椭圆及其性质 第1课时 新题培优练

1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 32．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．203．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则该椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 4．若椭圆x 29＋y 24＋k＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或215．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )A.14B.12 C ．2 D ．46．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 216＝1C.x 236＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝1 7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.238．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－3 C.5－2 D.6－ 39．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.1310．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 311．已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22)12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 13．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________．14．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．16． 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．17．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________． 18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程．19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.(1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 5B ．2 3C ．4 5D ．4 3答案 D 解∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3b 2＝1，b 2＝4，c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝432．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20答案 D 解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则该椭圆方程为( )A.x 2144＋y 2128＝1B.x 236＋y 220＝1C.x 232＋y 236＝1D.x 236＋y 232＝1 答案 D 解析 ∵2a ＝12，c a ＝13，∴a ＝6，c ＝2，b 2＝32.∴椭圆的方程为x 236＋y 232＝1. 4．若椭圆x 29＋y 24＋k＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或21答案 C 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k.由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－1925； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5.由c a ＝45，即k －54＋k ＝45，解得k ＝21.5．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4答案 A 将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，∴a ＝1m ，b ＝1.∴1m ＝2，∴m ＝14. 6．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )A.x 225＋y 25＝1B.x 236＋y 216＝1C.x 236＋y 210＝1D.x 245＋y 225＝1 答案 B 解析 设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F(－25，0)，得c ＝2 5.由|OP|＝|OF|＝|OF 1|，知PF 1⊥PF.在Rt △PFF 1中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 216＝1.7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.23答案 B 解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m.∵e 2＝c 2a 2＝2－m 2＝14.∴m ＝32.8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )A.22 B ．2－3 C.5－2 D.6－ 3答案 D 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝ca ＝6－39．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )A.33B.12C.22D.13答案 C 解析 由题意知，直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－c ，c ，所以两个交点分别为(－c ，－22c)，(c ，22c)，代入椭圆得c 2a 2＋c 22b 2＝1，两边同乘2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2)＝2a 2b 2.因为b 2＝a 2－c 2，所以c 2(3a 2－2c 2)＝2a 4－2a 2c 2，所以c 2a 2＝2或12.又因为0<e<1，所以e ＝c a ＝22，故应选C.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )A ．4B ．4 3C ．8D ．8 3答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2ab ＝4，c 2＝a 2－b 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.周长为4a ＝8.11．已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22)答案 C 解析 由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c ，由|OA|>b ，即c>b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得22<e<1.故选C.12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)．∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 28＝1.13．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________．答案 4或8解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a)＝22，解得a ＝8.14．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．答案 43解析 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A(x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 02＋2y 02＝3x 02，解得x 02＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 02＝43.15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．答案 33 解析 方法一：∵|F 1F 2|＝2c ，MF 1⊥x 轴，∴|MF 1|＝233c ，|MF 2|＝433 c. ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝23c.∴e ＝2c 2a ＝33.方法二：由F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝b 2a ，∵|F 1F 2||MF 1|＝3，∴2cb 2a ＝ 3.∵b 2＝a 2－c 2，∴2ac a 2－c 2＝3，即2e 1－e2＝ 3.解得e ＝－3(舍)，e ＝33.16． 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________． 答案 43解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距为4 3.17．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．答案 [13，1)解析 设P(x ，y)，则|PF 2|＝a －ex ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则|PF 2|＝|F 1F 2|，∴a －ex ＝2c ，∴x ＝a －2c e ＝a （a －2c ）c .∵－a ≤x ≤a ，∴a （a －2c ）c ≤a ，∴c a ≥13，∴13≤e<1.故椭圆C 的离心率的取值范围是[13，1)．18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 22＝1解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c. 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，由AF 2→＝2F 2B →，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2＝3.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.2020届高三数学精准培优专练十七：椭圆（一）2019届高三数学精准培优专练十七：椭圆（一） (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.答案 (1)12 (2)a ＝7，b ＝27解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac. 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段MF 1的中点．故b 2a ＝4，即b 2＝4a.① 由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|.设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.故a ＝7，b ＝27.。

椭圆的离心率问题一．离心率基础问题1.如果椭圆221(8)89x y k k +=>-+的离心率为12e =，则k =（）A．4B．4或54-C．45-D．4或45-2.已知椭圆()22105x y m m +=>的离心率e =m 的值为______．3.方程22134x y m m +=--表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是____________．4.在平面直角坐标系xOy 中，若椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆E 的离心率是__________.二．利用椭圆第一定义求离心率1.已知12,F F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为椭圆上一点，且12PF PF ⊥，若12PF =，则椭圆的离心率为（）-B．21D．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为椭圆C 上一点，且123F PF π∠=，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则该椭圆的离心率为______．3.已知椭圆C 的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线AB 过1F 与该椭圆交于A ，B 两点，当2F AB为正三角形时，该椭圆的离心率为（）A．4B．3C．3D．24.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P 为C 上一点，若线段1PF 的中点在y 轴上，且1230oPF F ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A．16C．13D．3三．焦点三角形与余弦定理1.已知F 是椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于,A B 两点，且60AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是（）A．(1)2B．(02，C．1(0)2，D．1(1)22.已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF =，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（）A．4B．12C．4D．23.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆上存在一点P 使得122π3F PF ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是________．4.已知椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆上的动点，若12F PF ∠的最大值为23π，则椭圆的离心率为___________.四．顶角直角三角形1.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆右焦点，且满足AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,123ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则该椭圆的离心率e 的取值范围是（）A．12⎫⎪⎪⎣⎭B．2⎣⎦C．3-⎦D．,32⎥⎣⎦2.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A ，B 关于原点对你，且满足0FA FB ⋅=，FB FA ≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．2⎫⎪⎪⎣⎭B．12⎤⎥⎣⎦C．)1,1D．2⎣⎦3.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上一点，12PF PF λ=，(122λ≤≤)，122F PF π∠=，则椭圆离心率的取值范围为（）A．