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18.分数指数幂ppt

18.分数指数幂ppt

• 为了解决上述问题，我们先来探讨分数指数
幂的意义。
根式
• 一般地:如果一个实数x满足xn=a(n>1,且nN*), 则x称为a的n次方根. • 例如： 8的3次方根为 2 ； -243的5次方根为 -3 。 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数 的n次方根是一个负数， 即a的n次实数方根只 有一个，记为 n a 。
a a
n
m n
m
分数指数幂是根式的另一种表现 形式，两者可以进行互化。
正数的负分数指数幂
a 0, m, n N *, n 1
a
m n

1 a
m n

1
n
a
m
规定：0的正分数指数幂等于0。
0的负分数指数幂没有意义。
有理指数幂的运算性质 p 表示 说明：若 a>0 ， p 是一个无理数，则 a 我们规定了分数指数幂的意义以后，指 一个确定的实数 . 上述有理指数幂的运算性 数的概念就从整数指数推广到有理数指 质，对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 数. 上述关于整数指数幂的运算性质，对 范围扩大到实数集 R后，幂的运算性质仍然 于有理指数幂也同样适用，即对任意有 是下述的 条. 理数r，s3 ，均有下面的性质：
说明
4
(2)4 ,
( 3 )2
( a ) a,
n n
n
a a a
n
n为奇数 n为偶数
分数指数幂
( 2 ) 210
5 2

2
10
2 2
5
10 2
(3 ) 3
4 3
12

3
3 34 3
12

分数指数幂与根式(课堂PPT)

分数指数幂与根式(课堂PPT)

4ab0
4a
13
(2)(m4 n8 )8
(m
1 4
)8
(n
3 8
)3
m3 n3
m2 n3
33
题型四
根式运算，先把每个根式用分数 指数幂表示；题目便转化为分数 指数幂的运算。 注意：结果可以用根式表示，也 可以用分数指数幂表示. 但同一 结果中不能既有根式又有分数指 数幂，并且分母中不能含有负分 数指数幂．
40 9
26
小结
注意三点：
1、分数指数幂的概念（与整数指数幂对比，有何 差异，注意不能随意约分）.
2、分数指数幂的运算性质，进而推广到有理数指 数幂的运算性质。
3、根式运算时，先化为指数形式进行运算，原式 为根式的，再将结果化为根式。
27
题型一
将根式转化分数指数幂的形式。（a>0,b>0)
1当有多重根式是，要由里向外层层转化。 2对于有分母的，可以先把分母写成负指数幂。 3要熟悉运算性质。
25 32
x5 11
25 32 x 5 11
结论：当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正 数，负数的n 次方根是一个负数，这时，a的n次方根
只有一个，记为 x n a ．
9
得出结论
22 4 32 9 24 16
x6 12
2 4 3 9
24 16
x 6 12
结论：当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们
互为相反数．正数a的正n次方根用符号 n a 表示；负的
n次方根用符号 n a 表示,它们可以合并写成 n a(a 0) 的形式．
负数没有偶次方根．
10
注意问题
特别注意：0的 n次方根等于0.

1分数指数幂课件

1分数指数幂课件

;
2
（3）（4 3
1
63）-3
3
；（4）（52
ห้องสมุดไป่ตู้
25
31
4）3 .
有理数指数幂计算 的一般步骤：
判断先进行什么运算
运用法则计算
练一练2：学案 巩固练习2
拓展练习
例3 利用幂的运算性质计算： (3 4 2)4
拓展练习
例4 已知 10a
2,10b
4
8
,
求102a
2 3
b的值.
通过今天的学习你有什么收获或疑问？
1
1
或 (123 43)6
123 43 6
解 4 1
12 43 6
1
1
= 123 6 43 6
12
4 3
1 6
11
=122 42
12
1
42
1
= 12 42
1
482
1
=482
判断是什么运算 运用法则计算
练一练1：学案 巩固练习1
例2 计算：
1
11
（1）（8 27）3 ；（2）22 82
答：同底数幂的乘（除）法： a p aq a pq a p aq a pq
幂的乘方： a p q a pq
积的乘方： abp a pb p
a p b
ap bp
(a 0,b 0, p、q为整数）
另外，我们规定：a0 1, a p 1
ap
问4：类似于整数指数幂，你能说说有理数指数幂的运 算性质吗？
21
（1） 53 52 ；
1
（2） 6 3 6 ；
2 1
（3） (8 3 ) 4 ；

