【精练】2020年中考数学复习中考数学复习中考数学复习专题34 动态问题(学生版)

中考数学专题复习之动态问题1动态问题的类型及例题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。

在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。

通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。

一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。

分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。

当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+= 由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=， 再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。

图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。

若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。

图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。

专题34 动态问题专题知识回顾一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。

3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。

4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。

另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。

所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。

二、动点与函数图象问题常见的四种类型：1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。

三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型：1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形，或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。

中考数学复习第34章动态探究问题（专题复习讲义）考点一动点与函数图象问题动点与函数图象问题常见的四种类型(1)三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.(2)四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.(3)圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.(4)直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.【例1】如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动,设运动时间为t(s),△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )【思路点拨】由点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,得到BE=CF=t,则CE=8-t,再根据正方形的性质得OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF,所以S△OBE=S△OCF,这样S四边形OECF=S△OBC=16,于是,S=S四边形OECF-S△CEF=16- (8-t)·t,然后配方得到S= (t-4)2+8(0≤t≤8),最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断. 【自主解答】选B.根据题意BE=CF=t,CE=8-t,∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,∵在△OBE和△OCF中,∴△OBE≌△OCF(SAS),∴S△OBE=S△OCF,∴S四边形OECF=S△OBC=0.5×82=16,∴S=S四边形OECF -S△CEF=16- 0.5(8-t)·t= 0.5 t2-4t+16=0.5(t-4)2+8(0≤t≤8),∴S(cm2)与t(s)的函数图象为抛物线的一部分,顶点为(4,8),自变量的取值范围为0≤t≤8.【特别提醒】解答动态性问题通常是对几何图形运动过程有一个完整、清晰的认识，发掘“动”与“静”的内在联系，寻求变化规律，从变中求不变，从而达到解题目的.【知识归纳】解答函数的图象问题一般遵循的步骤(1)根据自变量的取值范围对函数进行分段.(2)求出每段的解析式.(3)由每段的解析式确定每段图象的形状.考点二图形运动与函数图象问题图形运动与函数图象问题常见的三种类型(1)线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.(2)多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.(3)多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.【例2】如图,将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt △GEF的一边GF重合.正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,当点A和点E重合时,正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒,正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为S,则S关于t的函数图象为()【思路点拨】先分三种情况,第一种情况,用含t的代数式表示BE,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,求出重叠部分的面积;第二种情况,重叠部分的面积等于△GEF的面积;第三种情况,类比第一种情况就可求出.然后根据t的取值范围和函数关系式画出图象,从而做出正确的选择.【标准解答】选B.第一种情况:∵BE=2-t,S△GEF= GE×GF=4,∵△BHE∽△GFE,∴2BHEGEFS2t()S2-=VV，解得S△BHE=t2-4t+4,∴S=S△GEF-S△BHE=-t2+4t(0≤t<2).第二种情况:S=S△GEF=4(2≤t<4),第三种情况:∵AE=6-t,∵△AEP∽△GEF,∴=t2-12t+36(4≤t≤6).解得S△AEP在同直角坐标系中画出以上三个函数图象,只有选项B符合题意,故选B.【特别提醒】对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点:(1)自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.(2)自变量变化函数值也变化的增减变化情况.(3)函数图象的最低点和最高点.考点三动点问题探索动点问题常见的四种类型(1)三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角的关系.(2)四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它们的边或角的关系.(3)圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系.(4)直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题.【例3】如图,抛物线y=-0.5x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的解析式.(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形,如果存在,直接写出P点的坐标,如果不存在,请说明理由.(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.【思路点拨】(1)n=2,把点(-1,0)代入解出.(2)求出抛物线的对称轴及CD的长,若以点D为等腰三角形的顶点,P点的位置有两个,它们到点D的距离都等于CD;以点C为顶点时,P点的位置有一个.(3)把四边形CDBF的面积最大问题转化为△CBF的面积最大问题,设出点E的横坐标,分别表示出点E,F的纵坐标,找到△CBF的面积与点E横坐标之间的函数关系式,应用函数的性质解决问题.【特别提醒】(1)弄清动点与动线的运动过程是解题的关键.(2)解动态几何问题,一般采取“动中求静,静中求解”的求解策略.以相对静止的瞬间,清晰地发现量与量之间的关系,利用数形结合,从中找到解决问题的途径.(3)注意第(3)问中,分点P在x轴上方和下方两种情况讨论,避免因漏解而失分,以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似,注意边的对应.【知识归纳】解答动点问题的一般方法解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解.(1)仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立种关系.(2)画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究.(3)做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,是否能想到就成了关键.考点四图形运动问题探索图形运动问题常见的两种类型(1)三角形运动问题:一个三角形相对于另一个三角形运动,根据图形中的变与不变解决问题.(2)四边形的运动问题:一个三角形相对于一个四边形运动,根据图形中的变与不变解决问题.【例4】如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点H.(1)求证：AH EF. AD BC(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积.(3)当矩形EFPQ面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动的时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.【思路点拨】(1)有“A”字形和平行线,易发现△AEF∽△ABC,再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比是解题的关键.(2)矩形面积最大,即为求二次函数的最值问题,由(1)的结论可求出AH的表达式,进而求出HD(即FP)的表达式;再根据矩形的面积公式求出矩形EFPQ的面积和x 的函数关系式,再用配方法可得到矩形的最大面积和对应的x的值.(3)①当0≤t<2时,重合部分是六边形可分成梯形和矩形,由“A”字型发现△AMN∽△ABC,求出AM关于t的表达式,代入可得到S,t的函数关系式;②当2≤t≤4时,重合部分是△AMN.求出底MN和高AI,便可求出S,t的函数关系式.(3)当矩形EFPQ面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动时，设运动的时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S.。

