四条线段成比例问题

例1：填空
A D
（1）∵ AB∥DE
B
E
C
∴
CD AD
＝（ CE） （ BE ）
AC CD
＝（ BC ） （ CE ）
BE BC
＝（ AD） （ AC ）
（2）∵ AD∥EF ∥BC
A
D
∴
AG GC
＝（
（
AE） （ DF ） BE）＝ （ FC ）
E B
F G
C
（2）已知平行四边形ABCD
D
则 AB ＝（ DF） CF ＝（ DF） AE （ DE） FB （ EF）
BC = MC . AB AD
在△DMF中，
DE = MC . EF CF
∵AD=CF，
B \ BC = DE .
AB EF
MC
F
例3. 已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC
上两点，DE、BC的延长线相交于F. AD=CF.
求证：BC = DE .
A
AB EF
方法二. 证明：作DN∥BC交AC于N. D N
四、练习题：
1、教材P84/随堂练习 2、教材P84/知识技能1、2 3、教材P84/问题解决3、4
五、练习题：
4. 已知，如图，在△OCE中，BD∥CE, AD∥BE.
求证：OB是OA和OC的比例中项.
证明: 在△OCE中， ∵BD∥CE. \ OB = OD .
OC OE

在△OBE中， ∵AD∥BE. \ OA = OD . O
求证： AE ＝ AF
AB
AD
E
B
A
F
G
D
C
例1.如图，若EF∥AB, DE∥AC, 以下比例正确的

线段的比、黄金分割知识要点◆要点1 线段的比(1) 线段的比：在同一单位下，两条线的长度的比叫做这两条线段的比。

(2) 成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段成比例线段，当b ＝c 时，有db b a =，称b 为a 与d 的比例中项。

(3) 比例尺：比例尺＝图上距离：实际距离★说明：判断四条线段是否成比例，首先要把四条线段的单位化成同一单位，再计算它们的比值来判断，要注意它们的顺序。

◆要点2 比例的性质a . 比例的基本性质：()()0,02≠=⇔=≠=⇔=d c b a ac b cb b a dc b a bc ad d c b a 、、、、、、 b . 合比性质：（两边都加1或减1）dd c b b a d c b a ±=±⇒= c . 等比性质：如果()0≠+++===m d b n m d c b a ，那么b a n d b m c a =++++++ 。

◆要点3 黄金分割概念：若点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC (AC ＞BC)，若ACBC AB AC =，我们称线段AB 被点C 黄金分割，C 点为该条线段的黄金分割点，较短线段与较长线段（或较长线段与原线段）的比叫做黄金比⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛≈-618.0215。

★说明：(1)一条线段有两个黄金分割点。

黄金分割比是两个线段的比，没有单位；(2) 一条线段黄金分割后，原线段、较长线段、较短线段有其固定关系：若AB ＝1，.253,215-=-=BC AC 则(3)作一条线段的黄金分割点一般有两种方法，如右图XS —01、XS —02：易错易混点 (1)求线段的比时，忽视了单位的统一；(2) 不按顺序写成比例线段；运用等比性质时，忽略了成立的条件；(3) 没有理解黄金分割的定义；XS —02 XS —01例☆ 已知：k zy x y z x x z y =+=+=+，求k 的值。

比例线段的划分及比例的基本性质
(1)比例的基本性质
如果 a：b =c：d ，那么ad =bc.
比例的内项乘积等于外项乘积.
因为 a：b=c：d， 两边同乘以 bd，得
a即d=babc；=
c d
，
上述性质反过来也对，就是
如果 ad =bc，那么 a：b =c：d .
比例线段的划分及比例的基本性质
(1)比例的基本性质
综合地说：
a：b=c：d ad=bc.
特殊地说：
a：b=b：c b 2=ac.
比例线段的划分及比例的基本性质
练习1—1：
如果
PA PB
=
PC PD
，
那么 PA·PD= PB·PC；
如果
CD EB
=
DF AD
，
那么 AD·CD=EB·DF；
如果
AC EF =
BD EA
，
那么 EF·BD=AC·EA；
比例线段的划分及比例的基本性质
AF BF
=
AE BE
；
说明：
(1)一个等积式可以改写成八个比例式
(比值各不相同)；
(2)对调比例式的内项或外项，
比例式仍然成立
(比值变了).
a c
b=d
ad bc cb = da .
比例线段的划分及比例的基本性质
练习2—1： 如果 AE·BF=AF·BE，
那么
AE AF
练习3—1：
A
D
如图，已知
AB BC
=
DE EF
，
B
E
那么
AC BC =
DF EF
，
C
F
理由：

如何证明四条线段成比例资阳市雁江区第二初级中学葛吉明证明线段成比例的问题，思路灵活，涉及的定理较多，辅助线的添加方法亦很巧妙，多数学生感到困难，现介绍一种易学易懂的方法供大家参考。

