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分块矩阵的若干性质及其应用

分类号密级

U D C 编号

本科毕业论文(设计)

题目分块矩阵的若干性质及其应用

学院数学与经济学院

专业名称应用统计学

年级

学生姓名

2017 年 4 月

文献综述

一、概述

矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。

二、正文

通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。

现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。

林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。

蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行

列式、证明矩阵的秩、解决矩阵的特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。

利用分块矩阵可以使阶数比较高、比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。

徐天保在《分块矩阵的应用》中，主要证明了分块矩阵在高等代数中的应用，包括用分块矩阵求矩阵的行列式问题，讨论了分块矩阵与秩的关系，用分块矩阵求逆矩阵问题，对分块矩阵的若干性质进行了总结和推广。

胡景明在《分块矩阵在求高阶行列式中的应用》中，介绍了几个利用分块矩阵求解高阶行列式的方法。此方法的主要手段是将高阶行列式通过矩阵分块的方法来达到降阶的目的，从而简化高阶行列式的运算。

这些都是他们关于分块矩阵的性质和应用这个课题探究的理论成果。他们每个人都有自己的研究点和研究方向，他们的研究有他们的优点，同时也有他们的欠缺之处。分块矩阵的若干性质的探究及其矩阵分块不仅是一种解题方

法，更是一种技巧，我们必须掌握并应用于现实生活中，但它的应用范围非常广，远远不止于专家们所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。

三、总结

通过上面对矩阵的历史以及现状的了解，我们发现矩阵还是很容易理解和掌握的。然而，矩阵在实际应用中还会遇到很多问题。在实际生活中，我们的很多问题可以用矩阵抽象的描述出来，但是这些矩阵一般都是高阶矩阵，行数和列数都是一个相当大的数字，因此，我们在计算和证明这些矩阵时，会遇到很多很繁琐的任务。这时，我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好地解决，而分块矩阵能够形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构，从而能充分体现出分块矩阵在代数计算与证明方面所具有的优越性。既然分块矩阵理论的应用如此广泛，因而即使矩阵理论的研究已相当成熟，我们仍有必要深入体会分块矩阵的应用技巧，归纳总结分块矩阵在不同类型题目当中发挥出的巨大应用。

四、参考文献

[1]居余马.线性代数[M].清华大学出版社,1992.

[2]穆大禄，裴惠生.高等代数教程[M].山东大学出版社,1900.

[3]蔡鸣晶.例说分块矩阵的应用[J].南京信息职业技术学院(读与写杂

志),2014.4，11(04);52—53.

[4]林瑾瑜.分块矩阵的若干性质及其应用[J].广东广播电视大学

报,2006,(02):109—112.

[5]张禾瑞，郝鈵新.高等代数（第四版）[M].北京：人民教育出版

社,1995:199—208.

[6]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数[M].北京：高等教育出

版社.2001.

[7]胡景明.分块矩阵在求高阶行列式中应用[J].河北工程技术高等专科学校学

报，2004,(4):50—53.

[8]徐天保.分块矩阵的应用[J].安庆师范学院学报（自然科学版）,2010,(05)：

106—109.

[9]刘红旭.利用分块矩阵求解非齐次线性方程组.辽宁师专学报,2003.6.

[10]乔占科.矩阵分块方法的应用[J].高等数学研究,2010,13(1):89—90.

[11]秦小二.分块矩阵的几种用法[J].数学教学与研究,2007,41 (2) :68—69.

摘要：本文主要探究了高阶矩阵降阶的分块方法、分块矩阵的运算性质、分块矩阵的初等变换以及由分块矩阵的若干性质得出一些推论等，并举例说明了分块矩阵在现实生活中的应用，分析了分块矩阵在求取矩阵的逆、计算行列式，在证明矩阵的秩的性质上的问题以及在求解非齐次线性方程组中的应用。在数学上，矩阵就是由若干个方程所组成的方程组的系数以及常数所构成的方阵，把矩阵用在解线性方程组的问题上，运用起来既方便又直观。分块矩阵的若干性质及其应用又是高等代数中的一个重要的内容，是解决行列式计算问题的一个很重要的工具，不仅仅只是针对行列式得运算，更为重要的是，解决各种数学问题都要会用到它，特别是在处理级数比较高的矩阵时候，将高阶的矩阵分块降阶之后，能使各子矩阵块或者使高阶矩阵的内部各元素之间的关系变得更清晰明了。为解决一些高阶矩阵问题的需要，适当地对高阶矩阵进行分块，从而把一个复杂的矩阵简化成由一些小矩阵块为元素组成，这样就可以使高阶矩阵的结构看得更加清晰，解题的脉络也就更加一目了然，从而使得复杂的高等代数的问题简单化，我们利用矩阵也就更加便捷了。

关键词：分块矩阵初等变换行列式运算性质应用

Abstract: this paper mainly explores the reduced order of high-order matrix partition method, the property of the partitioned matrix operation, the elementary transformation of partitioned matrix and the partitioned matrix of some properties to draw some inferences, etc., and illustrates the partitioned matrix in real life, the application of partitioned matrix is analyzed in calculating matrix inverse, calculating the determinant, the proof of matrix rank on the nature of the problem and its application in solving the non-homogeneous linear equations. In mathematics, the equations of the matrix is composed of a number of equations of coefficients and constants of square, the matrix on the problem of solving linear equations, convenient to use and intuitive. Some properties and applications of partitioned matrix is an important content of higher algebra, is a very important to solve the problem of the determinant calculation tool, not only for determinant computing, even more important, various mathematical problems is to use it, especially in dealing with the matrix series is higher, the high-order matrix block after the order reduction, can make each matrix to block or make high order matrix of the relationship between the internal elements become more clear. For the need to solve the problem of some high order matrix, appropriately to block of high order matrix, thus a complex matrix is simplified into a small matrix for elements, so that you can make the high-order matrix structure more clear, the problem solving context is more obvious, so as to make the complex problem of higher algebra simplification, we make use of the matrix is more convenient.

