初中数学勾股定理培优教材
一、探索勾股定理
【知识点1】勾股定理
定理内容：在RT△中，
勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键
在于确定斜边或直角
典型题型
1、对勾股定理的理解
（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长 c，则下列关于a,b,c 的关系不成立的是（）
A、 c2- a2=b2
B、c2- b2=a2
C、a2- c2=b2
D、 a2+b2= c2
（2）在直角三角形中，∠ A=90°，则下列各式中不成
立的是（）
A、 BC2- AB2=AC2
B、 BC2- AC2=AB2
C、AB2+AC2= BC2
D、AC2+BC2= AB2
2、应用勾股定理求边长
（3）已知在直角三角形ABC中， AB=10 cm,BC=8 cm, 求 AC的长 .
（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则
该直角三角形的斜边长为．
3、利用勾股定理求面积
（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆
的面积为 25π， 16π，求另一个半圆的面积。
（ 6）如图（ 1），图中的数字代表正方形的面积，则正
方形 A 的面积为。
（7）如图（ 2），三角形中未知边x 与 y 的长度分别是
x=,y=。
（8）在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，若 AC＝6， BC＝ 8，则 AB 的长为（）
A、 6
B、8
C、 10
D、 12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图 4 所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是 1、 2、 3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、
S3、 S4，则 S1 S2S3S4=_____________。
【知识点2】勾股定理的验证
推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法）
拼图法推导一般步骤：拼出图形 ---找出图形面积的表
达式 ---恒等变形—推出勾股定理。
（10）用四个相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为c）按图拼法。
问题：你能用两种方法表示下
图的面积吗？对比两种不同的表
示方法，你发现了什么？
（11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为 a、b，斜边为 c）按下图拼法，
论证勾股定理：
a 2b2 c 2
3、运用勾股定理进行
计算（重难点）
（12）如图 ,一根旗杆在离地面 9 米处折断倒下 ,旗杆顶部
落在离旗杆底部 12 米
处 ,旗杆折断前有多高？
（13）两棵之间的距离为 8m ，两棵树的高度分别为 8m 、 【培优突破】 2m ，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶， 这
1、折叠问题
只小鸟至少要飞多少米？
（ 1）如图是一张直角三角形的纸片， 两直角边 AC=6cm 、 BC=8cm ，现将 △ABC 折叠，使点 B
与点 A 重合，折痕为 DE ，则 BE 的
长为（
）
A 、 4cm
B 、 5cm
C 、6cm
D 、10cm
（ 2） 如图，折叠长方形的一边
AD ，使点 D 落在 BC 边
【基础检测】
上的点 F 处，已知 AB=8cm ， BC=10cm ，求线段 EC 的值
1、在 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若 AB ＝13，BC ＝5，则 AC 的长为（
）
A.5
B.12
C.13
D.18
2、已知 Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若 a b 14 cm ，
c 10 cm ，则 Rt △ ABC 的面积为（
）
A . 24cm 2
B.
36cm 2 C. 48cm 2
D. 60cm 2
3、若△ ABC 中，∠ C=90°，
（1 ）若 a = 5，b=12，则 c = ； （2 ）若 a =6，c =10，则 b = ；
（3 ）若 a ∶b=3∶4，c =10，则 a=
，b=
。
4 、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积
为。（ 不取近似值）
2、运用勾股定理解决生活中的实际问题
（ 3）如图，为了测得小水坑两边
A 点和
B 点之间的距
离，一个观测者在
C 点设桩，使∠ ABC=90°，并测得
AC=20m ，BC=16m,则 A 、 B 两点之间的距离是对少 ?
7
25
5、一个直角三角形的斜边为 20cm ,且两直角边长度比为
3 : 4，求两直角边的长。
3、分类讨论（已知直角△的两边，求第三边）
（ 4）在△ ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高 AD=12， 则 BC 的值为（
）
A 、25
B 、 7
C 、25 或 7
D 、不能确定
（ 5）已知 3, 4，a 是一个三角形的三边长，若三角形
为直角三角形，则
a 2 的值是多少？
（ 6）在直角△ ABC 中， AB=15， AC=20， BC 边上的高
6、一个长为 10m 为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地 AD=12，则 BC 的值为多少？
面的垂直高度为 8m ，梯子的顶端下滑 2m 后，底端向外
滑动了多少米？
4、利用方程解题
（ 7）如图， △ABC 中，∠ C=90°，D 是 BC 上的一点，已
知 BD=7， AB=20， AD=15， 求 AC 的长 .
