学案5_两角和与差的三角函数及倍角公式(2)

3.2.1倍角公式学习目标1.了解二倍角公式的推导过程．2.理解两角和的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式的关系．3．掌握公式的正用、逆用与变形的应用．新知提炼二倍角公式自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)6α是3α的倍角，3α是3α2的倍角．( )(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．() (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )(4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α1－tan 2α.( )2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )A ．75B ．125C ．1225D ．24253．计算sin 2 π8－cos 2 π8的值是( )A ．12B ．－12C ．22 D ．－224．已知tan α＝43，则tan 2α＝________．题型探究题型一 给角求值[学生用书P67]例1 求下列各式的值；(1)sinπ12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°.求解策略应用二倍角公式求值的策略(1)求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α. 跟踪训练 求下列各式的值．(1)cos π5cos 2π5；(2)1sin 10°－3cos 10°.题型二 给值(式)求值[学生用书P67]例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．方法归纳三角函数求值问题的一般思路(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)注意几种公式的灵活应用，如：①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x . 跟踪训练 1.已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45，则tan 2x ＝( ) A ．724 B ．－724C ．247D ．－2472．已知cos α＝－34，sin β＝23，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求sin 2α的值；(2)求cos(2α＋β)的值．题型三 倍角公式与三角函数性质的综合应用[学生用书P68]例3 已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．方法归纳有关三角函数性质的探索是高考的热点，一般的思想方法是借助和差角公式、倍角公式等将其化成以正弦型或余弦型函数为主体，在本题中要注意角范围的约束对值域的影响．跟踪训练 已知函数f (x )＝1－2sin 2(x ＋π8)＋2sin(x ＋π8)cos(x ＋π8)． 求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调区间．素养提升1．公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.2．公式逆用意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α＝tan 2α. 3．公式的变形应用公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 失误防范公式的逆用、变形应用十分重要，特别是1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”．当堂检测1．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( )A ．2πB ．4πC ．π4D ．π22．cos 4π8－sin 4π8等于( ) A ．0 B ．22 C ．1 D ．－223．若tan α＝12，则tan 2α＝________． 4．若α为锐角，且sin 2α＝65sin α，则cos 2α＝________， tan α＝________．【参考答案】自我尝试1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×2．D3．D4．－247题型探究例1 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.跟踪训练 解 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝12sin 4π52sin π5＝14. (2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4. 例2 解 因为x ∈(0，π4)，所以π4－x ∈(0，π4)， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213， 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169. cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，所以原式＝120169513＝2413. 跟踪训练 1. D【解析】由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34， 所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.2．解 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－34， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－74， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378. (2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724. 例3 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35. 所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)，得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 跟踪训练 解 (1)因为f (x )＝cos(2x ＋π4)＋sin(2x ＋π4) ＝2sin(2x ＋π4＋π4)＝2sin(2x ＋π2)＝2cos 2x ，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)得，当2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，即k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z )时， 函数f (x )＝2cos 2x 是增函数．所以f (x )的单调递增区间是[k π－π2，k π](k ∈Z )． 当2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )时， 函数f (x )＝2cos 2x 是减函数．所以f (x )的单调递减区间是[k π，k π＋π2](k ∈Z )． 当堂检测1．D【解析】 y ＝sin 2x cos 2x ＝12sin 4x ， 所以T ＝2π4＝π2. 2．B【解析】 cos 4π4－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22. 3．43【解析】tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. 4．－725 43【解析】由sin 2α＝65sin α可得，2sin αcos α＝65sin α， 又因为α为锐角，所以cos α＝35，sin α＝45，则cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，tan α＝sin αcos α＝43.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β. C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β. T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎝⎛⎭⎫α，β，α±β≠π2＋k π，k ∈Z .两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式 S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈Z . 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α. (3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)． (4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.考点一 三角函数公式的直接应用[典例] (1)已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( )A ．－229B ．－429C.229D.429[解析] (1)因为sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×⎝⎛⎭⎫－223＝－429.[答案] (1)A (2)B[解题技法] 应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用． [题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A 因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值为________． 解析：因为sin α＝45，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. 因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350. 答案：－24＋7350考点二 三角函数公式的逆用与变形用[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________. [解析] (1)∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝ 3. [答案] (1)－12 (2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式． (2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； 1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22； sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32， 3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝________. 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435， 可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435， 即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45. 答案：453.化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12. 答案：12考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换[典例] (2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45.若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________． [解析] 由角α的终边过点P ⎝⎛⎭⎫－35，－45， 得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案] －5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎫α2＋β等． 考法(二) 三角公式中名的变换[典例] (2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解] (1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α .因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725. (2)因为α，β 为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以 tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan(α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法] 三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( ) A.12 B.13C.14D.15解析：选C 由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π22＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14. 2．(2018·济南一模)若sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝7210，A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，则sin A 的值为( ) A.35 B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A ∈⎝⎛⎭⎫π4，π，∴A ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π2，5π4， ∴cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫A ＋π4＝－210， ∴sin A ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫A ＋π4－π4 ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4cos π4－cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π4sin π4＝45. 3．已知sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈⎣⎡⎦⎤3π2，2π， ∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos [(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－33，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝－1. 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A.3 B.2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23. 7．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π3的值为________． 解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12. 答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎫α－π4tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－1 11．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值． 解：(1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2. 又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×⎝⎛⎭⎫－1010＝91050. B 级1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________. 解析：∵tan ⎝⎛⎭⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ， 又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14， ∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115， 从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：157 2．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝________. 解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝35， 所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π， 所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝⎛⎭⎫A －π3＝cos ⎣⎡⎦⎤(A ＋B )－⎝⎛⎭⎫B ＋π3＝－2425×⎝⎛⎭⎫－45＋725×35＝117125. 答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝⎛⎭⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3的值． 解：(1)f ⎝⎛⎭⎫－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－12. (2)f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)． 因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725， 所以f ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝⎛⎭⎫2425－725＝17250.。