Keywords: Partitioned matrix elementary transformation The determinant

Operation properties application

1.分块矩阵的概念及性质 (1)

1.1分块矩阵的定义 (1)

1.2分块矩阵常见的分块方法 (1)

1.3分块矩阵的运算性质 (3)

1.3.1分块矩阵的加法 (3)

1.3.2分块矩阵的数量乘法 (3)

1.3.3分块矩阵的乘法 (6)

1.3.4分块矩阵的转置 (3)

1.3.5分块矩阵的初等变换 (7)

2.分块矩阵的应用 (9)

2.1利用分块矩阵求矩阵的逆 (9)

2.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算 (11)

2.3分块矩阵在证明矩阵的秩的性质上的应用 (13)

2.4分块矩阵在矩阵特征值问题中的应用 (15)

2.5分块矩阵在求解非齐次线性方程组上的应用 (17)

3.全文总结 (19)

参考文献 (20)

致谢 (21)

1、分块矩阵的概念及性质

1.1 分块矩阵的定义

定义：把一个m n ?矩阵A ，在矩阵A 行的方向分成s 块，在矩阵A 列的方向分

成t 块，称为矩阵A 的t s ?分块矩阵，记作[]k l s t A A ??=，其中

(1,2,...,;1,2,...,)k l A k s l t ?==称为A 的子矩阵块，它们分别是各种类型的小

矩阵。

例1：将一个四阶矩阵1

10300110004A ??

???

?=??

-??

进行分块（1）用水平和垂直的虚线将矩阵分成以下四块，如下:100

10300110

004A ??

???

?=??

-??

??，如果将这四块分别记成：

11001I ??=????

,20203I ??=????,30000I ??=????,41104I -??=???? 就可以把上面的四阶矩阵换写成由四个小矩阵块所组成的分块矩阵，记作：

4I I A I I ??=?

???,也就是1

240

I I A I ??

=????

，并将此矩阵称作是A 的一个22?的分块矩阵，其中的每一个小矩阵块称为分块矩阵A 的一个子块，这四个小矩阵就分别为A

的四个子块。

1.2 分块矩阵常见的分块方法

除了上面的分块方法，常用的分块方法还有下面的：按行分块、按列分块、按对角线分成对角矩阵，如下: 按行分块:

[]1112112122221212

......,...,1,2,...,..................n n i i i in

m m mn m a a a A a a a A A A a a a i m a a a A ????

????????=

===????

???????

其中

按列分块：

[]11112122122

12.........,,1,2,...,..................j s j

s s j nj n n ns b b b b b b b b B B

B B B j s b b b b ????????????====???????

?????

其中

按对角线分块：

当n 阶矩阵C 中的非零元素均集中在主对角线的附近时，那么，我们可以将高阶矩阵分块成下面的对角块矩阵，又可称为准对角矩阵。

1,;...m i i i

i n c c C r i m r n c =??

???

?==?????

∑其中c 是阶方阵(=1,2,...,)

例2：有一个66?矩阵020000110000001100000120000010000001B ????????-=????????-??

将矩阵B 分块，12

302

00001100000

01-10000012000

001

0-1B B B B ????????????==?

???????

????????

， []1231-1002==012=-111001B B B ??

??????????????其中，，矩阵分块的好处有：

（1）分块矩阵能够使得高阶矩阵通过矩阵分块降阶，从而使得矩阵的结构显得

更加清楚，如上面的矩阵（1）中，A 的左上角是一个3阶单位矩阵，而左下角则是一个2阶零矩阵。

（2）可以通过对小矩阵的运算从而进行对分块矩阵的运算，把高阶矩阵的运算

过程转化为低阶矩阵的运算进而得到分块矩阵的运算结果。实质上，高阶矩阵的分块目的就在于简化矩阵，使得高阶矩阵运算变得简便。

1.3 分块矩阵的运算性质

以上已经对矩阵的分块方法进行了探究，下文将对分块矩阵的运算性质进行研究，包括分块矩阵的加法、乘法、数量乘法、转置以及初等变换等。 1.3.1分块矩阵的加法

假设A 、B 均是m n ?矩阵，并且用相同的分块方法对A 、B 矩阵进行分块：

1112111

12121

222212221

2............,..............................s s s s t t ts t t ts A A A B B B A A A B B B A B A A A B B B ????

????????==????

???

????

其中各子块ij A 和(1,2,...,;1,2,...,)ij B i t j s ==都是i j m n ?矩阵，即ij A 和ij B 是同型

矩阵，那么就有111112121121

2222

2211

.....................s s s s t t t t ts ts A B A B A B A B

A B A B A B A B A B A B +++????+++??+=??

+++??

1.3.2分块矩阵的数量乘法

假设有矩阵A 是m n ?矩阵，将A 矩阵进行分块，得到分块矩阵

111212122212.....................s s t t ts A A A A A A A A A A ?????

?=??????，再根据以上（1）中分块矩阵的加法，可以得到 11121111212122221222121

2..........................................s s s s t t ts t t ts A A A aA aA aA A A A aA aA aA aA a A A A aA aA aA ????

?????

???==????????????，即有1112121

212

.....................s s t t ts aA aA aA aA aA

aA aA aA aA aA ??????=??

1.3.3分块矩阵的乘法

本文试着探究分块矩阵的乘法的应用规则是将分块矩阵的每一个子块看成一个元素，从而将分块矩阵看成以数作为元素的矩阵，从而进行乘法运算。

那么，我们假设A 为m n ?矩阵，B 为n l ?,矩阵，分别对矩阵A ，B 作如下矩阵分块：

1112121

22212.....................t t s s st A A A A A A A A A A ??????=??

????，而11

121212221

2.....................r r t t tr B B B B B B B B B B ??????=??

(1) 则有1112111

1211112

121

22221

2222122

212

.................................

...............