(0,]2B．[2C．2[3D．4.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两焦点为1F ，2F ．若椭圆C 上有一点P 满足1290F PF ∠=︒，则椭圆C 的离心率的最小值为（）C．13五．焦半径与第二定义1.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右焦点12,F F ，过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点．其中M在第一象限．1121,3NF MN F F MF =≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A．1(0,2B．2]-C．1]D．(1]22.设12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点，若在直线2a x c=-（c 为半焦距）上存在点P ，使1PF 的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（）A．0,3⎛ ⎝⎦B．3⎫⎪⎣⎭C．0,2⎛ ⎝⎦D．,12⎤⎥⎣⎦3.设F 1、F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（）A．14C．34D．12六．第三定义与中点弦1.若椭圆()2210,0mx ny m n +=>>与直线1y x =-交于A ，B 两点，过原点与线段AB 中点的连线的斜率为12，则椭圆的离心率为（）A．12B．22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上关于原点对称的两点为A ，B ，点M 为椭圆C 上异于A ，B 的一点，直线AM 和直线BM 的斜率之积为14-，则椭圆C 的离心率为（）A．14B．12C．2D．43.已知直线10x y +-=与椭圆C ：222222b x a y a b +=（0a b >>）相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 在直线l ：20x y -=上，则椭圆C 的离心率为（）D．124.若A ，B 分别是椭圆22:1y E x m+=，(1)>m 短轴上的两个顶点，点P 是椭圆上异于A ，B的任意一点，若直线AP 与BP 的斜率之积为4m-，则椭圆的离心率为_________.七．焦点三角形：双底角型1.设P 为椭圆上一点，且122130,45PF F PF F ∠=︒∠=︒，其中12,F F 为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 的值等于（）B．(22+C．(21)2D．(21)22.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且122F F c =，若椭圆上存在点M 使得在12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为______．3.已知椭圆E 的两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆上一点，且121tan 3PF F =，21tan 3PF F =-，则椭圆E 的离心率为__．4.设P 为椭圆22221x y a b+=(0)a b >>上一点，两焦点分别为1F ，2F ，如果1275PF F ∠=︒，2115PF F ∠=︒，则椭圆的离心率为（）八．焦点三角形：双余弦定理型1.已知椭圆C 的焦点为1F ，2F ，过1F 的直线与C 交于A ，B 两点，若212153AF F F BF ==，则C 的离心率为（）C．12D．132.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的上顶点()0,A b ，左右焦点分别为1F ，2F 连接1AF ，并延长交椭圆于另一点P ，若2PA PF =，则椭圆C 的离心率为（）A．13B．163.椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为点F ，过原点O 的直线与椭圆交于P ，Q 两点，若120PFQ ∠=︒，OF =OP =，则椭圆C 的离心率为（）A．2B．3C．3D．34.已知1F ，2F ，B 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点､右焦点､上顶点，连接2BF 并延长交C 于点P ，若1PF B △为等腰三角形，则C 的离心率为（）A．13B．12D．2九．焦点弦与定比分点1.设12,F F 分别是椭圆C 的左，右焦点，过点1F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，若113MF F N =，且24cos 5MNF ∠=，则椭圆C 的离心率为（）A．2B．3C．12D．132.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B 两点.若112AF F B =，2||AB BF =，则C 的离心率为（）A．13B．3D．33.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点A 是椭圆上一点，线段1AF 的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若23AB F B =，则椭圆C 的离心率为（）A．13C．23D．34.直线0x --=经过椭圆的右焦点F ，交椭圆()222210x y a b a b+=>>于P ，Q 两点，交y 轴于C 点，若3FP CP =，则该椭圆的离心率是（）．1-B．2C．121十．焦点圆1.已知P 为椭圆上一点，1F ，2F 是椭圆的左、右焦点，若使12PF F △为直角三角形的点P 有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（）A．2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．(D．)+∞2.已知圆224x y +=与x 轴的交点分别为,A B ，点P 是直线:40l x y -+=上的任意一点，椭圆C 以,A B 为焦点且过点P ，则椭圆C 的离心率e 的取值范围为（）A．⎛⎝⎦B．⎫⎪⎪⎣⎭C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎣⎭3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =>与C 相交于M ，N 两点（其中M 在第一象限），若M ，1F ，N ，2F 四点共圆，且直线2NF 倾斜角不小于6π，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A．⎫⎪⎪⎣⎭B．1⎤⎥⎝⎦C．1,1)-D．1]-十一．椭圆与圆1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，点P 是C 上任意一点，若圆222:O x y b +=上存在点M 、N ，使得120MPN ∠=︒，则C 的离心率的取值范围是()A．0,2⎛ ⎝⎦B．2⎫⎪⎪⎣⎭C．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭2.已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左焦点，直线l 过椭圆的中心且与椭圆交于A ，B 两点．若以AB 为直径的圆过1F ，且1124F AB ππ≤∠≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）．A．2⎣⎦B．2⎫⎪⎪⎣⎭C．20,3⎛⎤⎥⎝⎦D．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.椭圆的焦点1(F -，20)F ，长轴长为2a ，在椭圆上存在点P ，使1290F PF ︒∠=，对于直线y a =，在圆()2212x y +-=上始终存在两点,M N 使得直线上有点Q ，满足90MQN ︒∠=，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．[3B．2C．[,23D．(0,34.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第二象限的点M 在椭圆C 上，且2OM OF =，若椭圆C 的离心率为3，则直线2MF 的斜率为（）A．4-B．14-C．2-D．12-十二．常规大题1.已知椭圆22:143x y M +=，点1F ，C 分别是椭圆M 的左焦点、左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交M 于A ，B 两点．(1)求M 的离心率及短轴长；(2)是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若存在，说明理2.椭圆C 的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆C 经过点()0,1且长轴长为.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()1,0M 且斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求弦长AB .3.已知椭圆22221(0)x y E a b a b+=>>：的长轴长是短轴长的2倍，左焦点为(F .(1)求椭圆E 的方程；(2)若A 是椭圆E 的右焦点，过点F 且斜率为1的直线交椭圆E 于,M N 两点，求AMN 的面积.4.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,1D -，离心率为2.(1)求椭圆的方程(2)过椭圆右焦点且斜率为()0k k ≠的直线m 与椭圆相交于两点A ，B ，与y 轴交于点E ，线段AB 的中点为P ，直线l 过点E 且垂直于OP （其中O 为原点），证明直线l 过定点.。

第五节椭圆【教材回扣】1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离的________等于________(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________.集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝________}，|F1F2|＝2c＜2a，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数．a b a b________________________________【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)1．平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()2．方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0且m≠n)表示的曲线是椭圆．()3．椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．()4.x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的焦距相同．()题组二教材改编1．(多选题)椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k＜9)的()A．长轴长相等B．焦点相同C．离心率相等D．焦距相等2．如果椭圆x2100＋y236＝1上一点P与焦点F1的距离等于6，那么点P与另一个焦点F2的距离是( )A ．6B ．12C ．14D ．263．已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为________________．题组三 易错自纠1．已知F 1，F 2为平面内两个定点，|F 1F 2|＝2020，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝2020，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．圆C ．线段D ．无轨迹2．若方程x 25－m ＋y 2m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－5,3)C ．(－3,1)∪(1,5)D ．(－5,1)∪(1,3)3．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m ＞0)的离心率e ＝105，则m 的值为________．第1课时 椭圆及其性质题型一 椭圆定义的应用角度|利用定义求轨迹方程[例1] 已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆M 在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A .x 264－y 248＝1B .y 264＋x 248＝1 C .x 248－y 264＝1 D .x 264＋y 248＝1 [听课记录]类题通法通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程.巩固训练1：已知A(－12，0)，B 是圆(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．角度|利用定义解决焦点三角形问题[例2] 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[听课记录]类题通法利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF 1|＋|PF 2|＝2a 两边平方是常用技巧.巩固训练2：过椭圆x 24＋y 2＝1的左焦点F 1作直线l 交椭圆于A ，B 两点，F 2是椭圆右焦点，则△ABF 2的周长为( )A ．8B ．42C ．4D ．22角度|利用定义求最值[例3] 在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆y 24＋x 23＝1上的一个动点，点A(1,1)，B(0，－1)，则|PA|＋|PB|的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [听课记录]类题通法抓住|PF 1|与|PF 2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF 1|·|PF 2|的最值；利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 转化或变形，借助三角形性质求最值.巩固训练3：已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．题型二 椭圆的标准方程[例4] (1)如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，F(－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C 的标准方程为( )A .x 236＋y 216＝1B .x 240＋y 215＝1 C .x 249＋y 224＝1 D .x 245＋y 220＝1 (2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点(－32，52)，(3，5)，则椭圆的方程为________．(3)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为____________________．[听课记录]类题通法求椭圆方程的两种方法1．定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程． 2．