高中数学精讲精练(新人教A版) 数列

4.1数列的概念（精讲）考点一数列的有关概念和分类【例1-1】（2022秋·吉林白山）现有下列说法：①元素有三个以上的数集就是一个数列；②数列1，1，1，1，…是无穷数列；③每个数列都有通项公式；④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式；⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数．其中正确的有（）．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【例1-2】（2023春·高二课时练习）下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数列？(1)2017，2018，2019，2020，2021；(2)1210,,,,,23n n- ；(3)11111,,,,,242n - ；(4)1111,,,,12233445--⨯⨯⨯⨯ ；(5)π1,0,1,,sin,2n - ；(6)9，9，9，9，9，9.【一隅三反】1．（2023·全国·高二专题练习）下列有关数列的说法正确的是（）A ．同一数列的任意两项均不可能相同B ．数列2-，0，2与数列2，0，2-是同一个数列C ．数列2，4，6，8可表示为{}2,4,6,8D ．数列中的每一项都与它的序号有关2．（2023北京）下列有关数列的说法正确的是（）A ．同一数列的任意两项均不可能相同B ．数列1-，0，1与数列1，0，1-是同一个数列C ．数列1，3，5，7可表示为{}1,3,5,7D ．数列2，5，2，5，…，2，5，…是无穷数列3．（2023云南）（多选）下列结论正确的是（）A ．数列1，2，3与3，2，1是两个不同的数列．B ．任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．C ．若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．D ．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则对任意N n *∈，都有11n n n a S S ++=-.4．（2022·全国·高二专题练习）下列各式哪些是数列？若是数列，哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？（1）{0，1，2，3，4}；（2）0，1，2，3，4；（3）所有无理数；（4）1，－1，1，－1，1，－1，…；（5）6，6，6，6，6考点二数列的前几项和数列的通项公式互化【例2-1】（2023·全国·高二随堂练习）观察以下各数列的特点，用适当的数填空，并对每一个数列各写出一个通项公式：(1)2，4，______，8，10，12；(2)2，4，______，16，32，______，128，______；(3)______，4，3，2，1，______，1-，______；(4)______，4，9，16，25，______，49.【例2-2】（2023·安徽）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（）A ．14，20B ．15，25C ．15，20D ．14，25【例2-3】（2023春·广东佛山）164是数列111124816，，，，……的（）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【一隅三反】1．（2023秋·新疆·高二校联考期末）已知数列-，则该数列的第100项为（）A ．10B ．10-C ．11-D2.（2023·山东）数列49161,,,,357 的第8项是（）A ．6415B ．3213C ．6413D ．32153．（2023·福建）若数列{}n a 的前四项依次是2，0，2，0，则{}n a 的通项公式不可能是（）A ．()11n n a =--B ．()111n n a +=+-C ．2π2sin 2n n a =D ．()()121cos πn a n n n =--+-4．（2023·全国·高三专题练习）如图，第n 个图形由第2n +边形“扩展”而来的.记第n 个图形的顶点数为(1,2,3,)n a ，则2005a =.5．（2023秋·高二课时练习）观察下面数列的变化规律，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式．(1)（），7，12，（），22，27，…；(2)1-，12，（），14，15-，16，（），…；(3)1），2…；(4)112⨯，123⨯，（），145⨯，…．考点三由递推公式求数列的指定项【例3-1】（2023春·广东韶关·高二校考期中）已知数列{}n a 满足()1112,12n n a a n a -==+≥，则3a =（）A ．35B ．12C ．53D ．23【例3-2】（2023·湖南）在数列{}n a 中，112a =，()1112,*-=-≥∈n n a n n a N ，则2022a =（）A ．12B ．1C ．1-D ．2【一隅三反】1．（2023春·新疆喀什）已知首项为1的数列{n a }中，234123111111a a a a a a =+=+=+，，...，则5a=（）A ．53B ．85C ．138D ．22．（2022秋·甘肃天水·高二统考期中）在数列{}n a 中，12a =-，111nn n aa a ++=-，则2021a=（）A ．2-B ．13-C ．12-D ．33．（2023秋·高二课时练习）写出下列数列的前5项：(1)11a =，()122n n a a n -=+≥；(2)11a =，()1122n n a a n -=≥；(3)12a =，()1211n n a a n +=-≥．考点四数列的单调性及应用【例4-1】（2023秋·高二课时练习）已知数列{}n a 满足2n n a kn =+，若{}n a 为递增数列，则k 的取值范围是（）A ．(2,)-+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞-D ．(,2)-∞【例4-2】（2023春·北京怀柔·高二统考期末）数列{}n a 的通项公式为()()21,2,n n a n n λ=-⋅= ，若{}n a 是递增数列，则λ的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．()21log e,3+C ．(]2,1log e ∞-+D ．(),3-∞【一隅三反】1．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考阶段练习）已知数列{}n a 的通项公式为22n a n kn =++，若对于*N n ∈，数列{}n a 为递增数列，则实数k 的取值范围为（）A ．3k ≥-B ．2k ≥-C ．3k >-D ．2k >-2．（2023·河北）已知数列{}n a 的通项公式为1215=-n n a ，其最大项和最小项的值分别为（）A ．1，17-B ．0，17-C ．17，17-D ．1，111-3．（2023·湖南）已知函数32()(R)3x x f x x -=∈，设数列{}n a 的通项公式为()(N )n a f n n *=∈，则下列选项错误的是（）A ．()f x 的值域是R ；B ．n a 的最小值为113a =；C ．1n a <；D ．数列{}n a 是单调递增数列.4．（2023秋·高二课时练习）已知数列{}n a 满足612,72,7n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+>⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≤⎩，N n *∈，若对于任意*N n ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭考点五由递推公式求通项公式【例5-1】（2023春·高二单元测试）已知数列{}n a 满足()111,N,11n n n a a a n n n +==∈≥+，则n a =.【例5-2】（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且232n S n n =+，则数列{}n a 的通项公式n a =．【一隅三反】1．（2022春·吉林长春·高二东北师大附中校考期中）已知数列{}n a ，11a =且()()121n n n a n a ++=+，则{}n a 的通项公式n a =．2．（2022春·浙江嘉兴·高二浙江省海盐高级中学校考开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =+，则数列{}n a 的通项公式n a =.3．（2023秋·黑龙江牡丹江·高二牡丹江市第二高级中学校考期末）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足2*22(,1)n S n n n n =++∈≥N ，则数列{}n a 的通项公式n a =.。

课时功课(二) 数列的递推公式[练根底]1．数列2,4,6,8,10 , …的递推公式是( )A ．a n ＝a n －1＋2(n ≥2)B ．a n ＝2a n －1(n ≥2)C ．a 1＝2 , a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2 , a n ＝2a n －1(n ≥2)2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1 , 那么a 8的值为( )A ．15B ．16C ．17D ．183．已知数列{a n }中 , a 1＝1 , a n ＋1＝2a n ＋1 , 那么数列{a n }的一个通项公式是( )A ．a n ＝nB ．a n ＝n ＋1C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n －14．如以下图的是一系列有机物的布局简图 , 图中的〞小斑点〞表现原子 , 两点之间的〞短线〞表现化学键 , 按图中布局 , 第n 个图有化学键( )A ．6n 个B ．(4n ＋2)个C ．(5n －1)个D ．(5n ＋1)个5．设数列{a n }的前n 项和为S n , S n ＝3n －1 , 那么a n ＝________.6．在数列{a n }中 , a 1＝2 , a 9＝66 , 通项公式是关于n 的一次函数．(1)求数列{a n }的通项公式 ;(2)2020能否为数列{a n }中的项 ？[提本领]7．数列{a n }中 , a 1＝7 , a 9＝8 , 且(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3) , 那么a 2即是________．8．雪花曲线是一种容貌乖僻的曲线 , 但它是真实存在的．这条曲线可以从一个等边三角形最先来画．你可以想象 , 有一位可爱的小天使正在画雪花曲线．她把一个蓝色的等边三角形的每边分成相似的三份 , 再在中心的谁人三分之一上向外画出一个粉赤色的等边三角形 , 如许一来就做成了一个六角星 , 六角星的每一条边再向外画一个绿色等边三角形 , … , 以此类推．设第n 个雪花曲线的边数为a n , 那么a 3＝________ , a n ＋1与a n 的干系是________．9．已知数列{a n }中 , a 1＝1 , S n 表现{a n }的前n 项和 , 且S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2 , a 3 ;(2)求{a n }的通项公式．[战疑难]10．(多项选择题)假设数列{a n }知足a 1＝1 , a 2＝2 , a n a n －2＝a n －1(n >3) , 记数列{a n }的前n 项积为T n , 那么以下说法准确的选项是( )A ．T n 无最大值B ．a n 有最大值C ．T 2 019＝4D ．a 2 019＝2课时功课(二) 数列的递推公式1．剖析 : A , B 中没有申明某一项 , 没法递推 , D 中a 1＝2 , a 2＝4 , a 3＝8 , 不切合 , 应选C.