2017春人教版数学选修4-4课后练 2.1 曲线的参数方程 2.1.2 课后 Word版含答案

2016-2017学年高中数学 第2讲 参数方程 2 圆锥曲线的参数方程课后练习 新人教A 版选修4-4一、选择题(每小题5分，共20分)1．θ取一切实数时，连接A (4sin θ，6cos θ)和B (－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．直线D ．线段解析： 设中点M (x ，y )，由中点坐标公式， 得x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3cos θ＋3sin θ， 即x 2＝sin θ－cos θ，y3＝sin θ＋cos θ， 两式平方相加，得x 24＋y 29＝2，是椭圆．答案： B2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＋sin θ2，y＝12＋sin θ(0≤θ<2π)表示轨迹( )A ．双曲线的一支，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12B ．抛物线的一部分，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12 C ．双曲线的一支，过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 D ．抛物线的一部分，过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，12 解析： 因为x 2＝1＋sin θ，所以x 2＝2y 表示抛物线， 又因为x ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θ2＋cos θ2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π4∴x ∈[0，2]，是抛物线的一部分．且当θ＝π时，有x ＝1，y ＝12，即曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12.答案： B3．下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|t |y ＝tB ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝cos 2tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1＋cos2t1－cos2tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1－cos2t1＋cos2t解析： 注意参数范围，可利用排除法． 普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1,1]，故排除A 和B ． 而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C ．答案： D4．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P ，原点为O ，直线PO的倾斜角为π4，则P 点坐标是( )A ．(3,4)B ．⎝⎛⎭⎪⎫322，22 C ．(－3，－4)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125 解析： 设|OP |＝t ，则P 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫22t ，22t ，代入方程x 29＋y 216＝1，解得t ＝1225，所以P 点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫125，125.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．设椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(0≤θ≤π)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)是椭圆上两点．M ，N 对应的参数为θ1，θ2且x 1<x 2，则θ1，θ2大小关系是________．解析： 因为x ＝a cos θ且x 1<x 2，由余弦函数性质，在0≤θ≤π上单调递减，所以θ1>θ2. 答案： θ1>θ26．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过顶点的两弦OA ⊥OB ，则分别以OA ，OB 为直径的两圆的另一交点Q 的轨迹是________．解析： 设A (2pt 21，2pt 1)，B (2pt 22，2pt 2)，则以OA 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 21x －2pt 1y ＝0， 以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pt 22x －2pt 2y ＝0， 即t 1，t 2为方程2pxt 2＋2pyt －x 2－y 2＝0的两根， ∴t 1t 2＝－x 2＋y22px.又OA ⊥OB ，∴t 1t 2＝－1，即x 2＋y 2－2px ＝0，∴另一交点Q 的轨迹是以(p,0)为圆心，p 为半径的圆． 答案： 以(p,0)为圆心，p 为半径的圆 三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，已知曲线4x 2＋9y 2＝36(x >0，y >0)，点A 在曲线上移动，点C (6,4)，以AC 为对角线作矩形ABCD ，使AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，求矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标．