椭圆、双曲线、抛物线知识点清单

圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）基础知识及常⽤结论圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-椭圆⼀、椭圆定义定点为焦点，定值为长轴.（定值=2a ）椭圆.定点为焦点，定直线为准线，定值为离⼼率.（定值=e ）定点为短轴顶点，定值为负值. （定值2k e 1=-）⼆、椭圆的性质定理长轴短轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 ep ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b ④注解：1长轴2a =，短轴2b =，焦距2c =，则：222a b c =+2准线⽅程：2a x c= （a ⽅除以c ）3椭圆的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与椭圆的两交点之间的距离称为椭圆的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过椭圆上00x y (,)点的切线⽅程，⽤00x y (,)等效代替椭圆⽅程得到.等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b+=4、焦三⾓形计⾯积，半⾓正切连乘b焦三⾓形：以椭圆的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF θ=∠的⼀半.则焦三⾓形的⾯积为：2S b 2tanθ=证明：设1PF m =，2PF n =，则m n 2a +=由余弦定理：222m n 2mn 4c cos θ+-?=22224a 4b m n 4b ()=-=+-即：22mn 2mn 4b cos θ-?=-，即：22b 1mn (cos )θ=+.即：2122b mn PF PF 1||||cos θ==+故：12F PF 1S m n 2sin θ=??△2212b b 211sin sin cos cos θθθθ=?=++⼜：22221222sin cossin tan cos cosθθθθθθ==+ 所以：椭圆的焦点三⾓形的⾯积为122F PF S b 2tan θ=. 三、椭圆的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①1F2FOxyPmn切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓. 焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓.弦切⾓是指椭圆的弦与其切线相交于椭圆上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.2若000P x y (,)在椭圆2222x y 1a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线，切点为12P P ,，则点0P 和切点弦12P P ,分别称为椭圆的极点和极线.切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b+=（称为极线定理）3弦指椭圆内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c=-去除准焦距2bp c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==- 4中点弦AB 的⽅程：在椭圆中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，弦AB 称为中点弦，则中点弦的⽅程就是2200002222x x y y x y a b a b+=+，是直线⽅程.弦中点M 的轨迹⽅程：在椭圆中，过椭圆内点000P x y (,)的弦AB ，其中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b+=+，仍为椭圆.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-双曲线⼀、双曲线定义⼆、双曲线的性质定理基本同椭圆，有所区别：实轴虚轴与焦距，形似勾股弦定理①准线⽅程准焦距，a ⽅、b ⽅除以c ②通径等于 2 e p ，切线⽅程⽤代替③焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b ④注解：1实轴2a =，虚轴2b =，焦距2c =，则：222a b c +=2准线⽅程2a x c=± （a ⽅除以c ）准焦距p ：焦点到准线的距离：2b pc = （b ⽅除以c ）3通径等于2 e p ，切线⽅程⽤代替双曲线的通径d ：过焦点垂直于长轴的直线与双曲线的两交点之间的距离称为双曲线的通径.（通径22c b 2b 2a c ad 2ep =??==）过双曲线上000P x y (,)点的切线⽅程，⽤000P x y (,)等效代替双曲线⽅程得到，等效代替后的是切线⽅程是：0022x x y y1a b-=4焦三⾓形计⾯积，半⾓余切连乘b焦三⾓形：以双曲线的两个焦点12F F ,为顶点，另⼀个顶点P 在椭圆上的三⾓形称为焦三⾓形.半⾓是指12F PF γ=∠的⼀半.双曲线2222x y 1a b-=的左右焦点分别为12F F ,，点P 为双曲线上异于顶点任意⼀点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点三⾓形满⾜：2122b PF PF 1cos γ=- 其⾯积为；122F PF S b co 2t γ=.证明：设21PF m PF n ,==，则m n 2a -=在12F PF ?