谜底 : C2．剖析 : 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2) , 得a 8＝S 8－S 7＝82＋1－72－1＝(8＋7)(8－7)＝15.应选A.谜底 : A3．剖析 : 由题a 1＝1 , a 2＝3 , a 3＝7 , a 4＝15 , 履历证 , 选D.谜底 : D4．剖析 : 由题中图形知 , 各图中〞短线〞个数挨次为6,6＋5,6＋5＋5 , … , 假设把6看作1＋5 , 那么上述数列为1＋5,1＋2×5,1＋3×5 , … , 于是第n 个图形有(5n ＋1)个化学键．应选D.谜底 : D5．剖析 : 由a n ＝S n －S n －1(n ≥2)得a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝3n －3n －1＝3n －1·2(n ≥2)．当n ＝1时 , a 1＝S 1＝2 , 知足上式 , 故a n ＝2·3n －1.谜底 : 2·3n －16．剖析 : (1)设a n ＝kn ＋b (k ≠0) , 那么⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝29k ＋b ＝66解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝8b ＝－6.∴a n ＝8n －6.(2)由8n －6＝2 020得n ＝1 0134∉N * 故2 020不是数列{a n }中的项．7．剖析 : 由(n －1)a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ≥3) ,得na n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ,两式相减 , 得na n ＋1－(n －1)a n ＝a n .∴n ≥3时 , na n ＋1＝na n , 即a n ＋1＝a n .又a 9＝8 , ∴a 3＝8.又2a 3＝a 1＋a 2 , a 1＝7 , ∴a 2＝2a 3－a 1＝9.谜底 : 98．剖析 : a 1＝3 , a 2＝3×4＝12 ,a 3＝3×42＝48 , … ,a n ＋1＝4a n .谜底 : 48 a n ＋1＝4a n9．剖析 : (1)由S 2＝43a 2 , 得3(a 1＋a 2)＝4a 2 , 解得a 2＝3a 1＝3. 由S 3＝53a 3 , 得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3 , 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时 , 有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1 , 清算得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 2＝31a 1 , a 3＝42a 2 , … , a n －1＝n n －2a n －2 , a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n －1个等式中等号两头划分相乘 , 清算得a n ＝n n ＋12. 综上可知 , {a n }的通项公式a n ＝n n ＋12. 10．剖析 : ∵a 1＝1 , a 2＝2 , a n a n －2＝a n －1(n >3)∴a 3＝2 , a 4＝1 , a 5＝12 , a 6＝12, a 7＝1 , a 8＝2 , … 因此数列{a n }是周期为6的周期数列 , a n ＋6＝a n , ∴a n 有最大值2 , a 2 019＝a 3＝2 , 又由于T 1＝1 , T 2＝2 , T 3＝4 , T 4＝4 , T 5＝2 , T 6＝1 , T 7＝1 , T 8＝2 , … , 以是{T n }是周期为6的周期数列 , T n ＋6＝T n ,∴T n 有最大值4 , T 2 019＝T 3＝4.应选BCD.谜底 : BCD。

最新高中数学精讲精练 第五章 数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证． 2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等． 5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课 数列的概念【考点导读】1． 了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2． 理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3． 能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。

【基础练习】1.已知数列}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =3-。

分析:由a 1=0,)(1331++∈+-=N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知: 数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。

3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(31)()2n n a S n N -=∈ ，且454a =，则1a =____2__. 4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)2n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+． 【范例导析】例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

第1练 §1.1.1柱、锥、台、球的结构特征【第1练】 1～5 DCDDC ； 6.23 4l ； 7. 14cm .8. 解：设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则 2()11 4()24 ab bc ac a b c ++= ìí ++= î ，而对角线长22222 ()2226115 l a b c a b c ab bc ac =++=++---=-= .9. 解：（1）是棱柱，并且是四棱柱. 因为以长方体相对的两个面作底面都是全等的四边形，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱定义.（2）截面BCNM 的上方部分是三棱柱 11 BB B CC M - ，下方部分是四棱柱 11 ABMA DCND - .10. 解：把原料切割出所需的两种长方体而没有余料，只有 两种切法， 见图(Ⅰ)和(Ⅱ). 切法(Ⅰ)切割出12个第一种长方体和 6个第二种长方体，切法(Ⅱ)切割出5个第一种长方体和18个第 二种长方体.取 3 块原料，2 块按切法(Ⅰ)切割，1 块按切法(Ⅱ)切割．得 到 29 个第一种长方体和 30 个第二种长方体．因此，取 90 块原 料， 其中60块按切法(Ⅰ)切割，30块按切法(Ⅱ)切割， 共得到 870个第一种长方体和900个第二种长方体． 至 此，没产生任何余料，但还差 30 个第一种长方体．再取 2 块原料，按切法(Ⅲ)切割(见图)，得 30 个第一种长 方体．每块原料剩下12×3×0.1的余料．因此，为了得到这两种长方体各 900个，至少需 90＋2＝92块原料.此时，材料的利用率为 (3120.1)20.21199.9 (312 3.1)92 3.192´´´ -=-»%´´´´ 第2练 §1.1.2 简单组合体的结构特征【第2练】 1～5 ACDBC ；6. 23R ；7. ①③④⑤.8. 解：作截面，利用相似三角形知识，设正方体的棱长为x ，则 x h x a h - = ，解得 ahx a h=+ 9. 解：上、下底面正方形的边长为 1 S 、 2 S ，此棱台对角面、过两相对斜高的截面都是等腰梯形，则侧棱长为 2221 22 () 22 l S S h =-+ g g = 22 21 1 () 2S S h -+ ；斜高为 'h = 2122() 22 S S h -+ =2221 1 () 4S S h -+ .10. 解：（1）通过观察各几何体后，得到下表：图号 顶点数 棱数 面数①8 12 6 ②6 9 5 ③8 12 6 ④8 13 7 ⑤10 15 7 （2）由特殊到一般，归纳猜想得到：顶点数V ＋面数F －棱数E =2；（3）该木块的顶点数为10，面数为7, 棱数为15，有10+7—15=2，与（2）中归纳的数量关系式“V +F —E =2”相符.第3练 §1.2.2 空间几何体的三视图【第3练】 1～5 DADDD ； 6. 球、圆柱、圆锥等； 7. 100π，1010 8. 解：依次从每个几何体的三个方向得到三视图，再与已知三视图比较，所 以依次为C 、A 、D 、B.9. 解：该零件由一个长方体和一个半圆柱体拼接而成，并挖去了一个与该半 圆柱同心的圆柱，这个几何体的三视图如图所示.在视图中，被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R 表示半径；单位不注明时 按mm 计10. 解：（1）所要正方体个数为7、8、9、10、11都行. （2）最少7个，其俯视图样子不唯一，如下图.最多11个，其俯视图如右图.（图中数字表示在该处的小正方体的个数）第4练 §1.2.3 空间几何体的直观图【第4练】 1～5 BCBBB ； 6. 4 2 ； 7. ①③ 8. 解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.第一步 ， 作水平放 置的正方形的直观图 ABCD ， 使 45, BAD Ð= o 2,1 AB cm AD cm == .第二步，过A 作z ¢轴，使 90 BAz ¢ Ð= o . 分别过点 ,, B C D 作z ¢轴的 平行线， 在z ¢轴及这组平行线上分别截取 2 AA BB CC DD cm ¢¢¢¢ ==== .第三步，连接 ,,, A B B C C D D A ¢¢¢¢¢¢¢¢，所得图形就是正方体的直观图. （2）画法：如图，按如下步骤完成.第一步，在已知的圆O 中取直径AB 所在的直线为x 轴，与AB 垂直的半径OD 所在的直线为y 轴，画出对应的x ¢轴和 y ¢轴，使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o.第二步，在x ¢轴上取O A OA O B OB ¢¢¢¢ == ， ，在 y ¢轴上取 1 2 O C OC ¢¢= ， 1' 2O D OD ¢= . 第三步，圆的直观图是椭圆，把A B C D¢¢¢¢ ， ， ， 连成椭圆，即得到圆O 的直观图. 9. 解：如图，建立直角坐标系xoy ，在x 轴上取 ''1 OA O A cm == ； 在y 轴上取 2''22 OB O B cm == ；在过点B 的x 轴的平行线上取 ''1 BC B C cm == . 连接O,A,B,C 各点，即得到了原图形.由作法可知，OABC 为平行四边形， 22 813() OC OB BC cm =+=+= ,∴ 平行四边形OABC 的周长为(31)28() cm +´= ， 面积为 2 12222() cm ´= . 10. 解：该几何体类似棱台，先画底面矩形，中心轴，然后上底面矩形，连线 即成.（1） 画法： 如图， 先画轴， 依次画x’、 y’、 z’轴， 三轴相交于点O’， 使 45 x O y ¢¢¢ Ð= o，'90 x O z ¢¢ Ð= o. 在z’轴上取 "8 O O cm ¢ = , 再画x”、y” 轴.在坐标系x’O’y’中作直观图ABCD ， 使得AD =20cm ， AB =8cm ； 在坐标系x’’O’’y’’ 中作直观图A’B’C’D’，使得A’D’=12cm ，A’B’=4cm .连接AA’、BB’、CC’、DD’，即得到所求直观图.（2）如右图所示，延长正视图、侧视图的两腰，设两个交点到下底面的距离分别为h 、h’.