（ 8 ）如图，已知△
ABC 中，
AB=AC=20，BC=32， D 是 BC 上
一点，且 AD ⊥ AC ，求 BD 的长。
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2412
C、5
D、
5
8．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（）
A、 5cm 2
B、 3cm 2
【培优训练】
一、选择题
1．在 Rt△ ABC中，∠ C=90°，AC=9，BC=12，则点 C 到
AB 的距离是（）
A、B、C、D、
2．若三角形ABC 中，∠ A：∠ B：∠ C=2： 1： 1，a，b，
c分别是∠ A，∠ B，∠ C 的对边，则下列等式中，成立
的是（）
A． a2+b2=c2 B． a2=2c2 C． c2=2a2D． c2=2b2
3．如图，∠ AOC=∠ BOC，点 P 在 OC 上，PD⊥OA 于
点D， PE⊥ OB 于点 E．若 OD=8，
OP=10，则 PE的长为（）
A、 5
B、6
C、 7
D、8
4．如图在直角△ABC 中，∠ BAC=90°， AB=8，AC=6，
DE 是 AB 边的垂直平分线，垂足为 D，交边 BC 于点 E，连
接 AE，则△ ACE的周长为
（）
A、 16
B、15
C、 14
D、 13
5．如图，矩形纸片ABCD 中， AB=4， AD=3，折叠纸片
使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为
（）
4
A、1
B、3
3
C、2
D、2
C、 4cm 2
D、 5cm 2
9．张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m ，接着
又向正南走了 40m ，此时他离家的距离为（） m
A． 30 B．40 C．50 D． 70
10．如图在△ ABC中∠ C=90°， AD 平分
∠BAC交 BC于 D，若 BC=64，且 BD：CD=9：
7，则点 D 到 AB 边的距离为（）
A、18
B、 32
C、 28
D、24
11．如图所示，是用 4 个全等的直角
三角形与 1 个小正方形镶嵌而成
的正方形图案，已知大正方形面积
为 49，小正方形面积为4，若用 x，
y 表示直角三角形的两直角边（x＞
y），下列四个说法：
①x2+y2=49，②x﹣y = 2，
③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（）
A、①②
B、①②③
C、①②④
D、①②③④
二．填空题（共 2 小题）
12．如图，等腰△ ABC中， AB=AC，AD
是底边上的高，若 AB=5cm，BC=6cm，
则 AD= _____ cm ．
13．如图，直线 L 过正方形 ABCD的顶
点 B，点 A、C 到直线 L 的距离分别
是 1 和2，则正方形的边长是
_________．
6．已知△ ABC中， AB=17， AC=10， BC边上的高 AD=8，14、如图所示，△ ABC 是等腰直角三则边 BC 的长为（）角形， AB=AC， D 是斜边 BC 的中点，A、 21 B、 15 C、 6 D、以上答案都不对E、F分别是 AB、AC 边上的点，且 DE 7．如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=90°， CD⊥ AB 于 D，⊥ DF，若 BE=12，CF=5．
已知 BC=8， AC=6，则斜边 AB 上的高是（）求线段 EF的长。
A、 10
B、 5 二、勾股定理的逆定理
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【知识点 3】勾股定理的逆定理（ 1）勾股数是正整数
（1）如果△的三边满足关系满足，则该△为直（ 2）满足的关系条件
角三角形。（ 3）勾股数的 n 倍（ n≠0），仍然满足
（2）△的三边，假设 c 为最长边（ 4）常见勾股数
①，则该△为三角形三、勾股定理的应用
②，则该△为三角形1、与图形展开的有关计算（注意展开方式）
（3 ）勾股定理逆定理的用途（ 1）某楼梯的侧面视图如图 3 所示，其中米，典型题
（1 ）下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角
，
三角形的是（）
A. 4， 5，6
B. 2，3，4
，因某
C. 11，12，13
D. 8，15，17 种活动要求铺设红色
（2 ）若线段 a，b，c 组成直角三角形，则它们的比为（）地毯，则在 AB 段楼梯
A、 2∶3∶4
B、3∶ 4∶6 所铺地毯的长度应为．
C、5∶12∶ 13
D、 4∶6∶7
（3 ）下面的三角形中：
①△ ABC中，∠ C=∠ A－∠ B；
②△ ABC中，∠ A：∠ B：∠ C=1： 2：3；
③△ ABC中， a： b：c=3：4： 5；
④△ ABC中，三边长分别为8， 15， 17．
其中是直角三角形的个数有（）个．
A．1B． 2C． 3D．4 （4）若三角形的三边之比为，则这个三角形一定是（）
A. 等腰三角形
B. 直角三角形（2）如图，在棱长为 1 的正方体ABCD—A’B’C’D’的表面上，求从顶点A 到顶点C’的最短距离．
C .等腰直角三角形 D. 不等边三角形
（5）已知 a， b， c 为△ ABC三边，且满足
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
（6）将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数 , 得到的三
角形是 ( )
A．钝角三角形 B. 锐角三角形
B
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
（7）若△ ABC的三边长分别长a,b,c，且满足 , 试判断（ 3）如图一个圆柱，底圆周长 6cm ，
△ABC的形状。高 4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要
从 A 点爬到 B 点，则最少要爬行
cm A
（8）△ABC的两边分别为 5, 12，另一边为奇数，且 a+b+c
是 3 的倍数，则 c 应为，此三角形
为。（ 4）国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，（9）求：目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄
①若三角形三条边的长分别是7, 24, 25，则这个三角A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计
形的最大内角是度。划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设
1：3
： 2，则其最小角
方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方
②已知三角形三边的比为案最省电线．为。
【知识点 4】勾股数
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2、航海问题
（1）一轮船以16 海里/ 时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以 12 海里 / 时的速度从 A 港向西北方向航行，经过 1.5 小时后，它们相距 ________海里
（2）如图，某货船以 24 海里／时的速度将一批重要物
资从 A 处运往正东方向的M 处，在点 A 处测得某岛 C 在北偏东 60°的方向上。该货船航行30 分钟到达 B
处，
此时又测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在 C 岛
周
围 9 海里的区域内有暗礁，若继续向正东方向航行，该
货船有无暗礁危险？试说明理由。
（3）如图，某沿海开放城市 A 接到台风警报，在该市
正南方向260km 的 B 处有一台风中心，沿BC 方向以15km/h的速度向 D 移动，已知城市 A 到 BC 的距离AD=100km.
