常微分Chapter2 Summary

习 题 ２-１判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解： １．0)12()13(2=++-dy x dx x解：13),(2-=x y x P ， 12),(+=x y x Q ，则0=∂∂y P ，2=∂∂x Q ， 所以 xQy P ∂∂≠∂∂ 即 原方程不是恰当方程．２．0)2()2(=+++dy y x dx y x解：,2),(y x y x P += ,2),(y x y x Q -=则,2=∂∂y P ,2=∂∂x Q 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0)22(=-++ydy xdy ydx xdx两边积分得：.22222C y xy x =-+ 3．0)()(=+++dy cy bx dx by ax （a,b 和c 为常数）． 解：,),(by ax y x P += ,),(cy bx y x Q +=则,b y P =∂∂,b x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程 则,0=+++cydy bxdy bydx axdx两边积分得：.2222C cy bxy ax =++ 4．)0(0)()(≠=-+-b dy cy bx dx by ax解：,),(by ax y x P -= ,),(cy bx y x Q -=则,b y P -=∂∂,b x Q =∂∂ 因为 0≠b , 所以xQ y P ∂∂≠∂∂，即 原方程不为恰当方程５．0sin 2cos )1(2=++udt t udu t解：,cos )1(),(2u t u t P += u t u t Q sin 2),(=则,cos 2u t t P =∂∂,cos 2u t x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0cos )sin 2cos (2=++udu udt t udu t两边积分得：.sin )1(2C u t =+ ６．0)2()2(2=++++dy xy e dx y e ye x x x解： xy e y x Q y e ye y x P x x x 2),(,2,(2+=++=，则,2y e y P x +=∂∂,2y e x Q x +=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则,0])2()[(22=++++dy xy e dx y ye dx e x x x 两边积分得：.)2(2C xy e y x =++７．0)2(ln )(2=-++dy y x dx x xy解：,2ln ),(),(2y x y x Q x xy y x P -=+=则,1x y P =∂∂,1x x Q =∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂，即 原方程为恰当方程则02)ln (2=-++ydy dx x xdy dx xy两边积分得：23ln 3y x y x -+.C = ８．),(0)(22为常数和c b a cxydy dx by ax =++解：,),(,),(22cxy y x Q by ax y x P =+=则,2by y P =∂∂,cy x Q =∂∂ 所以 当xQy P ∂∂=∂∂，即 c b =2时， 原方程为恰当方程则0)(22=++cxydy dx by dx ax两边积分得：233bxy ax +.C = 而当c b ≠2时原方程不是恰当方程．９．01222=-+-dt ts s ds t s 解：,),(,12),(22ts s s t Q t s s t P -=-= 则,212t s t P -=∂∂,212t s s Q -=∂∂ 所以xQ y P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：C ts s =-2．10．,0)()(2222=+++dy y x yf dx y x xf 其中)(⋅f 是连续的可微函数．解：),(),(),(),(2222y x yf y x Q y x xf y x P +=+=则,2f xy y P '=∂∂,2f xy x Q '=∂∂ 所以xQy P ∂∂=∂∂， 即原方程为恰当方程,两边积分得：22()f xy dx C +=⎰,即原方程的解为C y x F =+)(22 (其中F 为f 的原积分)．习 题 ２-2. 1. 求解下列微分方程，并指出这些方程在平面上的有意义 的区域:：（１）yx dx dy 2=解：原方程即为：dx x ydy 2= 两边积分得：0,2332≠=-y C x y ．（２）)1(32x y x dx dy += 解：原方程即为：dx xx ydy 321+=两边积分得：1,0,1ln 2332-≠≠=+-x y C x y ．（３）0sin 2=+x y dxdy解： 当0≠y 时原方程为：0sin 2=+xdx y dy两边积分得：0)cos (1=++y x c ．又y=0也是方程的解，包含在通解中，则方程的通解为0)cos (1=++y x c ．（４）221xy y x dxdy+++=； 解：原方程即为：2(1)1dyx dx y=++ 两边积分得：c x x arctgy ++=22， 即 )2(2c x x tg y ++=． （５）2)2cos (cos y x dxdy= 解：①当02cos ≠y 时原方程即为：dx x y dy 22)(cos )2(cos = 两边积分得：2222sin 2tg y x x c --=． ②y 2cos =0，即42ππ+=k y 也是方程的解. （N k ∈） （６）21y dxdyx-= 解：①当1±≠y 时 原方程即为：xdx y dy =-21 两边积分得：c x y =-ln arcsin ． ② 1±=y 也是方程的解.（７）．yxe y e x dx dy +-=- 解．原方程即为：dx e x dy e y xy)()(--=+两边积分得：c e x e y x y ++=+-2222， 原方程的解为：c e e x y x y =-+--)(222.2. 解下列微分方程的初值问题．（１）,03cos 2sin =+ydy xdx 3)2(ππ=y ；解：两边积分得：c yx =+-33sin 22cos ， 即 c x y =-2cos 33sin 2因为 3)2(ππ=y , 所以 3=c .所以原方程满足初值问题的解为：32cos 33sin 2=-x y ．（２）．0=+-dy ye xdx x， 1)0(=y ；解：原方程即为：0=+ydy dx xe x，两边积分得：c dy y dx e x x=+-2)1(2， 因为1)0(=y ， 所以21-=c ， 所以原方程满足初值问题的解为：01)1(22=++-dy y dx e x x ．（３）．r d dr=θ， 2)0(=r ； 解：原方程即为：θd rdr=，两边积分得：c r =-θln ， 因为2)0(=r ， 所以2ln =c ，所以原方程满足初值问题的解为：2ln ln =-θr 即θe r 2=．（４）．,1ln 2yx dx dy+= 0)1(=y ; 解：原方程即为：dx x dy y ln )1(2=+,两边积分得：3ln 3y y x x x c ++-=, 因为0)1(=y ， 所以1=c ，所以原方程满足初值为：3ln 13y y x x x ++-=（５）．321xy dxdyx=+， 1)0(=y ； 解：原方程即为：dx xx y dy 231+=， 两边积分得：c x y ++=--22121， 因为1)0(=y ， 所以23-=c ，所以原方程满足初值问题的解为：311222=++yx ．１． 解下列微分方程，并作出相应积分曲线的简图． （１）．x dxdycos = 解：两边积分得：c x y +=sin ． 积分曲线的简图如下：（２）．ay dxdy=， （常数0≠a ）； 解：①当0≠y 时，原方程即为：dx aydy= 积分得：c x y a +=ln 1，即 )0(>=c ce y ax②0=y 也是方程的解． 积分曲线的简图如下：y（３）．21y dxdy-=； 解：①当1±≠y 时，原方程即为：dx y dy =-)1(2 积分得：c x yy+=-+211ln ，即 1122+-=x x ce ce y ．②1±=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：（４）．n y dx dy =， )2,1,31(=n ； 解：①0≠y 时，ⅰ）2,31=n 时，原方程即为 dx ydyn =， 积分得：c y n x n=-+-111．ⅱ）1=n 时，原方程即为dx ydy=积分得：c x y +=ln ，即)0(>=c ce y x．②0=y 也是方程的解．积分曲线的简图如下：4. 跟踪：设某A 从xoy 平面上的原点出发，沿x 轴正方向前进；同时某B 从点开始跟踪A ，即B 与A 永远保持等距b ．试求B 的光滑运动轨迹．解：设B 的运动轨迹为)(x y y =,由题意及导数的几何意义，则有22yb ydx dy --=，所以求B 的运动轨迹即是求此微分方程满足b y =)0(的解．解之得：222222ln 21y b y b b y b b b x ----++=．5. 设微分方程)(y f dxdy=（2.27），其中f(y) 在a y =的某邻域（例如，区间ε<-a y ）内连续，而且a y y f =⇔=0)(，则在直线a y =上的每一点，方程（2.27）的解局部唯一，当且仅当瑕积分∞=⎰±εa ay f dy)(（发散）． 证明：（⇒）首先经过域1R ：,+∞<<∞-x a y a <≤-ε 和域2R ：,+∞<<∞-x ε+≤<a y a内任一点（00,y x ）恰有方程（2.13）的一条积分曲线， 它由下式确定00)(x x y f dyyy-=⎰. （*） 这些积分曲线彼此不相交. 其次，域1R （2R ）内的所有 积分曲线c x y f dy +=⎰)(都可由其中一条，比如0)(c x y f dy+=⎰ 沿着 x 轴的方向平移而得到。

第二章 基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1） 如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2） 这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3） 事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4） 它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出）， 假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ） 利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理 设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5） 则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明 仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习 题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域 （1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明 首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解 该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解， 因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明 仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习 题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明 对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内， 选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件， 若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明 由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解 显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习 题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=， （2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解 令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ， 代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ， 代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习 题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。