待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a ，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n)，再用待定系数法求出m ，n 的值即可.巩固训练4：(1)[2021·山东烟台诊断]已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( )A .x 27＋y 22＝1B .x 22＋y 27＝1 C .x 29＋y 24＝1 D .x 24＋y 29＝1 (2)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A .x 23＋y 22＝1B .x 23＋y 2＝1 C .x 212＋y 28＝1 D .x 212＋y 24＝1 (3)与椭圆x 24＋y23＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为________．题型三 椭圆的几何性质[例5] (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点是圆x 2＋y 2－6x ＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A ．(－3,0)B ．(－4,0)C ．(－10,0)D ．(－5,0)(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，上顶点为B ，且|OA|＝3|OB|(O 为坐标原点)，则该椭圆的离心率为( )A .233B .63C .22D .33(3)(多选题)[2021·山东潍坊模拟]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2且|F 1F 2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是( )A ．|QF 1|＋|QP|的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为(0，5－12)D ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17 [听课记录]类题通法1.利用椭圆几何性质的注意点及技巧 (1)注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些范围问题时，经常用到x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系． (2)利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，理清顶点、焦点、长轴、短轴等基本量的内在联系． 2．求椭圆离心率的方法(1)直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解．(2)由a ，b ，c 之间的关系求离心率，可以利用变形公式e ＝1－b 2a2求解．也可以利用b 2＝a 2－c 2消去b ，得到关于a ，c 的方程或不等式，进而转化为关于e 的不等式再求解．(3)由椭圆的定义求离心率．e ＝c a ＝2c2a ，而2a 是椭圆上任意一点到两焦点的距离之和，2c 是焦距，从而与焦点三角形联系起来.巩固训练5：(1)已知椭圆x 2m －2＋y 210－m＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m 等于( )A ．8B ．7C ．6D ．5(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( )A .5－12B .33C .22D .63(3)已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是________．[预测1] 核心素养——逻辑推理、直观想象已知F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，现以F 2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M ，N ，过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A .3－1B ．2－3C .22D .32[预测2] 新题型——多选题设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m(0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B 两点，则( )A ．|AF|＋|BF|为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6,12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6课前基础巩固[教材回扣]和 常数 焦点 焦距 2a－a ≤x ≤a －b ≤y ≤b －b ≤x ≤b －a ≤y ≤a 坐标轴 原点 (－a,0) (a,0) (0，－b ) (0，b ) (0，－a ) (0，a ) (－b,0) (b,0) 2a 2b 2c (0,1) a 2－b 2 [题组练透] 题组一1．× 2.√ 3.√ 4.√ 题组二1．解析：由椭圆x 225＋y 29＝1表示焦点为(±4,0)，长轴长为10，离心率为45，焦距为8.椭圆x 225－k ＋y 29－k ＝1(k ＜9)表示焦点为(±4，0)，长轴长为225－k ，离心率为425－k ，焦距为8，故选BD. 答案：BD2．解析：由椭圆x 2100＋y 236＝1知a ＝10.由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝20， ∴|PF 2|＝20－|PF 1|＝20－6＝14. 故选C. 答案：C3．解析：设P (x ，y )是椭圆上的一点，则S △PF 1F 2＝12×2c ×|y |＝1，∴|y |＝1.将|y |＝1代入椭圆方程x 25＋y 24＝1得：x 25＋14＝1，解得|x |＝152.又点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，所以x ＝152.∴点P 的坐标为(152，1)或(152，－1).答案：(152，1)或(152，－1)题组三1．解析：由|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝2020知点P 的轨迹是以F 1，F 2为端点的线段．故选C.答案：C2．解析：由方程表示椭圆知⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m ＋3＞0，5－m ≠m ＋3，解得－3＜m ＜5且m ≠1. 故选C.答案：C3．解析：若a 2＝5，b 2＝m ，则c ＝5－m ，由c a ＝105，即5－m 5＝105，解得m ＝3；若a 2＝m ，b 2＝5，则c ＝m －5.由c a ＝105，即m －55＝105，解得m ＝7. 答案：3或7第1课时 椭圆及其性质 课堂题型讲解题型一例1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16＞8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D. 答案：D巩固训练1 解析：如图，由题意知|P A |＝|PB |，|PF |＋|BP |＝2.所以|P A |＋|PF |＝2且|P A |＋|PF |＞|AF |，即动点P 的轨迹是以A ，F 为焦点的椭圆，a ＝1，c ＝12，b 2＝34.所以动点P 的轨迹方程为x 2＋4y 23＝1.答案：x 2＋4y 23＝1例2 解析：设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2.则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，∴2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴S △PF 1F 2＝12r 1r 2＝b 2＝9，∴b ＝3.答案：3巩固训练2 解析：因为x 24＋y 2＝1，所以a ＝2.由椭圆的定义可得|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝4，且|BF 1|＋|BF 2|＝2a ＝4，所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝8.答案：A例3 解析：由题意知椭圆y 24＋x 23＝1的焦点坐标为B (0，－1)，B ′(0,1)，连接PB ′，AB ′，根据椭圆的定义，得|PB |＋|PB ′|＝2a ＝4，得|PB |＝4－|PB ′|.∴|AP |＋|PB |＝|P A |＋(4－|PB ′|) ＝4＋(|P A |－|PB ′|)≤4＋|AB ′| ＝4＋1＝5.当且仅当P 在AB ′延长线上时，等号成立． 故|P A |＋|PB |的最大值为5. 故选D. 答案：D巩固训练3 解析：椭圆方程化为x 29＋y 25＝1，设F 1是椭圆的右焦点，则F 1(2,0)，∴|AF 1|＝2，∴|P A |＋|PF |＝|P A |－|PF 1|＋6，又－|AF 1|≤|P A |－|PF 1|≤|AF 1|(当P ，A ，F 1共线时等号成立)，∴6－2≤|P A |＋|PF |≤6＋ 2. 答案：6＋2 6－2 题型二例4 解析：(1)由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′(图略)，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′，在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－25＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.故选C.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． 由⎩⎪⎨⎪⎧－322m ＋522n ＝1，3m ＋5n ＝1， 解得m ＝16，n ＝110.所以椭圆方程为y 210＋x 26＝1.(3)法一 (定义法)椭圆y 225＋x 29＝1的焦点为(0，－4)(0,4)，即c ＝4.由椭圆的定义，知 2a ＝(3－0)2＋(－5＋4)2 ＋(3－0)2＋(－5－4)2.解得a ＝2 5.由c 2＝a 2－b 2可得b 2＝4，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.法二 (待定系数法)∵所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，∴其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在所求椭圆上， ∴(－5)2a 2＋(3)2b 2＝1，即5a 2＋3b2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，∴所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1.答案：(1)C (2)y 210＋x 26＝1 (3)y 220＋x 24＝1巩固训练4 解析：(1)设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n . ∵MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8， |F 1F 2|＝25，∴m 2＋n 2＝20，mn ＝8， ∴(m ＋n )2＝36，∴m ＋n ＝2a ＝6，∴a ＝3. ∵c ＝5，∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程是x 29＋y 24＝1.故选C. (2)由e ＝33，得c a ＝33①.又△AF 1B 的周长为43，由椭圆定义，得4a ＝43，得a ＝3，代入①得c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝2，故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A.(3)解法一 ∵e ＝c a ＝a 2－b 22＝1－b 2a 2＝1－34＝12，若焦点在x 轴上，设所求椭圆方程为x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，则1－(n m )2＝14.从而(n m )2＝34，n m ＝32.又4m 2＋3n2＝1，∴m 2＝8，n 2＝6. ∴方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2m 2＋x 2n2＝1(m ＞n ＞0)，则3m 2＋4n 2＝1，且n m ＝32，解得m 2＝253，n 2＝254.故所求方程为y 2253＋x 2254＝1.解法二 若焦点在x 轴上，所求椭圆方程为x 24＋y 23＝t (t ＞0)，将点(2，－3)代入，得t＝224＋(－3)23＝2. 故所求方程为x 28＋y 26＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 24＋x 23＝λ(λ＞0)，代入点(2，－3)，得λ＝2512，∴所求方程为y 2253＋x 2254＝1.答案：(1)C (2)A (3)y 2253＋x 2254＝1或x 28＋y26＝1题型三例5 解析：(1)由已知得，椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，故c ＝3，又因为2b ＝8，b ＝4，所以a 2＝b 2＋c 2＝16＋9＝25.故a ＝5.所以椭圆的左顶点为(－5,0)．故选D.(2)依题意可知a ＝3b ，即b ＝33a .又c ＝ a 2－b 2＝a 2－(33a)2＝63a ，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝63.故选B.(3)由题意知，F 1(－1,0)，F 2(1,0)．对于A ：由椭圆的定义知，|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，所以|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |≥2a －|PF 2|＝2a －1，当P ，Q ，F 2三点共线时等号成立，故A 正确；对于B ：若椭圆C 的短轴长为2，则b ＝1.又c ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2，椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.因为122＋12＞1，所以点P 在椭圆外，不符合题意，故B 错误；对于C ：因为点P (1,1)在椭圆内，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2＜a 2b 2.又b 2＝a 2－c 2＝a 2－1，所以a 2－1＋a 2＜a 2(a 2－1)，整理得a 4－3a 2＋1＞0，解得a 2＜3－52或a 2＞3＋52.因为a 2＞1，所以a 2＞3＋52，则e 2＝c 2a 2＜23＋5＝6－254＝（5－12）2.又0＜e ＜1，所以0＜e ＜5－12，故C 正确；对于D ：因为PF 1→＝F 1Q →，所以F 1为线段PQ 的中点，则Q (－3，－1)，由椭圆定义可得，2a ＝|QF 1|＋|QF 2|＝5＋17，故D 正确．故选ACD.答案：(1)D (2)B (3)ACD巩固训练5 解析：(1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m ＞0，m －2＞0，m －2＞10－m ，解得6＜m ＜10.又焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4， ∴m ＝8.故选A.(2)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，根据椭圆与正方形的对称性，可画出满足题意的图形，如图所示，因为|OB |＝a ，所以|OA |＝22a ，所以点A 的坐标为（a 2，a 2），又点A 在椭圆上，所以a 24a 2＋a 24b2＝1，所以a 2＝3b 2，所以a 2＝3(a 2－c 2)，所以3c 2＝2a 2，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝63.故选D.(3)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c .∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈[13，1). 答案：(1)A (2)D (3)[13，1) 高考命题预测 预测1 解析：∵过F 1的直线MF 1是圆F 2的切线，∴∠F 1MF 2＝90°，|MF 2|＝c ，∵|F 1F 2|＝2c ，∴|MF 1|＝3c ，由椭圆定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a ，∴椭圆离心率e ＝21＋3＝3－1. 故选A.答案：A预测2 解析：设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，所以|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|为定值6，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，因为|AF |＋|BF |为定值6，易知|AB |的范围是(0,6)，所以△ABF 周长的取值范围是(6,12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，可解得A （－332，32），B （332，32).又易知F (6，0)，所以AF →·BF →＝（6＋332)（6－332)＋（－32)2＝0，所以△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B(6，1)，所以S△ABF＝12×26×1＝6，D正确．答案：ACD。