专题34 动态问题专题知识回顾一、动态问题概述1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题,有点动、线动、面动三大类。

3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。

4.动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。

另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。

所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只完全掌握才能拿高分。

另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。

所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只完全掌握才能拿高分。

二、动点与函数图象问题常见的四种类型：1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象。

三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型：1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。

2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。

3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象。

2024年九年级数学中考复习——反比例函数-动态几何问题1．如图，在矩形ABCD 中，已知点A （2，1），且AB ＝4，AD ＝3，把矩形ABCD 的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为靓点，反比例函数y＝（x ＞0）的图象为曲线L ．（1）若曲线L 过AB 的中点．①求k 的值．②求该曲线L 下方（包括边界）的靓点坐标．（2）若分布在曲线L 上方与下方的靓点个数相同，求k 的取值范围．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 相交于点 ，与 轴相交于点 ，点 的横坐标为-2.（1）求 的值；（2）直接写出当 且 时， 的取值范围；（3）设点 是直线AB 上的一点，过点 作 轴，交反比例函数 的图象于点 .若以A ，O ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形，求点 的坐标.k x12y x =-+2(0)k y x x=<B x A B k 0x <12y y <x M M //MN x 2(0)k y x x=<N M3．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A （，1）在反比例函数y ＝ 的图象上．（1）求反比例函数y ＝ 的表达式； （2）在x 轴上是否存在一点P ，使得S △AOP ＝S △AOB ，若存在，求所有符合条件点P 的坐标；若不存在，简述你的理由．4．如图，点 ， 在 轴上，以 为边的正方形 在 轴上方，点 的坐标为 ，反比例函数 的图象经过 的中点 ， 是 上的一个动点，将 沿 所在直线折叠得到 .（1）求反比例函数 的表达式； （2）若点 落在 轴上，求线段 的长及点 的坐标.k x k x12A B x AB ABCD x C (14)，(0)k y k x=≠CD E F AD DEF EF GEF (0)k y k x=≠G y OG F5．如图，已知反比例函数y＝（x ＞0）的图象经过点A （4，2），过A 作AC ⊥y 轴于点C ．点B 为反比例函数图象上的一动点，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，连接AD ．直线BC 与x 轴的负半轴交于点E ．（1）求k 的值；（2）连接CD ，求△ACD 的面积；（3）若BD ＝3OC ，求四边形ACED 的面积．6．已知：如图1，点是反比例函数图象上的一点．（1）求的值和直线的解析式；（2）如图2，将反比例函数的图象绕原点逆时针旋转后，与轴交于点，求线段的长度；（3）如图3，将直线绕原点逆时针旋转，与反比例函数的图象交于点，求点的坐标．k x(4)A n ，8(0)y x x=>n OA 8(0)y x x =>O 45︒y M OM OA O 45︒8(0)y x x=>B B7．已知：反比例函数的图像过点A （ ， ），B （ ， ）且 （1）求m 的值；（2）点C 在x 轴上，且 ，求C 点的坐标；（3）点Q 是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB 的右侧，设直线QA ，QB 与y 轴分别交于点E 、D ，试判断DE 的长度是否变化，若变化请说明理由，若不变，请求出长度.8．规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点，叫做整点，点，在反比例函数的图象上；（1）m= ；（2）已知，过点、D 点作直线交双曲线于E 点，连接OB ，若阴影区域（不包括边界）内有4个整点，求b 的取值范围．m y x =1x 121m --2x 45m-120x x +=16ABC s ∆=()22A ，()1B m ，()0k y x x=>0b >()40C b -，()0b ，()0k y x x=>9．已知，矩形OCBA 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 在x 轴的正半轴上，点A 在y 轴的正半轴上，已知点B 坐标为（3，6），反比例函数的图象经过AB 的中点D ，且与BC 交于点E ，顺次连接O ，D ，E ．（1）求m 的值及点E 的坐标；（2）点M 为y 轴正半轴上一点，若△MBO 的面积等于△ODE 的面积，求点M 的坐标；（3）平面直角坐标系中是否存在一点N ，使得O ，D ，E ，N 四点顺次连接构成平行四边形？