浙江师范大学高等数学(三)期中试卷

浙江高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.合集，则集合M=" " （）A．{0，1，3}B．{1，3}C．{0，3}D．{2}2.已知复数z满足（i为虚数单位），则z= （）A．-1+3i B．-1-3i C．1+3i D．1-3i3.抛物线y＝－4x2的焦点坐标是 ()A．（0，-1）B．（-1，0）C．（0，）D．（，0）4.在△ABC中，“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（）6.已知是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：①若；②若；③如果相交；④若其中正确的命题是（）A．①②B．②③C．③④D．①④7.已知变量满足约束条件若目标函数仅在点处取到最大值，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8.设的展开式中含的一次项为则（）A．B．C．D．9.分别是双曲线的左、右焦点，是其右顶点，过作轴的垂线与双曲线的一个交点为，是的重心，且，则双曲线的离心率是（）A．2B．C．3D．10.已知函数存在区间，使得函数在区间上的值域为，则最小的值为( )A．36B．9C．4D．1二、填空题1.已知随机变量的分布列如下表所示，的期望，则a的值等于。

0123P2.已知数列是正项等比数列，若，，则数列的前n项和的最大值为．3.在长方形中，设一条对角线与其一顶点出发的两条边所成的角分别是α，β，则有cos2α＋cos2β＝1；类比到空间，在长方体中，一条对角线与从其一顶点出发的三条棱所成的角分别为α，β，γ，则正确的式子是________．4.已知向量＝(2cosα，2sinα)，＝(2cosβ，2sinβ)，且直线2xcosα－2ysinα＋1＝0与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1相切，则向量与的夹角为________．5.设偶函数（的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形（其中K，L为图象与轴的交点，M为极小值点），∠KML=90°，KL＝，则的值为_______6.将甲、乙、丙、丁、戊共五位同学分别保送到北大、清华和人大３所大学，若每所大学至少保送１人，且甲不能被保送到北大，则不同的保送方案共有种（用数字作答）7.正实数及函数满足则的最小值为_____三、解答题1.(本题满分14分）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，，且（1）求的值；（2）若，求bc的最大值.2.（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式； (2)设S n ＝，b n ＝f()＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1，试求T n ，并证明P n <.3.（本小题满分14分）如图，在底面是正方形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥面ABCD ， BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点． （1）求证：BD ⊥FG ；（2）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由． （3）当二面角B —PC —D 的大小为时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值．4.（本小题满分15分）已知椭圆的左焦点是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线轴时，求的值；（2）求的值。

浙江高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为A．B．C．D．2.设集合，，若,，则与集合的关系是( )A．B．C．D．3.函数的图象可能是下列图象中的（）4.“”是“函数在其定义域上为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.从10名大学生中选3个人担任乡村干部，则甲、丙至少有1人入选，而乙没有入选的不同选法的种数为（）A． 85B． 56C． 49D． 286.若变量满足约束条件，，则取最小值时，二项展开式中的常数项为（）A．B．C．D．7.已知两点为坐标原点，点在第二象限，且，设则等于（）A．B．2C．D．18.为抛物线的焦点，为抛物线上三点．为坐标原点，若是的重心,，则＋＋的值为: ( )的面积分别为3A．3B．4C．6D．99.对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。

已知，并且有一个非零常数，使得对任意实数，都有，则的值是（）A．-B．4C．D．10.如图，所在的平面和四边形所在的平面互相垂直，且，，，，．若，则动点在平面内的轨迹是A．椭圆的一部分B．线段C．双曲线的一部分D．以上都不是二、填空题1.三视图如右的几何体的体积为。

2.已知等比数列的各项均为正数，若，前三项的和为21 ，则。

3.如图，是一程序框图，则输出结果为 __ _4.在面积为的正中，分别是的中点，点在直线上，则的最小值是___________。

5.已知是双曲线C：的左焦点，是双曲线的虚轴，是的中点，过的直线交双曲线C于，且,则双曲线C离心率是____6.已知集合，记和中所有不同值的个数为．如当时，由，，，，，得．对于集合，若实数成等差数列，则= ．7.已知，且，则的最大值为三、解答题1.（本题满分14分）在中，的对边分别为且成等差数列.（1）求的值；(2)求的取值范围。