口诀：遇等积，换等比；横找竖找定相似不相似，别生气；等线等比来代替平行线，转比例，两端各自找联系举例说明思路一、遇等积，换等比；横找竖找定相似由欲证的比例式或等积式转化为比例式．用三点定形法寻找相似三角形，这是证明线段成比例问题最基本的方法之一，一般是找到以四条成比例线段为边的两个三角形，再证明这两个三角形相似．[例1]已知：如图1，∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD等式左边的三点A、B、C构成△ABC，等式右边的三点A、D、E构成△ADE．因此，只要证明△ABC∽△ADE，本题即可获证．（竖找定相似）由已知∠ABC=∠ADE，∠A是公共角，易证△ABC∽△ADE．证明：略．号两边的分母，三个字母A、D、E构成△ADE．(横找定相似)二、不相似，别生气；等线等比来代替当需要证明的成比例的四条线段不能构成相似三角形时，往往需要进行等量代换，包括“线段的代换”或利用“中间比”进行代换．[例2]已知：如图2，在Rt△ABC中有正方形H EFG，点H、G分别在AB、AC上，EF在斜边BC上．求证：EF2=BE·FC．上，无论如何不能构成相似三角形，因此不能直接应用三点定形法．此时应联想到正方形H EFG的四条边都相等的隐含条件，用H E代换等式左边的△H BE∽△FCG使本题获证．证明：略．这是利用线段进行等量代换的典型例题，不难看出，这种代换方法往往需要含有等腰三角形、平行四边形、正三角形、正方形、线段中点等已知条件或隐含条件．[例3]已知：如图3，AC是ABCD的对角线，G是AD延长线上的一点，BG交AC于F，交CD于E．分析：由B、E、F、G四点共线可知，本题既不能直接应用平行截线定理或三点定形法，又找不到与比例式中线段相等的线段进行等量代换．代换是解决本题的关键．证明：略．这是利用中间比进行代换的典型例题，这种代换往往出现于平行线分相等成比例以及相似三角形的对应边成比例三、平行线，转比例，两端各自找联系．利用辅助平行线来转移比例是证明线段成比例的有效方法，这种方法经常通过平行线分线段成比例定理和它的推论来实现．[例4]已知：如图4，在△ABC中，D是AC上一点，延长CB到E，使BE=AD，ED交AB于F．分析：观察比例式的右边三点A、B、C可构成△ABC，而左边的三点D、E、F不能构成三角形，因此不能直接利用相似三角形获证．证明：略．此题添平行线的方法还有：（1）过D点作BC的平行线交AB于M。

九年级数学上成比例线段练习题九年级数学上---3.1成比例线段练题概念复：1、对于四条线段a、b、c、d，若有ab=cd，则称这四条线段是成比例线段。

其中a、d是比例内项，b、c是比例外项，ad=bc是第四比例项，ab×cd=bc×ad是内项积外项积。

2、对于三条线段a、b、c，若有b是线段a、c的比例中项。

3、对于成比例线段的四条线段a、b、c、d，若有ab=cd，则有a：b=c：d；反之也成立。

4、比例线段的合比性质是：若a：b=c：d，b：c=e：f，则a：d=e：f。

5、比例线段的等比性质是：若a：b=b：c=c：d，则a：d=a²：b²=b²：c²=c²：d²。

练1：1.如图，格点图中有2个三角形，若相邻两个格点的横向距离和纵向距离都为1，则AB=1，BC=2，DE=3，EF=6，计算AB：BC=1：2，DE：EF=1：2，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

2.已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？①a=16 cm，b=8 cm，c=5 cm，d=10 cm；不成比例。

②a=8 cm，b=5 cm，c=6 cm，d=10 cm；成比例。

3、已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，则线段d=4 cm。

4、已知5，在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是40 m×80 m。

选择题：1.下列各组中的四条线段成比例的是(。

)A.a=2，b=3，c=2，d=3B.a=4，b=6，c=5，d=10.C.a=2，b=5，c=23，d=15D.a=2，b=3，c=4，d=12.答案：B。

2.若ac=bd，则下列各式一定成立的是(。

)A。

a/c=b/dB。

a²/c²=b²/d²C。

bd
(4)若四条线段满足;,则有ad=bc。
典例精析
【例1】.一张桌面的长a=1.25 m，宽b=0.75 m，
那么长与宽的比是多少？
a:b=5：3 或 a 5
b3
a.如果a=125 cm，b=75 cm，那么长与宽的比
是多少？
a:b=5：3
或a 5 b3
b.如果a=1250 mm，b=750 mm，那么长与宽的
★★★★课堂练习 1.如图所示的两个三角形相似吗？为什么？
相似，由已知条件可知它们的角分别 相等，边成比例.
合作探究 知识点3 相似多边形性质的应用
由相似多边形的性质可知，相似多边 形的对应角相等，对应边成比例。
典例精析
【例2】如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，
β的大小和EH的长度x.
总第2课时
情景 引入
合作 探究
课堂 练习
归纳 小结
达标 测试
学习目标
1
理解比例线段的概念。
2
会根据相似多边形的特征识别两
个多边形是否相似，并会运用其性质
进行有关的计算。
复习回顾
1.形状相同的图形叫做相似图形。 注意:相似图形的大小不一定相同;
全等图形是相似图形的特殊情况。 2.图形的相似具有传递性。 3.两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一 个图形放大或缩小得到。即:利用相似放大或缩小 图形。
DE= DF2 EF2 22 1.52 =2.5 ∵ AB BC AC
DE EF DF
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F=90° ∴△ABC与△DEF相似.
1 两个边数相同的多边形，如果它们的角对 应相等，边成比例，那么这两个多边形相似。