1.已知tan 2α=，则tan 2α的值为 ． 【答案】43-【分析】222tan 224tan 21tan 123ααα⨯===---. 2．已知P （－3，4）为角α终边上的一点，则cos （π+α）= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【答案】35【分析】∵P （－3，4）为角α终边上的一点，∴x =－3，y =4，r =|OP |=5，∴cos （π+α）=－cos α=x r -=35--=35，故答案为35． 3．已知cos(α－β)=35，sin β=513-且α∈（0，π2），β∈（π2-，0），则sin α= ．【考点】两角和与差的余弦函数；同角三角函数间的基本关系．【答案】3365【分析】∵α∈（0，π2），β∈（π2-，0），∴α－β∈（0，π）， 又cos （α－β）=35，sin β=513-，∴sin （α－β）=21cos ()αβ--=45，cos β=21sin β-=1213，则sin α=sin[（α－β）+β]= sin （α－β）cos β+cos （α－β）sin β=45×1213+35×（513-）=3365．故答案为3365. 4.若0≤x ≤π2，则函数y =cos （x -π2）sin （x +π6）的最大值是 ．【考点】两角和与差的正余弦公式的应用．【答案】234+ 【分析】y =sin x （sin x 32⋅+12cos x ）=322sin x +12sin x cos x =()31cos 24x -+14sin2x =12sin （2x -π3）+34， ∵0≤x ≤π2，∴-π3≤2x -π3≤2π3，∴max y =12+34=234+. 5.已知过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），则tan （α+β）=________．【考点】平面的法向量． 【答案】1【分析】∵过点（0，1）的直线l ：x tan α－y －3tan β=0的一个法向量为（2，－1），∴－1－3tan β=0，12-tan α=－1．∴1tan 3β=-，tan α=2． ∴tan （α+β）=12tan tan 3111tan tan 123αβαβ-+==-+⨯，故答案为1． 6.在ABC △中，已知BC =8，AC =5，三角形面积为12，则cos2C = ．【考点】三角形面积公式，二倍角公式的应用． 【答案】725【分析】∵已知BC =8，AC =5，三角形面积为12， ∴12⋅BC ⋅AC sin C =12,∴sin C =35,∴cos2C =122sin C -=1-2×925=725. 7.某种波的传播是由曲线()()()sin 0f x A x A ωϕ=+>来实现的，我们把函数解析式()()sin f x A x ωϕ=+称为“波”，把振幅都是A 的波称为“A 类波”，把两个解析式相加称为波的叠加．（1）已知“1 类波”中的两个波()()11sin f x x ϕ=+与()()22sin f x x ϕ=+叠加后仍是“1类波”，求21ϕϕ-的值；（2）在“A 类波“中有一个是()1sin f x A x =，从 A 类波中再找出两个不同的波()()23,f x f x ，使得这三个不同的波叠加之后是平波，即叠加后()()()1230f x f x f x ++=，并说明理由．（3）在()2n n n ∈N,≥个“A 类波”的情况下对（2）进行推广，使得（2）是推广后命题的一个特例．只需写出推广的结论，而不需证明． 【考点】两角和与差的正弦函数；归纳推理．【解】（1）()()()()1212sin sin f x f x x x ϕϕ+=+++ =1212(cos cos )sin (sin sin )cos x x ϕϕϕϕ+++，振幅是221212(cos cos )(sin sin )ϕϕϕϕ+++=()1222cos ϕϕ+-，则()1222cos ϕϕ+-=1，即()121cos 2ϕϕ-=-，所以122π2π,3k k ϕϕ-=±∈Z ． （2）设()()21sin f x A x ϕ=+，()()32sin f x A x ϕ=+， 则()()()()()12312sin sin sin f x f x f x A x A x A x ϕϕ++=++++=()()1212sin 1cos cos cos sin sin 0A x A x ϕϕϕϕ++++=恒成立， 则121cos cos 0ϕϕ++=且12sin sin 0ϕϕ+=， 即有：21cos cos 1ϕϕ=--且21sin sin ϕϕ=-，消去2ϕ可解得11cos 2ϕ=-， 若取12π3ϕ=，可取24π3ϕ=（或22π3ϕ=-等），此时，()22πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()34πsin 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（或()32πsin 3f x A x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭等）， 则()()()1231313sin sin cos sin cos 02222f x f x f x A x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+-++--=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以是平波．（3）()1sin f x A x =，()22πsin f x A x n ⎛⎫=+⎪⎝⎭，()34πsin f x A x n ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，…， ()()21πsin n n f x A x n -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这n 个波叠加后是平波．8. (4分)已知sin α=3cos α，则cos 21sin 2αα=+ ________．【参考答案】 12-【测量目标】 运算能力/能根据法则准确的进行运算和变形. 【考点】二倍角的余弦；二倍角的正弦.【试题分析】 由已知先求tan α，因为sin α=3cos α，所以tan α=3，把所求的式子中的三角函数利用二倍角公式进行化简，然后化为正切形式，即可求值:222222cos 2cos sin 1tan 1911sin 2cos 2sin cos +sin 12tan tan 1692ααααααααααα---====-++++++.9.若tan （α－π4）=14，则tan α=______． 【参考答案】 53【测量目标】 数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识. 【考点】 两角和与差的正切函数.【试题分析】 ∵tan （α－π4）=14， ∴πtan tan4π1tan tan4αα-+=tan 11tan αα-+=14，解得tan α=53．故答案为53． 10.在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3cos 4B =. (1)求2sin 2cos2A CB ++的值； (2)若3b =，求ABC △面积的最大值. 【考点】余弦定理，二倍角的正弦、余弦. 【解】(1)因为3cos 4B =,所以7sin 4B =, 又22π1sin 2cos2sin cos cos 2sin cos (1cos )222A CB B B B B B B +-+=+=+- =73113724488+⨯⨯+=. (2)由已知可得：2223cos 24a cb B ac +-==, 又因为3b =，所以22332a c ac +-=, 又因为223322a c ac ac +=+≥， 所以6ac ≤，当且仅当6a c ==时，ac 取得最大值.