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2014新北师大版2.2二次函数的图像与性质(第1课时)

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2.2二次函数的图像和性质 (九年级数学精品课件)

2.2二次函数的图像和性质 (九年级数学精品课件)

y
A O
B
x
C
y
◇[还原坐标系]
O
◇[改刻度字体]
◇[操作控制台]
x=h
◇[操作控制台]
O
x
开口方向 对称轴 顶点坐标 最值
向上
向下
向上
y=a(x-h)2＋k (a＜0)
y
O
x
x=h
向下
向下 （1，－4）
左
1
下
2
4y
3 2 1
–4 –3 –2 –1 O
–1 –2 –3 –4
1 2 3 4x
10 分 钟
y y = 2∙(x 0.5)∙(x 2)
O1
2
x
2
10 分 钟
向上
＜ ＞＞
＜ ＞＞
＞
＜
◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[显示刻度线] ◇[显示刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
y
A O
B
x
C
◇[系统初始化] ◇[显示网格线] ◇[显示刻度线] ◇[显示刻度值] ◇[xy等单位长] ◇[切换成数轴] ◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
北师大版本义务教育教科书九下第二章
2分钟
1、填空 抛物线
始化] 格线] 度线] 度值] 位长] 数轴] 标系] 字体] 制台]
图形
◇[系统初始化]
y=a(x-h) ◇[显示网格线]
◇[显示刻度线]
2
(a>0)
◇[显示刻度值]
◇[xy等单位长]
◇[切换成数轴]
◇[还原坐标系] ◇[改刻度字体]
y
◇[操作控制台]

最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件

最新北师大版九年级数学下册《二次函数的图象与性质》优质教学课件
并写出开口方向、顶点坐标、对称轴．
解：y＝(x－4)2－15
开口向上，顶点坐标为(4，－15)
对称轴为直线 x＝4
类型2：a＝1，b为奇数
5．(例2)求抛物线y＝x2＋x＋1的顶点坐标．
解：∵y＝x2＋x＋1
1
1
2
＝x ＋x＋ 4 ＋1－
4
3
1
2
＝(x ＋x＋ )＋
1 4 3 4
＝(x＋ 2 )2＋ 4
（3）对称轴为直线x=1.25,顶点坐标为（1.25，-1.125）.
（4）对称轴为直线x=0.75,顶点坐标为（0.75，9.375）.
【例题】
如图,桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的
直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=
9
400
表示,而且左、右两条抛物线关于y轴对称．
y/m
10
桥面
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛
物线y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
那是怎样平移的呢？
只要将表达式右边进行配方就可以知道了.
y=3x2-6x+5
=3(x-1)2+2
配方后的表达式通常称为配方
式或顶点式
y 3x 6 x 5
2
3(x 2x) 5
,-3).
.
(2)画抛物线 y=ax2+bx+c 的草图,
(4)若抛物线与 x 轴的两个交点为 A,B,与 y 轴的交点为 C,求 S△ABC.
= (x2+2x+1)- - = (x+1)2-3,∴抛物线的顶点
4a
要确定五点,即①开口方向;②对

数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质

数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质

XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。

2014最新版2.2二次函数图像2

2014最新版2.2二次函数图像2

问题2： 你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2 的图象，并比较它们的联系和区别吗?
你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2 y 的图象，并比较它们的联系和区别吗 ?
5
y=2x2
y=2(x+1)2
4. 3.
y=2(x-1)2
2.
1.
-3.
-2
-1
例1. 填空题 （1）二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开 口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 . （2）二次函数y=-3（x-4）2的图像是由抛物线y= -3x2 向 平移 个单位得到的；开口 ，对称轴 是 ，当x= 时，y有最 值，是 . （3）将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到 函数 的图像，其对称轴是 ， 顶点是 ，当x 时，y随x的增大而 增大；当x 时，y随x的增大而减小. （4）将二次函数y= -3（x-2）2的图像向左平移3个单位 后得到函数 的图像，其顶点坐标 是 ，对称轴是 ，当x= 时，y有 最 值，是 .
画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察
问题1： 在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与 y＝2(x－1)2的图象 .观察两个图象的开口方向、 对称轴以及顶点坐标相同吗?这两个函数的图 象之间有什么关系?
x
y＝2x2 y＝2(x－1)2
…
－ 3 －2 －1 18 32 8 18 2 8
＜3 3.函数y= 时,y随x的增大而增大； 当x ＞3 时,y 随x的增大而减小。
4 y=4(x+1)2的图象是由 抛物线__________
2 y=4x
2 –5(x–3) ,当x