根据相似比，分别有 128 20 h h - = 、 8'816'h h - = ，解得 20,'16 h h == .由 ' h h ¹ 可知，各侧棱延长不交于一点. 所以，该几何体不是棱台.第5练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积【第5练】 1～5 BAAAC ；6. 22 ；7. 22:5 .8. 解：一个侧面如右图，易知 1885 2a - == ， 22 13512 h =-= .1 111111 1 3 11 11 11 1 133则 2188 612936() 2S cm + =´´= 侧面积 ， 2 1 88sin 60)6963() 2 S cm =´´´°´= 上底 （ ， 2 1 188sin 60)64863() 2S cm =´´´°´= 下底 （1 . 所以，表面积为 293696348639365823 cm ++=+ （） 9. 解：设圆柱的底面半径为r ，则 r H x R H - = ，解得 Rr R x H =- .∴ 圆柱的表面积 22 2 2()2()() R R RS R x R x x Hx x H H Hp p p =-+-=- .由S 是x 的二次函数， ∴ 当 2 H x = 时，S 取得最大值 2RHp .于是，当圆柱的高是已知圆锥高的一半时，它的表面积最大，最大面积为 2RHp .10. 解：设放入正方体后水深为h cm .当放入正方体后，水面刚好与正方体相平时，由2520102520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 8 a = . 当放入正方体后，水面刚好与水箱相平时，由2520302520101010 a ´´=´´+´´ ，解得 28 a = .所以， 当0＜a ≤8时，放入正方体后没有被水淹没，则252025201010 h a h ´´=´´+´´ ，得 5 4a h = . 当828 a <£ 时，放入正方体后被水淹没， 则25202520101010 h a ´´=´´+´´ ，解得 2 h a =+ . 当2830 a <£ 时，放入正方体后水箱内的水将溢出，这时 30 h = .综上可得，当 5(08) 42 (828) 30 (2830) a a h a a a ì <£ ï ï=+<£ í ï <£ ï î.第6练 §1.3.1 柱体、锥体、台体的体积【第6练】 1～5 DBBAB ； 6. 31 cm ； 7.'''PA PB PC PA PB PC×× ×× . 8. 解：由题意有 22401600 S cm == 上 （ ） ， 22 603600() S cm == 下 ,( ) ( )117600 1600160036003600 333 V h S S S S h h =++=´+´+= g 下 下 上 上 .∴ 7600 19000075() 3h h cm =Þ= . 即油槽的深度为75cm .9. 解：设水面圆半径为r , 水深为h , 则有 1213517125h r - == - ， 解得h =7, r =13.于是雨水体积为V = 22 7(12121313)1094.333pp ´´+´+= ， 降雨量为 1094.33 172 pp»3.787(cm ) ，所以降雨量约为37.9mm .10. 解：如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ，则仓库的体积231 1116256 ()4() 3323V Sh m p p ==´´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，则仓库的体积 23 2 1112288()8() 3323 V Sh m p p ==´´´= .（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成16m ,半径为8 m . 棱锥的母线长为 22 8445 l =+= ,则仓库的表面积 2 1 845325() S m p p =´´= .如果按方案二，仓库的高变成8m ，棱锥的母线长为 22 8610 l =+= ，则仓库的表面积 22 61060() S m p p =´´= 。

高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A 版选择性必修第二册)第四章：数列专题强化训练二：数列求和常考方法归纳【考点梳理】数列求和的几种常用方法1．公式法直接利用等差数列、等比数列的前n 项和公式求和． (1)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .(2)等比数列的前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1(1－q n )1－q ，q ≠1.2．分组求和法与并项求和法(1)若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)形如a n ＝(－1)n ·f (n )类型，常采用两项合并求解．3．裂项相消法(1)把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (2)常见的裂项技巧 ①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤log a ⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n (n >0)．4．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和公式就是用此法推导的．【题型精练】题型一、公式法求和1．（2022·全国·高二课时练习）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15.（1）求{a n }的通项公式； （2）求S n ，并求S n 的最小值.2．（2022·四川成都·高三月考（文））已知数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-，其中n *∈N ； （1）证明数列{}n a n +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．3．（2022·河南·郑州市第一〇六高级中学高二月考）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.（1）求{a n }的通项公式； （2）求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1.题型二、分组转化法求和4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 是等差数列，且81a =，1624S =．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 是递增的等比数列，且149b b +=，238b b =，求1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++．5．（2022·黑龙江·鹤岗一中高三月考（理））已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，等比数列{b n }的公比为q (q >1)，且b 3＋b 4＋b 5＝28，b 4＋2是b 3和b 5的等差中项． （1）求{a n }和{b n }的通项公式； （2）令c n ＝b n ＋211n a -，{c n }的前n 项和记为T n ，若2T n ≥m 对一切n ∈N *成立，求实数m 的最大值． 6．（2022·全国·高三专题练习）设数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，3log (1)n n b a =+. （1）求2a ，3a 的值；（2）已知数列{}n a 的通项公式是：31nn a =-，3n n a =，32n a n =+中的一个，判断{}n a 的通项公式，并求数列{}n n a b +的前n 项和n S .题型三、倒序相加法求和7．（2020·河南大学附属中学高二月考）已知函数()21x f x x =+，设数列{}n a 满足1()n n a f a +=，且112a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若记((21))(1i n b f i a i =--⨯=，2，3，⋯，)n ，求数列{}i b 的前n 项和n T .8．（2020·江苏·高三专题练习）已知数列{}n a 满足121,3a a ==,且对任意*n N ∈,都有()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅成立.（1）求3a 的值;（2）证明:数列{}n a 是等差数列.9．（2019·四川·成都外国语学校高一期中（文））数列{}n a 的前n 项和为n S （1）若{}n a 为等差数列，求证：1()2n n n a a S +=； （2）若1()2n n n a a S +=，求证：{}n a 为等差数列.题型四、裂项相消法求和10．（2022·浙江绍兴·高二期末）已知等差数列{}n a 满足11a =，2435a a a +=+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，*12()n n n n b a b a n N ++⋅=⋅∈，求数列{}n b 的前n 项和.11．（2022·广东·金山中学高二期中）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明数列{}n a n -为等比数列并求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n c 满足1(1)(1)n n n n a n c b b +-=++，设数列{}n c 的前n 项和n T ，证明：13n T <．12．（2022·广东·广州市番禺区象贤中学高二期中）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足*2()n n a S n n N =+∈. （1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）记2221log (1)log (1)n n n c a a +=+⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n T .题型五、错位相减法求和13．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）已知数列{}n a 中，11a =，*1(N )3nn n a a n a +=∈+． （1）求证：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出{}n a 的通项公式n a ；（2）数列{}n b 满足(31)2nn n n nb a =-⋅⋅，设n T 为数列{}n b 的前n 项和，求使n k T >恒成立的最小的整数k ．14．（2022·全国·高二专题练习）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=5，nS n +1-（n +1）S n =n 2+n . （1）求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）令b n =2n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .15．（2022·河南洛阳·高二期中（文））已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：12122222nna a a a a a +++<．专题强化训练一、单选题16．（2022·河南·高二期中（文））已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和为（ ）A ．