2．1.2 椭圆的几何性质第1课时 椭圆的几何性质一、选择题1．椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 2＋y 24＝1在扁圆程度上( ) A ．C 1较扁B ．C 2较扁C ．C 1与C 2的扁圆程度一样D ．不能确定考点 椭圆的几何性质题点 由椭圆方程研究其几何性质答案 B解析 ∵C 1的离心率e 1＝45，C 2的离心率e 2＝32，且e 1<e 2，∴C 2较扁． 2．椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A ．相同短轴B ．相同长轴C ．相同离心率D ．以上都不对考点 椭圆的几何性质题点 由椭圆方程研究其几何性质答案 D解析 因为在椭圆x 2a 2＋y 29＝1中，焦点的位置不确定，所以无法确定两椭圆的长轴、短轴、离心率的关系．3．椭圆(m ＋1)x 2＋my 2＝1的长轴长是( ) A.2m －1m －1B.－2－m mC.2m mD ．－21－m m －1 考点 椭圆的几何性质题点 由条件研究椭圆的几何性质答案 C解析 椭圆方程可简化为x 211＋m ＋y 21m＝1，由题意知m >0，∴11＋m <1m，∴a ＝m m ，∴椭圆的长轴长2a ＝2m m. 4．设椭圆中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，点P 在椭圆上，若椭圆的离心率为12，△PF 1F 2的周长为12，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 23＋y 24＝1 D.x 212＋y 216＝1 考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求方程答案 B解析 由题意知c a ＝12，① 2a ＋2c ＝12，②由①②可知，a ＝4，c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝23，∴椭圆的标准方程为x 216＋y 212＝1. 5．若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15 考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 B解析 由题意有2a ＋2c ＝2×2b ，即a ＋c ＝2b ，又c 2＝a 2－b 2，消去b ，整理得5c 2＝3a 2－2ac ，即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．6．从椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( ) A.24 B.12 C.22 D.32考点 椭圆性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 C解析 由题意可设P (－c ，y 0)(c 为半焦距)，则k OP ＝－y 0c ，k AB ＝－b a， ∵OP ∥AB ，∴－y 0c ＝－b a ，即y 0＝bc a. 把P ⎝⎛⎭⎫－c ，bc a 代入椭圆方程，得(－c )2a 2＋⎝⎛⎭⎫bc a 2 b 2＝1，∴⎝⎛⎭⎫c a 2＝12，∴e ＝c a ＝22. 7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2＋y 2b2＝k (k ＞0，a ＞0，b ＞0)具有( ) A ．相同的顶点B ．相同的离心率C ．相同的焦点D ．相同的长轴和短轴 考点 椭圆的几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 B解析 不妨设a ＞b ＞0，则椭圆x 2a 2＋y 2b2＝k 的离心率e 2＝ka 2－kb 2ka 2＝ a 2－b 2a 2. 而椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的离心率e 1＝ a 2－b 2a 2，故B 正确． 二、填空题8．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围是________． 考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求参数答案 (2,4]解析 ∵e ＝ 1－b 2a 2＝ 1－1a 2， ∴0< 1－1a 2≤32， 得1<a ≤2，∴2<2a ≤4.9．若椭圆长轴长是短轴长的2倍，且焦距为2，则此椭圆的标准方程为____________． 考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求方程 答案 x 243＋y 213＝1或y 243＋x 213＝1 解析 由题意可知a ＝2b ，c ＝1，所以1＋b 2＝4b 2，故b 2＝13，a 2＝43， 则此椭圆的标准方程为x 243＋y 213＝1或x 213＋y 243＝1. 10．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率答案 34解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴|PF 2|＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c . ∵|F 1F 2|＝2c ，|F 1F 2|＝|PF 2|，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34. 11．若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. 考点 椭圆几何性质的应用题点 由椭圆的几何性质求参数答案 14或4 解析 方程化为x 2＋y 21m ＝1，则有m ＞0且m ≠1.当1m ＜1时，由题意 1－1m 1＝32，解得m ＝4； 当1m＞1时，由题意 1m －11m＝32，解得m ＝14. 综上，m ＝14或4. 三、解答题 12.如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．考点 椭圆几何性质的应用题点 求椭圆的离心率解 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a ，b ，c .因为MF 2⊥F 1F 2，所以△MF 1F 2为直角三角形．又∠MF 1F 2＝30°，所以|MF 1|＝2|MF 2|，|F 1F 2|＝32|MF 1|. 而由椭圆定义知|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，因此|MF 1|＝4a 3，所以2c ＝32×4a 3，即c a ＝33， 即椭圆的离心率是33. 13．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若AF 2→·F 1F 2——→＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程． 考点 椭圆的标准方程题点 待定系数法求椭圆的标准方程解 如图，因为AF 2→·F 1F 2——→＝0，所以AF 2⊥F 1F 2，因为椭圆的离心率e ＝c a ＝22， 所以b 2＝12a 2， 设A (x ，y )(x >0，y >0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，所以A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b2＝1， 所以y ＝b 2a. 因为△AOF 2的面积为22，所以2AOF S ＝12c ×y ＝22， 即12c ·b 2a ＝22， 因为c a ＝22，所以b 2＝8， 所以a 2＝2b 2＝16，故椭圆的方程为x 216＋y 28＝1. 四、探究与拓展14．设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A ．98aB ．99aC ．100aD ．101a考点 椭圆几何性质的应用题点 利用椭圆的性质求值答案 D解析 由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1P 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，|F 1P 50|＝a,50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .15．已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4.(1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度的最小值．考点 椭圆的几何性质题点 求椭圆的离心率解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1， 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0. 又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4 ＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4 ＝x 202＋8x 20＋4(0＜x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0＜x 20≤4)，当且仅当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.。

椭圆 培优练习一、选择题1.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为35，直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，则椭圆方程为（ ）A. 22154x y +=B. 221259x y +=C. 221169x y += D. 2212516x y +=答案及解析：D【详解】直线2100x y ++=与x 轴的交点为(5,0)-,直线2100x y ++=过椭圆的左顶点，即椭圆的左顶点为(5,0)-. 所以椭圆中5a =，由椭圆的离心率为35，则3c =. 则4b =，所以椭圆的方程为：2212516x y +=.故答案为：D 2.已知椭圆22143x y +=,则与椭圆相交且以点()1,1A 为弦中点的直线所在方程为（ ）A. 3470x y ++=B. 2570x y +-=C. 3410x y -+=D. 3470x y +-=答案及解析：.D【详解】设以点()1,1A 为弦中点的直线与椭圆交于()()1122,,,M x y N x y ， 依题意所求直线的斜率存在，()()1122,,,M x y N x y 代入椭圆方程得，222211221,14343x y x y +=+=，两式相减得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=， 121234y y x x -=--，即所求直线的斜率为34-，所求的直线方程为3470x y +-=.故选:D3.椭圆221169x y +=上的点到直线34x y += ） A. 0C.答案及解析：B【详解】因为椭圆方程221169x y +=，所以椭圆的参数方程为：4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩， 设P 为椭圆上任意一点，设()4cos ,3sin P θθ，则P点到直线34x y +=的距离d==当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d有最小值，即min 5d =故选：B4.设F 1 ，F 2分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅=，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34答案及解析：.C【详解】222AF F B = 设2BF x =，则22AF x =由椭圆的定义，可以得到1122,2AF a x BF a x =-=-120AF AF ⋅=,12AF AF ∴⊥在1Rt AF B ∆中，有()()()2222232a x x a x -+=-，解得3a x =2124,33a aAF AF ∴==在12Rt AF F △中，有()22242233a a c ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理得225=9c a，c e a ∴==故选C 项.5.已知F 是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，若3PF QF=，且120PFQ ∠=︒，则椭圆E 的离心率为（ ）B.12答案及解析：.A【详解】解：设椭圆的右焦点F '，连接PF '，QF '，根据椭圆对称性可知四边形PFF Q '为平行四边形， 则QF PF '=，且由120PFQ ∠=︒，可得60FPF '∠=︒， 所以42PF PF PF a ''+==，则12PF a '=，32PF a = 由余弦定理可得()()222222cos603c PF PF PF PF PF PF PF PF ''''=+-︒=+-，即2222974444c a a a =-=，∴椭圆的离心率4e ===，故选：A ．6.已知椭圆22:12y C x +=，直线:l y x m =+，若椭圆C 上存在两点关于直线l 对称，则m 的取值范围是( )A. 22,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B. 22,44⎛- ⎝⎭ C. 33,33⎛- ⎝⎭ D. 3344⎛- ⎝⎭答案及解析：.C【详解】设()11,A x y ，()22,B x y 是椭圆C 上关于l 对称的两点，AB 的中点为()00,M x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=，1AB k =-.