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第七章定积分

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第七章 定积分 第一节 定积分的概念
一、两个实例 1.曲边梯形的面积
例7．1．1 由2y x =与0y =及1x =围成一曲边梯形，试用上述方法计算其面积A . 解
图7．1．1
（1）分割 把区间 []0,1 n 等分，相应地把曲边梯形分成n 个小曲边梯形（如图7．1．1） 则121
n
i n i i A A A A A A ==+++=
∑ ；
（2）取近似 以第i 个小曲边梯形为例，用第i 个小矩形面积近似地代替i A
即2
1i i A n n
⎛⎫≈⋅ ⎪⎝⎭；
（3）求和 把n 小矩形相加就得到曲边梯形面积A 的近似值
即()()()2
2222
33
112111126n
i n n n i A i n n n n n =++⎛⎫≈⋅=+++= ⎪⎝
⎭∑ ； （4）取极限 对2
11
n
i i n n =⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭
∑取极限得曲边梯形面积A 的精确值
即()()2310112111
lim lim 63n n i n
n n n i A n n n →∞→=⎡⎤++⎛⎫=⋅==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑. 2.平面曲线的弧长
平面曲线()y f x =上[]0,x b ∈一段的弧长 OB
（如图7．1．2）
. 图7．1．2
（1）分割 在曲线弧 OB
上，自O 至B 依次任取一连串的分点： 0121,,,,,i n n O P P P P P P B -== ，其中i P 为第任意个分点
则 01111210n
i n i i n
i i OB P P PP P P P P P P ---==+++=∑ ； （2）取近似 把第i 段曲线弧 1i P P -近似地用其割线1i i P P -代替， 即
11i i i i P P P P x --≈==() i=1,2,n 其中1i i i x x x -∆=-同时令{}1max i
i n
x λ≤≤=
∆；
（3）求和 把n 段割线相加就得到曲线弧 OB 的近似值 即
OB
10
n
n
i i
i i i P
P x -==≈=∑； （4）取极限 当0λ→时所有i x
∆都无限缩小，这时
和式
n
i i x =的极限值就是我们要求的曲线弧的精确值， 即
OB
=0
lim n
i i x λ→=. 二、定积分的概念
由定义知道
⎰
b
a
dx x f )(表示一个具体的数，与函数表达式以及积分区间[],a b 有关，而与积
分变量x 无关，即
⎰
b
a
dx x f )(=⎰b a
du u f )(=⎰b
a
dt t f )(
21
2
100111lim 3n i n
i x dx n n →=⎡⎤⎛⎫=⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦∑⎰
0lim n
i i x λ→===⎰
⎰
三、定积分的几何意义
如果[],x a b ∈时()y f x =连续，定积分的几何意义分以下三种情况： （1）()0f x ≥，
⎰
b
a dx x f )(表示曲边梯形的面积； （2）()0f x <，
⎰
b
a
dx x f )(表示曲边梯形的面积的负值；
（3）f(x)有正有负，
⎰
b
a
dx x f )(表示曲边梯形面积的代数和．
例7．1．2 画出下列定积分对应的曲边梯形，并求其值 (1)1
2xdx ⎰
；
(2)R
-⎰
；(3)20
cos xdx π⎰；
（4） sin xdx π
π
-⎰. 解 (1)
1
2xdx ⎰11
1212
A ==⋅⋅=（如图7．1．3）
图7．1．3；
(2)
2
212
R
A R π-==
⎰
（如图7．1．4）
图7．1．4；
(3)
20
cos 0xdx A A A A π
=--+=⎰
（如图7．1．5）
图7．1．5；
（4）
sin xdx π
π-
⎰0A A =-+=（如图7．1．6）
图7．1．6.
思考题7.1
1.从几何意义上来理解定积分()0a
a
f x dx =⎰；
2.分析积分
()0
s
f tx tdx ⎰的值与“,,t s x ”三个量中的哪个或哪几个有关.(s)
练习题7.1 1.用定义计算
⎰1
dx e
x
.
2.用定积分表述下列曲边梯形的面积，并试求其值： (1) 1A =
图7．1．7；
(2) 2A =
图7．1．8；
(3) 3A =
图7．1．9；
(4) 4A =
图7．1．10.
练习题7.1答案 1. 用定义计算⎰
1
dx e x .
解
（1）将[]0,1n 等分，分点为n i n i x i ,.....
2,1,0,==，1i x n ∆=，1
n λ=，则1
n
i i A A ==∑ （2）1i
n i i i A f x e n n ⎛⎫
≈∆= ⎪⎝⎭
（3）1n i i A A ==≈∑11i n n
i e n =∑=1231n n n n n e e e e n ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦ 1
11111n n
n n e e n e ⎡⎤
⎛⎫⎢⎥
- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-()11
111
n n e e n e -=-
（4）101
1lim i
n
n
i n
A e n →==∑()1111lim 1
n
n n
e
e n e →∞-=-()
11lim 11lim
1
n
n n
n e
e e n
→∞
→∞=
--1e =-
所以
1
1
011
lim i n
x
n
i n
e dx e
n
→==∑⎰
1e =-. 2.用定积分表述下列曲边梯形的面积，并试求其值： 解 (1)1A =()1b
b
a
a
dx dx b a ==-⎰
⎰ ；
(2)2A =
()()221
22
b
a
a b xdx b a b a +=
-=-⎰
； (3)3A =22
2
cos 2cos xdx xdx π
π
π-=⎰⎰
；
(4)4A =
1
2
ln e xdx +⎰
.。