此时11737sin 62244ABC S ac B ==⨯⨯=△. 所以△ABC 的面积的最大值为374. 11.已知1sin 4θ=，则sin 2()4θπ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦__________. 【答案】78-【分析】27sin 2()cos 212sin 48θθθπ⎡⎤-=-=-+=-⎢⎥⎣⎦.12. 已知α为第二象限的角，sin α=35，则tan2α=_______________. 【答案】247-【分析】因为α为第二象限的角，又sin α=35，所以cos α=45-，tan α=sin cos αα=34-，tan2α=22tan 1tan αα-=247-.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 13.若△ABC 的内角A 满足sin2A =23，则sin A +cos A 等于（ ） A.153 B.153- C.53 D.53-【答案】A 【分析】∵0＜A ＜π，0＜2A ＜2π，又sin2A =23，即2sin A cos A =23，∴0＜A ＜π2, 2(sin cos )A A +=53，sin A +cos A =153，故选A. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 14.已知sin θ+cos θ=15，且π2≤θ≤3π4，则cos2θ的值是___________. 【答案】725-【分析】由已知sin θ+cos θ=15①，2sin θcos θ= 2425-，又π2≤θ≤3π4，∴cos θ＜0，sin θ＞0. 2(cos sin )θθ-=4925，则sin θ－cos θ=75②，由①②知cos2θ=22cossin θθ-=725-. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.15.已知0＜α＜π2，sin α=45.（1）求22sin sin 2cos cos 2αααα++的值；（2）求tan(α－5π4)的值.【解】∵0＜α＜π2，sin α=45，∴cos α=35，tan α=43.（1）22sin sin2cos cos2αααα++=222sin2sin cos2cos sinααααα+-=22tan2tan2tanααα+-=2244()23342()3+⨯-=20；（2）tan(α－5π4)=tan11tanαα-+=413413-+=17.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.16.已知x∈(π2-,0)，cos x=45，tan2x=（）A.724B.724- C.247D.247-【答案】D【分析】sin x=35-，tan x=34-，tan2x=22tan1tanxx-=247-，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.17.cos20cos351sin20︒︒-︒=（）A.1B. 2C.2D.3【答案】C【分析】cos20cos351sin20︒︒-︒=22cos10sin10cos35(cos10sin10)︒-︒︒︒-︒=cos10sin10cos35︒+︒︒=2sin55cos35︒︒=2，故选C.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.18.设a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c =62，则a、b、c大小关系是（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC. c＜b＜aD. a＜c＜b【答案】D【分析】由题意知，a =2sin59°，b =2sin61°，c =2sin60°，所以a＜c＜b，故选D.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.19.tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=_____________.【答案】3【分析】tan60°= tan(20°+40°)=tan20+tan401tan20tan40︒︒-︒︒=3，∴3－3tan20°tan40°=tan20°+tan40°，移向即可得结果为3. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 20.已知sin2θ+cos 2θ=233，那么sin θ =______,cos2θ =___________. 【答案】13，79【分析】2(sin cos )22θθ+=1+ sin θ=43，sin θ=13，cos2θ=1－22sin θ=79. 【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 21.若1tan 1tan αα+-=2008，则1cos 2α+tan2α=_______________.【答案】2008【分析】1cos 2α+tan2α=1sin 2cos 2cos 2ααα+=1sin 2cos 2αα+=222(cos +sin )cos sin αααα-= cos +sin cos sin αααα-=1+tan 1tan αα-=2008.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 22.计算：sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=________.【答案】2+3【分析】sin65+sin15sin10sin 25cos15cos80︒︒︒︒-︒︒=sin80cos15sin15cos10︒︒︒︒=cos15sin15︒︒=2+3．【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.23．求值：(1)sin6°sin42°sin66°sin78°;(2)22sin 20cos 50︒+︒+sin20°cos50°.【解】原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°=sin 6cos 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒=1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒=1sin 24cos 24cos 484cos6︒︒︒︒=1sin 48cos 488cos6︒︒︒=1sin 9616cos6︒︒=1cos616cos6︒︒=116; (2)原式＝1cos 401cos1001(sin 70sin 30)222-︒+︒++︒-︒ ＝1+111(cos100cos 40)sin 70224︒-︒+︒-=31sin 70sin 30sin 7042-︒⋅︒+︒=34.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式. 24.已知tan α、tan β是方程2x -5x +6=0的两个实根，求22sin ()αβ+-3sin ()αβ+cos ()αβ++2cos ()αβ+的值． 【解】由韦达定理得tan α+tan β=5，tan α·tan β=6，所以tan(α+β)=tan tan 1tan tan αβαβ+-⋅=－1.原式=[22sin ()αβ+－3sin(α+β)cos(α+β)+2cos ()αβ+]/[22sin ()cos ()αβαβ+++]=222tan ()3tan()1tan ()1αβαβαβ+-++++=213(1)111⨯-⨯-++=3.【考点】两角和与差的三角函数、二倍角公式.。