又因为A ，B 在椭圆C 上，所以221112y x +=，222212y x +=，两式相减可得121212122y y y y x x x x -+⋅=--+，即002y x =. 又点M 在l 上，故00y x m =+，解得0x m =，02y m =. 因为点M 在椭圆C 内部，所以2221m m +<，解得33m ⎛∈ ⎝⎭. 故选：C7.已知椭圆2222:19x y C a a +=+，F 1、F 2是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ，都有120PF PF ⋅>恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. (－3,0)∪(0,3)B. [－3,0)∪(0,3]C.(－∞,－3) ∪(3,+∞)D. (－∞,－3] ∪[3,+∞)答案及解析：C【详解】椭圆2222:19x y C a a+=+，12F F 、是其左右焦点，若对椭圆C 上的任意一点P ， 画出图象：根据图象可知当点P 移动到y 轴顶点时，12F PF ∠角度最大，此时120PF PF ⋅>，P 移动到椭圆其位置也必有120PF PF ⋅> 根据2222:19x y C a a +=+ ∴()13,0F -，()23,0F ， 点P 移动到y 轴顶点时，()0,P a 可得：()13,PF a =--，()23,PF a =由120PF PF ⋅>，可得290a ->，即29<a 解得33a -<<其0a ≠ 故选：C.8.焦点在x 轴上的椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ）A.14B.13C.12D.23答案及解析：.C试题分析：由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形的面积相等得112(22)223b c b a c ⨯⨯=⨯+⨯得，2a c =，即12c e a ==，故选C.9.在平面直角坐标系xOy 中，点P 为椭圆:C 22221y x ab +=()0a b >>的下顶点，M ，N 在椭圆上，若四边形OPMN 为平行四边形，α为直线ON 的倾斜角，若,64ππα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ）A. 60,3⎛ ⎝⎦B. 30,2⎛ ⎝⎦C. 6332⎣⎦D. 62233⎣⎦答案及解析：.A【详解】OP 在y 轴上，且平行四边形中，MN OP ， ∴M 、N 两点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，即M 、N 两点关于x 轴对称，而MN OP a ==， 可设,2a M x ⎛⎫-⎪⎝⎭，,2a N x ⎛⎫⎪⎝⎭，代入椭圆方程得：3||x b =，得3,2a N b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， α为直线ON 的倾斜角，2tan 332aa b b == ，3,,tan 1643a ππα⎛⎤∈∴<≤ ⎥⎝⎦，3133b ∴<≤，13a b ∴<≤313ba∴≤<22113b a ∴≤<，而221c a e a b ==-603e ∴<≤．∴椭圆C 的离心率的取值范围为60,3⎛⎤ ⎥ ⎝⎦．故选A 项．10.如图所示，已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 为椭圆的左顶点，B 、C 在椭圆上，若四边形OABC 为平行四边形，且45OAB ∠=︒，则椭圆的离心率为（ ）A ．22B ．33C ．63D ．23答案及解析：.C知OC 的方程为y x =，与22221x y a b +=联立，解得22C x a b=+，222aa b =+，那么223a b =， 则2223()a a c =-，则2223a c =，那么6c e a ==． 11.设F 1，F 2分别是椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，若在直线2a x c =（其中222cb a +=）上存在点P ，使线段PF 1的垂直平分线经过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A. 20,2⎛ ⎝⎦B. 30,3⎛ ⎝⎦C. 33⎫⎪⎪⎣⎭ D. 22⎫⎪⎪⎣⎭答案及解析：.C【详解】解：由题意得 ()1,0)F c -，2F (),0c ， 设点2,a P m c ⎛⎫⎪⎝⎭， 则由中点公式可得线段1PF 的中点221(,22a c K m c - )，∴线段1PF 的斜率与2KF 的斜率之积等于1-， 即22210212m m a a c c c c c--⋅=--+-， 22230a a m c c c c ⎛⎫⎛⎫∴=-+⋅-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4224230a a c c ∴--≤，423210e e ∴+-≥，213e ∴≥，或21(e ≤-舍去)，e ∴≥． 又椭圆的离心率 01e <<，故13e ≤<， 故选：C ． 二、填空题12.设F 1，F 2为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.答案及解析：由已知可得2222236,36,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===．122212,4MF MF a MF +===．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S FF y y =⋅⋅=△，又1201442MFF S y =⨯=∴=△0y = 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M ∴的坐标为(．13.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，交点1F ，2F 在x 轴上，离心率为2，过1F 做直线l 交C 于,A B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为 ．答案及解析：.221 168x y+=14.已知椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：左右焦点分别是12(10)(10)F F-，、，，点A是直线20x y+-=上的动点，若点A在椭圆C上，则椭圆C的离心率的最大值为▲ .答案及解析：105【详解】由题意易知：直线与椭圆C有公共点，联立方程可得：∴∴，即∴椭圆C的离心率∴椭圆的离心率的最大值为15.点P是椭圆上任意一点，F1，F2分别是椭圆的左右焦点，∠F1PF2的最大值是60°，则椭圆的离心率的值是．答案及解析：．【解答】解：由椭圆性质可得，当P为椭圆短轴的一个端点时，∠F1PF2有最大值是60°，如图：则∠F1PO=30°，∴sin30，即椭圆的离心率的值是．故答案为：．三、解答题16.已知椭圆()222210x yC a ba b+=>>：的短轴长等于3F距C最远处的距离为3．(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若OE OA OB=+，求四边形AOBE面积S的最大值．答案及解析：.（1）22143x y +=；（2）1【详解】（1）由已知得2b 3=，222a c 3,abc +==+，22x y C 143∴+=所求椭圆的方程为（2）因为过F ()1,0的直线与C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），所以设l :x ty 1=+， 221143x ty x y =+⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ ()223t 4y 6ty 90++-= 设()()1122A x y B x y 、、、则1221226t y y 3t 49y y 3t 4-⎧+=⎪+⎪⎪⎨-⎪=⎪+⎪⎩OE OA OB AOBE =+所以为平行四边形ΔAOB12S 2S y y ∴==-==，m 1=≥212m 4S 13m 13m m==++得，由对勾函数的单调性易得当m 1=即t 0=时， max S 3=17.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的四个顶点围成的菱形的面积为(1,0).（1）求椭圆的方程；（2）若M ，N 为椭圆上的两个动点，直线OM ，ON 的斜率分别为1k ，2k ，当1234k k =-时，MON △的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由.答案及解析：（1）22143x y +=（2【详解】（1）由椭圆22221x y a b +=四个顶点围成的菱形的面积为()1,0，可得2ab =，1c =，即221ab a b ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得24a =，23b =，故椭圆的方程为22143x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，当直线MN 的斜率存在时，设方程为y kx m =+，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 可得，()2223484120k x kmx m +++-=， 则()()222264434412k m km∆=-+-()2248430k m =-+>，即2243m k <+，且122834km x x k -+=+，212241234m x x k-=+，所以12MN x x =-===又由点O 到直线MN的距离d =所以12MON S MN d =△=又因为12121234y y k k x x ==-，所以()22121112k x x km x x m x x +++222228334412434km km m k k m k -⎛⎫+ ⎪+⎝⎭=+=--+，化简整理可得22243m k =+，满足>0∆，代入MCN S ===△， 当直线MN 的斜率不存在时，由于1234k k =-，考虑到OM ，ON 关于x 轴对称，不妨设1k =，2k =则点M ，N的坐标分别为2M⎭，2N -⎭，此时12MON S ==△ 综上可得，MON △18.已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>），与x 轴负半轴交于(2,0)A -，离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ：y kx m =+与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y 两点，连接AM ，AN 并延长交直线4x =于()33,E x y ，()44,F x y 两点，已知12341111y y y y +=+，求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标. 答案及解析：（1）22143x y += （2）证明见解析；定点坐标为(1,0)【详解】（1）由题有2a =，12c e a ==.∴1c =，∴2223b a c =-=. ∴椭圆方程为22143x y +=.（2）由22,1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484120k x kmx m +++-=()()22222264434412043k m k m m k ∆=-+->⇒<+122834km x x k -+=+，212241234m x x k -=+.又AM AE k k = ∴3113110062422y y y y x x --=⇒=+++， 同理24262y y x =+ 又12341111y y y y +=+ ∴1212122112121212222()666y y x x x y x y y y y y y y y y ++++++=+= ∴1212214()y y x y x y +=+∴1212214()()()kx m kx m x kx m x kx m +++=+++ ∴1212(4)()280k m x x kx x m -+-+=∴22228(412)24()(4)2800343434km m k m k m k m k k k--+--+=⇒=+++ ∴m k =-，此时满足2243m k <+ ∴(1)y kx m k x =+=- ∴直线MN 恒过定点(1,0)11 19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，点()1,e和2⎭都在椭圆C 上，其中e 为椭圆C 的离心率. （1）求椭圆C 的方程；（2）若过原点的直线1:l y kx =与椭圆C 交于A 、B 两点，且在直线22:20l kx y k -+-=上存在点P ，使得PAB ∆是以P 为直角顶点的直角三角形，求实数k 的取值范围答案及解析：（1）2214x y +=； （2）0k ≥或43k ≤-.【详解】（1）由题设知222a b c =+，c e a =.由点()1,e 在椭圆上，得222211c a a b +=. 解得21b =，又点⎭在椭圆上，222112a b ∴+=. 即21112a +=，解得24a =. 所以椭圆的方程是2214x y +=. （2）设()11,A x y 、()22,B x y ， 由2214y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得22414x k =+ 120x x ∴+=，122414x x k =-+，120y y +=，2122414k y y k=-+ 设()00,P x y ，则0022y kx k =+-依题意PA PB ⊥，得•1PA PB k k =-01020102•1y y y y x x x x --∴=--- 即()()220120*********y y y y y y x x x x x x -+++++-+=220012120y x y y x x ∴+++=()()()()22220024114422014k k x k k x k k +∴++-+--=+有解 ()()()()222222411624142014k k k k k k ⎡⎤+⎢⎥∆=--+--≥+⎢⎥⎣⎦ 化简得2340k k +≥，0k ∴≥或43k ≤-。

