高等数学1到四章测试

第一章 函数 极限 连续1 填空题：（1）函数()arcsin(1f x =的定义域是 .（2） 设函数1,1,()0,1,x f x x ⎧≤=⎨>⎩ 则()f f x ⎡⎤=⎣⎦ . （3）limx = .（4） ln(1sin )limx x x→∞+= .（5）limx ＝ 。

（6） 已知202sin (2)lim lim 1cos xx x x a x x a x →∞→+⎛⎫= ⎪--⎝⎭，则a = . （7） 已知3lim ln 13ln 2xx a x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则a = . （8）12sin 0lim(13)xx x →+= 。

（9）当0x →时，21x +x 的 阶无穷小。

（10）已知极限223lim 2x x x ab x →-+=-，则a = ，b = 。

（11）当0x →时，122(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小量，则a = 。

（12）当0x →时，1cos(1cos )x --是关于x 的 阶无穷小。

（13）设2,0()sin(),0a bx x f x bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =点连续，则a 与b 满足关系_ _。

（14）若函数1,,()1,,x x a f x x x a x +≤⎧⎪=+⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则a = 。

（15）若函数2cos ,0,(),0,x e xx f x xa x ⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在(,)-∞+∞内连续，则a = 。

（16）函数2222()(1)(1)x x x f x x e +--=--的无穷间断点是_________ ___。

（17）函数2sin(1)()1x f x x -=-的无穷间断点是_________ ___。

（18）若函数2(3)2()x x f x x a++=-有跳跃间断点，则a = ，跳跃间断点为0x = 。

（19）已知013x →=-，则k = 。

高一数学周测试卷（时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{2,1,2}A =-,{|(2)(1)0}B x x x =+-≤，则A B ⋂=（ ）A ．(2,1)-B ．[2,1]-C ．{2,1}-D ．{2,1,2}-2．“2x x >”是“1x <-”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．已知函数()22132f x x +=+，则()3f 的值等于（ ）A ．11B ．2C ．5D ．1-4．已知 1.8log 0.8a =，0.81.8b =，0.80.8c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>5．北京时间2023年2月10日0时16分，经过约7小时的出舱活动，神舟十五号航天员费俊龙、邓清明、张陆密切协同，圆满完成出舱活动全部既定任务，出舱活动取得圆满成功.载人飞船进入太空需要搭载运载火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级020lg p p L p =⨯，其中大于0的常数0p 是听觉下限阈值，p 是实际声压.声压级的单位为分贝()dB ，声压的单位为帕()Pa .若人正常说话的声压约为0.02Pa ，且火箭发射时的声压级比人正常说话时的声压级约大100dB ，则火箭发射时的声压约为（ ）A ．2PaB ．20PaC ．200PaD ．2000Pa6．若函数()()()()()5473,121,1x a x a x f x a x ⎧-+-<⎪=⎨-≥⎪⎩在(),-∞+∞上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ） A ．34,55⎡⎫⎪⎢ B ．3,15⎡⎤⎢⎥ C ．34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．14,25⎛⎫ ⎪ 2⎩⎭A ． B ． C ． D ． A ．a c b >> B ．a b c >> C ．c a b >> D ．b c a >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．下列结论中正确的有（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.16．已知函数()()2lg f x x ax a =+-，给出以下说法： ①若函数()f x 的最小值为0，则2a =-； ②若函数()f x 的定义域为R ，则40a -≤≤； ③若函数()f x 的值域为R ，则4a ≤-或0a ≥；④若2a =，则函数()f x 的单调减区间为(),1-∞-； ⑤若函数()f x 在()2,1--上单调递减，则12a ≤．其中正确说法的个数为 个．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A B B =时，求实数18．化简或计算下列各式：(1)411111336642263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)已知lg 2,lg3a b ==，用a ，b 表示312log 5(3)已知11224a a -+=，求1a a --的值．19．研究表明，过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，因而减少碳排放具有深远的意义．为了响应国家节能减排的号召，2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备．通过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产x （单位：百辆）新能源汽车需另投入成本()C x （单位：万元），且()210100,040,100005014500,40,x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩如果每辆车的售价为5万元，且假设全年内生产的车辆当年能全部销售完．（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润()P x （万元）关于年产量x （百辆）的函数关系式；(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．20．已知指数函数()y f x =，且()129f -=，定义在R 上的函数()()()3f x n g x f x m -+=+是奇函数. (1)求()f x 和()g x 的解析式； (2)若对任意的R t ∈，不等式()()221220g t g t kt +++<恒成立，求实数k 的取值范围.21．已知幂函数()()231824m m f x x m -+-=∈N 在()0,∞+上单调递增.(1)求m 的值和函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()14820x x f f +-+>.22．已知函数44()log (1)log (3)f x x x =++-．(1)求f (x )的定义域及单调区间．(2)求f (x )的最大值，并求出取得最大值时x 的值．(3)设函数4()log [(2)4]g x a x =++，若不等式f (x )≤g (x )在(0,3)x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围．。

第一单元 函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为 。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、 选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ） Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值； Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值； Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在； Ｄ 如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（ ） .Ａ ln(2)x -； Ｂ 22x -； Ｃ 242x y x -=-； Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（ ）Ａ 2 ； Ｂ 1 ； Ｃ 0 ； Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=． 二、填空题5． 函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、 解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ； （2）221241lim 232x x x x →-+-； （3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解 （1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++； （2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ； （2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ； （2）314x →=； （3）x →∞=0； （4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩； 固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额． 解 （1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章 自测题一、 选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（ ）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（ ）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（ ）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（ ）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（ ）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（ ）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（ ）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（ ） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（ ）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则． 二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为 ． 解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间 上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ． 解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

