第八章(第节极大似然估计)

第八章参数估计

第一节参数的点估计

二、极大似然估计法

极大似然估计最早是由高斯于1821年提出，但一般将之归功于英国统计学家Fisher,R.A,因为Fisher,R.A在1922年证明了极大似然估计的性质，并使得该方法得到了广泛的应用。

这里介绍估计的另一种常用方法－极大似然估计法。

先看一个简单的例子:

某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过.只听到一声枪响,野兔应声倒下.如果要你推测,是谁打中的呢？你会如何想呢？

你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命

中的概率.看来这一枪有极大的可能是猎人射中的.

这个推断很符合人们的经验事实，这里的“极大的可能”就是“极大似然”之意。

这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.

极大似然法的基本思想在社会思维意识中常有所体现。例如某地发生了一个疑难案件，警察欲破案或民众推测嫌疑人，一般是将重点集中在作案可能性较大的可疑人身上。

为了说明极大似然估计的原理，我们先来考察一个简单的估计问题。

设袋中装有许多白球和黑球。只知两种球的数目之比为3:1，试判断是白球多还是黑球多。

显然，从袋中任取一球为黑球的

概率p 是41或者43，如果是41

，则袋中

白球多，如果是4

3

，就是黑球多。现

在我们从袋中有放回的任取3只球，那么黑球数目X 服从二项分布：

x

x

x

p p C p x X P --==33

)1(};{,

3,2,1,0=x ； 4

3

,41=p

其中p 为取到黑球的概率.

从常识上可以接受这样的判断:

(1)若取出的3只中有0只黑球,

3只白球,则我们以较大的把握认为袋中白球多, 应认为是从黑球概率

为4

1

=p 的总体中取来的.

(2)若取出的3只中有1只黑球, 2只白球,则我们以较大的把握认为

袋中白球多, 应认为是从黑球概率

为4

1

=p 的总体中取来的;

(3)若取出的3只中有2只黑球, 1只白球,则我们以较大的把握认为袋中黑球多, 应认为是从黑球概率

为4

3

=p 的总体中取来的;

(4)若取出的3只中有3只黑球, 0只白球,则我们以较大的把握认为袋中黑球多,应认为是从黑球概率

为4

3

=p 的总体中取来的.

分别计算4

3

41==p p 和时，

}{x X P =的值，列于表8—1.

由于样本来自于总体，因而应很好的反映总体的特征。

如果样本中的黑球数为0，就应

当估计p 为41，而不估计为4

3

，(这是

常识判断),同时注意到有

64

1

}43;0{6427}41;0{===>===p X P p X P ,

正是选的使};0{p X P =达到最大值

的p .

这说明，黑球数0=x 的样本来自于

41=p 的总体比来自于4

3

=p 的总体的可能性要大，因而取4

1

作为p 的估计

更合理.

类似的，1=x 是也取41

作为p 的

估计。当3,2=x 时取4

3

作为p 的估计。

即得到p 的估计量为

?????===3,2,4

3

1,0,41

)(?x x x p ;

即若取出的3只球中有x 只黑球,则总体中任取一只为黑球的概率为

?????===3,2,4

3

1,0,41

)(?x x x p ;

即认为是从任取一只为黑球的概率为

?????===3,2,4

3

1,0,4

1)(?x x x p

的总体中来的.

从表中看出成立不等式

};{)}(?;{p x X P x p

x X P =≥=, 3,2,1,0=x ； 4

3

,41=p

也就是说，根据样本的具体情况选择p

?，使得该样本发生的概率最

大。即对每个(固定)x ，选取)(?x p

，使得

};{)}(?;{p x X P x p x X P '=≥= 其中p '是不同于)(?x p 的另一值。这就是极大似然估计法的基本思想。

极大似然估计的问题如下

一般地，设总体X 的分布函数为 (;)F x θ，其中θ是未知参数(Θ∈θ,θ不同,总体也不同)。

n

X X X ,,,2

1

???为来自于总体X 的样本,

若在对总体的抽样中，得到样本值(观察值,发生的事件)n

x x x ,,,21???。

问n

x x x ,,,21???,是从哪个总体中抽出的？(即θ应取多少？)

直观的想法是：小概率事件在一次试验中一般不会发生，而大概率事件在一次试验中常常会发生；

反之，如果在一次实验中，某个随机事件发生了，

若问是什么样的情况引起的，我们往往会认为极有可能是使这个随机事件发生的概率最大的那个情况所引起的。

下面，我们分连续型总体和离散型总体两种情况进行讨论。 1、 连续型总体参数的极大似然估

计

一般地，设总体X 的概率密度为 );(θx f ，其中θ是未知参数(Θ∈θ,θ不同,总体也不同)。n

X X X ,,,2

1

???为来自于总体X 的样本,若已抽取得到n

x x x ,,,2

1

???为样本n

X X X ,,,2

1

???的样本值(观察值,发生的事件),

问n

x x x ,,,2

1

???,是从哪个总体中抽出的？(即θ应取多少？)

我们来考察),,,(2

1

n

X X X ???落在点),,,(2

1

n

x x x ???的邻域内的概率

}2

||,,2|{|1

1

1

n

n

n

x x X x

x X P ?<-????<- }2

|{|1

i

i

n

i i

x

x X P ?<-=∏=

i

n

i x x x x i

dt t f i

i i

i );(1

22θ∏?=?+

?-=

i

n i i

x x f ?≈∏=);(1

θ∏∏==??=n

i i

n

i i

x x f 1

1

));((θ。

从直观上讲, 既然在一次试验中得到了观察值),,,(2

1

n

x x x ???,那么可以认为样本落在),,,(2

1

n

x x x ???的邻域里这一事件是较易发生的,具较大的概率.所以就应是从使得样本落在点),,,(2

1

n

x x x ???的邻域内的概率达到最大的总体中抽取的,这样才能在一次抽取中以较大可能性取到),,,(2

1

n

x x x ???.即选取使这一概率达到最大的参数作为真参数的估计.

极大似然法就是选取总体参数θ的估计值θ?,使得样本),,,(2

1

n

X X X ???落在点),,,(2

1

n

x x x ???的邻域内的概率

∏∏==??=n

i i

n i i

x x f 1

1));((θ达到最大,也就是

使);(1

θ∏=n

i i

x f 达到最大值.

记

);,,,()(2

1

θθn

x x x L L ???=);(1

θ∏==n

i i

x f ,

称);,,,()(2

1

θθn

x x x L L ???=为似然函数.