分数指数幂PPT课件

分数指数幂PPT课件
阅读分数指数幂，回答以下问题：
（1）分数指数幂是如何定义的；
（2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1 正数的正分数指数幂的意义：
a
m n

n
am
m n
正数的负分数指数幂的意义：
a

1 a
m n
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、
s∈ Q )
（1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
口答：
1、用根式表示下列各式: ( a ＞ 0 )
(1) a
5
1 5
(2) a
4
3 4
(3)
a
5

3 5
(4) a
3

2 3
a
a
3
1 a3
1 a2
2、用分数指数幂表示下列各式： (1)
1 2 3 1 2 3 1 2 1 2
3 2
3
两边平方得x＋x 1 ＝7 ，再平方得x 2 ＋x 2 ＝47 ．代入①式 3(3 1) 2 2 原式＝ ＝ ． 47 3 5
（1）分数指数幂的定义和运算性质
（2）有理数指数幂的定义和运算性质
（3）有理指数幂的运算和化简
(1)100 (3)9
1 2
=10
27
3
(2)8 =4
1 3 (4)( ) 4 =27 81
2 3
3 1 2
(5)2 3
1.5
1 2 3 2.5 5

4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)

4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
6
1
3
(y＜0)；
无理数指数幂：
因为12 = 1 < 2，所以1 < 2；
因为1.12 = 1.21 < 2，所以1 < 1.1 < 2；
因为1.112 = 1.2321 < 2，所以1 < 1.1 < 1.11 < 2；
⋯
从而产生了一串逐渐向 2靠近的数：1, 1.1, 1.11, 1.111, ⋯
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
3
3
5
4 4 ;
3
5
3
7 7 ;
5
2
3
3
a a ;
7
a a .
2
9
9
7
43的5次方根是
3
5
4 ;
75的3次方根是
a2的3次方根是
a9的7次方根是
5
3
7 ;
2
3
a ;
9
7
a .
结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
a b
b a, a b.
解题方法（根式求值）
(1)化简
时,首先明确根指数 n 是奇数还是偶数,然后依据根式
的性质进行化简;化简(
意义,则(
)n 时,关键是明确
是否有意义,只要
)n=a.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注
意字母参数的取值范围,即确定
中a的正负,再结合n的
奇偶性给出正确结果.
有
[跟踪训练一]
1. 化简：
n
(1) x－πn (x＜π，n∈N*)；

《分数指数幂》课件

《分数指数幂》课件
《分数指数幂》ppt课件
目录
• 分数指数幂的定义 • 分数指数幂的运算 • 分数指数幂的应用 • 分数指数幂的扩展知识 • 练习题与答案
01
分数指数幂的定义
分数指数幂的数学定义
分数指数幂的数学定义
对于任意实数a和正整数m、n，a的m/n次方定义为a的m次方根的n次方。即 ，如果b是a的m次方根，那么a^(m/n) = b^n。
3}{2}}$
分数的指数幂应用练习题
总结词
应用分数指数幂解决实际问题
练习题1
已知 $a^{frac{1}{2}} = frac{1}{2}$，求 $a$ 的值。
练习题2
已知 $left(frac{a}{b}right)^{-frac{1}{2}} = frac{1}{3}$，求 $a$ 和 $b$ 的值。
分数指数幂在解决化学问题中的应用
在解决化学问题时，分数指数幂也具有广泛的应用。例如，在计算化学键的强度、研究分子的性质和 行为以及解决化学反应的平衡问题时，使用分数指数幂可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
04
分数指数幂的扩展知识
分数指数幂与整数指数幂的关系
分数指数幂是整数指数幂的扩展，当分数指数的分子大于分母时，相当于整数指 数幂的指数加1；当分子等于分母时，相当于整数指数幂的指数；当分子小于分 母时，相当于整数指数幂的指数减1。
ac{1}{2}}$
感谢您的观看
THANKS
运算规则一
乘法运算。当底数相同时，分 数指数幂相乘等于将指数相加 。即，a^(m/n) * a^(m/n) =
a^(m/n+m/n)。
举例
2^(2/3) * 2^(2/3) = 2^(4/3) 。
运算规则二