...............t r r t r r s s st t t tr s s sr A A A B B B C C C A A A B B B C C C A B A A A B B B C C C ?????????????

??????=?=??????

???

??????

其中,(1,2,...,;1,2,...,)t

ik kj k i C A B i s j r ====∑ (2)

例3：有m l ?矩阵C ，将其进行分块得到11121212221

2.....................r r s s sr C C C C C C C C C C ??

????=??????,请证明将C 的每一个子矩阵块均看作数，从而将C 看作以数作为元素的低阶矩阵，存在m n ?的A 矩阵和n l ?的B 矩阵 ,使得C AB =.

证明：首先，AB 是一个m l ?矩阵，根据（1）式中的分块矩阵A 、B 以及（2）

式，则ij C (1,2,...,;1,2,...,)i s j r ==≠为i j m l ?矩阵，而且有

12...s m m m m +++=； 12...r l l l l +++=

故将C 看作是以数作为元素的低阶矩阵，同时可称作m l ?矩阵；

再者，C 的(i,j)元g ij 必定位于分块矩阵pq C (1,2,...,;1,2,...,)p s q r ==的某一个子块之中，可以设g ij 是pq C 的(i ,j )''元素，则有：

121...p i m m m i -'=++++1p i m '≤≤

121...q j l l l j -'=++++1q j l '≤≤（3）

而由（2）式可以得到:

1122...pq p q p q pt tq C A B A B A B =+++

可以知道(1,2,...,;1,2,...,)pq C p s q r ==的(i ,j )''元应该是12,,...,p p pt A A A 的第i '行分别和12,,...,q q tp B B B 的第j '列的对应元素乘积之和。由（3）式可以知道，

(1,2,...,)pk A k t =的第i '行元素是位于A 中的第i 行，(1,2,...,)kp B k t =的第j '列是位于B 中的第j 列，由（1）式中对A B 、的分块方法，可以得到

12112

121

...1

11 (1)

g =+

+...+

t t n n n n n n n

ij ik kj ik kj

ik kj ik kj k k n k n n n k a b a b

a b a b -++++==+=++++==∑∑∑∑

其中(1,2,...,;1,2,...,)i s j r ==；

从而可以说明矩阵C 的(,)i j 元素是恰好等于矩阵AB 的(,)i j 元素，以上两点足以证明了C AB =

为检验以上探究的结论是否正确，举下例检验结论；

例4：假设有矩阵10

025010320

0116000200

002A ????-?

???=-????????，1

34123412340

0100

1a a a a b b b b B c c c c ????????=?

???????

首先对矩阵A 进行分块，3

121

025010320

01160

2000200

002I

A A I ????-?

???

??==-?

?????

??????

其中3I 为三阶单位矩阵，2I 为二阶单位矩阵，且1253216A ??

??=-????-??

,0000000??=???? 再对对矩阵B 进行分块，1

341

2341

2342000100

1a a a a b b b b B

B B c c c c I ????????

??==??????

??????

其中2I 为二阶单位矩阵，且1234112234123400,,000a a a a B b b B b b c c c c ????

??????===????????????????

计算AB 时依旧按照常用的矩阵乘法法则进行运算，即将A B 、矩阵的各子块看作元素，将A B 、看作是以数作为元素的矩阵，于是有：

2220

I A B B AB I I ????=?????????311321212222002002I B A I B A I B I B I I ++??=??++??1

21202B B A I +??

=????

12341234123425321600200

02a a a a b b b b c c c c ++??

??+-????=-+??

??????

而按照矩阵乘法法则直接计算得到：

341

2341

0252501032320

01161600020001000200

0020

02a a a a a a a a b b b b b b b b AB c c c c c c c c ++????????????-+-????????????=?=--+???

???

??????????????????

；

根据以上计算结果一致，从而验证了分块矩阵的乘法性质与通常的矩阵的乘法性质一致。

从上例中可以看到矩阵A 和B 分块方法是一致的，也就是说分块矩阵的乘法运算需要遵守一定的规则。值得注意的是：

①分块矩阵A 的列的组数应该等于分块矩阵B 的行的组数；

②分块矩阵A 的每个子块的列组所含的列的数目应该等于分块矩阵B 的每个子块相对应的行组所含的行的数目。 1.3.4分块矩阵的转置

我们可以先看一个例子：

例5：设有34?矩阵1234567881a A b ??

??=?????? 解：首先对矩阵A 进行分块

1234567881a A b ??

??=??????

234A A A A ??????=1

231A A A I ??

????

，

其中[][]12341123,,789,1456a A A A A I b ????

=====????

????

先求矩阵A 的转置1

471

472

582

583

6936911A a b a

b ??

?????????

?'==??

???????

???? 而[][]123414725,,8,1369A A a b A A ????

????''''====????????????

即有1

234A A A A A ??

''??'=??'

'??

通过上述实例，我们可以对分块矩阵求转置的规则进行初步总结：

①把分块矩阵A 的每个子矩阵块都看成元素，首先对每一个子矩阵块进行求取转置；

②将分块矩阵A 看成是以数作为元素的矩阵，再进行求取转置。 1.3.5分块矩阵的初等变换

在行列式计算中，我们经常会用到下面三条性质:

(1 )如果某行列式的某行有公因子，那么则可以将公因子提到行列式号外面； (2)把行列式中的某行乘上某一个非零倍数，再加到另一行中去，则行列式的值不变；

(3)把行列式中的某两行的位置互换，那么行列式的值符号要变。

利用矩阵的分块，我们可以把上面行列式的三条性质分别在分块矩阵应用中进行推广。总结相关分块矩阵在行列式计算方面的相关性质，并将其应用在解决某些行列式计算问题上。

分块矩阵的初等变换是用来处理分块矩阵相关问题的重要工具之一。由以上探求的行列式的若干性质，我们大致的可以总结得到分块矩阵的初等行变换的定义（同样，我们由此得出分块矩阵的初等列变换的定义），进而探究分块矩阵的性质，以下三种变换规则便称为分块矩阵的初等行变换：

①用一个行列式不为零的方阵左乘（或右乘）分块矩阵的某一个子块的行；

②把一个子矩阵块的行的p （矩阵）倍（即这个子块的行里每一个小矩阵都要左乘或右乘一个矩阵p ）加到另一个子矩阵块的行上； ③互换两个子块行的位置。

性质1 设分块矩阵A 是由如下分块矩阵组成123123123A A A A B B B C C C ????=??????

