分块矩阵的性质及其应用【开题报告】

浅析分块矩阵的性质和应用作者姓名：周甜河南理工大学数学与信息科学学院数学与应用数学专业2007级2班性质1：分块矩阵都是可逆的，且逆矩阵为分块初等矩阵。

性质2：分块单位矩阵经过一次分块矩阵的初等变换后所得到的矩阵仍为分块初等矩阵。

摘要：分块矩阵在高等代数中有着广泛的应用，矩阵的分块运算是矩阵运算的一种重要方法。

本文主要讨论了分块矩阵的运算性质，初等变换，并举例说明和分析了分块矩阵在解决矩阵特征值计算和有关矩阵证明等问题中的应用。

利用分块矩阵可以使阶数比较高，比较复杂的矩阵和抽象矩阵的特征值问题的解决变得简明而清晰。

关键词：分块矩阵行列式特征值初等变换矩阵的逆Tentative Analysis of Properties and Applications of BlockMatricesAuthor Name：Zhou TianClass 2 Grade 2007 of Mathematics and Applied Mathematics of College Mathematics and Information Scienceof Henan Polytechnic University SchoolSummary：Block matrices has a wide use in Advanced Algebra. Operations of block matrices play an important role in the operation of matrices. This paper mainly illustrates the operation properties and the elementary transformations of block matrices. Several examples are given in the paper to show the applications of block matrices in calculating the eigenvalues of a matrix and proving a subject in connection with matrices. It is convenient to apply block matrices to deal with questions containing matrices with high order and complex appearances and calculating the eigenvalues of abstract matrices.Keywords: block matrices determinant eigenvalues elementary transformation the inverse of a matrix§1引言在高等代数中，矩阵是一项非常重要的内容，也是高等数学的很多分支研究问题的工具。

鞍山师范学院数学系11届学生毕业设计（论文）开题报告课题名称：浅谈分块矩阵的性质及应用学生姓名：李超专业：数学与应用数学班级：11级1班学号：110113指导教师：赵丹15年01月17日一、选题意义1．理论意义在处理级数较高的矩阵时，常用到这样一种方法：把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当做数一样处理，这就是矩阵的分块。

分块矩阵在高等代数中具有很重要的应用，学术界对分块矩阵的研究已逐渐成熟，对某些问题的研究也比较深入。

分块矩阵作为高阶矩阵或结构特殊矩阵的处理工具，它的产生使得代数学中的其他知识点的联系构建了桥梁，恰当利用分块矩阵可使问题变得简单而明了。

其应用也相当广泛，如利用分块矩阵计算矩阵的行列式、求可逆矩阵的逆矩阵、证明矩阵秩的一些性质、解决方程组意义等。

2.实际意义传统的高等代数教学中，关于分块矩阵的应用并没有全面的归纳总结，很多教程都只是简单的距离了某几个应用而已，因此对矩阵的分块技巧及其应用的总结归纳，就显得比较具有现实意义。

因为通过这些归纳总结，学生在学习时就能更加轻松牢固地掌握它，使他们从中体会到在解决问题使用创新的方法所带来的乐趣，进而激发他们的求知欲。

二、论文综述1、理论的渊源及演进过程矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数构成的方阵。

矩阵分块，就是把一个大矩阵看成是由一些小矩阵组成的。

就如矩阵的元素(数)一样，特别是在运算中，把这些小矩阵当作数一样来处理。

把矩阵分块进行运算有许多方便之处。

因为在分块之后，矩阵间的相互关系可以看得更清楚，不仅非常简洁，而且方法也很统一，具有较大的优越性，是处理级数较高的矩阵时常用的方法。

分块矩阵是处理矩阵问题的重要技巧。

分块矩阵思想来源于对矩阵运算复杂度及存储空间的考虑。

特别当矩阵太大不适合存储在计算机内存中的时候，通过分块矩阵允许计算机每次只处理存储在内存中几个子矩阵，支持向量传输结构的向量计算机能够更加高效地运行支持分块矩阵的矩阵算法。

毕业论文开题报告信息与计算科学浅析分块矩阵的应用一、选题的背景、意义1、选题的背景矩阵（Matrix）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方。