指数幂运算课件(人教版)

高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解：2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 6 × 3 ×
1
3 × 12
=2 6 × 3 × 3 × 2 × 3 × =6×2 + ×3++ = 6 × 20 × 3
= 18.
高中数学
总结：
用分数指数幂的情势来表示根式 ，往往会简化根式运算.
36
6
6
125
高中数学
例 1. 求值： （2）2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12.
解 ：提示 ，将根式化为幂ax 情势.
2ξ3 × 33ξ1.5 × 6ξ12 = 2 × 3 × 3 ×
1
3 × 12 .
= 3 × 2 ，12 = ሺ3 × 22 = 3 × 2
公式：a = nξam ，aT ∙ aS = aT +S ， = aT −S .
能产生一列从
1 414，1 4142
于ξ 2的 方 向 1 4 1421， 1
ξ 的数x： 渐逼近 421 3，
高中数学
由此 ， 我们 就能产生一列从 于ξ 2的 方 向逐渐逼 近ξ 的数x
1 4 ， 1 41 ，1 414， 1 4142 1 4 1421， 1 414213，
： 而且 ，2 − 1.96 = 0.04 ，2 − 1.9881 = 0.0119，
T, S ∈ Q .
③ ሺab ሻT = aT ∙ bT ，
常见情势： = aT ∙ a−S = aT −S .
高中数学
例 1. 求值：
−1.5
（1） ቀ25 ቁ ；
36
解 ：提示 ，将−1.5化为分数 ，将25化为幂ax 情势.

n次方根与分数指数幂ppt课件

而已.
（2） 0的指数幂：0的正分数指数幂是0，0的负分数指数
幂没有意义.
（3） 指数概念在引入了分数指数幂概念后 ，指数概念就
实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.
（4）在进行指数幂运算时，应化负指数为正指数，化根
式为分数指数幂，化小数为分数进行运算，这样便于进
行乘、除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的.
③(ab)r=ar·
br(b>0)
④ar÷as=ar－s
r
(5)( ) =
(a>0,b>0,r∈R).
类比推广：实数指数幂
实数指数幂ax(a>0)
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a

a
p
q

q
1
a
p
q

无理数指数幂
为什么负数没有偶
次方根？
构建数学
二、根式运算性质
若n 1且n N , 则 :
①( n a ) n a
注 : n为奇数时, a R; n为偶数时, a 0.
a, n为奇数

②n a n
| a |, n为偶数
2
2 ____
2
3
3
(3 )3 _____
(5)a a
2
12
12
2
( a a 1 ) 2 a 2 a 2 2 25, a 2 a 2 23.
12 2
1
2
1