2．1.2 椭圆的简单几何性质第一课时 椭圆的简单几何性质填一填1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的简单几何性质(1)范围易知y 2b 2＝1－x 2a 2≥0，故x 2a ≤1，即－a ≤x ≤a ；同理－b ≤y ≤b .故椭圆位于直线x ＝±a 和y ＝±b 所围成的矩形框里． (2)对称性在方程中，以－y 代替y 或以－x 代替x 或以－y 代替y 、以－x 代替x ，方程都不改变，故椭圆关于x 轴、y 轴和原点都对称．原点为椭圆的对称中心，也称为椭圆的中心．(3)顶点椭圆与x 轴、y 轴分别有两个交点，这四个交点即为椭圆与它的对称轴的交点，叫做椭圆的顶点．其中x 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的长轴，y 轴上两个顶点的连线段称为椭圆的短轴，长轴长为2a ，短轴长为2b .说明：依据椭圆的四个顶点，可以确定椭圆的具体位置． (4)离心率椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率．离心率能够刻画椭圆的扁平程度．椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关，e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．2．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1，y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的几何性质比较标准 方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 图形范围－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b－b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a对称 性 对称轴：x 轴、y 轴；对称中心：原点焦点左焦点F 1 (－c,0)，右焦点F 2 (c,0)下焦点F 1 (0，－c )，上焦点F 2 (0，c )顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0)， B 1(0，－b )，B 2(0，b ) A 1(0，－a )，A 2(0，a )， B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴 线段A 1A 2，B 1B 2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长|A 1A 2|＝2a ，短轴长|B 1B 2|＝2b ，长半轴长为a ，短半轴长为b离心 率e e ＝2c 2a ＝ca(0<e <1)判一判1.若点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2＝1上，则实数m 的取值范围是[－1,1]．(×)解析：椭圆焦点在x 轴上，且a ＝3，所以－3≤m ≤3.故错误．2．已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上，则点(－3，－2)不在椭圆上．(×)解析：根据椭圆的对称性可知点(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)均在椭圆上，故错误． 3．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是10,6,0.8.(√)解析：将方程25x 2＋9y 2＝225化为椭圆的标准方程为x 232＋y 252＝1，所以a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以e ＝c a ＝45＝0.8，长轴长2a ＝10，短轴长2b ＝6.4．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝23.(×)解析：由题椭圆x 22＋y 2m ＝1焦点在x 轴上，且离心率为12，故e ＝2－m 2＝12⇒m ＝32，故错误．5．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－233，233.(×)解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123>1，解得a >233或a <－233，故错误．6．已知椭圆的长轴长是8，离心率是34，则此椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1.(×)解析：因为a ＝4，e ＝34，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.所以椭圆的标准方程是x 216＋y 27＝1或x 27＋y 216＝1.故错误．想一想1.提示：一般的步骤(通常采用待定系数法)：①确定焦点位置；②设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；③根据已知条件构造关于a ，b ，c 的关系式，利用方程(组)求出a ，b ，c .带入②即可．2．如何求解椭圆的离心率？ 提示：求解方法一般有两种：①易求a ，c ，代入e ＝c a 求解；易求b ，c ，由e ＝cb 2＋c 2求解；易求a ，b ，由e ＝a 2－b 2a 求解．②列出含a ，c 的齐次方程，列式时常用公式b ＝a 2－c 2代替式子中的b ，然后将等式两边同时除以a 的n 次方(一般除以a 或a 2)，从而利用e ＝ca转化为含e 的方程，解方程即可．但应注意0<e <1.思考感悟：练一练1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴的端点坐标是( ) A ．(－1,0)，(1,0) B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6) 解析：因为椭圆的焦点在y 轴上，且a 2＝6，所以长轴的两个端点坐标为(0，－6)，(0，6)．故选D. 答案：D2．已知椭圆的方程为2x 2＋3y 2＝m (m >0)，则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33 C.22 D.12解析：因为2x 2＋3y 2＝m (m >0)⇒x 2m 2＋y 2m 3＝1，所以c 2＝m 2－m 3＝m 6，故e 2＝13，解得e ＝33.故选B.答案：B3．椭圆以两坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为________．解析：由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)答案：(0，±69)4．设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________．解析：由题意得|PF 2|＝|F 1F 2|，所以2⎝⎛⎭⎫32a －c ＝2c ，所以3a ＝4c ，所以e ＝34. 答案：34知识点一由椭圆方程研究简单几何性质 1.A ．|x |≤5，|y |≤3B ．|x |≤15，|y |≤13C ．|x |≤3，|y |≤5D ．|x |≤13，|y |≤15解析：椭圆方程可化为x 2125＋y 219＝1，所以a ＝13，b ＝15，又焦点在y 轴上，所以|x |≤15，|y |≤13.故选B.答案：B2．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相等 C ．C 1与C 2短轴长相等D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程，可知C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为4 2.故选D.3.已知直线2x ＋y －2＝0经过椭圆x a 2＋y b2＝1(a >0，b >0)的上顶点与右焦点，则椭圆的方程为( )A.x 25＋y 24＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 26＋y 24＝1 解析：直线2x ＋y －2＝0与坐标轴的交点坐标为(1,0)，(0,2)， 由题意得c ＝1，b ＝2， 所以a ＝b 2＋c 2＝5，所以椭圆的方程为x 25＋y 24＝1.答案：A4．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 解析：∵一个焦点为(－3，0)， ∴焦点在x 轴上且c ＝ 3.∵长轴长是短轴长的2倍，∴2a ＝2·2b ，即a ＝2b ， ∴(2b )2－b 2＝3.∴b 2＝1，a 2＝4，故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.答案：A5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，两个焦点恰好将长轴三等分，则该椭圆的标准方程是________．解析：由2a ＝18，得a ＝9.又因为2c ＝183＝6，所以c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝81－9＝72.所以所求椭圆的标准方程为x 281＋y 272＝1.答案：x 281＋y 272＝1知识点三椭圆的离心率问题6.椭圆x 2A.32 B.34 C.22 D.23 解析：将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程得x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，c ＝a 2－b 2＝32，离心率e ＝c a ＝32. 答案：A7．如图所示，F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，则椭圆的离心率为________．解析：方法一：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则k AB ＝－ba.又PF ⊥x 轴，∴P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，∴k OP ＝－b 2ac .∵OP ∥AB ，∴k AB ＝k OP ，即－b a ＝－b 2ac，∴b ＝c ，a 2＝2c 2，因此，a ＝2c ，∴e ＝22.方法二：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .又OP ∥AB ，∴∠POF ＝∠BAO ， ∴Rt △OPF ∽Rt △ABO ，∴|PF ||BO |＝|OF ||AO |，即b 2a b ＝c a ， 即b a ＝c a ，∴b ＝c ，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22. 答案：228．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在一点P ，使得∠F 1PF 2＝π3，求椭圆离心率的取值范围． 解析：在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝π3，由余弦定理，可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos π3＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，由于|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以4c 2＝4a 2－3|PF 1|·|PF 2|.结合基本不等式，可得4a 2－4c 2＝3|PF 1||PF 2|≤3⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝3a 2(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝a 时等号成立)，即a 2≤4c 2，可得e ≥12，又∵e <1，∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.基础达标一、选择题1．椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为( )A ．2 B. 3C.32D.12解析：由椭圆的方程x 24＋y 23＝1可得a ＝2，b ＝3⇒c ＝1，所以椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ＝c a ＝12，故选D.答案：D2．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( ) A.x 22＋y 24＝1 B ．x 2＋y 26＝1 C.x 26＋y 2＝1 D.x 28＋y25＝1 解析：椭圆方程9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，可知焦点在y 轴上，焦点坐标为(0，±5)，故可设所求椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝ 5.又2b ＝2，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝6，则所求椭圆的标准方程为x 2＋y 26＝1.答案：B3．已知椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B ．x 2＋y 23＝1 C.x 23＋y 22＝1 D.x 22＋y 23＝1 解析：由题可知，椭圆的焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．因为c a ＝63，c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1.故选A.答案：A4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 解析：由题可知e ＝c a ＝33，又△AF 1B 的周长为43，所以4a ＝43，所以a ＝3，所以c ＝1.所以b 2＝a 2－c 2＝2.故C 的方程为x 23＋y 22＝1.故选A. 答案：A5．点P 为椭圆x 25＋y 24＝1上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±152，1B.⎝⎛⎭⎫152，±1C.⎝⎛⎭⎫152，1D.⎝⎛⎭⎫±152，±1 解析：设P (x 0，y 0)，∵a 2＝5，b 2＝4，∴c ＝1，∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y 0|＝|y 0|＝1，∴y 0＝±1，∵x 205＋y 204＝1，∴x 0＝±152.故选D. 答案：D6．如图所示，直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( )A.15B.25C.55D.255解析：由条件知：F 1(－2,0)，B (0,1)，所以b ＝1，c ＝2，所以a ＝22＋12＝5，所以e ＝c a ＝25＝255.故选D. 答案：D7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－12，63 C.⎣⎡⎦⎤3－1，63 D.⎣⎡⎦⎤3－1，32解析：如图，因为AF ⊥BF ，所以点F 在以AB 为直径的圆上，则|OA |＝|OB |＝|OF |＝c .根据图形的对称性知，|AF |＋|BF |＝2a .又因为∠ABF ＝α，所以|AF |＋|BF |＝|AB |·cos α＋|AB |·sin α＝2c (sin α＋cos α)＝2a ，因此e ＝c a ＝1sin α＋cos α＝12sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4.又因为α∈⎣⎡⎦⎤π12，π6，所以e ∈⎣⎡⎦⎤3－1，63，故选C. 答案：C 二、填空题8．比较椭圆①x 2＋9y 2＝36与②x 29＋y 25＝1的形状，则________更扁(填序号)．解析：x 2＋9y 2＝36化为标准方程得x 236＋y 24＝1，故离心率e 1＝426＝223；椭圆x 29＋y 25＝1的离心率e 2＝23.因为e 1>e 2，故①更扁．答案：①9．若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________．解析：由题意得c a ＝13⇒a 2＝9c 2⇒a 2b 2＝98，即k ＋89＝98或k ＋89＝89，解得k ＝0或k ＝178.答案：0或17810．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________．解析：∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1， 又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4， 又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长为2<2a ≤4. 答案：(2,4]11．已知以坐标原点为中心的椭圆，一个焦点的坐标为F (2,0)，给出下列四个条件：①短半轴长为2；②长半轴长为22；③离心率为22；④一个顶点坐标为(2,0)．其中可求得椭圆方程为x 28＋y24＝1的条件有________(填序号)．解析：只需保证a ＝22，b ＝2，c ＝2即可，而椭圆的顶点坐标为(0，±2)，(±22，0)，故①②③可求得椭圆方程为x 28＋y 24＝1.答案：①②③12．与椭圆y 24＋x 23＝1有相同的离心率，且长轴长与x 28＋y 23＝1的长轴长相等的椭圆方程为________．解析：椭圆y 24＋x 23＝1的离心率为e ＝12，椭圆x 28＋y 23＝1的长轴长为4 2.