新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法

新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §2 2.2 第1课时 函数的三种表示方法

题型一 题型二 题型三
反思列表法、图像法和解析法分别从三个不同的角度刻画了自 变量与函数值的对应关系.采用列表法的前提是定义域内自变量的 个数较少;采用图像法的前提是函数的变化规律清晰;采用解析法 的前提是变量间的对应关系明确.
题型一 题型二 题型三
【变式训练1】 某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个 笔记本需要y元,试用三种表示法表示函数y=f(x).
123456
解析:由题意知该学生离学校越来越近,故排除选项A;又由于开始 匀速,后来因交通堵塞停留一段时间,最后是加快速度行驶,故选C. 答案:C
123456
3若g(x+2)=2x+3,则g(3)的值是( ) A.9 B.7 C.5 D.3 答案:C
123456
4某航空公司规定,乘客所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由图中 的函数图像确定,则乘客可免费携带行李的最大质量为( )
题型一 题型二 题型三
题型一 函数的表示方法 【例1】 某商场新进了10台彩电,每台售价3 000元,试分别用列 表法、图像法、解析法表示售出台数x(x∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10})与 收款总额y(元)之间的函数关系. 分析:明确函数的定义域 明确函数的值域 用三种表示 方法表示函数
2.2 函数的表示法
第1课时 函数的三种表示方法
1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图像法、列表法. 2.会作简单函数的图像,掌握求函数解析式的一般方法.
1.函数的表示法
名师点拨函数的三种表示方法的优缺点比较.
【做一做1】 以下形式中,不能表示“y是x的函数”的是 ( )
A.
x
1
2
3
4

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
解：先列表：
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1

(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，

再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．

【详解】（1）解：∵- ＜0

∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8

∴顶点坐标为（0,8）

（2）∵将抛物线y=−

+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时 二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，

二次函数的图象与性质 北师大版九年级数学下册

射时所经过的路线,我们把
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．

二次函数的图像与性质（教案）

北师大版数学九年级2.2.1二次函数的图像与性质教学设计讲授新课师：小组合作，画二次函数y=x2的图像（1）观察y=x2的表达式，选择适当的x值，并计算相应的y值，完成下表：（2）在直角坐标系中描点。

（3）用光滑的曲线连接各点便得到函数y=x2的图像。

师：小组讨论，对于二次函数y=x2的图像，（1）你能描述图像的形状吗？与同伴进行交流。

（2）图像与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？（3）当x˂0时，随着x值的增大，y值如何变化？当x˃0时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴进行交流。

生：小组合作完成二次函数y=x2的图像生：（1）图像是一条抛物线，开口向上（2）有，（0,0）（3）当x˂0时，随着x值的增大，y值减小；当x˃0时，随着x值的增大，y值增大。

（4）当x=0时，y的值，最小值0，（0,0）点为最小值点。

（5）是轴对称问题由浅入深，层层递进，把学习的主动权交给学生，增强学生的信心，体验成功的快乐。

师：二次函数y=-x2的图像是什么形状？先想一想，然后画出它的图像。

它与二次函数y=x2的图像有什么关系？与同伴进行交流师：请同学们根据刚才的结果完成下列表格。

师：下面我们来检验一下大家的掌握情况吧。

1.已知（-0.5,0.25）是二次函数y=-x2图像上的一点，则图像上与之对称的点的坐标是（）A.(-0.5，-0.25)B.（0.5,0.25）C.（0.5,-0.25）D.（0.5,0.5）图形，对称轴是y轴，对称点有（-1,1）和（1,1），（-2,4）和（2,4），（-3,9）和（3,9）等生：画出二次函数y=-x2的图像，并得到它的性质。