定义1 如果);,,,()(2

1

θθn

x x x L L ???= 在θ?达到最大值，则称θ?是θ的极大似然估计。

即如果选取使下式

)(max )?(θθθL L Θ

∈= 成立的θ?作为θ的估计,

则称θ?是θ的极大似然估计。

因此，求总体参数θ的极大似然估计值θ?就是求似然函数的最大值

问题。

根据微积分的知识，要使)(θL 达到最大值，若)(θL 可导，θ?必满足

0)(=θθ

L d d

。

通常用简化求法:因为L 与L ln 在同一值处达到最大，θ?也可由

0)(ln =θθ

L d d

求得，这在计算上常常带来方便.

多参数情形的极大似然估计 若总体X 的概率密度为),,,:(2

1

k

x f θθθΛ，其中k

θθθ,,,2

1

Λ为未知数，n

x x x ,,,2

1

???为样本n

X X X ,,,2

1

???的样本值(观察值),此时似然函数为

1212121

(,,,;,,,)(;,,,)n

n k i k i L x x x f x θθθθθθ==∏L L L ,

(8.4)

求解方程组

0),,,(ln 2

1

=?????i

k

L θ

θθθ,k i ,,2,1???=

即可得到极大似然估计k

θθθ?,,?,?2

1

Λ

数学上可以严格证明，在一定条件下，只要样本容量n 足够大，极大似然估计和未知参数的真值可相差任意小。

例5 设总体 X 服从参数为λ的

指数分布，即有概率密度

??

?≤>=-0

,

00

,),(x x e x f x

λλλ , （0>λ）

又n

x x x ,,,2

1

???为来自于总体X 的样本值，试求λ的极大似然估计.

解 似然函数为

1

121

(,,,;)n

i

i

i n

x x n

n

n i L L x x x e

e

λ

λλλ

λ=--=∑===∏L ,

于是 ∑=-=n

i i

x n L 1

ln ln λλ ,

∑=-=n i i

x n

d L d 1

ln λ

λ, 方程 0ln 1

=-=∑=n

i i x n d L d λλ , 的根为x x

n

n

i i

1

1

^

=

=

∑=λ。

经验证，)(ln λL 在x

1

^

==λλ处达

到最大值，所以^

1

x

λ=

是λ的极大似然估计。

例6 设n

x x x ,,,2

1

???为正态总体

),(2

σμN

的一个样本值，求:

(1)μ和2

σ的极大似然估计; (2)}{t X P < 的极大似然估计. 解 (1) 似然函数为

2

2121

11

(,,;,)exp[()]2n

n i i L x x x μσμσ==--∏

L

])(21exp[212

1

2

2

2

μσπσ--

??

?

??=∑=n

i i

n x ，

∑=---=n

i i

x n L 1

2

2

2

)(21

)2ln(2ln μσ

πσ,

解方程组

?????

=-+-=??=-=??∑∑==n

i i

n i i x n L x L 1

2

4

2

2

1

2

0)(212ln 0)(1ln μσ

σσμσμ

得 x x n n

i i ==∑=1

1?μ, ∑=-=n i i x n 1

2

2

)?(1?μσ∑=-=n

i i

x x

n 1

2

)(1,

这就是μ和2

σ的极大似然估计,

即

),(m ax )?,?(22σμσμL L = .

(2)因为)(

)(}{σ

μ

-Φ==

由(1)知道 似然函数),(2

σμL 在)

?,?(2

σμ处达到最大值, )

(

σ

μ

-Φt 中的参数取σσμ

μ?,?==时,即取)(σμ

-Φt 为)

??(σμ

-Φt 时,似然函数)

,(2

σ

μL 在)?,?(2

σμ处达到最大值,

所以}{t X P < 的极大似然估计为

)??(

σ

μ

-Φt .

由此可见，对于正态总体，μ的矩估计和极大似然估计是相同的，都是样本均值。

而2

σ的矩估计是样本方差

22

1

1()1n

i i s x x n ==--∑， 极大似然估计是

=

-=∑=n

i i

x x n 1

2

2

^)(1

σ2

1s n

n -。 在有些书中，定义样本方差为

∑=-=n

i i

x x n

s 1

2

2

*)(1

.

例7 设总体X 的概率密度为

???<≥=--θθ

θθx x e x f x ,

0,),()

( ,

又n x x x ,,,2

1

???为来自于总体X 的样本

值,求参数θ的极大似然估计。 解 令},,min{1

*1

n

x x x Λ=,

似然函数

);,,,()(21θθn

x x x L L ???=

1

=i

()

*11*

1,0,i n x i e

x x θθθ--=?≤?=??>?

∏ ,

当*1

x θ≤时，)(θL 是θ的单调增函数，

*

1()()L L x θ≤；

当*

1x >θ时，0)(=θL 。

于是)(θL 在*

1

^

x =θ

处达到最大值，

所以θ的极大似然估计

},,min{1

^

n

x x Λ=θ.

例 设总体X 的概率密度为

1,

0(,)0,

x f x θθθ

?≤≤?=???其它

, （0θ>）

又n

x x x ,,,2

1

???为来自于总体X 的样

本值,求参数θ的极大似然估计。 解 令*1max{,,}n

n x x x =L ,

似然函数

);,,,()(2

1

θθn

x x x L L ???=

1

=i

**

1,0,

n n n x x θ

θθ?≤?=??

当*

n

x θ≥时，)(θL 是θ的单调减函数，

*

()()n L L x θ≤；

当*

n x θ<时，0)(=θL 。

于是)(θL 在^

*

n x θ=处达到最大值，

所以θ的极大似然估计

^

1max{,,}n x x θ=L .

实例：估计某路公交车几分钟发

一趟。

2、离散型总体参数的极大似然估计

以上介绍了连续总体的极大似然估计，现来看离散型的总体的极大似然估计。 一般地，若总体X 是离散型的随机变量，有分布律(分布列)

???? ??ΛΛΛΛ);();();(2

1

2

1

θθθk

k

a p a p a p a a a

θ是未知参数)(Θ∈θ

【离散型】设n

x x x ,,,2

1

???为来自于

总体X 的样本值

(},,,,{2

1

??????∈k

i

a a a x ,n i ,,2,1???=)，

则似然函数为

);,,,()(21θθn

x x x L L ???=

);();();(2

1

θθθn

x p x p x p Λ=.

如果有一个统计量),,,(2

1

^

n

x x x Λθ，

使

)],,,([2

1

^

n

x x x L Λθ

12sup (,,,;)n L x x x θθ∈Θ

=??? ， 则称),,,(2

1

^

n

x x x Λθ是θ的极大似然估

计量。

例8 设总体X 服从参数为λ的泊

松分布，即X 有分布列(分布律)

Λ,2,1,0,!