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定积分的概念

定积分的概念

微积分II Calculus II§7.1 定积分的概念§7.2 定积分的基本性质第七章§7.3 定积分计算基本公式定积分§7.4 定积分基本积分方法§7.5 反常积分§7.6 定积分的应用7.1 定积分的概念曲边梯形由连续曲线)(x f y =)0)((≥x f 、x 轴与两条直线a x =、b x =所围成.一问题的提出实例：求曲边梯形的面积1)(x f y =ayxb0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b(1) 分割：1 (1,2,).−∆=−=k k k x x x k n 分点为：将区间任意分为个子区间[,]a bn(2) 近似：任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n ()ξ≈∆k k k S f x ayxb ()ξk f ξk1−k x kxayxb 1==∑nkk S S (3)作和：1()ξ=≈∆∑nkkk f x (4)取极限：记1max{}≤≤∆=∆k k n x x 01lim ()ξ∆→==∆∑nk kx k S f x ()ξk f ξk1−k x kx0121−=<<<<<<=k k n a x x x x x x b任取1[,]ξ−∈k k k x x (1,2,,)=k n 1(1,2,,)−∆=−=k k k x x x k n 设函数在上有定义，把任意分割成个小区间:[,]a b ()f x [,]a b n 作1(),ξ=∆∑nkk k f x 记1max{}≤≤∆=∆k k nx x 若极限01lim ()ξ∆→=∆∑n k k x k f x 存在，则称函数()f x 在[,]a b 上可积定积分的概念2()baf x dx⎰记作:此极限值为函数()f x 在[,]a b 上的定积分.积分下限a 积分上限b 积分变量x 被积表达式()f x dx 积分区间],[b a 即⎰badx )x (f 01lim ()ξ∆→==∆∑nk k x k f x(1)sdx x f ba=⎰)(sdx x f ba−=⎰)()(x f y =abxyos()0f x >(2)()0f x <)(x f y =a bxyos定积分的几何意义2(3)AB)(xfy=x y()f x()()()=−⎰b a f x dx S A S B二定积分存在定理定理一定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上可积定理二定理2：f x在区间a,b上有界，且只有有限个间断点，则f x在区间a,b上可积利用定积分定义计算⎰102dxx 解2()f x x =120x dx ⎰存在在闭区间[0，1]上连续∴三例题演练例等分, 把区间[0,1]n 1 −∆=−k k k x x x 取(1,2,,)=k n ,n 1=,ξ==k k k x n ∴=k kx n分点为1()ξ=∆∑n k k k f x 21ξ==∆∑n k k k x 211=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑n k k n n 2311==∑n i k n612113)n )(n (n n ++=22231(12)n n =++201lim ξ∆→==∆∑nkk x k x 31=31(1)(21)lim 6→∞++=n n n n n ⎰102dx x。

第7章第2节定积分存在的条件

第7章第2节定积分存在的条件

证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
16
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定积分的计算

定积分的计算


a
a
0
联合二式即得.
第七章 定积分
然后证(2).
a
0
a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a
a
0
0
a
a f (t)dt 0 f (x)dx
a
a
0 f (t)dt 0 f (x)dx 0.
最后证(3) al f (x)dx
1. 6
/2 cos5 xsin xdx /2 cos5 xd(cosx)
0
0



cos6 6
x /2 0

1. 6
第七章 定积分
例 7.13 求证 (1)设f (x)是[a, a]上连续的偶函数，
则
a
f (x)dx 2
a
f (x)dx
；
a


(1)n1 2n 1
.
第七章 定积分
分部积分法
设函数u(x，) v(x)在[a, b]上有连续导数，则
b
u(x)v(x)dx

u(x)v(x)b

b
v(x)u(x)dx
a
aa
也可简记为
b a
uvdx

[uv]ba

b
vudx
a
或
b
udv
0
0

1 2n 1

I n1 ,
即
In

1 2n 1

I n1
第七章 定积分
由于
I0

4
dx


0
定积分的概念与可积条

定积分的概念与可积条


典 型 小 区 间 为 [ q i 1 , q i ] ， （ i 1 解, 2 , , n ）
小 区 间 的 长 度 x i q i q i 1 q i 1 ( q 1 ) ,
例取 2 i 利 用q 定i 义1 ， 计算（ i 1 , 2 , , n ）
定积分
n
i1
lim ln nf 1 f 2 f n
en n n n
lim1 n lnf
e e nni1
ni
n
lim lnf
ni1
ni n1
指 数 上 可 理 解 为 ： ln f(x )在 [0 ,1 ]区 间 上 的 一 个 积 分 和 ． 分 割 是 将 [ 0 ,1 ] n 等 分
分 点 为 x i n i， （ i 1 ,2 , ,n ）
1 x 2dx . 0
将 [0 ,1 ]n 等 分 ， 分 点 为 x i n i， (i 1 ,2 , ,n )
小 区 间 [x i 1 ,x i]的 长 度 x i n 1 ， (i 解1 ,2 , ,n )
取 i x i， ( i 1 ,2 , ,n )
n
例1
f (i
利用定义计n算
b
4、 a dx .
PART 1
二、 1 (b3 a 3 ) b a .
3
三、 1 (b2 a 2 ). 2
五、88.2(千牛).
定理 1 若函数 f 在[a, b]上可积，则 f 在[a, b]上一定有界。
证
定理指出，任何可积函 数一定是有一界个的函，数但究要竟要注满意足，何
有附界函：数却可不积一定条可积 。
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变， 求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过 对时间的无限细分过程求得路程的精确值．