常微分2课后习题答案常微分2课后习题答案在学习常微分2这门课程中，我们不可避免地会遇到一些挑战性的习题。

这些习题旨在帮助我们巩固所学的知识，并提供实践应用的机会。

然而，有时候我们可能会遇到一些难以理解或解答的问题。

在本文中，我将分享一些常微分2课后习题的答案，希望能够帮助大家更好地理解和应用这门课程的内容。

1. 题目：求解方程 dy/dx = 2x + 3解答：这是一个一阶线性常微分方程。

我们可以将它转化为标准形式 dy/dx + P(x)y = Q(x)，其中 P(x) = 0，Q(x) = 2x + 3。

根据一阶线性常微分方程的解法，我们可以通过求解齐次方程 dy/dx + P(x)y = 0 的通解和特解来得到原方程的解。

首先，我们求解齐次方程 dy/dx = 0。

显然，它的通解为 y = C，其中 C 是常数。

接下来，我们寻找特解。

由于 P(x) = 0，我们可以猜测特解为 y = Ax + B，其中 A 和 B 是待定常数。

将这个猜测代入原方程，得到 A = 2，B = 3。

因此，原方程的通解为 y = C + 2x + 3，其中 C 是任意常数。

2. 题目：求解方程 d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = e^(-2x)解答：这是一个二阶常系数齐次线性常微分方程。

我们可以使用特征方程的方法来求解。

首先，我们假设 y = e^(rx) 是方程的解。

将这个解代入方程，得到特征方程r^2 + 4r + 4 = 0。

解这个二次方程，得到 r = -2。

因此，方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中 C1 和 C2 是任意常数。

接下来，我们寻找特解。

由于右侧是指数函数，我们猜测特解为 y = Ae^(-2x)，其中 A 是待定常数。

将这个猜测代入方程，得到 A = 1/9。

因此，原方程的通解为 y = (C1 + C2x)e^(-2x) + 1/9e^(-2x)，其中 C1 和 C2是任意常数。

常微分方程Ordinary Differential Equations 第二讲二阶常系数线性微分方程内容提要 实例 共振模型 非线性模型例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌背景塔科马海峡吊桥是位于美国华盛顿州塔科马的两条悬索桥, 也是华盛顿州16号干线的一部分. 第一条桥于1938年开始建造, 1940年7月1日通车, 但几个星期后桥面便开始出现上下摆动. 于是有关人员在支柱上安装摄录机, 以便观测摆动, 同时也吸引了不少驾车人士慕名而来, 感受其振荡威力带来的刺激. 一些大风的日子, 其桥面摆动幅度甚至可达五英尺之多. 该桥于通车不到五个月后的11月7日便倒塌, 其后重建及另建的新桥分别于1950年及2007年启用.例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌第一条塔科马大桥的通车庆典, 1940年7月1日例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌被风吹扭曲的塔科马大桥例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌塔科马大桥的坍塌, 1940年11月7日例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌被保存在华盛顿历史博物馆的坍塌的塔科马大桥的碎片例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌东行桥西行桥第二条塔科马新大桥(东行桥)的通车庆典, 2007年例塔科马海峡吊桥（Tacoma Narrows Bridge）的坍塌问题塔科马海峡吊桥倒塌的原因是什么?两种说法共振说与非线性效应说二、共振模型在大桥坍塌的50年内, 普遍认为导致桥梁坍塌的原因是共振, 即是由于空气弹性颤振引起的振动. 颤振形成了一个垂直于流动方向的周期性的力作用在大桥上, 使得悬挂在气流中的大桥在这个力的影响下处于强迫振动状态. 当大桥的固有频率与作用力的频率接近或相同时, 就会产生共振现象, 而最终导致了大桥坍塌.1. 建立模型xx (t )如图, 建立坐标系.由胡克定律, 大桥受到弹力f , 与速度成正比的阻力h , 和外力F ,设质量为m , 据牛顿第二定律F =ma ,得22d d =().d d x x m ax k F t t t --+d ,(,).d x f ax h k a k t=-=-是常数平衡位置x =0 , x (t )表示桥面在时刻t 离开平衡处的距离, 正向朝下.二阶常系数线性方程(),y py qy f x '''++=通解结构,*y Y y =+问题2：如何求特解?？方法：待定系数法!问题1：如何求通解?？方法：特征方程法!224=0,=.k a k a r r m m m-++∆特征方程为22d +=0.d x m ax t (1) 无外力, 无阻力12()cos sin sin(),x t C t C t A t λλλϕ=+=+方程的解为2π=,,2π.a m T m a λλ==简谐振动周期22d d ++=0.d d x x m k ax t t (2) 无外力, 有阻力21,240,2,=<0.i)2( k k a k a r m-±-∆>当 即>时1212()e e .r t r tx t C C =+方程的解为+,()0,.t x t →∞→无振动224=0,=.k a k a r r m m m-++∆特征方程为22d d ++=0.d d x x m k ax t t(2) 无外力, 有阻力1112()e e .r t r tx t C C t =+方程的解为+,()0,.t x t →∞→无振动120,2,==<0.2(ii) k k a r r m∆=-当 即=时1,20,2,=i (ii 0i .),k a r αβα∆<<±<当 即时12()e (cos sin )e sin(+).t tx t C t C t A t ααβββϕ=+=方程的解为, +,()0,.t x t →∞→有振动但所以不是周期振动0202(3),()sin d d ++sin d d F t F t x x m ax k F t t tωω==有阻力有外 力 , 0. k =为方便讨论不妨设 此时方程简化为2212(1)0,cos sin sin(),=.r a X C t C t A t mλλλλϕλ+==+=+此时方程对应的齐次方程的特征方程为 于是通解为 22202d +sin , . (1d )F x a x t t m mλωλ==(3),有阻力有外力 (i) ,ωλ≠当时*022(1)sin .()F x t a ωλω-方程的特解为 =022(1)()sin()+sin .()F x t A t t a λϕωλω+-方程的通解为 =22202d +sin , . (1d )F x a x t t m mλωλ== (ii) ,ωλ=当时*0(*)cos .2F x t t m ωω-方程的特解为 =0(1)()sin()cos .2F x t A t t t m λϕωω+-方程的通解为 =强迫振动自由振动3. 解释模型(3), 有阻力有外力 (i) ,ωλ≠当时022(*)()sin()+sin .()F x t A t t a λϕωλω+-方程的通解为 =22202d +sin , . d F x a x t t m mλωλ== 22d d ++=().d d x x m k ax F t t t 022,||.()F a ωλω- 当干扰力的频率与系统的固有频率很接近时振幅可以很大结论强迫振动自由振动(3), 有阻力有外力 22202d +sin , . d F x a x t t m m λωλ== (ii) ,ωλ=当时0(1)()sin()cos .2F x t A t t t m λϕωω+-方程的通解为 =0,2.F t m ω 强迫振动的振幅 随时间的增大而无限增大 导致共振现象的发生结论3. 解释模型22d d ++=().d d x x m k ax F t t t三、非线性模型共振是一种无阻尼的线性现象, 并且共振现象的产生, 需要外力的频率和桥梁振动的频率达到一致. 因此, 共振不应是桥梁解体的主要原因.如果共振不会导致大桥倒塌, 那又会是什么原因呢？新的研究为塔科马海峡大桥坍塌提供了另一种解释. 数学家A.C. Lazer和P.J.McKenna通过建立非线性数学模型, 提出新的理论, 认为非线性效应应该是引起桥剧烈振动的主要因素.考虑到原始的非线性模型是偏微分方程的形式, 我们这里将进行相应的简化, 得到一个非线性常微分方程,且简化后的模型的结果和原有模型的类似.1. 建立模型x x (t )如图, 建立坐标系.考虑悬索桥的一个垂直电缆, 假设它表现为弹簧, 但在拉伸和压缩时弹力系数不同,并且没有阻尼. 设弹力f (x ) 和外力F (t ), 由牛顿第二定律, 质量为m 的桥面满足的运动方程为22d ()().d x m f x F t t+=平衡位置x =0 , x (t )表示桥面在时刻t 离开平衡处的距离, 正向朝下.非线性方程!!,0,()0.,0,ax x f x a b bx x <⎧=<<⎨≥⎩2. 求解模型1,4,1,()3sin 4,(0)0,(0) 1.a b m F t t x x '======假设1()sin 2sin 4.4x t t t =-利用二阶常系数线性微分方程解的求解方法特征根法和待定系数法可以求得方程(2) 的特解为方法当x 不变号时, 该方程为二阶常系数非齐次线性微分方程, 所以可以根据f (x ) 的表达式分区间求解.(i)0x ≥当43sin4,(0)0,(0) 1.(2)x x t x x ''+=⎧⎨'==⎩(0)1x '=初值条件表明桥面最初是向下运动(1) 第一个周期(1) 第一个周期(ii)0x <当(2)根据方程的解得到新的桥面运动的初值问题1( , π()0,2π()30)sin 2sin 44,2,0.x t x x x t t t t ==='-=-<<根据第一步得到的解 可知第一次桥面恢复到平衡位置 的时间此时桥面的运动速度为然后桥面的振动方向向上(ii)0x <当3sin4,ππ()0,() 3.22(3)x x t x x ''+=⎧⎪⎨'==-⎪⎩111()cos sin4.55x t t t =-利用二阶常系数线性微分方程解的求解方法特征根法和待定系数法可以求得方程(3) 的特解为3π , ()0,23π7()0,.2111()cos sin .455,5x t t x x t ==='>-由于 此时桥面第二次恢复到平衡位置此后桥面进入第二个周期开始向下振动(1) 第一个周期(2) 第二个周期类似地, 可以得到桥面在第二个周期内的运动轨迹：613πsin 2sin4,2π,542()131sin sin4,2π3π.55t t t x t t t t ⎧--<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩(3) 第三个周期717πsin 2sin4,3π,542()17π9π3cos sin4,.522t t t x t t t t ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪--<≤⎪⎩区间振幅1.102.30 1.29 2.69 1.483.08π[0,]2π3π[,]223π[,2π]2[2π,3π]7π[3π,]27π9π[,]22平衡点速度－3 1.2－3.4 1.8－3.9 2.2π23π22π3π7π29π2,., ..3π2每个周期长度都是 但在每个周期结束时的速度都比前一周期要快 因此桥面的振幅会随时间的增加而增大从而导致桥面最终解体 这就是引起塔科马吊桥倒塌的一个重因 要原结论43sin4,(0)0,(0) 1.(2)x x t x x ''+=⎧⎨'==⎩3sin4,ππ()0,() 3.22(3)x x t x x ''+=⎧⎪⎨'==-⎪⎩塔科马大桥的坍塌, 1940年11月7日感谢大家的聆听！。