若存在，请直接写出N 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，点P 为函数与函数图象的交点，点P 的纵坐标为4，轴，垂足为点B ．（1）求m 的值；（2）点M 是函数图象上一动点，过点M 作于点D ，若，求点M的坐标．m y x=1y x =+()0m y x x=>PB x ⊥()0m y x x =>MD BP ⊥12tan PMD ∠=11．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，与双曲线交于点，直线分别与直线和双曲线交于点、．（1）求和的值；（2）当点在线段上时，如果，求的值；（3）点是轴上一点，如果四边形是菱形，求点的坐标．12．如图，等边和等边的一边都在x 轴上，双曲线经过的中点C 和的中点D ．已知等边的边长为4．（1）求k 的值；（2）求等边的边长；（3）将等边绕点A 任意旋转，得到等边，P 是的中点（如图2所示），连结，直接写出的最大值．xOy 34l y x b =+：x y A B x k H y =：922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x m =H E D k b E AB ED BO =m C y BCDE C OAB AEF ()0k y k x=>OB AE OAB AEF AEF AE F '' E F ''BP BP13．如图，点A 、B 是反比例函数y ＝ 的图象上的两个动点，过A 、B 分别作AC ⊥x 轴、BD ⊥x 轴，分别交反比例函数y ＝－ 的图象于点C 、D ，四边形ACBD 是平行四边形. （1）若点A 的横坐标为－4.①直接写出线段AC 的长度；②求出点B 的坐标；（2）当点A 、B 不断运动时，下列关于□ACBD 的结论：①□ACBD 可能是矩形；②□ACBD 可能是菱形；③□ACBD 可能是正方形；④□ACBD 的周长始终不变；⑤□ACBD 的面积始终不变.其中所有正确结论的序号是 .8x2x14．在平面直角坐标系 中，正比例函数 与反比例函数 的图象相交于点 与点Q ． （1）求点Q 的坐标；（2）若存在点 ，使得 ，求c 的值； （3）过点 平行于x 轴的直线，分别与第一象限内的正比例函数 、反比例函数数 的图象相交于点 、点 ，当 时，请直接写出a 的取值范围．15．在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并与反比例函数y=（k≠0）的图象在第一象限相交于点C ，且点B 是AC 的中点xOy ()1110y k x k =≠()2220k y k x=≠(11)P ，(0)C c ，2PQC S = (0)M a ，()1110y k x k =≠()2220k y k x =≠()11A x y ，()22B x y ，1252x x +≤kx（1）如图1，求反比例函数y=（k≠0）的解析式；（2）如图2，若矩形FEHG 的顶点E 在直线AB 上，顶点F 在点C 右侧的反比例函数y=（k≠0）图象上，顶点H ，G 在x 轴上，且EF=4．①求点F 的坐标；②若点M 是反比例函数的图象第一象限上的动点，且在点F 的左侧，连结MG ，并在MG 左侧作正方形GMNP ．当顶点N 或顶点P 恰好落在直线AB 上，直接写出对应的点M 的横坐标．16．如图，动点P 在函数y （x ＞0）的图象上，过点P 分别作x 轴和y 轴的平行线，交函数y 的图象于点A 、B ，连接AB 、OA 、OB ．设点P 横坐标为a ．（1）直接写出点P 、A 、B 的坐标（用a 的代数式表示）；（2）点P 在运动的过程中，△AOB 的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由；（3）在平面内有一点Q （，1），且点Q 始终在△PAB 的内部（不包含边），求a 的取值范围．k xk x 3x =1x =-1317．如图1，一次函数y ＝kx ﹣3（k≠0）的图象与y 轴交于点B ，与反比例函数y＝（x ＞0）的图象交于点A （8，1）．（1）求出一次函数与反比例函数的解析式；（2）点C 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），过点C 作y 轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D ，连接OC ，OD ，AD ，当CD 等于6时，求点C 的坐标和△ACD 的面积；（3）在（2）的前提下，将△OCD 沿射线BA 方向平移一定的距离后，得到△O'CD'，若点O 的对应点O'恰好落在该反比例函数图象上（如图2），求出点O'，D'的坐标．18．如图1所示，已知 图象上一点 轴于点 ，点 ，动点 是 轴正半轴点 上方的点，动点 在射线AP 上，过点 作AB 的垂线，交射线AP 于点 ，交直线MN 于点 ，连结AQ ，取AQ 的中点 . m x6(0)y x x=>P PA x ⊥，(0)A a ，(0)(0)B b b >，M y B N B D Q C（1）如图2，连结BP ，求 的面积；（2）当点 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为 .①求此时点Q ，P 的坐标；②此时在y 轴上找到一点E ，求使|EQ-EP|最大时的点E 的坐标.19．已知反比例函数y=的图象经过点A （6，1）．（1）求该反比例函数的表达式；（2）如图，在反比例函数y=在第一象限的图象上点A 的左侧取点C ，过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点H ，过点C 作y 轴的垂线CE ，垂足为点E ，交直线AH 于点D ．①过点A 、点C 分别作y 轴、x 轴的垂线，两条垂线相交于点B ，求证：O 、B 、D 三点共线；②若AC=2CO ，求证：∠OCE=3∠CDO ．PAB Q k xk x20．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y 轴交于点C ．（1） ， ；（2）过点A 作轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线与线段交于点E ，当时，求点P 的坐标．