其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ?矩阵，且M 是任意一个s 方阵；

对于分块矩阵1

231

3A A A B MB MB MB C C C ???

?=??????

，则有B M A =? 证明：设s E 为s 阶单位矩阵，则有

12312312300000

0000

000

s s E A A A E B M

B B B M A E

C C C E ????????????=?=???????????????????

于是，00

S s s

E B M A E M E A M A E =?=???=? 即有B M A =?，那么结论成立。

性质2 设有分块矩阵A 是由如下分块矩阵组成123123123A A A A B B B C C C ????=??????

其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ?矩阵，且M 是任意一个s 方阵；

对于分块矩阵1

1231

3A A A D B MC B MC B MC C C C ??

??=+++??????

，则有A D = 证明：设s E 为s 阶单位矩阵，则有

1231231231231231230

0000

s s E A A A A A A E B B B B MC B MC B MC E C C C C C C ??????

???????=+++??????????????????

其中s E 为s 阶单位矩阵，对上等式左右两边同时取行列式得到A D = 性质3 设有分块矩阵A 和A '写成如下列形式

1231231231

23123123,A A A B B B A B B B A A A A C C C C C C ????

????'==????????????

其中123123123,,,,,,,,A A A B B B C C C 都是s t ?矩阵，则,,A s A A s ??'=?-??

当为偶数时，当为奇数时

证明：分块矩阵A 可通过分块矩阵A '中的子块123,,B B B 与子块123,,A A A 相应的两行

相互对换而得到，根据行列式的初等变换法则可知，对换行列式的两行，行列式符号相反，故当s 为偶数时，A A '=;当s 为奇数时，A A '=-

因此，由上可知，对于一般的分块矩阵同样也具有类似性质，相关的性质还有待于我们进一步的探寻。值得注意的是：这些性质不仅仅对矩阵的行成立，对矩阵的列也同样成立。

2、分块矩阵的应用

行列式以及行列式的计算是高等代数的一个重要组成部分，在高等代数中常常遇到一些计算高阶行列式的问题，如果直接按照行列式运算法则去计算高阶行列式的话，不但计算量非常大，而且花费时间较多，更糟糕的是极易出现错误。如果将高阶矩阵进行降阶，那么我们可以通过对高阶矩阵进行分块，便可以使高阶矩阵复杂的结构变得清晰明了，从而简化高阶行列式的运算；分块矩阵是矩阵的一种推广，与普通矩阵不同的是，分块矩阵的元素不仅可以是简单的数，也可以是小矩阵块；分块矩阵的引入使矩阵这一重要工具得到更加广泛的应用于实际问题之中，下文主要探究是几种用分块矩阵求取行列式的方法，即分块矩阵在行列式计算和证明问题中的应用。

2.1利用分块矩阵求矩阵的逆

通常，我们在求一个较低阶矩阵的逆矩阵时，一般可以通过求取其伴随矩阵和矩阵行列式进而来求得其逆矩阵。但对于一些高阶矩阵求取逆矩阵时，求取其伴随矩阵和行列式这两个步骤是进行起来是非常复杂的。而如果我们

对高阶矩阵进行适当的分块，并利用分块矩阵的一些性质，求取高阶矩阵的逆矩阵便有可能，这是探求一种使复杂的问题得到更佳的解决办法。

命题1：设A B P C D ??

=??

是一个分块矩阵，其中B 是r 阶方阵，C 是k 阶方阵，当B 与1()C DB A --都是可逆矩阵时，那么P 是可逆矩阵，且有：

11111

1111111()()()()C DB A DB C DB A P B B A C DB A DB B A C DB A -------------??

---=??+---??

，值得注意的是：（1）当0,0,A D B ==与C 都是可逆矩阵，那么就有11

100C P B

---??

=????；

（2）当0,0,A D B C =≠与都是可逆矩阵，那么就有1111

0C DB C P B -----??

-=????

；（3）当0,0,A D B C ≠=与都是可逆矩阵，那么就有11

1110C P B

B A

C -----??

=??-??。例6：设矩阵()0a

b a b c

d c d M ad bc a b a b c

d ????--?

?=+≠??--??--??

的逆矩阵。解：首先将矩阵M 进行分块，令a b A c d ??=??-??，则A A M A A ??

=??

-??

，由0a d b c +≠知A 可逆，则很容易求得逆矩阵1

b A c

a ad bc --??

??+??

，再利用分块矩阵的初等行变换：

1111000110020221

1110022

11002

222A A E A A E A A E

A A E A E E A E E A E

E E A A A E

E E

A A

----??

??????→→??????---??????

????????→→????

????--?????

故有11-1

1112A A M A A ----??

=??-??

所以有-112()a b a

b c d c d M a

b a b ad b

c c

c d ????--??=

--+??--??

2.2利用分块矩阵简化高阶行列式的计算

假设在计算高阶行列式的时候，不进行化简而直接进行繁杂的计算的话，计算量不仅非常大，而且计算极易出错。而如果我们利用矩阵分块的方法将高阶的行列式简化成几个低阶的矩阵块组成的行列式，便可以使矩阵的结构变得更简单，将高阶的行列式简化成低阶行列式，从而达到简化行列式计算的目的。以下有两个已知的结论：

定理1设A B C D 、、、都是n 阶方阵，其中有0A ≠，并且AC CA =，则有：

A B

AD CB C D

=- 证明：由已知条件可知1

A -是存在的，并且AC CA =，用1

CA --乘矩阵A

B C

D ??