迄今为止最全，最适用的高一数学试题（必修1、4）（特别适合按14523顺序的省份）必修1 第一章 集合测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．下列选项中元素的全体可以组成集合的是 （ ） A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是 （ ）5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=∅ B. }0{⊆∅ C. }0{⊇∅ D. }0{∈∅ 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14} 又,,B b A a ∈∈则有 （ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8.集合A ={1，2，x }，集合B ={2，4，5}，若B A Y ={1，2，3，4，5}，则x =（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5MNAMNBNMCMND9.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ）A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ， 6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ）A.B. B A IC. B C A C U U ID. B C A C U U Y11.设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-=Z I 则，≤≤ ( )A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，， D ．{}1012-，，， 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ）A ．0B ．0 或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．用描述法表示被3除余1的集合 ． 14．用适当的符号填空：（1）∅ }01{2=-x x ； （2）{1，2，3} N ； （3）{1} }{2x x x =； （4）0 }2{2x x x =． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{aba ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M . 三、解答题(共4小题，共44分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 已知集合}71{<<=x x A ，集合}521{+<<+=a x a x B ，若满足 }73{<<=x x B A I ，求实数a 的值．19. 已知方程02=++b ax x ．（1）若方程的解集只有一个元素，求实数a ，b 满足的关系式； （2）若方程的解集有两个元素分别为1，3，求实数a ，b 的值20. 已知集合}31{≤≤-=x x A ，},{2A x y x y B ∈==，},2{A x a x y y C ∈+==，若满足B C ⊆，求实数a 的取值范围．必修1 函数的性质一、选择题：1.在区间(0，＋∞)上不是增函数的函数是（ ）A ．y =2x ＋1B ．y =3x 2＋ 1C ．y =x2D ．y =2x 2＋x ＋1 2.函数f (x )=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞］上是增函数，在区间(－∞，－2)上是减函数，则f (1)等于 （ ）A ．－7B ．1C ．17D ．253.函数f (x )在区间(－2，3)上是增函数，则y =f (x ＋5)的递增区间是 （ ）A ．(3，8)B ．(－7，－2)C ．(－2，3)D ．(0，5) 4.函数f (x )=21++x ax 在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0，21) B ．( 21，＋∞) C ．(－2，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)5.函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，且f (a )f (b )＜0，则方程f (x )=0在区间[a ，b ]内 （ ）A ．至少有一实根B ．至多有一实根C ．没有实根D ．必有唯一的实根6.若q px x x f ++=2)(满足0)2()1(==f f ，则)1(f 的值是 （ ）A 5B 5-C 6D 6-7.若集合}|{},21|{a x x B x x A ≤=<<=，且Φ≠B A I ，则实数a 的集合（ ）A }2|{<a aB }1|{≥a aC }1|{>a aD }21|{≤≤a a8.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(－∞，5)上单调递减，对任意实数t ，都有f (5＋t ) ＝f (5－t )，那么下列式子一定成立的是 （ ） A ．f (－1)＜f (9)＜f (13) B ．f (13)＜f (9)＜f (－1) C ．f (9)＜f (－1)＜f (13) D ．f (13)＜f (－1)＜f (9) 9．函数)2()(||)(x x x g x x f -==和的递增区间依次是 （ ）A ．]1,(],0,(-∞-∞B ．),1[],0,(+∞-∞C ．]1,(),,0[-∞+∞D ),1[),,0[+∞+∞10．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围 （ ） A ．a ≤3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥311. 函数c x x y ++=42，则 （ ）A )2()1(-<<f c fB )2()1(->>f c fC )2()1(->>f f cD )1()2(f f c <-<12．已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=-，且在区间[0,4]上是减函数则（ ）A ．(10)(13)(15)f f f <<B ．(13)(10)(15)f f f <<C ．(15)(10)(13)f f f <<D ．(15)(13)(10)f f f <<.二、填空题：13．函数y =(x －1)-2的减区间是___ _．14．函数f （x ）＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[－2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，－2]时是减函数，则f （1）＝ 。

第一章 函数与极限1. 设)(x f 的定义域是（0，1），则)(lg x f 的定义域是________。

2. 设)(x f 的定义域是[0，4]，则)(2x f 的定义域是________。

3. 设x x f ln )(=，x x arcsin )(=ϕ，则)]([x f ϕ的定义域是________。

4. 设)(x f 的定义域是(0,1)，则)1(2x f -的定义域是_________。

5. 函数)12arccos()(-=x x f 的定义域用区间表示为_____________。

6. 函数xx x f -=1)(的定义域用区间表示为____________。

7. )(log log )(22x x f =的定义域是____________。

8. 的定义域，求设)(12)(2x f xx x f --=。

9 设，求的定义域f x x xf x ()lg ()=+256。

10. 设，求的定义域f x x xf x ()arctan ()=-+2512。

11. ,2||)1(110==-++===x a y x y x f a y 及满足条件，设.)(y x f 及求12. 时，且当设 2)(1=-=x x t f x y ，)(5222x f t t y ，求+-=。

13. z x f x z y y x f y x z 及求时且当设　)( , , 0 , )(2==-++=。

的值奇偶性决定于非奇非偶函数；偶函数；奇函数； ）是（　函数a D C B A a xa xa x f )()()()()0(ln)(.14>+-=15)(2003)(.33，则此函数是，，设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤--=x x x x x f 周期函数。

有界函数；　偶函数；奇函数；)()()()(D C B A非负函数。

非奇非偶函数；偶函数；奇函数； 是（ ）内的任意函数，则，是定义在设)()()()()()()()(.16D C B A x f x f x f --∞+-∞17. ()是，则下式中必定成立的，若∞=∞=→→)(lim )(lim 0x g x f x x x x [][]．，． ．． ． )0()(lim ; 0)()(lim ;0)()(lim ; )()(lim 000≠∞=≠==-∞=+→→→→k x kf D c x g x f C x g x f B x g x f A x x x x x x x x 18. 下列叙述不正确的是( )的积是无穷大量。

