初二上册数学知识点总结：第二章实数

初二数学上册知识点总结第一章勾股定理1、探索勾股定理①勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用a，b和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c22、一定是直角三角形吗①如果三角形的三边长a b c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形一定是直角三角形3、勾股定理的应用第二章实数1、认识无理数①有理数：总是可以用有限小数和无限循环小数表示②无理数：无限不循环小数2、平方根①算数平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算数平方根②特别地，我们规定：0的算数平方根是0③平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a。

那么这个数x就叫做a的平方根，也叫做二次方根④一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根⑤正数有两个平方根，一个是a的算数平方，另一个是—，它们互为相反数，这两个平方根合起来可记作±⑥开平方：求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数3、立方根①立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根，也叫三次方根②每个数都有一个立方根，正数的立方根是正数;0立方根是0；负数的立方根是负数。

③开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数4、估算①估算，一般结果是相对复杂的小数，估算有精确位数5、用计算机开平方6、实数①实数：有理数和无理数的统称②实数也可以分为正实数、0、负实数③每一个实数都可以在数轴上表示，数轴上每一个点都对应一个实数，在数轴上，右边的点永远比左边的点表示的数大7、二次根式①含义：一般地，形如（a≥0）的式子叫做二次根式，a叫做被开方数②=（a≥0，b≥0），=（a≥0，b>0）③最简二次根式：一般地，被开方数不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式④化简时，通常要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式时最简二次根式第三章位置与坐标1、确定位置①在平面内，确定一个物体的位置一般需要两个数据2、平面直角坐标系①含义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系②通常地，两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

第二章：实数知识梳理【无理数】1. 定义：无限不循环小数的小数叫做无理数；注:它必须满足“无限"以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型:(1)特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数,如：2—π,3π等；（2)特殊结构的数（看似循环而实则不循环）：如：2。

010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

（3)无理数与有理数的和差结果都是无理数。

如:2—π是无理数 （4)无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。

如2π,（5）开方开不尽的数，如:39,5,2等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等;无理数也不一定带根号,如：π）3.有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数,而无理数则是无限不循环小数；（2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例：(1)下列各数：①3。

141、②0。

33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0。

3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿.（填序号） (2)有五个数：0.125125…,0。

1010010001…,—π,4，32其中无理数有 （ ）个 【算术平方根】：1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a,即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a"，其中，a 称为被开方数。

例如32=9,那么9的算术平方根是3,即39=。

特别规地,0的算术平方根是0，即00=，负数没有算术平方根2。

算术平方根具有双重非负性：（1）若a 有意义，则被开方数a 是非负数。

（2）算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根.因此,算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值,表示为:a ±。

第二章 实数1、1-25的平方：12=122=432=942=1652=2562=3672=4982=6492=81102=100112=121122=144132=169142=196152=225162=256172=289182=324192=361202=400212=441222=484232=529242=576252=6252、1-10的立方：13=123=833=2743=6453=12563=21673=34383=51293=729103=10003、实数的分类：4、判断无理数的方法：①　带π的②　无限不循环的小数③　带根号并且开不出来的5、算数平方根：算数平方根的定义：一般地，如果一个正数 x的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x就叫做 a的算术平方根. 0 的算术平方根是 0.（a≥0）符号表示： √a，表示求a的算术平方根，即 求谁 (非负数）的平方等于a.6、平方根：平方根的定义：一般地，如果一个数 x的平方等于 a，即x2 = a，那么这个数 x就叫做 a的平方根（或二次方根）。

0 的平方根是 0.（a≥0）符号表示： ±√a，表示求a的平方根，即 求谁的平方等于a.平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根还是 0；负数没有平方根.②双重非负性：a≥0，√a≥0③7、立方根：立方根的定义：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3= a , 那么这个数x 就叫做a 的立方根（也叫做三次方根）. 0的立方根是0 ．（a 为任意数）。

符号表示：3√a ，表示求a 的立方根，即 求谁的立方等于a.立方根的性质：①正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0．②8、必考题：①√81的算数平方根是 3 . ②√16的平方根是 ±2 . ③√64的立方根是 2 .9、非负数有：（ ）2 ≥0， | | ≥0， √❑ ≥0几个非负数相加等于0，如（ ）2 + | | + √❑ = 0，说明里面都是0.10、两个答案的有：平方、平方根、绝对值，如：①若a 2 =4，则a= ±2 （两种情况！） ②若 |a | =4，则a= ±4 （两种情况！）③4的平方根是 ±2 （两种情况！）11、比大小：¿1¿GG 3¿GGGGGGGGGGG ①√❑和数字，比较它们的平方¿2¿GG 3¿GGGGGGGGGGG ②3√❑和数字，比较它们的立方③√❑和3√❑，比较它们的6次方④2√3和3√2，比较它们的平方⑤√3−12和12，分母相同比分子12、相反数、绝对值、倒数：相反数：①只有符号不同的两个数叫做相反数。