（3）点M 是坐标轴上的一个动点，点N 是平面内的任意一点，当四边形是矩形时，求出点M 的坐标．21．如图1，将函数的图象T 1向左平移4个单位得到函数的图象T 2，T 2与y 轴交于点．（1）若，求k 的值（2）如图2，B 为x 轴正半轴上一点，以AB 为边，向上作正方形ABCD ，若D 、C 恰好落在T 1上，线段BC 与T 2相交于点E①求正方形ABCD 的面积；②直接写出点E 的坐标．114y k x =+22k y x=()2A m ，()62B --，1k =2k =AD x ⊥OP AD Δ41ODE ODAC S S =四边形：：ABMN ()0k y x x =>()44k y x x =>-+()0A a ，3a =22．如图1，直线的图像与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，点D 是线段AB 上一点，过D 点分别作OA 、OB 的垂线，垂足分别是C 、E ，矩形OCDE 的面积为4，且．（1）求D 点坐标；（2）将矩形OCDE 以1个单位/秒的速度向右平移，平移后记为矩形MNPQ ，记平移时间为t 秒．①如图2，当矩形MNPQ 的面积被直线AB 平分时，求t 的值；②如图3，当矩形MNPQ 的边与反比例函数的图像有两个交点，记为T 、K ，若直线TK 把矩形面积分成1：7两部分，请直接写出t 的值．23．如图1，在平面直角坐标系中，点，点，直线与反比例函数的图象在第一象限相交于点，26y x =-+CD DE >12y x=()40A -，()04B ，AB ()0k y k x=≠()6C a ，（1）求反比例函数的解析式；（2）如图2，点是反比例函数图象上一点，连接，试问在x 轴上是否存在一点D ，使的面积与的面积相等，若存在，请求点D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）新定义：如图3，在平面内，如果三角形的一边等于另一边的3倍，这两条边中较长的边称为“麒麟边”，两条边所夹的角称为“麒麟角”，则称该三角形为“麒麟三角形”，如图所示，在平面直角坐标系中，为“麒麟三角形”， 为“麒麟边”， 为“麒麟角”，其中A ，B 两点在反比例函数 图象上，且A 点横坐标为，点C 坐标为，当为直角三角形时，求n 的值．24．如图1，已知点A （a ，0），B （0，b ），且a 、b 满足 +（a +b +3）2＝0，平等四边形ABCD的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 中点，双曲线y ＝经过C 、D 两点． （1）a ＝ ，b ＝ ；（2）求D 点的坐标；（3）点P 在双曲线y ＝ 上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，试求满足要求的所有点Q 的坐标；（4）以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图3），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN ⊥HT ，交AB 于N ，当T 在AF 上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若()6E m ，()0k y k x=≠CE AE ，ACD ACE ABC AB BAC ∠n y x=1-()02，ABC k x k xMN HT不改变，请求出其值，并给出你的证明．25．在平面直角坐标系中，已知点，点.（1）若将沿轴向右平移个单位，此时点恰好落在反比例函数的图象上，求的值；（2）若绕点按逆时针方向旋转度.①当时，点恰好落在反比例函数图象上，求的值；②问点能否同时落在(1)中的反比例函数的图象上?若能，直接写出的值；若不能，请说明理由.26．如图，已知直线与双曲线交第一象限于点．（1）求点的坐标和反比例函数的解析式；（2）将点绕点逆时针旋转至点，求直线的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若点C 是射线上的一个动点，过点作轴的平行线，交双曲线xOy ()A -()60B -，OAB x m A y =m OAB O α()0α180<<α30= B k y x=k A B ，α2y x =(0)k y k x=≠(4)A m ，A O A 90︒B OB OB C y的图像于点，交轴于点，且，求点的坐标．27．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y 轴交于点B ．（1）求a ，k 的值；（2）直线CD 过点A ，与反比例函数图象交于点C ，与x 轴交于点D ，AC ＝AD ，连接CB ．①求△ABC 的面积；②点P 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，若以点A ，B ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P 坐标．28．如图1，反比例函数与一次函数的图象交于两点，已知．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）一次函数的图象与轴交于点，点（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点的坐标：(0)k y k x=≠D x E 23DCO DEO S S = ：：C 112y x =+()0k y x x =>()3A a ，k y x=y x b =+A B ，()23B ，y x b =+x C D 3OCD S = D（3）若点是坐标轴上一点，点是平面内一点，是否存在点，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．29．如图，已知直线y=-2x 与双曲线y=（k<0）上交于A 、B 两点，且点A 的纵坐标为-2 （1）求k 的值；（2）若双曲线y= （k<0）上一点C 的纵坐标为 ，求△BOC 的面积；（3）若A 、B 、P 、Q 为顶点组成的四边形为正方形，直接写出过点P 的反比例函数解析式。