Chapter 2 Second-Order Differential Equations2.1Preliminary Concepts常微分方程式之階數為2或者2以上，為高階常微分方程式(,,','')0F x y y y=3=''y xxy y e-=''cos()x-+=y xy y''4'2y x x x=-is a solution of()6cos(4)17sin(4)y y+= for all real x''1603=is a solution of()cos(ln())y x x x2''5'100x>-+= for0x y xy y++=R x y P x y Q x y S x()''()'()()++=''()'()()y p x y q x y f x2.2 Theory of Solutions of ''()'()()++=y p x y q x y f x''120y x-=''12=y x2⎰⎰===+y y x dx xdx x C'''()12623⎰⎰==+=++()'()(6)2y x y x dx x C dx x Cx KFor any choice of C and K, we can graph the integral curves 3=++as curves in the plane2y x Cx KIf initial conditions (0)3y=，'(0)1y=-y K==(0)33=++()23y x x CxC=-.y x x C'()6=+, this requites that 13y x x x=-+()23The curve passes (0,3) and has slope -1 at this point2.2.1 The Homogeneous Equation ()()"'0y p x y q x y ++= ◆ ''()'()()y p x y q x y f x ++=; 0()y x A =,0'()y x B =When()f x is zero, the resulting equation()()"'0y p x y q x y ++= is called homogeneous◆ A linear combination of solutions ()1y x and ()2y x()()1122c y x c y x +(Thm 2.2)Let ()1y x and ()2y x be solutions of ()()"'0y p x y q x y ++= on an interval I . Then any linear combination of these solutions is also a solution.[Proof]: Let 1c and 2cbe real numbers. Substituting ()()()1122y x c y x c y x =+ into the differential equation, weobtain()()()()()()()()()()()()()11221122112211221122112211112222"'""''"'"'000c y c y p x c y c y q x c y c y c y c y c p x y c p x y c q x y c q x y c y p x y q x y c y p x y q x y +++++=+++++=+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+=because of the assumption that 1y and 2y areboth solutions.(Def 2.1) Linear Dependence, IndependenceTwo functions f and g are linearly dependent on an open interval I if, for some constant c , ()()f x cg x = for all x in I . If f and g are not linearly dependent on an open interval I , then they are said to be linearly independent on the intervalA simple test to tell whether two solutions of equation arelinearly independentDefine the Wronskian of solutions 1y and 2y to be()()()()1212''W x y x y x y y x =-. This is the 22⨯ determinant ()()()()()1212''y x y x W x y x y x =Ex27:()()()()()cos sin sin cos x x W x x x =-()()22cos sin 10x x =+=≠.(Thm 2.4)Let 1y and 2y be linearly independent solutions of()()"'0y p x y q x y ++= on an open interval I . Then, everysolution of this differential equation on I is a linear combination of 1y and 2y()()"'0y p x y q x y ++=; ()0y x A =, ()0'y x B =.()()101202y x c y x c A += ()()101202''y x c y x c B +=Cramer’s Rule()()()202010'Ay x By x c W x -=, ()()()101020'By x Ay x c W x -=2.2.2 The Nonhomogeneous Equation ''()'()()y p x y q x y f x ++= (Thm 2.5)1y and 2y be a fundamental set of solutions of''()'()0y p x y q x y ++= on an open interval I . Let p y be anysolution of equation ''()'()()y p x y q x y f x ++=. Then, for any solution ϕ of equation ''()'()()y p x y q x y f x ++=, there exist numbers 1c and 2c suchthat 1122p c y c y y ϕ=++ [Proof]: Since ϕ and p y are both solutions of equation''()'()()y p x y q x y f x ++=()''''''0p p p p q y py qy f f ϕϕϕ++-++=-=()()()'''0pppy p y q y ϕϕϕ-+-+-=p y ϕ- is a solution of '''0y py qy ++=. 1122p y c y c y ϕ-=+, 1122p c y c y y ϕ=++Exercise L :In each problem, (a) verify that 1y and 2y are solutions of the differential equation, (b) show that their Wronskian is not zero, (c) write the general solution of the differential equation, and (d) find the solution of the initial value problem. 1. ()()''90;30,'31y y y y ππ+=== ()()()()12cos 3,sin 3y x x y x x == {(b) ()()()()cos 3sin 333sin 33cos 3x x W x x ==-(c) ()()12cos 3sin 3y c x c x =+ (d) ()1sin 33y x =-}2. ()()''11'240;01,'04y y y y y ++=== ()()3812,x x y x e y x e --== {(b) 381138538xx xxxe e W e e e-----==--- (c) 3812x x y c e c e --=+ (d) 3812755x xy e e --=-}◆ 高階線性常微分方程式()()()()()()1110....'n n n y a x y a x y a x y R x --++++= 可根據其()R x 是否出現分成兩類()R x 不出現:稱其為齊性方程式(homogeneous equation ) ()R x 出現:稱其為非齊性方程式(nonhomogeneous equation )◆ 求解壹n 階線性非齊性O.D.E.()()()()()()1110....'n n n y a x y a x y a x y R x --++++=有三步驟 (1)求Homogeneous solution h y :()()()()()1110....'0n n n y a x y a x y a x y --++++=之通解 11....h n n y c y c y =++ (其中()1,,0n W y y ≠ ) (2)求Particular solution p y :()()()()()()1110....'n n n y a x y a x y a x y R x --++++= 之任一個特解p y(3) 原O.D.E.之通解為h p y y y =+常見高階線性O.D.E. 可分為3類: (1)高階線性常係數O.D.E.()()10....'n n a y a y a y R x +++=(2)高階等維線性O.D.E.()()10....'n n n a x y a xy a y R x +++=(3)高階一般變係數之線性O.D.E.()()()()()10....'n n a x y a x y a x y R x +++=2.4 The Constant Coefficient Homogeneous Linear Equation 常係數線性常微分方程式：首先考慮2n =時，即求解10'''0y a y a y ++=之通解1. 設解為mx y e =，則得'mx y me =，2''mx y m e =2. 將y ，'y ，''y 代入得：2100m a m a ++=(稱為characteristic equation, 特徵方程式)3. (1). 21040a a ->時，可得兩相異實根1m ，2m 11m x y e =，22m x y e =均為解 ()12,0m x m x W e e ≠ 1212m x m x y c e c e =+(2). 21040a a -=，兩實重根12m m = 11m x y e =要找到兩個滿足線性獨立之解故此時，缺少一個線性獨立解可令12m x y xe = 因()11,0m x m x W e xe ≠ ()112m x y c c x e =+(3). 21040a a -<時，兩共軛複根 1,2m m i αβ=± ()1i xy e αβ+=，()2i xy e αβ-=均為其解()()(),0i x i x W e e αβαβ+-≠ ()()12i xi xy c e c e αβαβ+-=+Ex28：求下列O.D.E之通解：'''4''-3'-180y y y y+= [解]:◆求任意特解()y x，方法有兩種:p(1) 待定係數法(2) 參數變易法◆待定係數法僅適用於常係數線性O.D.ER x之型式如下：待定係數法限制()A（常數），ax e，cos bx，sin bx，x之多項式(表二)()R x ()p y x 之假設型式k A ax eA ax e cos ax cos sin A axB ax + sin axcos sin A ax B ax + 10...n n a x a x a +++ 1-110...n n n n A x A x A x A -++++cos ax e bx or sin ax e bx(cos sin )ax e A bx B bx + 10(...)ax n n e a x a x a +++ 10(...)ax n n e A x A x A +++ 10cos (...)n n bx a x a x a +++10(...)cos n n A x A x A bx +++ 10(...)sin n n B x B x B bx ++++10cos (...)ax n n e bx a x a x a +++ 10(...)cos ax n n e A x A x A bx+++10(...)sin ax n n e B x B x B bx++++Ex29：求下列O.D.E 之通解：3''-'-2x y y y e = [解]:Ex30：求下列O.D.E之通解：''2'-34sin(2)+=y y y t [解]:[解]:1.設齊性解mx h y e ≡，代入得特徵方程式：2-560m m +=, ∴2,3m =故2312x x h y c e c e =+2.利用(表二)，可令3x p y Ae = 得3'3x p y Ae =，3''9x p y Ae = 則代入原式得：33(9-5(3)6)x x A A A e e +=∴330 x x e e = (矛盾)故(表二)之假設方式不適用於本題之()p y x 的求解當()p y x 之假設項與()h y x 所含n 個線性獨立齊性解產生重複時，我們必須做修正結論:當使用待定係數法求p y 時，p y 之假設項中與h y 產生重複，則可乘以()m x (m 為正整數)於p y 之假設項中與h y 產生重複者，其中m 為使其不產生重複之最小正整數[解]:[解]:[解]:參數變易法 (Variation Parameter Method)利用此法求()(1)110()...()'()()n n n y a x y a x y a x y R x --++++=之特解p y ，其主要先決條件為原O.D.E 之相應齊性O.D.E.的n 個線性獨立解已經求得。

