课后习题完整版答案

2.1 如图2-34所示钢材在单向拉伸状态下的应力－应变曲线，请写出弹性阶段和非弹性阶段的σε-关系式。

tgα'=E'f y 0f y 0tgα=E 图2-34 σε-图（a ）理想弹性－塑性（b ）理想弹性强化解：（1）弹性阶段：tan E σεαε==⋅非弹性阶段：y f σ=（应力不随应变的增大而变化） （2）弹性阶段：tan E σεαε==⋅ 非弹性阶段：'()tan '()tan y y y y f f f E f Eσεαεα=+-=+-2.2如图2-35所示的钢材在单向拉伸状态下的σε-曲线，试验时分别在A 、B 、C 卸载至零，则在三种情况下，卸载前应变ε、卸载后残余应变c ε及可恢复的弹性应变y ε各是多少？2235/y f N mm = 2270/c N mm σ= 0.025F ε= 522.0610/E N mm =⨯2'1000/E N mm =f yσ图2-35 理想化的σε-图解：（1）A 点：卸载前应变：52350.001142.0610y f Eε===⨯卸载后残余应变：0c ε=可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-=（2）B 点：卸载前应变：0.025F εε==卸载后残余应变：0.02386y c f Eεε=-=可恢复弹性应变：0.00114y c εεε=-=（3）C 点： 卸载前应变：0.0250.0350.06'c yF f E σεε-=-=+=卸载后残余应变：0.05869cc Eσεε=-=可恢复弹性应变：0.00131y c εεε=-=2.3试述钢材在单轴反复应力作用下，钢材的σε-曲线、钢材疲劳强度与反复应力大小和作用时间之间的关系。

答：钢材σε-曲线与反复应力大小和作用时间关系：当构件反复力y f σ≤时，即材料处于弹性阶段时，反复应力作用下钢材材性无变化，不存在残余变形，钢材σε-曲线基本无变化；当y f σ>时，即材料处于弹塑性阶段，反复应力会引起残余变形，但若加载－卸载连续进行，钢材σε-曲线也基本无变化；若加载－卸载具有一定时间间隔，会使钢材屈服点、极限强度提高，而塑性韧性降低（时效现象）。

统计学(第五版)课后习题答案(完整版)第一章思考题1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科,它收集,处理,分析,解释来自各个领域的数据并从中得出结论。

1.2解释描述统计和推断统计描述统计;它研究的是数据收集,处理,汇总,图表描述,概括与分析等统计方法。

推断统计;它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据;按所采用的计量尺度不同分;(定性数据)分类数据:只能归于某一类别的非数字型数据,它是对事物进行分类的结果,数据表现为类别,用文字来表述;(定性数据)顺序数据:只能归于某一有序类别的非数字型数据。

它也是有类别的,但这些类别是有序的。

(定量数据)数值型数据:按数字尺度测量的观察值,其结果表现为具体的数值。

统计数据;按统计数据都收集方法分;观测数据:是通过调查或观测而收集到的数据,这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。

实验数据:在实验中控制实验对象而收集到的数据。

统计数据;按被描述的现象与实践的关系分;截面数据:在相同或相似的时间点收集到的数据,也叫静态数据。

时间序列数据:按时间顺序收集到的,用于描述现象随时间变化的情况,也叫动态数据。

1.4解释分类数据,顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体,样本,参数,统计量,变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试,那么这千个灯泡就是总体,从中抽取一百个进行检测,这一百个灯泡的集合就是样本,这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数,这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量,变量就是说明现象某种特征的概念,比如说灯泡的寿命。

1.6变量的分类变量可以分为分类变量,顺序变量,数值型变量。

变量也可以分为随机变量和非随机变量。

经验变量和理论变量。

1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量,只能取有限个值,取值以整数位断开,比如“企业数”连续型变量,取之连续不断,不能一一列举,比如“温度”。

（完整版）计算机⽹络原理课后习题答案《计算机⽹络》（第四版）谢希仁第1章概述作业题1-03、1-06、1-10、1-13、1-20、1-221-03．试从多个⽅⾯⽐较电路交换、报⽂交换和分组交换的主要优缺点。

答：（1）电路交换它的特点是实时性强，时延⼩，交换设备成本较低。

但同时也带来线路利⽤率低，电路接续时间长，通信效率低，不同类型终端⽤户之间不能通信等缺点。

电路交换⽐较适⽤于信息量⼤、长报⽂，经常使⽤的固定⽤户之间的通信。

（2）报⽂交换报⽂交换的优点是中继电路利⽤率⾼，可以多个⽤户同时在⼀条线路上传送，可实现不同速率、不同规程的终端间互通。

但它的缺点也是显⽽易见的。

以报⽂为单位进⾏存储转发，⽹络传输时延⼤，且占⽤⼤量的交换机内存和外存，不能满⾜对实时性要求⾼的⽤户。

报⽂交换适⽤于传输的报⽂较短、实时性要求较低的⽹络⽤户之间的通信，如公⽤电报⽹。

（3）分组交换分组交换⽐电路交换的电路利⽤率⾼，⽐报⽂交换的传输时延⼩，交互性好。

1-06．试将TCP/IP和OSI的体系结构进⾏⽐较。

讨论其异同点。

答：（1）OSI和TCP/IP的相同点是：都是基于独⽴的协议栈的概念；⼆者均采⽤层次结构，⽽且都是按功能分层，层功能⼤体相似。

（2）OSI和TCP/IP的不同点：①OSI分七层，⾃下⽽上分为物理层、数据链路层、⽹络层、运输层、应⽤层、表⽰层和会话层；⽽TCP/IP具体分五层：应⽤层、运输层、⽹络层、⽹络接⼝层和物理层。

严格讲，TCP/IP⽹间⽹协议只包括下三层，应⽤程序不算TCP/IP的⼀部分②OSI层次间存在严格的调⽤关系，两个（N）层实体的通信必须通过下⼀层（N-1）层实体，不能越级，⽽TCP/IP可以越过紧邻的下⼀层直接使⽤更低层次所提供的服务（这种层次关系常被称为“等级”关系），因⽽减少了⼀些不必要的开销，提⾼了协议的效率。

③OSI 只考虑⽤⼀种标准的公⽤数据⽹。

TCP/IP ⼀开始就考虑到多种异构⽹的互连问题，并将⽹际协议IP 作为TCP/IP 的重要组成部分。

第一章 绪论1-1 试比较开环控制系统和闭环控制系统的优缺点.解答：1开环系统(1) 优点:结构简单，成本低，工作稳定。

用于系统输入信号及扰动作用能预先知道时，可得到满意的效果。

(2) 缺点：不能自动调节被控量的偏差。

因此系统元器件参数变化，外来未知扰动存在时，控制精度差。

2 闭环系统⑴优点：不管由于干扰或由于系统本身结构参数变化所引起的被控量偏离给定值，都会产生控制作用去清除此偏差，所以控制精度较高。

它是一种按偏差调节的控制系统。

在实际中应用广泛。

⑵缺点：主要缺点是被控量可能出现波动，严重时系统无法工作。

1-2 什么叫反馈？为什么闭环控制系统常采用负反馈？试举例说明之。

解答：将系统输出信号引回输入端并对系统产生控制作用的控制方式叫反馈。

闭环控制系统常采用负反馈。

由1-1中的描述的闭环系统的优点所证明。

例如，一个温度控制系统通过热电阻（或热电偶）检测出当前炉子的温度，再与温度值相比较，去控制加热系统，以达到设定值。

1-3 试判断下列微分方程所描述的系统属于何种类型（线性，非线性，定常，时变）？（1）22()()()234()56()d y t dy t du t y t u t dt dt dt ++=+（2）()2()y t u t =+（3）()()2()4()dy t du t ty t u t dt dt +=+ （4）()2()()sin dy t y t u t tdt ω+=（5）22()()()2()3()d y t dy t y t y t u t dt dt ++= （6）2()()2()dy t y t u t dt +=（7）()()2()35()du t y t u t u t dt dt =++⎰解答： （1）线性定常 （2）非线性定常 （3）线性时变 （4）线性时变 （5）非线性定常 （6）非线性定常 （7）线性定常1-4 如图1-4是水位自动控制系统的示意图，图中Q1，Q2分别为进水流量和出水流量。

《化学（必修）1》 课后习题参考答案第一章第一节 p101．C 2．C 3．CD 4．略5．乳化原理或萃取原理 6．利用和稀盐酸反应产生气体7．不可靠，因为碳酸钡也是白色沉淀，碳酸根干扰了硫酸根的检验。

由于硫酸钡是难溶的强酸盐，不溶于强酸，而碳酸钡是难溶弱酸盐，可溶于强酸，因此可先取样，再滴入氯化钡溶液和几滴稀硝酸或稀盐酸，如果出现白色沉淀，说明有硫酸根。

第一章第二节 p171．D 2．B 3．B 4．B5．65 mg/dL ~110mg/dL （1mmol=10-3mol ）6．这种操作会使得结果偏低，因为倒出去的溶液中含有溶质，相当于容量瓶内的溶质有损失。