2019-2020学年初三数学解析中考动态几何问题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。

在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。

解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。

通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。

下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。

一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。

分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。

当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+=由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=，再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。

图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。

若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。

图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。

动态综合专题动态综合型试题是近年来各级各类考试命题的热点和焦点， 她集多个知识点于一体，综合性高，探究型强•解决这类问题的主要思路是： 在动中取静，在静中探动，也就是用运动与变化的眼光去观察和研究图形， 把握图形运动的全过程， 抓住其中的等量关系和变量关系，特别关注一些不变量、不变关系和特殊位置关系点动型例1菱形ABCD&平面直角坐标系中的位置如图1所示，顶点B(2, 0) , / DOB= 60°,点P 是对角线OC 上一个动点，E ( 0,— 1)，当EP + BP 最短时，点P 的坐标为 ___________ .分析：点B 的对称点是点 D,如图2,连接ED 交OC 于点P,易知ED 的长度即为EP + BP解：如图2，连接ED,因为点B 的对称点是D,所以D9 BP,所以ED 的值即为EP + BP 的最短值. 因为四边形ABCD 是菱形，顶点B( 2, 0) , / DOB= 60 ° ,所以点D 的坐标为(13 ), 所以点C 的坐标为(3, 3 )，所以可得直线 OC 的解析式为y 3x .3因为点E 的坐标为(0，— 1),所以可得直线 ED 的解析式为y = 13 X -1.丨卫因为点P 事直线OC 和直线ED 的交点，所以点P 的坐标为方程组y— 3x 的解,y= 13 x -1,所以点P 的坐标为(2 3 -3,2-3 )，故填(2 3 -3,2- 3 ).评注：本题中的变量是 EP + BP 的值，不变量是点 B 与点D 的位置关系，借助菱形的对 称性将EP + BP 的值转化为ED 的值，由“两点间线段最短” 即可知道此时EP + BP 的值最短, 将变量转化为不变量是解决运动型问题常用的解题思路跟踪训练：解方程组可得1. (2015 •贵港)如图，已知P是O O外一点，Q是O O上的动点，线段PQ的中点为M连接OR OM.若O O的半径为2, OP= 4,则线段OM勺最小值是( )A.0B.1C.2D.3E第1题图第2题图2. 如图，已知线段AB=10, AC=BD=2点R是CD上一动点，分别以AP、RB为边向上、向下作正方形APEF和PHKB设正方形对角线的交点分别为O、C2,当点P从点C运动到点D时，线段OQ中点G的运动路径的长是________ .线动型例2如图3,在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为(4, 3).平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M N,直线m运动的时间为t (秒).