《成比例线段》典型例题例题1 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否是成比例线段？（1）cm 10,cm 5,cm 8,cm 16====d c b a ；（2）cm 10,m 6.0,cm 5.0,cm 8====d d c b a ．例题2 如图，)2,3(),1,2(),2,0(C B A --．（1）求出AB 、BC 、AC 的长．（2）把上述三个点的横坐标、纵坐标都乘以2，得到C B A '''、、的坐标，求出C A C B B A '''''',,的长．（3）这些线段成比例吗？例题3．已知811=+x y x ，求y x例题4．已知432z y x ==，求y x z y x -+-33的值例题5．若3753=+b b a ，则b a 的值是__________例题6．设k yx z x z y z y x =+=+=+，求k 的值例题7．如果0432≠==c b a ，求：b c a c b a 24235-++-的值例题8．线段x ，y 满足1:4:)4(22=+xy y x ，求y x :的值例题9．如图，已知，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，并且 23===AE AC DE BC AD AB ，ABC ∆的周长为12cm求：ADE ∆的周长参考答案例题1 分析 观察四条线段是否成比例时，首先要把四条线段的单位都化成一致的单位，再把它们按从小到大的顺序排列，由比例线段的基本性质知bc ab =，即如果第一、四两个数的积等于第二四两个数的积，则四条线段成比例，否则不成比例．解答 （1）cm 16,cm 10,cm 8,cm 5====a d b c ，ac bd c a d b ==⨯=⨯,80,80 ， ∴dc a b =， ∴四条线段成比例．（2）10cm 8cm,6cm,0.6dm cm,5.0=====d a c b ，ca bd ca bd ≠==,48,5，∴这四条线段不成比例．例题2 分析 利用勾股定理可以求出这些线段的长．解答 （1）133222=+=AB ，543,26152222=+==+=AC BC ．（2）)4,6(),2,4(),4,0(C B A '-'-'，132134526422=⨯==+=''B A ，26226410421022=⨯==+=''C B ，108622=+=''C A ．（3）21,21,2113213=''=''==''C A AC C B BC B A AB， ∴C A AC C B BC B A AB ''=''=''， 这些线段成比例．例题3．解答：由比例的基本性质得x y x 11)(8=+∴y x 83=∴38=y x 说明 本题考查比例的基本性质，易错点是由y x 83=化成比例式时错成83=y x ，解题关键是运用比例的基本性质，本题还可以运用合比性质求解。

������
������ = ������������
������
即 ������
������
= ������������
������
类型二
2. 若点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则：①AB＝ 5－1 AC；
②AC＝ 3－
5 AB;
③AB∶AC＝AC∶CB;
2
④AC≈0.618AB.
2
其中正确的有( D )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3. 已知-1，9，x，其中一个数是其他两个数的比例中项，求 x 的值.
7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，过点 C 作 CD∥AB， 且 BD⊥AB，连结 AD．
（1） 判断线段 AC，AB，BD，BC 是否成比例，并说明理由. （2） 若 AB=5，AC=3，求 BD 的长. （3） 若 AB=2AC，求△ACD 与△ABC 的面积比.
6.
已知
������−������������ = ������
������
������
，求
������ ������
的值．
解：������ − ������ = ������
������
������
������ ������
=
������������ ������
解：������������ − ������������������ = ������������
度单位(即统一长度单位)．
2．四条线段成比例与它们的排列顺序有关．线段 a，b，c，d
成比例表示成a＝c，而线段 bd
b，a，c，d
成比例则表示成ba＝cd.

室内设计
在室内设计中，家具、装饰品和 空间布局等也常常需要遵循一定 的成比例关系，以达到视觉上的
舒适和平衡感。
03 成比例线段的性质和判定 方法
成比例线段的性质
1 2
对应线段长度成比例
如果四条线段a、b、c和d成比例，则它们的长 度之间存在一定的比例关系，即a/b = c/d。
对应角相等
如果四条线段成比例，则它们所构成的三角形中， 对应的角相等。
黄金分割在艺术和设计中广泛应用，如建筑设计、绘画和摄影等，而成比例线 段是实现黄金分割的关键。
与等比数列的关联
等比数列
在数学中，等比数列是一种特殊的数列，其中任何项都与它 前面的项成相同的比例。这与成比例线段的定义相呼应。
数学分析
通过成比例线段，可以进一步研究等比数列的性质，如公比 、项数等，以及它们在数学分析和实际生活中的应用。
3
相似图形
如果四条线段成比例，则由它们构成的两组相似 多边形也是相似的。
成比例线段的判定方法
定义法
如果四条线段满足a/b = c/d，则 它们成比例。
平行线法
如果两条线段平行且被一条横截线 所截，截得的对应线段成比例，则 原线段也成比例。
三角形法
如果两个三角形相似，则它们的对 应边成比例。
判定成比例线段的注意事项
分形几何
分形几何中的许多图形都是由成比例 线段构成的。例如，科赫雪花就是通 过不断将线段按照一定比例进行分割 和拼接而形成的。
建筑中的成比例线段
建筑设计
建筑设计中，成比例线段的运用 可以增强建筑的和谐感和美感。 例如，古希腊的帕台农神庙和罗 马的万神庙都是运用了成比例线
段的经典建筑。
建筑结构
建筑物的各个部分之间也存在成 比例关系，如梁和柱的尺寸、窗 户和门的高度等。合理的比例关 系可以使建筑物更加坚固和美观。