即可）．
①那么台风中心经过多长时间从 B 点移到 D点？
②如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受
到台风的破坏的危险，正在 D 点休闲的游人在接到台风
警报后的几小时内撤离才可脱离危险？
C
A
D
B
3、网格问题
（1）如图1，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，
则网格上的三角形 ABC中，边长为无理数的边数是（）A．0B．1C． 2D． 3
（ 2）如图 2，正方形网格中的△ ABC，若小方格边长为
1，则△ ABC是（）
A.、直角三角形B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、以上答案都不对
（ 3）如图，小方格都是边长为 1 的正方形 ,则四边形ABCD
的面积是()
A． 25
B. 12.5
C. 9
D. 8.5
（ 4）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，
每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按下列要求
画三角形：
①使三角形的三边长分别为3、、（在图甲中画一个即可）；
②使三角形为钝角三角形且面积为4（在图乙中画一个
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4、折叠问题
（1）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6，BC=8，将△ ABC折叠，使点B 与点 A 重合，折痕为DE，则 CD等于（）
25 22
A. 4
B. 3
7 5
C. 4
D. 3 （4）如图，在长方形 ABCD中，将△ ABC沿 AC 对折至
△ AEC位置， CE与 AD 交于点 F。
①试说明： AF=FC；
②如果AB=3， BC=4，
求 AF的长
（ 5）如图 2 所示，将长
方形 ABCD沿直线 AE 折
叠，顶点 D 正好落在BC
边上 F点处，已知 CE=3cm，
AB=8cm，则图中阴影部
分面积为 _______．
（2）如图所示，已知△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交 BC 于 M ，交 AB 于 N，若 AC=4，MB=2MC，求AB 的长．
（3）如图，在长方形ABCD中， DC=5，在 DC 边上存在（ 6）如图，将正方形 ABCD折叠，使顶点 A 与 CD 边上的点 M 重合，折痕交 AD 于 E，交 BC于 F，边 AB 折叠后与BC 边交于点 G。如果 M 为 CD边的中点，
求证： DE： DM：EM=3：4： 5
一点 E，沿直线AE 把△ ABC折叠，使点 D 恰好在 BC边上，设此点为 F，若△ ABF的面积为30，求折叠的△ AED 的面积
勾股定理参考答案
一、探索勾股定理
（1） C（2）D
（ 3）没有确定斜边的情况下，需要先确定斜边。 6 或2 41
（4）根据非负数的性质， b=4 和a
2 6a 9 0
，解
得 a=3，根据勾股定理，斜边=5
（5）这类型题目（分别以直角三角形三边所作的同类型图形，如正多边形、半圆等），均满足（如图中所示）
S1=S2+S3， S3=9π
（6） 25 （7） 10， 12 （8） C，斜边 AB=10
（9）4，根据全等三角形和勾股定理， S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3， S1+S2+S3+S4=1+3=4
（10），
结论：
（11）
结论：
（12） h=9+
（13） 10 m
【基础检测】
1、B
2、A,解： ,
3、（ 1）13，（ 2）8，（ 3）6,8
4、72π
5、12,16 解：根据题意，本题中直角三角形三边关系为
3:4: 5，三边分别为 3x, 4x, 5x， 5x=20 6、
作如下辅助图： BD=CE=10， AB=8，
BC=2， AC=6
根据勾股定理：AD=6,
AE=8
DE=AE-AD=8-6=2 m
【培优突破】
（1） B
（2） 3 cm，注意翻折构造全等，勾股定理
（3） 12 m
（4） C，如右图
（5） 25 或 7，在没有确定直角或斜边的情况下，需要
讨论确定斜边。
（6） 25 ， AB 一定是直角边，想想： BC 是否一定是斜边呢？ BC边上的高为 12，不是 15，所以 BC一定是斜边（7） 12, 解：设 DC=y，根据勾股定理有：
,即
解得： y=9
AC=12
（8） 7, 解：作 AE⊥BC与 E，设 BD=X
则 AE=12
DE=16-x
DC=32-x
如图，根据勾股定理有：
即
解得： x = 7
【培优训练】
1、A，三角形的面积计算
2、B
3、B,
4、A，
5、C
6、D，如右图， BC的长 21 或 9
7、C8、 A9、 C10、C
11、B,充分利用完全平方公式与勾股定理的证明
12、413、
14、连接 AD，则△ BDE≌△ADF，则△ ADE≌△CDF，则 AE=CF=5，AF=BE=12，∴ EF=13
二、勾股定理的逆定理
典型题答案
（1）D （2）C （3） D （4）C
（5） C （6）C
（7）直角三角形
解：
所以： a=6, b=8, c=10
（ 8 ）直角三角形。分析：设三边分别为a,b,c，有
a+b+c=5+12+c=17+c，根据条件有：
解得： c=13，所以根据勾股定理的逆定理，为 Rt△
（9）① 90°，② 30°
三、勾股定理的应用
1、与图形有关的计算
（1）（2）（3）5
（4）设：正方形的边长为 a
方案一： S=3a
方案二： S=3a
方案三： S=