(1 )点A的坐标是_______ ，点C的坐标是____ ;1(2) _________ 当t= ___ 秒或秒时，MN丄AC;2(3)设厶OMN勺面积为S,求S与t的函数关系式；(4)在(3)中得到的函数S有没有最大值？若有求出最大值；若没有，要说明理由•C BX1 1 J图3分析：(1)根据B点的坐标即可求出A C点的坐标；1 1(2)当MN*AC时，有两种情况：① Mn是A OAC的中位线，此时OM= — OA= 2,因此2 23t = 2;②当皿“是厶ABC的中位线时，OM= — OA= 6,因此t = 6;2(3)本题要分类讨论：①大直线m在AC下方或与AC重合时，即当0v t < 4时，可根据厶OM MA OAC用两三角形的相似比求出面积比，即可得出S与t之间的函数关系式；② 当直线m在AC上方时，即当4 v t V 8时，可用矩形OABC勺面积-△ BMN的面积-△ OCN勺面积-△ OAM勺面积求得；(4)根据(3)得出的函数的性质和自变量的取值范围即可求出面积S的最大值及对应的t的值.解：(1) A ( 4, 0), C ( 0, 3)；1 1 (2) 当MNdAC 时，有两种情况：① Mn 是A OAC 的中位线，此时 OMk _ OA= 2,因此t223=2;②当 皿2是厶ABC 的中位线时，AM=丄AB= - , OA= 4, AD=A M 2= 2,所 22ta nZEDO _34以 OD= OA^ AD = 4+ 2 = 6, 故 t = 6;(3) 当 O v t W 4 时，OM = t ，因为△ OM MA OAC 所以 =3t 2.3当 4v t v 8 时，如图 4,因为 OD= t ，所以 AD= t-4，由△ DAM MA AOC 可得 AM=t _ 4 , 43 4 所以 BM= 6- t ;由厶 BMN MA BAC 可得 BN= - BM= 8-t ,所以 CN= t-4 ,所以 S =矩形 OABC4331 3 的面积-Rt △ BMN 勺面积-Rt △ OCN 勺面积-Rt △ OAM 勺面积=12-(t-4 ) -- (8-t ) (6- t )22433 2-(t-4 )= -— t + 3t ;28图43 2(4) 有最大值，当0 v t W 4时，因为抛物线 S =—t 的开口向上，在对称轴 t = 0的右边，83 2S 随t 的增大而增大，所以当 t = 4时，S 可取到最大值-X 4 = 6;当4v t V 8时，因为抛83物线S = -—t 2 + 3t 的开口向下，顶点是(4, 6)，所以S W 6.综上所述，当t = 4时，S 有8评论：相对于点的运动来讲，线的运动在中考中相对要少点儿， 解答这类问题时要用 运动与变化的观点去观察和研究图形， 把握直线运动与变化的全过程，抓住等量关系和变量 关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系OM ONOA _OC 所以ON= 4t, s跟踪训练：1. 如图所示，已知等腰梯形ABCD AD// BC,若动直线l垂直于BC,且向右平移，设扫2. 如图，在平面直角坐标系xoy中，二次函数y =ax2• bx - 3(a，b是常数)的图像与x轴交于点A (-3.0 )和点B (1, 0),与y轴交于点C.动直线y = t (t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q.(1)求a和b的值；(2)求t的取值范围；(3)若/ PCQ= 90°，求t 的值.面动型例3已知：把Rt△ ABC和Rt △ ABC按如图1摆放(点C与点E重合)，点 B C(E)、F在同一直线上，/ ACB=/ EDF=90，/ DEF=45 , AC=8cm BC=6cm,EF=9cm.如图2,^ DEF从图1的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向厶ABC匀速移动，在厶DEF移动的同时，点P从厶ABC 的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动，当A DEF的顶点D移动到AC边上时，△ DEF停止移动，点P也随之停止运动.DE与AC相交于点Q连接PQ设移动时间为t(s)(0 V t V 4.5)，解答下列问题：①当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？