7．14mL8．n(Ca)：n(Mg)：n(Cu)：n(Fe)=224：140：35：2 9．1）0.2mol 2）Cu2+：0.2mol Cl-：0.4mol 10．40 （M=40 g/mol ，该气体的相对分子质量为40。

）第一章复习题 p191．C 2．B 3．A 4．BC 5．C6．(1) 不正确。

（标况下或没有明确O2的状态）（2）不正确。

（溶液体积不为1L ）或氢氧化钠加入水中后，形成溶液的体积不能确定 （3）不正确。

（水标况下不是气体）或水在常温下是液体（4）正确。

（同温同压下气体的体积比即为物质的量之比，也就是分子个数比） 7．（1）5% （2）0.28mol/L 8．9．1.42 g ， 操作步骤 （1）计算所需硫酸钠的质量，m （硫酸钠）=0.2mol/L×0.05L×142g/mol=0.56g（2） 称量（3）溶解并冷却至室温（4）转移至50ml 容量瓶，并洗涤小烧杯2次~3次，将洗涤液转移到容量瓶中，轻轻摇动容量瓶，使溶液混合均匀铁 粉 过 滤Fe 、CuFeSO 4溶液稀硫酸过 滤FeSO 4溶液蒸发 结晶第二章第一节p291．②⑧①④⑤⑥⑦⑩⑨2．树状分类法略6．BD7．胶体区别于其他分散系得本质特征是胶体粒子的大小在1~100nm范围。

第八章思考与练习：1. 什么是决策？决策有那些特点？答：广义的说，把决策看作一个管理过程，是人们为了实现特定的目标，运用科学的理论与方法，系统地分析主客观条件，提出各种预选方案，从中选出最佳方案，并对最佳方案进行实施、监控的过程。

包括从设定目标，理解问题，确定备选方案，评估备选方案，选择、实施的全过程。

狭义的说，决策就是为解决某种问题，从多种替代方案中选择一种行动方案的过程。

决策的特点可按照划分的类别来说明： 1．按决策的作用分类（1）战略决策。

是指有关企业的发展方向的重大全局决策，由高层管理人员作出。

（2）管理决策。

为保证企业总体战略目标的实现而解决局部问题的重要决策，由中层管理人员作出。

（3）业务决策。

是指基层管理人员为解决日常工作和作业任务中的问题所作的决策。

2．按决策的性质分类（1）程序化决策。

即有关常规的、反复发生的问题的决策。

（2）非程序化决策。

是指偶然发生的或首次出现而又较为重要的非重要复性决策。

3．按决策的问题的条件分类（1）确定性决策。

是指可供选择的方案中只有一种自然状态时的决策。

即决策的条件是确定的。

（2）风险型决策。

是指可供选择的方案中，存在两种或两种以上的自然状态，但每种自然状态所发生概率的大小是可以估计的。

（3）不确定型决策。

指在可供选择的方案中存在两种或两种以上的自然状态，而且，这些自然状态所发生的概率是无法估计的。

4，按决策的风格来分，可分为：行为决策；概念决策；命令决策；分析决策。

5、按决策的方法来分，可分为：有限理性决策和直觉决策。

2. 科学决策应该遵从哪些原则？答：最优化的原则、系统原则、信息准全原则、可行性原则和集团决策原则。

3. 决策在管理中的作用如何？你能否通过实例来说明决策的重要性？答：决策是管理的基础，决策是计划工作的核心，计划工作是组织，人员配备，指导与领导，控制工作的基础。

（省）4. 简述决策的基本过程。

你在实际工作中是如何作决策的？答：决策过程主要分为四个阶段：情报活动、设计活动、抉择活动和实施活动。

1-1至1-4解机构运动简图如下图所示。

图 1.11 题1-1解图图1.12 题1-2解图图1.13 题1-3解图图1.14 题1-4解图1-5 解1-6 解1-7 解1-8 解1-9 解1-10 解1-11 解1-12 解1-13解该导杆机构的全部瞬心如图所示，构件1、3的角速比为：1-14解该正切机构的全部瞬心如图所示，构件3的速度为：，方向垂直向上。

1-15解要求轮1与轮2的角速度之比，首先确定轮1、轮2和机架4三个构件的三个瞬心，即，和，如图所示。

则：，轮2与轮1的转向相反。

1-16解（1）图a中的构件组合的自由度为：自由度为零，为一刚性桁架，所以构件之间不能产生相对运动。

（2）图b中的CD 杆是虚约束，去掉与否不影响机构的运动。

故图b中机构的自由度为：所以构件之间能产生相对运动。

题2-1答: a ），且最短杆为机架，因此是双曲柄机构。

b ），且最短杆的邻边为机架，因此是曲柄摇杆机构。

c ），不满足杆长条件，因此是双摇杆机构。

d ），且最短杆的对边为机架，因此是双摇杆机构。

题2-2解: 要想成为转动导杆机构，则要求与均为周转副。

（ 1 ）当为周转副时，要求能通过两次与机架共线的位置。

见图2-15 中位置和。

在中，直角边小于斜边，故有：（极限情况取等号）；在中，直角边小于斜边，故有：（极限情况取等号）。

综合这二者，要求即可。

（ 2 ）当为周转副时，要求能通过两次与机架共线的位置。

见图2-15 中位置和。

在位置时，从线段来看，要能绕过点要求：（极限情况取等号）；在位置时，因为导杆是无限长的，故没有过多条件限制。

（ 3 ）综合（1 ）、（2 ）两点可知，图示偏置导杆机构成为转动导杆机构的条件是：题2-3 见图 2.16 。

图 2.16题2-4解: （1 ）由公式，并带入已知数据列方程有：因此空回行程所需时间；（ 2 ）因为曲柄空回行程用时，转过的角度为，因此其转速为：转/ 分钟题2-5解: （1 ）由题意踏板在水平位置上下摆动，就是曲柄摇杆机构中摇杆的极限位置，此时曲柄与连杆处于两次共线位置。