浙江高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.设是三个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．1124.在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．8B．6C．4D．5.函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）A．B．C．D．6.函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．7.已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（）A．B．C．D．8.已知定义在上的函数满足：①；②；③当时，则函数在区间上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题1.已知全集，集合，集合，则；．2.若指数函数的图象过点，则；不等式的解集为．3.数列的前项和为，则；数列的前10项和．4.若，则；．5.已知均为正实数，且，则的最小值为．6.已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若且，则．7.已知为三角形的外心，，若，则的最小值为．三、解答题1.设为等差数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．2.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．3.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离．4.若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．5.二次函数的图象过原点，且对，恒有．设数列满足．（1）求函数的表达式；（2）证明：；（3）证明：．浙江高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵，∴应是充要条件，故选C．【考点】1．三角函数的定义；2．充分必要条件．2.设是三个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】A：，可能的位置关系为相交，平行，故A错误；B：可能在上，可能与斜交，故B错误；C：根据线面垂直的性质，可知C正确；D：，可能的位置关系为相交，平行，异面，故D错误，故选C．【考点】空间中直线平面的位置关系．3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．64B．72C．80D．112【答案】C【解析】根据三视图可该几何体为三棱锥与立方体的组合，如下图所示，故所求体积，故选C．【考点】1．三视图；2．空间几何体的体积计算．4.在各项均为正数的等比数列中，，则（）A．8B．6C．4D．【答案】A【解析】∵等比数列，∴，故选A．【考点】等比数列的性质．5.函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】令，∴，，此时，故选A．【考点】三角函数的性质．6.函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵是上的单调递减函数，∴，故选D．【考点】分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是，将分段函数在上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升．7.已知正的顶点在平面上，顶点在平面的同一侧，为的中点，若在平面上的射影是以为直角顶点的三角形，则直线与平面所成角的正弦值的范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】如图所示，设B到平面，C到平面的射影，D到平面的射影分别为E，F，P，设，，则，由题意可知，，，∴，由，∴，由函数在上单调递减，上单调递增，∴可知，故选B．【考点】立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．8.已知定义在上的函数满足：①；②；③当时，则函数在区间上的零点个数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】当时，，∴，同理可知，当时，，又∵，∴，即的图象关于直线对称，故如下图，画出在上的图象，以及的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A．【考点】1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化．二、填空题1.已知全集，集合，集合，则；．【答案】，．【解析】，∴，．【考点】1．对数的性质；2．集合的运算．2.若指数函数的图象过点，则；不等式的解集为．【答案】，．【解析】设指数函数为且，∴，，即不等式的解集是．【考点】指数函数的性质．3.数列的前项和为，则；数列的前10项和．【答案】，．【解析】当时，，当时，，∴，∴．【考点】1．数列的通项公式；2．数列求和．4.若，则；．【答案】，．【解析】或，当时，，不合题意，舍去，同理当时，，，此时．【考点】1．同角三角函数基本关系；2．三角恒等变形．5.已知均为正实数，且，则的最小值为．【答案】．【解析】，当且仅当即时，等号成立，即的最小值是．【考点】基本不等式求最值．6.已知数列的各项均为正整数，其前项和为，若且，则．【答案】．【解析】∵为奇数，且当是奇数时，是偶数，∴，，中必有两个偶数，一个奇数，若为奇数，，是偶数：，，，，，，，∴从第四项起，数列是以3为周期的数列，而，∴．【考点】1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【思路点睛】本题是以数列为载体来考查归纳分类讨论的能力，解决此类问题除了用到数列定义，通项公式和前项和公式外，还和函数单调性，周期性，不等式的性质，基本不等式联系在一起，解决问题涉及不等式中的比较法，分析法，综合法等，体现了函数与方程，分类讨论，转化与化归等思想方法7.已知为三角形的外心，，若，则的最小值为．【答案】．【解析】∵，∴①，同理②，联立①②，可得，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．【考点】1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．三、解答题1.设为等差数列的前项和，已知．（1）求数列的通项公式；（2）求证：．【答案】（1）；（2）详见解析．【解析】（1）将条件中的式子转化为只与，有关的方程，解出与，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前项和公式首先求出，再利用裂项相消法即可求得新数列的前项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列，，，∴；（2）由（1）可知，，∴，∴．【考点】1．等差数列的通项公式及其前项和；2．裂项相消法求数列的和．2.在中，角所对的边为．已知，且．（1）求的值；（2）当时，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得，的值，再利用三角形面积计算公式即可求得的值．试题解析：（1）∵，∴①，又∵，∴②，联立①②，即可求得，；（2）由（1）结合余弦定理可知，或，由已知易得，∴，∴，．【考点】1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．3.在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，面，，，分别为，的中点．（1）求证：面；（2）求二面角的大小的正弦值；（3）求点到面的距离．【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．【解析】（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取中点，连结，，∵，分别为，的中点，∴可证得，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵平面，平面，∴面；（2）作于点，作于点，连结，易证平面，∴，又∵，，∴平面，∴，∴即为二面角的平面角，在中，；（3）∵，∴．【考点】1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．4.若满足，则称为的不动点．（1）若函数没有不动点，求实数的取值范围；（2）若函数的不动点，求的值；（3）若函数有不动点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）根据条件可知，没有不动点，等价于方程无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得的根所在的区间，即可求得的值；（3）有不动点，等价于有解，从而可知，从而问题进一步等价于关于的一元二次方程至少有一正根，利用韦达定理，即可求解的取值范围．试题解析：（1）由已知可得，问题等价于无实数根，即无实数根，∴，；（2）令，∴，即，令，在上递增，，，，；（3）令，则，又令，从而可得，故问题等价于关于的一元二次方程至少有一正根，若方程有一根为：此时，，，符合题意，若方程的根不为，考虑都为负根，由韦达定理可知，因此方程至少有一正根需，又∵或，∴实数的取值范围是．【考点】1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．5.二次函数的图象过原点，且对，恒有．设数列满足．（1）求函数的表达式；（2）证明：；（3）证明：．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析．【解析】（1）由已知条件可设，在中，令，从而可知，，再根据恒成立，利用判别式是非正数，即可求得的值；（2）利用递推公式，结合初始值，可证明，从而可得；（3）首先由（2）易证，再根据已知条件猜想，利用数学归纳法证明即可求证所证不等式．试题解析：（1）由已知条件可设，在中，令，从而可知，，又∵恒成立，即对任意恒成立，∴，∴；（2）∵，∴，下面用数学归纳法证明对任意，均有，当时，成立，假设时，命题成立，即，当时，，∴当时，命题也成立，故对任意，均有，∴，即；（3）由（2）可知，下面用数学归纳法证明，当时，结论成立，假设假设时，命题成立，即，，∴当时，命题也成立，故对任意，均有，∴，故命题得证．【考点】1．二次函数与数列综合题；2．数学归纳法；3．放缩法证明不等式．【思路点睛】解决数列综合题常见策略有：1．关注数列的通项公式，构造相应的函数，考察该函数的相关性质（单调性、值域、有界性、切线）加以放缩；2．重视问题设问的层层递进，最后一小问常常用到之前的中间结论；3．数学归纳法．。