???

的第一行后加到矩阵的第二行中去之后得到矩阵：

110A CA B D CA B --??

-??

，从而就有： 111

10A B A CA B A D CA B AD ACA B C D D CA B AD CAA B AD CB

------==-=--=-=- 由上可知，结论得证。

例7：计算行列式3

1122

43410230

114

P =

解：设A B P C D =

，其中31121023,,,24340114A B C D ????????

====????????????????

，由计算可知：

100A =≠，并且AC CA =；

所以31231012611

5324140134518

P AD CB ????????=-=-==????????

???????? 定理2 设分块矩阵A B 、分别为n 阶方阵，则有A B A B A B B A

=+?-

证明：由上述分块矩阵的乘法运算规则可知：

000

n n

n n n E E A B A B

B E E E E B A A B -????????

=????????-+?

???

????，将两边分别取行列式，得到： A B A B A B B A

=+?-。

由上可知，结论得证。

例8：试计算2n 行列式20

00000000000000000000000

n a b a b a b

D b a b a b a ?????

????

=?????

???????

L L L L

L L L L L 的值解：首先将矩阵2000000000000000000000000

n a b a b a b D b a b a b a ?????

????

?=?????

??????

L L L

L L L L L

进行分块，令n m

a a A a ???

??=??????O ，m n

b b A b

??????

?=??????N ，则2n A B D B A = 由定理2得到：()222n

n A B D A B A B a b B A

=+?-=- 由上可见，对于解决一些特殊的高阶行列式的计算问题，可以将高阶行列式进行适当的分块，将高阶行列式进行降阶，会大大地简化高阶行列式的计算。

使用这种简化的方法，不仅可以使得行列式与矩阵这两个非常重要的概念前呼后拥、相互承接，而且还可以使学习者能对分块矩阵加深理解，同时，又能达到对高阶行列式降阶的目的，从而得以计算出高阶行列式的结果。

2.3分块矩阵在证明矩阵秩的性质上的应用

在线性代数的学习中，得知矩阵的秩作为矩阵理论的一个基本概念，在矩阵计算过程中起着非常重要的作用。在涉及矩阵以及矩阵的秩的命题的证明题目时，由于本身的抽象性而使矩阵的秩的问题证明起来感到十分困难，然而，利用矩阵的分块方法可以使这些命题的证明得以简单而直观耳朵解决。通常采用的方法一般有以下两种，一是：利用已知的矩阵作为矩阵的元素来构成矩阵，进而进行命题的证明；二是：将已知高阶矩阵拆分成级数较低的矩阵块，再来证明有关矩阵秩的命题。以下有几个已知的结论；

结论1：设A 为n m ?矩阵，B 为m s ?矩阵，则有：

(AB)R(A),(AB)R(B)((AB)min(R(A),R(B))R R R ≤≤≤即

证明：设有矩阵1112

11112

121

222212221212

......

......,B ......

m s m s n n nm n n ns a a a B B B a a a B B B A a a a B B B ?????????

???==?????

?????

M M O M M M O M 令C AB =，且12,,...,m B B B 表示B 的行向量，12C ,C ,...,C n 表示C 的行向量，则有：

12...(i 1,2,...,)i i i i i im m C a B a B a B n =+++=

即AB 的行向量组应当可以由B 的行向量组线性表示，那么就有()()R AB R B ≤；

同理，可令12,,...,m A A A 表示来A 的列向量，12,,...,S D D D 表示来D 的列向量，则有：

12...(1,2,...,)i i i i i im m D b A b A b A i s =+++=

那么就有()()R AB R A ≤；

伴随矩阵的性质知识讲解

伴随矩阵的性质

编号2009011118 毕业论文（设计）（ 2013 届本科）论文题目：伴随矩阵的性质学院：数学与统计学院专业：数学与应用数学班级：09级本科1班作者姓名：魏瑞继指导教师：俱鹏岳职称：副教授完成日期：2013年 4 月20日

目录陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)

陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。作者签名：二〇一二年十二月二十日

伴随矩阵的性质魏瑞继（陇东学院数学与统计学院甘肃庆阳 745000）摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.

矩阵的分块及应用

矩阵的分块及应用武夷学院毕业设计(论文) 矩阵的分块及应用院系：专业：姓名：学号: 指导教师：职称：完成日期：数学与计算机系计算机科学与技术陈航20073011014 魏耀华教授年月日武夷学院教务处制摘要矩阵分块，就是把一个大矩阵按照一定规则分成小矩阵，它是矩阵运算的一种常用技巧与方法。分块矩阵的理论不但在工程技术和实际生产中有着广泛的应用，而且在线性代数中求矩阵乘积、行列式的值、逆矩阵、矩阵的秩和矩阵的特征根的过程中也起到重要作用。分块矩阵的初等变换则是处理分块矩阵有关问题的重要工具，它在线性代数中有非常广泛的应用。讨论了分块矩阵的概念、分块矩阵的运算、分块矩阵的性质以及分块矩阵的广义初等矩

阵，归纳并提出了分块矩阵的一些应用，这些应用主要涉及到矩阵的秩，逆矩阵，行列式以及矩阵正定和半正定等方面。通过引用了大量的实例说明了对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解。关键词: 分块矩阵；初等变换；计算；逆矩阵；证明。I Abstract Partitioned matrices mean dividing a big matrix into the small matrices according to the certain rule. It is a common technique and method in matrix operation. The theories of partitioned matrices have not only a wide range of applications in engineering and production, but also play an important role to the process for seeking matrix product and the value of determinant and inverse matrix and rank of matrix and the characteristic in linear algebra. Elementary transformation of partitioned matrices is an important tool to deal with the partition matrix. Also, it is

分块矩阵在行列式计算中的应用(1)