北大版高等数学课后习题答案完整版习题 1.11. 证明 3为无理数. 证若 3不是无理数,则 3 p p2 , p, q为互素自然数.32 , p 2 3q 2 .3除尽p 2 , q q必除尽p, 否则p 3k , 1或p 3k , 2. p 2 9k 2 , 6k , 1, p 2 9k 2 ,12k , 4,3除 p 2 将余1.故p 3k ,9k 2 3q 2 , q 2 3k 2 , 类似得3除尽q.与p, q互素矛盾. 2. p是正的素数, 证明p是无理数. 设证设 p a a2 , a, b为互素自然数,则p 2 , a 2 pb 2 , 素数p除尽a 2 , 故p除尽a, b b 2 2 2 2 2 a pk . p k pb , pk b .类似得p除尽b.此与a, b为互素自然数矛盾.(1)若x 0, 则 , x , 1 , x 3, 2 x 3. 解下列不等式 : (1) | x | , | x ,1| 3.\;(2) | x 2 , 3 | 2. 解,2, x ,1, (,1, 0); 若0 x 1, 则x , 1 , x 3,1 3, (0,1); 若x 1, 则x , x , 1 3, x 3 / 2, (1,3 / 2). X (,1, 0) (0,1) (1,3 / 2). (2) , 2 x 2 , 3 2,1 x 2 5,1 | x |2 5,1| x | 5, x (1, 5) ( , 5, ,1). 4. a, b为任意实数,(1)证明 | a , b | |a | , |b |;(2)设 | a , b | 1, 证明 | a | | b | ,1. 设证(1) | a | | a ,b , (,b) | | a , b | , | ,b | | a , b | , | b |,| a , b | | a | , | b | .(2) | a| | b , (a , b) | | b | , | a , b | | b | ,1. 5. 解下列不等式: (1) | x , 6 | 0.1;(2) | x , a | l. 解(1)x , 6 0.1或x , 6 ,0.1.x ,5.9或x ,6.1.X (, , ,6.1) (,5.9, , ). (2)若l 0, X (a , l , , ) (, , a , l ); 若l 0, x a; 若l 0, X (, , , ). a ,1 6. a 1, 证明0 n a , 1 若 , 其中n a b 1.a , 1 n a , 1 ( n a , 1)(b n ,1 , b n , 2 , , 1) n为自然数. n 证若a 1, 显然n( n a , 1). 7. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有有理数. 设证取自然数n 满足1/10nb , a.考虑有理数集合 m A=An { n | m Z}. 若An (a, b) , 则A B C , B A {x | x b}, 10 C A {x | x a}.B中有最小数m0 /10n , (m0 , 1) /10 n C , b , a m0 /10n -(m0 , 1) /10n =1/10 n ,此与n的选取矛盾. 8. (a, b)为任意一个开区间, 证明(a, b)中必有无理数. 设证取自然数n 满足1/10n b , a.考虑无理数集合An { 2 , m | m Z}. 以下仿8题. 10nn习题 1.2-1-13.证明函数y 1 , x , x在(1, , )内是有界函数. ( 1 , x , x )( 1 , x , x ) 1 1 ( x 1). 1, x , x 1,x , x 2 ,1 x6 , x4 , x2 13.研究函数y 在(, , , )内是否有界. 1 , x6x6 , x4 , x2 x 6 , x 4 , x 2 3x 6 解 | x | 1时, 3,| x | 1时, 6 3, 1 , x6 1 , x6 x | y | y 3, x (, , , ). 证y 1 , x , x习题 1.41.直接用 - 说法证明下列各极限等式: (1) limx axa ( a 0); (2) lim x 2 a 2 ; (3) lim e x e a ; (4) lim cos x cos a.x a x a x a证(1), 0, 要使 | 只需x,| x-a| | x-a| | x-a| a | ,由于 , x, a x, a a x a.| x,a| ,| x , a | a .取 a , 则当 | x , a | 时,| x , a | , 故 lim x a a 2 2 (2), 0, 不妨设 | x , a | 1.要使 | x , a | | x , a || x , a | ,由于| x , a | | x , a | , | 2a | 1, |2a |, 只需(1, | 2a |) | x , a | ,| x , a | | x 2 , a 2 | , 故 lim x2 a 2 .x a1, | 2a |.取 min{ ,1}, 则当 | x , a | 时, 1, | 2a |(3) , 0, 设x a.要使 | e x , e a | e a (e x , a , 1) , 即0 (e x , a , 1)ea,1 e x , a 1 ,ea,0 x , a ln 1 , a , 取 min{ ,1}, 则当0 x , a 时,| e x , e a |, e 1, | 2a | 故 lim e x e a . 类似证 lim e x e a . lim e x e a . 故x a , x a , x ax,a x,a x,a x,a (4) 0, 要使 | cos x , cos a | 2 sin , sin 2 sin sin | x , a |, 2 2 2 2 取, 则当|x , a | 时,| cos x , cos a | , 故 lim cos x cos a.x a2.设 lim f ( x) l , 证明存在a的一个空心邻域( a , , a) ( a, a , ),使得函数u f ( x)在x a该邻域内使有界函数. 证对于 1, 存在 0, 使得当 0 | x - a | 时,| f( x ) , l | 1, 从而 | f ( x) | | f ( x) , l , l | | f ( x) , l | , | l | 1, | l | M . 3. 求下列极限 : (1) limx 0(1 , x ) 2 , 1 2x , x2 x lim lim(1 , ) 1. x 0 x 0 2x 2x 22x x 2 sin 2 sin 2 1 , cos x 2 1 lim 12 1 . (2) lim lim 1 x 0 x 0 x x2 x2 2 x 0 2 2 2 (3) limx 0x,a , xalimx 0x x( x , a ,a)1 ( a 0).2 ax2 , x , 2 2 x2 , 2 x , 3 x2 , x , 2 (5) lim x 0 2 x 2 , 2 x , 3 (4) limx 1,2 . ,3 ,2 . ,3-2-(6) lim(2 x , 3) 20 (2 x , 2)10 230 30 1. x (2 x , 1)30 2x 0(7) lim1, x , 1, x 2x lim 1. x 0 x ( 1 , x , 1 , x ) x3 x2 , x , 1 , 3 x2 , x , 2 1 (8) lim , 3 lim lim x ,1 x , 1 x , 1x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) x ,1 ( x , 1)( x 2 , x , 1) ( x , 1)( x , 2) ( x , 2) ,3 lim lim 2 ,1. 2 x ,1 ( x , 1)( x , x ,1) x ,1 ( x , x , 1) 3 (9) limx 41, 2x , 3 ( 1 , 2 x , 3)( x , 2)( 1 , 2 x , 3) lim x 4 x ,2 ( x ,2)( x , 2)( 1 , 2 x , 3)lim(2 x , 8)( x , 2) 2 4 4 . x 4 ( x , 4)( 1 , 2 x , 3) 6 3n nn(n , 1) 2 y , , yn x,1 (1 , y ) , 1 2 (10) lim lim lim n. x 1 x , 1 y 0 y 0 y y 2 (11) lim x 2 , 1 , x 2 , 1 lim 0. x x x2 , 1 , x2 ,1 a x m , a x m ,1 , , am a (12) lim 0 n 1 n ,1 (bn 0) m . x0 b x , b x , , bn bn 0 1 ny ,,,a0 / b0 , m n a0 x m , a1 x m ,1 , , am (13) lim (a0 0 0) 0, b n m x b x n , b x n ,1 , , b 0 1 n , m n. x4 , 8 1 , 8 / x4 (14) lim 2 lim 1. x x , 1 x 1 , 1/ x 23(15) limx 01 , 3x , 3 1 ,2 x x , x22 2limx 0( 3 1 , 3 x , 3 1 , 2 x )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) ( x , x 2 )( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x ,3 1 , 2 x ) 5x2 2 2 2limx 0x(1 , x)( 3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x 3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 5 5 lim . 22 x 0 (1 , x)(3 1 , 3 x , 3 1 , 3 x3 1 , 2 x , 3 1 , 2 x ) 3 (16) a 0, lim x , a , x,a x2 , a2x a , 0x, a 1 lim , 2 2 x a , 0 x,a x ,a( x , a )( x , a ) 1 lim x , a x , a( x , a) , x , a x a ,0-3-( x , a) 1 lim , x a , 0 x,a x , a x , a( x , a) x,a 1 1 lim x , a( x , a ) ,x , a 2a . x a , 0sin x 1 4.利用lim 1及 lim 1 , e求下列极限: x x x x sin x sinx (1) lim lim lim cos x . x 0 tan x x 0 sin x x 0 sin(2 x 2 ) sin(2x 2 ) 2x2 lim lim 1 0 0 x x 0 x 0 3 x 3x 2x2 tan 3 x , sin 2 x tan 3 xsin 2 x 3 2 1 (3) lim lim , lim , . x 0 x 0 sin 5 x x 0 sin 5 x sin 5 x5 5 5 x x (4) lim lim 2.x 0 , 1 , cos x x 0 , x 2 sin 2 x,a x,a cos sin sin x , sin a 2 2cos a. (5) lim lim x a x a x,ax,a 2 (2) lim k (6) lim 1 , x x,x xk lim 1 , x xx (,k ) kx k k lim 1 , x x ,5,ke, k .(7) lim(1 , 5 y )1/ y lim(1 , 5 y )1/(5 y ) e ,5 . y 0 y 0 1 11 (8) lim 1 , lim 1 , lim 1 , e. x x x xx x 5.