方案四： S=(1+)a ,分析： a ，，,
所以：方案四最节省电线
2、航海问题
（1）30 （2）CD= ，无暗礁风险
（3）①台风中心经过 16h 从 B 点移动到 D 点
②14h 内撤离才可脱离危险
3、网格问题
（ 1）D（2）A（3）B（4）如图：不唯一
4、折叠问题
（1）C（2）8
（3） DE=X,则在直角△ EFC中：
FG=1，EF=X, EC=5-，X
有：
解得： x=,S△ AED=16.9
（4）①提示：角平分线 +平行线，构造等腰模型
②设 AF=X，则 ,解得： x=25/8
（5） 30
（6）证明提示：设：DM=X, DE=y，则：正方形边长为
2x， AE=2x—y，满足： ,解得： 3x=4y.，则可设： y=3k，
x=4x ，则正方形变成为8k ，则AE=5k，所以：DE:DM:EM=3K:4K:5K ,
即： DE:DM:EM=3:4:5
第1讲 与相交有关概念及平行线的判定 考点·方法·破译 1．了解在平面内，两条直线的两种位置关系：相交与平行. 2．掌握对顶角、邻补角、垂直、平行、内错角、中旁内角的定义，并能用图形或几何符号表示它们. 3．掌握直线平行的条件，并能根据直线平行的条件说明两条直线的位置关系. 经典·考题·赏析 【例1】如图，三条直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，一共构成哪 几对对顶角？一共构成哪几对邻补角？ 【解法指导】 ⑴对顶角和邻补角是两条直线所形成的图角. ⑵对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线. ⑶邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线. 有6对对顶角. 12对邻补角. 【变式题组】 01．如右图所示，直线AB 、CD 、EF 相交于P 、Q 、R ，则： ⑴∠ARC 的对顶角是 . 邻补角是 .⑵中有几对对顶角，几对邻补角？ 02．当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角； 当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角； 当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角. A B C D E F A C D E F P Q R
问：当有100条直线相交于一点时共有 对顶角. 【例２】如图所示，点O 是直线AB 上一点，OE 、OF 分别平分∠BOC 、 ∠AOC ． ⑴求∠EOF 的度数； ⑵写出∠BOE 的余角及补角. 【解法指导】解这类求角大小的问题，要根据所涉及的角的定义，以及各角的数量关系，把它们转化为代数式 从而求解； 【解】⑴∵OE 、OF 平分∠BOC 、∠AOC ∴∠EOC ＝21∠BOC ，∠FOC ＝21 ∠AOC ∴ ∠EOF ＝∠EOC ＋∠FOC ＝2 1∠BOC ＋2 1 ∠AOC ＝()AOC BOC ∠+∠21 又∵∠BOC ＋∠ AOC ＝180° ∴∠EOF ＝21 ×180°＝90° ⑵∠BOE 的余角是：∠COF 、∠AOF ；∠ BOE 的补角是：∠AOE. 【变式题组】 01．如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，且∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是（ ） A ．20° B ． 40° C ．50° D ．80° C E F E A A C D O （第1题图） 1 4 3 2 （第2题图）
初中数学九年级培优目录 第1讲二次根式的性质和运算(P2----7) 第2讲二次根式的化简与求值(P7----12) 第3讲一元二次方程的解法(P13----16) 第4讲根的判别式及根与系数的关系(P16----22)第5讲一元二次方程的应用(P23----26) 第6讲一元二次方程的整数根(P27----30) 第7讲旋转和旋转变换（一）(P30----38) 第8讲旋转和旋转变换（二）(P38----46) 第9讲圆的基本性质(P47----51) 第10讲圆心角和圆周角(P52----61) 第11讲直线与圆的位置关系（P62----69） 第12讲圆内等积证明及变换((P70----76) 第13讲弧长和扇形面积(P76----78) 第14讲概率初步(P78----85) 第15讲二次函数的图像和性质(P85----91) 第16讲二次函数的解析式和综合应用(P92----98)第17讲二次函数的应用(P99----108) 第18讲相似三角形的性质(P109----117) 第19讲相似三角形的判定(P118-----124) 第20讲相似三角形的综合应用(P124-----130)
每天进步一点点！ 坚持就是胜利！ 第1讲二次根式的性质和运算 考点·方法·破译 1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析； 2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简； 3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）. 经典·考题·赏析 【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（） A. 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，故选A. 【变式题组】 1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（） A.