中，由余弦定理得：222121212PF PF 2PF PF F F cos γ+-=，即：222m n 2mn 4c cos γ+-?=22224a 4b m n 4b ()=+=-+ 即：2222m n 2mn m n 4b cos ()γ+-?=-+即：22mn 2mn 4b cos γ-?=，即：22b mn 1(cos )γ=-即：22b mn 1cos γ=-，即：2122bPF PF 1cos γ=-那么，焦点三⾓形的⾯积为：12F PF 1S mn 2sin γ?=?212b 21sin cos γγ=?-2222b 22b 122sin cossin cos sinγγγγγ==?-2b 2cot γ= 故：122F PF S b 2cot γ= 同时：12F PF 12P P 1S F F y c y 2?=?=?，故：2p b y c 2cot γ=±? 双曲线的焦点三⾓形的⾯积为：122F PF S b co 2t γ=.三、双曲线的相关公式切线平分焦周⾓，称为弦切⾓定理①切点连线求⽅程，极线定理须牢记②弦与中线斜率积，准线去除准焦距③细看中点弦⽅程，恰似弦中点轨迹④注解：1弦切⾓定理：切线平分椭圆焦周⾓的外⾓，平分双曲线的焦周⾓.焦周⾓是焦点三⾓形中，焦距所对应的⾓. 弦切⾓是指双曲线的弦与其切线相交于双曲线上时它们的夹⾓，当弦为焦点弦时（过焦点的弦），那么切线是两个焦点弦的⾓平分线.如图，12F PF ?是焦点三⾓形，12F PF ∠为焦周⾓，PT 为双曲线的切线. 则PT 平分12F PF ∠.2若000P x y (,)在双曲线2222x y 1a b-=外，以包含焦点的区域为内，不包含焦点的区域为外，则过0P 作双曲选的两条切线，切点为1P 、2P ，则点0P 和切点弦12P P 分别称为双曲线的极点和极线，切点弦12P P 的直线⽅程即极线⽅程是0022x xy y1a b-=（称为极线定理）3弦指双曲线内的⼀弦AB .中线指弦AB 的中点M 与原点O 的连线，即OAB ?得中线.这两条直线的斜率的乘积，等于准线距离2c a x c =去除准焦距2b p c=，其结果是：2AB OM2c p b k k x a==4中点弦AB 的⽅程：在双曲线中，若弦AB 的中点为00M x y (,)，称弦AB 为中点弦，则中点弦的⽅程就是：2200002222x x y y x y aba b-=-，它是直线⽅程. 弦中点M 的轨迹⽅程：在双曲线中，过双曲线外⼀点000P x y (,)的弦AB ，其AB 中点M 的⽅程就是22002222x x y y x y a b a b-=-，仍为双曲线.这两个⽅程有些相似，要擦亮眼睛，千万不要搞混了.圆锥曲线必背⼝诀(红字为⼝诀)-抛物线⼀、抛物线定义抛物线，有定义，定点定线等距离12⼆、抛物线性质焦点准线极点线①，两臂点乘积不变②焦弦切线成直⾓，切点就是两端点③端点投影在准线，连结焦点垂直线④焦弦垂直极焦线⑤，切线是⾓平分线⑥直⾓梯形对⾓线，交点就是本原点⑦焦弦三⾓计⾯积，半个p ⽅除正弦⑧注解：1抛物线的焦点和准线是⼀对极点和极线.抛物线⽅程：2y 2px =，焦点(,)p F 02，准线p p x 2=-(抛物线的顶点(,)O 00到定点(,)p F 02和定直线p p x 2=-距离相等) 焦弦：过焦点的直线与抛物线相交于两点A 和B ，则AB 称为焦弦.弦中点(,)M M M x y ，A B M x x x 2+=，A B M y yy 2+= 焦弦⽅程：()p y k x 2=-，k 为斜率. 2焦点三⾓形两边OA 和OB 的点乘积为定值，且夹⾓是钝⾓. 证明：焦弦AB 满⾜的条件()2y 2pxp y k x 2?=??=- ()22p k x 2px 2-=? ()22222k p k x k 2px 04-++=由韦达定理得：2A B px x 4=2A B py y 22p p 2==-=-?=-，即：2A B p x x 4=，2A B y y p =- ①且：2A A B B A B A B 3OA OB x y x y x x y y p 04(,)(,)?=?=+=-<. 故：焦点三⾓形两边之点乘积为定值.3即：焦弦两端点的切线互相垂直. 证明：如图，由抛物线⽅程：2y 2px =得到导数：yy p '=，即：py y'=故：AEA p k y =，BE Bp k y = 于是：2AE BEA B A Bp p p k k y y y y ?=?=将①式2A B y y p =-代⼊上式得：AE BE k k 1?=-即：AE BE ⊥，故焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 4即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形. 证明：坐标B p C y 2(,)-,A p D y 2(,)-则：B CF p y (,)=-，A DF p y (,)=- 于是：2A B CF DF p y y ?=+将①式2A B y y p =-代⼊上式得：CF DF 0?= 故：CF DF ⊥即：焦弦端点A B ,在准线的投影点D C ,，则CF DF ⊥，即：焦弦端点在准线的投影点与焦点构成直⾓三⾓形.5若焦弦AB 对应的极点E ，则EF 为极焦线，于是EF AB ⊥⽤向量⽅法可证.由于M 是AB 的中点，AEB ?为直⾓三⾓形，计算可得E 是DC 的中点，故：ED EF EC == 由向量法可证EF AB 0?=即：焦弦AB 与极焦线EF 互相垂直. 6即：切线平分焦弦的倾⾓(或倾⾓的外⾓) 如图：因为ADE ?和AFE ?都是直⾓三⾓形，且由定义知：AF AD =，AE AE =故ADE AFE ??≌，则对应⾓相等. 