第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换习题2.1求下列方程的解 1．xy dxdy2=，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解． 解 分离变量，得到xdx ydy 2=，两边积分，即得C x y ~ln 2+=，因而，通解为 2x Ce y =，这里C 是任意常数．此外，方程还有解0=y ．由10==x y 得1=C ，特解2x e y =．2．0)1(2=++dy x dx y ，并求满足初始条件：1,0==y x 的特解． 解 分离变量，得到12+-=x dx y dy ，两边积分，即得C x y ~1ln 1++-=-，因而，通解为Cx y ++=1ln 1，这里C 是任意常数．此外，1-=x 和0=y 是两条积分曲线．由10==x y 得1=C ，特解11ln 1++=x y ．3．yx xy y dx dy 321++=． 解 分离变量，得到)1(122x x dx y ydy +=+，两边积分，即得C xx y ~1ln )1ln(222++=+，所以得通解222)1)(1(Cx y x =++，这里0>C 是任意正常数．4．0)1()1(=-++xdy y ydx x ．解 分离变量，得到dx xx dy y y +=-11，两边积分，即得C x x y y ~ln ln ++=-，因此得通解C xy y x =+-ln ，这里C 是任意常数．另有特解0=x 和0=y ．5．0)()(=-++dx y x dy x y ．解 变形得x y x y dx dy +-=，这是齐次方程，设x y u =，得dxdu x u dx dy +=，代入原方程得 11+-=+u u dx du xu ，分离变量得 x dx du u u -=++211，两边积分，即得 C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数．6．22y x y dxdy x -+=．解 变形得 21sgn ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x y x x y dx dy ，这是齐次方程，设x y u =，得dx du x u dx dy +=，代入原方程得 21sgn u x dxdux-=，分离变量积分，即得 C x x u +=ln sgn arcsin ，即C x x xy+=ln sgn arcsin． C x u u +-=++ln )1ln(21arctan 2，即C y x x y =++)ln(21arctan 22，这里C 是任意常数． 7．0cot tan =-xdy ydx ．解 分离变量，得到xdx ydy tan cot =，两边积分，即得C x y ~cos ln sin ln +-=，所以通解为C y x =sin cos ，这里0≠C 的任意常数．另有特解πk y =，Z k ∈及2ππ+=k x ，Z k ∈，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为C y x =sin cos ，这里C 是任意常数．8．032=++ye dx dy x y ．解 分离变量，得到dx e e ydy x y32-=，两边积分，即得C e e x y ~3232+-=--，得到通解C eey x=--2323，这里C 是任意常数．9．0)ln (ln =--ydx dy y x x ．解 变形得y y x x dy dx )ln (ln -=，令u y x =，则dydu y u dy dx +=，代入方程并分离变量得，ydy u u du =-)1(ln ，两边积分，即得C y u ~ln 1ln ln +=-，或1ln +=Cy u ，回代原变量有，1ln+=Cy yx ，或1+=Cy ye x ，这里0≠C 的任意常数．另有特解满足01ln =-u ，即ey x =，这只须在通解表达式中允许0=C 即可，故通解为1+=Cy ye x ，这里C 是任意常数．10．y x e dxdy-=． 解 分离变量，得到dx e dy e xy=，积分得C e e xy +=，这里C 是任意常数．作适当的变量变换求解下列方程（11—17） 11．2)(y x dxdy+=． 解 设y x u +=，则dx dy dx du +=1，原方程化为C x u u dxdu+=⇒+=arctan 12，即通解为 C x y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 12．2)(1y x dx dy +=． 解2)(y x dydx+=，由上题，注意到这里的x 和y 相当于上题的y 和x ，得到方程的通解为 C y y x +=+)a r c t a n(，这里C 是任意常数． 13．1212+-+-=y x y x dx dy ． 解 由⎩⎨⎧=+-=+-012,012y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=31,31y x ，令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=,31,31y Y x X 就有Y X Y X dX dY 22--=，这是齐次方程，令X Y u =，有u dXduX dX dY +=，代入方程后分离变量，X dX du u u u =+--)1(2212，得到C X u u ~ln 2)1ln(2+-=+-，回代变量得C y x y xy x =-++-22即为原方程的通解，这里C 是任意常数．14．25--+-=y x y x dx dy ． 解 令u y x =-，则dx du dx dy =-1，代入方程得 27--=u dx du ，分离变量并积分得，C x u u =+-1442，即C y x y xy x =+++-410222为方程的通解，这里C 是任意常数．15．18)14()1(22+++++=xy y x dxdy． 解 变形为2)14(2+++=y x dx dy ，令u y x =++14，则dxdydx du 41+=，代入原方程得942+=u dx du ，分离变量解之得，C x u +=632arctan ，回代原变量并变形化简，得到通解 )14(2)6t a n (3++=+y x C x ，这里C 是任意常数．16．2252622yx xy x y dx dy +-=． 解 变形为232632)2(3)(xxy x y dx y d +-=，令x y u 3=，则原方程化为 1262+--=u u u dx du x ，解之得537)2()3(Cx u u =+-，即153373)2()3(Cx x y x y =+-为方程的通解，这里C 是任意常数．17．yy y x xxy x dx dy -+++=32232332． 解 变形为123132)()(222222-+++=y x y x x d y d ，令⎪⎩⎪⎨⎧==22,yY x X ，原方程变为123132-+++=Y X Y X dX dY ，由⎩⎨⎧=-+=++0123,0132Y X Y X ，得到⎩⎨⎧-==1,1Y X ．设⎩⎨⎧+=-=1,1Y v X u ，则有v u v u dv du 2332++=，再令s v u =，得到dvds v s dv du +=，于是23)1(32+-=s s dv ds v ，解得C v s s =-+65)1)(1(，逐步回代变量，得原方程的通解为C y x y x =--+52222)2)((，这里C 是任意常数．18．证明方程)(xy f dxdyy x =经变换u xy =可化为变量分离方程，并由此求解下列方程： （1）xdy dx y x y =+)1(22；（2）222222y x y x dx dy y x -+=． 证明 令u xy =，则得dx dy x y dx du +=，代入原方程得]1)([+=u f u dxdu x 是变量分离方程．（1）中221)(y x xy f +=，所以)2(2+=u u dxdux，分离变量求解得 C u x u ++=)]2(ln[2arctan224，即得原告方程的通解C y x x xy ++=)]2(ln[2arctan2224．（2）中2222)(u u u f -+=，所以224udx du x -=，分离变量求解得 C x u u +=-ln 43123，即得原告方程的通解 C x y x xy +=-ln 431233． 19．已知0,1)()(0≠=⎰x dt t f x f x，试求函数)(x f 的一般表达式．解 变形后等式两边对x 求导，有 ])(1[])(['='⎰x f dt t f x，即 )()()(2x f x f x f '-=，解得)(21)(C x x f +±=，由1)()1(1=⎰dt t f f ，得0=C ，所以xx f 21)(±=．20．求具有性质)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+的函数)(t x ，已知)0(x '存在．解 因为)0(x '存在，故)(t x 在0=t 连续，即)0()(lim 0x t x x =→．由)()(1)()()(s x t x s x t x s t x -+=+，令0=s 就有)0()(1)0()()(x t x x t x t x -+=，得到0)0(=x ．ss x s x t x t x s t x s x t x s x t x s t x s t x )()()(1)(1)()()(1)()()()(2⋅-+=--+=-+，令0→s 取极限，由于右边的极限为)0()](1[2x t x '+，故左边的极限存在，从而得到函数)(t x 满足的方程， )0()](1[)(2x t x t x '+='，解之得 C t x t x +'=)0()(arctan ，或])0(t a n [)(C t x t x +'=．由0)0(=x ，推出Z k k C ∈=,π，所以])0(tan[)(πk t x t x +'=，Z k ∈．21．求一曲线，使它的切线介于两坐标轴之间的部分被切点分成相等的部分． 解 由习题 1.2—9（4），知曲线)(x f y =应满足的方程0=+'y y x ，即xy dx dy -=，分离变量解之得，C x y ~ln ln +-=，或C xy =为所求的曲线．22．在图（2.1）所示的C R -电路中，设10=E 伏，100=R 欧，01.0=C 法，而开始时电容C 上没有电荷，问：（1）当开关K 合上“1”后，经过多长时间电容C 上的电压5=C u 伏？（2）当开关K 合上“1”后，经过相当长的时间（如1分钟后）开关K 从“1”突然转至“2”，试求C u 的变化规律，并问经过多长时间5=C u 伏？解 （1）由例7，)1(1t RCC eE u --=，将10=E ，100=R ，01.0=C 代入，有)1(10t C e u --=，由)1(105te --=，反解出)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．