参数方程。

四、圆的轨迹方程求法归纳1、圆的标准方程求法根据圆的定义及其特征，可以求出圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。

2、圆的参数方程求法根据参数定义，可以求出圆的参数方程：x=a+tcosθy=b+tsinθ其中，(a,b)是圆心的坐标，t是圆上任意点与圆心的距离。

圆的专题一：找圆心或者画直径【教材母题88面】如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？简要说说你的作法及原理.例1小明家的圆形玻璃打碎了，其中三块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明应带到商店去的一块碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能【外校周练6】19．（本题8分）如图，直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．（1）用无刻度直尺画出该圆弧所在圆的圆心M，直接写出M的坐标为．（2）若D（7，0），直线CD与OM的位置关系为．（3）找一个格点N，使得直线BN为⊙M的切线，则M的坐标为．（4）连接MA、MC，将扇形AMC卷成一个圆锥，则圆锥的底面积为．【2021元调】1．如图是由小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．⊙P经过A，B两个格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．（1）在图（1）中，⊙P经过格点C，画圆心P；（2）在图（2）中，⊙P经过格点E，F是⊙P与网格线的交点，画圆心P．【2021年12月考三寄宿】2.请用无刻度直尺按要求画图，不写画法，保留画圏痕迹.(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(1)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆的一条直径；【变式训练】(2)如图1,在正方形网格中，有一圆经过了两个小正方形的顶点A,B,请画出这个圆的圆心；3．如图，在33 的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．在图1中，圆过格点A，B，请作出圆心O；【解后反思】你能说说这两个题目的异同点吗？你能说说具体的处理方法及数学原理是什么？4.如图，已知A，B，C，D，F均在一个不知圆心圆上，满足AB=BC=CD，且∠ADF=90°，请用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹），找出此圆的圆心.5.如图，已知A，B，C，D，E均在一个不知圆心圆上，满足AB=BC=CD=DE=AE，，请用无刻度的直尺作图（保留画图痕迹），图1备用图（1）图形ABCDE为何种特殊的几何图形？（2）在图1中，画经过点A的直径.（3）在图1中，画出此圆的圆心.（4）请你画一个36°的圆周角.（5）请你画一个18°的圆周角.（6）在圆上画一点P，使得∠AEP=126°.。