所以⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，2a ＝42，解得a ＝22，c ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝6.又因为所求椭圆焦点既可在x 轴上，也可在y 轴上，故方程为x 28＋y 26＝1或y 28＋x 26＝1.答案：x 28＋y 26＝1或y 28＋x26＝1三、解答题13．求椭圆9x 2＋y 2＝81的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解析：椭圆的标准方程为x 29＋y 281＝1，则a ＝9，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝62，长轴长：2a ＝18；短轴长：2b ＝6；焦点坐标：(0,62)，(0，－62)；顶点坐标：(0,9)，(0，－9)，(3,0)，(－3,0)．离心率e ＝c a ＝223.14．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；(2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解析：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形，所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c .所以a ＝2c ，e ＝c a ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中，c ＝a 2－b 2，设B (x ，y )． 由AF 2→＝2F 2B →⇔(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝⎛⎭⎫3c 2，－b 2. 将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1， 解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝⎛⎭⎫3c 2，－3b 2＝32 ⇒b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.能力提升15. (1)离心率e ＝34，椭圆上一点P 到两焦点距离的和是8；(2)椭圆过定点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74. 解析：(1)∵P 到两焦点的距离和为8，∴2a ＝8，a ＝4，又∵e ＝c a ＝34，c ＝3，b 2＝16－9＝7，∴椭圆方程为x 216＋y 27＝1或y 216＋x 27＝1. (2)设椭圆方程为x 2m ＋y 2n＝1(m ≠n ≠0)， ∵椭圆过点A ⎝⎛⎭⎫2，212、B ⎝⎛⎭⎫－3，74， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋214n ＝19m ＋4916n ＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝16n ＝7， ∴椭圆的方程为x 216＋y 27＝1. 16．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－3，0)、F 2(3，0)，且该椭圆过点⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上的点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，求y 0的值．解析：(1)由题意得，(3)2a 2＋⎝⎛⎭⎫122b2＝1，且a 2－b 2＝3， 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)点M (x 0，y 0)满足MF 1⊥MF 2，则有MF 1→·MF 2→＝0且y 0≠0，即(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝0 ①，而点M (x 0，y 0)在椭圆C 上，则x 204＋y 20＝1 ②， 取立①②消去x 20，得y 20＝13≠0， 所以y 0＝±33.。

3．1.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的几何性质1．椭圆6x 2＋y 2＝6的长轴端点坐标为( )A ．(－1,0)，(1,0)B ．(－6,0)，(6,0)C ．(－6，0)，(6，0)D ．(0，－6)，(0，6)答案 D解析 ∵椭圆方程化为标准式为y 26＋x 2＝1，∴a 2＝6，且焦点在y 轴上，∴长轴端点坐标为(0，－6)，(0，6)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223答案 C解析 ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.3．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且过点(45，0)的椭圆的方程是( ) A.x 225＋y 220＝1 B.x 220＋y 225＝1C.x 220＋y 245＝1 D.x 280＋y 285＝1答案 D 解析 由x 24＋y 29＝1可知，所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝5，故A ，C 不正确；再将点(45，0)分别代入B ，D 检验可知，只有D 选项符合题意．4．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为() A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1答案 A解析 依题意得c ＝25，a ＋b ＝10，又a 2＝b 2＋c 2，所以解得a ＝6，b ＝4.5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( ) A.63 B.33 C.23 D.13答案 A解析 以线段A 1A 2为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝a 2，由原点到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离d ＝2ab a 2＋b 2＝a ，得a 2＝3b 2， 所以C 的离心率e ＝1－b 2a 2＝63. 6．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，则椭圆的离心率为________．答案 45解析 依题意，得b ＝3，a －c ＝1.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝c a ＝45. 7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32，则长轴长的取值范围为________． 答案 (2,4]解析 ∵e ＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2，b ＝1,0<e ≤32， ∴1－⎝⎛⎭⎫b a 2≤32，则1<a ≤2，∴2<2a ≤4，即长轴长的取值范围是(2,4]．8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为_______________． 答案 x 216＋y 28＝1 解析 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由e ＝22，知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝4a ＝16， ∴a ＝4，∴b 2＝8，∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1. 9．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且椭圆C 经过点M ⎝⎛⎭⎫43，13，求椭圆C 的离心率．解 2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝⎛⎭⎫43＋12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫43－12＋⎝⎛⎭⎫132＝2 2. 所以a ＝ 2.又由已知c ＝1，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12＝22. 10．(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程．解 (1)∵c ＝9－4＝5，∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)．设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． ∵e ＝c a ＝55，c ＝5，∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1. (2)∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的方程为x 236＋y 220＝1.11．若O 和F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8答案 C解析 由题意得点F (－1,0)．设点P (x 0，y 0)，则有x 204＋y 203＝1，可得y 20＝3⎝⎛⎭⎫1－x 204.∵FP →＝(x 0＋1，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，∴OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 0(x 0＋1)＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3. 此二次函数的图象的对称轴为直线x 0＝－2.又－2≤x 0≤2，所以当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值，最大值为224＋2＋3＝6. 12．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为( ) A.22 B.32 C.3－ 2D.3－1答案 D 解析 设椭圆的焦点是F 1，F 2，圆与椭圆的四个交点是A ，B ，C ，D ，设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝c ，|AF 2|＝3c (c >0),|AF 1|＋|AF 2|＝2a ⇒c ＋3c ＝2a ，e ＝c a ＝23＋1＝3－1. 13．经过点M (1,2)，且与椭圆x 212＋y 26＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________． 答案 x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1 解析 由题意知e 2＝1－b 2a 2＝12，所以b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2， 设所求椭圆的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1或y 22b 2＋x 2b2＝1. 将点M (1,2)代入椭圆方程得12b 2＋4b 2＝1或42b 2＋1b 2＝1，解得b 2＝92或b 2＝3. 故所求椭圆方程为x 29＋y 292＝1或y 26＋x 23＝1. 14．在平面直角坐标系中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点⎝⎛⎭⎫a 2c ，0作圆的两切线互相垂直，则离心率e ＝________.答案 22 解析 如图，切线P A ，PB 互相垂直，又半径OA 垂直于P A ，所以△OAP 是等腰直角三角形，a 2c ＝2a . 解得c a ＝22， 则离心率e ＝22.15．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，32B.⎝⎛⎦⎤0，34 C.⎣⎡⎭⎫32，1 D.⎣⎡⎭⎫34，1 答案 A解析 设左焦点为F 0，连接F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形．∵|AF |＋|BF |＝4，∴|AF |＋|AF 0|＝4，∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2. 离心率e ＝c a＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32， 故选A.16．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点，|AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． 解 (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1. 因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16， |AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8，故|AF 2|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k . 由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k . 在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )． 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0，而a ＋k >0，故a ＝3k . 于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ， 故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22.。

一、单选题1. 若椭圆的离心率，则实数的值为A．B．C．或D．或2. 已知分别是椭圆的左，右焦点，点M是椭圆C上的一点，且的面积为1，则椭圆C的短轴长为（）A．1 B．2 C．D．43. 在直角坐标系中，一个长方形的四个顶点都在椭圆：上，当该长方形的面积最大时，将其绕轴旋转，得到一个圆柱体，则该圆柱体的体积为（）A．B．C．D．4. 从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为椭圆的左焦点，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点.若(为坐标原点)，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．5. 椭圆的焦点坐标为（）A．B．C．D．6. 已知椭圆经过点，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、多选题7. 椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（）A．椭圆C的焦距为B．椭圆C的长轴长为6C．椭圆C的离心率为D．椭圆C上存在点P，使得为直角8. 已知Р是椭圆：上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为、.下列关于椭圆的四个结论中正确的是（）A．若PA、PB的斜率存在且分别为、，则为一定值B．根据光学现象知道：从发出的光线经过椭圆反射后一定会经过.若一束光线从出发经椭圆反射，当光线第n次到达时，光线通过的总路程为4naC．若的面积最大时，，则D．若椭圆C上存在点M使，则三、填空题9. 已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，左焦点为F，若该椭圆的上顶点到焦点的距离为2，离心率e＝，则椭圆的标准方程是________．10. 如图，椭圆，顶点分别为A1，A2，B1，B2，左右焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为____．11. 已知椭圆的离心率是，若以为圆心且与椭圆有公共点的圆的最大半径为，此时椭圆的方程是___________．12. 椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为___________．四、解答题13. 已知椭圆经过，两点．(1)求椭圆上的动点T到的最短距离；(2)直线AB与x轴交于点，过点M作不垂直于坐标轴且与AB不重合的直线l与椭圆交于C，D两点，直线AC，BD分别交直线于P，Q两点．求证：为定值．14. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)在圆上取一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为M，N，PM与PN的斜率均存在，分别记为，.（i）求证：；（ii）求面积的取值范围.15. 已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．(1)求椭圆C的方程；(2)若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．①证明：直线CD过椭圆右焦点；②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．16. 已知椭圆的左､右顶点分别为，右焦点为F（1，0），且椭圆C的离心率为，M，N为椭圆C上任意两点，点P的坐标为（4，t）（t≠0），且满足.(1)求椭圆C的方程；(2)证明：M，F，N三点共线.。