1168B ．1134C ．198199D ．9919917．（2022·河南·高二期中（理））已知数列{}n a 中，11a =，12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，则数列{}1n n a a +的前99项和为（ ） A ．9967B ．29767C ．3367D ．1986718．（2022·江西·九江一中高二期中）已知数列{}n a 满足112a =，213a =，()1223111n n n a a a a a a n a a n N ++++++=⋅⋅∈，记数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2021S =（ ）A ．202120212⋅B ．202220212⋅C ．202120222⋅D ．202220222⋅19．（2022·河南南阳·高二期中）已知数列{}n a 满足11a =，221(1)nn n a a -=+-，()*2123n n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的前2022项的和为（ ）A ．101132022-B ．101032022-C ．101132020-D ．101032020-20．（2022·西藏·拉萨中学高二月考）数列{}n a 满足()()121nn a n =--，则它的前20项和20S 等于（ ）A ．-10B ．-20C ．10D ．2021．（2022·河北省唐县第一中学高二期中）若数列{}n a 满足1222a a ==，且21n n n a a a ++=-，则{}n a 的前100项和为（ ）A ．67B ．68C ．134D ．16722．（2022·全国·高二课时练习）已知函数()()221f x x R x=∈+，若等比数列{}n a 满足120201a a =，则()()()()1232020f a f a f a f a ++++=（ ）．A ．2020B ．20202C ．2D ．1223．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足12a =，()1221n n n a a n ++=+，则20001232019a a a a a =+++⋅⋅⋅+（ ） A ．20212019B ．20202019C ．20192018D ．2021201824．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ） A ．14n+B ．14n -C ．12n +D ．12n -25．（2022·全国·高二单元测试）某公园免费开放一天，假设早晨6时30分有2人进公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人，……，按照这种规律进行下去，那么到上午11时30分公园内的人数是（ ） A ．11247-B ．12257-C ．13268-D ．14280-二、多选题26．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足2212352222nn n na a a +++⋅⋅⋅+=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．1a 的值为2B ．数列{}n a 的通项公式为()312nn a n =+⨯C ．数列{}n a 为递减数列D ．3772n nn S +=-27．（2022·江苏·高二单元测试）设数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，11S =，12n n n S S n++=，且212n n n n a b a a ++=，则下列结论正确的是（ ）A ．20212021a =B ．()12n n n S +=C ．()112n b n n =-+D ．1334n T n ≤-<28．（2022·全国·高二单元测试）已知数列{}n a 满足11a =，()*1N 23nn na a n a +=∈+，则下列结论正确的是（ ） A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a -=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2234n n T n +=--29．（2022·全国·高二课时练习）（多选题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n n S S a +=++，数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为*,n T n N ∈，则下列选项正确的为（ ）A ．数列{1}n a +是等差数列B ．数列{1}n a +是等比数列C ．数列{}n a 的通项公式为21nn a =-D ．1n T <三、填空题30．（2022·上海市行知中学高二期中）已知数列{}n b 的前n 项和22n S n n =-，设数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n K ，则20K 的值为 ___．31．（2022·上海市复兴高级中学高二期中）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21log 1n a n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则满足10n S >的n 最小值为___________32．（2022·河南南阳·高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为34,3,10n S a S ==，则12111nS S S ++⋯+=___________. 33．（2022·河南郑州·高二期中（文））数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，n *∈N .设()1nn n n b a a =+-，则数列{}n b 的前2n项和2n T =___________.34．（2022·河南郑州·高二月考（理））已知数列{}n a 满足11n n a a ++=，且246a a +=，当12020n ≤≤，*n ∈N 时，记12n n S a a a =++⋅⋅⋅+，则1220S S S ++⋅⋅⋅+=________.（备用公式()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）四、解答题35．（2020·全国·高二课时练习）已知等差数列{}n a 满足36a =，前7项和为749.S =（Ⅰ）求{}n a 的通项公式（Ⅱ）设数列{}n b 满足(3)3nn n b a =-⋅，求{}n b 的前n 项和n T .36．（2022·全国·高二专题练习）已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=．{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令211n n b a =-（n N +∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T ．37．（2022·全国·高二课时练习）已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ． （Ⅰ）求q 的值；（Ⅱ）求数列{b n }的通项公式．38．（2022·全国·高二专题练习）正项数列{}n a 的前n 项和Sn 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令221(2)n n n b n a +=+，数列{bn}的前n 项和为Tn ，证明：对于任意的n ∈N*，都有Tn ＜564.39．（2022·全国·高二课时练习）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．40．（2022·江苏省苏州实验中学高二月考）已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满足()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .41．（2022·河南·高二期中（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .42．（2022·吉林·延边二中高二期中（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n S n n =+,*n N ∈,数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n N ∈.(1)求n a 和n b 的通项公式； (2)求数列{n n a b ⋅}的前n 项和n T .43．（2019·全国全国·高二课时练习）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且233445,,a a a a a a 成等差数列.（Ⅰ）求q 的值和{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设*2221log ,nn n a b n a -=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和. 44．（2019·江西上饶·高二月考）已知数列{}n a 满足1220n n a a +-+=，且18a =. （1）证明：数列{2}n a -为等比数列；（2）设1(1)(21)(21)n nn n n a b +-=++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，n m T ≥恒成立，求m 的取值范围.45．（2020·广东广雅中学高二月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()2*n S n n N =∈，数列{}n b 为等比数列，且21a +，41a +分别为数列{}n b 第二项和第三项. （1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）若数列11n n n n n c a b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T .10 / 38参考答案1．（1）a n ＝2n －9；（2）S n ＝ (n －4)2－16；－16. （1）设数列{a n }的公差为d ，由题意得a 1＝－7，3S =3a 1＋3d ＝－15. 所以d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9. （2）由（1）得()1722n n n S n -=-+⨯=n 2－8n ＝(n －4)2－16. 所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16. 2．（1）证明见解析，2nn a n =-（2）n S 1(1)222n n n ++=--【分析】（1）由121n n a a n +-=-，化简得到1(1)2()n n a a n n ++++=，结合等比数列的定义和通项公式，即可求解；（2）由（1）知：2nn a n =-，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.（1）解：由题意，数列{}n a 满足：11a =，且121n n a a n +-=-， 可得1(1)2()n n a a n n ++++=，且112a +=，所以{}n a n +是首项、公比均为2的等比数列，所以2nn a n +=，即2n n a n =-.