给出lim f ( x) , 及 lim f ( x) , 的严格定义.x x a x , x ,100 100lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当0 | x - a | 时f ( x)A.x a x ,lim f ( x) , : 对于任意给定的A 0, 存在 0, 使得当x , 时f ( x) , A.习题 1.5-4-1.试用 , 说法证明 (1) 1 , x 2 在x 0连续 (2) sin 5 x在任意一点x a连续. 证(1), 0, 要使 | 1 , x 2 , 1 , 02 | x2 1, x ,12.由于x2 1, x ,12x 2 , 只需x 2 ,| x | , 取 , 则当 | x | 时有 | 1 , x 2 , 1 , 0 2 | , 故 1 , x 2 在x0连续. (2)(1), 0, 要使 | sin 5 x , sin 5a | 2 | cos 由于2 | cos 5x , 5a 5( x , a ) || sin |. 2 25 x , 5a 5( x , a) || sin | 5 | x , a |, 只需5 | x , a | ,| x , a | , 2 2 5取 , 则当 | x , a | 时有 | sin 5 x , sin 5a | , 故 sin 5 x在任意一点x a连续. 5 2.设y f ( x)在x0处连续且f ( x0 ) 0, 证明存在 0使得当 | x , x0 | 时f ( x) 0. 证由于f ( x)在x0处连续, 对于 f ( x0 ) / 2, 存在存在 0使得当 | x , x0 | 时 f ( x) , f ( x0 ) | f ( x0 ) / 2, 于是f ( x) f( x0 ) , f ( x0 ) / 2 f ( x0 ) / 2 0. 3.设f ( x)在(a, b)上连续, 证明 |f ( x) | 在( a, b)上也连续, 并且问其逆命题是否成立 ? 证任取 x0 (a, b), f 在x0连续.任给 0, 存在 0使得当 | x , x0 | 时 | f ( x) , f ( x0 ) | , 此时 || f ( x) | , | f ( x0 ) || | f ( x) , f ( x0 ) | , 故 | f | 在x0连续.其逆命题 1, x是有理数不真, 例如f ( x) 处处不连续, 但是|f ( x) | 1处处连续. ,1, x是无理数 4.适当地选取a,使下列函数处处连续: 1 , x 2 , x 0, ln(1 , x), x 1, (1) f ( x) (2) f ( x) x 0;a arccos x, x 1. a , x 解(1) lim f ( x) lim 1 , x 2 1 f (0), lim f ( x) f (0)a 1.x 0 , x 0, x 0,(2) lim f ( x) lim ln(1 , x) ln 2 f (1), lim f ( x) lim a arccosx ,a f (1) ln 2,x 1, x 1, x 1, x 1,a , ln 2. 5.利用初等函数的连续性及定理3求下列极限 : (1) lim cosx ,1, x , x 1, x , x cos lim cos 0 1. x , x x 2 2.lim sin 2 x 2(2) lim xx 2 x 0x(3) lim e sin 3 x e x 0 sin 3 x e 3 . (4) lim arctanxsin 2 xx4 , 8 x4 , 8 arctan lim 2 arctan1 . 2 x x , 1 x ,1 4-5-(5) lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | lim ( x 2 , 1 , x 2 , 2) | x | xx 3| x |3 3 lim . lim 2 2 2 2 x x 2 x ,1 , x , 2 1 , 1/ x , 1 , 2 / x 6.设 lim f ( x) a 0, lim g ( x) b, 证明 lim) f ( x) g ( x ) a b .x x0 x x0 x x0证 lim) f ( x) g ( x ) lim)e(ln f ( x )) g ( x ) e x x0x x0 x x0lim [(ln f ( x )) g ( x )]eb ln a a b .7.指出下列函数的间断点及其类型, 若是可去间断点, 请修改函数在该点的函数值, 使之称为连续函数: (1) f ( x) cos ( x , [ x]), 间断点n Z,第一类间断点. (2) f ( x) sgn(sin x), 间断点n , n Z, 第一类间断点. x 2 , x 1, (3) f ( x) 间断点x 1, 第一类间断点. 1/ 2, x 1. x 2 , 1, 0 x 1 (4)f ( x) 间断点x 1, 第二类间断点. ,1 x 2, sin x ,1 1 2 , x , 0 x 1, (5) f ( x) x,1 x2, 间断点x 2, 第一类间断点. 1 , 2 x 3. 1 , x8.设y f ( x)在R上是连续函数, 而y g ( x)在R上有定义, 但在一点x0处间断. 问函数h( x) f ( x) , g ( x)及 ( x) f ( x) g ( x)在x0点是否一定间断? 解h( x) f ( x) , g ( x)在x0点一定间断.因为如果它在x0点连续, g ( x) ( f ( x) , g ( x)) , f ( x)将在x0点连续,矛盾.而( x) f ( x) g ( x)在x0点未必间断.例如f ( x) 0, g ( x) D( x).习题 1.6-6-1.证明 : 任一奇数次实系数多项式至少有一实根. 证设P ( x)是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则 lim P ( x) , ,x , x ,lim P ( x) , , 存在A, B, A B, P ( A) 0, P ( B ) 0, P在[ A, B]连续,根据连续函数的中间值定理, 存在x0 ( A, B), 使得P ( x0 ) 0. 2.设0 1, 证明对于任意一个y0 R, 方程y0 x , sin x有解, 且解是唯一的. 证令f ( x) x , sin x, f ( , | y0 | ,1) , | y0 | ,1 , , | y0 | y0 , f (| y0 | ,1) | y0 | ,1 , |y0 | y0 , f 在[, | y0 | ,1,| y0 | ,1]连续,由中间值定理, 存在 x0 [, | y0 | ,1,| y0 | ,1], f ( x0 ) y0 .设x2 x1 , f( x2 ) , f ( x1 ) x2 , x1 , (sin x2 , sin x1 ) x2 , x1 , | x2 , x1 | 0, 故解唯一. 3.设f ( x)在(a, b)连续, 又设x1 , x2 (a,b), m1 0, m2 0, 证明存在 (a, b)使得 f ( ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) . m1 , m2 m1 f ( x1 ) , m2 f ( x1 ) m1 f ( x1 ) , m2 f ( x2 ) m1 f ( x2 ) , m2 f ( x2 ) f ( x2 ), m1 , m2 m1 , m2m1 , m2证如果f ( x1 ) f ( x2 ), 取 x1即可.设f ( x1 ) f ( x2 ), 则 f ( x1 ) 在[ x1 , x2 ]上利用连续函数的中间值定理即可. 4.设y f ( x)在[0,1]上连续且0 f ( x)1, ,x [0,1].证明在存在一点t [0,1]使得 f (t ) t. 证g (t ) f (t ) ,t , g (0) f (0) 0, g (1) f (1) , 1 0.如果有一个等号成立, 取t为0 或1.如果等号都不成立, 则由连续函数的中间值定理, 存在t (0,1), 使得g (t ) 0, 即f (t ) t. 5.设y f ( x)在[0, 2]上连续, 且f(0) f (2).证明在[0, 2]存在两点x1与x2 , 使得 | x1 , x2 | 1, 且f( x1 ) f ( x2 ). 证令g ( x)f ( x , 1) , f ( x), x [0,1].g (0) f (1) , f (0), g (1) f (2) , f(1) f (0), f (1) , g (0).如果g (0) 0, 则 f (1) f (0), 取x1 0, x2 1.如果g (0) 0, 则g (0), g(1)异号,由连续函数的中间值定理, 存在 (0,1)使得g ( ) f ( , 1) , f ( ) 0, 取x1, x2 , 1.第一章总练习题-7-1.求解下列不等式 : 5x , 8 () 12. 3 | 5x , 8 | 14 2 解 2. | 5 x , 8| 6,5 x , 8 6或5 x , 8,6, x 或x . 3 5 5 2 (2) x , 3 3, 5 2 解 , 3 x , 3 3, 0 x 15. 5 (3) | x , 1| | x , 2 | 1 解( x , 1) 2 ( x , 2) 2 , 2 x , 1 ,4 x , 4, x . 2 2.y 2 x , | 2 , x |, 试将x表示成y的函数. 设1 解当x 2时, y x , 2, y 4, x y , 2;当x 2时, y 3x , 2, y 4, x ( y ,2). 3 y , 2, y 4 x 1 3 ( y , 2), y 4. 1 3.求出满足不等式 1 , x 1 , x的全部x. 2 解x ,1.2 1 , x x , 2, 4(1 , x) x 2 , 4 x , 4, x 2 0.x ,1, x 0. 4.用数学归纳法证明下列等式 : 1 23 n n,2 (1) , 2 , 3 , , n 2 , n . 2 2 2 2 2 1, 2 1 证当n 1时,2- 1 , 等式成立.设等式对于n成立,则 2 2 1 2 3 n ,1 1 2 3 n n ,1 , 2 , 3 , , n ,1 , 2 , 3 , , n ,n ,1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n , 2 n ,1 2n , 4 , (n ,1) (n , 1) , 3 2 , n , n ,1 2 , 2, , n ,1 2 2 2 2n ,1 即等式对于n , 1也成立.故等式对于任意正整数皆成立. (2)1 , 2 x , 3 x , , nx2 n ,11 , (n , 1) x n , nx n ,1 ( x 1). (1 , x) 21 , (1 , 1) x n , 1x1,1 (1 , x)2 证当n 1时, 1, 等式成立. (1 , x) 2 (1 , x) 2 设等式对于n成立,则 1 , 2 x , 3 x 2 , , nx n ,1 , (n , 1) x n 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (n , 1) x n 2 (1 , x)-8-1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , x)2 (n , 1) x n (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , (1 , 2 x , x 2 )( n , 1) x n (1 , x) 21 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n ,2 x n ,1 , x n , 2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 1) x n , nx n ,1 , ( x n , 2 x n ,1 , x n ,2 )(n , 1) (1 , x) 2 1 , (n , 2) x n ,1 , (n , 1) x n , 2 , (1 , x) 2即等式对于n , 1成立.