即：AE 是DAF ∠的⾓平分线同理，BE 是CBF ∠的⾓平分线 7即：直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点即：A O C ,,三点共线；B O D ,,三点共线. ⽤向量法证明：OA CO //，OB DO //证明：坐标2A A y A y 2p (,)，2B B y B y 2p (,)，B p C y 2(,)-，A pD y 2(,)-向量：2A A y OA y 2p (,)=，B pCO y 2(,)=-各分量之⽐：2A2x A 2xy OA y 2p p p CO 2()()==，2y A AB A B y OA y y y y y CO ()()==--将①式2A B y y p =-代⼊上式得：22yA A2A By OA y y y y p CO ()()==- 故：y x xyOA OA OACO CO CO()()()()==，即：OA CO // 同理：OB DO //.直⾓梯形ABCD 对⾓线相交于原点. 8即：焦弦三⾓形的⾯积为：sin 2 AOBp S 2α= （α为焦弦的倾⾓）证明：AB AF BF =+A B A B p p x x x x p 22=+ ++=++M p2x 2()=+2EM = 如图：GF 2OF p == 则：2EF GF 1pEM sin sinsin sin αααα==?= E于是：22pAB sin α= 故：AOB1S OF AB 2sin α?=221p 2p p 222sin sin sin ααα==附：圆锥曲线必背----极坐标圆锥曲线的极坐标以准焦距p 和离⼼率e 来表⽰常量，以极径ρ和极⾓θ来表⽰变量.0ρ≥，[,)o 0360θ∈以焦点(,)F 0θ为极点(原点O )，以椭圆长轴、抛物线对称轴、双曲线的实轴为极轴的建⽴极坐标系.故准线是到极点距离为准焦距p 、且垂直于极轴的直线L . 极坐标系与直⾓坐标系的换算关系是：ρ=，arctan y xθ= 或者：cos x ρθ=，sin y ρθ= 特别注意：极坐标系中，以焦点为极点(原点)，⽽直⾓坐标系中以对称点为原点得到标准⽅程. 如图，O 为极点，L 为准线，则依据定义，到定点(极点)和到定直线(准线)的距离之⽐为定值(定值e )的点的轨迹为圆锥曲线. 所以，对极坐标系，请记住：⑴极坐标系的极点O 是椭圆的左焦点、抛物线的焦点、双曲线的右焦点；⑵曲线上的点(,)Pρθ到焦点F的距离是ρ，到准线的距离是cospρθ+，根据定义：cosepρρθ=+即：cosep eρθρ+=，即：cosep eρρθ=-，即：1eρθ=-①这就是极坐标下，圆锥曲线的通式.⑶对应不同的e，呈现不同的曲线. 对双曲线，只是右边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向右.将极轴旋转o180，α和θ分别对应变换前后的极⾓，即转⾓为o180θα=+，则极坐标⽅程变换前⽅程为：cosep1eρα=-变换后⽅程为：cosep1eρθ=+②此时的极坐标系下，此时有：⑵对应不同的e，呈现不同的曲线对双曲线，只是左边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向左.⑴将极轴顺时针旋转o90，即：o 90θα=+，则情况如图.圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρθ=- ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且极点O 对应于椭圆下⽅的焦点，双曲线上⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴上边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向上. ⑵如果将极轴逆时针旋转o 90，即：o 90θα=-，则情况如图. 圆锥曲线的⽅程为：sin ep1e ρα=+ ③此时的极坐标系下：对应于直⾓坐标系下，焦点在y 轴的情况，且对应于椭圆上⽅的焦点，双曲线下⽅的焦点，抛物线的焦点.对双曲线，只是y 轴下边的⼀⽀；对抛物线，开⼝向下.⑴在极坐标系中，圆锥曲线的通式为：=cos ep1e ρθ- ①即：cos e ep ρρθ-=，即：cos ep e ρρθ=+即：(cos )(cos )(cos )2222222ep e e p e 2e p ρρθρθρθ=+=++ ②将222x y ρ=+，cos x ρθ=代⼊②式得：2222222x y e p e x 2e px +=++即：()2222221e x 2e px y e p --+= ③当e 1≠时有：()[()]()()22222222222222--++=+---- 即：()()()22222 2222222e p e e p 1e x y e p 11e 1e 1e --+=+=--- 即：()()22222222222e px y 1e1e p e p1e 1e --+=-- ④⑴当e 1<时，令()22222e p a 1e =-，2222e p b 1e=-，22e p c 1e=-则：()222222222e p e p a b 1e 1e-=---[()]()()2222e p e p 11e 1e 1e =--=--⽽：()()2422222222e p e p c a b 1e 1e ===--- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab-+= ⑤这是标准的椭圆⽅程. ⑵当e 1>时，令()222 22e p a e 1=-，2222e p b e 1=-，22e p c e 1=-则：()222222222e p e p a b e 1e 1+=+--[()]()()2242e p e p 1e 1e 1e 1=+-=-- ⽽：()()2422222222e p e p c a b e 1e 1===+-- 代⼊④式得：()2222x c y 1ab+-= ⑥这是标准的双曲线⽅程.⑶当e 1=时，由③式()2222221e x 2e px y e p --+=得：222px y p -+=即：()22p y 2px p 2p x 2=+=+ 即：()2p y 2p x 2=+ ⑦这是标准的抛物线⽅程.。

椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，它们在数学、物理、工程等领域都有着重要的应用。

通过联立这些方程，不仅可以深入理解曲线的特性，还可以解决一些实际问题。

本文将分别介绍椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程的基本定义和性质，以及它们的联立解法，帮助读者更好地理解和应用这些数学知识。

一、椭圆方程的定义和性质椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

椭圆方程的一般形式为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h, k)为椭圆的中心坐标，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。

椭圆有许多重要性质，如对称性、焦点、直径等，这些性质都可以通过椭圆方程的分析得到。

二、双曲线方程的定义和性质双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P 的轨迹。

双曲线方程的一般形式为：(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1类似椭圆，双曲线也有许多重要性质，如渐近线、焦点、枝等。

通过双曲线方程的分析，可以深入理解这些性质。

三、抛物线方程的定义和性质抛物线是平面上到一个定点F的距离等于到某条直线L的距离的点P 的轨迹。

抛物线方程的一般形式为：y² = 2px其中p为焦点到抛物线顶点的距离，也是抛物线的焦距。

抛物线也有许多重要性质，如焦点、直径、对称轴等，通过抛物线方程的分析可以得到这些性质。

四、联立椭圆、双曲线和抛物线方程的解法在一些实际问题中，我们需要联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解。

以二元二次方程组为例，我们可以通过联立椭圆、双曲线和抛物线方程进行求解，得到曲线的交点、切点、共焦点等。

这对于一些物理、工程等领域的问题具有重要意义。

结论：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程是平面解析几何中常见的曲线方程类型，通过对它们的定义、性质和联立解法的深入理解，可以帮助我们更好地应用这些数学知识解决实际问题。