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人教A版高中数学选修1-1课时提升作业十 2.1.2 椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质精讲优练课型 Word版含答案课时提升作业十椭圆的简单几何性质一、选择题(每小题5分,共25分)1. (2019·烟台高二检测)椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率【解析】选 B.对于椭圆+=1(0<k<9),c2=(25-k)-( 9-k)=16,焦点在y轴上,所以它们有相等的焦距.【补偿训练】将椭圆C1∶2x2+y2=4上的每一点的纵坐标变为原来的一半,而横坐标不变,得一新椭圆C2,则C2与C1有( )A.相等的短轴长B.相等的焦距C.相等的离心率D.相等的长轴长【解析】选 C.把C1的方程化为标准方程,即C1:+=1,从而得C2:+y2=1.因此C1的长轴在y轴上,C2的长轴在x轴上.e1==e2,故离心率相等.【误区警示】解答本题时容易得到C2:+=1.而错选 A.2. (2019·广东高考)已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m= ( )A.9B.4C.3D.2【解析】选 C.由题意得:m2=25-42=9,因为m>0,所以m=3.3.已知椭圆+=1(a>b>0)有两个顶点在直线x+2y=2上,则此椭圆的焦点坐标是( )A.(±,0)B.(0,±)C.(±,0)D.(0,±)【解析】选 A.直线x+2y=2与坐标轴的交点为椭圆的顶点,又因为椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=1,所以c==.所以椭圆的焦点坐标是(±,0).4.(2019·南昌高二检测)椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( )A. B. C. D.-2【解析】选 B.因为A,B分别为左右顶点,F1,F2分别为左右焦点,所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c,又由|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列得(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,所以离心率e=.【补偿训练】设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )A. B. C.2- D.-1【解析】选 D.设椭圆方程为+=1(a>b>0),因为F1(-c,0),所以P(-c,y P)代入椭圆方程得+=1,所以=,又因为b2=a2-c2,所以=2c,所以e2+2e-1=0,又0<e<1,所以e=-1.5.设AB是椭圆+=1(a>b>0)的长轴,若把线段AB分为100等份,过每个分点作AB的垂线,分别交椭圆的上半部分于点P1,P2,…,P99,F1为椭圆的左焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a【解析】选 D.设F2为椭圆的右焦点,根据椭圆的定义及对称性有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|,因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a.故结果应为50×2a+|F1P50|=101a.【误区警示】本题在求解过程中,易忽视|F1P50|,结果选C而致错.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2019·武汉高二检测)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在y轴上,且长轴长为12,离心率为,则椭圆方程为.【解析】因为椭圆的焦点在y轴上,所以设椭圆的方程为+=1(a>b>0).由得由a2=b2+c2,得b2=32.故椭圆的方程为+=1.答案:+=17.(2019·济南高二检测)已知椭圆+=1的离心率e=,则m的值为.【解析】由椭圆的标准方程,易知m>0且m≠5.①若0<m<5,则a2=5,b2=m.由=1-=,得m=3.②若m>5,则a2=m,b2=5.由=1-=,得m=.所以m的值为3或.答案:3或8.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为.【解题指南】设P(x0,y0),利用数量积的坐标运算,结合椭圆的范围解出.【解析】由题意,F(-1,0),设点P(x0,y0),则有+=1,解得=3,因为=(x0+1,y0),=(x0,y0),所以·=x0(x0+1)+=x0(x0+1)+3=+x0+3,此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当x0=2时,·取得最大值+2+3=6.答案:6【误区警示】解题中容易不考虑x0的取值范围,而直接求出二次函数的最值,而导致错误.三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.【解析】设椭圆方程为+=1(a>b>0),则M(c,b).代入椭圆方程,得+=1,所以=,所以=,即e=.【一题多解】设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c.则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),M点的坐标为(c,b),则△MF1F2为直角三角形.在Rt△MF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,即4c2+b2=|MF1|2.而|MF1|+|MF2|=+b=2a,整理得3c2=3a2-2ab.又c2=a2-b2,所以3b=2a.所以=.所以e2===1-=,所以e=.10.(2019·潍坊高二检测)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点 B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.(2)若=2,·=,求椭圆的方程.【解析】(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.(2)由题意知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0).其中,c=,设B(x,y).由=2?(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.①又由·=(-c,-b)·=?b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆方程为+=1.一、选择题(每小题5分,共10分)1.( 2019·武汉高二检测)椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,椭圆C与x轴正半轴交于点A,与y轴正半轴交于B(0,2),且·=4+4,则椭圆C的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选 C.由已知得F(c,0),A(a,0),B(0,2),所以·=(c,-2)·(a,-2)=ac+4=4+4,所以解得a2=8,b2=4.所以椭圆C的方程为+=1.2.(2019·长春高二检测)如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>0,b>0)的两个焦点,A和B是以O 为圆心,以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点,且△F2AB是等边三角形,则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.-1【解析】选 D.由题意知A.把A代入椭圆+=1(a>b>0),得+=1,所以(a2-c2)c2+3a2c2=4a2(a2-c2),整理,得e4-8e2+4=0,所以e2==4±2.因为0<e<1,所以e=-1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤.则长轴长的取值范围为.【解析】因为b=1,所以c2=a2-1,又==1-≤,所以≥,所以a2≤4,又因为a2-1>0,所以a2>1,所以1<a≤2,故长轴长2<2a≤4.答案:(2,4]4.(2019·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.【解题指南】利用k BF·k CF=-1计算得出离心率的值.【解析】将直线y=与椭圆的方程联立得B,C,F(c,0),则k BF=,k CF=,因为∠BFC=90°,所以k BF·k CF=×=-1,整理得b2=3a2-4c2,所以a2-c2=3a2-4c2,即3c2=2a2?e==.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P是椭圆上的一个动点,求·的取值范围. 【解析】由+=1,得F1(-,0),F2(,0),设P(x0,y0),则=(--x0,-y0),=(-x0,-y0).所以·=(-5)+.①又+=1,所以=4-,代入①,得·=-1,因为0≤≤9,所以0≤≤5,所以-1≤·≤4,所以·∈.【误区警示】本题易出现只注意到≥0得出·≥-1的错误,错误的原因是忽视了点P(x0,y0)在椭圆上,x0应满足x0∈.6.已知椭圆x2+=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作☉P,且圆心在直线x+y=0上,求此椭圆的方程.【解题指南】根据圆的性质,得圆心P为FC的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点,因此分别求出FC,BC的垂直平分线方程,得到它们的交点为P,代入直线x+y=0解出b2=,即可得出此椭圆的方程.【解析】设圆心P的坐标为(m,n),因为圆P过点F,B,C三点,所以圆心P既在FC的垂直平分线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方程为x=.①因为BC的中点为,k BC=-b,所以BC的垂直平分线方程为y-=②由①,②联立,得x=,y=,即m=,n=.因为P(m,n)在直线x+y=0上,所以+=0,可得(1+b)(b-c)=0,因为1+b>0,所以b=c,结合b2=1-c2得b2=,所以椭圆的方程为x2+=1,即x2+2y2=1.关闭Word文档返回原板块。

课后训练1．已知(3,2)在椭圆22221x y a b+=上，则( )． A ．点(－3，－2)不在椭圆上B ．点(3，－2)不在椭圆上C ．点(－3,2)在椭圆上D ．无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上2．若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．A ．2218172x y +=B ．221819x y += C ．2218145x y += D ．2218136x y += 3．椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( )．A ．2B ．34C ．2D ．23 4．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( )．A ．12B ．2C ．14D ．4 5．椭圆16x 2＋9y 2＝144的焦点坐标是__________，顶点坐标是__________．6．已知点A (－3,0)、B (0,4)是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率是__________．7．已知椭圆22221x y a b += (a ＞b ＞0)的离心率e 且过点A (0，－b )和B (a,0)的直线与原点的距离为2，求椭圆的标准方程． 8．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率．点P 是椭圆221259x y +=上一点，以点P 及焦点F 1、F 2为顶点的三角形的面积为8，求点P 的坐标．参考答案1. 答案：C解析：本题考查椭圆的对称性，由椭圆关于坐标轴轴对称，关于原点中心对称可知，(－3，－2)，(3，－2)，(－3,2)都在椭圆上．2. 答案：A解析：由题意知：a ＝9，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝72，故选A ．3. 答案：A解析：化为标准形式22114y x +=，则a 2＝1，b 2＝14，c 2＝34，∴2c a =. 4. 答案：C解析：椭圆x 2＋my 2＝1的标准形式为2211y x m +=， ∵焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，∴14m =. ∴m ＝14. 5. 答案：(0， (3,0)，(－3,0)，(0,4)，(0，－4)6. 答案：57解析：由题意，得2c ＝|AB |＝5,2a ＝|OA |＋|OB |＝7，故2527c e a ==. 7. 解：e ＝c a＝a＝3222a b a -＝23，∴a 2＝3b 2即a =.过A (0，－b )，B (a,0)的直线为1x y a b-=.把a =代入，即0x =，又由点到直线的距离b ＝1，∴a2213x y +=. 8. 解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图．∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°.令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝2c . 由椭圆定义可知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴2233c e a x ===解：设P 点坐标为(x 0，y 0)，∵a ＝5，b ＝3，∴c ＝4. ∴S ＝12×8×|y 0|＝8⇒|y 0|＝2⇒y 0＝2或y 0＝－2当y 0＝2时代入椭圆方程得x 0＝3±；当y 0＝－2时代入椭圆方程得x 0＝.故P 为，2)，(，2)，2)，(，－2)．。