第十一章 无穷级数测试题一、单项选择题一、单项选择题 1、若幂级数1(1)nn n a x ¥=+å在1x =处收敛，则该幂级数在52x =-处必然( ) (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散;(D) 收敛性不定.2、下列级数条件收敛的是(). (A) 1(1);210nn nn ¥=-+å (B) 131(1);n n n-¥=-å(C) 111(1)();2nn n ¥-=-å(D) 113(1).n n n¥-=-å3、若数项级数1nn a¥=å收敛于S ，则级数()121nn n n aa a ¥++=++=å() (A) 1;S a + (B) 2;S a + (C) 12;S a a +-(D) 21.S a a +- 4、设a 为正常数，则级数21sin 3n na n n ¥=éù-êúëûå( ). (A) 绝对收敛; (B) 条件收敛; (C) 发散; (D) 收敛性与a 有关. 5、设2(),01f x x x =<≤，而1()sin π,n n S x b n x x ¥==-¥<<+¥å，其中102()sin π,(1,2,)n b f x n x n ==ò，则1()2S -等于() (A) 1;2- (B) 1;4- (C) 1;4(D) 12.二、填空题二、填空题 1、 设14nn u¥==å，则111()22n n n u ¥=-=å() 2、 设()111n n n a x ¥+=-å的收敛域为[)2,4-，则级数()11nn n na x ¥=+å的收敛区间为() 3、 设32,10(),01x f x x x -<ì=í<î≤≤，则以2为周期的傅里叶级数在1x =处收敛于( ) 4、 设2()π,ππf x x x x =+-<<的傅里叶级数为()01cos sin ,2n n n a a nx b nx ¥=++å则3b =()5、级数()1(1)221!n n n n ¥=-+å的和为( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求级数()113;3nnn x n ¥=-×å的收敛域的收敛域2、求()21112n n n ¥=-×å的和的和 3、将函数()2()ln 12f x x x =--展开为x 的幂级数，并求()(1)0n f +4、求2012!nn n n x n ¥=+å的和函数的和函数 5、 已知()n f x 满足1()()e n x n n f x f x x -¢=+，n 为正整数，且e (1)nf n=，求函数项级数()1n n f x ¥=å的和函数.6、 设有方程10nx nx +-=，其n 中为正整数，证明此方程存在唯一正根0x ，并证明当1a >时，级数1n n x a¥=å收敛. 四、证明题四、证明题设π4tan d nn a x x =ò（1） 求()211n n n a a n ¥+=+å （2） 试证：对任意常数0l >，级数1n n a nl¥=å收敛收敛提示：()()2111n n a a n n n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n na an ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n n l l ¥¥+==<åå第十一章 无穷级数测试题答案与提示一、1、A ；2、D ；3、B ；4、C ；5、B. 二、二、1、1；2、()4,2-；3、32；4、2π3；5、cos1sin1-. 三、三、1、答案：[)0,6.2、答案：53ln 284-提示：原式为级数()211n n x n¥=-å的和函数在12x =点的值. 而()22221121211nn nn n n x x xn n n ¥¥¥====--+-ååå,分别求出2121n n x n ¥=-å和2121n n x n ¥=+å的和函数即可.3、答案：11(1)211(),,122n n n n f x xx n +¥+=--éö=Î-÷ê+ëøå()1(1)(1)20!1n nn f nn ++--=×+. 提示:()()()2()ln 12ln 12ln 1f x x xx x =--=-++4、答案：222011e 1,2!42x n n n n x x x x n ¥=æö+=++--¥<<+¥ç÷èøå 提示：()2011112!1!2!2n nn n n n n n nx x x n n n ¥¥¥===+æöæö=+ç÷ç÷-èøèøååå， 而()1011e ,e 1!!xn x n nn x x x n n ¥¥====-åå5、答案：()()[)1e ln 1,1,1xn n f x x x ¥==--Î-å提示：先解一阶线性微分方程，求出特解为()e xn x f x n=()111e e x xn n n n x x f x n n ¥¥¥=====ååå，记1()n x S x n¥==å，则可得()ln(1)S x x =--6、提示:设()1n n f x x nx =+-,则()()0,0n f x x ¢>>,故()n f x 在()0,+¥内最多有一个正根.而(0)10,(1)0nn f f n =-<=>,所以有唯一正根0x .由方程10n x nx +-=知,110nx x nn-<=<,故当1a > 时，级数1nn x a ¥=å收敛.四、提示：()()2111n n a a nn n ++=+，()2111n n n a a n¥+=+=å.因为211n n a a n ++=+,所以111n a n n <<+,1111nn n a n nl l ¥¥+==<åå第十章 曲线积分与曲面积分测试题一、单项选择题一、单项选择题1、已知()()2d d x ay x y y x y +++为某二元函数的全微分，则a 等于( ) (A) 1;- (B) 0; (C) 1;(D) 2. 2、设闭曲线c 为1x y +=的正向，则曲线积分d d cy x x yx y-++ò的值等于() (A) 0; (B) 2; (C) 4; (D) 6. 3、设S 为封闭柱面()22203x y az +=≤≤，其向外的单位法向量为{}c o s ,c o s,c o s n a b g =，则()cos cos cos d x y z s a b g S++òò等于( ) (A) 29π;a (B) 26π;;a (C) 23π;a(D) 0. 4、设曲线c 为22220x y z a x y z ì++=í++=î，则d c x s ò等于( ) (A) 23;a (B) 0; (C) 2;a(D) 213a . 5、设S 为下半球222z a x y =---的上侧，W 是由S 和0z =所围成的空间闭区域，则d d z x y åòò不等于()(A) d ;v W -òòò(B) 2π220d d aa r r r q -òò;(C) 2π22d d ;aa r r r q--òò(D) ()d d z x y x y å++òò.