第33课 两角和与差及二倍角公式1．两角和与差的三角函数公式sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-； cos()αβ+=cos cos sin sin αβαβ- cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+； tan()αβ+=tan tan 1tan tan αβαβ+- tan()αβ-=tan tan 1tan tan αβαβ-+.变形有：tan tan αβ±=tan()(1tan tan )αβαβ±m 2.二倍角公式sin 2α=2sin cos αα tan2α=22tan 1tan αα- cos2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-【例1】求下列各式的值.（1）212sin 22.5-︒ （2）sin163cos 223sin 253cos313⋅+⋅o o o o（3）cos15sin15cos15sin15+-o o o o(4) tan 20tan 4020tan 40++⋅o o o o【解析】（1）212sin 22.5cos 45-︒==o（2）原式sin(9073)cos(29043)=+⋅⨯+o o o o sin(29073)cos(39043)+⨯+⋅⨯+o o o ocos73cos 43sin 73sin 43=-⋅-⋅o o o o cos(7343)=--=o o ．（3）cos15sin151tan15tan 45tan15tan 60cos15sin151tan151tan 45tan15+++====---⋅o o o o oo o o o o o（4）tan 20tan 4020tan 40+⋅ooootan 60(1tan 20tan 40)20tan 40=-⋅+⋅o o o o otan 20tan 40)20tan 40=-⋅⋅=o o o o 【例2】(1)（2013全国高考）已知2sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ． 12D ．23【答案】A【解析】∵22sin 2cos(2)12cos ()243ππααα=-+=-+=，∴21cos ()46πα+=．(2)若02πα<< ，02πβ-<< ，cos 41()3πα+=，()4cos 2πβ-=os 2(c )βα+等于( )A.3 B．3-9 D．9- 【答案】A 【解析】cos )cos[()()]24(42βππβαα+=+--cos()cos()sin()sin()442442ππβππβαα=+-++- ∵02πα<<，则3444πππα≤+≤，∴sin ()34πα===+. 又02πβ-<<，则4422ππβπ<-<，∴()s 42in πβ-===故1cos )23(3βα+=+=【例3】已知α、β为锐角，且1tan ,sin 7αβ==．求2αβ+的值． 【解析】∵β为锐角，sin 10β=，∴cos 10β==，1tan 3β=， ∴22tan tan 2ta 23311419n βββ=-==-，∴13tan 741131ta tan 2tan(2)tan 2n 174αβαβαβ++=+==-⋅-⨯． ∵β为锐角，sin β=，∴04πβ<<，∴022πβ<<，∵α为锐角，∴02αβπ<+<，∴ 24παβ+=．【例4】（2013重庆高考）4cos50tan 40-=o o（ ）ABCD．1 【答案】C【解析】sin 404cos50tan 404sin 40cos 40-=-ooooo4sin 40cos 40sin 40-=o o o o 2sin80sin 40-=o oo140sin 40)sin 4022cos 40+-=o o oo40cos 40==o ．第33课 两角和与差及二倍角公式的课后作业1．（2013江西高考）若sin23α=，则cos α=（ ） A ．23-B ．13-C ． 13D ．23【答案】C 【解析】221cos 12sin 12)233αα=-=-⨯=． 2．(2014南海质检)已知4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，则tan()4πα-=（ ）A ．17-B ．7-C ．71D ．7【答案】D 【解析】∵4cos 5α=-，且(,)2παπ∈，∴3sin 5α=，∴3tan 4α=-，∴1tan tan()741tan πααα--==+．3．