（2）解：由（1）知：2nn a n =-，则12n n S a a a =++⋅⋅⋅+12(21)(22)(2)n n =-+-+⋅⋅⋅+-12(222)(12)nn =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+2(12)(1)122n n n⋅-+=--1(1)222n n n ++=--. 3．（1）a n =2n -1. （2）312n -【分析】（1）直接利用基本量代换，列方程组即可求出通项公式； （2）先求出公比q ，即可利用等比数列前n 项和公式直接求和. （1）设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＝1，a 2＋a 4＝10，即1+d +1+3d =10， 解得：d =2，所以a n = a 1+（n -1）d=2n -1. （2）设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 1＝1，，b 2b 4＝a 5=9，所以q 4=9，解得：q 2=3. 所以b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1 211131313n -=+++++1113313n --⨯=- 312n -=. 4．（1）7n a n =-；（2）24173n n n --+. 【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件列关于1a 和d 的方程组，解方程可得1a 和d 的值，即可得{}n a 的通项公式n a ；（2）由等比数列的性质求得1b 和4b 的值，进而可得数列{}n b 的公比和通项公式，再由分组求和即可求解. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可知：1171161516242a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得161a d =-⎧⎨=⎩， 所以6(1)7n a n n =-+-=-，（2）因为数列{}n b 是递增的等比数列，由已知可得14142398b b b b b b +=⎧⎨==⎩，解得：1418b b =⎧⎨=⎩，所以3418b q b ==，可得：2q 所以11122n n n b --=⋅=，所以1133552121()()()()n n a b a b a b a b --++++++⋯++，1352113521()()n n a a a a b b b b --=+++⋯+++++⋯+，(628)14214nn n -+--=+-， 24173n n n -=-+． 5．（1）a n ＝2n (n ∈N *)，b n ＝2n －1，n ∈N *；（2）83.【分析】（1）根据n a 与n S 的关系即可求得数列{}n a 的通项，根据已知条件求出等比数列{b n }的首项和公比，即可求得数列{}n b 的通项；（2）求出数列{c n }的通项，再利用分组求和及裂项相消求和法求出T n ，从而可求得T n 的最小值，从而可得答案. 【详解】解：（1）当n ＝1时，a 1＝S 1＝2.当n ≥2时a n ＝S n －S n －1＝2n ，a 1＝2也符合上式， ∴a n ＝2n (n ∈N *)．又b 3＋b 4＋b 5＝28，2(b 4＋2)＝b 3＋b 5， 得b 4＝8，q ＝2或q ＝12. ∵q >1，∴q ＝2， ∴b n ＝2n －1，n ∈N *.（2）∵c n ＝b n ＋211n a -＝2n －1＋2141n -＝2n －1＋11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭， ∴T n ＝1212n--＋111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭＝2n －1＋111221n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭＝2n －11422n -+， 易知T n 随着n 的增大而增大，∴2T n ≥2T 1＝83，故m 的最大值为83.6．（1）28a =，326a =；（2）31n n a =-，121(33)2n n S n n +=+--.【分析】（1）由递推公式得1(3(1)1)n n a a -++=，结合已知{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，写出n a 的通项公式，进而求2a ，3a 的值；（2）由（1）得31n n c n =+-，再应用分组求和及等差、等比前n 项和公式求n S . 【详解】（1）∵132(2)n n a a n -=+≥，即1(3(1)1)n n a a -++=且12a =， ∴{1}n a +是首项为3，公比为3的等比数列，即13n n a +=， ∴31n n a =-，则22318a =-=，333126a =-=.（2）设n n n c a b =+，由（1）知31nn a =-，又3log (1)n n b a n =+=.∴31n n c n =+-，2(33...3)(12...1)nn S n =+++++++-3(13)(1)(11)132n n n --+-=+-121(33)2n n n +=+--. 7．（1）12n a n=；（2）2n nT =.【分析】（1）由1()n n a f a +=得到121n n n a a a +=+，然后变形为1112n n a a +-=，利用等差数列的定义求解. （2）由（1）得到121221i i b n i -+=⨯-+，由112112211221221i n i i n i b b n i n i -+-+-++=⨯+⨯=-+-+，利用倒序相加法求解. 【详解】（1）因为()21xf x x =+，所以由1()n n a f a +=得121n n n a a a +=+，所以121112n n n na a a a ++==+，∴1112n n a a +-=， 所以1{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，所以12(1)22n n n a =+-⨯=，所以12n a n=. （2）由（1）知21()(1,2,3,,)2i i b f i n n-=-=⋯， 则21(21)1212212[(21)]22212()12i i i i n b i i n n i -----+===⨯-⨯--+-+⨯-+，{}12(1)1[2(1)1]22(1)12[2(1)1]22[]12n i n i n i n b n i n i n n-+-+----+-==-+-⨯--+-+⨯-+，12(1)112212[2(1)1]221n i n i n i n n i -+--+=⨯=⨯-+---+， 所以112112211(1,2,3,,)221221i n i i n i b b i n n i n i -+-+-++=⨯+⨯==⋯-+-+，123n n T b b b b =+++⋯+， 121n n n n T b b b b --=+++⋯+，两式相加，得：121321112()()()()()nn n n n n i n i i T b b b b b b b b b b n ---+==++++++⋯++=+=∑，所以2n n T =. 【点睛】本题主要考查数列的递推关系，等差数列的定义及通项公式以及倒序相加求和，话考查了运算求解的能力，属于中等题.8．（1）5（2）答案见解析 【分析】（1）根据()01211231212n n n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅,令1n =时,即可求出35a =;（2）假设123n a a a a ⋯，，，，是公差为2的等差数列,则21n a n =-,利用数学归纳法证明,即可求得答案. 【详解】 （1）()01211231212nn n n n n n n a C a C a C a C a -+++++⋯+=-⋅令1n =,则01112131a C a C a +=-由121,3a a ==,则31311a +⨯=- 解得:35a =（2）若123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2,即21k a k =- ①当3n =时,由（1）知1231,3,5a a a ===,此时结论成立．②假设当(3)n k k =≥时,结论成立,即123,,,,k a a a a ⋯是等差数列,则公差为2.由()0121211213111 12,3k k k k k k k k a C a C a C a C a k ------++++⋯+=-⋅≥ 对该式倒序相加,得()()12112212k k k k a a a --++=-⋅∴1112k k a a a +-=+=,即1212(1)1k a k k +=+=+- ∴当1n k =+时,结论成立．根据①②,可知数列{}n a 是等差数列． 【点睛】本题考查了求数列中的项和证明数列是等差数列,解题关键是掌握数学归纳法的证明方法和等差数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 9．（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用倒序相加法即可证明.（2）利用n a 与n S 的关系分别求出n a 与1n a +，然后作差1n n a a +-，化简即可证明其满足112n n n a a a -+=+，即可证明{}n a 为等差数列. 【详解】（1）证明：已知数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，有()11n a a n d +-= 则123n n S a a a a =++++于是()()()111121n S a a d a d a n d ⎡⎤=+++++++-⎣⎦……① 又()()()21n n n n n S a a d a d a n d ⎡⎤=+-+-++--⎣⎦……②由①②相加有()12n n S n a a =+即()12n n n a a S += （2）证明：由()12n n n a a S +=，有当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，所以()()()1111122n n n n n n a a n a a a S S --+-+=-=-， ③()()()1111122n n n n a a n a a a +++++=-， ④④－③并整理，得()112n n n n a a a a n +--=-≥，即112n n n a a a -+=+ 所以数列{}n a 是等差数列． 【点睛】主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明1n n a a d --=（d 为常数，2n ≥）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足112n n n a a a -+=+即可. 10．（1）21n a n =-；（2）321nn +. 【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程即可解出d ，从而得到数列{}n a 的通项公式；（2）根据题意可得12n nn n b a b a ++=，再根据累乘法求得3(21)(21)n b n n =-+，然后根据裂项相消法即可求出数列{}n b 的前n 项和． 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则21a d =+，312a d =+，413a d =+.因为2435a a a +=+，所以24125d d +=++， 解得2d =.所以数列{}n a 的通项公式为1(1)21n a a n d n =+-=-. （2）因为12n n n n b a b a ++⋅=⋅，所以12n n n n b ab a ++=. 所以，当2n ≥时，312121121341n n n n n bb aba ab b b b b a a a --+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯=⨯⨯⨯，即1213(2)(21)(21)n n n a a b n a a n n +⋅==≥⋅-+.