二、填空题二、填空题1、设c 是圆周222x y a +=，则()2d cx y s -=ò() 2、设质点在力()()32F y x i y x j =++-的作用下沿椭圆2244x y +=的逆时针方向运动一周，则F 所做的功等于() 3、设S 是平面6x y z ++=被圆柱面221x y +=所截下的部分，则d z s åòò等于() 4、设S 是球面2221x y z ++=的外侧，则()23222d d xy z xy zS++òò等于() 5、设22()d ()d 1cxf x y x f x yx -++ò与路径无关，其中()f x ¢连续且(0)0f =，则()f x =( ) 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()()xysin d cos d LI e y b x y x e y ax y éù=-++-ëûò，其中,a b 为正常数，L 为从点()2,0A a 沿曲线22y ax x =-到点()0,0O 的弧.2、计算2d LI y s =ò，其中L 为圆周22220x y z a x y z ì++=í++=î.3、在变力F y z i z x j x y =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a bc++=上第一卦挂线的点(),,M x h z ，问,,x h z 取何值时，力F 所做的功W 最大？并求出W 最大值.4、设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分，点(),,P x y z S Î，π为S 在点P 处的切平面，(),,x y z r 为点()0,0,0O 到平面π的距离，求()d ,,Sz s x y z r òò.5、求d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S=++òò，其中S 为曲面()221014y z xx =--≤≤的上侧.6、设对于半空间0x >内任意光滑有向闭曲面S ，都有，，都有，2()d d ()d d e d d 0x Sxf x y z xyf x z x z x y --=òò，其中函数()f x 在()0,+¥内具有连续的一阶导数，且0lim ()1x f x +®=，求()f x . 答案：()e ()e 1xxf x x=-提示：由题设和高斯公式得提示：由题设和高斯公式得220()d d ()d d e d d ()()()e d xxSxf x y z xyf x z x z x y xf x f x xf x v W¢éù=--=±+--ëûòòòòò由S 的任意性，知2()()()e 0xxf x f x xf x ¢+--=，解此微分方程即可.四、证明题四、证明题 已知平面区域(){},0π,0πD x y x x =≤≤≤≤，L 为D 的正向边界，试证：的正向边界，试证：（1）sin sin sin sine d e d e d e d y x y xLLx y y x x y y x ---=-òò；（2）2sin sin 5πe d e d 2y x Lx y y x --ò≤第十章 曲线积分与曲面积分测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、A ；4、B ；5、B. 二、二、1、3πa -；2、4π-；3、63π；4、4π3；5、211x +.三、三、1、答案：23ππ222I a b a æö=+-ç÷èø. 提示：添加从()0,0O 沿0y =到点()2,0A a 的有向直线段1L ，然后用格林公式. 2、答案：32π3I a =. 提示：利用变量“对等性”22231d d d d 3L L L LI y s x s z s a s ====òòòò.3、答案：,,333a b c x h z ===m a x 39W a b c =.提示：直线段:,,OM x t y t z t x h z ===，t 从0变到1，功W 为120d d d 3dOM W yz x zx y xy z t t xhz xhz =++==òò 再求W xhz =在条件2222221x y z a b c++=下的最大值即可.4、答案：、答案：()3d π,,2Szs x y z r =òò.提示：曲面S 在点(),,P x y z 处的法向量为{},,2x y z ，切平面方程为：022xyX Y zZ ++=， 点()0,0,0O 到平面π的距离()12222,,44x yx y z zr -æö=++ç÷èø.5、答案：d d 2d d 3d d πI xz y z zy z x xy x y S=++=òò.提示：添加曲面1S 为平面xoy 上被椭圆()221014y x x +=≤≤所围的下侧，在S 和1S 所围封闭曲面上用高斯公式. 注意到在1d d 2d d 3d d I xz y z zy z x xy x y S =++òò的积分等于3d d Dxy x y òò为0.6、提示：、提示：（1） 左边=()ππsinsinsin sin 0π0πed πed πe +e d yxx xy x x ---=òòò，同理，，同理，右边=()πsin sin 0πe+e d xx xx -ò（2） 由（1）得s i n s i n ed ed yxLx y y x --ò=()πsin sin 0πe+ed x xx -ò，而由sin ex 和sin ex-泰勒展开式知道式知道()π20π2sin d x x +ò≤()πsin sin 0πe +e d x x x -ò，而()π2205π2sin d π2x x +=ò.第九章 重积分测试题一、选择题一、选择题1、若区域D 是xoy 平面上以(1,1)，(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域，1D 是D 在第一象限中的部分，则(cos sin )Dxy x y dxdy +=òò(). (A) 12cos sin D x ydxdy òò;(B) 2cos sin Dx ydxdy òò(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +òò(D) 0 2、设(,)f x y 连续，且(,)(,)d d Df x y xy f x y x y =+òò，其中D 是xoy 平面上由20,y y x ==和1x =所围区域，则(,)f x y 等于().(A) xy ;(B) 2xy ; (C) 1xy + ; (D) 18xy +3、设2222222123cos d d ,cos()d d ,cos()d d ,DDDI x y x y I x y x y I x y x y =+=+=+òòòòòò其中(){}22,1D x y xy =≤+，则(). (A) 321I I I >>;(B) 123I I I >>; (C) 213I I I >> ; (D) 312I I I >> 4、设空间闭区域W 由2221x y z ++≤及z 0≤确定，1W 为W 在第一挂限的部分，则( ). (A) 1d 4d x v x v WW =òòòòòò; (B)1d 4d y v y v WW =òòòòòò;(C)1d 4d z v z v WW =òòòòòò; (D) 1d 4d xyz v xyz v WW =òòòòòò5、设空间闭区域(){}2222,,2z x y zx y x yW =-≤≤+-，d I z v W=òòò，则下列将I化为累次积分中不正确的是( ). (A) 222π120d d d r r I r r z z q -=òòò; (B) π2π224000d d cos sin d I q j r j r j r =×òòò; (C) 12221πd π(2)d I z z z z z =+-òò;(D) 22222112004d d d y x y x yI x y z z --++=òòò二、填空题二、填空题1、设区域D 为222x y R +≤，则2222d d D x y I x y a b æö=+ç÷èøòò的值等于() 2、设(){}22,1D x y xy=≤+，则2221lim ln(1)d d πx y r Dex y x yr-®++òò的值等于() 3、积分222d e d yx I x y -=òò的值等于() 4、积分2222222()d x y z R I f x y z v ++=++òòò≤可化为定积分0()d Rx x j ò，则()x j 等于() 5、积分22221()d x y z I ax by v ++=+òòò≤的值等于() 三、计算与应用题三、计算与应用题 1、求()22d d DI x y y x y =++òò，其中D 是由圆224x y +=和22(1)1x y ++=所围的平面区域.2、求{}22max,ed d x y DI x y =òò，其中(){},1,1D x y x y =≤≤≤≤00.3、计算22()d I x y z v W =++òòò，其中W 由曲线220y zx ì=í=î绕z 轴旋转一周而成的旋转曲面与平面4z =所围的立体.4、计算()d I x z v W=+òòò，W 由22x y z +=及224x y z --=确定.5、计算112111224d e d d e d yyyyx x y I y x y x =+òòòò.6、设有一高度为()h t （t 为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程222()()()x y z h t h t +=-（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130cm 的雪堆全部融化需多少小时？的雪堆全部融化需多少小时？四、证明题四、证明题设函数()f x 在[]0,1上连续，并设1()d f x x A =ò，证明11201d ()()d 2xI x f x f y y A ==òò.第九章 重积分测试题答案与提示一、一、1、A ；2、D ；3、A ；4、C ；5、B. 二、二、1、22222πR 4x y a b æö+ç÷èø；2、1；3、()411e 2--；4、224π()x f x ；5、()224π+15a b . 三、三、 1、答案：()163π-29I =.提示:将D 看成两个圆域的差，再考虑到奇偶对称性，利用极坐标计算便可. 2、答案：e 1I =-提示：为确定{}22max ,x y ，必须将D 分成两个区域，再考虑到积分次序的选取问题即可. 3、答案：256π3I =提示:旋转曲面的方程为222x y z +=,用柱面坐标计算22π2242002d d ()d r I r r r z z q =+òòò即可.4、答案：π8I =. 提示:d 0x v W=òòò,ππ122400d 4d d cos sin d z v q j r j r j r W=×òòòòòò.5、答案：3e e 82I =-. 提示：交换积分次序. 6、答案：100t =小时小时提示：先利用三重积分求出雪堆的体积222()31()()2πd d d ()4h t x y h t h t zV zx y h t éù+-ëû==òòò≤； 再求出雪堆的侧面积2222221()21313ππ1d d ()12xy x y h t S z z x y h t +=++=òò≤；由题意d 0.9d V S t=-，所以d ()13d 10h t t =-，解出()h t 并令其等于0，则可得结果.四、提示：交换积分次序，四、提示：交换积分次序，并利用11111d ()()d d ()()d d ()()d 2yxy f x f y x x f x f y y xf x f y y ==òòòòòò.第八章 多元函数微分法及应用测试题一、选择题一、选择题1、已知函数()f x 在[]1,1-上连续,那么sin cos ()x y f t dt x ¶=¶ò(). (A)(sin )(cos )f x f y - (B)(sin )cos (cos )sin f x x f y y - (C) (sin )cos f x x ; (D) (cos )sin f y y2、在矩形域00:,D x x y y d d -<-<内，(,)(,)0x y f x y f x y =º是(,)f x y c º（常数）的（的（）. (A) 充要条件；充要条件； (B)充分条件；充分条件； (C) 必要条件; (D).既非充分又非必要条件既非充分又非必要条件 3、若函数(,)f x y 在区域D 内的二阶偏导数都存在，则（内的二阶偏导数都存在，则（） （A ） (,)(,)xy yx f x y f x y =在D 内成立；内成立； （B ）(,),(,)x yf x y f x y 在D 内连续； （C ） (,)f x y 在D 内可微分；内可微分； （D ）以上结论都不对）以上结论都不对 4、42002lim 3x y xyx y ®®+的值为（ ） (A)¥ ； (B) 不存在；不存在； (C) 23；(D) 0. 5、设有三元函数ln e 1xzxy z y -+=，据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在此邻域内该方程（）. （A ）只能确定一个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =；（B ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),y y x z =； （C ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),z z x y =和(),x x y z =； （D ）可确定两个具有连续偏导的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =.二、填空题二、填空题1、设(,)cos()(1)arctan2xy x f x y e x y yp=+-,则(1,1)x f 的值为（ ）. 2、设(,)f x y 具有连续偏导数，且(1,1)1,(1,1),(x yf f a f b ¢¢===，令[]{}(),,(,)x f x f x f x x j =，则(1)j ¢的值为（ ）. 3、设2(,,)xf x y z e yz =，其中(,)z z x y =是由0x y z xyz +++=确定的隐函数，则(0,1,1)x f ¢-=（ ）.4、曲线222320x y z x y z ì++=í-+=î在点()1,1,1M 处的切线方程为（ ）.5、函数22223326u x y z xy x y z =++++--在点()0,0,0O 处沿（ ）方向的方向导数最大？）方向的方向导数最大？ 三、三、 计算和应用题计算和应用题 1、设()()3222cos d 1sin 3d axy y x x by x x y y-+++为某一函数(,)f x y 的全微分，求a 和b 的值的值2、设()()ky x g y x y x f z +++-=,，g f ,具有二阶连续偏导数，且0º/¢¢g ，如果222222242fy z y x z x z ¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶，求常数k 的值. 3、在椭球2222221x y z a b c++=内嵌入一中心在原点的长方体,问长宽高各是多少时长方体的体积最大?4、设(,)y g x z =，而z 是由方程(,)0f x z xy -=所确定的,x y 的函数，求d d zx5、设),(y x f 有二阶连续偏导数, ),(),(22y x e f y x g xy+=, 且))1((1),(22y x o y x y x f +-+--=, 证明),(y x g 在)0,0(取得极值取得极值, ,判断此极值是极大值还是极小值极大值还是极小值, , 并求出此极值并求出此极值. .6、设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy 坐标面，其底部所占的区域为(){}22,75D x y xy xy =≤+-，小山的高度函数为22(,)75h x y x y xy =--+（1） 设()000,M x y 为区域D 上一点，问(,)h x y 在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为00(,)g x y ，试写出00(,)g x y 的表达式.