生：完成表格生：完成练习把学习的主动权交给学生，激发学生学习数学的好奇心和求知欲，增强学生的动手能力，体验成功的快乐2.抛物线y=2x2的顶点坐标是，对称轴是。

新教材北师大版必修第一册 第二章2.2函数的表示法1函数的表示法 课件(49张)

x
所以f(x)=- 1.
x
=-
x
,
3
xx
【补偿训练】
已知f(x)满足f(x)=2f ( 1 )+x,则f(x)的解析式为________.
x
【解析】因为f(x)=2f ( 1+) x,用
x
替1 换x得f
x
=( 12)f(x)+
x
,1
x
代入上式得f(x)= 2[2f x 1 ] x,
x
解得f(x)= 2 . x
【补偿训练】 某公共汽车,行进的站数与票价关系如表:
行进的 站数
票价
123456789 111222333
此函数的关系除了列表之外,能否用其他方法表示?
类型二 函数的图象及其应用(直观想象) 【典例】1.(2020·徐州高一检测)函数y= x2 的图象的大致形状是( )
x
2.已知函数f(x)=x2-2x(-1≤x≤2). (1)画出f(x)图象的简图. (2)根据图象写出f(x)的值域. 【思路导引】1.分x>0,x<0两种情况作出判断. 2.先作出图象,再根据图象写值域.
【跟踪训练】 作出下列函数的图象并写出其值域. (1)y=-x,x∈{0,1,-2,3}. (2)y= 2 ,x∈[2,+∞).
x
【拓展延伸】关于图象变换的常见结论有哪些? 提示:(1)y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称. (2)y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称. (3)y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于点(0,0)对称. (4)y=f(|x|)是保留y=f(x)的y轴右边的图象,去掉y轴左边的图象,且将右边图象 沿y轴对折而成. (5)y=|f(x)|是保留y=f(x)的x轴上方的图象,将x轴下方的图象沿x轴对折且去掉 x轴下方的图象而成.

《二次函数——二次函数的图象与性质》数学教学PPT课件(9篇)

在函数y＝x2的图象上，则y1，y2，y3之间的大小
y3>y2>y1
关系为___________．
导引：因为a>1，所以0<a－1<a<a＋1, 所以这三个点
都在函数y＝x2的图象的对称轴的右侧．根据
“当x>0时，y随x的增大而增大”的性质，可得
y3>y2>y1.
（来自《点拨》）
知2－讲
总 结
当所比较的点都在抛物线的对称轴的同一侧时，
y值都随x值的增大而增大
D．当x<0时，函数y＝x2，y的值随x值的增大的变化情况与当x>0
时，函数y＝－x2，y的值随x值的增大的变化情况相同
（来自《典中点》）
知2－练
4 如图，一次函数y1＝kx＋b的图象与二次函数y2＝
x2的图象交于A(－1，1)和B(2，4)两点，则当y1<y2时，x的取
值范围是( D )
1
(1，2
), 可知, 其中有两点在第一象限, 一
点在第四象限, 排除B,
1
C；在第一象限内,
y1的对应
2
点(1, 2)在上, y3的对应点(1， )在下, 排除A.
知1－练
1 关于二次函数y＝3x2的图象，下列说法错误的是( C )
A．它是一条抛物线
B．它的开口向上，且关于y轴对称
C．它的顶点是抛物线的最高点
可直接利用函数的增减性进行大小比较．
（来自《点拨》）
知2－练
1 已知点(x1，y1)，(x2，y2)是二次函数y＝－x2的图象
上的两点，当x1<x2<0时，y1与y2的大小关系为
y1＜y2
________．
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