}{);(==

==-k e k k X P k p k

λ

λ

λ

λ是未知参数，),0(+∞∈λ，试求λ的极大似然估计。

解 样本的似然函数为 );,,,()(2

1

λλn

x x x L L ???=

);();();(21λλλn

x p x p x p Λ=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

---=

e x e x e

x n

x x x n

!

!

!

2

1

2

1

Λ

λ

λ

n n

x

e x x x n

i i

-∑==

!

!!2

1

1

Λ

n i x i

,,2,1},,2,1,0{ΛΛ=∈ . );,,,(ln )(ln 2

1

λλn

x x x L L ???=

∑∑==-+-=n i n

i i

i

x x n 1

1

)!ln(ln )(λλ ,

∑=+-=??n

i i

n

x n x x x L 1

2

1

1)();,,,(ln λ

λλΛ , 从

0ln =??λ

L 可以解出∑===n i i

x x n 1

1

λ。

当∑=>n

i i

x 1

0时，

01

ln 1

2

2

2

<-

=??===∑x

n

i i

x

x

L λλλ

λ

，

所以

);,,,(sup )1

;,,,(2

1

1

2

1

λλn

n

i i

n

x x x L x n

x x x L ΛΛ∑=Θ

∈= ,(*)

当∑==n

i i

x 1

0时，

02

1

====n

x x x Λ，这时

λ

λn n

e x x x L -=);,,,(2

1

Λ，

12121

1(,,,;)(,,,;0)n

n i n i L x x x x L x x x n ==∑L L 121sup (,,,;)n L x x x λλ∈Θ

==L ,(**)

由(*),(**)知，

∑==n

i i

n

x n

x x x 1

2

1

^

1

),,,(Λλ是λ的极大

似然估计。

例11 设总体X 的概率分布为

其中

)

2

10(<<θ是未知参数，利用总体的如下样本值

3,1,3,0,3,1,2,3；

求θ的矩估计值和最大似然估计值。

(完整版)统计学习题答案第5章参数估计

第5章 参数估计 ●1. 从一个标准差为5的总体中抽出一个容量为40的样本，样本均值为25。 （1） 样本均值的抽样标准差x σ等于多少？ （2） 在95%的置信水平下，允许误差是多少？ 解：已知总体标准差σ=5，样本容量n =40，为大样本，样本均值x =25， （1）样本均值的抽样标准差 x σσ5=0.7906 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 于是，允许误差是E = α/2 σ Z 6×0.7906=1.5496。 ●2.某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客组成了一个简单随机样本。 （3） 假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差； （4） 在95%的置信水平下，求允许误差； （5） 如果样本均值为120元，求总体均值95%的置信区间。 解：（1）已假定总体标准差为σ=15元， 则样本均值的抽样标准误差为 x σσ15=2.1429 （2）已知置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 于是，允许误差是E = α/2 σ Z 6×2.1429=4.2000。 （3）已知样本均值为x =120元，置信水平1－α=95%，得 α/2Z =1.96， 这时总体均值的置信区间为 α/2 x Z 0±4.2=124.2115.8 可知，如果样本均值为120元，总体均值95%的置信区间为（115.8，124.2）元。 ●3.某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽取36人，调查他们每天上网的时间，得到下面的数据（单位：小时）： 3.3 3.1 6.2 5.8 2.3 4.1 5.4 4.5 3.2 4.4 2.0 5.4 2.6 6.4 1.8 3.5 5.7 2.3 2.1 1.9 1.2 5.1 4.3 4.2 3.6 0.8 1.5 4.7 1.4 1.2 2.9 3.5 2.4 0.5 3.6 2.5

湘教版七年级下册地理第七节 澳大利亚教案

湘教版七年级下册地理第八章走近国 家 第七节澳大利亚第1课时 1 教学分析 【重点难点】 教学重点：自然条件的基本特征，现代化的工矿业与农牧业。 教学难点：现代化的工矿业与农牧业；人口分布。 2 教学过程 新课导入： 录像片《古老的动物》：袋鼠、鸭嘴兽、鸸鹋等动物的生活情景。问：这些古老的动物生活在哪个国家呢?澳大利亚，今天我们就来学习这个国家。 【板书】第七节澳大利亚 学习新课 电脑展示：课本104页图8-63澳大利亚的地形 学生活动：①学生先在课本图8-63上找大分水岭、墨累河、澳大利亚大盆地和北艾尔湖，然后叫四名同学上讲台在投影上分别指认以上地理事物。 ②引导读图：让学生根据图例(陆高海深表)阅读图中颜色的变化，来了解澳大利亚地形特点。 学生回答：澳大利亚地形东部、中部、西部各异，东部是海拔较高的大分水岭，中部是大面积的平原，西部是海拔不足1000米的广阔的低高原。 评价小结：澳大利亚大陆地势低平，是世界上地势起伏最和缓的大陆，大陆地形特点与美洲相似，自西向东分为三大地形区，东部山地、中部平原、西部高原。 过渡：澳大利亚由于各地自然条件各异，形成了四个不同农牧业区，那农牧业分布与地形是一种什么样的关系呢？ 澳大利亚农牧业的分布 学生活动：①学生对应图例了解澳大利亚农牧业的分布状况(粗放牧羊和牧牛带分布在西部、中部和北部地区，而东南部和西南沿海地区则为混合农业地带)②学生分组讨论农牧业分布与地形的关系。 学生发言：略 老师评价各组意见并归纳如下：西部、北部和中部地区，是低矮的高原和大面积的平原，有优良的牧草，又没有大型野生肉食动物，因此适合露天围栏放牧。而东南部和西南部沿海平原区既适合牧羊又适合发展耕作业，而且在时间上不会发生冲突，所以发展混合农业。 转折提问：同样是平原区，为什么中部地区是粗放式放牧，而沿海地区是混合农业，这两个地区在自然条件上还有什么不同？(气候不同)我们接着了解气候对农牧业的影响。

统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1．解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2．简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3．怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4．解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 （z 2 ）2 2其中： E z n n E22 其中： E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所