（2） 现利用此小山开展攀岩活动，为此需在山脚下寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，试确定攀登起点的位置. 四、证明题四、证明题设(,)F u v 可微，试证曲面(,)0x a y b F z c z c--=--上任一点处的切平面都通过定点上任一点处的切平面都通过定点. .第八章 多元函数微分法及应用测试题答案与提示一、一、1、C ；2、A ；3、D ；4、B ；5、D.二、二、1、πe 2-；2、23(1)a b b b +++；3、1；4、111101x y z ---==-；5、326ogradu i j k =--. 三、三、1、答案：2,2a b ==-.提示：提示：利用xy yx f f ¢¢¢¢=这一条件. 2、答案：1k =-.提示: g f f xz ¢+¢+¢=¶¶21，g k f f yz ¢+¢+¢-=¶¶21，g f f f x z ¢¢+¢¢+¢¢+¢¢=¶¶221211222，g k f f f yz ¢¢+¢¢+¢¢-¢¢=¶¶2221211222， g k f f y x z ¢¢+¢¢+¢¢-=¶¶¶22112，()g k k f y z y x z xz ¢¢+++¢¢=¶¶+¶¶¶+¶¶222222222142， 又因为0º/¢¢g ，所以0212=++k k ，1-=k .3、答案：232323,,333a b c .提示：设所嵌入的长方体在第一挂线的顶点坐标为(),,x y z ，则求体积8V xyz =在条件2222221x y z a b c ++=下的极值就可. 4、答案：1221122d d f yf xf g z xf xfg ¢¢¢¢++=¢¢¢-.5、答案：故0)0,1()0,0(==f g 是极大值.提示：由全微分的定义知提示：由全微分的定义知0)0,1(=f 1)0,1()0,1(-=¢=¢yx f f x f y e f g xy x 221×¢+×¢=¢ y f x e f g xy y 221×¢+×¢=¢ 0)0,0(=¢x g 0)0,0(=¢y g 2222121121122)2()2(2f x x f y e f y e f y e x f y e f g xyxy xy xy x ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ x y f x e f e xy e f y e y f x e f g xy xy xy xy xy xy 2)2()()2(222111211×¢¢+×¢¢++×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ 2222121121122)2()2(2f y y f x e f x e f x e y f x e f g xy xy xy xy y ¢+×¢¢+×¢¢+×¢+×¢¢+×¢¢=¢¢ A=2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢f g x 1)0,1()0,0(1-=¢=¢¢=f g B xy2)0,1(2)0,0(22-=¢=¢¢=f g C y032>=-B AC , 且0<A , 故0)0,1()0,0(==f g 是极大值. 6、答案: ()()22220000000000(,)22558g x y y x x y x y x y =-+-=+-攀登起点的位置: ()()125,5,5,5M M --.提示提示: : 沿梯度方向的方向导数最大沿梯度方向的方向导数最大,,方向导数的最大值即为梯度的模方向导数的最大值即为梯度的模. . 然后再求(,)g x y 在条件22750x y xy --+=下的极大值点就可下的极大值点就可. . 四、答案四、答案: :通过定点(),,M a b c . 第六章 微分方程测试题一、选择题一、选择题1、设()y f x =是240y y y ¢¢¢-+=的解,若0()0f x >且0()0f x ¢=,则在0x 点()f x ( ). (A) 取极大值; (B) 取极小值; (C) 在0x 某邻域内单增; (D) 在0x 某邻域内单减.2、微分方程2448xy y y e¢¢¢-+=的一个特解应具有形式的一个特解应具有形式( ) (,,,a b c d 为常数). (A) 2;xce (B) 22;xdx e (C) 2;xcxe (D) 22().x bx cx e + 3、微分方程21sin y y x x ¢¢+=++的特解形式可设为(). (A) (A) *2(sin ecos );y ax bx c x d x x =++++ (B) *2(sin ecos );y x ax bx c d x x =++++ (C) *2sin ;y ax bx c d x =+++(D) *2ecos .y ax bx c x =+++ 4、设线性无关的函数123,,y y y 都是非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x ¢¢¢++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解为(). (A) (A) 11223;c y c y y ++ (B) ()1122123;c y c y c c y +-+ (C) ()11221231;c y c y c c y +---(D) ()11221231.c y c y c c y ++--5、方程0xy y ¢+=满足(1)2y =的特解为(). (A) 21;xy = (B) 22;x y = (C) 2;xy = (D) 1.xy = 二、填空题二、填空题1、已知微分方程23e xy y y -¢¢¢--=有一个特解1e 4x y x *-=-,则其通解为(). 2、以12e ,ex xy y x --==为特解的二阶常系数齐次微分方程是(). 3、若连续函数()f x 满足()()e xf t f x dt =ò，则()f x 等于(). 4、已知函数()y y x =在任意点x 处的增量21y x y xa D D =++，其中a 是比x D (0)x D ®高阶的无穷小，且(0)πy =，则(1)y 等于(). 5、2e xy y y x ¢¢¢++=的通解为(). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、 设2e (1)e xxy x =++是二阶常系数线性微分方程e xy y y a b g ¢¢¢++=的一个特解，求该微分方程的通解. 2、 设函数()y y x =在(),-¥+¥内具有二阶导数，且()0,y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数.