初中数学培优教材 第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
1、从正面观察下图所示的两个物体，看到的是（ ） A . B. C. D. 2、已知：如图，AD ∥EF ，∠1＝∠2．求证：AB ∥DG ． 3、如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线（虚线）处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米． （1）用含x 的式子表示横向甬道的面积； （2）当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽； （3）根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米.如果修建甬道的总费用（万元）与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？
1、计算：0 060cos 160sin 30tan -+= 2、甲、乙两同学从A 地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B 地，他们离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：( ) （1） 他们都行驶了18千米； （2） 甲在途中停留了0.5小时； （3） 乙比甲晚出发了0.5小时； （4） 相遇后，甲的速度小于乙的速度； （5） 甲、乙两人同时到达目的地。 其中，符合图象描述的说法有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3、正方形ABCD 中，P 为AB 上一点，连接CP ，过B 作BE ⊥CP 于E 。 （1）如图1，连接DE ，过E 作EF ⊥DE 交BC 于F ，求证：BP=BF 。 （2）如图2，连接AE ，分别以AE 、BE 为直角边作等腰直角三角形AEG 、BEF ，连接DF ，求证：AG ⊥DF 图1 图2 P
人教版八年级下册数学 第17章勾股定理培优综合专练 1．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米？ 2．（1）如图4×4的方格，每个小格的顶点叫做格点，若每个小正方形边长为1单位，请在方格中作一个正方形，同时满足下列两个条件： ①所作的正方形的顶点，必须在方格上；②所作正方形的面积为8个平方单位 （2）在数轴上表示实数（保留作图痕迹） 3．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．琪琪同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．这种方法叫做构图法． （1）△ABC的面积为：． （2）若△DEF三边的长分别为、、，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并利用构图法求出它的面积． 4．观察、思考与验证 （1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式； （2）如图2所示，∠B＝∠D＝90°，且B，C，D在同一直线上．试说明：∠ACE＝90°； （3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的《新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程．
5．中菲黄岩岛争端持续，我海监船加大黄岩岛附近海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝36海里，OB＝12海里，黄岩岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向黄岩岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船． （1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长． 6．如图，∠AOB＝90°，OA＝9cm，OB＝3cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿BC方向匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？ 7．已知，如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，CD⊥AD，AD2+CD2＝2AB2，求证：AB＝BC． 8．在一次“构造勾股数”的探究性学习中，老师给出了下表： m 2 3 3 4 … n 1 1 2 3 … a 22+1232+12 32+2242+32… b 4 6 12 24 … c 22﹣1232﹣1232﹣22 42﹣32… 其中m、n为正整数，且m＞n． （1）观察表格，当m＝2，n＝1时，此时对应的a、b、c的值能否为直角三角形三边的长？说明你的理由． （2）探究a，b，c与m、n之间的关系并用含m、n的代数式表示：a＝，b＝，c＝．（3）以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例． 9．如图，琪琪的家位于一条南北走向的河流MN的东侧A处，某一天琪琪从家出发沿南偏西30°方向走60m到达河边B处取水，然后沿另一方向走80m到达菜地C处浇水，最后沿第三方向走100m回到家A处．问琪琪在河边B处取水后是沿哪个方向行走的？并说明理由．
初中数学勾股定理培优教材 一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理内容：在RT△中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边 长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成 立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则 该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆 的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。 （6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正 方形A的面积为。 （7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是 x=,y=。 （8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8， 则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。 已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放 置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。 【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间 的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。 （等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的 表达式---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边 为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b， 斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定理： 2 2 2c b a= + 3、运用勾股定理进行 计算（重难点） （12）如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶 部落在离旗杆底部12米 处,旗杆折断前有多高？