在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

矩阵概念在生产实践中也有许多应用，比如矩阵图法以及保护个人帐号的矩阵卡系统（有深圳网域提出）等等。

“矩阵”的本意也常被应用，比如监控系统中负责对前端视频源与控制线切换控制的模拟设备也叫矩阵。

[4]矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。

对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。

这些运算会使许多问题化繁为简。

[2]2、选题的意义矩阵理论是经典数学的基础，也是实用性最强的数学分支之一，是处理大量有限维空间形式与数学关系的强有力的工具.矩阵理论在系统科学、优化方法、控制论、图论、稳定性理论等众多领域中都有广泛的应用.计算机的普及进一步促进了矩阵理论的发展.为了便于分析和计算，根据矩阵的特点和实际运算的需要，用若干条位于行与行之间的横线及若干条位于列与列之间的纵线将矩阵分成若干小矩阵，以子块为元素形式的矩阵称为分块矩阵。

对于分块矩阵可以定义类似于普通矩阵的运算。

这些运算会使许多问题化繁为简。

[2]分块矩阵是一个矩阵，它是把矩阵分别按照横竖分割成一些小的子矩阵。

然后把每个小矩阵看成一个元素。

由矩阵A 的若干行、若干列的交叉位置元素按原来顺序排成的矩阵称为A 的一个子矩阵。

把一个矩阵A 的行分成若干组，列也分成若干组，从而A 被分成若干个子矩阵，把A 看成是由这些子矩阵组成的，这称为矩阵的分块，这种由子矩阵组成的矩阵称为分块矩阵。

开题报告数学与应用数学关于循环分块矩阵计算及其应用一、选题的背景与意义在现在的生产生活中，矩阵这一数学工具一直发挥着自己的作用。

简单的我们平时通过列表来分析数据，复杂的我们同样也利用矩阵来处理计算机的图像。

尽管他被广泛使用，并且其作用巨大。

但是我们对矩阵的认识并不完善，也正因为如此，国内外数学家对矩阵这一方面的内容的研究从没有停止过。

这也使得矩阵的结构越来越庞杂。

而其中的循环矩阵，也在很多领域都有着广泛的应用，如在编码理论，数理统计，理论物理，固态物理，结构计算，分子轨道理论，数学图象处理等方面应用很广。

而循环矩阵的逆特征值问题，在力学振动系统设计，分子结构理论，线性多变量控制理论及数值分析等领域中也经常出现。

因此，自1950年提出循环矩阵的概念以来，许多数学工作者对它进行了大量研究，得出很多成果。

目前由于循环矩阵的理论还不是很完善，而在实际生活中许多的数学模型是有关循环矩阵的，数学工作者对循环矩阵的研究仍在继续着。

因此，我也对循环矩阵做了进一步的学习和理解，并决定从循环分块矩阵入手，做一些相关的研究、整理，找到一些好的方法去求解分块循环矩阵的线性方程。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1.分块矩阵及其性质。

1.1分块矩阵。

1.1.1分块矩阵的定义。

1.1.2分块矩阵的运算规则。

1.2.分块矩阵的性质及其推论。

2.循环分块矩阵性质及其求解。

2.1循环分块矩阵。

2.1.1循环矩阵定义。

2.1.2循环分块矩阵的定义。

2.1.3循环分块矩阵的性质及其推导过程。

2.2循环分块矩阵线性方程求解。

2008,24（4）:122-126[8]Davis P. Circulant matrices[M].New York: Wiley,1979.[9]Blahut R E. Fast Algorithm for Digltal Signal Processing. Addison-Wesley Reading,Mass,1984[10]Horowity E. A Fast Method for Interpolation Using Preconditioning. Information Processing Letter Vol.1,1972,157-163。