浙江金华市浙师大附中2025届高三六校第一次联考数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360B ．240C ．150D ．1202．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130分； ②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关； ④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步． 其中正确的个数为（ ） A ．B ．C ．D ．3．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．22C 3D 234．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>5．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω， 2πϕ<）的部分图象如图所示，则,ωϕ的值分别为（ ）A ．2，0B ．2，4π C ．2， 3π-D ．2，6π 6．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10B ．11C ．12D ．137．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．8．设抛物线24y x =上一点P 到y 轴的距离为1d ，到直线:34120l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ） A ．2B ．153C ．163D ．39．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”．如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦至少有2个阳爻的概率是（ ）A ．764B ．1132C ．5764D ．111611．已知集合{2,0,1,3}A =-，{53}B x x =<<，则集合A B 子集的个数为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．3212．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若6PA 2AB =，则球O 的表面积为（ ）A ．163πB ．94π C ．6πD ．9π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江省金华市浙江师大附属东阳花园外国语学校2020-2021学年高三上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合(){}|lg 1A x y x ==+，{}|2B x x =<，则A B =（ ） A ．()1,2-B ．()0,2C ．()2,0-D ．()2,1--2．已知,a b ∈R ，则“||a b >”是“||||a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知实数,x y 满足0124y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，则该不等式组所表示的平面区域的面积为A ．12B ．32C ．2D ．34．设函数1()ln1xf x x x+=-，则函数的图像可能为（ ） A ． B ． C ．D ．5．函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则（ ）A ．()3sin 23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()23sin 23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()3sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()32sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6．如图为一个几何体的三视图，则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为A 17B 15C 13D ．47．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的x D ∈，存在y D ∈，使得()()f x f y =-成立，则称函数()f x 为“呆呆函数”，下列为“呆呆函数”的是（ ） A ．2sin cos cos y x x x =+ B ．2x y = C ．ln x y x e =+D ．22y x x =-8．从1，2，3，…，20中选取四元数组()1234,,,a a a a ，满足 2132433,4,5a a a a a a -≥-≥-≥，则这样的四元数组()1234,,,a a a a 的个数是 A ．49CB ．410CC ．411CD ．412C9．已知函数2()26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[2,]b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值为（ ） A ．25B ．4C ．23+D ．225+10．正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是棱,CD BC 上的动点，且2BF CE =，当三棱锥1C C EF -的体积取得最大值时，记二面角1111,,C EF C C EF A A EF A ------的平面角分别为,,αβγ，则（ ） A ．αβγ>> B ．αγβ>>C ．βαγ>>D ．βγα>>二、双空题11．已知复数z 满足(3)10z i -=，则复数z 的虚部等于_________，复数z 的模等于________．12．在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和是_______，含4x 的项的系数是________.13．已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，若510(),()39E X D X ==，则p =________，(1)P X ==________．14．已知数列{}n a 满足()*1(1)2n n n a n a n N +⋅--⋅=∈，则1a =________；设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的*n N ∈，当5n ≠时，都有5n S S <，则5S 的取值范围为________．三、填空题15．设0b >，21a b -=，则242a a b+的最小值为_________.16．如图，在四边形ABCD 中，1AB CD ==，点,M N 分别是边,AD BC 的中点，延长BA 和CD 交NM 的延长线于不同．．的两点,P Q ，则·()PQ AB DC -的值为_________．17．设a ，b 是正实数，函数()ln f x x x =，()ln 3b g x x a =-+.若存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()00f x g x ≤成立，则ba的取值范围为_________.四、解答题18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos 2sin 0a C c A b B +-=. （1）求B ；（2）若B 为锐角，62sin24A -=，BC 边上的中线长7AD =，求ABC 的面积. 19．已知四棱柱ABCD A B C D ''''-中，底面ABCD 为菱形，2AB =，4AA '=，60BAD ∠=︒，E 为BC 中点，C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点．（1）求证：BD A H '⊥；（2）求直线BD 与平面BCC B ''所成角的正弦值．20．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14a =，()*134n n a S n N +=+∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：89n T <. 21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 且与C 相交于A 、B 两点，当直线l 的倾斜角为4π时，||8AB =． （1）求C 的方程；（2）若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程．22．已知函数()1ln f x x x=-，()g x ax b =+．（1）若函数()()()h x f x g x =-在0,上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）当0b =时，若()f x 与()g x 的图象有两个交点()11,A x y ，()22,B x y ，试比较12x x 与22e 的大小．（取e 为2.8，取ln 2为0.72为1.4）参考答案1．A 【分析】先求集合{}|1A x x =>-，{}|22B x x =-<<，再根据集合交集运算即可得答案. 【详解】解：由于(){}{}|lg 1|1A x y x x x ==+=>-，{}{}|2|22B x x x x =<=-<<， 所以A B ={}{}{}|1|22|12x x x x x x >--<<=-<<.故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题. 2．A 【分析】由||0a b >≥得0a >，所以||||a b >；代入特殊值可判断||||a b >不一定推出||a b >，再由充分条件与必要条件的定义即可判断. 【详解】由||0a b >≥得0a >，所以a a =，故可得||||a b >； 当||||a b >时，取2,1a b =-=-，则||a b >不成立； 故“||a b >”是“||||a b >”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题. 3．B 【详解】分析：首先根据题中所给的不等式组，作出可行域，应用三角形面积公式求得结果. 详解：根据题中所给的约束条件，画出其对应的区域如下图所示：其为阴影部分的三角区，解方程组可以求得三角形三个顶点的坐标分别为(1,0),(2,1),(4,0)， 根据三角形的面积公式可以求得13(41)122S =⨯-⨯=，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式组表示的平面区域的问题，在解题的过程中，首先需要利用题中所给的条件，将区域画出来，分析得到其为三角区，联立方程组求得三角形的顶点坐标，最后应用三角形的面积公式求得结果. 4．B 【分析】根据函数为偶函数排除,A C ，再计算11()22ln 30f =>排除D 得到答案.【详解】 1()ln1xf x x x+=-定义域为：(1,1)- 11()lnln ()11x xf x x x f x x x-+-=-==+-，函数为偶函数，排除,A C 11()22ln 30f => ，排除D 故选B 【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 5．B 【分析】由函数()min 3f x =-A 的值，由()302f =结合0ϕπ<<可求得ϕ的值，再将点5,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭的坐标代入函数()f x 的解析式，求得ω的值，进而可求得函数()f x 的解析式.【详解】由图象可得()min 3f x A =-=-，则3A =，即()()3sin x f x ωϕ=+，()303sin 2f ϕ==，可得3sin 2ϕ=， 由于函数()f x 在0x =附近单调递减，且0ϕπ<<，所以，23ϕπ=， 由于点5,33π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的图象在y 轴右侧的第一个最低点，又5523sin 3333f ππωπ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得52sin 133πωπ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以，523332πωππ+=，解得12ω=.综上所述，()23sin 23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求解正弦型函数的解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 6．A 【分析】画出几何体的直观图，判断两点间距离最大值的位置，求解即可. 【详解】由题意可知，几何体的直观图如下图所示，该几何体是长方体的一部分，该几何体中任一两个顶点间距离的最大值应该是AF 、BD 、BE 中的一个， 且22244423AF AD DE EF =++=++=，22223213BD AB AD =+=+=，22249417BE AD AB DE =++=++=，故选A.【点睛】本题考查三视图的直观图的应用，解题时要根据三视图还原几何体，作出几何体的直观图，并计算出棱长，考查空间想象能力，属于中等题. 7．C 【分析】根据“呆呆函数”的定义可知：函数()f x 的值域关于原点对称，由此逐项判断. 【详解】根据定义可知：()f x 为“呆呆函数”⇔()f x 的值域关于原点对称， A ．2111sin cos cos sin 2cos 2222y x x x x x =+=++1242y x π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭⎣⎦，此时值域不关于原点对称，故不符合； B ．()20,xy =∈∞+，值域不关于原点对称，故不符合；C ．ln x y x e =+，当0x →时，y →-∞，当x →+∞时，+y →∞，所以()ln ,xy x e =+∈-∞+∞，值域关于原点对称，故符合；D ．()[)222111,y x x x =-=--∈-+∞，值域不关于原点对称，故不符合， 故选：C. 【点睛】本题考查新定义函数，涉及到函数值域的分析，主要考查学生的分析理解能力，难度一般. 8．C 【分析】通过假设1122133244354,2,3,4,21x a x a a x a a x a a x a ==--=--=--=-，分析得到满足的()12345,,,,x x x x x 的个数，从而确定出四元数组()1234,,,a a a a 的个数.【详解】因为11a ≥，记111x a =≥，因为213a a -≥，所以2121a a --≥，记22121x a a =--≥， 因为324a a -≥，所以3231a a --≥，记33231x a a =--≥，因为435a a -≥，所以4341a a --≥，记44341x a a =--≥， 因为4211a -≥，记54211x a =-≥， 所以1234512x x x x x ++++=，所以四元数组()1234,,,a a a a 的个数，即为满足条件的()12345,,,,x x x x x 的个数， 又因为12345,,,,1x x x x x ≥且1234512x x x x x ++++=，所以()12345,,,,x x x x x 的个数为：411C （12看成12个1排成一列，会形成11个空位，插入4个隔板隔开，形成5个数），则四元数组()1234,,,a a a a 的个数为411C ，故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的综合应用，其中涉及到数字排列的变换以及隔板法的运用，对学生的分析与转化能力要求较高，难度较难. 9．C 【分析】由函数在[2，]b 上恰好有2个零点可得，可得零点必在区间的端点，讨论零点为2和b 时，解得a 的值，将a 的值代入使得函数值f （b ）0=求出b 的值即可． 【详解】因为函数2())|2|6f x x ax =+--在[2，]b 上恰有两个零点，所以在2x =与x b =时恰好取到零点的最小值和最大值时，实数b 取最小值， 若2x =，()f x 的零点满足f （2）2|222|60a =+--=，解得2a =，或4a =-， 当2a =，2()|22|6f x x x =+--，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点，则f （b ）2|22|60b b =+--=，且2b >，解得2b =（舍)或4b =-（舍)，当4a =-时，2()|42|6f x x x =---且2b >，满足()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点， 则f （b ）2|42|60b b =---=，2b >，所以2|42|6b b --=，即2426b b --=-整理2440b b -+=，解得2b =（舍)，或2480b b --=解得：2b =-)或2b =+综上所述，当2b =+()f x 在[2，]b 上恰好有2个零点．故答案为：223+． 【点睛】本题考查函数的零点和方程根的关系，考查了计算能力，同时考查了转化思想与分类讨论思想的应用，属于难题. 10．A 【分析】设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，列出三棱锥1C C EF -的体积关系式，可知当12a =时，1C C EF V -取得最大值，以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用法向量求出,,αβγ的余弦值，根据余弦值的大小关系可得结果. 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴、DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，CE a =，则22CF a =-，由0222a <-≤，得01a ≤<， 11C C EF C CEF V V --=113CEF CC S =⨯⨯△211211(22)2()32324a a a ⎡⎤=⨯-⨯=--+⎢⎥⎣⎦，所以当12a =时，1C C EF V -取得最大值16. 此时，3(2,0,0),(020),(00)2A C E ，，，，，(1,2,0)F ，11(2,0,2),(0,2,2)A C ， 1(1,,0)2EF =，1(1,0,2)C F =-，1(1,2,2)A F =--，设平面1C EF 的法向量为111(,,)m x y z =，平面1A EF 的法向量为222(,,)n x y z =，则100m EF m C F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111110220x y x z ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，取11x =，则1112,2y z =-=，所以1(1,2,)2m =-，100n EF n A F ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222102220x y x y z ⎧+=⎪⎨⎪-+-=⎩，取21x =则2252,2y z =-=-，所以5(1,2,)2n =--， 取平面CEF 和平面AEF 的法向量为1(0,0,2)AA =， 由图可知，,,αβγ均为锐角，则cos α=11||||||m AA m AA⋅=， ||cos ||||m n m n β⋅==5|14|+-=， 11||cos =||||n AA nAA γ⋅==， 所以cos cos cos αβγ<<，根据余弦函数在(0,)2π内单调递减，可得αβγ>>.