第4章 导热问题的数值解法(含控制容积)

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但是， 但是 ， 工程技术中遇到的许多导热问题具有复杂的 形状或边界条件，无法得出其分析解。 形状或边界条件，无法得出其分析解。 有效解决复杂问题的方法； 数值计算方法 — 有效解决复杂问题的方法；是具有 一定精度的近似方法。 一定精度的近似方法。 数值解法：有限差分法（ 数值解法：有限差分法（finite-difference）、 ） 有限元法（ 有限元法（finite-element） 、边界元法（boundary） 边界元法（ element） 、分子动力学模拟（MD）。 ） 分子动力学模拟（ ）
（3）求解区域离散化 用与坐标轴平行的网络线将所涉及的空间和时间区域划分成 有限个子区域，将网络线的交点作为节点, 有限个子区域，将网络线的交点作为节点, 每个节点就代表以它 为中心的子区域（元体或称为控制容积） 或称为控制容积 为中心的子区域 （元体或称为控制容积） ， 节点温度就代表子 区域的温度； 区域的温度； （4）建立节点物理量的代数方程组； 建立节点物理量的代数方程组； （5）设立迭代初始值 采用迭代方法时，计算之前假设初始温度分布等。 采用迭代方法时，计算之前假设初始温度分布等。 （6） 求解代数方程组 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； 求解节点温度代数方程组，得到所有节点的温度值； 线性问题：方程各项系数维持不变； 线性问题：方程各项系数维持不变； 非线性问题：系数在迭代计算过程中不断更新。 非线性问题：系数在迭代计算过程中不断更新。 （7）解的分析 对计算结果进行分析，若不符合实际情况，则修正上述步骤， 对计算结果进行分析， 若不符合实际情况， 则修正上述步骤， 重复进行计算，直到结果满意为止。 重复进行计算，直到结果满意为止。 2012-5-9 5
∂2t
以常物性、无内热源、 以常物性、无内热源、二维 稳态导热为例： 稳态导热为例：
∂x
2
+
∂2t ∂y
2
=0
∂2t t − 2ti, j + ti−1, j = i+1, j + 0(∆x2 ) ∂x2 ∆x2 i, j ∂2t t − 2ti, j + ti, j−1 = i, j+1 + 0(∆y2 ) ∂y2 ∆y2 i, j
（Nodal point） ）
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节点： 节点：网格线的 交点； 交点；p(i,j) p(i,j) 边界节点
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每个节点温度就代 表了它所在网格单 元的温度。 元的温度。 此方法求得的温 度场在空间上不 连续。 连续。
p(i,j)
网格越细密、节点越多，结果越接近分析解 网格越细密、节点越多， 网格越细密， 网格越细密，计算所花时间越长 对于非稳态导热： 对于非稳态导热：除了在空间上把物体分割成网格 单元， 单元，时间上也要分割成许多间隔 ∆τ —— 在时间上也是不连续的 建立有限差分离散方程的常用方法： 建立有限差分离散方程的常用方法： (1) Taylor（泰勒）级数展开法；(2) 热平衡法； （泰勒）级数展开法； 热平衡法；
∂2t ∆x2 ∂t = ti, j − ∆x + 2 + 0(∆x3) ∂x ∂x i, j i, j 2!
二方程相减， 二方程相减，得：
ti+1, j −ti−1, j ∂t + 0(∆x2) = 2∆x ∂x i, j
节点（ ） 节点（i, j）一阶导数的中心 差分表达式； 差分表达式；二阶截差公式 节点（ ）一阶导数的三种表达式中， 节点（i, j）一阶导数的三种表达式中，中心差分表 14 2012-5-9 达式的截断误差最小； 达式的截断误差最小；尽可能采用中心差分表达式
二、建立差分方程的方法 1、Taylor（泰勒）级数展开法 、 （泰勒） 在某点（ 将函数 t(x, y, z) 在某点（i+1, j） ） 对点（ ） 对点（i, j）作Taylor展开 展开
∂t ti+1, j = ti, j + ∆x + ∂x i, j ∂2t ∆x2 ∂3t ∆x3 +...... + 3 ∂x2 2! ∂x 3 ! i, j i, j
ti+1, j
∂2t ∆x2 ∂3t ∆x3 ∂t = ti, j + ∆x + 2 + 3 + 0(∆x4 ) ∂x ! ∂x i, j i, j 2! ∂x i, j 3
∂2t ∆x2 ∂3t ∆x3 ∂t − 3 + 0(∆x4) = ti, j − ∆x + 2 ∂x ! ∂x i, j i, j 2! ∂x i, j 3
建立物理模型
建立控制方程及定解条件
区域离散化 建立节点物理量的代数方程 建立温度场等的迭代初值
求解代数方程 用计算结果替换原来数值 是否收敛？ 否 是
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计算结果分析
区域离散 网格线的交点为节点 节点（或结 节点 结 点）， i,j表示x，y方向节点 的序列号； ∆x, ∆y表示相邻节点之间的 距离；即步长 步长； 步长 阴影面积为节点所代表的微 元体，称为元体 控制容积 元体或控制容积 元体 节点 网格线 时间离散：在时间上划分为若干个时间间隔 ∆τ 时间离散