由归纳原理, 等式对于所有正整数都成立. 5.设f ( x) | 2 , x | , | x | ,2 x (1)求f (,4), f (,1), f (,2), f (2)的值; (2)将f ( x)表成分段函数; (3)当x 0时f ( x)是否有极限: (4)当x ,2时是否有极限? 解(1) f (,4) 2,4,2 1 ,1 , 2 ,2 , 2 4,2,2 ,1, f (,1) 2, f (,2) 2, f (2)0. ,4 ,1 ,2 2 ,4 / x, x ,2; (2) f ( x) 2, ,2 x 0; 0, x 0. (3)无因为lim f( x) 2, lim f ( x) 0 lim f ( x). .x 0 , x 0, x 0,(4)有. lim f ( x)lim ( ,4 / x) 2, lim f ( x) lim 2 2 lim f ( x), lim f ( x) 2.x ,2 , x ,2 , x ,2 , 2 x ,2 , x ,2 , x ,26.设f ( x) [ x , 14], 即f ( x)是不超过x , 14的最大整数.23 (1)求f (0), f , f ( 2)的值; 2 (2) f ( x)在x 0处是否连续 ? (3) f ( x)在x2处是否连续 ? 1 3 9 解(1) f (0) [ ,14] ,14, f , 14 ,6 ,,7. f ( 2) [ ,12] ,12. 4 2 4 (2)连续因为 lim f ( x) lim[ y , 14] ,14f (0). .x 0 y 0 ,(3)不连续因为 lim f ( x) ,12, lim f ( x) ,11. .x 2 , x 2 ,7.设两常数a, b满足0 a b, 对一切自然数n, 证明 : (1) b n ,1 , a n ,1b n ,1 , a n ,1 (n , 1)b n ;(2)( n , 1) a n . b,a b,a-9-证b n ,1 , a n ,1 (b , a )(b n , b n ,1a , , a n ) b n , b n ,1b , , b n (n , 1)b n , b,a b,a b n ,1 , a n ,1类似有 (n , 1)a n . b,an n ,11 1 8.对n 1, 2,3, , 令an 1 , , bn 1 , . n n 证明 : 序列{an }单调上升, 而序列{bn }单调下降,并且.an bn . 证令a = 1 , 1 1 , n n ,11 1 , b 1 , , 则由7题中的不等式, n ,1 nn ,11 , 1 , n ,1 1 1 , n n ,1 1 , 1 , n ,1n1 (n , 1) 1 , , n 1 1 (n , 1) 1 , n n(n , 1)n ,1 nn1 1 , n 1 1 , nn ,1n ,1n ,11 1 1 , 1 , 1 , n n n ,1n ,1,1 1 1 , 1 , n n ,1n.n ,1 n ,11 1 n 1 , , 1 , 1 n n ,1 (n , 1) 1 , 1 1 n ,1 , n n ,11 1 1 (n , 1) 1 , 1 , n , 1 n(n , 1) n 1 1 1 1 ,1 , n ,1 n nn n n ,1 n n ,11 , 1 , n ,1n ,1n ,11 , 1 , n ,1n ,11 1 1 1 1 , ,1, 1 , n ,1 n n ,1 n2.1 1 1 我们证明 , 1 , 1 , . n n ,1 n ,1 1 12 1 ,1, 1, , n n ,1 n , 1 (n , 1) 2 1 1.最后不等式显然成立. n(n , 1) (n , 1) 2 1 1 当n 时, 1 , e, 1 ,n n9.求极限- 10 n n ,11 1 e, 故 1 , e 1 , n nnn ,1.1 1 1 1 lim 1 ,2 1 , 2 1 , 21 ,2 n 234 n 1 1 1 1 解 1 , 21 ,2 1 , 2 1 , 2 234 n 1 3 2 4 35 n n ,1 1 n ,1 1(n ). 2 2 3 34 4 n n n 2 2 nx 10.作函数f ( x) lim 2 ( a 0)的图形.n nx , a 0, x 0; nx 解f ( x) lim 2 n nx , a 1/ x, x 0.11.在 ? 关于有界函数的定义下, 证明函数f ( x)在区间[ a, b]上为有界函数的充要条件为存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x [a, b]. 证设存在常数M 1 , N 使得M1 f ( x)N , ,x [a, b], 取M max{| M 1 |,| N |} , 1, 则有 | f ( x) | M , ,x [ a, b]. 反之, 若存在一个正的常数M 使得 | f ( x) | M , ,x [ a, b], 则 , M f ( x) M , ,x [a, b]. 12.证明 :若函数y f ( x)及y g ( x)在[a, b]上均为有界函数, 则f ( x) , g ( x )及f ( x ) g ( x ) 也都是[a, b]上的有界函数. 证存在M 1 , M 2 ,| f ( x) | M 1 ,| g ( x) | M 2 , ,x [ a, b]. | f ( x) , g ( x)| | f ( x) | , | g ( x) | M 1 , M 2 , | f ( x) g ( x) | | f ( x) || g ( x) | M 1M 2 , ,x [ a, b]. 13.证明 : f ( x) 1 cos 在x 0的任一邻域内都是无界的, 但当x 0时f ( x )不是无穷大量.x x 1 1 证任取一个邻域(, , ), 0和M 0, 取正整数n, 满足和n M , 则f ( ) n M , n n 1 故f ( x)在(, , )无界.但是xn 0, f ( xn ) (2n , 1/2) cos(2n , 1/ 2) 0 , 2n , 1/ 2 故当x 0时f ( x )不是无穷大量.- 11 -14.证明 lim n( x n , 1) ln x( x 0).n 1 1 ln x 证令x , 1 yn , 则 ln x ln(1 , y ), n .lim yn lim x n , 1 0. n nln(1 , y ) n 1 n1ln(1 , y ) 注意到 lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1, y 0 y 0 y 0 y1 1我们有n( x n , 1)1yn ln x ln x(n ). ln(1 , yn )15.设f ( x)及g ( x)在实轴上有定义且连续.证明 : 若f ( x)与g ( x)在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等. 证任取一个无理数x0 , 取有理数序列xn x0 , f ( x0 ) lim f ( xn ) lim g ( xn ) g ( x0 ).n n16.证明 lim1 , cos x 1 . x 0 x2 2 2sin 2x 2 2 2 lim 2sin y 1 lim sin y 1 2 1 . 1 y 0 x2 4 y2 2 y 0 y2 2 x,a x ln(1 , y ) e ,e 17.证明 : (1) lim 1;(2) lim ea . y 0 x 0 y x 1 , cos x 证 lim lim x 0 x 0 x2 ln(1 , y ) 证(1) lim lim ln(1 , y ) y ln lim(1 , y ) y ln e 1. y 0 y 0 y0 y1 1e x , a , ea e a (e x , 1) ex ,1 a y 1 lim e a lim e lim ea x 0 x 0 x 0 y 0 ln(1 , y ) ln(1 , y ) x x x lim y 0 y 1 ea ea . 1 18.设y f ( x)在a点附近有定义且有极限 lim f ( x) 0, 又设y g ( x)在a点附近有 (2) limx a定义,且是有界函数.证明 lim f ( x) g ( x) 0.x a证设 | g ( x) | M , 0 | x , a | 0 .对于任意 0, 存在 1 0, 使得当0 | x , a |1时 | f ( x) | / M .令 min{ 1 , 0 }, 则0 | x , a | 时,| f ( x) g ( x) | | f ( x) || g ( x) |MM , 故 lim f ( x) g ( x) 0.x a19.设y f ( x)在(, , , )中连续, 又设c为正的常数, 定义g ( x)如下 f ( x) 当 | f ( x) | c g ( x ) c 当f ( x) c ,c 当f ( x) ,c 试画出g ( x)的略图, 并证明 g ( x)在(, , , )上连续.- 12 -证(一)若 | f ( x0 ) | c, 则存在 0 0, 当 | x , x0 | 0时|f(x)|<c,g(x)=f(x),x x0lim g ( x) lim f ( x) f ( x0 ) g ( x0 ).x x0若f ( x0 ) c, 则存在 0 0,当 | x , x0 | 0时f ( x) c,g(x)=c,x x0lim g ( x) lim c c g ( x0 ).x x0若f ( x0 ) c, 则g ( x0 ) c.对于任意 0, 不妨设 c, 存在 0, 使得当 |x , x0 | 时 | f ( x) , c | .设 | x , x0 | .若f ( x) c, 则g ( x) f( x),| g ( x) , g ( x0 ) | | f ( x) , c | , 若f ( x) c, 则g ( x) c,| g ( x) - g ( x0 ) | 0 . 证(二)利用g ( x)min{ f ( x), c} , max{ f ( x), ,c} , f ( x). max{ f1 ( x), f 2 ( x)} (| f1 ( x) , f 2 ( x) | , f1 ( x) , f 2( x)) / 2. min{ f1 ( x), f 2 ( x)} (, | f1 ( x) , f 2 ( x) | ,( f1 ( x) , f 2 ( x)) / 2. 1 20.设f ( x)在[a, b]上连续, 又设 [ f ( x1 ) , f ( x2 ) , f ( x3 )], 3 其中x1 , x2 , x3 [a, b].证明存在一点c [a, b], 使得f (c) . 证若f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x3 ), 则 f ( x1 ), 取c x1即可. 否则设f ( x1 ) min{ f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )}, f ( x3 ) min{ f( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 )}, f ( x1 )f ( x3 ), f 在[ x1 , x3 ]连续, 根据连续函数的中间值定理, 存在一点c [a, b], 使得f (c). 21.设 y f ( x)在点x0连续而g ( x)在点x0附近有定义, 但在x0不连续问kf ( x) , l g( x ) 是否在x0连续, 其中k , l为常数. 解如果l 0,kf( x) , l g( x)在x0连续;如果l 0,kf ( x) , l g( x )在x0不连续,因否则 g ( x) [[kf ( x) , lg( x)] , kf ( x)] / l 将在x0连续. 22.证明Dirichlet函数处处不连续. 证任意取x0 .