故选：A 【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式，考查了二面角的向量求法，考查了运算求解能力，属于中档题.11．1 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由(3)10z i -=，得1010(3)33(3)(3)i z i i i i+===+--+，z∴复数z 的虚部等于1．故答案为：1 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题． 12．32 10 【分析】空1：根据二项式系数之和公式直接求解即可；空2：运用二项式的通项公式直接求解即可. 【详解】空1：在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数之和为：5232=；空2：二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为：251031551()(1)()(1)r r r r r rr r T C x C xx --+=⋅⋅-⋅=⋅⋅-， 当1034r -=时，即2r 时，含4x 的项的系数为：225(1)10C ⋅-=.故答案为：32；10 【点睛】本题考查了二项式展开式二项式系数之和公式，考查了二项式通项公式的应用，考查了数学运算能力.13．13 80243【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可． 【详解】解：由随机变量X 服从二项分布(,)B n p ． 又5()3E X =，1(0)9D X =，所以5310(1)9np np p ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得：13p =，5n =， 所以15,3XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以4151180(1)133243P X C ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭ 故答案为：13；80243【点睛】本题考查了服从二项分布的随机变量的期望及方差的求法，属于中档题． 14．2 ()5,6 【分析】由()*1(1)2n n n a n a n N +⋅--⋅=∈，当1n =时，求出12a =；由112(1)2(1)2n n n n na n a n a na +++--=⎧⎨+-=⎩，可得{}n a 为等差数列，结合当5n ≠时，都有5n S S <，即可求得5S 的取值范围 【详解】1(1)2n n na n a +--=，当1n =时，得12a =由112(1)2,(1)2,n n n n na n a n a na +++--=⎧⎨+-=⎩①②，-①②得212n n n a a a +++=，故{}n a 为等差数列，设公差为d又120a =>，对任意的*n N ∈，当5n ≠时，都有5n S S <，故0d <，5600a a ≥⎧⎨≤⎩， 即240250d d +≥⎧⎨+≤⎩，1225d ∴-<<-，又15535()52a a S a +===1010d +，可得， 510106d <+<，所以，5S 的取值范围为()55,6S ∈故答案为：2；()5,6 【点睛】本题解题关键是根据已知条件判断出数列是等差数列，掌握数列的单调性是解题关键，考查了分析能力和计算能力，属于基础题 15．4 【分析】两次应用基本不等式，242a a b +≥12b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】由题意211a b =+≥，2442a a b +≥=， 当且仅当2142b ba a b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立．故答案为：4． 【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立． 16．0 【详解】如图，连AC ，取AC 的中点E ，连ME ，NE ，则,ME NE 分别为,ADC CAB ∆∆的中位线，所以11,22EN AB ME DC ==, 所以1()2MN ME EN DC AB =+=+．由PQ 与MN 共线， 所以()PQ MN R λλ=∈，故()()()()2PQ AB DC MN AB DC AB DC AB DC λλ⋅-=⋅-=+⋅-22()02AB DC λ=-=．答案：0 点睛：（1）根据题中的AB CD =，添加辅助线是解题的突破口，得到1()2MN DC AB =+是解题的关键，然后根据向量的共线可得()PQ MN R λλ=∈，再根据向量的数量积运算求解． （2）也可利用,MN MA AB BN MN MD DC CN =++=++两式相加得到1()2MN DC AB =+．17．13,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】由区间的表示可知13b a >,令()()()h x f x g x =-，存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()00f x g x ≤成立等价于min ()0h x ≤，求导后判断导数的正负号，即可讨论出函数()h x 在区间,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，即可求出ba的取值范围.【详解】∵存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()00f x g x ≤成立，∴3a b <，0a >得13b a >；令()()()ln ln 3bh x f x g x x x x a =-=-+；∴()ln 1ln ln 1x h x x a a ⎛⎫'=+-=+ ⎪⎝⎭；∵0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，03a x ≥，013x a ≥，令ln 10x a +>，即ax e >时，()h x 递增；3a a x e <<时，()h x 递减；①若a be ，即()11,,3b h x a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦在,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；∴()min ()ln 03b bh x h b b a ⎛⎫==+≤ ⎪⎝⎭，对11,3b a e ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立；②若3a a b e <<，即1,b a e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，()h x 在,3a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先递减后递增；∴min ()ln ln 03a a a ab h x h a e e e e⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，∴03a b e -+≤，3b a e ≤，即13b e a e<， 综上b a 的取值范围为13,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦.故答案为：13,3e ⎛⎤⎥⎝⎦.【点睛】本题结合函数考查不等式的存在性问题，属于难题.将存在0,3a x b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()()00f x g x ≤成立转化为最值()min ()()0f x g x -≤是解本题的关键.18．（1）6B π=或56π；（2【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再根据两角和的正弦公式计算可得； （2）由（1）可知6B π=，再根据二倍角公式求出A ，从而得到C ，在ABC 中，设2AC BC x ==，在ADC 中，利用余弦定理即可求出x ，最后根据面积公式计算可得；【详解】解：（1）在ABC 中，因为cos cos 2sin 0a C c A b B +-=， 由正弦定理得sin cos sin cos 2sin sin 0A C C A B B +-=， 所以()sin 2sin sin 0A C B B +-=，即()sin 12sin 0B B -=， 又因为sin 0B ≠，所以1sin 2B =因为B 是三角形的内角，所以6B π=或56π（2）由（1）知6B π=，因为22cos 12sin 122A A =-=-=⎝⎭50,π,66A A π⎛⎫∈∴= ⎪⎝⎭所以ABC 为等腰三角形，且23C π=，在ABC 中，设2AC BC x ==， 在ADC 中，由余弦定理得222222cos773AD AC DC AC DC x π=+-==，解得1x =所以2AC BC ==，所以1sin 2ABCS AC BC C =⋅⋅【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题；19．（1）证明见解析；（2 【分析】（1）连结A ′C ′、B ′D ′，则A ′C ′⊥B ′D ′，BD ∥B ′D ′，推导出C ′H ⊥平面ABCD ，从而C ′H ⊥平面A ′B ′C ′D ′，B ′D ′⊥C ′H ，进而B ′D ′⊥平面A ′C ′H ，BD ⊥平面A ′C ′H ，由此能证明BD ⊥A 'H ． （2）连结CD ′，则四边形CHC ′D ′是平行四边形，CD ′⊥平面ABCD ，以C 为原点，在平面ABCD 中过C 作CD 的垂线为x 轴，CD 为y 轴，CD ′为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BD 与平面BCC B ''所成角的正弦值． 【详解】解：（1）证明：四棱柱ABCD ﹣A 'B 'C 'D '中，底面ABCD 为菱形， 连结A ′C ′、B ′D ′，则A ′C ′⊥B ′D ′，BD ∥B ′D ′，∵C '在平面ABCD 上的投影H 为直线AE 与DC 的交点， ∴C ′H ⊥平面ABCD ，∵平面A′B′C′D′∥平面ABCD，∴C′H⊥平面A′B′C′D′，∵B′D′⊂平面A′B′C′D′，∴B′D′⊥C′H，∵A′C′∩C′H＝C′，∴B′D′⊥平面A′C′H，∴BD⊥平面A′C′H，∵A′H⊂平面A′C′H，∴BD⊥A'H；（2）解：连结CD′，则四边形CHC′D′是平行四边形，∴CD′⊥平面ABCD，以C为原点，在平面ABCD中过C作CD的垂线为x轴，CD为y轴，CD′为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，﹣2，0），B31，0），B′31，3，C（0，0，0），BB'＝（0，2，3，BC31，0），BD31，0），设平面BCB′的法向量n＝（a，b，c），则302230n BC a bn BB b c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪'+⎩，取a＝1，得n＝（131），设直线BD与平面BCC B''所成角为θ，则2315 sin25BD nBD nθ⋅===⨯⋅∴直线BD 与平面BCC B ''． 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（1）4nn a =；（2）证明见解析【分析】（1）利用公式1n n n a S S -=-结合等比数列的定义可得出数列{}n a 的通项公式； （2）化简得到21244nn n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，利用错位相减法计算得到868994n n n T +=-⨯，得到证明. 【详解】（1）()*134n n a S n N +=+∈，当2n ≥时，134nn aS -=+，两式相减得到14n n a a +=，213416a a =+=，214a a ∴=， 所以，数列{}n a 是以4为首项，以4为公比的等比数列，故4nn a =；（2）2log n n n a b a =，即42nn b n ⋅=，故21244nn n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭.故2111242444n n T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23111112424444n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.相减得到：23412341322222211111224444444444444n n n nn n n T ++⎛⎫=+++++-=+++++- ⎪⎝⎭111112122122684411434433414n n n n n n n n +++⎛⎫⨯- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-=--=- ⎪⨯⎝⎭-， 化简整理得到：86889949n n n T +=-<⨯，得证. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21．（1）y 2＝4x ；（2）x ﹣y ﹣1＝0或x +y ﹣1＝0．【分析】（1）求出焦点坐标，设直线l 的方程为y ＝x ﹣2p，代入y 2＝2px ，通过抛物线的性质求解p ，得到抛物线方程即可；（2）设l 的方程为x ＝my +1（m ≠0），代入y 2＝4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），利用韦达定理，求|AB |，推出l '的方程为2312x y m m=-++，代入y 2＝4x ，设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），求解|MN |，结合A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，推出12AE BE MN ==，然后求解即可． 【详解】解：（1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线l 的方程为y ＝x ﹣2p ，代入y 2＝2px ，得x 2﹣3px +24p ＝0，于是|AB |＝x 1+x 2+p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴C 的方程为y 2＝4x ．（2）由题意知l 与坐标轴不垂直，∴可设l 的方程为x ＝my +1（m ≠0）， 代入y 2＝4x ，得y 2﹣4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4． ∴AB 的中点为D （2m 2+1，2m ），|AB |＝4m 2+4， 又l '的斜率为﹣m ， ∴l '的方程为2312x y m m=-++， 将上式代入y 2＝4x ，并整理得()2244230y y m m+-+=， 设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则()212124,423y y y y m m+=-=-+， 则2121446x x m m m ⎛⎫+=--++ ⎪⎝⎭，∴MN 的中点为222223,E m m m ⎛⎫++- ⎪⎝⎭，(212241m MN y m+=-=， 由于MN 垂直平分AB ，∴A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于12AE BE MN ==，从而222111444AB DE MN +=， 即()()()2222222244121224122m mm m m m m ++⎛⎫⎛⎫+++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得：m 2﹣1＝0，解得：m ＝1或m ＝﹣1， 所求直线l 的方程为x ﹣y ﹣1＝0或x +y ﹣1＝0． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．（1）(],0-∞；（2）2122x x e >.【分析】（1）根据条件得到()0h x '≥对()0,x ∈+∞恒成立，由此得到关于a 的不等式，采用分离常数的方法求解出a 的取值范围；（2） 根据交点坐标列出对应的方程组，用关于12,x x 的式子表示出a ，由此得到关于12,x x 的等式，通过设变量21x t x =得到关于t 的函数，利用导数分析出关于t 的函数的最值，再借助基本不等式以及构造函数()G x 并利用()G x 的单调性分析出12x x 与22e 的关系. 【详解】（1）()()()1ln h x f x g x x ax b x =-=---，则()211h x a x x'=+-，∵()()()h x f x g x =-在0,上单调递增，∴对0x ∀>，都有()2110h x a x x '=+-≥， 即对0x ∀>，都有211a x x ≤+，∵2110x x+>，∴0a ≤， 故实数a 的取值范围是(],0-∞． （2）由题意知1111ln x ax x -=，2221ln x ax x -=， 两式相加得()12121212ln x x x x a x x x x +-=+，两式相减得()21221112ln x x xa x x x x x --=-， 即212112ln 1x x a x x x x +=-，∴()21211212122112ln 1ln x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎪+ ⎪-=++- ⎪ ⎪⎝⎭，答案第17页，共17页 即()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-， 不妨令120x x <<，记211x t x =>，令()()21ln 1t F t t t -=-+()1t >，则()()()2101t F t t t -'=>+， ∴()()21ln 1t F t t t -=-+在1,上单调递增，则()()()21ln 101t F t t F t -=->=+， ∴()21ln 1t t t ->+，则()1221122ln x x x x x x +>，∴()1212212122112ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-， 又()1212121212212ln ln ln x x x x x x x x x x +-<==，∴2>，即1>， 令()2ln G x x x =-，则0x >时，()2120G x x x'=+>，∴()G x 在0,上单调递增，又1ln 210.8512=+≈<，∴1G =>>，即2122x x e >． 【点睛】本题考查导数的综合应用，其中涉及到根据单调性求解参数范围以及双变量转化为单变量等问题，对学生的分析、计算与转化能力要求很高，难度偏难.。