（2）同样由例7，t RCC Eeu 1-=，代入具体数值有t C e u -=10，由te -=105，同样得到)(6931.02ln s t ≈=，即经过约6931.0秒，电容C 上的电压5=C u 伏．23．求出习题1.2第9题（1）所确定的曲线，其中4πα=．解 由习题1.2—9（1），ααt a n t a n y x x y y -+='，代入4πα=得y x x y y -+='，这是齐次方程，令u x y =，则dx du x u dx dy +=，代入得2211u u dx du x -+=，解出C y x xy++=)ln(arctan 222即为所求曲线．24．证明满足习题1.2第9题（7）所给条件的曲线是抛物线族． 证明 由习题1.2—9（7），0(>='k kx y 常数)，解之得C kx y +=221，这是抛物线族，顶点在),0(C ，对称轴为y 轴．§2.2 线性方程与常数变易法习题2.2求下列方程的解： 1．x y dxdysin +=． 解 首先，求齐次线性方程y dxdy=的通解，从dx y dy =得到齐次方程通解x ce y =，令xe x c y )(=为方程的解，代入得x ex c xsin )(-='，即cx x e x c x ~)co s (si n 21)(++-=-，故原方程的通解为x e c x x y ~)cos (sin 21++-=，其中c ~为任意常数． 2．t e x dt dx 23=+．解 由03=+x dtdx ，解出t ce x 3-=，设t e t c x 3)(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c 5)(='，故c e t c t ~51)(5+=，所以原方程的通解为t t e e c x 2351~+=-，其中c ~为任意常数．3．t t s dt ds 2sin 21cos +-=． 解 由t s dt ds cos -=，解得tce s sin -=，设t e t c s s i n )(-=是原方程的解，代入原方程得，t e t c t 2sin 21)(sin ='，得c t e t c t ~)1(sin )(sin +-=，所以通解为1sin ~sin -+=-t e c x t ，其中c ~为任意常数．4．n x e y x n dx dy n x ,=-为常数．解 由0=-y xndx dy ，解得n cx y =，设n x x c y )(=是原方程的解，代入原方程得，x e x c =')(，即ce x c x ~)(+=，所以通解为n x x c e y )~(+=，这里c ~为任意常数． 5．01212=--+y x xdx dy ． 解 由0212=-+y xx dx dy ，解得x e cx y 12=，设xe x x c y 12)(=是原方程的解，代入原方程得，ce x c e xx c x x ~)(1)(112+=⇒='--，所以通解x e x c x y 122~+=，这里c ~为任意常数．6．234xyy x dx dy +=． 解 原方程即231y x y x dx dy +=，这是2-=n 的Bernoulli 方程，令3y z =，就有，233x z xdx dz +=，解这个一阶线性方程得通解为)ln 3(3c x x z +=，即)ln 3(33c x x y +=，这里c 为任意常数．7．3)1(12+++=x x y dx dy ．解 由12+=x y dx dy ，得2)1(+=x c y ，令2)1)((+=x x c y 为原方程的解，代入原方程得，1)(+='x x c ，即c x x c ~)1(21)(2++=，所以原方程通解为24)1(~)1(21+++=x c x y ，其中c ~为任意常数．8．3y x ydx dy +=． 解 变形为21y x ydy dx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个线性方程．先解对应的齐线性方程x ydy dx 1=，得cy x =，其次把c 看作)(y c ，即设y y c x )(=为变形后方程的解，代入变形后的方程得y dy y dc =)(，得到c y y c ~21)(2+=，从而原方程的通解为y c y x ~213+=，其中c~为任意常数． 9．xx x ay dx dy 1++=． 解 先解xay dx dy =，得a cx y =，设ax x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，11)(++='a x x x c ，即 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=-0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~)11()(a c x x a c x x a a c x a a xx c a ， 所以原方程通解为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+-≠≠+--=0,~ln ,1,~1ln ,0,1,~11a c x x a x c x x a a x c a a x y a ，其中c ~为任意常数． 10．3x y dxdyx =+． 解 先解y dx dy x +，得xc y =，设x x c y )(=为原方程的解，代入原方程得，3)(x x c =' ，即c x x c ~41)(4+=，所以原方程通解为x c x y ~413+=，这里c~为任意常数． 11．33y x xy dxdy =+．解 这是3=n 的Bernoulli 方程，令2-=y z 代入有322x xz dxdz -=，解这个一阶线性方程得通解为122++=x cez x ，即1)1(222=++x ce x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．12．xdy ydx x y =-)2ln (．解 变形为y xy x x dx dy 2ln 2-=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=y z 代入有 x xz x dx dz ln 2+-=， 解这个一阶线性方程得通解为241ln 21cx x z ++=，即1)41ln 21(2=++cx x y 为原方程的通解，这里c 为任意常数．另有特解0=y ．13．dx x y xydy )2(22-=． 解 变形为yy x dx dy 211-=，这是1-=n 的Bernoulli 方程，令2y z =代入有 12-=z xdx dz ，解这个一阶线性方程得通解为2cx x z +=，即22cx x y +=，这里c 为任意常数．14．23x x e dx dy y +=． 解 设u e y=，则dx dy u dx dy e dx du y ==，代入原方程得2213u xu x dx du +=，这是2=n 的Bernoulli 方程，令1-=u z 代入有 213xz x dx dz --=，解这个关于z 的一阶线性方程得通解为3~21xcx z +-=，回代原变量得原方程的通解322)(x e x c y =-，其中c 为任意常数．15．331yx xy dx dy +=． 解 变形为33x y yx dydx +=，把x 看作未知函数，y 看作自变量，对于y 及dy dx 来说，这是一个3=n 的Bernoulli 方程．令2-=x u ，有322y yu dydu--=，解这个一阶线性方程得通解为122+-=-y ce u y ，即得原方程的通解1222+-=--y ce x y ，这里c 为任意常数．16．⎰+=xx dt t y e y 0)(．解 两边求导得一阶线性方程x e y dxdy+=，解之得通解x e c x y )(+=，从原方程知道有初始条件10==x y ，代入通解表达式中得1=c ，故原积分方程的解为xe x y )1(+=．17．设函数)(t ϕ于+∞<<∞-t 上连续，)0(ϕ'存在且满足关系式)()()(s t s t ϕϕϕ=+，试求此函数．解 由于ss t st s t st s t 1)()()()()()()(-⋅=-=-+ϕϕϕϕϕϕϕ，且)0(ϕ'存在，故在该式中令0→s 取极限就有，)0()()(ϕϕϕ'='t t ，解得t ce t )0()(ϕϕ'=．若0)(≡t ϕ，则是解；若)(t ϕ不恒为零，则由)0()()0()(ϕϕϕϕt t t =+=得1)0(=ϕ，由此得1=c ，所以t e t )0()(ϕϕ'=．18．如图所示的L R -电路，试求：（1）当开关1K 合上10秒后，电感L 上的电流；（2）1K 合上10秒后再将2K 合上，求2K 合上20秒后，电感L 上的电流． 解 （1）由Kirchhoff 第二定律得，E dtdIL I R =+1，把101=R ，2=L ，50=E 代入得到微分方程255=+I dtdI，初始条件0=t 时，0=I ．解之得t e I 555--=，当10=t 时，5055--=eI 约为5安培．（2）由Kirchhoff 第二定律得，E dt dILRI =+，其中320201020102121=+⨯=+=R R R R R ，2=L ，50=E 代入得25310=+I dt dI ，初始条件0=t 时，5=I ．解之得)3(25310t e I --=，当20=t 时，)3(253200--=eI 约为7.5安培．19．试求图示的L R -电路电感上电流)(t I 的变化规律，并解释其物理意义，设0=t 时，0=I ．解 由Kirchhoff 第二定律得，E dtdILRI =+，即t L U I L R dt dI m ωsin =+，初始条件为00==t I，求出其通解为)sin(222ϕωω-++=-t L R U ce I m t LR，其中RL ωϕ=tan ，20πϕ<<．由初始条件得，ϕωsin 222L R U c m +=，所以，)]sin([sin 222ϕωϕω-++=-t e L R U I t LR m ．其物理意义是：当t 增大时，第一项逐渐衰减而趋于零（称为暂时电流），事实上很快就消失而不起作用．而第二项就起着重要作用（称为稳定电流）．稳定电流是一个周期函数，其周期与电动势的周期相同，而相角相差ϕ-．20．试证：（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若)(x y y =是（2.3）的非零解，而)(~x y y =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为)(~)(x y x cy y +=，其中c 为任意常数； （3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 证明 （1）设)(1x y y =，)(2x y y =是方程（2.28）)()(x Q y x P dxdy+= 的任意两个解，即)()(11x Q y x P dx dy +=，)()(22x Q y x P dxdy+=，由此得到 ))(()]()([)]()([)(21212121y y x P x Q y x P x Q y x P dxdy dx dy dx y y d -=+-+=-=-，所以)()(21x y x y y -=是齐线性方程（2.3）：y x P dx dy)(=之解． （2）由于)(x y y =是（2.3）的非零解，故)()()(x y x P dxx dy =，而)(~x y y =是（2.28）的解，即)()(~)()(~x Q x y x P dx x y d +=，所以)]()(~)([)()()(~)())(~)((x Q x y x P x y x cP dxx y d dx x dy c dx x y x cy d ++=+=+)()](~)()[(x Q x y x cy x P ++=，所以)(~)(x y x cy y +=是（2.28）的解，其中含有一个任意常数c ，故是方程（2.28）的通解，其中c 为任意常数．