取有理数列xn x0 , 则D( xn ) 1; 取无理数列xn x0 , 则D( xn ) 0; 故 lim D( x)不存在, D( x)在x0不连续.x x023.求下列极限: 1 1, x (1) lim 0;(2) xlim (arctan x) sin 0 0; x 1 ,2 x , x 2 tan 5 x tan 5 x / x 5 (3) lim lim 5. 2 2 2 x 0 ln(1 , x ) , sin x x 0x[[ln(1 , x )] / x ] , sinx / x 1| x|(4) lim( x )x 11 x ,1lim(1 , y )1/ y e.y 024.设函数y f ( x)在[0, , )内连续, 且满足0 f ( x) x.设a1 0是一任意数, 并假定 a2 f (a1 ), a3 f (a2 ), , 一般地an ,1 f (an ).试证明{an }单调递减, 且极限 lim an 存在.n若l lim an , 则l是方程f ( x) x的根,即f (l ) l.n证an ,1 f (an ) an ,{an }单调递减.又an ,1 f (an ) 0(n 1, 2, ),{an }单调递减有下界,- 13 -故an有极限.设l lim an , 则l lim an ,1 lim f (an ) f (lim an ) f(l ).n n n n25.设函数y E ( x)在(, , , )内有定义且处处连续, 并且满足下列条件 : E (0) 1, E (1)e, E ( x , y ) E ( x) E ( y ). 证明E ( x) e x (,x (, , , )). 证用数学归纳法易得E ( x1 ,, xn ) E ( x1 ) E ( xn ).于是E (nx) E ( x) n . 设n是正整数, 则E (n) E (1 , , 1) E (1) n e n . 1 E (0) E (n , (, n)) E ( n) E ( , n) e n E ( , n), E ( ,n) e , n .于对于任意整数 E ( n) e n .1 1 1 1 1 对于任意整数n, E (1) E (n ) E (n) E ( ) e n E ( ), E ( ) e n . n n nn m 1 m 1 1 n E ( ) E (m ) E ( ) e e n .即对于所有有理数r , E (r ) e r . n n n 对于无理数x, 取有理数列xn x,由E ( x)的连续性, m mE ( x) lim E ( xn ) lim e xn e n (e x的连续性) e x .n nlim xn习题 2.11.设一物质细杆的长为l , 其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点O, 杆所在直线为x轴设从左端点到 . . 细杆上任一点x之间那一段的质量为m( x) 2 x 2 (0 x l ) (1)给自变量x一个增量 x, 求的相应增量 m; m ,问它的物理意义是什么? x m (3)求极限 lim ,问它的物理意义是什么? x 0 x (2)求比值解(1) m 2( x , x) 2 , 2 x 2 2( x 2 , 2 x x , x 2 ) , 2 x 2 2(2 x x , x 2 ). m 2(2x x , x 2 ) m 2(2 x , x). 是x到x , x那段细杆的平均线密度. x x x m m (3) lim lim 2(2 x , x) 4 x. lim 是细杆在点x的线密度. x 0 x x 0 x0 x (2)- 14 -2.根据定义, 求下列函数的导函数 : (1) y ax3 ;(2) y 2 px , p 0;(3) y sin 5 x. 解(1) y lim a( x , x)3 , ax3 x 0 x 3 2 ( x , 3x x , 3x x 2 , x 3 ) , x 3 a lim a lim(3x 2 , 3x x , x 2 ) 3ax 2 . x 0 x 0 xx 0(2) y lim 2 p lim 2 p lim2 p( x , x) , 2 px x , x , x 2 p lim x 0 x x( x , x , x )( x , x , x ) x 2 p lim x 0 x 0 x ( x, x , x( x , x , x ) x)x 02p 1 . x , x , x 2 x5(2 x , x) 5 x 2 cos sin sin 5( x , x) , sin 5 x 2 2 (3) y lim lim x 0 x 0 xx 5 5(2 x , x) 5 x 5 x 2 cos sin sin 5(2 x , x) 2 2 5 lim cos 2 5cos 5 x. lim 2lim x 0 x 0 x 0 5 x 5 x 2 2 23.求下列曲线y f ( x)在指定点M ( x0 , f ( x0 ))处的切线方程 : (1) y 2 x , M (0,1); (2) yx 2 , 2, B(3,11). 解(1) y 2 x ln 2, y (0) ln 2, 切线方程y , 1 ln2( x - 0), y (ln 2) x , 1. (2) y 2 x, y (3) 6, 切线方程 : y , 11 6( x , 3). 4.试求抛物线y 2 2 px( p 0)上任一点M ( x, y )( x 0, y 0)处的切线斜率, p 并证明:从抛物线的焦点F , 0 发射光线时, 其反射线一定平行于x轴. 2 - 15 -证y 2 px , y2p p p , 过点M 的切线PMN 方程:Y , y ( X , x). y 2 2 px yp y2 切线与x轴交点N(X 0 ,0),, y ( X 0 , x), X 0 x , , x. y p p p p FN , x,FM x , , y 2 x , , 2 px 2 2 2 p p p x 2 , px , x ,x , FN , 故 FNM FMN . 2 2 2 过M 作PQ平行于x轴, 则 PMQFNM FMN .5.曲线y x 2 , 2 x , 3上哪一点的切线与直线y 4 x , 1平行, 并求曲线在该点的切线和法线方程. 解 y 2 x , 2 4, x0 1, y0 6, k 4 1 25 1 切线方程:y , 6 4( x , 1), y4 x , 2.法线方程 : y , 6 , ( x , 1), y , x , . 4 4 46.离地球中心r处的重力加速度g是r的函数, 其表达式为 GMr R 3 , r R;g (r )其中R是地球的半径, M 是地球的质量, G是引力常数. GM , r R r2 (1)问g (r )是否为r的连续函数 : (2)作g (r )的草图; (3) g (r )是否是r的可导函数. 解明显地,r R时g (r )连续.lim g (r ) limr R, r R, r R,2222GMr GM 2 , R3 Rlim g (r ) limr R,GM GM 2 lim g (r ), g (r )在r R连续. r R, r2 R(2)(3)r R时g (r )可导. g , ( R) GM 2GM , g , ( R) , 3 g , ( R), g (r )在r R不可导. 3 R R- 16 -7.求二次函数P( x),已知 : 点(1,3)在曲线y P ( x)上, 且P (0) 3, P (2) 1. a , b , c3 解P ( x) ax , bx , c, P ( x) 2ax , b. b 3 4a , b 121 1 1 1 b 3, a , , c 3 , (a , b) , P( x) , x2 ,3 x , . 2 2 2 28.求下列函数的导函数 : (1) y 8 x3 , x , 7, y 24 x 2 , 1. (2) y (5 x , 3)(6 x 2 , 2), y5(6 x 2 , 2) , 12 x(5 x , 3) 90 x 2 , 36 x , 10. (3) y ( x , 1)( x , 1) tan x ( x 2 , 1) tan x, y (2x) tan x, ( x 2 , 1) sec 2 x. 9 x , x2 (9 , 2 x)(5 x , 6) , 5(9 x , x 2 ) 5x 2 , 12 x , 54 , y . 5x , 6 (5 x , 6) 2(5 x , 6) 2 1, x 2 2 (5) y ,1 , ( x 1), y . 1, x 1, x (1 , x) 2 (4)y2 ,6 x 2 ( x 1), y3 . x3 , 1 ( x , 1) 2(6) y (7) yx2 , x , 1 (2 x , 1)e x , e x ( x 2 , x , 1) , x 2 , x , 1 , y . exe2 x ex (8) y x x , y 10 x ,x x ln10 10 x (1 , x ln10). 10 10 sin x x cos x , sin x , y cos x ,x sin x , . x x2 (10) y e xsin x, y e x sin x , e x cos x e x (sin x , cos x). (9) y x cos x ,9.定义 : 若多项式P( x)可表为P( x) ( x , x0 ) m g ( x), g ( x0 ) 0则称x0是P ( x)的m重根.今若已知x0是P ( x)的k重根,证明x0是P ( x)的(k , 1)重根 (k 2). 证P ( x) ( x , x0 )k g ( x), g ( x0 ) 0 P ( x) k ( x , x0 ) k ,1 g ( x) , ( x , x0 ) kg ( x) ( x , x0 ) k ,1 (kg ( x) ,( x , x0 ) g ( x)) ( x , x0 ) k ,1 h( x), h( x0 ) kg (0 x) 0,由定义x0是P ( x)的(k , 1)重根.- 17 -10.若f ( x)在( ,a, a)中有定义, 且满足f ( , x) f ( x), 则称f ( x)为偶函数.设f ( x) 是偶函数,且f (0)存在, 试证明f (0) 0. f ( x) , f (0) f (, x) , f (0) f ( ,x) , f (0) lim , lim , f (0), f (0) 0. x 0 x 0 x x ,x f ( x0 , x) , f ( x0 , x) 11.设f ( x)在x0处可导, 证明 lim 2 f( x0 ). x 0 2 x f ( x0 , x) , f ( x0 , x) 1 f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) 证 lim lim , x 0 2 x 2 x 0 x x 证f (0) = lim x 01 f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) lim ,2 x 0 x , x f ( x0 , x) , f ( x0 ) f ( x0 , x) , f ( x0 ) 1 1 lim , lim x 0 2 [ f( x0 ) , f ( x0 )] f( x0 ). x 0 2 x , x12.一质点沿曲线y x 2 运动, 且已知时刻t (0 t / 2)时质点所在位置 P(t )( x(t ), y (t ))满足 : 直线OP与x轴的夹角恰为t.求时刻t时质点的位置速度及加速度.y (t ) x 2 (t ) 解 x(t ) tan t , y (t ) tan 2 t , x(t ) x(t ) 位置(tan t , tan 2 t ), v (t )(sec2 t , 2 tan t sec 2 t ), v (t ) (2sec2 t tan t , 2sec 4 t , 4tan 2 t sec 2 t ) 2sec2 t (sec2 t , 2tan 2 t ).y=x2- 18 -13.