又11b =适合上式，所以3(21)(21)n b n n =-+.因为3311()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+， 数列{}n b 的前n 项和为123111113[(1)()()]2335212121n n nS b b b n n n =+++=-+-+⋅⋅⋅+-=-++.11． 【详解】解：（1）证明：当*n N ∈时，1(1)(21)(1)2n n n n a n a n n a n a n+-+-+-+==--， 又112a -=，∴数列{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列，∴11(1)22n n n a n a --=-⋅=，∴*2()n n a n n N =+∈；（2）证明：122n n n n n n n b b a n b n n b +=+-=++-=+，∴12n n n b b +-=，当1n =时12b =，当2n 时112n n n b b ---=，∴111121121()()22222221n n n n n n b b b b b b ----=-++-+=+++=⨯+=-，当1n =时符合，∴2nn b =，∴111211(1)(1)(21)(21)2121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++，1212231111111111111()()()()2121212121212121321n n n n n n n n T c c c c --++∴=++++=-+-++-+-=-+++++++++．又11021n +>+，∴13n T <．12．【详解】（1）证明：由*2()n n a S n n N =+∈， 可得111211a S a =+=+，解得11a =，2n 时，11221n n n n n a S S a n a n --=-=--+-，可得121n n a a -=+， 则112(1)n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是首项和公比均为2的等比数列； （2）由（1）可得12nn a +=，则222222111111()log (1)log (1)2log 2(2)22log n n n n n c a a n n n n ++====-+⋅+⋅++，所以1111111111(1...)232435112n T n n n n =-+-+-++-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)n n n n n +=+--=-++++. 13． 【详解】 （1）由*1(N )3nn n a a n a +=∈+，得13131n n n na a a a ++==+， 令1113n n a a λλ+⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以21λ=，解得12λ=，所以11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 由等比数列的定义可知：数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a +=为首项的等比数列，所以1113322n na -+=⨯，即231n n a =-，（2）由题意得1(31)2(31)21223nnn n n n n n n n n b a -=-=-⋅⋅=-⋅⋅， 0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 121111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯， 两式相减得：0121111111122212222222212n n n n n nT n n n --+=+++⋅⋅⋅+-⨯=-=--，所以12442n n n T -+=-<， 所以4k ≥，所以使n k T >恒成立的最小的整数k 为4． 14． 【详解】（1）证明：由nS n +1-（n +1）S n =n 2+n 得111n n S S n n +-=+，又11S=5， 所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为5，公差为1的等差数列.（2）由（1）可知n Sn=5+（n -1）=n +4，所以S n =n 2+4n .当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2+4n -（n -1）2-4（n -1）=2n +3. 又a 1=5也符合上式，所以a n =2n +3（n ∈N *）， 所以b n =（2n +3）2n ，所以T n =5×2+7×22+9×23+…+（2n +3）2n ，① 2T n =5×22+7×23+9×24+…+（2n +1）2n +（2n +3）·2n +1，② 所以②-①得T n =（2n +3）2n +1-10-（23+24+…+2n +1） =（2n +3）2n +1-10-()3121212n ---=（2n +3）2n +1-10-（2n +2-8） =（2n +1）2n +1-2. 15．解：因为正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，211n n n S S a +++=，所以当1n =时，2212S S a +=，即22122a a a +=，即2222a a +=，解得22a =或21a =-（舍去）当2n ≥时，21n n n S S a -+=，两式相减可得()22111n n n n n n S S S S a a +-++-+=-，即()()111n n n n n n a a a a a a ++++=+-，所以11n n a a +-=，又211a a -=，所以{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以n a n = （2）解：由（1）可得22n n n a a n =，令1212222nn na a a a a a T =+++，所以231232222n nn T ①，所以2341112322222n n n T +=++++②；①-②得，23111111222222n nn nT +=++++- 1111221212n n n +⎛⎫-⎪⎝⎭=--1212n n ++=-，所以2222nn n T +=-<，所以12122222nna a a a a a +++< 16．D解：因为数列{}n a 的前n 项和2n S n =，2121n S n n -=-+，两式作差得到21(2)n a n n =-≥，又当1n =时，21111a S ===，符合上式，所以21n a n =-，111111(21)(21)22121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以12233411111n n a a a a a a a a +++++=111111111111233557212122121n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 所以12233499100111199992991199a a a a a a a a ++++==⨯+. 故选：D. 17．A 【详解】因为12123n n a a n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即1(21)23n n n a a n ++=+，1[2(1)1](21)n n n a n a +++=+， 所以数列{}(21)n n a +是常数列， 所以1(21)33n n a a +=⋅=， 所以321n a n =+，19911(21)(23)22123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，所以122334*********1235577921239113232323n n a a a a a a a a n n nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭于是1223349910039999299367a a a a a a a a ⨯++++==⨯+，故选：A 18．B 【分析】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥，从而可得()1122n n n n n a a+-=-≥，再降标相减得出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，再利用错位相减法即可求解. 【详解】降标相减可得()()()111122n n n n a a na n a n ++=--≥ 即()()11212n n n n a a na n a n ++=--≥ 变形得：()1122n n n n n a a +-=-≥， 降标相减可得()112113n n n n a a a -+=+≥可算得112a =，213a =，314a =即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，可得()12112nn n n n n a a =+⇒=+， 所以()12223212n n S n =⋅+⋅++⋅， 所以()2312223212n n S n +=⋅+⋅++⋅错位相减可得12n n S n +=⋅.所以2022202120212S =⋅.故选：B 19．A 【分析】利用累加法得到()12113122n nn a ---=+-，带入得到231(1122)n nn a =-+-，再利用分组求和法计算得到答案.【详解】212213(1)3n n n n n n a a a +-+-==++，即2121(1)3n n n n a a +---+=.()()()2121232325131n n n n n a a a a a a a a -----=-+-+⋅⋅⋅+-+[]()1121211331(31)3(11221)3n n n n n n --------⎡⎤⎡⎤=++⋅⋅⋅+-++=-+⎣⎦⎣⎦-+-+()()11311311222n n n n --+--=-=+-.()12211331112(1)(1)(12)22nnn n n n n n a a ---==+---+-+=+-.故()()2021132021242020S a a a a a a =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅()()()0110101210111113331111222222⎛⎫---=++-++-+⋅⋅⋅++- ⎪ ⎪⎝⎭2101021010(1)(1)(3131311112222221)⎛⎫++-++-+⋅⋅--⋅++- ⎪⎝⎭-1010101110111331132021*********-=++--=--.故选：A. 20．D 【分析】根据()()121nn a n =--，利用并项求和法即可得出答案. 【详解】解：因为()()121nn a n =--， 所以2012341920S a a a a a a =+++++()()()13573739=-++-+++-+ ()()()13573739=-++-+++-+21020=⨯=.故选：D. 21．B 【分析】由题意得122,1a a ==，根据21n n n a a a ++=-，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解. 【详解】因为1222a a ==， 所以122,1a a ==， 因为21n n n a a a ++=-，所以数列的项依次为2，1，1，0，1，1，0，…， 所以从第2项起，3项一个循环，所以{}n a 的前100项的和为233(110)68+⨯++=， 故选：B ．