浙江省金华市金华十校2025届高考数学三模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ） A ．b ＝3a B ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a2．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A 3B ．33C ．32D 33．已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．221255x y +=B ．2213616x y +=C ．2213010x y += D ．2214525x y += 4．在ABC ∆中，内角A 的平分线交BC 边于点D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD ∆的面积是（ ） A ．2B 15C ．3D ．35．P 是正四面体ABCD 的面ABC 内一动点，E 为棱AD 中点，记DP 与平面BCE 成角为定值θ，若点P 的轨迹为一段抛物线，则tan θ=（ ） A 2B ．22C 2D ．226．过抛物线C 的焦点且与C 的对称轴垂直的直线l 与C 交于A ，B 两点，||4AB =，P 为C 的准线上的一点，则ABP ∆的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．87．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称8．已知函数()21x f x x-＝，则不等式121()()x x f e f e ﹣﹣＞的解集是（ ）A ．2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(,0)-∞D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭9．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=010．棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，过正方体中两条异面直线AB ，11A D 的中点,P Q 作直线，则该直线被球面截在球内的线段的长为（ ） A ．22B 21C 2D ．111．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．27412．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

浙江师范大学附属中学（金华二中）2019-2020学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，若12PF F ∆，则该双曲线的离心率为（ ）C.1 D. 1【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查基本运算能力及推理能力．2． 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ） A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．3． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．984． 设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）A ．BC ．D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．5． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos （﹣100°）；③tan （﹣100°）；④．其中符号为负的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④6． 直径为6的球的表面积和体积分别是（ ）A ．144,144ππB ．144,36ππC ．36,144ππD ．36,36ππ7． 已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()11f ，处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2-8． 若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数12z z 在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【命题意图】本题考查复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．9． 集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则A B =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e10．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 11．二进制数）（210101化为十进制数的结果为（ ） A ．15 B ．21 C ．33 D ．4112．设集合{}|||2A x R x =∈≤，{}|10B x Z x =∈-≥，则A B =（ ）A.{}|12x x <≤B.{}|21x x -≤≤C. {}2,1,1,2--D. {}1,2【命题意图】本题考查集合的概念，集合的运算等基础知识，属送分题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．如图，在棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，点,E F 分别是棱1,BC CC 的中点,P 是侧面11BCC B 内一点，若1AP 平行于平面AEF ,则线段1A P 长度的取值范围是_________.14．命题：“∀x ∈R ，都有x 3≥1”的否定形式为 ．15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称； ②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1；③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC 的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．16．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+， 则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．三、解答题（本大共6小题，共70分。