求函数 x ,x 0 f ( x) 1 , e1/ x 0, x 0 在x 0的左右导数. x x 1/ x1/ x 1 1 解f - (0) lim 1 , e lim 1, f + (0) lim 1 , e lim 0. 1/ x x 0 ,x 0 , 1 , e x0 , x 0 , 1 , e1/ x x x 14.设f ( x) | x , a | ( x), 其中 ( x)在x a处连续且 (a) 0.证明f ( x)在x a不可导. (a , x) (x) ( x , a) ( x) 证f , (a) lim , (a), f+ (a) lim ( a) f - ( a). x a , x a , x,a x,a习题 2.2- 19 -1.下列各题的计算是否正确, 指出错误并加以改正 : (1)(cos x ) , sin x , 错.(cos x ) , sin x x , (2)[ln(1 , x)] (3) x 2 sin x . 2 x1 1 1 , 错.[ln(1 , x)] (1 , x) . 1, x 1, x x ,1 x 1 , x2 , x 2 , 1 , x 2 2 x , 错.1 , x2,,x 2 1 , x 2 , x 2 , 2x 1 , x2 , x3,1 , x2 , , x2 , 2 x , 3x3,,1 , x2, 2 x 1 , x2, x2x 1 , x2. 1 , x2 1 (4) ln | x , 2sin 2 x | x , 2sin 2 x (1 , 4sin x) cos x, 错. 1 ln | x , 2sin 2 x | x , 2sin 2 x (1 , 4sin x cos x). 2.记f ( g( x)) f (u ) |u g ( x ) .现设f ( x)x 2 , 1. 1 , x2 (1)求f ( x), f (0), f ( x 2 ), f (sin x); d d (2)求f ( x 2 ), f (sin x); dx dx (3) f( g ( x))与 f ( g ( x)) 是否相同 ? 指出两者的关系. 解(1) f ( x) 2 x, f (0) 0, f ( x 2 ) 2 x 2 , f (sin x) 2sin x. (2) d f ( x 2 ) f ( x 2 ) , x 2 , 2 x 2 2 x 4x 3 . dxd f (sin x) f (sin x)(sin x) 2sin x cos x sin 2 x. dx (3) f ( g ( x))与 f ( g ( x))不同, f ( g ( x)) f ( g ( x)) g ( x).3.求下列函数的导函数: (1) y 2 2 x 2 3 6 x2 , y , , . 2 2 3 3 x3 , 1 , x , 1, , x , 1,(2) y sec x, y , (cos x) ,1 , ,(cos x) ,2 (cos x) ,(cos x) ,2 ( ,sin x) tan x sec x. (3)y sin 3 x , cos 5 x, y 3cos 3 x , 5sin 5 x. (4) y sin 3 x cos 3x, y3sin 2 x cos x cos3x , 3sin 3 x sin 3 x 3sin 2 x(cos x cos 3x , sin x sin 3x) 3sin 2 x cos 4 x.- 20 -1 , sin2 x 2sin x cos x cos x 2 , (1 , sin 2 x)( , sin x 2 )2 x (5) y ,y cos x 2 cos 2 x 2 sin 2 x cos x 2 , 2 x(1 , sin 2 x)(sin x 2 ) .cos 2 x 2 1 (6) y tan 3 x , tan x , x, y tan 2 x sec 2 x , sec 2 x , 1 3 2 tan x sec 2 x , tan 2 x tan 2 x(sec 2 x , 1) tan 4 x.(7) y e ax sin bx, y ae ax sin bx , be ax cos bx e ax (a sin bx , b cos bx). x (8) y cos5 1 , x 2 , y 5cos 4 1 , x 2 ( , sin 1 , x 2 ) 1 , x2 , 5 x cos 4 1 , x 2 sin 1 , x 2 1 , x2 .1 1 x x (9) y ln tan , , y sec2 , 2 x 2 4 2 4tan , 2 4 1 1 1 1 2 x x x x tan , cos 2 ,2sin , cos , 2 4 2 4 2 4 2 4 1 1 sec x. cos x sin( x , ) 2 1x,a 1 x , a ( x , a) , ( x , a) 1 (10) y ln (a 0, xa ), y 2 . 2 2a x , a 2a x , a ( x , a) x , a24.求下列函数的导函数 : x (1) y arcsin (a 0), y a 1 1 . 2 a2 , x2 x a 1,a 1 x 1 1 1 1 (2) y arctan (a 0), y 2 . 2 a a a x a a , x2 1, ax2 2 2 x arccos x , (3) y x arccos x(| x | 1), y . 1 , x2 1 1 ,1 1 (4) y arctan , y , . 1 x2 x 1 , x2 1, 2 x 2 x 2 a x (5) y a , x 2 , arcsin ( a 0), 2 2 a 1- 21 -y1 2 x ,2 x a2 a , x2 , , 2 2 a2 , x2 21 2 x a 1, a11 2 x2 a2 2 a ,x , , a2 , x2 . 2 2 2 2 2 a ,x a ,x x 2 a2 x , x2 ,a2 2 (6) y x , a , ln (a 0) 2 2 aa2 1 x , 1 , 2 x2 , a2 2 x , x2 , a2 x , a2 1 2 x2 a2 x , a2 , , x2 , a2 . 2 2 2 2 2 2 x ,a2 x ,a 2x (7) y arcsin 2 , x 1. x ,1 1 2( x 2 , 1) , 2 x 2 x 1 1 , x 2 2sgn(1 , x 2 ) y 2 2. 2 ( x 2 , 1) 2 x2 , 1 x ,1 x ,1 4x2 1, 2 ( x , 1) 2 y 1 2 x x ,a2 , 2 2 x (8) y y a ,b x arctan tan ( a b 0). a,b 2 a 2 , b2 2 22 21 a ,b x 1 sec2 2 2 a , b 1 , a , b tan 2 x a , b a,b 2 1 x 1 sec 2 x 2 ( a , b) cos 2 x , ( a , b) sin 2 x a , b , (a , b) tan 2 2 2 2 1 .a ,b cos x (9) y (1 , x )(1 , 2 x )(1 , 3 x ), ln y ln(1 ,x ) , ln(1 , 2 x ) , ln(1 , 3 x ) y / y 1 2(1 , x ) x , 2 3 , , 2(1 , 2 x ) 2 x 2(1 , 3 x ) 3 x1 2 3 y y , , . 2(1 , x ) x 2(1 , 2 x ) 2 x 2(1 , 3 x ) 3 x 1, 4x (10) y 1 , x , 2 x 2 , y . 2 1 , x , 2 x2 x (11) y x 2 , a 2 , y . x2 , a2 ,x (12) y a 2 , x 2 , y . a2 , x2- 22 -x 1 . 1 , 2 x , x2 , a2 x , a2 x2 , a2 2 1 (14) y ( x , 1) 3 (3 x , 1) 2 (2 , x).ln yln( x , 1) , ln(3 x , 1) , ln(2 , x), 3 3 y 1 2 1 ,1 , , y x , 1 3x , 1 3 2 , x (13) y ln( x , x 2 , a 2 ), y1 2 1 ,1 1 y y , , . x , 1 3x , 1 3 2 , x (15) y e x , ee , y e x ,ee e xe x (1 , e e ).x x x(16) y x a , a x , a a (a 0).a a xy a a x a aa xaaa,1, a x ln a (ax a ,1 ) , a a ln aa x ln aa x a x,1, a ln aa x x a ,1 , a a a x ln 2 a.5.一雷达的探测器瞄准着一枚安装在发射台上的火箭,它与发射台之间的距离是400m.设t=0时向上垂直地发射火箭,初速度为0,火箭以的匀加速度8m/s2垂直地向上运动;若雷达探测器始终瞄准着火箭.问:自火箭发射后10秒钟时,探测器的仰角 (t )的变化速率是多少? 1 x(t ) t 2 解x(t ) 2 4t 2 , tan (t ) 8t , 2 400 100t2 1 t 1 10 (t ) arctan , (t ) , (10) 0.1(弧度 / s). 2 2 2 2 50 100 t 50 10 1, 1, 100 100 6.在图示的装置中, 飞轮的半径为2m且以每秒旋转4圈的匀角速度按顺时针方向旋转.问:当飞轮的旋转角为 = 时,活塞向右移动的速率是多少? 2- 23 -解x(t ) 2 cos8 t , 36 , 4sin 2 8 t , ,8sin 8 t cos8 t (8 ) x(t ) ,16 sin 8 t , , 236 , 4sin 2 8 t 1 1 (t ) 8 t ,, t0 , x ( ) ,16 . 2 16 16 活塞向右移动的速率是16 m/s.习题 2.3- 24 -1.当x 0时, 下列各函数是x的几阶无穷小量 ? (1) y x , 10 x 2 , 100 x 3 .1阶. (2) y ( x , 2 , 2) sin x x sin x , 2阶. x,2, 2x (3) y x(1 , cos x) x 2sin 2 , 2阶. 2 2.已知 : 当x 0时, ( x) o( x 2 ).试证明( x) o( x). ( x) ( x) 证 2 x o(1) x o(1). x x 3.设 ( x) o( x)( x 0), ( x)o( x)( x 0).试证明: ( x) , ( x) o( x)( x 0). o(1) , o(1) o(1). x x x 上述结果有时可以写成o( x) , o( x) o( x). 证 4.计算下列函数在指定点x0处的微分: 11 (1) y x sin x, x0 / 4. y sin x , x cos x, y 1 , , dy 1 ,dx. 2 4 2 4 4 (2) y (1 , x) ( 0是常数). y (1 , x) ,1 , y (0), dy dx. 5.求下列各函数的微分: (1) y 1, x 2 2 2dx ,1 , , y , , dy , .2 1, x 1, x(1 , x) (1 , x) 2( x) , ( x)( x),( x)(2) y xe x , y e x , xe x e x (1 , x ).dy e x (1 , x )dx. 2 6.设y( x 1), 计算当x由3变到3.001时, 函数的增量和向相应的微分. x ,1 2 1 解 y = , y(3) , . 2 (x -1) 2 2 0.001 0.001 y ,1 , , dy , . 2.001 2.001 2 7.试计算5 32.16的近似值. 1 .16 解 5 32.162 5 1 , .16 / 32 2 (1 , ) 2.002. 5 32 8.求下列方程所确定的隐函数的导函数 : 1 ,1 1 ,1y 3 (1) x , y a ( a 0). x 3 , y 3 y 0, y , . 3 3 x2 3 2 3 2 3 1。