分块法求矩阵开题报告分块法求矩阵开题报告一、引言矩阵是线性代数中非常重要的概念，它在各个领域中都有广泛的应用。

而求解矩阵的问题一直是一个热门的研究方向。

本文将介绍一种求解矩阵的方法——分块法。

二、分块法的基本原理分块法是一种将大规模的矩阵分解成多个较小规模矩阵的方法。

通过将矩阵按照一定的规则进行分块，可以简化矩阵运算的复杂度，提高计算效率。

分块法的基本原理是将矩阵划分为多个子矩阵，然后利用这些子矩阵之间的关系来求解原始矩阵。

三、分块法的应用1. 线性方程组的求解分块法在求解线性方程组时发挥了重要作用。

通过将系数矩阵和常数向量分块，可以将大规模的线性方程组转化为多个较小规模的子方程组。

然后，通过求解这些子方程组，最终得到原始线性方程组的解。

2. 特征值和特征向量的计算求解矩阵的特征值和特征向量是许多科学和工程问题中常见的任务。

分块法可以将大规模的特征值问题转化为多个较小规模的子问题。

通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的特征值和特征向量。

3. 矩阵的乘法和逆矩阵的计算矩阵的乘法和逆矩阵的计算是线性代数中常见的操作。

利用分块法，可以将大规模的矩阵乘法和逆矩阵的计算转化为多个较小规模的矩阵操作。

通过求解这些子问题，可以得到原始矩阵的乘积和逆矩阵。

四、分块法的优势和挑战1. 优势分块法可以将大规模的矩阵问题转化为多个较小规模的子问题，从而简化了计算的复杂度。

通过合理地选择分块方式，可以充分利用矩阵的结构特点，提高计算效率。

2. 挑战分块法在实际应用中面临一些挑战。

首先，选择合适的分块方式是一个关键问题。

不同的分块方式可能会导致不同的计算效果。

其次，分块法需要处理子矩阵之间的边界问题，这对于算法的实现和优化提出了一定的要求。

五、总结分块法是一种求解矩阵的方法，通过将矩阵分解为多个较小规模的子矩阵，可以简化计算的复杂度，提高计算效率。

分块法在线性方程组的求解、特征值和特征向量的计算以及矩阵的乘法和逆矩阵的计算等方面有广泛的应用。

分块矩阵开题报告引言分块矩阵算法是一种在计算机科学和数学领域用于处理大规模矩阵的算法。

在许多应用中，如图像处理、机器学习和科学计算等领域，矩阵操作是非常常见的。

然而，当面对大规模矩阵时，传统的算法可能面临内存不足、计算速度慢等问题。

分块矩阵算法可以通过将大规模矩阵划分为多个小块，并进行并行计算，从而提高计算效率和降低内存占用。

目标本文旨在探讨分块矩阵算法在大规模矩阵处理中的应用，并对其性能进行评估和分析。

具体目标如下： - 研究分块矩阵算法的基本原理和基础知识； - 探讨分块矩阵算法在不同应用领域的应用情况； - 分析分块矩阵算法在大规模矩阵处理中的性能表现，并与传统算法进行对比； - 提出进一步优化分块矩阵算法的可能方法。

方法本文将通过以下步骤来完成对分块矩阵算法的研究和评估： 1. 收集和整理分块矩阵算法的相关文献和资料，了解其基本原理和应用情况； 2. 分析分块矩阵算法在不同应用领域的具体应用案例； 3. 设计实验证明分块矩阵算法的性能，包括计算时间、内存占用等方面的指标； 4. 对比分块矩阵算法与传统算法在性能上的差异； 5. 提出针对分块矩阵算法的优化方法，并进行实验验证。

预期结果通过本文的研究，预期可以得出以下结论： 1. 分块矩阵算法在大规模矩阵处理中具有较高的计算效率和较低的内存占用； 2. 分块矩阵算法在不同应用领域的性能表现存在差异； 3. 分块矩阵算法与传统算法在性能上存在一定的优劣势； 4. 可以通过优化算法和并行计算等方法进一步提升分块矩阵算法的性能。

计划和进度本文的计划和进度如下： 1. 收集和整理相关文献和资料（2天）； 2. 阅读和理解分块矩阵算法的基本原理和知识（2天）； 3. 搜索和分析分块矩阵算法在不同应用领域的应用案例（3天）； 4. 设计实验并进行实验验证（5天）； 5. 分析实验结果，撰写开题报告（3天）。

结论本文将通过对分块矩阵算法的研究与评估，探讨其在大规模矩阵处理中的应用和性能表现。

设计（20 届）分块矩阵的初等变换及其应用所在学院专业班级信息与计算科学学生姓名学号指导教师职称完成日期年月摘要：本文介绍了矩阵，分块矩阵的一些基本概念，同时也介绍了分块矩阵的初等变换，分块矩阵的初等变换在一些问题中的相关应用，如利用分块矩阵的初等变换计算矩阵的行列式，求矩阵的逆，在秩问题中的应用，在相似问题中的应用以及在其他方面的应用，用22分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性。