浙江师范大学《数学分析》试题答案与评分参考）一、 （21%）计算题（每小题7分，共21分）1. 求1lim(sin 2cos )xx x x →+解 因00sin 2cos 12cos 2sin limlim 21x x x x x xx →→+--==， （3分）故 原式1sin 2cos 1sin 2cos 10lim(1sin 2cos 1)x x x x xx x x +-+-→=++-=2e （7分）2. 求120ln(1)d (2)x x x +-⎰解 11200ln(1)l d ln(1)d (2)2x x x x x +=+--⎰⎰1100ln(1)l d 2(1)(2)x x x x x +⎡⎤=-⎢⎥-+-⎣⎦⎰ 101l ln 2()d 12x x x =-++-⎰[]10ln 2ln(1)ln(2)x x =-+--1ln 23=3. 求d sin 22sin xx x +⎰解 令cos x u =，则2d sin d sin 22sin (1cos )sin x x x x x x x =++⎰⎰2d cos (1cos )(1cos )xx x =++⎰2d (1)(1)u u u =++⎰21111d 811(1)u u u u ⎛⎫=++ ⎪-++⎝⎭⎰12ln 1ln 181u u C u ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦ 12ln(1cos )ln(1cos )81cos x x C x ⎡⎤=--+++⎢⎥+⎣⎦ （7分）二、 （40%）证明题（每小题8分，共40分）1、 设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)可导，且21()d (0)f x x f =⎰证明存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '=.证 由积分中值定理，存在()1,2ξ∈使21()d ()f x x f ξ=⎰（3分）再由21()d (0)f x x f =⎰知()(0)f f ξ=，因函数()f x 在[0,]ξ上连续，在(0,)ξ可导且()(0)f f ξ=，故由洛尔定理知，存在一点(0,2)c ∈，使()0f c '= （8分）2、 设()0f x ''<，(0)0f =，证明对任何10x >，20x >，有1212()()()f x x f x f x +≤+证法1 设22()()()()g x f x x f x f x =+--，则 (0)(0)0g f =-=， 3分）2()()()g x f x x f x '''=+-，因()0f x ''<，故()f x '单调减少，从而由20x >知2x x x +>，2()()f x x f x ''+<，即2()()()0g x f x x f x '''=+-<， 因此22()()()()g x f x x f x f x =+--单调减少.最后，由10x >知，1g()0x <，即11212()()()()0g x f x x f x f x =+--<.（8分） 证法2 不妨设12x x ≤，则在区间[]212,x x x +和[]10,x 分别应用拉格朗日定理，得1212()()()f x x f x f x +--1221[()()][()(0)]f x x f x f x f =+---121[()()]f f x ξξ''=- （3分）这里2121120x x x x ξξ<<≤<<+，最后再由拉格朗日定理知，存在()21,ηξξ∈， 使得1212()()()()f f f ξξξξη'''-=- （6分） 因此1212()()()f x x f x f x +--121121[()()]()()0f f x f x ξξξξη'''=-=-< （8分）3、 设lim 5n n a →∞=，试用定义证明12lim5nn a a a n→∞+++=证 令5n n b a =-，则因lim 5n n a →∞=，故lim 0n n b →∞=，从而0ε∀>，k +∃∈Z ，使得2n b ε<()n k >.记12n n B b b b =+++ ，则由lim0k n B n →∞=知，对上述的ε，1k +∃∈Z 使得2k B n ε<1()n k >且不妨设1k k >. 因此，当1n k >时，12125n n a a a b b b n n ++++++-= 222k B n k n n εεεε-≤+<+=, 表明12lim 5n n a a a n →∞+++= 4、 设()f x 在[0,π]上连续，π0()d 0f x x =⎰，π()cos d 0f x x x =⎰，则在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==.证:0()()d t F t f x x =⎰，则因(0)(π)0F F ==,故应用分部积分得 ππ0()cos d cos d ()f x x x x F x ==⎰⎰πππ00()cos d ()cos ()sin d f x x x F x x F x x x ==+⎰⎰π()sin d F x x x =⎰由积分中值定理，存在()0,πξ∈使π0()sin d ()sin F x x x F ξξ=⎰，因此()0F ξ=，最后由(0)()(π)0F F F ξ===和0πξ<<以及洛尔定理知，存在12,ξξ，使 1()0F ξ'=，2()0F ξ'=且120πξξ<<<. 又因11()()F f ξξ'=，22()()F f ξξ'=,故在(0,π)内至少存在不同的两点12,ξξ，使12()()0f f ξξ==5、 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件()f x a ≤，()f x b ''≤，其中,a b 都是非负常数，c 是(0,1) 内的任一点，证明()22bf c a '≤+. 证：()f x 在[0,1]上具有二阶导数，故存在1(0,)c ξ∈使得211(0)()()(0)()(0)2f f c f c c f c ξ''=+-+- 同理存在2(,1)c ξ∈使得221(1)()()(1)()(1)2f f c f c c f c ξ''=+-+-将上面的两个等式两边分别作差，得 222111(1)(0)()()(1)()22f f f c f c f c ξξ'''-=+-- 即222111()(1)(0)()(1)()22f c f f f c f c ξξ'''=---+因此222111()(1)(0)()(1)()22f c f f f c f c ξξ'''≤++-+ 222(1)22b b ac c ≤+-+而222(1)2212(1)11c c c c c c -+=-+=-+≤，故()22bf c a '≤+（8分） 湖州师院第二届《高等数学》竞赛试卷(专业组)一、 计算题 1、求nnn n n n n ln )ln ln (lim -+∞→的值。