《高等数学》第八章习题答案

8.1（A ） 1、（1）{ }y x y x y x ≥≥≥2,0,0),(；（2）{}1),(2>-x y y x ； （3）{ }1),(22>+y x y x ； （4）{}0,0,0),,(>>>z y x z y x 。 2、（1）0；（2）6 1-；（3）e ；（4）1；（5）0. （B ） 1、提示：令kx y =。 8.2（A ） 1、（1）223y y x x z -=??；xy x y z 23-=??。（2）2x y y x z -=??；x x y z 1+=??。 （3）]1)1[ln()1(xy xy xy xy x z x ++++=??；12)1(-+=??x xy x y z 。 （4）22y x y x z +-=??；22y x x y z +=??。 （5） )sin()cos(y x x y x x z +-+=??；)sin(y x x y z +-=??。 （6）21y x x z +=??；2 2y x y y z +=??。 （7）1-=??z y x z y x u ；x z x y u z y ln =??；x z yx z u z y ln 2-=??。 （8）x y x y x z 2csc 22-=??；x y x y z 2csc 2=??。 2、（1）222)(2y x y x x z --=??；2 2)(y x y y x z -=???。 （2）2222222)(y x x y x z +-=??；2222) (2y x xy y x z +-=???。 （3）222)1(--=??y x y y x z ；222)(ln x x y z y =??。 3、2)1,0,0(=xx f ；0)0,1,0(=yz f 。 （B ）

第八章 参数估计

第八章参数估计 一、思考题 1.什么是参数估计？参数估计有何特点？ 2.评价估计量优劣的准则是什么？ 3.什么是点估计、区间估计？二者有何联系和区别？ 4.确定必要的抽样数目有何意义？必要抽样数目受哪些因素影响？ 二、练习题 （一）填空题 1．参数估计的方法有_________和_________。 2．若样本方差（s n21-）的期望值等于总体方差（σ2），则称s n21-为σ2的____________估计量 3．总体参数的估计区间是由_________和_________组成。 4．允许误差是指与的最大绝对误差范围。 5．如果总体平均数落在区间960～1040内的概率是95%，则抽样平均数是 ______，允许误差是______。 6．在同样的精度要求下，不重复抽样比重复抽样需要的样本容量。 x=5，7．设总体X的方差为1，从总体中随机取容量为100的样本，得样本均值 =2.58) 则总体均值的置信水平为99%的置信区间_____________。(Z 0.005 （二）判断题 1( )参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数。 2( )随机抽样是参数估计的前提。 3( )参数估计的抽样误差可以计算和控制。 4( )估计量的数学期望等于相应的总体参数值，则该估计量就被称为相应总体参数的无偏估计量。 5( )区间估计就是根据样本估计量以一定的置信度推断总体参数所在的区间范围。

6( )样本统计量n x x s ∑-=22)(是总体参数2σ的无偏估计量。 7（ ）估计量的有效性是指估计量的方差比其它估计的方差小。 8（ ）点估计是以样本估计量的实际值直接作为相应总体参数的估计值。 9（ ）抽样估计的置信水平就是指在抽样指标与总体参数构造的置信区间中， 包含总体参数真值的区间所占的比重。 10（ ）样本容量一定时，置信区间的宽度随置信水平的增大而减小。 （三）单选题 1．极限误差是指样本统计量和总体参数之间( )。 A.抽样误差的平均数 B.抽样误差的标准差 C.抽样误差的可靠程度 D.抽样误差的最大可能范围 2.参数估计的主要目的是( )。 A.计算和控制抽样误差 B. 为了深入开展调查研究 C.根据样本统计量的数值来推断总体参数的数值 D. 为了应用概率论 3.参数是指基于( )计算的指标值。 A.样本 B.某一个样本 C.多个样本 D.总体 4.总体参数很多，就某一参数(如均值)而言,它的取值( )。 A.是唯一的 B.不是唯一的 C.随样本的变化而变化 D.随抽样组织形式的变化而变化 5.样本统计量很多，就某一统计量(如均值)而言,它的取值( )。 A.是唯一的 B.随样本的变化而变化 C.由总体确定 D.由抽样的组织形式唯一确定 6.以样本均值x 估计正态总体的均值μ时,如果总体方差2σ已知,这时将会需要查阅( )。 A.正态分布表 B.标准正态分布表 C.t 分布表 D.2χ分布表 7.以样本均值x 估计正态总体的均值μ时,如果总体方差2σ未知,这时将会需要查阅( )。

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第八章空间解析几何与向量代数单元测试题参考答案： 一、填空题 1. 点M x, y, z关于x轴的对称点为M1 x, y, z ;关于xOy平面的对称点为M 2x, y, z ；关于原点的对称点为M3 x, y, z . 2. 平行于a ={1 ，1，1} 的单位向量为1 1,1,1 ；若向量 a { ,1,5} 与向量 b { 2,10,50} 3 平行，为1 . 5 3. 已知两点M1 4, 2,1 和 M 2 3,0,2 ，则向量M1M2在三个坐标轴上的投影分别是–1 2 、1 ，在坐标轴方向上的分量分别是i 、 2 j 、 k , M1M 2 2 , 方向余弦cos 1 、 cos 2 、 cos 1 , 方向角1200 、 2 2 2 1350 、60 0 , 与M1M2 同方向的单位向量是 1 , 2 , 1 . 2 2 2 4. 已知两向量a 6i 4 j 10k ， b 3i 4 j 9k ,则 a 2b 12i 4 j 8k ， 3a 2b 12i 20 j 48k , 3a 2b 在oz轴上的投影为48 . x t 2 5．过点 M (1,2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是 x 3 y z 4 0 z t 1 二、选择题 1.向量a与b的数量积 a b=（C）. A a rj 2.非零向量 A a ∥b b a ；B a rj a b ； C a rj a b ； D b rj a b．a, b 满足a b0 ，则有（C）． ; B a b (为实数)；C a b ；D a b0 ． 3.设 a 与b为非零向量，则a A a ∥b的充要条件； C a b 的充要条件；b0是（A）． B a ⊥b的充要条件; D a ∥b的必要但不充分的条件．

高等数学作业集答案第八章

第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2 2 cos = α，2 2 cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.