（3）设)(1x y y =，)(2x y y =都是方程（2.3）的解，即)()()(11x y x P dx x dy =， )()()(22x y x P dxx dy =， 因此有)]()[()()()())((1111x ky x P x y x kP dxx dy k dx x ky d ===，)]()()[()()()()()()()]()([21212121x y x y x P x y x P x y x P dxx dy dx x dy dx x y x y d ±=±=±=±，所以，方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是（2.3）的解． 21．求解习题1.2第9题（5）和（6）．解 （5）的方程为 2x y x y ='-，或变形为x y xy -='1，这是一阶线性方程． 先解对应的齐次方程y xy 1='，得到cx y =，设原方程的解为)(x xc y =，代入原方程得1)(-='x c ，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为cx x y +-=2，其中c 为任意常数．（6）的方程为 x y x y ='-2，或变形为2121-='y x y ，这是一阶线性方程．同样先解对应的齐次方程y xy 21='，得到x c y =，设原方程的解为x x c y )(=，代入原方程得xx c 21)(-='，即c x x c +-=)(，故所求曲线方程为x c x y +-=，其中c 为任意常数．22．求解下列方程：（1）01)1(2=+-'-xy y x ；（2）0)12()1(322=+--'-x y x y x x ； （3）0sin cos sin 3=--'x y x x y ．解 （1）先解xy y x ='-)1(2，得12-=x cy ，设方程的解为1)(2-=x x c y ，代入方程得)1sgn(1)(2232---='-x x x c ，推出1)(2-+=x c x x y 为原方程的通解（需分1>x ，1-<x 及1<x 三种情形分别求解后再统一），这里c 为任意常数．（2）先解y x y x x )12()1(22-='-，得到12-=x cxy ，设原方程的解为1)(2-=x x x c y ，代入原方程得 1)1()(22---='x x x x c ，即c x x c +-=11)(2，所以原方程的通解为12-+=x cxx y ，这里c 为任意常数．（3）先解0cos sin =-'y x x y ，得到x c y tan =，设原方程的通解为x x c y tan )(=，代入原方程得x x c sin )(='，即c x x c +=co s )(，所以通解x c x y tan sin +-=，这里c 为任意常数．§2.3 恰当方程与积分因子习题2.3验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解： 1．0)2()(2=-++dy y x dx y x ． 证明 y x N y x M 2,2-=+=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程． 改写方程为02)(2=-++ydy xdy ydx dx x ，即0)31(23=-+y xy x d ，得原方程的解为c y xy x =-+2331，其中c 为任意常数． 2．0)4()3(2=---dy x y dx x y ． 证明 )4(,32x y N x y M --=-=，所以xNy M ∂∂==∂∂1，即所给方程是恰当方程． 改写方程为043)(2=--+ydy dx x xdy ydx ，即0)2(23=--y x xy d ，得原方程的解为c y x xy =--232，其中c 为任意常数．3．0])(1[]1)([2222=--+--dy y x x y dx x y x y ．证明 2222)(1,1)(y x x y N x y x y M --=--=，所以x N y x xy y M ∂∂=-=∂∂3)(2，即所给方程是恰当方程．改写方程为 0)(222=+---y dyx dx y x dy x dx y ， 凑为0)()()()(2=-+----y dyx dx y x y x xyd xy d y x ， 即0)ln ln (=-+-y x y x xy d ，得原方程的通解为c y x yx xy=-+-ln ln ，其中c 为任意常数．4．0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy ． 证明 )2(3,)23(22232y y x N x xy M +=+=，所以xNxy y M ∂∂==∂∂12，即所给方程是恰当方程．改写方程为034)(623=+++dy y dx x xdy ydx xy ，即0)3(3422=++y x y x d ，得原方程的解为c y x y x =++34223，其中c 为任意常数．5．0)1sin cos 1()1cos sin1(222=+-++-dy yy x y x x y x dx x y x y y x y ． 证明 由于2221sin cos 1,1cos sin 1yy x y x x y x N xyx y y x y M +-=+-=， 所以，x Ny x y x y x y x y x y x y xy M ∂∂=--+-=∂∂cos sin 1sin cos 13232，即所给方程是恰当方程． 改写方程为01cos sin 222=++-+-dy ydx x y x ydx xdy y x y xdy ydx ， 即0)1cos (sin=-+-y x y x x y d ，得原方程的解为c yx y x x y =-+-1cos sin ，其中c 为任意常数．求下列方程的解：6．0)1(222=+-dy e dx ye x x x ．解 改写方程为02)2(22=-+⋅xdx dy e y dx xe x x ，即0)(22=-x ye d x ，所以得到原方程的通解c x ye x =-22，这里c 为任意常数．7．02)3(2=++xydy dx y e x． 解 由于xy N y e M x2,32=+=，故y xNy y M 2,6=∂∂=∂∂． 因为xN xNy M 2=∂∂-∂∂只与x 有关，所以方程有只与x 有关的积分因子 2ln 22x eexdxx ==⎰=μ，以2x =μ乘方程两边得，0233222=++ydy x dx y x dx e x x，即0)()(223=+xe d x y x d ，故得原方程的通解为c e x x y x x=+-+)22(223，这里c 为任意常数．8．0)1(22=++dy x xydx ．解 改写为0)2(2=++dy dy x xydx ，凑微分得0))((22=++dy dy x x yd ，得原方程的通解c y y x =+2，其中c 为任意常数．9．dx y x xdy ydx )(22+=-． 解 以22y x +除方程两边，有dx yx xdy ydx =+-22，即dx y xd =)(arctan ，得到原方程的通解为c x yx+=arctan，这里c 为任意常数． 10．0)(3=+-dy y x ydx ． 解 改写为dy y xdy ydx 3=-，得ydy yxdy ydx =-2，即)21()(2y d y x d =，所以得到原方程的通解c y y x +=221，或cy y x +=321，其中c 为任意常数． 11．0)1(=+--xdy dx xy y ．解 由x N xy y M =--=,1，得1,1=∂∂-=∂∂x Nx y M ，由于1-=∂∂-∂∂Nx Ny M 与y无关，故方程有只与x 有关的积分因子x dxe e --=⎰=)1(μ，以x e -乘方程两边有，0)1(=+----xdy e dx xy y e x x ，分组得，0])([=--+---dx e dx xye xdy ydx ex x x，凑微分得0])1[(=+-x e xy d ，即得方程的通解为xce xy =+1，这里c 为任意常数．12．0)(2=--xdy dx x y ．解 由x N x y M -=-=,2，得1,1-=∂∂=∂∂xN y M ，由于x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂只与x 有关，故方程有积分因子2)2(1x edxx =⎰=-μ，以21x乘方程两边并组合变形有， dx xxdyydx =-2， 即dx x y d =-)(，得到方程的通解为c x xy-=-，或)(x c x y -=，这里c 为任意常数．13．0)2(=++xdy dx y x ．解 改写为02=++xdy ydx xdx ，显然有积分因子x ，故以x =μ乘方程两边有，0])([222=++dy x x yd dx x ，即0)()31(23=+y x d x d ，得到通解c y x x =+2331，其中c为任意常数．14．0)cos()]sin()cos([=+++++dy y x x dx y x y x x ． 解 改写为 0)sin())(cos(=++++dx y x dy dx y x x ， 即 0)sin())(sin(=+++dx y x y x xd ，或0)]sin([=+y x x d ，所以原方程的通解为c y x x =+)sin(，其中c 为任意常数． 15．0)cos sin ()sin cos (=++-dy x x x y dx x x x y ．解 x x x y N x x x y M c o s s i n ,s i n c o s+=-=，则x x x x y xNsi n cos cos -+=∂∂，x yMcos =∂∂，由于1=-∂∂-∂∂M x Ny M 与x 无关，故方程有积分因子y dy e e =⎰=μ，以y e 乘方程两边并分项组合有，0sin cos )1()cos sin cos (=+-+⋅+-xdy ye xdx y e dy e x x xdx xe xdx e y y y y y ，或写为0)(sin )(sin )1()](cos ))(cos (cos [=+-+++y y y y e xd y x d y e e xd x x xd xdx e ，即0sin )](sin )(sin )[1()cos (=++-+xdy e e xd x d e y xe x d yyyy， 也即0)1(sin )sin ()1()cos (=-+-+y xd e x e d y xe x d y y y ，故0)sin )1(cos (=-+x e y xe x d yy，得到方程的通解为c e x y x x y=-+]sin )1(cos [，这里c 为任意常数．