矩阵与行列式的关系矩阵是一个有力的数学工具，有着广泛的应用，同时矩阵也是代数特别是线性代数的一个主要研究对象．矩阵的概念和性质都较易掌握，但是对于阶数较大的矩阵的运算则会是一个很繁琐的过程，甚至仅仅依靠矩阵的基本性质很难计算，为了更好的处理这个问题矩阵分块的思想应运而生[]1．行列式在代数学中是一个非常重要、又应用广泛的概念．对行列式的研究重在计算，但由于行列式的计算灵活、技巧性强，尤其是计算高阶行列式往往较为困难．行列式的计算通常要根据行列式的具体特点采用相应的计算方法，有时甚至需要将几种方法交叉运用，而且一题多种解法的情况很多，好的方法能极大降低计算量，因此行列式计算方法往往灵活多变．在解决行列式的某些问题时，对于级数较高的行列式，常采用分块的方法，将行列式分成若干子块，往往可以使行列式的结构清晰，计算简化．本文在广泛阅读文献的基础上，从温习分块矩阵的定义和性质出发，给出了分块矩阵的一些重要结论并予以证明，在此基础上讨论利用分块矩阵计算行列式的方法，并与其他方法相互比较，以此说明分块矩阵在行列式计算中的优势． 1.1 矩阵的定义有时候，我们将一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样[]1．特别在运算中，把这些小矩阵当做数一样来处理．这就是所谓的矩阵的分块．把原矩阵分别按照横竖需要分割成若干小块，每一小块称为矩阵的一个子块或子矩阵，则原矩阵是以这些子块为元素的分块矩阵．这是处理级数较高的矩阵时常用的方法．定义1[]2 设A 是n m ?矩阵，将A 的行分割为r 段，每段分别包含r m m m 21行，将 A 的列分割为s 段，每段包含s m m m 21列，则 ?? ? ? ? ? ? ??=rs r r s s A A A A A A A A A A 21 2222111211 ，就称为分块矩阵，其中ij A 是j i m m ?矩阵（,,,2,1r i =s j ,,2,1 =）．注：分块矩阵的每一行（列）的小矩阵有相同的行（列）数．例如，对矩阵A 分块， = ?? ? ? ? ? ? ? ?-=21010301012102102301A ??? ? ??22211211 A A A A ，其中

矩阵与它伴随矩阵的关系1

矩阵与它伴随矩阵的关系摘要通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .

2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ，那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2-

分块矩阵的性质及其应用【开题报告】

阵的相关计算简单化, 而且还可以用于证明一些与矩阵有关的问题. 分块矩阵应用于矩阵的秩和一些相关矩阵方面的证明问题, 以及求逆矩阵和方阵行列式的计算问题上, 对矩阵进行适当分块可以使高等代数中的许多计算与证明问题迎刃而解, 所以分块矩阵作为高等代数中的一个重要概念, 我们需要透彻的了解分块矩阵, 在此基础上较好地学会在何时应用矩阵分块, 从而研究它的性质及应用是非常必要的. 根据目前国内外对矩阵应用研究的发展, 可以知道矩阵已经广泛应用到线性规划、线性代数、统计分析, 以及组合数学等.在这样的形式下, 必须要求对矩阵有一种科学的处理方式以提高应用效果.本文是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨了分块矩阵在各方面的应用.当前对分块矩阵的应用主要发展到计算和证明两大方面.证明方面: 通过对矩阵的分块证明了有关矩阵秩的定理以及其他线性代数证明问题; 计算方面,本文通过对分块矩阵的性质的研究很好的解决了求矩阵的逆矩阵问题, 求行列式, 求矩阵的秩等问题的新的快捷方式. 二、研究的基本内容, 拟解决的主要问题: 研究的基本内容: 通过学习分块矩阵的相关的几种定义, 掌握分块矩阵的性质, 从而熟练分块矩阵的应用. 解决的主要问题: 1．了解分块矩阵的基本概念. 2．探讨分块对角化的性质. 3．研究分块矩阵的应用. 三、研究步骤、方法及措施: 研究步骤: 1．查阅相关资料, 做好笔记; 2．仔细阅读研究文献资料; 3．在老师指导下, 确定整个论文的思路, 列出论文提纲, 撰写开题报告; 4．翻译英文资料; 5．撰写毕业论文; 6．上交论文初稿; 7．反复修改论文, 修改英文翻译, 撰写文献综述; 8．论文定稿.

伴随矩阵的性质及应用

一．伴随矩阵的定义及符号伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的， 1.代数余子式的定义为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式：在行列式 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。 2.伴随矩阵的定义设ij A 是矩阵 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ?????? ??=?????????? 中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222 2*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ???? ??=?????? 称为A 的伴随矩阵。二．伴随矩阵的性质

1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ??????===?????? 其中d A =。这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。 2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质（1）A 可逆当且仅当* A 可逆。证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知 * A A E A ?= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A A -= 即*11n A A A ??= ? ??? 故*A 0≠，从而*A 可逆（2）1*n A A -=，其中A 是n ?n 矩阵证明：由**AA A A A E ==,知*n A A A = ①.当时，有及，故

分块矩阵及其应用

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的?就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，在实际操作中与其他方法相比，- 般来说,不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是在处理级数较高的矩阵时常用的方法?比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A、C都是n阶矩阵, A B 其中A 0,并且AC CA，则可求得AD BC ;分块矩阵也可以在求解线性 C D 方程组应用? 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利

1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1 分块矩阵的定义矩阵分块 , 就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的 . 就如矩阵的元素（数）一样,特别是在运算中 , 把这些小矩阵当作数一样来处理 . 定义1设A 是一个m n 矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它 A 11 ... 分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即A .... A r1 . 1.2 分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1 加法 A A ij r s ， B B ij r s ，其中 A ij ， B ij 的级数相同， A B A ij B ij r s 1.2.2 数乘 kA 1.2.3 乘法 1.2.4 转置 A A ji s r 1.2.5 分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换: A 1s ... ，其中 A ij 表示的是一个矩阵 . A rs 设 A a ij B mn b ij m n ，用同样的方法对 A,B 进行分块设是任 A a ij mn A ij r s ,k 为任意数，定义分块矩阵 A A ij r s 与 k 的数乘为设 A a ij ,B sn n m 分块为 A A ij nm r l ,B B ij l r ，其中 A ij 是 s i n j 矩阵， B ij 是 n i m j 矩阵，定义分块矩阵A A j rl 和B B ij l r 的乘积为 r C ij A i1 B 1j A i2 B 2j ... A il B lj , i 1,2,...t; j 1,2,3,..., l a ij s n 分块为 A sn A ij r s ，定义分块矩阵 A A ij r s 的转置为 rs