【分析】由函数解析式可知，()12f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，而根据等比数列的性质120202201932018202011a a a a a a a a ===== 恰好满足两两互为倒数.因此可以利用函数特征代入，利用倒序求和解决求和问题 【详解】∵()()221f x x R x =∈+，∴()2222212222211111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭． ∵数列{}n a 为等比数列，且120201a a ⋅=，∴120202201932018202011a a a a a a a a =====．∴()()()()()()()()120202201932018202012f a f a f a f a f a f a f a f a +=+=+==+=，∴由倒序求和可得()()()()12320202020f a f a f a f a ++++=．故选：A ． 23．A解：由()1221n n n a a n ++=+，得1221n n a an n +=++，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭是以1111a =+为首项，2为公比的等比数列，所以121n n a n -=+，所以()112n n a n -=+⋅．设{}n a 的前n 项和为n S ，则()012122324212n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅， 两边同乘2，得()12122232212n nn S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，两式相减得()()()()101212122222212212212n n nn n n S n n n ----=⨯+++⋅⋅⋅+-+⋅=+-+⋅=-⋅-，所以2nn S n =⋅，所以2019202020191232019202122021201922019a a a a a ⨯==+++⋅⋅⋅+⨯．故选：A. 24．B 【分析】 由1111n n a a n n +-=-+，利用累加法得出n a .由题意可得()111111n n a a n n n n +-==-++，所以21112a a -=-，321123a a -=-，…，1111n n a a n n--=--， 上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a111111112231=-+-++-=--n n n， 又13a =，所以14=-n a n.故选：B . 25．B 【详解】由题意，可知从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内， 进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列， 出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列， 记第n 个30分钟内进入公园的人数为n a ，出来的人数为n b ，则142n n a -=⨯，n b n =，则上午11时30分公园内的人数为()()1012412101102257122S -+=+-=--.故选：B. 26．ACD 【分析】对于A ，令1n =直接求解1a ，对于B ，当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，然后与已知的式子相减可求出n a ，对于C ，利用1n n a a +-进行判断，对于D ，利用错位相减法求解即可 【详解】当1n =时，124a =，∴12a =，∴A 正确；当2n ≥时，()()22112131512222n n n n a a a ---+-++⋅⋅⋅+=，∴()()2231513523122n n n n n n a n -+-+=-=+，∴312n nn a +=，∵上式对1n =也成立，∴312n n n a +=（N n *∈），∴B 错误； ∵1111343134623202222n n n n n n n n n n n a a +++++++---+-=-==<， ∴数列{}n a 为递减数列，∴C 正确；∵234710312222n n n S +=+++⋅⋅⋅+，∴2341147103122222n n n S ++=+++⋅⋅⋅+，两式相减得， ∴23111111131113173123232222222222n n n n n n n n n S ++++++⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+-=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴3772n nn S +=-．∴D 正确． 故选：ACD ． 27．ABD 【分析】对于AB ，通过累乘法求出{}n S 的通项公式，进而求出{}n a 的通项公式，即可求解； 对于CD ，通过{}n a 的通项公式求出{}n b 的通项公式，再通过裂项相消求n T ，进而求解. 【详解】 由题意，得12n n S n S n++=， ∴当2n ≥时，()12112111311212n n n n n n n S S S n n S S S S S n n ---++=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯=--， 又当1n =时11S =也符合上式， ∴()12n n n S +=，易得n a n =，∴20212021a =， 故A ，B 正确；()()()221211111112222n n n n n a b a a n n n n n n +++⎛⎫===+=+- ⎪+++⎝⎭，∴11111111111111112324351122212n T n n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫=+-+-+-+⋅⋅⋅+-+-=++-- ⎪ ⎪-++++⎝⎭⎝⎭3111342124n n n n ⎛⎫=+-+<+ ⎪++⎝⎭， 易知{}n T n -单调递增， ∴1113n T n T -≥-=，∴1334n T n ≤-<，故C 错误，D 正确.故选:ABD ． 28．AD因为123nn n a a a +=+，所以112323n nn n a a a a ++==+， 所以111323n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且11340a +=≠，所以13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列，即11342n na -+=⨯，所以1231n n a +=-，可得1123n n a +=-，故选项A 正确，选项B 不正确；因为1231n n a +=-单调递增，所以1123n n a +=-单调递减，即{}n a 为递减数列，故选项C 不正确；1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()()()()2312132323232223n n n T n ++=-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+- 22122323412nn n n +-=⨯-=---．故选项D 正确；故选：AD ． 29．BCD 【分析】根据n a 与n S 的关系及121n n n S S a +=++，可得112(1)n n a a ++=+，再根据等比数列和等差数列的定义即可判断AB ；从而可求的数列{}n a 的通项公式，即可判断C ；利用裂项相消求和法求得数列12{}nn n a a +⋅的前n 项和为n T ，即可判断D. 【详解】解：由121n n n S S a +=++即为1121n n n n a S S a ++=-=+，可化为112(1)n n a a ++=+，由111S a ==，可得数列{1}n a +是首项为2，公比为2的等比数列，故A 错误，B 正确；则12n n a +=，即21nn a =-，故C 正确；又1112211(21)(21)2121n n n n n n n n a a +++==-----，可得22311111111111212*********n n n n T ++=-+-+⋯+-=-<------， 故D 正确.故选：BCD ． 30．2081当1n =时，11b =，当2n ≥时，1n n n b S S -=-可得{}n b 的通项公式，再利用裂项求和即可求解. 【详解】当1n =时，2112111b S ==⨯-=，当2n ≥时，()221221143n n n b S S n n n n n -=-=---+-=-， 因为11b =满足上式，所以43n b n =-，所以()()111111434144341n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭所以20111111111120114559913778148181K ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：2081.31．1024 【分析】先求得n S ()2=log 1n +，由10n S >，可得()2log 110n +>，由此即可求解 【详解】因为2211log 1=log n n a n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以22222341=log log log log 123n n nS +++++ ()222331=log =log 1122n n n +⎛⎫⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭，由10n S >，可得()2log 110n +>，解得1023n >， 所以满足10n S >的n 最小值为1024， 故答案为：1024 32．21nn + 【详解】解：设公差为d ，因为343,10a S ==，所以11234610a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =，所以()12n n n S +=，所以()1211211n n n n S n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以121111111121222231n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111122121223111n n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭ 故答案为：21n n + 33．4(41)3n -【分析】 项和转换可得12n n a ，故**2,2,0,21,n n n k k N b n k k N ⎧=∈=⎨=-∈⎩，按照奇数项、偶数项分组求和，即得解 【详解】由题意，1111,22,22,11,1n n n n n S S n n a S n n ----≥⎧⎧≥===⎨⎨==⎩⎩()****2,2,2,2,10,21,0,21,n nn n n n a n k k N n k k N b a a n k k N n k k N ⎧⎧=∈=∈∴=+-==⎨⎨=-∈=-∈⎩⎩21321242(...)(...)n n n T b b b b b b -∴=+++++++24224(14)4(41)22...244 (4143)n n nn--=+++=+++==- 故答案为：4(41)3n - 34．1540 【分析】由数列{}n a 满足11n n a a ++=，得数列{}n a 是以1为公差的等差数列，再根据246a a +=，可得11a =，从而求得n a n =，再利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再结合()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=即可得出答案.