n次方根与分数指数幂ppt课件

4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
0的n次方根为0.
n 次 方 根 偶次方根
？负数有没有偶次方根？为什么？
负数有没有偶次方根，因为任何实数的偶次方都是非负数.
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数；
偶次方根 2.负数没有偶次方根；
3.0的偶次方根为0．
根式
让我们认识一下这个式子:
2 3
练习2. 用分数指数幂表示下列各式.
1 x
23 x2
34 x2
4 1
4 x3
新课讲授 分数指数幂的运算性质
我们规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整 数指数幂推广到有理数指数幂. 关于整数指数幂的运算性 质，对于有理指数幂也同样适用，即对任意有理数r，s， 均有下面的性质：
(1)aras ars (a 0, r, s Q);
例题讲解
例4 计算下列各式(式中的字母均是正数)
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 );
(2)(m
1 4
n
3 8
)8
.
例4、计算下列各式（式中的字母都是正数）
21
11
15
(1) (2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
(2)(
m
1 4
一般地，如果xn=a，则x 叫做a 的n 次方根，其中n>1，且n∈N*．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，
0的n次方根为0，这时，a的n次方根用符号n a 表示．
5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2. 1.正数的奇次方根是一个正数；
奇次方根 2.负数的奇次方根是一个负数；

分数指数幂和无理数指数幂 PPT


知识探究（二）:有理数指数幂的运算性质
34
思考1: 2 2 2 3 =？一般地 aras(a0,r,sQ) 等于什么？
34
思考2: ( 2 2 ) 3 =？一般地 (ar)s(a0,r,sQ) 等于什么？
2
2
思考3：2 3 3 3 =？一般地 aras(a0,r,sQ)
等于什么？
思考4:一般地 aras(a0,r,sQ)等于什么？
(4) a 2 (a 0)
a 3 a2
小结作业:
1.指数幂的运算性质适应于实数指数幂. 2.对根式的运算，应先化为分数指数幂，再 根据运算性质进行计算，计算结果一般用分 数指数幂表示.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
n＞1)，那么 8 3 表示一个什么数？
3
1 2
,
4
2 5
分别表示什么根式？
思考5:你认为如何规定
a
n m
(a>0,m,n∈N，
且n＞1)的含义？
思考6:怎样理解零的分数指数幂的意义？
2
3
3
思考7: (2)3,(2)2,(2)5 都有意义吗？
n
当 a 0 时，am(m,nN*,n1) 何时无意义？
2.1.1 指数与指数幂的运算
第二课时 分数指数幂和无理数指数幂
问题提出
1.什么叫a的n次方根？
2.设 nN,n1，则 an,a0(a0),an(a0)
的含义分别如何？
3.整数指数幂有哪些运算性质？
设 m, nZ ，则 amanamn；
(am)n amn ；(ab)n an bn .
2
4. 5 3 , 5 2 有意义吗？
分数指数幂和 无理数指数幂
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3 3 1.5 6 12
分析（2）题须把开 方数变形后寻求同底 数幂，然后再计算。
复习 目标 例题 练习 小结 作业
请同学们先练习
补充例题 求值：
分析（1）题须把各项被 开方数变为完全平方形式， 然后再利用根式运算性质。
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
(2)2
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
(2)2 3 3 1.5 6 12
复习 目标 例题 练习 小结 作业
分析
补充例题 求值：
分析（1）题须把各项被 开方数变为完全平方形式， 然后再利用根式运算性质。
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2
(2)2
2、利用凑完全平方形式
3、化小数为分数 4、寻求同底数幂
最后利用有理指数幂运算性质 或根式运算性质来化简、计算
复习 目标 例题 练习 小结 作业
.Ⅲ. 课堂练习一
1、课本P69练习4 计算下列各式：
1 1 3
(1)a 2 a 4 a 8
(2)(
x
1 2
y

1 3
)
6
(3)(
8a 3 27 b 6
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b 3 ) (3a 6b 6 )
直接或间接地寻求同底幂来进行运算是常用的方法
5,3 a,4 b3 ,5 a2 .
（3）求值：
1 2
92 ,64 3 , (
1
1
)5
32
复习 目标 例题 练习 小结 作业
教学目标：
能力训练： 1、掌握根式与分数指数幂的互化。
2、熟练运用有理指数幂运算性质 进行化简、求值。
3、培养学生的数学应用意识。
教学重点： 教学难点：
有理指数幂运算性质运用。 化简求值的技巧。
(1)(3 25 125 ) 4 5
(2)(
a2 (a 0)
a3 a2
分析（2）题须把
根式化成分数指数
幂的形式，再计算。
复习 目标 例题 练习 小结 作业
解题过程
例5:计算下列各式
(1)(3 25 125 ) 4 5
23
1
2131
(53 52 ) 54 53 54 52 54
复习 目标 例题 练习 小结 作业
讲授新课
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(
m
1 4
n