并根据各种的应用给出了大量的例题，充分体现了分块矩阵的初等变换在代数学中所具有一定的优越性。

关键词：分块矩阵；初等变换；行列式；矩阵的逆；应用Elementary block matrix transform and its applicationAbstract：This article introduces some basic concepts of the matrix and partitioned matrix，also introduces the elementary transformation of partitioned matrix and the related application in some problems. For example, using the elementary transformation of partitioned matrix to compute matrix's determinant or get the inverse of a matrix. Also it introduces the application of partitioned matrix in some rank problems, similar problems and other problems, using the 22elementary transformation of partitioned matrix to prove the definiteness of symmetric matrix. According to different kinds of application, it lists a lot of examples, which fully indicate the superiority of partitioned matrix's elementary transformation in algebra.Key words：partitioned matrices; elementary transformation; determinant; the inverse of a matrix; Application目录1 绪论 (1)1.1问题的背景 (1)1.2问题的意义 (1)2 矩阵的介绍 (2)2.1矩阵的概念 (2)2.2矩阵的运算 (4)2.3矩阵的行列式与秩 (6)2.4矩阵的逆 (8)2.5初等矩阵 (8)3 分块矩阵的介绍 (10)3.1分块矩阵的定义 (10)3.2分块矩阵的分类 (10)3.3分块矩阵的运算 (11)3.4分块矩阵的初等变换和分块初等阵 (12)3.5分块方阵的行列式 (15)4 分块矩阵初等变换的相关应用 (18)4.1利用分块矩阵的初等变换计算行列式 (18)4.2利用分块矩阵的初等变换求矩阵的逆 (20)4.3分块矩阵的初等变换在秩问题中的应用 (23)分块矩阵的初等变换证明实对称矩阵的正定性 (25)4.4用224.5分块矩阵的初等变换在相似问题中的应用 (26)结论 (27)致谢 (28)参考文献 (29)1 绪论1.1 问题的背景在数学上，矩阵是指纵横排列的二维数据表格，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。

毕业论文开题报告信息与计算科学分块矩阵的初等变换及其应用一、选题的背景、意义1．选题的背景在数学的矩阵理论中，一个分块矩阵或是分段矩阵就是将矩阵分割出较小的矩形矩阵，这些较小的矩阵就称为区块。

换个方式来说，就是以较小的矩阵组合成一个矩阵。

分块矩阵的分割原则是以水平线和垂直线进行划分。

分块矩阵中，位在同一行（列）的每一个子矩阵，都拥有相同的列数（行数）。

通过将大的矩阵通过分块的方式划分，并将每个分块看做另一个矩阵的元素，这样之后再参与运算，通常可以让计算变得清晰甚至得以大幅简化。

例如，有的大矩阵可以通过分块变为对角矩阵或者是三角矩阵等特殊形式的矩阵。

2．选题的意义矩阵的分块是处理较高阶矩阵时常用的方法，用一些贯穿于矩阵的纵线和横线将矩阵分成若干子块，使得阶数较高的矩阵化为阶数较低的分块矩阵。

在运算中，我们有时把这些子块当作元素一样来处理，从而简化了表示，便于计算。

分块矩阵初等变换是线性代数中重要而基本的运算，它在研究矩阵行列式、特征值、秩等各种性质及求矩阵的逆、解线性代数方程中有着广泛的应用。

因此，如何直接对分块矩阵实行初等变换显得非常重要，本文的目的就是讨论分块矩阵的初等变换及其应用[1]。

二、研究的基本内容与拟解决的主要问题2.1 分块矩阵及其初等变换2.1.1 分块矩阵的定义：将一个分块矩阵A用若干条纵线和横线分成许多块的低阶矩阵，每一块低阶矩阵称为A 的子块。

以子块为元素的矩阵A称为分块矩阵。

我们将单位矩阵E分块：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s r r E E E 000001O ，其中E r 是r i 阶单位矩阵(1<i<s) 称E 为分块单位矩阵[2]。