第八章高等数学答案

1、党在过渡时期的总路线提出的主要任务是解决所有制问题 参考答案：错误。 党在这个过渡时期的总路线和总任务，是要在一个相当长的时期内，逐步实现国家的社会主义工业化，并逐步现实国家对农业、手工业和资本主义工商业的社会主义改造。过渡时期总路线构想出了一条经济文化落后国家发展社会主义的新思路，这就是建设与改造并举、发展与变革同行，把国家工业化和社会主义改造紧密结合起来，在变革生产关系中促进社会生产力发展的新思路。其中，社会主义工业化是目的，社会主义改造是不可或缺的条件和手段。 2、中国的民族资产阶级在社会主义革命阶段仍然具有两面性 参考答案：正确。 中国的民族资产阶级，不仅在民主革命阶段具有两面性，曾经是中国共产党的同盟者。在社会主义革命阶段仍然具有两面性，它有剥削工人阶级取得利润的一面，又有拥护宪法、愿意接受社会主义改造的一面。中国共产党正是根据中国民族资产阶级这一基本特点，制定了利用、限制、改造的政策，用和平赎买的方式完成了对资本主义工商业的社会主义改造。 3、对资本主义工商业的社会主义改造就是指的对生产资料所有制的改造 参考答案：错误。 国家对资本主义工商业的社会主义改造是把对所有制的改造和对人的改造结合起来进行的，在把生产资料私有制改造成为社会主义公有制的同时，把资本家由剥削者改造成为自食其力的劳动者。对资本主义工商业的和平改造在内容上包括两个方面：一方面是企业的、制度的改造，包括企业所有制和企业管理制度等，最终把资本主义私营工商企业改造为由工人当家作主，实行社会主义企业管理的全民所有制企业；另一方面是对人即对资本家的改造。对资本主义工商业的社会主义改造，是一场深刻的社会变革。如何在改造过程中，实施团结教育的功能，化解他们的消极甚至抵抗的情绪，使他们成为自食其力的劳动者，这同样十分重要。 4、社会主义改造的完成，标志着中国完全建成了社会主义社会 参考答案：错误。 社会主义改造完成后，中国进入社会主义社会初级阶段，不经过生产力的巨大发展，中国无法超越初级阶段这个现实。只有生产力高度发展了，物质精神成果丰富，我们才能完成建成社会主义社会。

湘教版地理 第八章 走近国家 第七节 澳大利亚

第七节澳大利亚 （一）独占一块大陆的国家 1．了解大洋洲 大洋洲主要由澳大利亚大陆、新几内亚岛、新西兰南北二岛、塔斯马尼亚岛，以及太平洋中的波利尼西亚、密克罗尼西亚、美拉尼西亚三大群岛构成。大洋洲位于印度洋与太平洋之间，西北临近亚洲，东、南、西隔大洋分别与美洲、南极洲、非洲相望。 2．澳大利亚的面积、范围和地理位置——独占一块大陆，印度洋与太平洋之间 澳大利亚是大洋洲最大的国家(四个别称：世界活化石的博物馆、独占一块大陆的国家、 骑在羊背上的国家、坐在矿车上的国家。) 位置： 澳大利亚（Australia）位于南太平洋和印度洋之间(介于亚洲、南极洲之间，东濒太平洋，西临印度洋，南与南极大陆遥遥相望)，它东濒太平洋的珊瑚海和塔斯曼海，西、北、南三面临印度洋及其边缘海。是世界上唯一一个独占一个大陆的国家。澳大利亚位于东半球，南半球,南回归线横穿其中部。 组成 澳大利亚领土包括澳大利亚大陆、塔斯马尼亚等周围岛屿，是大洋洲面积最大的国家,面积居世界第六位。 面积 国土面积 7617930平方公里（世界第六） 3．居民特征：人口数量、人种构成、城市化水平、通用语言 澳大利亚总人口数2279万（2012年1月）。面积774．1万千米2，人口密度大约是2．9人／千米2。澳大利亚是一个地广人稀的国家。 澳大利亚白色人种为主（90％），大多是英国移民的后裔。(澳大利亚人种构成是：74％为英国及爱尔兰后裔；意大利人的后裔约4．29％；德国人的后裔约4．09％；华人的后裔（华裔）约3．37％；土著居民约2．30％；希腊人的后裔约1．84％；荷兰人的后裔约1．56％。) 澳大利亚人口最多的五个城市分别是悉尼（420万人）、墨尔本（407万人）、珀斯（160万人）、布里斯班（120万人）、阿德莱德（117万人），五个城市的城市人口占总人口一半以上。澳大利亚城市化水平很高,城市人口比重在90％以上。 英语为澳大利亚的通用语言。 4．地形特征：自西向东分为三大地形区——西部高原、中部平原、东部山地 澳大利亚大陆地势低平、起伏和缓，自西向东分为三大地形区： 西部高原(西部高原区宽广低缓，沙漠广布); 中部平原(中部平原区地势低平，面积约占大陆总面积的25%,地势低洼地区有自流井，因此人们也把那里叫做“大自流盆地”。地下水丰富); 东部山地(东部山地海拔较高，南北延伸。有自北向南纵贯的大分水岭。西侧发源了墨累河，东北部沿海有大堡礁)。 全国最大的河流墨累河，从大分水岭西则发源，向西南注入印度洋。 东北部沿海有世界著名的大堡礁。 5．澳大利亚人口、城市分布与气候 （1）气候分布特点：呈半环状分布 澳大利亚气候类型大致呈半环状分布，较湿润的森林气候分布在东侧和南侧，中西部为大面积的热带沙漠气候，它们之间地区和北部为草原气候。 （2）人口与城市集中分布:东南沿海地区 澳大利亚人口与城市主要分布在东部地区，特别是东南沿海最为稠密。澳大利亚人口与城市主要分布在温暖湿润的气候区（原因：这里气候适宜，港口优良，交通便利，经济发达）。 首都堪培拉，悉尼是全国最大的工业中心和港口城市，墨尔本是全国第二大城市。 （二）古老的动植物 澳大利亚自然环境总体上具有地势低缓、干旱面积广大的特征，在这样的环境条件下，形成独具特色的生物群落——古老的动植物。

参数估计习题参考答案

参数估计习题参考答案

参数估计习题参考答案 班级：姓名：学号：得分 一、单项选择题： 1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是( B ) （A）前者是一个确定值，后者是随机变量（B）前者是随机变量，后者是一个确定值 （C）两者都是随机变量（D）两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量（ A ） （A）大于等于30 （B）小于30 （C）大于等于10 （D）小于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为4，16，36的样本，当样本容量增大时，样本均值的标准差将（ B ） （A）增加（B）减小（C）不变（D）无法确定 4、某班级学生的年龄是右偏的，均值为20岁，标准差

为 4.45.如果采用重复抽样的方法从该班抽取容量为100的样本，那么样本均值的分布为（ A ） （A）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B）均值为20，标准差为4.45的正态分布 （C）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个( B ) （A）绝对可靠的范围（B）可能的范围（C）绝对不可靠的范围（D）不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的1-α置信区间，（ A ） A. α越大长度越小 B. α越大长度越大 C. α越小长度越小 D. α与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称（ D ） （A）甲是充分估计量（B）甲乙一样有效（C）乙比甲有效（D）甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总体均