浙江省2021届高三数学上学期期中联考试题一、选择题：每题4分，共40分1. 复数()()1i 2i z =+-〔i 为虚数单位〕，那么||z =〔 〕A ．2B ．1CD2. 双曲线2222x y -=的焦点坐标为〔 〕A ．()1,0± B．()C ．()0,1±D．(0,3. 假设变量,x y 满足约束条件3,30,10,x x y x y ≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩那么2x y -的最小值是〔 〕A ．3-B ．5-C ．3D ．54. 设,a b ∈R ，命题:p a b >，命题:q a a b b >，那么p 是q 的〔 〕 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件()2xxf x e e e =-+，()3sin 2g x x =，以下描述正确的选项是〔 〕A ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数B ．()f g x ⎡⎤⎣⎦是偶函数C ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既是奇函数又是偶函数D ．()f g x ⎡⎤⎣⎦既不是奇函数也不是偶函数6.某锥体的三视图如下图〔单位：cm 〕，那么该锥体的体积〔单位：3cm 〕是〔 〕A ．13B ．12C ．16D ．17. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，那么随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，以下说法正确的选项是〔 〕 A ．E ξ增加，D ξ增加 B ．E ξ增加，D ξ减小 C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小8.函数()()2lg 1f x x x =-+，假设函数()f x 在开区间()(),1t t t R +∈上恒有最小值，那么实数t 的取值范围为〔 〕A ．3111,,2222⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．31,22⎡⎤--⎢⎥⎣⎦9. 如图1，ABC △是以B 为直角顶点的等腰Rt △，T 为线段AC 的中点，G 是BC 的中点，ABE △与BCF △分别是以AB 、BC 为底边的等边三角形，现将ABE △与BCF △分别沿AB 与BC 向上折起〔如图2〕，那么在翻折的过程中以下结论可能正确的个数为〔 〕〔1〕直线AE ⊥直线BC 〔2〕直线FC ⊥直线AE 〔3〕平面EAB ∥平面FGT 〔4〕直线BC ∥直线AE A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个俯视图侧视图正视图图2图1C10. 二次函数()22019f x x x =++图象上有三点()()1,1A m f m --，()(),B m f m ，()()1,1C m f m ++〔m ∈R 〕，那么当m 在实数范围内逐渐增加时，ABC △面积的变化情况是〔〕 A ．逐渐增加 B ．先减小后增加 C ．先增加后减小 D ．保持不变二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11. 设集合{}02A x x =∈<<R ，{}1B x x =∈<R ，那么AB =，()A B =R．12. ()5121ax x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭〔0a ≠〕，假设展开式中各项的系数和为81，那么a =，展开式中常数项为．13. 直线l 的方程为30x y λλ+-=〔λ∈R 〕，那么直线l 恒过定点，假设直线l 与圆22:20C x y x +-=相交于A ，B 两点，且满足ABC △为等边三角形，那么λ=．14. 数列{}n a 满足11a =，13n n a a +-=〔*n ∈N 〕，那么n a =，471034n a a a a +++++=．15. 单位向量e ，平面向量,a b 满足2⋅=a e ，3⋅=b e ，0⋅=a b ，那么-a b 的最小值为．16. 高三年级有3名男生和3名女生共六名学生排成一排照像，要求男生互不相邻，女生也互不相邻，且男生甲和女生乙必须相邻，那么这样的不同排法有种〔用数字作答〕．17. 正实数,a b 满足212100a b a b+++-=，那么2a b +的最大值为．三、解答题：5小题，共74分18. 函数()cos f x x x =-．〔1〕求函数()f x 在,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域；〔2〕在ABC △中，内角A ,B ,C 的对应边分别是a ，b ，c ，假设78663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求a b 的取值范围．19.如图，在三棱锥S ABC -中，SAC △为等边三角形，4AC =，BC =，BC AC ⊥，cos SCB ∠=，D 为AB 的中点． 〔1〕求证：AC SD ⊥；〔2〕求直线SD 与平面SAC 所成角的大小．SDCBA20. 等差数列{}n a 满足1359a a a ++=，24612a a a ++=，等比数列{}n b 的公比1q >，且2420b b a +=，38b a =．〔1〕求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；〔2〕假设数列{}n c 满足4n n n c b =-，且数列{}n c 的前n 项和为n B ，求证：数列n n b B ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和32n T <．21. 抛物线C ：24x y =，A ，B ，P 为抛物线上不同的三点．〔1〕当点P 的坐标为()2,1时，假设直线AB 过抛物线焦点F 且斜率为1，求直线AP ，BP 的斜率之积；〔2〕假设ABP △为以P 为顶点的等腰直角三角形，求ABP △面积的最小值．22. 函数()2x f x e e x=-⋅〔其中e 为自然对数的底数〕． 〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕最新x 的方程()2xmf x e x⋅=有三个实根，求实数m 的取值范围．2021第一学期浙江“七彩阳光〞新高考研究联盟期中联考高三年级数学学科参考答案一、选择题：〔本大题共10小题，每题4分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.〕二、填空题：〔本大题共7小题，双空题每题6分，单空题每题4分，共36分〕 11. {}10<<x x ，{}21≥<x x x 或 12. 32-,10 13. )0,3(，1339± 14. 23-n ，()2209)1(++n n 15. 5 16. 40 17. 9三、解答题：〔本大题共5小题，共74分〕 18.解：()1由题意得()2sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ------------------------3分 5366x πππ≤-≤，所以()[]1,2f x ∈.------------------------6分 ()2由78,663f A f B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得4sin sin 3A B +=， ------------------------.8分4sin sin 3sinB sin Ba Ab B -==413sin B =-,而1sin 13B ≤≤, ...............12分 所以1,33a b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.------------------------14分 19. ()1证明：分别取线段AC 、AB 的中点记为O 、D ，连接SO 、OD ，因为SAC ∆为等边三角形，那么AC SO ⊥， 又OD //BC ，那么AC OD ⊥，O OD SO = ， 那么AC 平面SOD ⊥，所以AC SD ⊥. ------------------------6分()2延长SO ，过D 做SO 延长线的垂线，垂足记为H ，易知DH ⊥平面SA C ， 所以DSH ∠为直线SD 与平面SA C 所成角. ------------------------10分在SBC ∆中，因为cos SDA+cos SDB=0∠∠，求得=6SD ， ------------------------12分又1OD=2DSH=6π∠， 故直线SD 与平面SA C 所成的角为6π. .------------------------15分 20.解：〔1〕na d a a a a a a a a n =∴=∴==∴=++=++14,312,943642531------2分208,20311342=+∴==+q b q b b b b ①821=q b ②由①②得2=q 或21=q (舍〕21=b n n b 2=∴ ------------------------5分〔2〕n n n c 24-=3224341+-⨯=∴+n n n B ---------------------9分)121121(23)12)(12(32211---=--=∴++n n n n n n n B b -----------------13分23)1211(231<--=∴+n n T ----------------------------------15分21.解〔1〕直线AB 方程：1+=x y ，设),(),,2211y x B y x A （ 联立方程⎩⎨⎧=+=yx x y 4120442=--⇒x x 4,42121-==+x x x x . .....................2分⋅--=⋅∴2111x y K K BP AP ⋅--2122x y =424221+⋅+x x =164)(22121+++x x x x 2116484=++-=....................5分（2）设),(),,2211y x B y x A （),22t t P （，，设直线BP 斜率为K 设直线BP 方程)2(-2t x k t y -= 不妨)0(>k联立方程⎩⎨⎧==y x 42t)-k(x t -y 22048422=-+-⇒t kt kx x 211482,42t kt t x k t x -=⋅=+ ....................7分=-+=∴t x k BP 2112t k k -+214同理可得t kk AP ++=∴11142....................9分 由BP AP =得kk k t +-=231....................11分故：222)1(821t k k BP AP S ABP -+==∆16)1(2)1()2(8)1()1()1(8222222222=++≥+++=k k k k k k k k 当且仅当1=k 时取等号，所以ABP ∆面积最小值为16. (15)分22.解：〔1〕22)(ex e x f x+= 0222>+=ex e ex x ......................3分又 0≠x)(x f ∴增区间为()0-，∞，()∞+，0......................5分（2）由题得2)2(xme ex e x x=⋅-有三个实根所以m e ex e x x x =⋅-)2(2有三个非零实根 即m exe xe xx =-)2(有三个非零实根......................7分令)0)(≠⋅==x e x x g t x （)01)('≠⋅+=x e x x g x（）（)(x g ∴在()1--，∞单调递减，），（∞+1-单调递增......................9分 022=--∴m t e t 一个根在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,e 1-，另一个根在()∞+，0；或者一个根等于e 1-，另一个根在⎪⎭⎫ ⎝⎛0,e 1-内〔舍〕 ......................12分令=)(t h m t et --22由⎪⎩⎪⎨⎧<=>-0)0()2(0)1(h eh e h 230e m <<⇔ ......................15分。