16．0)53()24(3=+++xdy ydx y xdy ydx x ．解 改写方程为 05324342=+++dy xy dx y dy x xydx ，可看出y x 2=μ是一个积分因子，用它乘方程两边有053244352423=+++dy y x dx y x ydy x dx y x ，分项组合就有，0)()(5324=+y x d y x d ，故方程的通解为c y x y x =+5324，其中c 为任意常数．17．试导出方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 分别具有形为)(y x +μ和)(xy μ的积分因子的充要条件．解 设)(y x +μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+++dy y x N y x dx y x M y x μμ是恰当方程 ⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔NM y x xNy M y x d y x d -+∂∂-∂∂-=++)()()()(μμ ⇔NM y x xNy M -+∂∂-∂∂-)()(μ应为y x +的函数)(y x f +． 又设)(xy μ是0),(),(=+dy y x N dx y x M 的积分因子⇔0),()(),()(=+dy y x N xy dx y x M xy μμ是恰当方程⇔xN y M ∂∂=∂∂)()(μμ ⇔xMyN xy xNy M xy d xy d -∂∂-∂∂=)()()()(μμ ⇔)()()(xy xMyN xy xNy M ϕμ=-∂∂-∂∂． 18．设),(y x f 及yf∂∂连续，试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分分子．证明 “⇒”即例4．“⇐” 若方程0),(=-dx y x f dy 有反依赖于x 的积分因子，则)()(x p yfx N y M -=∂∂-=∂∂-∂∂ 仅与x 有关，所以)()()(),(x Q y x p dy x p dy y fy x f +==∂∂=⎰⎰，其中)(x Q 是x 的任意连续函数．从而方程为0)]()([=+-dx x Q y x p dy ，即)()(x Q y x p dxdy+=是线性方程． 19．试证齐次方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 当0≠+yN xM 时有积分因子yNxM +=1μ．证明 将方程两端同乘以N 1，得0=+dy dx N M ，即0)(=+dy dx xy g ． 设xyu =，则ux y =，从而0)(=++xdu udx dx u g ，或0])([=++xdu dx u u g ，这是可分离变量方程，取积分因子])([11u u g x +=μ，则有0])(1[ln =++⎰du uu g x d ，得到通解为c du u u g x =++⎰)(1ln ，其中c 为任意常数．积分因子为yN xM xy N M x Nu u g x N N +=+⋅=+⋅==1][11])([1111μμ，通解可写为c xyd yN xM N x =++⎰)(ln ，c 为任意常数．20．设函数)(u f ，)(u g 连续、可微且)()(u g u f ≠，试证方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．证明 以1)])()([(--=xy g xy f xy μ乘以方程两边，有0)]()([)()(=-+xy g xy f xy dyxy xg dx xy yf ，或0)]()([))((=--+y dy xy g xy f xy xdy ydx xy f ，即0)ln )]()([)((=--⎰y du u g u f u u f d )(xy u =，因而方程0)()(=+dy xy xg dx xy yf 有积分因子1)])()([(--=xy g xy f xy μ．21．假设方程（2.43）中的函数),(,),(y x N y x M 满足关系)()(y Mf x Nf xNy M -=∂∂-∂∂ 其中)(,)(y g x f 分别为x 和y 的连续函数，试证方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．证明 因为yMy g M y M y M M y ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(，xNx f N x N x N N x ∂∂+=∂∂+∂∂=∂∂μμμμμ)()(， 所以0][)]()([)()(=∂∂-∂∂+-=∂∂-∂∂xNy M x Nf y Mg N x M y μμμμ， 即)()(N xM y μμ∂∂=∂∂，从而方程0=+Ndy Mdx μμ是恰当方程，故方程（2.43）有积分因子))()(exp(⎰⎰+=dy y g dx x f μ．22．求出Bernoulli 方程的积分因子． 解 Bernoulli 方程为n y x Q y x P dx dy )()(+= )1,0(≠n ，以ny n --)1(乘方程两边，并令u yu=-1，化为关于dx du u ,的一阶线性方程)()1()()1(x Q n u x P n dxdu-+-=，后者有积分因子⎰--dx x P n e )()1(，从而Bernoulli 方程的积分因子⎰-=--dxx P n ne yn )()1(1μ． 23．设),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，从而求得可微函数),(y x U ，使得)(Ndy Mdx dU +=μ．试证),(~y x μ也是方程（2.43）的积分因子的充要条件是)(),(~U y x μϕμ=，其中)(t ϕ是t 的可微函数． 证明 “⇐”若),(y x μ是方程（2.43）的积分因子，且)(Ndy Mdx dU +=μ，则))(()()()()(~0⎰==+=+=dU U d dU U U Ndy Mdx Ndy Mdx ϕϕϕμμ， 所以c dU U =⎰)(ϕ为（2.43）的通解，故)(),(~U y x μϕμ=亦是方程（2.43）的积分因子，其中)(t ϕ是t 的可微函数．“⇒”设dV Ndy Mdx =+22μμ，则M xV2μ=∂∂，N y V 2μ=∂∂． 由Ndy Mdx dU μμ+=，则M xUμ=∂∂，N y U μ=∂∂，得到yU x UN M y V x V ∂∂∂∂==∂∂∂∂，所以，0=∂∂∂∂∂∂∂∂yU x U yV x V，因而存在函数)(t Φ，使得)(U V Φ=，由此得 ))(())(()(Ndy Mdx U Ndy Mdx U dU U dV +Φ'=+Φ'=Φ'=μμμ )(2N d y M d x+=μ， 得到)()(2U U μϕμμ=Φ'=．24．设),(,),(21y x y x μμ是方程（2.43）的两个积分因子，且21μμ不恒为常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．证明 由于21,μμ是方程（2.43）的两个积分因子，由上题结论)(21U ϕμμ=，其中)(2Ndy Mdx dU +=μ，这里)(t ϕ是t 的可微函数．由于)(21U ϕμμ=不恒为常数，故有)(U ϕ'不恒为零，由此在c U =)(ϕ两边微分得0)()(2=+'Ndy Mdx U μϕ，因此得到，0)(2=+Ndy Mdx μ，所以c U =)(ϕ是方程（2.43）的解，又c U =)(ϕ中含有一个任意常数，故c U =)(ϕ即c =21μμ（任意常数）是方程（2.43）的通解．25．假设第19题中微分方程还是恰当的，试证它的通解可表为c y x yN y x xM =+),(),(（c 为任意常数）． 证明 由于方程是恰当的，故11=μ即是一个积分因子，而由第19题yNxM +=12μ也是积分因子，且yN xM +=21μμ不恒为常数，所以由第24题所证结论，就知道它的通解为c y x yN y x xM =+),(),(，c 为任意常数．§2.4 一阶隐方程与参数表示习题2.4求解下列方程： 1．y y x '+='13． 解 解出31y y x ''+=，设p y ='，方程为31ppx +=，两边对y 求导，有 dydpp p p )23(134+-=， 即dp p p dy )23(23+-=，所以c p pp ++=2232，因此得原方程的通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=c p py pp x 223,11223（p 为参数），c 为任意常数．2．0)1(33='--'y x y ．解 设31t y ='-，则31t y -='，21t t x -=．由dt t tt dx y dy )21)(1(23---='=，得c t t t y ++-=52521，从而通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t tx 522521,1，（t 为参数），c 为任意常数． 3．y e y y ''=2．解 设p y ='，则原方程为pe p y 2=，两边对x 求导有，dxdppep p p)2(+=，即dp e p dx p )2(+=，解得c e p x p ++=)1(，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧=++=ppep y c e p x 2,)1( （p 为参数），c 为任意常数． 4．a y y 2)1(2='+（a 为常数）． 解 解出212y a y '+=，p y ='，则原方程为212pay +=，两边对x 求导有， dx dpp p a p ⋅⋅+-=2)1(222，或dp p a dx 22)1(4+-=，解得c p a papx +-+-=arctan 2122，所以通解为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-+-=2212,arctan 212p a y c p a p ap x （p 为参数），c 为任意常数． 5．122='+y x ．解 设t x cos =，t y sin ='，则由tdt dx y dy 2sin -='=，得c t t y ++-=2s i n 4121，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧++-==c t t y t x 2sin 4121,cos （t 为参数），c 为任意常数． 6．