高中数学，必修一课后习题答案完整版，附精品高考试卷1套第一章集合与函数概念1. 1集合1. 1. 1集合的含义与表示练习(第5页)用符号或填空:(1)1.设A 为所有亚洲国家组成的集合，贝上中国.印度一A,A,美国.英国一A,A ；(2)若 A = {x\x 2 =x},则一1(3)^B = {x \x 2+x -6 = 0},贝J 3B ；(4)^C = {xeN\l<x<10}f 贝U8C, 9.1 C.A ；1.(1)中国g A ,美国印度g A ,英国g A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲.(2)-IgAA = {x\x 2 =x} = {0.1}.(3)3 w 8B = {x\x 1+x —6 = 0} = (—3,2).2.8 g C,9.19.1WN .(4)试选择适当的方法表示下列集合:(1)由方程x 2-9 = 0的所有实数根组成的集合;(2)由小于8的所有素数组成的集合;(3)一次函数y =工+3与y = -2x+6的图象的交点组成的集合;(4)不等式4x-5<3的解集.2.解:(1)因为方程x 2-9 = 0的实数根为吐=—3,改=3，所以由方程/ -9 = 0的所有实数根组成的集合为(-3,3｝；(2)因为小于8的素数为2,3,5,7,所以由小于8的所有素数组成的集合为｛2,3,5,7｝；x = l y = 4(3)由<y=x+3,，得< y = -2尤+6即一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点为(1,4),所以一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；(4)由4x-5<3,得x<2,所以不等式4x-5<3的解集为{x|x<2}.1. 1.2集合间的基本关系练习(第7页)1.写出集合{a,b,c}的所有子集.1.解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得0；取一个元素,得{a},{b},{c}取两个元素，得{a,b},{a,c},{b,c}-,取三个元素，得{a,b,c},即集合{a,b,c}的所有子集^0,(«},(Z?},{c},{a,/?},(«,c},{b,c},{a,b,c}.2.用适当的符号填空：_{心=0}；(1)a___—{a,b,c}；(2)0____(3)0—__{xg7?|x23+1=0)；(4){0,l}_____N；(5){0}_____{x|x2=x}；(6)(2,1}_____{x\x1—3x+2=0} 2.(1)a^{a,b,c}a是集合{a,b,c}中的一个元素；(2)0e(%|%2=0}(x|x2=0}={0};(3)0-{xe/?|x2+l-0}方程%2+1=0无实数根，{xek|F+l=O}=0；(4){0,l}%N(或{0,1}g N){0,］是自然数集合N的子集，也是真子集；(5){0}S(x|x2=x}(或{0}o{x|x2 =%))(x|x2=%)={0,1)；(6)(2,1}={x\x2-3x+2=0)方程了2一3工+2=0两根为jq=1,芍=2.3.判断下列两个集合之间的关系：(1)A={1,2,4},8={幻尤是8的约数};(2)A={x\x-3k,k^N},B-{x\x=6z.z^N］；(3)A={x|x是4与10的公倍数,xc M},B-{x\x~20m,m^N+}.3.解：(1)因为8={x|俱8的约数}={1,2,4,8},所以A隼B；(2)当k=2z时，3k=6z；当R=2z+1时，3k=6z+3,即B是A的真子集，(3)因为4与10的最小公倍数是20,所以A=B.1. 1.3集合的基本运算练习(第11页)1.设A={3,5,6,8},3={4,5,7,8},求A B,A B.1.解：A B=(3,5,6,8}{4,5,7,8}={5,8},A B=(3,5,6,8}{4,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.2.iS A—{x|x2 —4x—5—0},2?={x\x2=1},求A B,A B.2.解：方程x2-4x-5=0的两根为X]=—1,易=5,方程*2—i=o的两根为改=一1,易=1,得A={_1,5},3={-1,1},即A B=(-1),A B=(-1,1,5).3.已知A={x|x是等腰三角形},3={x|x是直角三角形},求A B,A B.3.解：A3={x|x是等腰直角三角形},A3={x|x是等腰三角形或直角三角形}.4.已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},3={1,3,5,7},求A(雅8),(〃A)(*3).4.解：显然切3={2,4,6},{1,3,6,7),则A QB)={2,4},(噂4)(波)={6}.1.1集合习题1.1(第11页)A组1.用符号或“W,，填空：⑴3-7—Q-(2)32_—N；(3)7i______(4)^2——R；(5)a/9_______Z；⑹(姊2______N.1.(1)3—g Q23—是有理数；(2)32e N32=9是个自然数；77(3)7i7T是个无理数，不是有理数；(4)gcR扬是实数；(5)a/9s Z^=3是个整数；(6)(>/5)2e N(灼2=5是个自然数2.已知A={x\x=3k-l,k^Z},用“b‘或“w”符号填空:(1)5A；(2)7A；(3)-10A.2.(1)5g A；(2)7g A；(3)-10e A.当k=2时，3k—1=5；当k=-3时，3R—1=—10；3.用列举法表示下列给定的集合：(1)大于1且小于6的整数；(2)A=｛x|(x-l)(x+2)=0｝；(3)B=(xeZ|-3<2x-l<3).3.解：(1)大于1且小于6的整数为2,3,4,5,即｛2,3,4,5｝为所求;(2)方程(X—l)(x+2)=0的两个实根为茶=一2,易=1，即｛—2,1｝为所求；(3)由不等式—3<2x—1<3,得—l<x<2,且xcZ,艮盯0,1,2｝为所求.4.试选择适当的方法表示下列集合：(1)二次函数y=x"-4的函数值组成的集合；2(2)反比例函数y=—的自变量的值组成的集合；x(3)不等式3x>4-2x的解集.4.解：(1)显然有X2>0,得工2_42T,即y>-4,得二次函数y=x2-4的函数值组成的集合为｛y|y2—4｝；2(2)显然有尤主0,得反比例函数y=—的自变量的值组成的集合为｛x|xa0｝；x44(3)由不等式3xN4—2x,Wx>-,即不等式3x>4-2x的解集为｛工|工>；｝. 5.选用适当的符号填空:(1)已知集合A={x12x-3v3x},8={x|x>2},则有：-4B；-3A；{2B；B A；(2)已知集合A={x\x2-1=0},则有:1A；(-1A；0A；(1-]A；(3){x|x是菱形}{x|x是平行四边形};{x|x是等腰三角形}{x|x是等边三角形}.5.(1)-4WB；-3WA；(2；2x-3<3x=>x>-3,即A=[x\x>-3},B={x|x>2)；(2)1e A；{-1呈A:。