②连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式；是否存在某一时刻t，使得面积y最小？若存在，求出y的最小值，若不存在，请说明理由③是否存在某一时刻t ,使得P 、Q F 三点在同一条直线上？若存在， 求出此时t 的值;解析：①因为点A 在线段PQ 的垂直平分线上，所以 AP=AQ.因为/ DEF=45，/ACB=90 , / DEF+Z ACB+Z EQC=180 ,所以/ EQC=45 ,所以/ DEF=/ EQC 所以 CE=CQ.又 由题意得CE=t, BP=2t ，所以CQ=t ,所以AQ=8-t ，解得t=2 ;AC②过点 P 作 PM L BE,交 BE 与点 M 所以/ BMP=90，在 Rt △ ABC 和 Rt △ BPM 中，sinB= ’AB PM 8 i=丽，代入，解得 PM5 t.因为 BC=6cm,CE=t,所以 BE=6-t ，所以 y=S AABC S A BP * (BC -AC-BE-PM)4284 84 化简得y=5 (t-3)+5，所以当t=3时，y 最小=~5 ;③假设存在某一时刻t ，使得点P 、Q F 三点在同一条直线上，过 P 点作PN L AC,交PNAC 于点 N,所以/ ANP 玄 ACB / PNQ=90 .因为/ PAN / BAC 所以△ PAN TA BAC 所以； 610-2t =10AN 6 8 83= ，所以 PN=6- t, AN=8- t.因为 NQ=AQ-AN 所以 NQ=8t-(8-t)= t.因为/ 8 5 55 5ACB=90 ,B 、C(E)、F 在同一条直线上，所以/ QCF=90 / QCF / PNQ.因为/ FQC / PQN 所以△QC TA QNPPN NQ 6-1.2t 3所以二= ，所以=，因为0V t V 4.5，所以t=1. FC CQ9-t5 解后反思：面的运动相对来说比较复杂，但也是中考的热点之一，许多创新题、探究 题都源于此，解决此类型问题的关键：一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用特殊与一般的数学思想方法，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究 相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加明确跟踪训练：已知，在矩形 ABCD 中，E 为BC 边上一点，AE _ DE ,AB=12,BE=16,F 为线段BE 上一 点，EF=7,连接AF.如图1,现有一张硬质纸片GMN , • NGM = 90° ,NG=6,MG=8,斜边MN 与边BC 在同一直线上，点 N 与点E 重合，点G 在线段DE 上.如图2， GMN 从图1的 位置出发，以每秒1个单位的速度沿 EB 向点B 匀速移动，同时，点 P 从A 点出发，以每秒 1个单位的速度沿 AD 向点D 匀速移动，点 Q 为直线GN 与线段AE 的交点，连接 PQ •当点N 到达终点B 时，=GMN 和点P 同时停止运动.设运动时间为t 秒，解答下列问题：若不存在，说明理由(1)在整个运动过程中，当点G在线段AE上时，求t的值；(2)在整个运动过程中，是否存在点P，使APQ是等腰三角形，若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； (3)在整个运动过程中，设 GMN 与 ：-AEF 重叠部分的面积为 S,请直接写出S 与t动态综合型专题 点动型： 1.B 2.3 2线动型： 1.A2 2y =x ・2x-3，直线y = t ，联立两解析式可得 x ・2x -3=t , 因为动直线y =t(t 为常数)与抛物线交于不同的两点，所以△= 4+ 4 X( 3+ t )> 0,解得 t > -4 ;(3)因为y =x 2 • 2x -3 = x • 1 2-4，所以抛物线的对称轴为直线x = 1.当x = 0时，y=-3，所以C (0.-3). 设点Q 的坐标为(m t )，贝U P (-2-m , t ).如图，设PQ 与y 轴交 于点 D,则 CD= t + 3, DQ= m DP = mF 2.因为/ PCQ=Z PCDF Z QCD= 90 ° , / DPO Z PCD =90 °，所以/ QCD=Z DPC.因为/ PDC=Z QDC= 90。