解析： ∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1，设A (3cos θ，2sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则B (6,2sin θ)，C (6,4)，D (3cos θ，4)， ∴S ABCD ＝|AB |·|AD |＝(6－3cos θ)·(4－2sin θ) ＝24－12(sin θ＋cos θ)＋6sin θcos θ， 令t ＝sin θ＋cos θ， 则t ∈(1，2]，sin θcos θ＝t 2－12，则S ABCD ＝3(t －2)2＋9.因为t ∈(1，2]，所以，当t ＝2时，矩形面积最小，即 t ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2， 此时，θ＝π4.所以矩形ABCD 的面积最小时点A 坐标是⎝⎛⎭⎪⎫322，2. 8．直线l ：3x ＋2y －6＝0与抛物线y 2＝23x 交于A 、B 两点，求∠AOB 的值．解析： 设抛物线y 2＝23x 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝23t 2y ＝23t(t 是参数)，将它代入直线l 的方程3x ＋2y －6＝0， 整理得3t 2＋23t －3＝0①∵A 、B 对应的参数t 1，t 2分别是方程①的两根， ∴t 1·t 2＝－1.∵t 表示的是抛物线上除原点外的任一点与原点连线斜率的倒数， ∴1k OA ·1k OB＝－1，即k OA ·k OB ＝－1，∴∠AOB ＝90°.9．(10分)水库排放的水流从溢流坝下泄时，通常采用挑流的方法消除水流的部分功能，以保护水库坝基及下游堤坝的安全．如图，已知水库的水位与鼻坝的落差为9米，鼻坝的鼻坝角为30°，鼻坝下游的基底比鼻坝低18米，求挑出水流的轨迹方程，并计算挑出的水流与坝基的水平距离．解析： 建立如图所示的直角坐标系．设轨迹上任意一点为P (x ，y )．由题意鼻坝出口处的水流速度为v ＝2gh ＝18g . 取时间t 为参数，则有x ＝vt cos 30°＝36g2t ，y ＝vt sin 30°－12gt 2＝32g 2t －12gt 2.所以挑出水流的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝36g 2t ，y ＝32g 2t －12gt 2.消去参数t ，得y ＝－127x 2＋33x .取y ＝－18，得挑出的水流与坝基的水平距离为x ＝18 3 ≈31.2(m)．所求轨迹方程为y ＝－127x 2＋33x ，x ∈[0,183]．。

第二讲 2.12。

1.1一、选择题1．(2016·重庆期末)P(x，y）是曲线错误!（α为参数）上任一点,则(x－2）2＋（y＋4）2的最大值是（A）A．36 B．6 C．26 D．25解析：消去参数得（x＋1)2＋y2＝1,故曲线是以C(－1，0）为圆心，1为半径的圆，（x－2)2＋(y＋4）2表示圆上点(x,y)到P(2，－4)距离的平方，最大距离为|CP｜＋R(圆的半径），即错误!＋1＝6，即所求的最大值为36.2．曲线xy＝1的参数方程是( D）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：注意x，y的范围，知答案为D．3．已知曲线C满足方程错误!(t为参数)，则曲线C上点的横坐标的取值范围是（D）A．R B．[0，＋∞）C．［1，＋∞) D．错误!解析:横坐标的取值范围即为t的范围，由y＝2t－1，知2t－1≥0即t ≥错误!,故选D ．4．(2016·湖北黄冈中学检测）设曲线C 的参数方程为错误!（θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( B ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析：化曲线C 的参数方程为普通方程：(x －2）2＋(y ＋1）2＝9，圆心（2,－1)到直线x －3y ＋2＝0的距离d ＝错误!＝错误!错误!〈3，直线和圆相交，过圆心和l 平行的直线和圆的2个交点符合要求，又错误!10>3－71010，在直线l 的另外一侧没有圆上的点符合要求，所以选B ．5．曲线的参数方程是错误!(t 是参数，t ≠0），它的普通方程是（ B ）A ．（x －1)2(y －1)＝1（y 〈1)B ．y ＝错误!(y 〈1)C ．y ＝错误!－1（y 〈1)D ．y ＝错误!－1(y <1)解析:由x ＝1－错误!，得t ＝错误!，故y ＝1－错误!＝错误!，又y ＝1－t 2，t ≠0，故y ＜1，因此所求的普通方程为y ＝错误!（y ＜1)．6．直线y ＝x －1上的点到曲线错误!（θ为参数)上点的最近距离是（C）A．2 2 B．错误!－1 C．2错误!－1 D．1解析：设曲线上任一点P(－2＋cos θ，1＋sin θ)，则点P到直线x －y－1＝0的距离d＝错误!＝错误!｜cos θ－sin θ－4|＝错误!错误!，所以d min ＝错误!|错误!－4|＝2错误!－1。

课后训练1．当参数θ变化时，由点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )．A ．(2,3)B ．(1,5)C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(2,0) 2．将参数方程222sin ,sin x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)化为普通方程为( )． A ．y ＝x －2B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3．设曲线C 的参数方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)，直线l 的方程为x －3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 的距离为71010的点的个数为( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．44．若P (2，－1)为圆O ：15cos ,5sin x y θθ=+⎧⎨=⎩(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l 的方程是( )．