<一>圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0此方程可用于解决两圆的位置关系：配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4其圆心坐标：（-D/2,-E/2）半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2此方程满足为圆的方程的条件是:D^2+E^2-4F>0若不满足,则不可表示为圆的方程（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2<r^2时，则点P在圆内。

圆与直线的位置关系判断平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。

令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C/A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）<二>椭圆的标准方程椭圆的标准方程分两种情况：当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；其中a>0，b>0。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。

推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。

简记为：左“＋”右“－”。

由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。

22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。

有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。

双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。

说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。

②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。

椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。

定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。

说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。

②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。

2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。

高中数学专题四椭圆、双曲线、抛物线《圆锥曲线》知识点小结一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：3．常用结论：（1）椭圆)0(122>>=+b a ba 的两个焦点为21，过1的直线交椭圆于两点，则2ABF 的周长=（2）设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于QP ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。

||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：（4）等轴双曲线为222t y x =-2（4）常用结论：（1）双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，则2ABF ∆的周长=（2）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是=||PQ三、抛物线：（1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。

双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。

三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。

高考数学复习：圆锥曲线考点一：椭圆、双曲线、抛物线知识点1椭圆1、椭圆的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．（2）集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a >|F 1F 2|时，M 点的轨迹为椭圆；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹为线段F 1F 2；③当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹不存在．2、椭圆的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)图形性质范围－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b－b ≤x ≤b －a ≤y ≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)，B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )，B 1(－b,0)，B 2(b,0)离心率e ＝ca，且e ∈(0,1)a ，b ，c 的关系c 2＝a 2－b 23、椭圆中的几个常用结论（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2a ，过焦点最长弦为长轴．（2）过原点最长弦为长轴长2a ，最短弦为短轴长2b .（3）与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)有共同焦点的椭圆方程为x 2a 2＋λ＋y 2b 2＋λ＝1(λ＞－b 2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P (x 0，y 0)与两焦点F 1，F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形．若r 1＝|PF 1|，r 2＝|PF 2|，∠F 1PF 2＝θ，△PF 1F 2的面积为S ，则在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中：①当r 1＝r 2，即点P 为短轴端点时，θ最大；②S ＝12|PF 1||PF 2|sin θ＝c |y 0|，当|y 0|＝b ，即点P 为短轴端点时，S 取得最大值，最大值为bc ；③△PF 1F 2的周长为2(a ＋c )．知识点2双曲线1、双曲线的定义（1）平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c >0)的距离之差的绝对值为非零常数2a (2a <2c )的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点．（2）集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.①当2a <|F 1F 2|时，M 点的轨迹是双曲线；②当2a ＝|F 1F 2|时，M 点的轨迹是两条射线；③当2a >|F 1F 2|时，M 点不存在．2、双曲线的标准方程和几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)图形性质范围x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Ry ≤－a 或y ≥a ，x ∈R对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A 1(－a,0)，A 2(a,0)A 1(0，－a )，A 2(0，a )渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率e ＝ca，e ∈(1，＋∞)实、虚轴线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长a ，b ，c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)3、双曲线中的几个常用结论（1）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .（2）若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a .（3）同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b2a ，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .（4）设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线PA ，PB 斜率存在且不为0，则直线PA 与PB 的斜率之积为b 2a2.（5）P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则，其中θ为∠F 1PF 2.（6）等轴双曲线①定义：中心在原点，以坐标轴为对称轴，实半轴长与虚半轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．②性质：a ＝b ;e ＝2；渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．（7）共轭双曲线①定义：若一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．②性质：它们有共同的渐近线；它们的四个焦点共圆；它们的离心率的倒数的平方和等于1.知识点3抛物线1、抛物线的定义：满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（1）在平面内；（2）动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等；（3）定点不在定直线上．2、抛物线的标准方程与几何性质焦半径(其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p 2|PF |＝－x 0＋p 2|PF |＝y 0＋p 2|PF |＝－y 0＋p23、抛物线中的几何常用结论（1）设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦．①以弦AB 为直径的圆与准线相切．②以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．③通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦．（2）过x 2＝2py 的准线上任意一点D 作抛物线的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 【题型1圆锥曲线的定义及应用】容易忽视圆锥曲线定义的限制条件，在椭圆的定义中，对常数加了一个条件，即常数大于12F F 。