2.1.2 分块矩阵与广义初等变换[3]分块矩阵可以解释为矩阵中的矩阵,而对这个矩阵进行初等变换, 相应的初等矩阵也要变为可计算的分块矩阵,所进行的变换陈维广义初等变换.其目的在于简化计算和证明.定义 1 矩阵 称为分块矩阵,如果元素A ij 为 阶矩阵,其中m 1+m 2+m 3+…+m r =M 注释：定义规定分块矩阵为与同行的矩阵有相同的行数,位于同列的元素有相同的列数.它们的行数之和构成分块矩阵的行数, 列数之和构成分块矩阵的列数. 分块矩阵的运算满足矩阵的运算定义,由于它的特殊性,故此给出各自的定义.•设 A,B 为两个分块矩阵,则定义它们的加法为 A+B=(A ij + B ij )条件：A,B 为同阶矩阵而且A ij , B ij 也为同阶矩阵.•设 A=(A ij )rxt , B=(B ij )txs 为两个分块矩阵,则定义它们的乘法为A X B=(C ij )其中∑==tj kj ikij B AC 1的列数t 等于B 的行数而且A ij x B ij 也存在.同样地,广义初等变换与广义初等矩阵可简单叙述如下：定义 2 广义初等变换是对分块矩阵进行以下的变换的统称.• 交换矩阵的两行(列)； • 将某行(列)左(右)乘可逆矩阵；•将某行(列)左(右)乘矩阵加到另一行(列)上；定义 3 设E nXn 为分块的单位矩阵,对其进行一次广义初等变换所得到的矩阵称为广义初等矩阵[4].例子 1 广义初等矩阵具体形式⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0000mn n mE E E E , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n mE P E E 0000, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛En Q E E E mn m000 广义初等矩阵(变换)的作用如同一般的初等矩阵(变换),遵守"左行右列"原则. 例子 2 设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A M那么 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛B A D C D C B A EE m n 00, ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D C PB PA D C B A En P 00 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛D QB C QA B A D C B A En Q E m 02.1.3 分块矩阵的初等行（列）变换的定义[5]与普通矩阵的初等行变换类似，分块矩阵也有三种类型的初等行变换：1.把一个块行的左P 倍（P 是矩阵）加到另一个块行上；2.换两个块行的位置；3.用一个可逆矩阵左乘 某一块行。

分块矩阵的原理和应用1. 原理分块矩阵是一种特殊的矩阵结构，将大型矩阵分割成更小的块状矩阵，以便进行更高效的运算和存储。

分块矩阵的原理主要包括以下几个方面：1.1 分块矩阵的定义分块矩阵由多个块状子矩阵组成，每个子矩阵都是相对较小的矩阵。

这些子矩阵可以是任意维度的矩阵，但通常都是方阵。

分块矩阵的维度取决于它所包含的子矩阵的维度和排列方式。

1.2 分块矩阵的运算分块矩阵可以进行各种矩阵运算，例如加法、减法和乘法等。

在进行这些运算时，可以利用分块矩阵的特殊结构，将运算过程分解为对各个子矩阵的运算，从而提高计算效率。

1.3 分块矩阵的存储分块矩阵的存储方式也与普通矩阵存储方式有所不同。

在分块矩阵中，每个子矩阵都被存储在一个相邻的内存块中，而各个子矩阵之间的存储空间可以是非连续的。

这种存储方式可以提高数据的局部性，进而提高计算效率。

2. 应用分块矩阵在科学计算和工程领域有广泛的应用，以下列举了一些常见的应用领域：2.1 计算机图形学在计算机图形学中，分块矩阵常用于表示和处理三维图形中的几何变换矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以实现旋转、缩放和平移等常见的几何变换操作。

2.2 信号处理在信号处理中，分块矩阵常用于表示和处理信号的频谱信息。

通过分块矩阵的乘法运算，可以实现信号的卷积和相关等基本操作，进而实现滤波和频谱分析等应用。

2.3 优化算法在优化算法中，分块矩阵常用于表示优化问题的约束矩阵。

通过分块矩阵的运算，可以将大规模的优化问题分解为小规模的子问题，从而提高求解效率。

2.4 数据压缩在数据压缩领域，分块矩阵常用于表示和处理图像和视频数据。

通过分块矩阵的变换和压缩算法，可以实现图像和视频数据的无损或有损压缩，从而减小存储空间和传输带宽的需求。

3. 总结分块矩阵作为一种特殊的矩阵结构，在科学计算和工程领域有着广泛的应用。

它的原理包括定义、运算和存储等方面，通过合理利用分块矩阵的结构，可以提高计算效率和存储效率。