A ．x －y －3＝0B ．x ＋2y ＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝05．圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，那么圆的参数方程为( )．A ．cos sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=⎩ B ．1cos sin x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩ C ．cos 1sin x r y r ϕϕ=⎧⎨=(+)⎩ D ．1cos2sin2x r y r ϕϕ=(+)⎧⎨=⎩6．直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)相切，则θ＝__________. 7．两动直线3x ＋2y ＝6t 与3tx －2ty ＝6相交于点P ，若取t 为参数，则点P 的轨迹的参数方程为________．8．已知某条曲线C 的参数方程为212,x t y at =+⎧⎨=⎩(t 是参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上． (1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程． 9．已知弹道曲线的参数方程为2π2cos ,6π12sin ,62x t y t gt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间；(2)求炮弹在运动中达到的最大高度．10．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求：(1)点P (x ＋y ，xy )的轨迹；(2)点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹．参考答案1. 答案：D解析：当2cos θ＝2，即cos θ＝1时，3sin θ＝0.2. 答案：C解析：转化为普通方程为y ＝x －2，但由于x ∈[2,3]，y ∈[0,1]，故普通方程为y ＝x －2(2≤x ≤3)．3. 答案：B解析：∵曲线C 的方程为23cos ,13sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩(θ为参数)， ∴(x －2)2＋(y ＋1)2＝9.而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离|232|7710101910d ++===+. 又∵710<310，1410>310，∴有2个点． 4. 答案：A解析：∵圆心O (1,0)，∴k PO ＝－1．∴k l ＝1．∴直线l 的方程为x －y －3＝0.5. 答案：D解析：如图，设圆心为O ′，连接O ′M .∵O ′为圆心，∴∠MO ′x ＝2φ.∴圆的参数方程为cos2,sin2.x r r y r ϕϕ=+⎧⎨=⎩ 6. 答案：π6或5π6解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 7. 答案：221,312t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 解析：两方程联立，得326,32 6.x y t tx ty +=⎧⎨-=⎩①②①×t ＋②，得21t x t +=；①×t －②，得2312t y t(-)=. ∴所求点P 的轨迹的参数方程为221,31.2t x t t y t ⎧+=⎪⎪⎨(-)⎪=⎪⎩(t 为参数，t ≠0) 8. 解：(1)由题意，可知2125,4,t at +=⎧⎨=⎩故2,1,t a =⎧⎨=⎩ 所以a ＝1．(2)由已知及(1)可得，曲线C 的方程为212,.x t y t =+⎧⎨=⎩由第一个方程，得12x t -=，代入第二个方程，得212x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 即(x －1)2＝4y .故曲线C 的普通方程为(x －1)2＝4y .9. 解：(1)令y ＝0,2π12sin =062t gt -，∴t 1＝0， 220.204t g=≈.即从发射到落地需0.204. (2)22π132sin6263g y t gt x x =-=-+，是开口向下的抛物线， ∴2max 330.05146y g ⎛⎫- ⎪⎝⎭=≈⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭． 即最大高度为0.051．10. 解：(1)设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)， 则cos sin ,cos sin ,x'y'θθθθ=+⎧⎨=⎩①② ①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即21=2'2x'y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴所求点P 的轨迹为抛物线21=22x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一部分1||2,||2x y ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭. (2)设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则()()2121cos cos sin cos cos sin ,sin cos sin sin cos sin ,x y θθθθθθθθθθθθ⎧=+=+⎪⎨=+=+⎪⎩ ∴112111sin2,11sin2sin 2.22x y x y θθθ+=+⎧⎪⎨=+⎪⎩将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得2211111222 x y⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴所求点Q的轨迹是以11,22⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以22为半径的圆．。