ti, j −ti−1, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t + 2 − 3 +...... = ∂x 2 ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j ! i, j 3 = ti, j −ti−1, j ∆x + 0(∆x)
二阶导数和更高阶导数 项之和 —— 截断误差
ti+1, j −ti, j 随∆x 趋 于 , 用 近 零 来 ∆x ∂t 代 时 截 误 小 等 替 的 断 差 于 ∂x i, j 于c ∆x； 是 x无 的 实 c 与 式； 节点（i, j）一阶导数的向前差分表达式；一阶截差公式
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二、区域和时间的离散化 — 有限差分法的基本原理
qv ∂t ∂2t ∂2t ∂2t = a( 2 + 2 + 2 ) + ∂τ ρc ∂x ∂y ∂z
把物体分割为有限个离散的单元体， 把物体分割为有限个离散的单元体 ， 用有限差商代 替导数， 从而将微分方程转化为差分方程。 替导数 ， 从而将微分方程转化为差分方程 。 通过数 值计算求取各网格单元节点的温度 二维导热问题；网 二维导热问题； 格线； 格线；沿x、y方向 方向 的间距为∆ 、 ； 的间距为∆x、∆y； 网格单元
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二阶导数和更高阶导数 11 项之和 —— 截断误差
ti+1, j −ti, j ∂2t ∆x ∂3t ∆x2 ∂t − 2 − 3 −...... = ∂x 2! ∂x ∆x ! ∂x i, j i, j i, j 3 = ti+1, j −ti, j ∆x + 0(∆x)
ti−1, j
二方程相加， 二方程相加，得：
ti+1, j − 2ti, j +ti−1, j ∂2t 2 = + 0(∆x2 ) ∂x ∆x2 i, j ti, j+1 − 2ti, j +ti, j−1 ∂2t 2 = + 0(∆y2 ) ∂y ∆y2 i, j
节点（ ）二阶导数的中心差分表达式； 节点（i, j）二阶导数的中心差分表达式；二阶截差公式
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在表示温度对时间的一阶导数时只采用向前或向后差 15 分表达式——温度对时间的中心差分表达式不稳定 分表达式 温度对时间的中心差分表达式不稳定
在写出导数差分表达式后， 在写出导数差分表达式后，可以很容易建立导热微分 方程的离散方程。 方程的离散方程。
节点（ ）一阶导数的向后差分表达式； 节点（i, j）一阶导数的向后差分表达式；一阶截差公式
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ti+1, j
∂2t ∆x2 ∂t = ti, j + ∆x + 2 + 0(∆x3) ∂x ∂x i, j i, j 2!
ti−1, j
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将函数 t(x, y, z) 在均匀网 格点（ 格点（i-1, j）对点（i, j） ）对点（ ） 展开： 作Taylor展开： 展开
∂t ti−1, j = ti, j − ∆x + ∂x i, j ∂2t ∆x2 ∂3t ∆x3 − 3 +...... ∂x2 2! ∂x 3 ! i, j i, j
第四章 导热问题的数值解法
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分析解法的优点： 求解过程中的数学分析较严谨； 分析解法的优点 ： 求解过程中的数学分析较严谨 ； 求解结果以函数形式表示， 求解结果以函数形式表示 ， 能清楚地显示各种因素 tw1 − tw2 对温度分布的影响。 对温度分布的影响。 t = tw1 − x
ti+1, j − 2ti, j + ti−1, j ∆x
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2
+
ti, j+1 − 2ti, j + ti, j−1 ∆y
2
=0
节点 P(i, j) 的温度离散方程
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2、热平衡法（Energy balance method） 、热平衡法（ ）
（1）建立符合实际的物理模型 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、 对实际导热问题的几何、物理性质进行分析，做必要的、合 理的简化，建立符合实际的物理模型； 理的简化，建立符合实际的物理模型； （2）建立控制方程及定解条件 根据物理模型建立完整的数学模型， 根据物理模型建立完整的数学模型，即给出导热微分方程和 单值性条件； 单值性条件； 步是导热问题所有求解方法的基础。 第(1)、(2)步是导热问题所有求解方法的基础。 2012-5-9 4