山东省单县希望初级中学初中七年级地理下册 第八章 第七节 澳大利亚名师制作优质导学案(新版)湘教版

第三章第七节《澳大利亚》 【学习目标】 1、在地图上能指出澳大利亚的地理位置、领土组成、首都 2、了解澳大利亚地形特征，以及地形与气候、人口分布的关系 3、了解澳大利亚特有的野生动植物种类，并分析这些动物唯独生活在澳大利亚的原因 4、了解澳大利亚“骑在羊背上的国家”、“坐在矿车上的国家”等别称的由来 5、了解澳大利亚的主要矿产资源以及矿产地与工业、城镇分布的关系 【学习重难点】 澳大利亚的自然与经济地理特征 【自学指导】 一、大洋洲 读图3-47，找出大洋洲的位置、范围 1、世界上面积最的大洲 2、位置：位于与之间，西临，东 临，与洲，洲隔海相望，既跨半球，也跨半球 3、范围：包括大 陆，岛，南、北二 岛，岛，群岛，群岛，群岛 二、澳大利亚概况 读图3、47，结合P87-88，学习澳大利亚位置、领土组成、面积、气候、人口、城市 1、位置：西北与相邻，东临，西临，南与隔海相望，是世界上唯一一个用户有整个的国家 2、领土组成：包括大陆，岛及周围岛屿 3、面积：大洋洲最，世界第位 4、气候：呈状分布，气候类型多样，以气候 和气候为主 5、人口 ①分布：、人口少，大多数居住 在 ②构成：少量，大部分 是、、、等地移民后裔 6、语言： 7、城市 ①堪培拉：，中心

②悉尼：全国最大的中心和城市，位于此地 ③墨尔本：全国第大城市 三、地形 读图3-49，找出大分水岭，澳大利亚大盆地，西部高原，墨累河，大堡礁，大沙沙漠，维多利亚大沙漠，艾尔湖，艾尔斯巨石，约克角半岛 总体来讲，澳大利亚大陆地势，是世界上地势起伏最的大陆， 分大地形区 ①西部：，占，位于此地 ②中部：，占，最低处，中部平原区是世界上最的内流盆地之一，该地被称为，自流井水盐度较高，不宜灌溉，可做饮用水 ③东部：，占，北起东北部，南至西南部，有一系列狭长山脉、谷地交错组成了弧形地带，成 为地区，澳大利亚最大河流河发源于此，在东北部海岸外侧，有世界上最大的珊瑚礁群 四、古老的动物 1、动物：有袋哺乳动物、、，仅存的两种卵生哺乳动物、，珍稀动物有 2、特点：原始性、古老性、独特性 3、具有独特性的原因 长期与其他分离，孤立于海洋中，当地自然条件比 较，动物演化 五、发达的农牧业和工矿业 澳大利亚是南半球经济的资本主义国 家，和是其经济的基础产业 1、农牧业 ①条件 地形：地势，起伏，高原面积，草原 气候：气候广大，气候、气候、气候都有分布 水源：丰富，可做牲畜饮用水 ②现状：是世界上重要的生产国和、输出国，世界上最多的国家之一，有称号 2、工矿业 ①是其重要的经济部门 ②、、开采和出口，在世界占有重要地位 ③二战后，出口总值超过弄畜产品出口总值，被称 为 ④、、、、 、、工业日趋发达，一成为国名经济 的产业 【合作探究】 巴西和大利亚有许多共同点比较下面的常识

参数估计习题参考答案

参数估计习题参考答案 班级： __________ 姓名： ______________ 学号： __________ 得分 ___________ 、单项选择题: 1、关于样本平均数和总体平均数的说法，下列正确的是 （A ）增加 （B ）减小 （C ）不变 （D ）无法确定 4. 某班级学生的年龄是右偏的，均值为 20岁，标准差为4.45.如果 采用重复抽样的方法从该班抽取容量 为100的样本，那么样本均值的分布为 （A ） （A ）均值为20，标准差为0.445的正态分布（B ）均值为20，标准差为4.45的正态分布 （C ）均值为20，标准差为0.445的右偏分布（D ）均值为20，标准差为4.45的右偏分布 5. 区间估计表明的是一个 （B ） （A ）绝对可靠的范围 （B ）可能的范围 （C ）绝对不可靠的范围 （D ）不可能的范围 6. 在其他条件不变的情形下，未知参数的 1-a 置信区间， （A ） C. a 越小长度越小 D. a 与长度没有关系 7. 甲乙是两个无偏估计量，如果甲估计量的方差小于乙估计量的方差，则称 （D ） （A ）甲是充分估计量 （B ）甲乙一样有效 （C ）乙比甲有效 （D ）甲比乙有效 8. 设总体服从正态分布，方差未知，在样本容量和置信度保持不变的情形下，根据不同的样本值得到总 体均值的置信区间长度将 （D ） （A ）增加 （B ）不变 （C ）减少 （D ）以上都对 9 ?在其他条件不变的前提下，若要求误差范围缩小 1 / 3,则样本容量 （C ） （A ）增加9倍 （B ）增加8倍 （C ）为原来的2.25倍 （D ）增加2.25倍 10设容量为16人的简单随机样本，平均完成工作时间 13分钟，总体服从正态分布且标准差为 若想对完成工作所需时间构造一个 90%置信区间，则 (A ) A.应用标准止态概率表查出 z 值 B.应用 t-分布表查出t 值 C.应用一项分布表查出 p 值 D.应用泊松分布表查出 入值 11. 100(1- a % 是 (C ) A.置信限 B.置信区间 C.置信度 D.可靠因素 12. 参数估计的类型有 (D （A ）点估计和无偏估计（B ）无偏估计和区间估计 （C ）点估计和有效估计（D ）点估计和区间估计 13、抽样方案中关于样本大小的因素，下列说法错误的是 （C ） A 、总体方差大，样本容量也要大 B 、要求的可靠程度高，所需样本容量越大 （A ）前者是一个确定值，后者是随机变量 （B ）前者是随机变量，后者是一个确定值 （C ）两者都是随机变量 （D ）两者都是确定值 2、通常所说的大样本是指样本容量 （A ）大于等于30 （ B ）小于30 （C ）大于等于10 3、从服从正态分布的无限总体中分别抽取容量为 4,16, 36 标准差将 （A ） （D ）小于10 的样本，当样本容量增大时，样本均值的 （B ） A. a 越大长度越小 B. a 越大长度越大 3分钟。