第二讲 2.1 2.1.2一、选择题1．已知曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)，则曲线的普通方程为( C )A ．x 2＝yB ．y 2＝xC ．x 2＝y (0≤y ≤2)D ．以上都不对解析：将x ＝sin θ＋cos θ两边平方得x 2＝sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋sin 2θ＝y . 而y ＝1＋sin 2θ∈[0,2]，故选C ．2．(2016·湖北武汉期末)与参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝21－t(t 为参数)等价的普通方程为( D )A ．x 22＋y 28＝1B ．x 22＋y 28＝1(0≤x ≤1)C ．x 22＋y 28＝1(0≤y ≤2)D ．x 22＋y 28＝1(0≤x ≤2，0≤y ≤22)解析：x 2＝1＋t ，y 24＝1－t ，故x 2＋y 24＝2，而－1≤t ≤1，得0≤x ≤2，0≤y ≤2 2.故选D ．3．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝2t1＋t2(t 为参数)化为普通方程为 ( D )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1去掉(0,1)点C ．x 2＋y 2＝1去掉(1,0)点D ．x 2＋y 2＝1去掉(－1,0)点解析：x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 22＝1，又x ＝1－t 21＋t 2＝－1＋21＋t 2≠－1，故选D ．4．直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(α为参数)相切，则直线的倾斜角θ为 ( A )A ．π6或5π6B ．π4或3π4C ．π3或2π3D ．－π6或－5π6解析：直线l 的普通方程为tan θ·x －y ＝0，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4. 所以圆心(4,0)到直线l 的距离d ＝|4tan θ|tan 2θ＋1＝2，解得 tan θ＝±33，又∵θ∈[0，π)，∴θ＝π6或θ＝5π6，故选A ．5．(2016·湖北黄冈中学期末)已知0＜r 2＜2＋1，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)与曲线C 2：x 2＋y 2＝r 22的位置关系是( B )A ．外切B ．相交C ．外离D ．内含解析：曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)化成普通方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，两圆心之间的距离||C 1C 2＝12＋(－1)2＝2，所以r 1－r 2＜||C 1C 2＜r 1＋r 2，故选B ．6．下列参数方程(t 为参数)中，与x 2－4y ＝0表示同一曲线的是( D )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t y ＝t4B ．⎩⎨⎧x ＝1ty ＝14tC ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t y ＝cos 2tD ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan t y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析：A 化为普通方程是x 2－4y ＝0，但有x ≥0限制．B 化为普通方程是x 2－4y ＝0，但有x >0的限制，而原方程无限制．C 化为普通方程是x 2－4y ＝0，但有x ∈[－2,2]的限制，原方程无限制．D 化为普通方程是x 2－4y ＝0，x ∈R 与原方程等价．故选D ． 二、填空题7．参数方程⎩⎨⎧x ＝3⎝⎛⎭⎫t ＋1t ，y ＝4⎝⎛⎭⎫t －1t (t 为参数)表示的曲线的焦点坐标是(10,0)，(－10,0)．解析：∵⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4，∴⎝⎛⎭⎫x 32－⎝⎛⎭⎫y42＝4， ∴x 236－y 264＝1.故它的焦点坐标是(10,0)，(－10,0)．8．(2016·江西九江一中检测)直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)．解析：设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1，∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.9．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t ＋e －t，y ＝2(e t －e －t )(t 为参数)的普通方程为x 24－y 216＝1(x ≥2)． 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝e t＋e －t，y 2＝(e t－e －t )⇒⎩⎨⎧x ＋y2＝2e t，x －y 2＝2e－t ⇒⎝⎛⎭⎫x ＋y 2⎝⎛⎭⎫x －y2＝4. 三、解答题10．以过点A (0,4)的直线的斜率为参数，试求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程．解析：设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上不同于点A (0,4)和(0，－4)的任意一点，则y －4x －0＝k (k ≠0)，所以y ＝kx ＋4(k ≠0)．