3 8
)8
复习 目标 例题 练习 小结 作业
分析
例4:计算下列各式
分析（1）题可以仿 照单项式乘除法进行， 首先是系数相乘除， 然后是同底数幂相乘 除，并且要注意符号
)8

(n
3 8
)8
m2 n3

m2 n3
复习 目标 例题 练习 小结 作业
讲授新课
例5:计算下列各式
(1)(3 25 125 ) 4 5
a2
(2)
(a 0)
a3 a2
复习 目标 例题 练习 小结 作业
分析
例5:计算下列各式
分析（1）题须把根 式化成分数指数幂的 最简形式，然后计算。
21
31
53 4 52 4
55
512 54
12 55 54 5
复习 目标 例题 练习 小结 作业
解题过程
例5:计算下列各式
a2 (2)(
a3 a2

a2
12
a2 a3
5
a 6 6 a5
2 1 2
a 2 3
复习 目标 例题 练习 小结 作业
讲授新课
补充例题: 求值：
)

1 3
(4)2x
1 3
(
1
1
x3

2
2x 3
)
2
提示 复习 目标 例题 练习 小结 作业
.Ⅲ. 课堂练习二
2、（补充）计算下列各式：
1
(1)16 2

(
1
3
)4
(1)3
16 2
(2)[5 3 ( 4 )0 ]2 15
提示 复习 目标 例题 练习 小结 作业
本节小结
21
11
制作：冯昕萍 潍坊十二中
复习 目标 例题 练习 小结 作业
复习提问（一）
你知 道吗？
分数指数幂概念：
m
a n n am
有理指数幂运算性质：
(1)ar as ars
(a 0, r, s Q)
m
an

1
m
an

n
1 am
(2)(ar )s ars (a 0, r, s Q)
3 3 1.5 6 12
分析（2）题须把被 开方数变形后寻求同 底数幂，然后再计算。
复习 目标 例题 练习 小结 作业
补充:第（1）题解题过程
(1) 5 2 6 7 4 3 6 4 2 ( 3)2 2 3 2 ( 2)2 22 22 3 ( 3)2 22 22 2 ( 2)2 ( 3 2)2 (2 3)2 (2 2)2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 (2 2) 2 2
(a 0, m, n N *, n 1)
(3)(a b)r ar br (a,b 0, r Q)
复习 目标 例题 练习 小结 作业
复习提问（二） 练一练？
（1）用根式表示（a>0)：
1 4 1 3
23 , a 5 ,3 6 , a 4 .
（2）用分数指数幂表示 （a>0,b>0)：
复习 目标 例题 练习 小结 作业
补充:第（2）题解题过程
(2)2 3 3 1.5 6 12

2

1
32

(
3
)
1 3

(3
22ห้องสมุดไป่ตู้
1
)6
2
111 1 11
2 3 3 32 3 6
23 6
复习 目标 例题 练习 小结 作业
变形技巧
1、灵活运用根式与分数 指数幂的互化。
（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
(2)(
m
1 4
n

3 8
)8
分析（2）按积的乘 方计算，再按幂的乘 方计算，待熟练后可
简化计算步骤。
复习 目标 例题 练习 小结 作业
解题过程
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
21
11
15
(1)(2a 3b 2 )(6a 2b3 ) (3a 6b6 )
211 115
[2 (6) (3)]a 3 2 6b 2 3 6
4ab0 4a
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解题过程
例4:计算下列各式（式中字母都是正数）
(2)(
m
1 4
n

3 8
)8

(m
1 4