高数第八章

高数第八章

第八章 第一节 向量及其线性运算 重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影 典型题目： 例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。 解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2）， |21M M |= 2 222)(-(1)(-1)++= 2 211=++; COS α=-21,COS β=21 ,COS γ=-2 2 ; α=π32,β=3π,γ=4 3π. 例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求. P OM OA OA rj 方向上的投影在 解：记∠MOA=θ，有COS θ=3 1| || |=OM OA ， θθ 于是OA rj P =|3 a θ||= COS ．

θ 马云赵振 第二节数量积向量积混合积 1.两向量的数量积 a·b=│a││b│cos θ θ为两向量间的角度 （1）a·a=│a│2 （2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率 结合律如下时才成立 (Λa)·b=Λ（a·b） 2.向量积 a·b=│a││b│sin θ （1）b×a=-a×b a×b=0的充分必要条件是a平行于b

（2）满足分配率 结合律如下时才成立 （3）(Λa)×b=a×（Λb ）=Λ（a×b ） 用三阶行列式表示 i j k a×b= │ a x a y a z │ b x b y b z 例题 1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积 解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA =1∕2│c ×b │ i j k c ×b= │ 2 2 2 │ =4i-6j+2k 1 2 4 S ABC =1∕2│4i-6j+2k │= 2222)6(4+-+=14 2.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求

参数估计习题

第八章 参数估计习题 一、 填空题： 1．设总体),(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本，参数2,σμ都是未知的， 则μ的矩估计量为 。2 σ的矩估计量为 。 2．设总体),(~2σμN X ，其中2 σ未知，μ已知，n X X X ,,,21 是来自X 的一个样本， 做样本函数如下①∑=-n i i X n 12)(1μ，②2 1])([∑=-n i i X σμ，③∑=-n i i X X n 12)(1，④ ∑=--n i i X X n 12 )(11，⑤∑=+--n i i i X X n 121)() 1(21，这些样本函数中，是统计量的有 , 统计量中是的无偏估计量的有 。 3．设某总体X 的密度函数为?? ???<<-=其他 ,00, )(2 );(2ααα αx x x f ，对容量为n 的样本， 参数α的矩估计量为 。 4.假设总体)81.0,(~μξN ，n X X X ,,,21 是来自ξ的样本，测得样本均值5=x ，则置 信度是0.99的μ的置信区间是 5．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，对总体方差进行估计时，常用的无偏估计量是 。 6．设总体X 在区间],0[θ上服从均匀分布，则未知参数θ的矩法估计量为 。 二、选择题： 1．设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本，2 )(,)(σμ==x D x E ，并且和是未知参数，下面结论中是错误的[ ]。 （A ）X =1?μ 是μ的无偏估计； （B ）12?X =μ是μ的无偏估计； （C ）21??μμ比有效； （C ）21 )(1∑=-n i i X n μ是2σ的 极大似然估计量。

统计学第七章、第八章课后题答案

统计学复习笔记 第七章 参数估计 一、 思考题 1． 解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2． 简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3． 怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4． 解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量(是随机的)覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5． 简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 2. 样本量n 与置信水平1-α、总体方差、估计误差E 之间的关系为 其中： 2222α2222)(E z n σα=n z E σα2=

应用回归分析,第8章课后习题参考答案

第8章 非线性回归 思考与练习参考答案 8.1 在非线性回归线性化时，对因变量作变换应注意什么问题？ 答：在对非线性回归模型线性化时，对因变量作变换时不仅要注意回归函数的形式， 还要注意误差项的形式。如： (1) 乘性误差项，模型形式为 e y AK L αβε =， (2) 加性误差项，模型形式为 y AK L αβε=+。 对乘法误差项模型（1）可通过两边取对数转化成线性模型，（2）不能线性化。 一般总是假定非线性模型误差项的形式就是能够使回归模型线性化的形式，为了方便通常省去误差项，仅考虑回归函数的形式。 8.2为了研究生产率与废料率之间的关系，记录了如表8.15所示的数据，请画出散点图，根据散点图的趋势拟合适当的回归模型。 表8.15 生产率x （单位/周） 1000 2000 3000 3500 4000 4500 5000 废品率y （%） 5.2 6.5 6.8 8.1 10.2 10.3 13.0 解：先画出散点图如下图： 5000.00 4000.003000.002000.001000.00x 12.00 10.00 8.006.00 y

从散点图大致可以判断出x 和y 之间呈抛物线或指数曲线，由此采用二次方程式和指数函数进行曲线回归。 （1）二次曲线 SPSS 输出结果如下： 从上表可以得到回归方程为：72? 5.8430.087 4.4710y x x -=-+? 由x 的系数检验P 值大于0.05，得到x 的系数未通过显著性检验。 由x 2的系数检验P 值小于0.05，得到x 2的系数通过了显著性检验。 （2）指数曲线

ANOVA .5731.57379.538.000 .0365.007 .6096 Regression Residual Total Sum of Squares df Mean Square F Sig. The independent variable is x. Coe fficients .000.000.9708.918.000 4.003.34811.514.000 x (Constant) B Std. E rror Unstandardized Coefficients Beta Standardized Coefficients t Sig. The dependent variable is ln(y). 从上表可以得到回归方程为：0.0002t ? 4.003 y e 由参数检验P值≈0<0.05，得到回归方程的参数都非常显著。 从R2值，σ的估计值和模型检验统计量F值、t值及拟合图综合考虑，指数拟合效果更好一些。

高数第八章

第八章 第一节 向量及其线性运算 重点：1.方向角与方向余弦 2.向量在轴上的投影 典型题目： 例7.已知两点M 1(2，2，2)和M 2（1.，3，0），计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角。 解：21M M =（1-2，3-2，0-2）=（-1，1，-2）， |21M M |= 2 222)(-(1)(-1)++=2211=++; COS α=- 21,COS β=2 1 ,COS γ=-22; α=π32 ,β=3π,γ=4 3π. 例9.设立方体的一条对角线为OM ，一条棱为OA ，且|OA|=a ，求 .P rj 方向上的投影在 解：记∠MOA=θ，有COS θ= 3 1 ||||=OM OA ， θθ于是OA rj P =|3 a θ||= COS ． θ