(1)(1)试将()x x y =所满足的微分方程()322d d sin 0d d x x y x y y æö++=ç÷èø变换为()y y x =所满足的微分方程;(2)(2)求变换后的微分方程满足条件3(0)0,(0)2y y ¢==的解.3、已知22123e e ,e e ,e e e x x x x x x x y x y x y x --=+=+=+-都是某二阶常系数非齐次线性微分方程的解，试求此微分方程分方程的解，试求此微分方程4、 已知连续函数()f x 满足320()()d e 3xx tf x f t =+ò，求()f x .5、 已知连续函数()f x 满足()100()()d e2()d xxf x x u f u u x f xu u +-=+òò，求()f x .6、设函数()f x 在[)1,+¥上连续恒正，若曲线()y f x =，直线()1,1x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为2π()(1)3t f t f éù-ëû，试求()y f x =所满足的微分方程，并求该方程满足2(2)9f =的特解.四、证明题四、证明题证明方程()y y f x ¢¢+=（其中()f x 连续）的通解为连续）的通解为()120cos sin ()sin d xy c x c x f t x t t =++-ò，其中为任意常数，其中为任意常数.. 第六章 微分方程测试题答案与提示一、一、1、A ；2、B ；3、A ；4、D ；5、C. 二、 1、3121ee e 4xxxc c x --+-；2、20y y y ¢¢¢++=；3、ln(1)x +；4、π4πe ；5、()()121e 1e 4x xy c c x x -=++-.三、三、1、答案：2212e e e (1)e x x xx c c x ++++. 提示：将2e(1)e xxy x =++代入原方程，比较同类项系数，求出,,a b g 的值，然后再去求解微分方程.2、答案、答案: (1): (1)sin y y x ¢¢-=; (2) 1e e sin 2x x y x -=--.3、答案、答案: :2e 2e x x y y y x ¢¢¢--=-.提示:21312e ,=e xxy y y y --=-是对应齐次微分方程的特解,从而可得出对应齐次微分方程为20y y y ¢¢¢--=, 设非齐次线性微分方程为2()y y y f x ¢¢¢--=,再将其中任意个非齐次特解代入,得出()e 2e x x f x x =-.4、答案、答案: : 32()3e 2e x x f x =-.5、答案、答案: : 21()12e 2xf x xx æö=++ç÷èø. 提示：作代换xu t =，则12()d 2()dt xx f xu u f t =òò.6、答案、答案:: 3()1x f x x =+. 提示：依题意可得：221π()(1)π()d 3tt f t f f x x éù-=ëûò，然后两边求导.四、略四、略. . 第五章 定积分及应用测试题一、选择题一、选择题1、设()f x 连续，0()d ,0,0stI tf tx x t s =>>ò，则I 的值是(). （A ） 依赖于s 和t ； （B ）是一个常数；）是一个常数； （C ）不依赖于s 但依赖于t ； （D ）依赖于s 但不依赖于t . 2、下列积分中,等于零的是( ). (A)12212cos ln(1)d x x x -+ò(B) 233(1)e d x x x -+ò(C) 4222sin cos d 1x xx x p p-+ò(C) 2121(1)d x x x --+ò3、设在[],a b 上()0,()0,()0f x f x f x ¢¢¢><>， 令()[]()1231()d ,(),()()2ba S f x x S fb b a S f a f b b a ==-=+-ò，则().(A) 321S S S >>;(B) 312S S S >>; (C) 213S S S >> ; (D) 132S S S >>. 4、已知sin πd 2x x x +¥=ò，则220sin d x x x +¥ò的值等于( ). (A) π;2(B) π; (C) 2π;4(D) π-1. 5、设()f x 在0处可导，且(0)0f =，则极限02()dt limxx f x t x ®-ò的值等于(). (A)不存在；不存在； (B) 0; (C) (0);f ¢ (D) 1(0).2f ¢ 二、填空题二、填空题1、设()f x 连续，310()dt x f t x -=ò，则(7)f 等于(). 2、定积分3π43π4(1arctan )1cos 2d x x x -++ò的值为(). 3、定积分11()e d xx x x -+ò的值为(). 4、若积分(21)d 4aax x --=-ò,则常数a 的值等于(). 5、曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的面积值等于( ). 三、计算和应用题三、计算和应用题1、已知(π)1f =，且[]0()()sin d 3f x f x x x p ¢¢+=ò，求(0)f .2、计算21212(e e )d 11xxx x x x --+++-ò3、设2π20sin ()d 12cos tf x t x t x =++ò，求(1)(0)f f4、 计算π320sin d sin cos x x x x+ò.5、设3e e()ln ()d xf x x f x x =+ò，求()f x .6、设()f x 可导，(0)1f =，且[]1()()d f x xf xt t +ò与x 无关，求()f x .四、证明题四、证明题设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内()0f x ¢>，证明存在唯一的(),a b x Î使曲线()y f x =和(),y f x a x ==所围面积1S 是()y f x =和(),y f x b x ==所围面积2S 的3倍.第五章 定积分及应用测试题答案与提示一、一、1、D ；2、C ；3、B ；4、A ；5、D. 二、二、 1、112；2、422-；3、2；4、2；5、3712.三、三、1、答案：(0)2f =. 提示：用分部积分提示：用分部积分. .2、答案：4π-.提示：利用奇偶对称性提示：利用奇偶对称性. . 3、答案：、答案：1. 1.提示：分别求出(0)f 和(1)f 的值即可. 4、答案：()1π14-. 提示：πππ33332220sin cos 1sin cos d d d sin cos sin cos 2sin cos x x x x x x x x xx xx x+==+++òòò.5、答案：ln 4()x f x x x=-. 6、答案：()e xf x -=.提示：令()[]11()()d ()()d ()()d xF x f x xf xt t f x x f xt t f x xf u u =+=+=+òòò，由()0F x ¢=得()()0f x f x ¢+=，所以e ()0x f x ¢éù=ëû. 四、提示：()()()10,,()()d tt a b S t t a f t f x x "Î=--ò，()()2()d ,bt S t f x x b t =--ò令()()12()3t S t S t j =-，用零点定理和单调性证明即可.第一章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、()f x 当0x x ®时的左极限和右极限都存在且相等是0lim ()x x f x ®存在的()条件. (A) 充分; (B) 必要; (C) 充要; (D) 无关. 2、设22212lim()n n n n n®¥+++= ( ). (A) 22212lim lim lim 0n n n nn n n®¥®¥®¥+++=; (B) ¥;(C) 21+2+1lim 2n n n ®¥+=;(D) 极限不存在. 