将y ＝kx ＋4代入4x 2＋y 2＝16，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2(k ≠0，k 为参数)．当k ＝0时，A (0,4)在曲线4x 2＋y 2＝16上；当k 不存在时，即点M 为(0，－4)，在曲线4x 2＋y 2＝16上．故所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k2(k 为参数)．11．(2016·湖北团风中学期末)直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，求||AB 的最小值．解析：消掉参数θ，得到关于x ，y 的一般方程C 1：(x －3)2＋y 2＝1，表示以(3,0)为圆心，以1为半径的圆；C 2表示的是以原点为圆心的单位圆，两圆心之间的距离||C 1C 2＝3，所以||AB 的最小值为||C 1C 2－r 1－r 2＝3－1－1＝1.12．(2016·重庆高三质检)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．解析：(1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)，(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形，故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.。

课后导练基础达标1.点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,则x+y 的最大值是( )A.3+5B.5+5C.5D.3解析:由于点P(x,y)在椭圆4)2(2-x +(y-1)2=1上,有⎩⎨⎧+=+=ϕϕsin 1,cos 22y x (φ为参数).∴x +y=3+2cosφ+sinφ.由三角函数性质知x+y 的最大值为3+5. 答案:A 2.参数方程⎩⎨⎧∙=+=θθθθcos sin ,cos sin y x (θ为参数)表示的曲线为( )解析:由x=sinθ+cosθ两边平方,得x 2=1+2sinθcosθ=1+2y. ∴y=21x 2-21, 且x=sinθ+cosθ=2sin(θ+4π)∈［2,2-］ 答案:C3.在椭圆42x +y 2=1上求一点P,使点P 到直线x-y+4=0的距离最小.解:∵点P 在椭圆42x +y 2=1上,可设P(2cosφ,sinφ),则有d=⇒-+=+-2sin cos 242|4sin cos 2|ϕϕϕϕd=2)sin(54θϕ--.当φ-θ=2π时,d 最小=21024254-=-. 这时P(51,54-).4.直线y=2x-21与曲线⎩⎨⎧==ϕϕ2cos ,sin y x (φ为参数)的交点坐标是____________. 解析:曲线方程消去参数得y=1-2x 2与y=2x-21联立得4x 2+4x-3=0. ∴x 1=21,x 2=23-. ∵-1≤x≤1,∴x=21,y=21. 答案:(21,21)5.曲线⎩⎨⎧==θθsin 32,cos 2y x (θ为参数)上一点到直线y=x-5的距离d 的最小值为( )A.225 B.229 C.22D.0 解析:d=2|5)3cos(4|2|5sin 32cos 2|-+=--πθθθ,∵-9≤4cos(θ+3π)-5≤-1, ∴d 的最小值为2221=. 答案:C6.设直线l:x+2y+1=0交椭圆C:4(x-1)2+9(y+2)2=36于A 、B 两点,在椭圆上求一点P,使△ABP 的面积最大.分析:因为A 、B 为两定点,AB 为定长,所以可将问题转化为在椭圆上求一点到直线的距离最大的问题.解:设椭圆C 上的点P(1+3cosθ,-2+2sinθ),由于定直线l 和定椭圆C 截得的弦长为定长,又设P 到直线l 的距离为d,则d=515|1)sin 22(2cos 31|=++-++θθ|5sin(θ+α)-2|,其中tanα=43.故当sin(θ+α)=-1,即θ=2kπ+23π-α,k ∈Z 时,d 有最大值,这时△ABP 的面积最大. ∵sinθ=sin(2kπ+23π-α)=-cosα=54-,cosθ=-sinα=53-,∴P(54-,518-)为所求.综合运用7.已知抛物线y 2=2px(p>0)上存在两点关于直线x+y-1=0对称,求p 的取值范围. 分析:利用抛物线的参数方程,设点A 、B 的坐标分别为(2px 12,2px 1),(2px 22,2px 2),又二者关于直线x+y-1=0对称,则可列出等价方程,建立p 的不等式.解:设抛物线上两点A 、B 的坐标分别为(2px 12、2px 1),(2px 22,2px 2)且关于直线x+y-1=0对称,则有⎪⎩⎪⎨⎧=--=+++.1)(2)(2,1)()(212212212221x x p x x p x x p x x p由第二个方程可得x 1+x 2=1,代入第一个方程得x 12+x 22=pp-1>0, 故0<p<1.又由)2(2212221x x x x +>+2,得pp -1>21, 即0<p<32为所求. 8.点P 在圆x 2+(y-2)2=41上移动,点Q 在椭圆x 2+4y 2=4上移动,求PQ 的最大值与最小值,及相应的点Q 的坐标.解:设Q(2cosα,sinα),O′(0,2),则O′Q 2=(2cosα)2+(sinα-2)2 =4cos 2α+sin 2α-4sinα+4=-3(sinα+32)2+8+34. 故当sinα=32-时,O′Q 2取最大值为328,O′Q=3212.当sinα=1,O′Q 2取最小值为1,O′Q=1. 又圆的半径为21, 故圆上的点P 与Q 的最大距离为PQ=21+3212, P 与Q 的最小距离为PQ=1-21=21.PQ 取最大值时,si nα=32-,cosα=±941-=±35,Q 的坐标为(32,352-)或(32,352--); PQ 取最小值时,sinα=1,cosα=0,点Q 的坐标为(0,1).9.(1)求椭圆2222by a x +=1的内接矩形的最大面积;(2)已知矩形ABCD 中,点C 坐标为(4,4),A 点在曲线x 2+y 2=9(x>0,y>0)上移动,且AB 、AD 两边始终分别平行于x 、y 坐标轴,求矩形ABCD 面积最小时点A 的坐标.