马云赵振 第二节数量积向量积混合积 1.两向量的数量积 a·b=│a││b│cos θ θ为两向量间的角度 （1）a·a=│a│2 （2）如果两个向量垂直，那么数量积为0，反之亦然（3）数量积满足交换律，分配率 结合律如下时才成立 (Λa)·b=Λ（a·b） 2.向量积 a·b=│a││b│sin θ （1）b×a=-a×b a×b=0的充分必要条件是a平行于b （2）满足分配率 结合律如下时才成立 （3）(Λa)×b=a×（Λb）=Λ（a×b） 用三阶行列式表示 i j k

a×b= │ a x a y a z │ b x b y b z 例题 1.已知三角形ABC 的顶点分别是A （1,2,3）,B （3,4,5）,C （2,4,7），求三角形的面积 解：S ABC =1∕2│c ││b │sinA =1∕2│c ×b │ i j k c ×b= │ 2 2 2 │ =4i-6j+2k 1 2 4 S ABC =1∕2│4i-6j+2k │= 2222)6(4+-+=14 2.a=3i-j-2k ，b=i+2j-k ，求 3.（-2a ）·（3b ） 4.a 、b 夹角的余弦 解：（1）（-2a ）·（3b ）=-6（a·b ）=18 二、cos=a·b/│a │·│b │=3/221 张浩康 赵奇

高等数学第八章

第八章 向量代数与空间解析几何（数学一） 第一节 向量代数中的若干运算 一、向量的概念 1．定义：既有大小又有方向的量称为向量。 2．坐标形式：),,(z y x a a a a = 3．模与方向余弦：记a 与x 轴、y 轴、z 轴正向的夹角分别为γβα,,，则 222cos z y x x a a a a ++= α，222cos z y x y a a a a ++= β， 222cos z y x z a a a a ++= λ 且方向余弦间满足关系1cos cos cos 2 2 2 =++γβα。 γβα,,描述了向量a 的方向，常称它们为向量的方向角（在0与π之间） 。a 的模可以表示为2 22z y x a a a a ++= 。 向量a 同方向上的单位向量常记为?a 。 二、向量的运算 设三个向量),,(321321a a a k a j a i a a =++= ，),,(321321b b b k b j b i b b =++= ， ),,(321321c c c k c j c i c c =++= ，常数λ。 1．和差：加法 ),,(332211b a b a b a b a +++=+ 减法 ),,(332211b a b a b a b a ---=- 2．数乘：),,(321a a a a λλλλ= 3．数量积 （i ）定义：数???? ????=?b a b a b a ,cos ，称为b a ,为数量积也称点积，记为b a ?。其中 ??? ? ???b a ,为向量b a ,间夹角（在0与π之间） 。 （ii ）性质：①a a a ?=2；②0b a ?表示向量a 在向量b 上的投影，a j b a b Pr 0=?；

2019-2020年七年级地理下册第八章第七节澳大利亚同步测试新版湘教版

2019-2020年七年级地理下册第八章第七节澳大利亚同步测试新版湘教版 一、单选题（共15题；共30分） 1.澳大利亚久负盛名的农牧产品是（） A. 棉花、水稻 B. 黄麻、牛 肉 C. 羊毛、小 麦 D. 咖啡、棉花 2.澳大利亚出口的矿产品和国家的主导产业是( ) A. 黄金和采矿业 B. 石油和服务业 C. 铝土和农牧业 D. 煤炭、铁矿石和服务业 3.世界上唯一独自占有一个大陆的国家是（） A. 澳大利亚 B. 埃 及 C. 印 度 D. 巴西 4.以下动物为澳大利亚特有的是（） A. 鸸鹋 B. 骆驼 C. 蜥 蜴 D. 绵羊 5.关于澳大利亚自西向东的地形组合正确的是（） A. 高原一﹣﹣平原﹣﹣山 地 B. 山地﹣﹣平原﹣﹣高原 C. 高原﹣﹣盆地﹣﹣高 原 D. 山地﹣﹣盆地﹣﹣山地 6.澳大利亚特有物种多，下列物种不属于澳大利亚特有的是（）

A. 鸭嘴兽 B. 袋 鼠 C. 考 拉 D. 长颈鹿 7.关于澳大利亚城市的说法，正确的是（） A. 首都堪培拉是全国最大的工业中心 B. 悉尼是座规划建设的城市，环境优美 C. 墨尔本是全国第二大城 市 D. 西南部的珀斯是全国最大的港口 8.澳大利亚国徽上的两种动物是（） A. 袋鼠、鸸鹋 B. 考拉、琴 鸟 C. 鸸鹋、鸭嘴 兽 D. 鸭嘴兽袋鼠 9.关于澳大利亚叙述正确的是（） A. 有世界上地势起伏最和缓的大陆 B. 是世界是唯一独占有整个大洲的国家 C. 艾尔斯巨石不是澳大利亚著名的风景之一 D. 中部平原区有“大自流盆地”之称，地下水资源贫乏 10.澳大利亚的人口和城市主要分布在（） A. 东北地区 B. 西北地 区 C. 东南沿海地 区 D. 西部内陆地区 11.下列称号与澳大利亚不符的是（） A. 世界活化石博物馆 B. 骑在羊背上的国家 C. 世界活火山博物馆 D. 坐在矿车上的国家 12.家住福州的小明同学计划寒假到澳大利亚旅游,读澳大利亚示意图, 选择该国城市最密集的地区旅游,行程主要集中在 ( )

高等数学下第八章答案

一、单项选择题 1---5 BAD AA 6---10 D CCC A 11---14 BACB 二、填空题 1.9 2.1(1)e π-- 3.π 4.43π- 5.1 6.4(1)e π- 7.23 8.52+e 9. 1ln 22 10. 4 2 a π 11. 1-e 12. ππ+3 13.32 14.2(1)e - 15.1 10d (,)d x x f x y y ?? 16.210d (,)d x x x f x y y ?? 17.4(1)e π- 18.1(1)e π-- 19.4 20. 2π 21.24 22.143π 23.2 4 R π 24.2 25.()10d ,d y e e y f x y x ?? 26.(1)e π- 27.1 28.π 29. 13 30.4π 三、计算题 1.求(2)d D x y σ+??，其中D 是由两坐标轴和直线2x y +=所围成的闭区域. 解 (画图)，原式=4 2.求(34)D x y d σ+??，其中D 是由两坐标轴和直线1x y +=所围成的闭区域. 解 (画图)，原式= 76 3.求2()d d ,D y x x y -??其中D 是由抛物线2y x =及直线1y =所围成的闭区域. 解 (画图)，原式815= 4.求22()d D x y σ+??，其中D 表示圆环区域}21),{(22≤+≤y x y x . 解：原式= 23π. 5.求d D xy σ??，其中D 是直线 2 , 1x y ==及y x =所围成的闭区域. 解：原式= 98. 6.求22()d D x y xy σ++??，其中D 是由直线2,,2y y x y x ===所围成的闭区域. 解：原式=143 .