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结第一章 勾股定理1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。

第二章 实数一、实数的概念及分类1、实数的分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数值，如sin60o等 二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

（|a|≥0）。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算三、平方根、算数平方根和立方根1、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

八年级上册数学第二章知识点总结一、实数的概念与分类。

1. 有理数与无理数。

- 有理数：整数和分数统称为有理数。

整数包括正整数、零、负整数；分数包括有限小数和无限循环小数。

例如，2，-3，(1)/(2)，0.25（有限小数，可化为(1)/(4)），0.3̇（无限循环小数，可化为(1)/(3)）都是有理数。

- 无理数：无限不循环小数叫做无理数。

常见的无理数有三类：一是开方开不尽的数，如√(2)，sqrt[3]{3}等；二是含有π的数，如π，2π等；三是有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001·s（每两个1之间依次多一个0）。

2. 实数的分类。

- 按定义分类：实数可分为有理数和无理数。

有理数又可分为整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）；无理数就是无限不循环小数。

- 按正负性分类：实数可分为正实数（正有理数、正无理数）、零、负实数（负有理数、负无理数）。

二、平方根、算术平方根与立方根。

1. 平方根。

- 定义：如果一个数x的平方等于a，即x^2=a，那么这个数x叫做a的平方根（或二次方根）。

例如，因为(±2)^2=4，所以±2是4的平方根。

- 表示方法：正数a的平方根记为±√(a)，读作“正负根号a”。

- 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

2. 算术平方根。

- 定义：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记为√(a)，0的算术平方根是0。

例如，4的算术平方根是√(4) = 2。

- 性质：算术平方根√(a)具有双重非负性，即a≥slant0且√(a)≥slant0。

3. 立方根。

- 定义：如果一个数x的立方等于a，即x^3=a，那么这个数x叫做a的立方根（或三次方根）。

例如，因为2^3=8，所以2是8的立方根。

- 表示方法：a的立方根记为sqrt[3]{a}。

- 性质：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。

第二章《实数》知识点梳理及题型解析一、知识归纳（一）平方根与开平方1.平方根的含义如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根。

即 x2 a ，x叫做a的平方根。

2.平方根的性质与表示⑴表示：正数 a 的平方根用 a 表示， a 叫做正平方根，也称为算术平方根， a 叫做a的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根： a （根指数2省略）0 有一个平方根，为0，记作0 0 ；负数没有平方根⑶ 平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数 a 的平方根的运算。

a2a a 020 ）a ==a a（aa a 0⑷ a 的双重非负性a0且a0（应用较广）例：x 4 4 x y 得知 x 4, y 0⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分： 4 的平方根为____4 的平方根为____4____完全平方类4＝2933.计算 a 的方法非完全平方类＝77精确到某位小数* 若a b 0 ，则a b（二）立方根和开立方1．立方根的定义如果一个数的立方等于 a ，呢么这个数叫做 a 的立方根，记作 3 a.2.立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０.3.开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。

333 a3a3a3 a （a取任何数）aa*０的平方根和立方根都是０本身。

（三）推广：n 次方根１.如果一个数的n次方（n是大于１的整数）等于a，这个数就叫做a的n次方根。

当n 为奇数时，这个数叫做 a 的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做 a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个：n a ；０的偶次方根为０：n 0 0 ；负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

（四）实数1.实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按属性分类：② 按符号分类2.实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示．数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为 1 的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况：①尺规可作的无理数，如2②尺规不可作的无理数，只能近似地表示，如π，1.010010001⋯⋯思考：（ 1）－a2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？（ 2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？（3）15 的整数部分为a, 小数部分为 b，则 a=, b=。