2、已知四条线段a、b、c、d的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm;（2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm.3、已知a、b、c、d是成比例线段，且a=3�M，b=2�M，c=6�M，求线段d的长.4、已知 =3， = 成立吗？5、在比例尺为1∶8000的某学校地图上，矩形运动场的图上尺寸是1 cm×2 cm，矩形运动场的实际尺寸是多少？◆典例分析6、已知，求是的值．分析：解决这个问题时一定要注意分类讨论，不能只用等比性质，而把a+b+c=0这种情况漏掉.点评：在利用等比性质时，一定要注意等比性质成立的条件，千万不能忽视这一点.◆课下作业●拓展提高1、下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a= ，b=3，c=2，d=B.a=4，b=6，c=5，d=10C.a=2，b= ，c=2 ，d=D.a=2，b=3，c=4，d=12、若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )A. B. C. D.3、若2x－5y=0，则y∶x=________， =________.4、若，则 =________.5、已知a∶b∶c=4∶3∶2,且a+3b－3c=14.（1）求a,b,c;（2）求4a－3b+c的值..6、在△ABC中，D是BC上一点，若AB=15 cm，AC=10 cm，且BD∶DC=AB∶AC，BD－DC=2 cm，求BC.7、现有三个数1，，2，请你再添上一个数写出一个比例式 .●体验中考1、（2008年泰州市）在比例尺为1�U2000的地图上测得AB两地间的图上距离为5cm，则AB 两地间的实际距离为 m．2、（2009年台湾）某校一年级有64人，分成甲、乙、丙三队，其人数比为4：5：7.若由外校转入1人加入乙队，则后来乙与丙的人数比为何？（）(A) 3：4 (B) 4：5 (C) 5：6 (D) 6：7 。

得出结论
(1) a c
b d (2) a c b d
ab cd ; b d ab cd . b d
(2)合比性质 a c 如果 = ， b d a±b c±d 那么 = . b d
做一做
ac a c k ，那么 （1）如果 bd b d 与同伴进行交流。
ace a c e （2）如果 b d f ，那么 b d f 与
.
第一环节 情景引入 在实际生活中，经常会看到许多形状相同的图片
你能在下面图形中找出形状相同的图形吗？
你发现这些形状相同的图形有什么不同？
你发现这些形状相同 的图形有什么不同？
• 1、形状相同，大小不同
• 2、图形之间的“放大、缩小”
• 3、图形上相应的线段也被“放大、缩小” • 对于形状相同而大小不同的两个图形，可以用 相应“线段长度的比”来描述图形的大小关系。
x y z x y 3z 2.已知 : , 求 的值. 2 3 4 3x 2 y
3、已知a : b : c 3 : 4 : 2, 且a 2b c 18, 求3a b 2c的值。
学以致用
1. x+y 5 x 已知 3y = 4 ，求 y .
学以致用
3.在
称比例线段．
已知四条线段a、b、c、d ， a c 如果 = ， 或 a：b=c：d， b d 那么 a、b、c、d 叫做组成比例的项， 线段 a、d 叫做比例外项，
线段 b、c 叫做比例内项，
线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.
成比例的四条线段是有次序的!
随堂练习
1．a，b，c，d 是成比例线段，其中 a = 3 cm， b = 2 cm，c = 6 cm，求线段 d 的长．

如何判断四条线段成比例我们知道，如果线段a和b的比等于线段a和d的比，那么，线段a、b、c、d叫做成比例线段．那么，该如何判断四条线段成比例呢？下面，就给大家简单说明一下．四条线段m、n、、不管各线段排在什么位置，只要满足它们构成的比例式，例如，m∶n=∶，那么这四条线段叫做成比例线段．比例式还可以写成另外七种形式：= ；= ；=；= ；= ；=；=，所以，四条线段只要写成这八个比例式之一，就可以判定它们成比例．由上面八个比例式都可以得到等积式m=n，所以四条线段假设能写成像前面这样的等积式，也可以判定它们成比例．另外，还要注意四条线段之间假设写出了一个不成比例的关系，例如，≠，我们不能匆忙判定这四条线段不成比例．因为成比例的四条线段有八种排列顺序，而不成比例的排列顺序却有16种，要判定四条线段是否成比例，只要把这四条线段按大小顺序排列好，分别计算前两线段和后两线段的比，假设比值相等，就可以判定这四条线段成比例，否那么就不成比例；或者分别计算第一、四和第二、三线段的积，等积，那么这四条线段成比例，否那么就不成比例．例如，线段a、b、c、d的长度分别为：〔1〕2cm，1cm，5cm，7cm; 2 5cm，cm，cm，cm验证它们可以组成比例线段，并写出它们组成的一个比例．解：〔1〕先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来：b=1cm，a=2cm，c=5cm，d=7cm，再求第一、二和第三、四两条线段的比：==；==，所以，=，b、a、c、d是成比例的线段，1∶2=5∶7是所组成的一个比例．〔2〕先先把四条线段的长度按照大小顺序排列起来：d=cm，d =cm，c=cm，a=5 cm，再求第一、四和第二、三两条对线段的积：d·a=×5=1；b·c=×=1所以，d·a= b·c，可以写成：=，因此，d、d、c、a为成比例线段，∶=∶5，四所组成的一个比例．。

浙 教 版 九年级 上册 义务教育课程标准实验教科书
3
在同一长度单位下，a,b,两线段长度的比叫做 这两线段的比。记为a：b或 a 。 b 注意： (1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同 一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长 度单位无关。 (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以 表示为AB:CD.
答：略
1.已知线段a＝30mm，b＝2cm，c＝ ＝12mm，试判断a、b、c、d是否成比例线段。
4 5cm，d
2.已知a、b、c、d是比例线段，其中a＝6cm， b＝8cm，c＝24cm,则线段d的长度是多上？ 3.已知三角形三条边之比为a：b：c=2：3：4，三 角形的周长为18cm，求各边的长。 4.已知AB两地的实际距离是60km，画在图上的 距离A1B1是6cm，求这幅图的比例尺。
2
(1)若3x＝4Y，求 (2)若
a+b a X Y
、
X
、
X－2Y Y+X
的值。
Y－X a－2b b
＝
5 3
，求
的值。 的值。
(3)x:y:z＝2:3:4 ，求
X－y＋z 2x＋3y－z
(4)已知线段AB＝15cm，CD＝20cm。求 AB:CD的值。
6
判断四条线段是否成比例的方法有两种：
(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线 段的比和后两条线段的比是否相等。 (2)查看是否有两条线段的积等于其余两条 线段的积 。
4
一般地，四条线段a、b、c、 d中，如果a与b的比等于c与d比， a c 即 = b ，那么这四条线段 a、 d b、c、d叫做成比例线段，简称比 例线段。