求值：(sincos)(sincos)12121212ππππ+-=( )A．2 B ．12 C. 12-D. 2- 【答案】D【解析】22(sincos)(sincos)sin cos cos12121212121262πππππππ+-=-=-=-4. 已知)an(2t 5αβ+= ，)an(1t 44πβ=-，那么)an(t 4πα+= ( ) A.1318 B. 1322 C. 322 D. 16【答案】C【解析】)(4t tan(tan )3(a )()]221tan(ta n tan[)(44)(n )4παββππααββπαββ++-+==--+⋅=+-- 5．sin 47sin17cos30cos17-=o o oo（ ） A．．12- C ．12D【答案】C【解析】原式sin(3017)sin17cos30cos17+-=o o o oosin 30cos17cos30sin17sin17cos30cos17+-=o o o o o o o sin 30cos171sin 30cos172===o o o o ．6. (2014·课标全国Ⅰ)设)2(0πα∈， ，)2(0πβ∈，，且1sin tan cos βαβ+=，则( )A ．32παβ-= B ．22παβ-=C ．32παβ+=D ．22παβ+=【答案】B【解析】由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin cos cos αβαβ+=，即sin cos cos cos sin αβααβ=＋ ，∴sin cos ())2(sin παβαα-=-= ．∵)2(0πα∈， ，)2(0πβ∈，，∴()22ππαβ--∈， ，(02)2ππα-∈，，∴由sin()2)(sin παβα-=-，得2παβα-=-，∴22παβ-=.7. sin347cos32sin77cos58︒︒-︒︒=【答案】2-【解析】 sin347cos32sin77cos58︒︒-︒︒sin(27077)cos32sin 77cos(9032)=︒+︒-︒-o o ocos 77cos32sin 77sin 32cos(7732)cos 452=-+=--=-=-o o o o o o o 8.（2013全国高考）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+= ．【答案】5-【解析】∵1tan()42πθ+=，∴1tan 11tan 2θθ+=-，∴1tan 3θ=-．由22sin 1tan cos 3sin cos 1θθθθθ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∵θ为第二象限角, ∴sin cos θθ+=． 9.2 coscos 55ππ的值是 【答案】14【解析】22242sincoscossin cos sin 21555555 coscos5542sin2sin 4sin555πππππππππππ====10. 在ABC ∆中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且sin 5A =，sin B =．求A B +的值． 【解析】∵A 、B为锐角，sin A B ==∴cos 5A =，cos 10B =． cos()cos cos sin sin A B A B A B +=-2==． ∵ 0A B π<+<，∴ 4A B π+=．11.在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角,αβ，它们的终边都在第一象限内，并且分别与单位圆相交于A ,B 两点，已知A，B点的纵坐标为10．（1）求tan α和tan β的值；（2） 求2αβ+的值． 【解析】（1）由已知得sin 10α=，sin 10β=， ∵,αβ均为锐角，∴cos α==，cos 10β==， ∴sin 1tan cos 3ααα==，sin 1tan cos 7βββ==． （2）∵tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-11137112137+==-⋅，∴tan(2)tan[()]αβααβ+=++11tan tan()321111tan tan()132ααβααβ+++===-+-⋅， ∵02πα<<，tan y x =在(0,)2π上单调递增，且tan 1tan 4πα<=，∴04πα<<，同理04πβ<<，∴3024παβ<+<，∴24παβ+=．。