解:(1)设内接矩形在第一象限内的顶点为P(acosθ,bsinθ),则有S 内接矩形=4S 矩形AOBP =4·acosθ·bsinθ=2absin2θ. ∵θ∈［0,2π］, ∴2θ∈［0,π］.∴S 内接矩形的最大值为2ab.(2)如图所示,设A(x,y),又设矩形ABCD 的面积为S,则有S=(4-x)(4-y)=16-4(x+y)+xy. ∵A(x,y)在曲线x 2+y 2=9上, ∴x 2+y 2=(x+y)2-2xy=9.∴xy=29)(2-+y x .∴S=16-4(x+y)+29)(2-+y x =21［(x+y)-4］2+27.又∵x=3cosθ,y=3sinθ(0<θ<2π), ∴x+y=3(cosθ+sinθ)=23sin(θ+4π). ∵4π<θ+4π<43π,∴3<x+y≤23. ∴当x+y=4时,S 有最小值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=±=⎪⎩⎪⎨⎧=-=∙=+.224,224,272916,4 y x y x y x 得 ∴A 点坐标为(224,224-+)或(224,224+-).拓展探究10.已知直线l 过坐标原点,抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上,若点A(-1,0)、B(0,8)关于l 的对称点都在C 上,求直线l 和抛物线C 的方程.分析:本题的运算量较大,如果直接用普通方程来求解,其计算量会更大,同学们不妨一试. 解:设A 、B 关于直线l 的对称点分别为A 1、B 1,由对称性知∠A 1OB 1=∠AOB=90°,由抛物线的参数方程可设A 1(2pt 12,2pt 1)(t 1<0),B 1(2pt 22,2pt 2),又OA 1=OA=1,OB 1=OB=8,则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.64)2()2(,1)2()2(2222221221pt pt pt pt两式相除得21412242t t tt ++=64.又∵211,111t k t k OB OA ==,OA 1⊥OB 1, ∴11O B O A k k ∙=-1,即t 1·t 2=-1. 则可将t 2=11t -代入上式,得t 16=641,t 1=-21.故有2p=554. ∴A 1(552,55-).∴251,2511+=-=t AA k k . 故所求直线l 的方程为y=251+x,抛物线C 的方程为y 2=554x.。

四 渐开线与摆线一、基础达标1.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( ) A.π B.2π C.3πD.4π解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B. 答案 B2.已知一个圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝π2对应的点A 与点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2之间的距离为( )A.π2－1 B. 2 C.10D.3π2－1 解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3（φ－sin φ），y ＝3（1－cos φ）(φ为参数)，把φ＝π2代入参数方程中可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，y ＝3，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－3，3，∴|AB |＝⎝⎛⎭⎪⎫3π2－3－3π22＋（3－2）2＝10.答案 C3.摆线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（t －sin t ），y ＝2（1－cos t ）(t 为参数，0≤t ＜2π)与直线y ＝2的交点的直角坐标是( )A.(π－2，2)，(3π＋2，2)B.(π－3，2)，(3π＋3，2)C.(π，2)，(－π，2)D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)解析 由2＝2(1－cos t )得cos t ＝0.∵t ∈[0，2π)，∴t 1＝π2，t 2＝3π2.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).答案 A4.已知圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ＋θsin θ，y ＝sin θ－θcos θ(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝π4时对应的曲线上的点的坐标为________.解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝π4代入曲线的参数方程，得x ＝22＋2π8，y ＝22－2π8，由此可得对应的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π8.答案 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋2π8，22－2π85.已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，点P 为其渐开线上一点，对应的参数φ＝π2，则点P 的坐标为________.解析 由题意，圆的半径r ＝2，其渐开线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2（cos φ＋φsin φ）y ＝2（sin φ－φcos φ）(φ为参数).当φ＝π2时，x ＝π，y ＝2，故点P 的坐标为P (π，2).答案 (π，2)6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x 轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋3φsin φ，y ＝3sin φ－3φcos φ(φ为参数).