比 例 线 段◆比例线段1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的第四比例项；比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。

4. 比例的性质（1）基本性质:bc ad dc b a =⇔=， a ∶b ＝b ∶c ⇔b 2=ac 例1：6∶x = (5 +x )∶2 中的x = ；2∶3 = ( 5x -)∶x 中的x = 例2：若，则＝________（2）合、分比性质:dd c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-⇒=+=+⇒=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母.想想是否可以拓展呢？即分母加（减）分子，不变的是分子例1：若43=-b b a ，则ba =_________ 例2：如果，则＝________（3）等比性质:若)0(≠+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅===n f d b n m f e d c b a 则ba n f db m ec a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++. 例1：若9810z y x ==, 则 ______=+++z y z y x 例2：已知：，则＝________；如果，那么＝________例3:若a b+c =b c+a =c a+b=k ，求k 的值.（4）比例中项:若c a b c a b cb b a ,,2是则即⋅==的比例中项. 例1：已知：线段，若线段b 是线段a,c 的比例中项，则c ＝________例2： 2:)3(-a = )3(-a :8,则a ＝【练一练】1、 若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , ___________,____,===c b a ；2、 已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且12=++z y x , 那么_________,____,===z y x ；3、已知dc b a =＝f e ＝2 （b ＋d ＋f ≠0），求：（1）f d be c a ++++；（2）f d b e c a +-+-； （3）f d b ec a 3232+-+-；（4）f b ea 55--．4、 已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② )(y x +∶____)(=+z y ；5、 若322=-y y x , 则_____=yx ； 6、若345x y z ==，则x y z z ++＝ ．若x:y:z=2:3:4，则=+-+y x z y x 232 ．7、如果 ，则 ，。

课堂练习：
A
6 D 9 B EC＝（
A 4 E
B
12
D
15
E
10
F 9
G
C ）
C
AE＝（
）
GC＝（
）
例2：填空
A D B E
（1）∵ AB∥DE
CD （ CE ） AC
C
（ BC ） BE （ AD） ∴ ＝ ＝ ＝ AD （ BE ） CD （ CE ） BC （ AC ） D A （2）∵ AD∥EF ∥BC
北师大版九年级数学上册
学习目标
1.了解平行线分线段成比例这个基本事实
产生的过程
2.掌握由平行线分线段成比例所得的推论
3.会用平行线分线段成比例的事实和推论
解决相关的计算和证明问题
回顾复习
1.比例线段的概念：
四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ∶b=c ∶d，那么这四条 线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.
平行于三角形一边的直线与其他两 边相交，所截得的对应线段成比例
例1 如图，在△ABC中，E，F分别是AB和AC上的点， 且EF∥BC。 （1）如果AE=7 ，EB=5，FC=4.那么AF的长是多少？ （2）如果AB=10 ，AE=6，AF=5.那么FC的长是多少？
P84知识技能2
探究活动三
思考
l1 如果把图1中l1 , l2两条直线相交，交点A 刚落到l4上，如图2（2）所得的对应线段 的比会相等吗？依据是什么？ l2
m n
A₁ A₂
A₃
B₁ B₂ B₃
a
b
c
议一议： 1.如何理解“对应线段”？ 2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

比例线段一.知识要点：（一）比例线段1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n，或写成,其中a叫做比的前项;b叫做比的后项。

2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项．4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或，那么线段ｂ叫做线段ａ和ｃ的比例中项．（二）比例的性质：(1)比例的基本性质：(2)反比性质：(3)更比性质: 或(4)合比性质:(5)等比性质: 且(三) 平行线分线段成比例定理1.定理: 三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例。

2.推论: 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

3.平行于三角形一边并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边的对应成比例。

4.如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

这四个定理主要提出由平行线可得到比例式;反之,有比例可得到平行线。

首先要弄清三个基本图形。

这三个基本图形的用途是:1.由平行线产生比例式基本图形(1): 若l1//l2//l3，则或或或基本图形(2): 若DE//BC，则或或或基本图形(3): 若AC//BD，则或或或在这里必须注意正确找出对应线段，不要弄错位置。

2．由比例式产生平行线段基本图形(2):若, , , ,, 之一成立，则DE//BC。

基本图形(3):若, , , , , 之一成立，则AC//DB。

二. 本讲内容所需要的计算与证明方法计算方法1.利用引入参数求解相关命题的方法。

2. 会利用比例式建立方程求线段的长。

第八讲 成比例线段与平行线分线段成比例定理【学习目标】1、通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念;理解并掌握比例的性质2、会求两条线段的比， 应用线段的比解决实际问题。