【详解】解：数列{}n a 满足11n n a a ++=，所以数列{}n a 是以1为公差的等差数列， 又246a a +=，则313,1a a ==， 所以n a n =，所以()1212n n n n S a a a +=++⋅⋅⋅+=， 所以22212201232012202S S S +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=由()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=，可得222202141122028706⨯⨯++⋅⋅⋅==，()20120123202102++++⋅⋅⋅+==，所以12201540S S S ++⋅⋅⋅+=. 故答案为：1540. 35．(1) 3.n a n =+ (2) 1(21)334n n n T +-⨯+=.【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a ，然后由已知36a =可得公差，进而求出通项；（2）先明确()33n n n b a =-⋅= 3n n ⋅，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.解析： （Ⅰ）由()17747=7=492a a S a ⨯+=，得4=7a因为36a =所以1d = 14,3n a a n ==+所以（Ⅱ）()33=3n n n n b a n =-⋅⋅()12313233331n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯所以 ()234+1313233332n n T n =⨯+⨯+⨯+⋯+⨯()()123+1+13312233333=313n nn n n T n n +---=++++-⨯-⨯-由得： ()+121334n nn T -⨯+=所以 36．（Ⅰ）21,(2)n n a n S n n =+=+; （Ⅱ）4(1)nn +．【详解】试题分析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知3577,26a a a =+=可得1127{21026a d a d +=+= 解得1,a d ，则n a 及n S 可求；（2）由（1）可得111()41n b n n =-+，裂项求和即可 试题解析：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有1127{21026a d a d +=+=，解得13,2a d==，所以32(1)21n a n n =+-=+，2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+. （2）由（1）知，21n a n =+，所以22111111()1(21)14(1)41n n b a n n n n n ====--+-++， 所以11111111(1)(1)42231414(1)n nT n n n n =-+-++-=-=+++， 即数列{}n b 的前n 项和4(1)n nT n =+.考点：等差数列的通项公式，前n 项和公式．裂项求和 37．（Ⅰ）2q ；（Ⅱ）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【分析】分析:（Ⅰ）根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；（Ⅱ）先根据数列1{()}n n n b b a +-前n 项和求通项，解得1n n b b +-，再通过叠加法以及错位相减法求n b . 【详解】详解：（Ⅰ）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得1820q q ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因为1q >，所以2q.（Ⅱ）设()1n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S .由11,1,, 2.n nn S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（Ⅰ）可知12n na ，所以()111412n n n b b n -+⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，故()21145,22n n n b b n n --⎛⎫-=-⋅≥ ⎪⎝⎭，()()()()11123221n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-()()23111454973222n n n n --⎛⎫⎛⎫=-⋅+-⋅++⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.设()22111371145,2222n n T n n -⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅++-⋅≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()2211111137494522222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

数列1、集合A={1,2,3,4,5,6},从集合A 中任选3个不同的元素组成等差数列，这样的等差数列共有（ ）A 、4个 B 、8个 C 、10个 D 、12个2、如果数列{a n }满足321121,,,...,,...n n a a a a a a a -是首项为1，公比为2的等比数列，则a 100等于（ ）A ．2100 B ．299 C ．25050 D ．249503、已知等差数列{a n }的前2022项的和S 2022=2022，其中所有的偶数项的和是2，则a 1003的值为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、已知数列{a n }是等比数列，且每一项都是正数，若a 2，a 48是22－76=0的两个根，则 a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为（ ）A ．221B ．9C ．±9D ．355、已知数列﹛﹜为等差数列，且17134a a a π++=，则212tan()a a +的值为（ ）A ． B ． C ． D ．33-6、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5＝ A 、3:4 B 、2:3 C 、1:2 D 、1:37、将自然数0，1，2，…按照如下形式进行摆列：，根据以上规律判定，从2022到2022的箭头方向是8、设等比数列的首相为，公比为q ，则“1”*∈N n nn a a >+112+-=n a n }{nS n ，411=a 9 C 8664a a a a <8664a a a a ≤8664a a a a >8664a a a a ≥29n S n n=-58k a <<8 111111,a b a b ==66a b =66a b >66a b <66a b >66a b <n T n a a +=21||()n n n x x x x N *++=-∈121, (1,0)x x a a a ==≤≠0, 95175a a =, 则数列{}前n项和取最大值时，n 的值等（ ）A 12 B 11 C 10 D 948、在数列中，*n ∈N ，若211n n n na a ka a +++-=-（为常数），则称为“等差比数列” 下列是对“等差比数列”的判断： ①不可能为0 ②等差数列一定是等差比数列 ③等比数列一定是等差比数列④等差比数列中可以有无数项为0其中正确的判断是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④ D．①④16、数列中，0n a ≠，且满足113(2)32n n n a a n a --=≥+，则数列1{}na 是（ ）A 递增等差数列B 递增等比数列C 递减数列D 以上都不是17、数列1，12，1222，122223，…，1222…2n －1，…的前n 项和S n >1020，那么n 的最小值是 A 、7 B 、8 C 、9 D 、1018、若数列{a n }满足112,0;2121, 1.2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若167a =，则的值为（ ）A 67B 57C 37D 1719、二次函数2(1)(21)1y n n x n x =+-++，当n 依次取1，2，3，4，…，n ，…时，图象在轴上截得的线段的长度的总和为（ ）A ．1 B ．2C ．3D ．478 在正项等比数列中，a 3a 7=4，则数列{n a 2log }的前9项之和为79 数列中，23=a ，15=a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n a 是等差数列，则80 观察下列式子： ,474131211,3531211,23211222222<+++<++<+，则可以猜想的结论为：________222111211(,2)23n n N n n n-++++<∈≥________ F:\——小娜——\2022-11-26\数学必修1。

2022高考数学精讲精练（新人教a版）第05章数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从专门到一样的观看、分析、摸索，学会归纳、猜想、验证．2．强化差不多量思想，并在确定差不多量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点把握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．4．一些简单专门数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．第1课数列的概念【考点导读】1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种专门的函数；2．明白得数列的通项公式的意义和一些差不多量之间的关系；3．能通过一些差不多的转化解决数列的通项公式和前n项和的问题。

【基础练习】1.已知数列}{na 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a分析:由a 1=0,)(1331++∈+-=N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知:数列}{na 是周期变化的,且三个一循环,因此可得: .3220-==a a2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。

3．设数列{}n a 的前n 项和为nS ，*1(31)()2n n a S n N -=∈ ，且454a =，则1a =____2__. 4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)2n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+．【范例导析】例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是那个数列中的项吗？假如是，是第几项？ （2）写出那个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）那个数列所有项中有没有最小的项？假如有，是第几项？分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就能够明白；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判定有无最小项的问题能够用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。