浙江师范大学《高等数学》考试卷(2004—2005学年第2学期)考试类别考试 使用学生 初阳 学院 文科04级 考试时间150 分钟 出卷时间2005年 5月 28 日说明:考生应将全部答案都写在答题纸上,否则作无效处理。

一（20分）选择题1．直线122215x y z -++==-与平面430x y z +-=的关系是（ ） A ．直线与平面垂直B ．直线在平面上C ．直线与平面无公共点D ．直线与平面相交于一点 2．22{(,)|1}D x y x y =+≤是2R 中的（ ）A. 闭集B. 开集C. 既是开集又是闭集D. 既不是开集也不是闭集3．设y x y x y x f +-=),(，则=)2,0(df （ ）A. dyB. dxC. dy dx -D. 2dx dy - 4．级数nn +∞=（ ）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性不能确定5．)ln(y x x z +=，则='')2,1(xxf （ ） A.0 B.97 C. 95 D. 313ln + 6．函数)]([)(πππ≤≤-=x x x f 的傅立叶级数在点0=x 和2π=x 分别收敛于（ ）A.0和2/1B.0和0C.2/1-和2/1D.2/1-和07．若广义积分21p x dx +∞-⎰发散，则积分130p x dx -⎰（ ） A ．收敛 B ．发散 C ．可能收敛，可能发散 D ．以上均不对8．若),(y x f 在点),(000y x P 不可微，则下列命题中一定错误的是（ ）A. f 在0P 不连续B. f 在0P 沿任意方向的方向导数不存在C. f 在0P 的两个偏导数都存在且连续D. f 在0P 的两个偏导数都存在且至少有一个不连续9．设区域（σ）为24π≤22x y +≤2π，则()d σσ⎰⎰＝（ ）A ．0B ．2πC ．－2πD ．3π 10．已知2)()(y x ydy dx ay x +++是某个二元函数的全微分，则=a （ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2二．（18分）填空题1．二元函数(,)f x y xy =在)1,1(处的全微分(1,1)|df =①2．若42y x z +=，则(1,1)(,)|z z x y-∂∂∂∂=② 3. 二重极限=++-+∞+∞→)(),(),()(lim y x y x e y x ③4． 三向量,,a b c 的混合积[,,a b c ]的几何意义是④5．设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，则此平面的方程为⑤6．=⎰+∞-dx xe x 1⑥三. （10分）求y x y x z 161222+-+=在闭圆盘}25|),{(22≤+y x y x 上的最值。