3、通过现实情境了解线段的比和成比例线段的概念;理解并掌握比例的性质4、会求两条线段的比， 应用线段的比解决实际问题。

【基础知识】1.比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质 (1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n≠0）3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=.l 5（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=.ODC BA（3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.ED CBA4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．【考点剖析】考点一：两条线段的比例1．（1）在一幅比例尺是1：5000000的地图上，量得上海到杭州的距离是3.4cm ．那么上海到杭州的实际距离是（ ） A ．17km B ．34kmC ．170kmD ．340km【答案】C 【详解】 解：13.4 3.45000000170000005000000÷=⨯=（厘米），17000000厘米＝170千米，答：上海到杭州的实际距离是170千米， 故选：C ．（2）如果A 、B 两地的实际距离为50米，画在地图上的距离115A B =厘米，那么图上距离与实际距离的比为（ ） A ．1：10 B ．1：100C ．1：1000D ．1：10000【答案】C 【详解】50米等于5000厘米，所以5500011000=：：， 故选C ．考点二：比例的性质 例2．（1）已知203()a c b d b d ==+≠，则a c b d++的值为（ ） A ．13 B ．23C ．43D ．32【答案】B 【详解】解：由比例的性质，得23a a cb b d +==+， 故选：B ．（2）若32(0)x y xy =≠，则下列比例式成立的是（ ） A ．32x y = B ．23x y = C ．32x y = D ．23x y= 【答案】B 【详解】 解：A 、由32x y=得，2x =3y ，故本选项不符合题意； B 、由23x y=得，3x =2y ，故本选项符合题意； C 、由32x y =得，2x =3y ，故本选项不符合题意； D 、由23x y=得，xy =6，故本选项不符合题意． 故选：B ． （3）若234a b c ==≠0，则a b c a b c +--+＝__． 【答案】13【详解】 设234a b c==＝k ，则a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ， ∴a b c a b c +--+＝234234k k k k k k +--+＝3k k ＝13．故答案为：13考点三：黄金分割例3．如图所示，以长为2的定线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF PD =，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM DM ，的长；（2）点M 是AD 的黄金分割点吗？为什么？【答案】（1）AM =51-，DM =35-；（2）是，理由见解析 【详解】解：（1）在Rt APD 中，1AP =，2AD =，由勾股定理知22415PD AD AP =+=+=， 51AM AF PF AP PD AP ∴==-=-=-， 35DM AD AM =-=-．故AM 的长为51-，DM 的长为35-； （2）点M 是AD 的黄金分割点． 由于512AM AD -=， ∴点M 是AD 的黄金分割点．考点四：平行线分线段成比例例4．（1）如图，在ABC 中，点D 在AB 边上，点E 在BC 边上，过点D 作DG //BC ，交AC 于点G ，过点E 作EH //AB ，交AC 于点H ，DG 的延长线与EH 的延长线交于点F ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AD DGDB BC= B ．GF HCEC GH= C ．FH GHAD AG= D ．HE ECAB BE= 【答案】C 【详解】 解：∵DG //BC ，∴AD DGAB BC=，故A选项错误；∵DG//BC，∴GF GHEC HC=，故B选项错误；∵EH//AB，∴FH GHAD AG=，故C选项正确；∵EH//AB，∴HE ECAB BC=，故D选项错误．故选：C．（2）如图，已知一组平行线a//b//c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF＝4.8，则DE的长为__．【答案】3.6【详解】解：∵a∥b∥c，∴DE AB EF BC=，即3 4.84 DE=，∴DE＝3.6，故答案为：3.6．【真题演练】1．若23ab=，则a bb+的值为（）A．13B．23C．53D．35【答案】C 【详解】 解：23a b =； ∴251133a b a b b +=+=+=． 故选：C ．2．已知:3:4x y =，则下列各式中不正确．．．的是（ ） A ．74x y y += B ．13x y x -= C ．211x yy x+=- D ．227x y x y -=+ 【答案】B 【详解】解：∵:3:4x y =， ∴43x y =， ∴34x y =， A 、3744y yy +=，故正确，不符合题意；B 、314334y yy -=-，故错误，符合题意； C 、3241134y y y y +=-，故正确，不符合题意； D 、3224374y yy y ⨯-=+，故正确，不符合题意； 故选B ．3．某地图上1cm 2面积表示实际面积900m 2，则该地图的比例尺是（ ） A ．1:30 B ．1:3000C ．1:900D ．1:90000000【答案】B 【详解】解：设该地图的比例尺是1：x ，根据题意得：1：x 2＝1：9000000，解得x 1＝3000，x 2＝−3000（舍去）． 则该地图的比例尺是1：3000； 故选：B ．4．已知线段a ﹦4cm ，线段b ﹦7cm ，则a ﹕b 的值是（ ）． A ．1﹕4 B ．1﹕7C ．4﹕7D ．7﹕4【答案】C 【详解】解：∵线段a ﹦4cm ，线段b ﹦7cm ， ∴a ﹕b=4cm ：7cm=4：7． 故选择：C ．5．下列各组数中，能成比例的是（ ） A ． 3, 5,6,10 B ．3, 6, 8, 9C ．3,6,7,9D ．