浅析分块矩阵的性质和应用[1]讲解

浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆 Tentative Analysis of Properties and Applications of Block Matrices Author Name：Zhou Tian Class 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Science of Henan Polytechnic University School Summary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices. Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix

分块矩阵乘法的例子

分块矩阵乘法的例子例 1 用分块法计算,AB 其中 00 51 2414 21,5 31001200 2 0-???? ? ?== ? ? ? ?-? ?? ? A B . 解 B A,如上分块， ???? ??=2221 1211 A A A A A ， ??? ? ??=2322 21 131211 B B B B B B B ，其中 111221224 21(0,0),(5), ,,0 12????==== ? ?-?? ?? A A A A ()()()0,20,0,01,1342,51232221131211===??? ? ??-=???? ??=???? ??=B B B B B B ；令==C AB ??? ? ??232221 131211 C C C C C C ，其中 =+=2112111111B A B A C )0()0)(5(51)00(=+??? ? ??， =+=2212121112B A B A C )00(()()()1002051342=+???? ??， =+=2312131113B A B A C )0()0)(5(01)00(=+???? ??-， =+=2122112121B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ?????? ??-514)0(21511024， =+=2222122122B A B A C ???? ??-=???? ??+???? ?????? ??-332014)20(2113421024， =+=2322132123B A B A C ??? ? ??-=???? ??+???? ??-???? ??-04)0(21011024.

浅谈分块矩阵的性质及应用

浅谈分块矩阵的性质及应用摘要：本文主要谈及分快矩阵的思想在线性代数的证明。解线性方程组，矩阵得知逆及矩阵的逆，和初等变换中的应用。关键词：分块矩阵；线性方程组；矩阵的秩及矩阵的逆；初等变换 On the nature of block matrix and its application Abstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key word s: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩阵得分快是处理问题的一重要方法，把一个告诫矩阵分成若干个地界矩阵，在运算中把低阶矩阵当作数一样处理，这样高阶矩阵就化作低阶矩阵，长能使我们迅速接近问题的本质，从而达到解决问题的目的，使解题更简洁，思路更开阔，因此本文主要谈及分块矩阵再求行列式的值，解线性方程组，求矩阵的秩及逆等方面的应用。 1.预备知识：分块矩阵的定义：将分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的子块，一子块为元素的形式上的矩阵成为分块矩阵。分块矩阵的运算：

1.2.1分块矩阵的加法：设分块矩阵 A 与 B 的行数相同，列数相同，采用相同的得分块法，有 A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ，1111n m mn B B B B B ?? ?= ? ??? K M O M L 其中ij A 与ij B 的行数相同，列数相同，那么A+B=111111111n n m m n mn A B A B A B A B ++?? ? ? ?++?? K M O M L 1.2.2分块矩阵与数的乘法： A=1111n m mn A A A A ?? ? ? ???K M O M L ,1111n m mn A A A A A λλλλλ?? ? = ? ??? K M O M L 1.2.3设A 为m l ?矩阵，B 为l n ?矩阵，分块成 1111111 1 t r s st t tr A A B B A B A A B B ???? ? ?== ? ? ? ????? K K M O M M O M L L 其中1i A ，2i A ……，it A 的列数分别等于1j B ，2j B ……，tj B 的行数，那么 1111 r s sr C C AB C C ?? ? = ? ??? K M O M L ，其中1 t ij ik ik k C A B ==∑(i=1……s ；j=1，……，r) 1.2.4设1111 t s st A A A A A ?? ? = ? ???K M O M L ，则1111T T t T T T s st A A A A A ?? ?= ? ?? ? K M O M L 2. 分块矩阵的性质及应用：分块矩阵的性质：设A 为n 阶矩阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即

分块矩阵的应用研究

1引言在数学名词中，矩阵（英文名Matrix ）是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据.这个定义很好的解释了Matrix 代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上，矩阵就是方程组的系数及常数所构成的方阵.把它用在解线性方程组上既方便，又直观.例如对于方程组我们可以构成一个矩阵因为这些数字是有规则的排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来.数学上，一个*m n 矩阵乃一个m 行n 列的矩形阵列.矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成. 矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常用于很多学科中.如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等.在实际生活中有许多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛况表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算的证明中则会是一个很繁琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解决，矩阵分块的思想由此产生，对级数较高矩阵的处理是矩阵的相关内容中重要的一部分，分块矩阵形象的揭示了一个复杂或是特殊矩阵的内部本质结构.本文即是通过查阅相关文献和学习相关知识后总结并探讨分块矩阵在各方面的应用，以计算和证明两大方面为主. 在已有的相关文件中，分块矩阵的一些应用如下：（1）从行列式的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明中的应用. （2）分块矩阵在线性代数中是一个基本工具，研究许多问题都需要它.借助分块矩阵的初等变换可以发现分块矩阵在计算行列式、求逆矩阵及矩阵秩方面的应用. 如：设A B M C D ??=???? 是一个四分块n 阶矩阵，其中A 、B 、C 、D 分别是,r r ?(),r n r ?-(),n r r -?()n r -?()n r -阶矩阵，若A 可逆，可证M =AD - 1CA B -，另若D 可逆，则可证得1M D BD C -=-.

伴随矩阵的若干性质及应用

伴随矩阵的若干性质及应用摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词矩阵伴随矩阵特征值引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ；例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A .