【幼儿园保教质量：试验示范区工作总结】近年来，幼儿园保教质量一直备受社会关注。

作为教育改革的试验示范区，我们对这一问题进行了深入调研和工作总结，旨在全面提升幼儿园保教质量，为幼儿提供更优质的教育资源。

在这篇文章中，我将结合个人观点和对这一主题的深入理解，共享我们的工作总结，并探讨如何进一步提高幼儿园保教质量。

一、调研与评估1.我们首先对幼儿园实际情况进行了全面调研和评估，从教师素质、教学设施、教学方法等方面进行深入分析，发现了一些问题和不足之处。

这些问题包括教师教育水平不高、教学设施陈旧、教学方法单一等，这些问题直接影响了幼儿园保教质量的提升。

二、改进与优化2.针对调研评估中发现的问题，我们制定了一系列改进与优化措施。

首先是加大对教师的培训力度，提高其专业素质和教学水平；其次是更新和改善教学设施，创造更好的学习环境；最后是探索多元化的教学方法，提高教学效果。

这些措施的实施，有效改善了幼儿园的保教质量。

三、总结与展望3.在工作总结中，我们发现这些改进与优化措施确实取得了显著效果，幼儿园的保教质量明显提升。

但同时也存在一些需要进一步改进和完善的地方。

加强家园合作，增加家长参与度；加大财政投入，改善教学设施等。

展望未来，我们将继续努力，不断提高幼儿园保教质量，为幼儿的健康成长提供更好的教育资源。

四、个人观点和理解我对这个主题的个人观点是，幼儿园保教质量的提升是每个社会成员共同的责任。

只有全社会的共同努力才能让每一个孩子都能够享受到优质的教育资源。

幼儿园保教质量的提升也需要不断探索和创新，尝试新的教学方法和理念，以适应时代的发展和孩子们的成长需求。

总结通过这次工作总结，我们深刻认识到了幼儿园保教质量的重要性，也清晰地看到了提升保教质量的路径和方向。

我们将继续努力，不断改进和优化工作，为幼儿提供更优质的教育资源，助力他们健康成长。

通过以上分析，我们全面地总结了幼儿园保教质量的试验示范区工作，从调研评估、改进优化、总结展望以及个人观点和理解四个方面展开了深入探讨。

高中椭圆双曲线抛物线知识点
1. 哎呀呀，椭圆可是个神奇的家伙呢！就像我们生活里的某些东西，有自己特定的形状和规律。

比如说，你看那个操场的跑道，是不是有点像椭圆呀！在椭圆里，有长半轴和短半轴，这可决定了它的形状呢！
2. 嘿，双曲线也很有意思啊！它就像是两个人要分开得越来越远。

想想看，火箭发射后那轨迹，不就有点双曲线的感觉嘛！它的渐近线更是特别哦。

3. 哇塞，抛物线多好玩呀！你扔个球，那球的轨迹就是抛物线呀！它的开口方向、大小都有讲究呢。

4. 椭圆的焦点呀，可重要啦！就像一场比赛中的关键位置，能决定很多事情。

比如卫星的运行轨道，就是围着椭圆的焦点转呢，是不是很神奇？
5. 双曲线那两支，可真是各有特点呢！感觉就像两个不同性格的人，一个往东一个往西。

你看有些建筑的设计，不就是利用了双曲线的特点嘛。

6. 抛物线的顶点，那可是个关键地方呀！就如同爬山时的山顶。

比如喷水池的水喷出的形状，顶点就是最高处。

7. 椭圆的离心率也很有说头呢！它能反映出椭圆的扁平程度。

这不就像蛋糕做得扁一点还是鼓一点，很形象吧！
8. 双曲线的定义也超酷呀！到两个定点的距离之差的绝对值是定值。

这不就是在找一种特别的关系嘛，你仔细想想呢！
9. 抛物线的方程简单又好用呀！在解决实际问题的时候可厉害啦。

像手电筒的光，就是按照抛物线的规律来的呢！
总之，高中的椭圆双曲线抛物线知识点真的超级重要，好好掌握能帮我们理解好多奇妙的现象呢！。