3,4,5,6【答案】A 【详解】解：A 、3×10=5×6，故A 选项符合题意； B 、3×9≠6×8，故B 选项不符合题意； C 、3×9≠6×7，故C 选项不符合题意； D 、3×6≠4×5，故D 选项不符合题意． 故选：A ．6．下列四组线段中，不是成比例线段的是（ ）A ．a =3，b =6，c =2，d =4B ．a =1，b c ，dC ．a =4，b =6，c =5，d =10D ．a =2，b c d 【答案】C 【详解】解：A 、3×4=6×2，是成比例线段，故本选项不符合题意；B 、1⨯=，是成比例线段，故本选项不符合题意；C 、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项符合题意；D 、2 故选：C ．7．已知M ，N 分别为,AB AC 上的两点，且//,:4:5MN BC AN AC =，若10AB =，则AM 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C 【详解】 解：//MN BC ，::AN AC AM AB ∴=， :4:5AN AC =，10AB =，4:5:10AM ∴=，8AM ∴=，故选：C ．8．如图，直线123////l l l ，直线a ，b 分别与这三条平行线相交，交点分别为点A ，B ，C 与点D ，E ，F ．已知23=AB BC ，4DE =，则EF 的长为（ ）A ．83B ．6C ．8D ．10【答案】B 【详解】 解：∵123////l l l ， ∴AB DEBC EF =， 即243EF=， ∴6EF =，9．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（510.6182-≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．若小凡的身高满足此黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为108cm ，则小凡的身高约为（ ）A ．155cmB ．165cmC ．175cmD ．185cm【答案】C 【详解】 解：由题意得：头顶至肚脐的长度为1080.61866.744cm ⨯=， ∴10866.744174.744cm 175cm +=≈， ∴小凡的身高约为175cm ； 故选C ．10．如图，直线12,l l 被三条平行线所截，交点如图所示，若 1.5,6,2AB AC DE ===，则EF 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】B 【详解】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴AB DEAC DF=，又AB =1.5，AC =6，DE =2， ∴1.526DF=，经检验：DF =8符合题意， ∴EF =DF -DE =6， 故选B ．11．如图，已知直线l 1//l 2//l 3，直线AC 分别与直线l 1，l 2，l 3，交于A 、B 、C 三点，直线DF 分别与直线l 1，l 2，l 3交于D 、E 、F 三点，AC 与DF 交于点O ，若BC ＝2AO ＝2OB ，OD ＝1．则OF 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【详解】∵BC ＝2AO ＝2OB ， ∴OC ＝3AO ， ∵直线l 1∥l 2∥l 3， ∴AO ODOC OF =， ∴AO OD OC OF =＝13， ∵OD ＝1， ∴OF ＝3， 故选：C ．12．如图，直线////,6,2,3a b c AB BC EF ===，则DE 的长为（ ）A ．5B ．6C ．9D ．12【答案】C 【详解】解：∵////a b c ，∴AB DEBC EF =， 即623DE =， ∴9DE =． 故选C ．13．如图，ABC 中，90C ∠=︒，D 、E 是AB ，BC 上两点，将ABC 沿DE 折叠，使点B 落在AC 边上点F 处，并且//DF BC ，若3CF =，9BC =，则AB 的长是（ ）A ．254B ．15C ．454D ．9【答案】C 【详解】解：由折叠得到EB EF =，B DFE ∠=∠，在Rt ECF 中，设EF EB x ==，得到9CE BC EB x =-=-， 根据勾股定理得：222EF FC EC =+，即2223(9)x x =+-， 解得：5x =，5EF EB ∴==，4CE =，//FD BC ， DFE FEC ∴∠=∠，FEC B ∴∠=∠， //EF AB ∴，∴EF CEAB BC=， 则594544EF BC AB CE ⨯===． 故选：C ．14．在比例尺为1：50000的地图上，量得A ，B 两地的距离是2厘米，那么A ， B 两地的实际距离是__________米． 【答案】1000 【详解】解:∵比例尺为1：50000，A ，B 两地的距离是2厘米， 设A ， B 两地的实际距离为x cm ， ∴12,50000x=100000x = 1000001000cm m =故答案为:1000 15．（1）已知32x y =，求x y x y-+的值． （2）已知32,75a b b c ==，求a c的值． 【答案】（1）15；（2）1021 【详解】 解：（1）∵32x y =，设x =3k ，y =2k ， ∴321325x y k k x y k k --==++； （2）∵32,75a b b c ==， ∴27,35a b c b ==， ∴12375102a b b c ==． 【过关检测】1．如果34x y =，那么x y y +的值是（ ）A ．73 B ．54C ．32D ．74【答案】D 【详解】解：∵34x y =， ∴34744x y y ++==； 故选：D ．2．已知ab cd =，把这个等积式改成比例式后，错误．．的是（ ） A ．a dc b= B ．a c d b= C ．b a d c= D ．d b a c= 【答案】C 【详解】 解：A 、由a dc b=可得ab =cd ，故正确，不符合题意； B 、由a cd b=可得ab =cd ，故正确，不符合题意； C 、由b ad c=可得bc =ad ，故错误，符合题意； D 、由d ba c=可得ab =cd ，故正确，不符合题意； 故选C ．3．若a ：b ：c ＝2：4：5，且a +b +c ＝22，则a 的值为（ ） A ．10 B ．6C ．4D ．8【答案】C 【详解】∵a ：b ：c ＝2：4：5， ∴设a=2k,b=4k,c=5k ，代入a +b +c ＝22，得2k+4k+5k=22 解得k=2 ∴a=2k=4 故选C ．4．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”.