22)2()1(y y y '-=-'．解 令yt y ='-2，则有t t y -=1，所以21t y +='，dt ty dy dx 21-='=，由此解出c tx +=1，于是求得通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=tt y c t x 1,1 （t 为参数），或消去参数t 得c x c x y +--=1，c 为任意常数．习题2.5求下列方程的解：1．1cos sin =+x dx dyx y ． 解 原方程为x y x dx dy sec tan +⋅-=，由y x dxdy⋅-=tan ，得到x c y cos =，设原方程的解是x x c y cos )(=，代入原方程得出x x c 2sec )(='，即c x x c +=tan )(，因此原方程的通解为x c x y cos sin +=，c 为任意常数．2．ydy x xdy ydx 2=-． 解 方程两边同乘以21x ，有ydy xxdy ydx =-2，凑微分得0)21(2=+x yy d ，故得通解c xyy =+221，这里c 为任意常数． 3．1sin 4-=-x e dxdy y ．解 改写为0sin 4=-+xdx dx e dy e yy，两边乘以xe 并凑微分得0)sin 4(=-⎰xdx e e e d x y x ，所以c xdx e e e xy x +=⎰sin 4，即c x x e e e xy x +-=)cos (sin 2，其中c 为任意常数．4．xyx ydx dy -=． 解 这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dxdu x u dx dy +=，代入原方程化为 uuu dx du x-=1． 分离变量求解得，c uux 22ln =+，即2)ln 21(y c y x -=，这里c 为任意常数．5．0)(22=-+dy e x dx y xye yx yx ．解 变形为yxe x y x y dx dy -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2，这是齐次方程．设x y u =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e u dxdux 12-=，分离变量求解得x c e u ln 1=+-，即c e x y x=+ln ，其中c 为任意常数．6．0)1(=-+xdy ydx xy ． 解 变形为02=-=yxdy ydx xdx ，凑微分得0)21(2=+y xy d ，所以原方程的通解为c yxy =+221，其中c 为任意常数． 7．0)2()122(=-++-+dy y x dx y x ．解 变形为2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy ，设u y x =+，则dxdudx dy =+1，代入原方程后得，21-+-=u u dx du ，解之得c x u u +-=+-1ln 3，即c y x y x +++=+1ln 2，这里c 为任意常数．8．32x y x y dx dy +=． 解 这是2=n 的Bernoulli 方程．令1-=y z ，有311xz x dx dz --=，解这个一阶线性方程，得x cxz +=21，即x c x y +=211，这里c 为任意常数． 9．23-+=x y dxdy． 解 先解y dxdy3=，得到x ce y 3=，设原方程的解是x e x c y 3)(=，代入原方程后得，x e x x c 3)2()(--='，所以c e x x c x +--=-3)53(91)(，得到x ce x y 3)53(91+--=是原方程的通解，这里c 为任意常数．10．21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x ．解 设p dxdy=，则p p x +=1，两边对y 求导得dy dp p p )11(12+-=，从中就可解出c p p y +-=ln 212，所以通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=c p p y p px ln 21,12（p 为参数），c 为任意常数．11．312+++-=y x y x dx dy ． 解 改写并分项组合，有0)1()3()(2=+-+=+dx x dy y ydx xdy ，凑微分，得0)21331(22=--++x x y y xy d ， 所以，c x x y y xy =--++2221331是方程的通解，这里c 为任意常数． 12．x y xe dxdy e =+-)1(． 解 原方程即y x xe dx dy +=+1，设u y x =+代入方程得u xe dxdu=，这是分离变量方程．解出c e x u =+-221，即得原方程的通解为c e x y x =++-)(221，这里c 为任意常数．13．02)(22=-+xydy dx y x ．解 设xy N y x M 2,22-=+=，则y x N y y M 2,2-=∂∂=∂∂，x N x Ny M 2-=∂∂-∂∂仅与x 有关，故方程有积分因子2)2(1xedxx =⎰=-μ，用它乘方程两边并分项组合有， 0222=-+x xydy dx y dx ，即0)(2=-x y x d ，所以c xy x =-2，或cx y x =-22是原方程的通解，其中c 为任意常数． 14．1++=y x dx dy． 解 由y dxdy =，解得x ce y =，设原方程的解为x e x c y )(=，代入有xe x x c -+=')1()(，即c ex x c x++-=-)2()(，所以通解为)2(+-=x ce y x ，其中c 为任意常数．15．xy e dx dy x y+=．解 设u x y =，则ux y =，dx du x u dx dy +=，代入化原方程为u e dxdu x =，分离变量解之得c e x u=+-ln ，即c ex xy=+-ln ，其中c 为任意常数．16．y e dxdyx -=++21)1(． 解 分离变量得112+=--x dx e dy y ，两边积分得通解12+=-x c e y，c 为任意常数． 17．0)1()(2=++-dy x y dx y x ．解 改写为1111-+-+=y xxy x dx dy ，这是1-=n 的Bernoulli 方程．设2y z =，则原方程化为一阶线性方程xx z x dx dz +-+=1212，解之得2)1(12+++=x c x z ，因此得原方程的通解为22)1(12+++=x c x y ，这里c 为任意常数．18．0)1(24322=-+dy y x dx y x ．解 )1(2,4322-==y x N y x M ，则y x xN y x y M 226,8=∂∂=∂∂，y M x Ny M 21-=-∂∂-∂∂只与y 有关，故有积分因子yedyy 1)21(=⎰=-μ，用它乘以方程并分项组合有02)24(21213232=-+-dy y dy y x dx y x ，凑微分得，0)434(21233=-y y x d ，所以通解为c y y x =-212333，或c y y x =-)3(3，其中c 为任意常数．19．0422=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy y dx dy x ．解 解出y y x y '+'=2)4(2，设p y ='，则原方程为pp x y 2)4(2+=，两边对x 求导有，dxdpp x p p p )221(2422-++=， 或dp pxdx =，解得cp x =，所以通解为⎪⎩⎪⎨⎧+==)4(2,2p c y cp x （p 为参数）， 或消去参数p ，得2242c x cy +=，c 为任意常数．另外还有042=-p ，或x y 2±=也是解．20．1]1[22=⎪⎭⎫⎝⎛-dx dy y ．解 令t dxdysin =，代入方程有1)sin 1(22=-t y ，即t y sec ±=． 由于dt tdt t t t y dy dx 2cos 1sin tan sec ±=±='=，所以1tan c t x +±=，得到原方程的通解为⎩⎨⎧±=+±=ty c t x sec ,tan 1 （t 为参数）， 消去参数t 得1)(22++=c x y ，其中c 为任意常数．21．0)1()1(=-++dy yxe dx e yx yx ． 解 设u y x =，则yu x =，dy duy u dy dx +=，代入原方程化简得uu e u e dy du y ++-=1，分离变量求解得c y e u u=+)(，即c yex yx=+是原方程的通解，其中c 为任意常数．22．0324223=-+dy yx y dx y x ． 解 设42233,2y x y N y x M -==，则x N y x y M ∂∂=-=∂∂46，故为恰当方程． 由于)()(2),(323y yx y dx y x y x u ϕϕ+=+=⎰，其中)(y ϕ是y 的待定可微函数，再由422423)(3y x y y y x y u -='+-=∂∂ϕ，得到21)(y y ='ϕ，即有y y 1)(-=ϕ，因此得到方程的通解为c y yx y x u =-=1),(32，即322cy y x =-，这里c 为任意常数．23．0)1(2=++-dy y x ydx ．解 变形为dy y xdy ydx )1(2+=-，看出有积分因子21y =μ，用21y =μ乘以方程两边并凑微分得)1()(y y d y xd -=，即得方程的通解是c yy y x +-=1或cy y x =+-12，这里c 为任意常数．24．0)]([22=-+-xdy dx y x x y ．解 变形为dx y x x xdy ydx )(22+=-，看出有积分因子221yx +=μ，用它乘以方程两边并凑微分得)2()(arctan 2x d y x d =，得方程的通解是c x y x +=2arctan 2，或其等价形式)2tan(2c x y x +=，其中c 为任意常数． 25．0=-+x e dxdydx dy． 解 设p dxdy=，则p e p x +=，两边对y 求导有dy dp e p p )1(1+=，即dp e p dy p )1(+=，由此得到c e p p y p +-+=)1(212，所以方程的通解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=ce p p y e p x pp )1(21,2 （p 为参数），c 为任意常数． 26．0)()32(2232=++++dy y x dx y y x xy ． 解 设2232,32y x N y y x xy M +=++=，则x x Ny x x y M 2,222=∂∂++=∂∂，1=∂∂-∂∂N xNy M 与y 无关，所以方程有积分因子x dx e e =⎰=1μ，以之乘方程的两边，分项组合得到0)3()2(2322=++++dy e y dx e y dy e x dx ye x dx xye x xxxx，即。