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人
人教版八年级下册第17章《勾股定理》培优提高试题 一．选择题（共8小题） 1．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（） A．a＝1.5 b＝2 c＝2.5B．a：b：c＝5：12：13 D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5A C．∠+∠B＝∠C 2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（） 2 222cm．72cm108B．36cm D A．18cm C．3．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（） A．30厘米B．40厘米C．50厘米D．以上都不对 ＝，则∠B为（＝4，BC）＝4．在△ABC中，∠A30°，AB C．30°或60°D．30°或90°．30A．°B90°5．如图，一架25米的梯子AB靠在一座建筑物AO上，梯子的底部B距离建筑物AO的底部O有7米（即BO＝7米），如果梯子顶部A下滑4米至A，则梯子底部B滑开的距离1BB是（）1 A．4米B．大于4米C．小于4米D．无法计算 的大小，小亮进行了如下分析后作一个直角三角形，使其两直与．为比较 6．
为边长定理可求得长角边的分别其为斜与，则由勾股 ，可得．根据“三角形三边关系”．小）亮的这一做法体现的数学思想是（ A．分类讨论思想B．方程思想．数形结合思想DC．类此思想是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个“赵爽弦图”7．，则中间小正方形与大正方形的面积差是6直角三角形的两条直角边的长分别是3和） （ 27D．34A．9B．36C．．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方8，60S＝+S、S、S．若SS+ABCD形、正方形EFGH、正方形MNPQ的面积分别为311232）则S的值是（2 30D C．20．BA．12．15小题）二．填空题（共6．9．直角三角形的斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形另一直角边是时，这个三角a，如果a+b，﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于a10．设＞b形为直角三角形．米处折断（未完1米高的小孩，如果大树在距地面4米高的大树，树下有一个11．有一棵9米之外才是安全的．全折断），则小孩至少离开大树 扩充为等腰三角形，将△3ABC，°，90AC＝4BC＝＝中，∠△．如图，在12Rt ABCACB．的长为CD为直角边的直角三角形，则AC，使扩充的部分是以 ABD． ，吸管放进杯里（如cm，高为1213．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm 3.6cm，为节省材料，管长acm．的取值范围是图所示），杯口外面至少要露出
初中数学勾股定理培优教材一、探索勾股定理 【知识点1】勾股定理 定理容：在RT △中， 勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键 在于确定斜边或直角 典型题型 1、对勾股定理的理解 （1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（） A、c2- a2=b2 B、c2- b2=a2 C、a2- c2=b2 D、a2+b2= c2 （2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（） A、BC2- AB2=AC2 B、BC2- AC2=AB2 C、AB2+AC2= BC2 D、AC2+BC2= AB2 2、应用勾股定理求边长 （3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm, 求AC的长. （4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为． 3、利用勾股定理求面积 （5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。 （6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为。（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x=,y=。 （8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（） A、6 B、8 C、10 D、12 （9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S 12 、、 S S S S S S 341234 、，则+++=_____________。【知识点2】勾股定理的验证 推导勾股定理的关键在于找面积相等，由面积之间的等量关系并结合图形利用代数式恒等变形进行推导。（等积法） 拼图法推导一般步骤：拼出图形---找出图形面积的表达式---恒等变形—推出勾股定理。 （10）用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图拼法。 问题：你能用两种方法表示下 图的面积吗？对比两种不同的表 示方法，你发现了什么？ （11）用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按下图拼法， 论证勾股定理：
专题24 相交线与平行线 阅读与思考 在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键． 两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形： 例题与求解 【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）
图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图 例3题图 【例3】 如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题） 解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形． 【例4】 如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1