如图，P 为AB 的黄金分割点（AP BP >），如果AB 的长度为10cm ，那么较短线段BP 的长度为（ ）A ．(55cm +B ．(105cmC ．()555cmD ．(1555cm -【答案】D 【详解】解：设较短线段BP 的长度为xcm ，则10AP x =-，由题意得，=AP BPAB AP2AP AB BP即2(10)10x x -= 整理得2301000x x -+=1,30,100a b c ==-=224(30)41100500b ac ∆=-=--⨯⨯=130********1555222b x a -+∆++∴====+ 155510+>11555x ∴=+（舍去）， 230500301051555222b x a --∆--====- 1555x ∴=-即1555BP =- 故选：D ．5．下列各组线段的长度中，不是成比例线段的是（ ） A ．3cm ，5cm ，9cm ，15cm B ．0.8cm ，1.6cm ，2.8cm ，5.6cm C ．12cm ，24cm ，36cm ，48cm D ．10cm ，5cm ，32cm ，16cm【答案】C 【详解】A 选项：31559⨯=⨯，所以是成比例线段，不符合题意，故A 错误；B 选项：0.8 5.6 1.6 2.8⨯=⨯，所以是成比例线段，不符合题意，故B 错误；C 选项：12482436⨯≠⨯，所以不是成比例线段，符合题意，故C 正确；D 选项：5321610⨯=⨯，所以是成比例线段，不符合题意，故D 错误． 故选C ．6．如图，已知////AB CD EF ，那么下列结论中正确的是（ ）A ．CD AD EF AF= B ．AB BCCD EC= C ．AD AFBC BE= D ．CE AFBE AD=【答案】C 【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ， ∴AD BCAF BE=，A 选项错误； BC ADEC FD =，B 选项错误； AD BCAF BE=， ∴AD AFBC BE=，C 选项正确； CE DFBE AF=，D 选项错误． 故选：C ．7．如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 边上，//DE BC ， //EF AB ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AD DEDB BC= B ．AD BFDB FC= C ．AD FCDB BF= D ．AD FCDB BC= 【答案】B 【详解】 ∵//DE BC ∴AD AEDB EC= ∵//EF AB ∴AE BFEC FC = ∴AD AE BFDB EC FC== ∴AD BFDB FC= 故答案为：B ．8．如图，已知点E 、F 分别是ABC 的边AB 、AC 的点，且//EF BC ，点D 是BC 边上的点，AD 与EF 交于点H ，则下列结论中，错误的是（ ）A ．AE AHAB AD=B ．AE EHAB HF=C ．AE EFAB BC= D ．AE HFAB CD=【答案】B 【详解】 解：∵EF ∥BC ， ∴AE AH AB AD=，AE EH AB BD =，AE EF AB BC =，AE HFAB CD =， ∴选项A ，C ，D 正确， 故选：B ．9．如图，直线123////l l l ，直线AC 分别交1l ，2l ，3l 于点A ，B ，C ，过点B 的直线DE 分别交1l ，3l 于点D ，E ．若2AB =，4BC =，3BD =，则BE 的长为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．9【答案】C 【详解】 根据题意可知AB BD BC BE=，即234BE =．∴BE=6． 故选：C ．10．图纸上画出的某个工件的长为4cm ，如果比例尺为1：30，那么此工件的实际长度为_____cm ． 【答案】120 【详解】设这个零件的实际长是xcm ， 则1：30=4：x ，解得x=120cm ． 故答案为120．11．若线段a ，b ，c ，d 成比例线段，且a ＝1cm ，b ＝2cm ，c ＝3cm ，则d 的长度是_____cm ． 【答案】6 【详解】解：∵线段a ，b ，c ，d 成比例线段， ∴a ：b ＝c ：d ， 即1：2＝3：d ， ∴d ＝6（cm ）． 故答案为：6．12．已知，如图，在ABC 中，////FG DE BC ，且BD DF FA ==．若1FG =，则DE =__________，BC =__________．【答案】2 3 【详解】解：证明：//FG DE ，∴FG AFDE AD=， 而BD DF AF ==，FG=1， ∴12FG AF DE AD ==，即22DE FG ==， //FG BC ，∴13FG AF BC AB ==，即33BC FG ==， 故答案为：2，3． 13．（1）已知37x x y =+，求:x y 的值． （2）已知线段3,6a b ==，求线段a ，b 的比例中项． 【答案】（1）34；（2）32【详解】解：（1）∵37x x y =+， ∴733x x y =+， ∴43x y =， ∴3:4x y =； （2）∵线段3,6a b ==， ∴18ab =，∴线段a ，b 的比例中项为1832=（负值舍去） ．14．（1）已知三条线段a 、b 、c ，其中32a b ==，，c 是a 、b 的比例中项，求线段c 的长度； （2）已知74a b =，求23a bb-的值． 【答案】（1）6；（2）121【详解】解：（1）∵c 是a 、b 的比例中项， ∴c 2=ab =3×2， 解得：c =±6（线段是正数，负值舍去）． 则c =6； （2）∵7a =4b ， ∴设a =4k ，b =7k ， ∴23a b b -=24737k k k⨯-⨯=121． 15．如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l 、2l 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ．若25DE EF =，AC ＝14．（1）求AB 的长；（2）如果AD ＝7，CF ＝14，求BE 的长． 【答案】（1）AB=4；（2）BE= 9 【详解】解：（1）∵AD ∥BE ∥CF ∴=DE AB EF BC ，即AB=DEAC DF ⨯， 又∵25DE EF =，即72DE DF =，AC=14， ∴AB=4；(2)过A 作AG ∥DF 交BE 于H ，交CF 于G ，如图所示：∵AD ∥BE ∥CF ，AD=7， ∴AD=HE=GF=7， 又∵CF=14， ∴CG=7， 又∵BE ∥CF ， ∴27BH AB CG AC ==， 故BH=2， ∴BE=BH+HE=9．。