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专题09 动点类题目图形最值问题探究题型一：矩形中的相似求解例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上,点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P 。

记k =MN ：EF 。

（1）若a ：b 的值为1,当MN ⊥EF 时，求k 的值.（2）若a :b 的值为21，求k 的最大值和最小值.(3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°,MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值. BMF N题型二：二次函数中几何图形最值求解例2。

（2019·衡阳)如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A (﹣1，0）和点B (3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点,连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；(2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3)在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值?若存在，求出此时点M 的坐标;若不存在，请说明理由．题型三：二次函数中面积最值的求解例3。

（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。

动态题型分类探究与解析运动型问题主要研究在几何图形运动中，伴随着一定的数量关系、图形位置关系的“变”和“不变性”，就运动对象而言，有点动、线动和面动，常常集代数与几何于一体，有较强的综合性，题目灵活多变，动中有静，静中有动，动静结合．分类探究探究一点动型问题例1如图，在平面直角坐标系中，矩形OCDE的三个顶点分别是C(3，0)，D(3，4)，E(0，4)．点A在DE上，以A为顶点的抛物线过点C，且对称轴x＝1交x轴于点B，连接EC，AC.点P，Q为动点，设运动时间为t秒．(1)填空：点A的坐标为________，抛物线所对应的函数解析式为__________________；(2)在图①中，若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动，同时，点Q 在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动．当t为何值时，△PCQ为直角三角形？(3)在图②中，若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动，过点P 作PF⊥AB，交AC于点F，过点F作FG⊥AD于点G，交抛物线于点Q，连接AQ，CQ.当t为何值时，△ACQ的面积最大？最大值是多少？【分层探究】(1)抛物线所对应的函数解析式有哪几种形式？(2)△PCQ为直角三角形有哪几种情况？当△PCQ为直角三角形时，它与△COE在形状上有什么关系？(3)△ACQ可以分割为哪两个三角形？求线段FQ的长的关键是什么？探究结论：(1)抛物线所对应的函数解析式主要有三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，顶点式y ＝a(x－h)2＋k(a≠0)，交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．(2)当∠CPQ＝90°或∠CQP＝90°时，△PCQ为直角三角形．当△PCQ为直角三角形时，与△COE相似．(3)△ACQ可以分割为△AFQ和△CFQ.求线段FQ的长的关键是求出点F与点Q的坐标．【解题方法点析】关于点运动的问题，一般根据图形变化，探索动点运动的特点和规律，作出符合条件的草图．解这类题的关键是抓住动点运动过程中不变的量．【解题】解：(1)点A(1，4)，抛物线所对应的函数解析式为y＝－(x－1)2＋4或y＝－x2＋2x＋3.(2)依题意，得OC＝3，OE＝4，∴CE＝OC2＋OE2＝32＋42＝5.当∠QPC＝90°时，∵cos∠QCP＝PCCQ＝OCCE，∴3－t2t＝35，解得t＝1511；当∠PQC＝90°时，∵cos∠QCP＝CQPC＝OCCE，∴2t3－t＝35，解得t＝913.∴当t＝1511或t＝913时，△PCQ为直角三角形．(3)∵A (1，4)，C (3，0)，∴可求得直线AC 所对应的函数解析式为y ＝－2x ＋6.∵P (1，4－t )，将y ＝4－t 代入y ＝－2x ＋6中，得x ＝1＋t 2.∴点Q 的横坐标为1＋t 2.将x ＝1＋t 2代入y ＝－(x －1)2＋4中，得y ＝4－t 24，∴点Q 的纵坐标为4－t 24，∴QF ＝(4－t 24)－(4－t )＝t －t 24，∴S △ACQ ＝S △AFQ ＋S △CFQ ＝12FQ ·AG ＋12FQ ·DG＝12FQ (AG ＋DG )＝12FQ ·AD＝12×2(t －t 24)＝－14(t －2)2＋1.∴当t ＝2时，△ACQ 的面积最大，最大值为1.探究二 线动型问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x －2与y 轴相交于点A ，与反比例函数y ＝k x 在第一象限内的图象相交于点B (m ，2)．。