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学生一定要在各个应用题专题学习的初期打下良好的根底。

下面小编为大家带来关于初二数学第二章知识点，希望大家喜欢!初二数学第二章知识点一、实数的概念及分类1、实数的分类一是分类是：正数、负数、0;另一种分类是：有理数、无理数将两种分类进行组合：负有理数，负无理数，0，正有理数，正无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环〞这一时之，归纳起来有四类：(1)开方开不尽的数，如等;(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;(4)某些三角函数值，如sin60o等二、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数实数与它的相反数时一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零)，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，那么有a+b=0，a=—b，反之亦成立。

2、绝对值在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。

(|a|≥0)。

零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，假设|a|=a，那么a≥0;假设|a|=-a，那么a≤0.3、倒数如果a与b互为倒数，那么有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1.零没有倒数。

4、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可)。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

数学学习方案为了搞好期末复习，针对学生实际特制定如下复习方案：一、总体思想：我教七年级两个班进行全面复习，查漏补缺;先章后总，循序渐进;先概念，后题目;一步一个脚印;重根底，抓重点;知识归类，形成体系;紧抓课本，适当拓展;加强个别学生的辅导。

二、学情分析：七年级学生年龄小，理解能力不强，自控能力弱。

八年级第二章实数知识点第一节正数和负数实数分为正数、负数和零。

当数比一定的基准数“大”或“小”时，它就成为正数或负数。

当两个正数相加时，和仍为正数；当两个负数相加时，和也为负数；当正数和负数相加时，当它们的绝对值相等时，和为0，即一个正数和与它相等的负数相加等于0。

正数、负数之间也可以进行减法和乘法运算，当一个数乘以正数时，积还是正数；当一个数乘以负数时，积为负数。

第二节绝对值绝对值是指一个实数到0的距离，即 $|a|$ 的等于 $a$ 或 $-a$ 中，距离0更近的那个数。

绝对值的计算公式如下：$|a|$ =$ \begin{cases}a , a\geq0\\ -a , a<0\end{cases}$第三节有理数和无理数所有小数，可以表示成有限小数或无限循环小数的数都是有理数，例如 $\frac{1}{2}$、 $0.75$和$-0.3$等。

无法表示成有限小数或无限循环小数的数称为无理数。

常见的无理数有 $\sqrt{2}$、$\pi$和$e$等，无理数可以用无限不循环小数表示。

第四节数轴和坐标数轴是一个直线，用于表示实数。

数轴的一个固定点称为原点$O$。

数轴上任取一个有向线段$AB$，称$A$为起点，$B$为终点。

坐标就是表示实数的一种方法。

在数轴上，从原点$O$到点$A$的有向线段上任取一个点$P$，则实数$a$表示点$P$到原点的距离。

若$a>0$，则点$P$在$O$的右侧；若$a<0$，则点$P$在$O$的左侧。

若$a=0$，则点$P$在原点O上。

第五节容斥原理容斥原理是一种常用的计数方法。

当要计算多个集合的并集时，容斥原理可以用来避免重复计算。

容斥原理的表述如下：设$A_1 , A_2, \cdots ,A_n$为$n$个集合，以及它们的并集为$S$，则有：$$ |A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| =\sum\limits_{i=1}^{n}{|A_i|} -\sum\limits_{1 \leq i<j \leq n}{| A_i\cap A_j|} + \sum\limits_{1 \leq i<j<k \leq n}{|A_i \cap A_j \cap A_k|} - \cdots+(-1)^{n+1} |A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n| $$例如，三个集合$A,B,C$的并集$A\cup B \cup C$的元素个数为：$$ |A \cup B \cup C | = |A| + |B| + |C| - | A \cap B | - | A \cap C | - | B \cap C| + |A \cap B \cap C| $$以上就是八年级第二章实数知识点的内容，通过学习这些知识点，我们可以更好地理解和应用数学知识。

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本章的知识网络结构：
知识梳理
一．数的开方主要知识点：
【1】平方根：如果一个数_ 的平方等于a ，那么，这个数_ 就叫做a 的平方根；也即，当)0(2≥=a a _ 时，我们称_ 是a 的平方根，记做：)0(≥__177;=a a _ 。

因此：
4.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；
5.当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a _ __177;=。

6.当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.
（1）的平方是64，所以64的平方根是；
（2）的平方根是它本身。

（3）若_ 的平方根是__177;2，则_=16
（4）当_ 时，_ 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？【算术平方根】：
（1）如果一个正数_ 的平方等于a ，即a _ =2，那么，这个正数_ 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，
读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。

特别规定：0的算术平方根仍然为0。

（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它
的相反数共同构成
了平方根。

因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具。