2017年秋期七 (6)班数学学科培优补差方案 一、培优补差意义： 初中数学新课标”要求数学教育面向全体学生”，通过数学学习使学生入人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，数学教学要关注学生的个体差异，有效地实现有差异的教学，使学生都得到充分的发 展”。但是由于诸多原因，学生在数学学习基础、学习能力、兴越爱好等方面均存在较大差异，数学学业发展参差不齐，因此培优补差工作就显得尤其重要。 数学培优补差以课堂教学为主要途径，课外辅导为有效补充，对成绩突出、学有余力的学生，通过针对性指导，让他们成绩更优秀，专长得发展，对学习有困难、学习能力差的学生，激发学习兴趣，提高学习能力，使他们学业得以进步。重视培优补差不但能促使优生数学素养提升，差生学习兴趣、能力提高，还能促使教师不断研究改进教学，整体提高数学教学质量。 二、培优补差措施： 利用课余时间，因材施教、对症下药”，根据学生的素质采取相应的方法辅导。具体方法如下： 1、课上后进生板演，中等生订正，优等生解决难题。 2、课堂练习分成三个层次： 第一层必做题”建础题，第二层： 选做题”彳等题，第三层思、考题”--拓广题。满足不同层次学生的需要。 3、课外辅导，利用课余时间，组织学生加以辅导训练。 4、培优补差过程必须优化备课，功在课前，效在课上，成果巩固在课后培优补差。 5、每单元进行简单测评，了解学生情况，建立学生学习档案。
三、培优对象： 孙元奇、凌巧、李英凯、曾晴、查宇航、刚亚鹏、xxxx、xx、xx、xx、xx 四、补差对象： xx、xx、xx 航、xx、xx、 xx 彤、xx、xxxx、xx、xx 淼
八年级初二数学 数学勾股定理的专项培优易错试卷练习题及答案 一、选择题 1．图中不能证明勾股定理的是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图：在△ABC 中，∠B=45°，D 是AB 边上一点，连接CD ，过A 作AF ⊥CD 交CD 于G ，交BC 于点F ．已知AC=CD ，CG=3，DG=1，则下列结论正确的是（ ） ①∠ACD=2∠FAB ②27ACD S ?= ③272CF =- ④ AC=AF A ．①②③ B ．①②③④ C ．②③④ D ．①③④ 3．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，在矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝3S △PCD ，则动点P 到点A ，B 两点距离之和PA ＋PB 的最小值为（ ） A ．5 B ．35 C ．332+ D ．213
4．如图，在Rt ABC ?中，90, 5 ,3ACB AB cm AC cm ?∠=== ，动点P 从点B 出发，沿射线BC 以1 /cm s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当?ABP 为等腰三角形时，t 的值不可能为（ ） A ．5 B ．8 C ． 254 D ． 258 5．如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6cm ，8cm ，则这个菱形的周长为（ ） A ．5cm B ．10cm C ．14cm D ．20cm 6．如图是一块长、宽、高分别为6cm 、4cm 、3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A ． cm B ． cm C ． cm D ．9cm 7．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角 形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若 2 )21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 8．如图，在ABC 中，13AB =，10BC =，BC 边上的中线12AD =，请试着判定 ABC 的形状是（ ）
等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。
初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
初中数学培优补差计划 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐
心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。
勾股定理培优题型归纳总结 一、巧解几何图形折叠问题 折叠图形的主要特征是折叠前后的两个图形绕着折线翻折能够完全重合，解答折叠问题就是巧用轴对称及全等的性质解答折叠中的变化规律．利用勾股定理解答折叠问题的一般步骤： (1)运用折叠图形的性质找出相等的线段或角； (2)在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一线段的长为x，将此直角三角形的三边长用数或含有x的代数式表示出来； (3)利用勾股定理列方程求出x；(4)进行相关计算解决问题． 考点1、巧用对称法求折叠中图形的面积 1、将长方形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求△BED面积．来 【解析】由题意易知AD∥BC，∴∠2＝∠3. ∵△BC′D与△BCD关于直线BD对称，∴∠1＝∠2.∴∠1＝∠3.∴EB＝ED. 设EB＝x，则ED＝x，AE＝AD－ED＝8－x.在R t△ABE中，AB2＋AE2＝BE2， ∴42＋(8－x)2＝x2.∴x＝5. ∴DE＝5.∴S∴BED＝1 2DE·AB＝ 1 2×5×4＝10. 考点2、巧用全等法求折叠中线段的长 1、如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，
如图③，则折痕DE的长为() A.8 3c m B．2 3 c m C．2 2 c m D．3 c m【答案】A 考点3、巧用折叠探究线段之间的数量关系 1、如图，将长方形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E，交BC 于点F，连接CE. (1)求证：AE＝AF＝CE＝CF (2)设AE＝a，ED＝b，DC＝c，请写出一个a，b，c三者之间的数量关系式． (1)证明：由题意知，AF＝CF，AE＝CE，∠AFE＝∠CFE，又四边形ABCD是长方形，故 AD∥B C，∴∠AEF＝∠CFE.∴∠AFE＝∠AEF.∴AE＝AF＝EC＝CF. (2)【解析】由题意知，AE＝EC＝a，E D＝b，DC＝c，由∠D＝90°知，ED2＋DC2＝CE2， 即b2＋c2＝a2 考点4、巧用方程思想求折叠中线段的长 1、如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG. (1)求证：△ABG≌△AFG；2)求BG的长． (1)证明：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠D＝∠B＝90°.