以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x 轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数). 7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A 、B 对应的参数分别是π3和π2，求A 、B 两点的距离. 解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ＋φsin φ，y ＝sin φ－φcos φ(φ为参数)，分别把φ＝π3和φ＝π2代入，可得A 、B 两点的坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫3＋3π6，33－π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫π2，1.那么，根据两点之间的距离公式可得A 、B 两点的距离为|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋3π6－π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33－π6－12＝16（13－63）π2－6π－363＋72. 即A 、B 两点之间的距离为16（13－63）π2－6π－363＋72. 二、能力提升8.如图，ABCD 是边长为1的正方形，曲线AEFGH …叫做“正方形的渐开线”，其中AE ︵、EF ︵、FG ︵、GH ︵…的圆心依次按B 、C 、D 、A 循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH 的长是( ) A.3π B.4π C.5πD.6π解析 根据渐开线的定义可知，AE ︵是半径为1的14圆周长，长度为π2，继续旋转可得EF ︵是半径为2的14圆周长，长度为π；FG ︵是半径为3的14圆周长，长度为3π2；GH ︵是半径为4的14圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH 的长是5π. 答案 C9.已知一个圆的平摆线方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2φ－2sin φ，y ＝2－2cos φ(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.解 由平摆线方程知，圆的半径为2，则圆的周长为4π.当φ＝π时，y 有最大值4， 平摆线具有周期性，周期为2π.∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2k π，4)(k ∈Z ).10.渐开线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6（cos φ＋φsin φ），y ＝6（sin φ－φcos φ）(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C ，求曲线C 的方程，及焦点坐标. 解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x 2＋y 2＝36. 把横坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆方程x 24＋y 2＝36，即x 2114＋y 236＝1， 对应的焦点坐标为(63，0)和(－63，0).11.如图，若点Q 在半径AP 上(或在半径AP 的延长线上)，当车轮滚动时，点Q 的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ |＝r 2或|AQ |＝3r2，请推出Q 的轨迹的参数方程.解 设Q (x ，y )、P (x 0，y 0)，若A (r θ，r )， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.当|AQ |＝r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －r θ，y 0＝2y －r ， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）. ∴点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－12sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12cos θ(θ为参数).当AQ ＝3r2时，有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r θ＋2x 3，y 0＝r ＋2y 3，代入⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝r （θ－sin θ），y 0＝r （1－cos θ）.∴点Q 的轨迹方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－32sin θ，y ＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32cos θ(θ为参数).三、探究与创新 12.已知一个参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t ＞0)，它表示半径为t 的圆. (1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.解 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为：y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t ＞0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t （φ－sin φ），y ＝t （1－cos φ）(φ为参数).。