3、设()=232x xf x +-，则当0x ®，有，有( ). (A) ()f x 与x 是等价无穷小; (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小; (C) ()f x 是比x 高阶的无穷小;(D) ()f x 是比x 低阶的无穷小. 4、设11e 1()e 1xxf x -=+，则0x =是()f x 的(). (A) 可去间断点; (B) 跳跃间断点; (C) 第二类间断点;(D) 连续点.5、方程410x x --=至少有一个根的区间是( ).(A) 1(0,)2; (B) 1(,1)2; (C) (1,2); (D) (2,3).二、填空题二、填空题7、 若2211()3f x x xx+=++，则()f x =()． 8、 已知函数2(cos ), 0() , 0x x x f x a x -ì¹ï=í=ïî在0x =连续，则a = ( )． 9、 lim(3)1=n n n n ®¥+--()．10、 设2013sin coslim(1cos )(e 1)xx x x xx ®+=+-( )． 5、已知25lim 232n a bn n ®¥++=-，则a =( )，b = ( )．三、计算与应用题三、计算与应用题1、设0,0(), 0x f x x x ì=í>î≤，20, 0(), 0x g x x x ì=í->î≤，求函数项级数[()]f f x ，[()],g g x [()],[()]f g x g f x .2、设21sin ,0(),0x x f x x a x x ì>ï=íï+î≤，要使()f x 在(,)-¥+¥内连续，应当怎样选择数a ？ 3、设11e , 0()ln(1),10x x f x x x -ìï>=íï+-<î≤，求()f x 的间断点，并说明间断点所属类型．的间断点，并说明间断点所属类型． 4、计算极限tan π2lim(sin )xx x ®．5、计算极限123lim()21x x x x +®¥++6、设()f x 的定义域是[0,1]，求函数11()()22f x f x ++-的定义域.四、证明题四、证明题证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ(,)22-内至少有一个根.第一章综合测试题答案与提示一、一、1、C ；2、C ；3、B ；4、B ；5、C. 二、二、1、21x +；2、1；3、32；4、32；5、任意常数，6. 三、三、1、答案：[()] = (),f f x f x[()]0,g g x = [()]0,f g x =[()]()g f x g x =. 2、答案：0a =．3、答案： 0x =是第一类间断点，1x =是第二类间断点．是第二类间断点．4、答案：、答案： 1．5、答案：e .6、答案: 12x =.四、提示：利用零点定理．四、提示：利用零点定理．第二章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、若 e , 0()sin 2, 0axx f x b x x ì<=í+î≥在0x =处可导，则a b 、的值应为( ). (A) 2,1a b ==; (B) 1,2a b ==; (C) 2,1a b =-=;(D)2,1a b ==-. 2、设222, 1() 1 , 1x x x f x x ì-+>=íî≤ (). (A)不连续; (B)连续，但不可导; (C)连续，且有一阶导数; (D) 有任意阶导数 3、若()f x 为(,)l l -内的可导奇函数，则()f x ¢ (). (A) 必为(,)l l -内的奇函数; (B) 必为(,)l l -内的偶函数;(C) 必为(,)l l -内的非奇非偶函数; (D) 在(,)l l -内，可能为奇函数，也可能为偶函数. 4、()f x 在0x 处可导，则000()()limx f x x f x x D ®-D -=D( ). (A) 02()f x ¢; (B)0()f x ¢-; (C) 0()f x ¢;(D) 0()f x ¢-.5、设()sin cos 2x f x x =+，则(15)(π)f = (). (A) 0; (B) 15112+; (C) 1-; (D) 1512-.二、填空题二、填空题 11、()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 连续的（连续的（ 充分充分）条件，()f x 在点0x 可导是()f x 在点0x 可微的（可微的（ ）条件．）条件．12、 设()(1)(2)() (2)f x x x x x n n =+++≥，则(0)f ¢=( )． 13、 设()f x 为可微函数，则当0x D ®时，在点x 处的d y y D -是关于x D 的()无穷小.14、 已知(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+ìí=-î，则3π4d d t x y== ( 1- )，223π4d d t x y == ( ) ． 15、 设函数()y f x =由方程23ln()sin x y x y x +=+确定，则d d yx= ( )． 三、计算与应用题三、计算与应用题1、讨论函数1sin , 0 0 , 0x x y x x ì¹ï=íï=î在0x =处的连续性和可导性. 2、已知22e 1,0() 1 ,0x x f x x x ì-ï¹=íï=î，求 ()f x ¢. 3、设()(e )e x f x y f =且()f x ¢存在，求d dyx . 4、设7777xy x =++，求微分2d x y =.5、用对数求导法计算函数452(3)(1)x x y x +×-=+的导数的导数6、求函数2cos y x =的n 阶导数. 四、证明题四、证明题设)(x f 在),(+¥-¥内有定义，且,(,)x y "Î-¥+¥，恒有()()()f x y f x f y +=×，()1()f x xg x =+，其中0lim ()1x g x ®=，证明()f x 在),(+¥-¥内处处可导.第二章综合测试题答案与提示一、一、1、A ；2、C ；3、B ；4、D ；5、B ． 二、二、1、充要；2、!n ；3、高阶；4、823πa -；5、1．三、三、1、答案：连续不可导.2、答案：223(22)e 2, 0() 0 ,0x x x f x x x ì-+ï¹¢=íï=î． 3、答案：()d e [(e )e (e )()]d f x x x xy f f f x x ¢¢=+.4、答案：67211d [7ln 7()]d 7xy xx x-=+-；7227d (ln 7)d 144x y x ==-×．5、答案：452(3)145[](1)2(2)31x x y x x x x +×-¢=×+-++-+.6、答案: ()1π2cos(2)2n n n yx -=+.四、提示: ,(,)x y "Î-¥+¥，有()[()1]()()y f x f x f x x g x =-=××，()limlim ()()().x x y f x f x g x f x x®®D ¢==×=D第三章综合测试题一、单项选择题一、单项选择题1、下列函数在[1,e]上满足拉格朗日定理条件的是上满足拉格朗日定理条件的是( ). (A) ln(ln )x ; (B) ln x ; (C) 1ln x;(D) ln(2)x -. 2、设00()()0f x f x ¢¢¢== ，0()0f x ¢¢¢>，则(). (A) 0()f x ¢是()f x ¢的极大值;(B) 0()f x 是()f x 的极大值; (C)0()f x 是()f x 的极小值;(D) 00(,())x f x 是曲线()y f x =的拐点。