例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ，求*A 的逆矩阵. ㈠解因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ，而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A .

浅谈伴随矩阵的性质及其应用【开题报告】

开题报告数学与应用数学浅谈伴随矩阵的性质及其应用一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的根据和意义矩阵是代数学的一个主要研究对象, 是数学中最重要的基本概念之一, 也是数学研究及应用的一个重要工具. 矩阵这一概念自19世纪英国数学家凯利首先提出以后, 就形成了矩阵代数这一系统理论, 而且还广泛应用于实际生活. 把现实世界中的实际问题抽象成数学模型, 求出模型的解, 验证模型的合理性后, 用它的解来解释现实问题, 这其中要用到许多的数学知识, 而矩阵作为一种认识复杂问题的简捷的数学工具, 在数学模型中具有重要的作用, 如在各循环赛中常用的赛况表格、国民经济的数学问题等. 矩阵可以分为很多类, 有初等矩阵、分块矩阵、幂等矩阵、伴随矩阵等, 在不同的矩阵类型中近几年来分别取得了不同的成果与进展. 而伴随矩阵作为矩阵中较特殊的一类, 其理论与应用有自身的特点, 它是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念, 是许多数学分支研究的重要工具. 在线性代数的解题方面, 灵活地运用这些伴随矩阵的性质有效地解决了线性代数中的问题, 且它有助于拓宽解决线性代数问题的思路. 比如, 矩阵间一些关系的证明, 求矩阵的逆, 一些复合矩阵的行列式等. 运用伴随矩阵的性质还可以用来解决一些复杂的问题. 比如, 用伴随矩阵的性质: I A A A AA ==**可以解决《美国数学月刊》上的E3227号问题(注: 若A 和B 为n 阶矩阵, 存在非零向量x 和向量y , 使得0=Ax , Bx Ay =. 设i A 为A 中第i 列被B 中的第i 列替换后所得到的矩阵,证明01=∑=n i i A ). 现今不仅专业研究伴随矩阵的数学工作者愈加众多, 而且量子力学、刚体力学、流体力学、自动控制等各个学科或尖端技术领域内的研究工作者也都以它为必需的工具. 如蔡建乐提出了用特征矩阵的伴随矩阵求惯量主轴的代数方法, 这有利于刚体力学的发展, 体现伴随矩阵的物理意义. 正因为它有如此重要的作用, 古今中外对其研究颇多, 并且得到了许多重要的成果. 如杨闻起探讨了伴随矩阵在对称、反对称、正定、半正定、正交、相似和特征值等方面的性质; 王航平也在伴随矩阵的定义与基本性质的基础上, 探讨了伴随矩阵的运算性质, 特别研究了

伴随矩阵的性质及其应用

伴随矩阵的性质及其应用摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出

分块矩阵的应用论文

分块矩阵的应用引言矩阵作为数学工具之一有其重要的实用价值，它常见于很多学科中，如：线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等，在实际生活中，很多问题都可以借用矩阵抽象出来进行表述并进行运算，如在各循环赛中常用的赛格表格等，矩阵的概念和性质相对矩阵的运算较容易理解和掌握，对于矩阵的运算和应用，则有很多的问题值得我们去研究，其中当矩阵的行数和列数都相当大时，矩阵的计算和证明中会是很烦琐的过程，因此这时我们得有一个新的矩阵处理工具，来使这些问题得到更好的解释，矩阵分块的思想由此产生. 矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理.把矩阵分块运算有许多方便之处.因为在分块之后,矩阵间的相互关系可以看得更清楚,在实际操作中与其他方法相比,一般来说,不仅非常简洁,而且方法也很统一,具有较大的优越性,是在处理级数较高的矩阵时常用的方法.比如，从行列式的性质出发，可以推导出分块矩阵的若干性质，并可以利用这些性质在行列式计算和证明中的应用分块矩阵；也可以借助分块矩阵的初等变换求逆矩阵及矩阵的秩等；再如利用分块矩阵求高阶行列式，如设A 、C 都是n 阶矩阵，其中0A ≠，并且AC CA =，则可求得A B AD BC C D =-；分块矩阵也可以在求解线性方程组应用. 本文将通过对分块矩阵性质的研究，比较系统的总结讨论分块矩阵在计算和证明方面的应用，从而确认分块矩阵为处理很多代数问题带来很大的便利.

1 分块矩阵的定义及相关运算性质 1.1分块矩阵的定义矩阵分块,就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的.就如矩阵的元素(数) 一样,特别是在运算中,把这些小矩阵当作数一样来处理. 定义1设A 是一个m n ?矩阵，若用若干横线条将它分成r 块，再用若干纵线条将它分成s 块，于是有rs 块的分块矩阵，即1111...............s r rs A A A A A ???? =?????? ，其中ij A 表示的是一个矩阵. 1.2分块矩阵的相关运算性质 1. 2.1加法设() ij m n A a ?=() ij m n B b ?=，用同样的方法对,A B 进行分块 () ij r s A A ?=，() ij r s B B ?=，其中ij A ，ij B 的级数相同，则 ()ij ij r s A B A B ?+=+. 1.2.2数乘设是任() () ,ij ij m n r s A a A k ??==为任意数，定义分块矩阵() ij r s A A ?=与k 的数乘为 () ij r s kA kA ?= 1.2.3乘法设() () ,ij ij s n n m A a B b ??==分块为()(),ij ij r l l r A A B B ??==，其中ij A 是i j s n ?矩阵，ij B 是 i j n m ?矩阵，定义分块矩阵() ij r l A A ?=和()ij l r B B ?=的乘积为 () 1122...,1,2,...;1,2,3,...,ij i j i j il lj C A B A B A B i t j l =+++==.、 1.2.4转置设() ij s n A a ?=分块为() ij r s A A ?=，定义分块矩阵() ij r s A A ?=的转置为 () ji s r A A ?''= 1.2.5分块矩阵的初等变换分块矩阵A 的下列三种变换称为初等行变换：