第三节简单的三角恒等变换课标要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.1。

利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化简、求值是高考考查的热点，本部分内容常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题．2．命题形式多种多样，既有选择题、填空题，也有综合性的解答题.知识点一基本公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C（α－β）：cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ.C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ。

S(α＋β）：sin(α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.S（α－β）:sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ。

T(α＋β)：tan（α＋β)＝错误!(α，β，α＋β≠错误!＋kπ，k∈Z）．T(α－β）：tan（α－β）＝错误!（α,β，α－β≠错误!＋kπ，k∈Z）．2．二倍角的正弦、余弦、正切公式S2α：sin2α＝2sinαcosα.C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α。

T2α：tan2α＝2tanα1－tanα错误!知识点二三角公式的变形技巧1．降幂公式:cos2α＝错误!，sin2α＝错误!。

2．升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α。

3．公式变形：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．4．辅助角公式：a sin x＋b cos x＝a2＋b2sin（x＋φ)错误!知识点三三角恒等变换1．重视三角函数的“三变”:“三变”是指“变角、变名、变式"．(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角;(2)变名:尽可能减少函数名称;(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．2．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求（或所证明)问题的整体形式中的差异,再选择适当的三角公式恒等变形．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×")(1)存在实数α，β，使等式sin（α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(√)(2）在锐角△ABC中，sin A sin B和cos A cos B大小不确定．（×)(3)公式tan（α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）,且对任意角α，β都成立．（×)(4)公式a sin x＋b cos x＝错误!sin(x＋φ）中φ的取值与a，b的值无关．（×)解析：根据正弦、余弦和正切的和角、差角公式知（2)(3）（4)是错误的，(1）是正确的．2．小题热身(1)（2019·全国卷Ⅰ）tan255°＝(D)A．－2－错误!B．－2＋错误!C．2－错误!D．2＋错误!（2)若sinα＝错误!，则cos2α＝（B）A.错误!B.错误!C．－错误!D．－错误!(3）sin347°cos148°＋sin77°·cos58°＝错误!.(4）已知tan(α－错误!)＝错误!，则tanα＝错误!。

和角、差角与倍角公式一．课标要求：1．掌握正弦、余弦和正切的两角和与差的公式；理解正弦、余弦和正切的倍角公式2．能了解两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3．能运用上述公式进行求值，化简，证明二．重点本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。

历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。

三．要点精讲1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

公式变形（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos 2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x b x x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

四、课前热身1．sin13cos17cos13sin17+= 。

2.cos65cos115cos25sin115-= 3.sin cos 1212ππ= 。

4.212sin 15-= 5.2tan 22.51tan 22.5=- 。

6.若tan 2,tan 3αβ==，则()tan βα-=7.x x =知识点小结：方法小结：基础训练：1．sin15= 。