2016年初二升初三 暑 期 培 优 教 材 （数学）
第一讲 一元二次方程 【学习目标】 1、学会根据具体问题列出一元二次方程，培养把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2、了解一元二次方程的解或近似解。 3、增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。 【知识要点】 1、一元二次方程的定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为02=++c bx ax （a 、b 、 c 、为常数，0a ≠）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 （1）定义解释：①一元二次方程是一个整式方程；②只含有一个未知数；③并且未知数的最高次数 是2。这三个条件必须同时满足，缺一不可。 （2）02=++c bx ax （a 、b 、c 、为常数，0a ≠）叫一元二次方程的一般形式，也叫标准形式。 （3）在02=++c bx ax （0a ≠）中，a ，b ，c 通常表示已知数。 2、一元二次方程的解：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值为0，x 的值即是一元二 次方程02=++c bx ax 的解。 3、一元二次方程解的估算：当某一x 的取值使得这个方程中的c bx ax ++2的值无限接近0时，x 的值即可看做一元二次方程02=++c bx ax 的解。 【经典例题】 例1、下列方程中，是一元二次方程的是 ①04 2 =-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x ； ④bx ax =2；⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+x x x ；⑨22=-x x ；⑩)0(2≠=a bx ax 例2、（1）关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m__________时，是一元二次方程，当m__________时，是一元一次方程. （2）如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a__________. （3）关于x 的方程135)32(12=+-++x x m m m 是一元二次方程吗?为什么？ 例3、把下列方程先化为一般式，再指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。
初三数学中考培优试题 一．解答题： 1．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴的负半轴上，且OD=10，OB=8，将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合 （1）直接写出点A、B的坐标：A（_________，_________）、B（_________，_________）； （2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点，则这条抛物线的解析式是_________； （3）若点M是直线AB上方抛物线上的一个动点，作MN⊥x轴于点N，问是否存在点M，使△AMN与△ACD相似？若存在，求出点M的横坐标；若不存在，说明理由； （4）当≤x≤7时，在抛物线上存在点P，使△ABP得面积最大，求△ABP面积的最大值． 2．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点．将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB．过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D．运动时间为t秒． （1）当点B与点D重合时，求t的值； （2）设△BCD的面积为S，当t为何值时，S=？ （3）连接MB，当MB∥OA时，如果抛物线y=ax2﹣10ax的顶点在△ABM内部（不包括边），求a的取值范围．
3．如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是_________三角形； （2）若抛物线y=﹣x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=﹣x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 4．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限 且为抛物线的顶点．P到x轴的距离为，到y轴的距离为1．点C关于直线l的对称点为 A，连接AC交直线l于B． （1）求抛物线的表达式； （2）直线y=x+m与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于 点E，且DE：BE=4：1．求直线y=x+m的表达式； （3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线y=x+m上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
初中数学培优补差计划 一.指导思想 为顺利完成本学年的教学任务，提高本学期的教育教学质量，根据我班学生的实际情况，围绕教学目标，除了认真备课、上课、批改作业、定期评定学生成绩、优质完成每一节课的教学外，应采取课内外培优措施，争取让好的吃的饱，让差的吃的着。 二.差原因分析 1、不良的学习习惯：学习困难学生通常没有良好的学习习惯，对学习缺乏兴趣，把学习当作完成父母教师交给的差事。他们一般贪玩，上课注意力不集中，自控能力差，较随便，上课不听讲，练习不完成，课前不预习，课后不复习，作业不能独立完成,甚至抄袭作业，拖拉作业常有发生，即使有不懂的问题也很少请教他人。不能用正常的逻辑思维和合理的推理分析来对待学习。他们对自己要求不高，甚至单纯为应付老师家长，学习并没有变成他们内在的需要。 2、环境因素，其中家庭教育因素是造成学生学习困难的一个突出因素。父母的文化程度较低，期望水平低，他们大多缺乏辅导能力。有的家长对子女的教育方式简单粗暴，缺乏耐心；有的缺乏教育，缺少关心，放纵孩子，甚至认为读书无所谓，有的说：“我不识字不也过得很好。”这大大挫伤了孩子的上进心。
有的家长长年在外打工，孩子在家无人管束……总之，家庭的文化氛围差，使学生的学习受到了干扰，造成了学习上的困难。 三.采取措施 1、培养良好的学习态度 正确的学习态度是提高学习成绩的重要因素。学习态度端正的学生一般学习较为持久、认真，即使是自己不感兴趣的科目和内容，他也可以对它持比较积极的态度，克服困难，坚持学习。所以在激发学生兴趣的同时，要注重学生学习态度的培养。 2、优化课堂教学的手段 学习困难学生的形成有一个过程。因此他们的转变也只能是逐步进行的，这是一个渐变的过程。教学由易到难，使学生层层有进展，处于积极学习状态。师生活动交替进行，多为学生提供自我表现的机会，对学生进步及时鼓励，发现问题即刻纠正。对待不同的学生采用不同的教学方法。 3、教育他们学会如何学习。 从某种意义上说，学习困难学生的最大困难是不知道如何学习，帮助他们学会如何学习的关键应该是掌握学习策略。应结合语文学科的知识特点，帮助他们掌握控制自己知觉、注意、记忆和思维活动的普通认知策略、解决本学科问题的特殊策略、