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第5章-频域图像增强20161028

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频域图象增强

频域图象增强

•被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果—— 理想低通滤波器的一种特性所影响
第6讲
第24页
6.2 低通滤波
90%
第6讲
第25页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器
物理上可实现（理想低通滤波器在数学上定 义得很清楚，在计算机模拟中也可实现，但在截 断频率处直上直下的理想低通滤波器是不能用实 际的电子器件实现的）
H
(u,
v)
1
1
D(u, v)
/
D0
2n
某个百分比的频率 在D(u, v) = D0时
• H(u, v) = 1/2 • H(u, v) = 1/21/2
H (u,v) 1
0
D (u,v) D0
第6讲
第30页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器 Butterworth低通滤波器截止频率的设计
•变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过 的和被过滤掉的截止频率的明显划分
第6讲
第33页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器 图象由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低
通滤波进行平滑以改进图象质量 效果比较（相同截断频率）：图6.2.6
第6讲
第34页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器
第6讲
第35页
6.2 低通滤波
3、巴特沃斯低通滤波器
Butterworth低通滤波器与理想低通滤波器相比 •没有明显的跳跃； •模糊程度减少； •尾部含有较多的高频，对噪声的平滑效果不如 理想低通滤波器。
常用频域增强方法根据滤波特点，特别是消 除或保留的频率分量可以分为：1. 低通滤波； 2. 高通滤波；3. 带通和带阻滤波；4. 同态滤波 。

第5章频域图像增强20160801资料.

第5章频域图像增强20160801资料.

阶为1
阶为2
阶为5
阶为20
截止频率15下、不同阶巴特沃斯低通滤波器传递函数及其冲激响应函数
9
低通滤波器
截止频率为5
截止频率为15
截止频率为30
截止频率为50
截止频率为90
截止频率为180
不同截止频率下巴特沃斯低通滤波器的滤波结果
10
低通滤波器
– 指数低通滤波器：是一种物理可实现的低通滤波器， n阶指 数低通滤波器的传递函数定义为，
– 带通滤波器：带通滤波器允许某一带宽范围的频率成分通过，而
限制带宽范围以外的频率成分通过。
– 理想带通滤波器具有完全平坦的通带，在通带内没有增益或者衰 减，完全阻止通带之外的所有频率成分，通带与阻带之间的过渡 在瞬时频率完成，其传递函数定义为，
式中，W为带宽，半径 为频带中心，
和
分别
为下限和上限截止频率， 是点 到频谱中心的距离。
12
低通滤波器
截止频率为5
截止频率为15
截止频率为30
截止频率为50
截止频率为90
截止频率为180
不同截止频率指数低通滤波器的滤波结果
13
高通滤波器
高通滤波器：其目的是允许图像的高频成分通过， 而限制低频成分通过。
– 理想低通滤波器：最理想的低通滤波器是完全截断频谱中 的低频成分，传递函数定义为，
通过，并限制高频成分通过；高通滤波是指允许高频成 分通过，并限制低频成分通过。
– 频域滤波表示为频域滤波器的传递函数
频谱
乘积的形式：
与输入图像
– 最后，对频域滤波结果 空域中，可表示为，
进行傅里叶逆变换，转换回
输入图像
f (x;y)

DIP5_postgraduate

DIP5_postgraduate

第15页
5.2 频率域平滑滤波器
2、巴特沃斯低通滤波器
图像由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行 平滑以改进图像质量
第4章 频率域图像增强
第16页
5.2 频率域平滑滤波器
例5.4: BPLF
半径分别 为5, 15， 30, 80和 230
第4章 频率域图像增强
第17页
5.2 频率域平滑滤波器
第4章 频率域图像增强
第14页
5.2 频率域平滑滤波器
2、巴特沃斯低通滤波器 截断频率
使H最大值降到 某个百分比的频率 在D(u, v) = D0时 H(u, v) = 1/2
1 H (u, v) 2n 1 D(u, v) / D0
H (u,v) 1 D (u,v) D0 0
第4章 频率域图像增强
典型应用：压缩图像的动态
范围，同时增加对比度
滤波器：
H (u, v) ( H H H L )[1 e
c ( D2 ( u ,v ) / D02 )
] HL
H L 1且H H 1
常数 c 用来控制滤波器函数斜面
第4章 频率域图像增强 第32页
5.4 同态滤波

例5.7 同态滤波增强
（1）空间滤波器的工作原理可借助频域进行分析


空间平滑滤波器 消除或减弱图像中灰度值具有较大较快变化部分的影响， 这些部分对应频域中的高频分量，所以可用频域低通滤波来 实现 空间锐化滤波器 消除或减弱图像中灰度值缓慢变化的部分，这些部分对应 频域中的低频分量，所以可用频域高通滤波来实现
第4章 频率域图像增强
F (u, v ) I (u, v ) R(u, v ) （2）两边取傅立叶变换： （3）用一频域函数 H(u, v)处理 F(u, v)： H (u, v ) F (u, v ) H (u, v ) I (u, v ) H (u, v ) R(u, v )

ch5_频域增强

ch5_频域增强

5.1 频域增强原理
陷波滤波器
0, (u, v) ( M / 2, N / 2) H (u, v) 1, 其他


设置F(0,0)=0(结果图像的平均值为零)，而保留 其它傅里叶变换的频率成分不变 除了原点处有凹陷外，其它均是常量函数 由于图像平均值为0而产生整体平均灰度级的降低 用于识别由特定的、局部化频域成分引起的空间 图像效果
2 12 2
5.2.1 理想低通滤波
理想低通滤波器的三维透视图、频谱图及径向剖
面图
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤波 器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
5.2.1 理想低通滤波
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ想低通滤波器截止频率的设计

先求出总的图像功率谱PT
M 1 N 1
P T
5.1 频域增强原理
5.1 频域增强原理
5.1 频域增强原理

频率域滤波的基本步骤
思想：通过滤波器函数以某种方式来修改图 像变换，然后通过取结果的反变换来获得处 理后的输出图像
5.1 频域增强原理
一些基本的滤波器：如何作用于图像？
陷波滤波器 低通（平滑）滤波器 高通（锐化）滤波器
人脸图像处理
原图像 D0=30的GLPF滤波 D0=10的GLPF滤波
5.3 高通滤波
频域高通滤波的基本思想
G u, v H u, v F u, v
F(u,v)是需要锐化的傅里叶变换形式 目标是选取一个低通滤波器H(u,v)，通过它减少
F(u,v)低频部分来得到G(u,v) 运用傅里叶逆变换得到锐化的图像
透视图
滤波器
各种D0值的滤波器横截面

滤波器设计-频率域图像增强

滤波器设计-频率域图像增强

第4章 频率域图像增强
第6页
5.2 频率域平滑滤波器
平滑滤波器
图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶变换中的高频部分 ，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分 量 根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的H(u, v)以 得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v) 以下讨论对F(u, v)的实部和虚部影响完全相同的滤波转移 函数。具有这种特性的滤波器称为零相移滤波器
1 D (u , v ) / D0
1
2n
H (u,v ) 1 D (u,v ) D0 0
第4章 频率域图像增强
第17页
5.2 频率域平滑滤波器
2、巴特沃斯低通滤波器
图像由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行 平滑以改进图像质量
第4章 频率域图像增强
第18页
5.2 频率域平滑滤波器
图像增强复习直方图规格化和规定化

点运算对单幅图像做处理，不改变像素的空间位置； 代数运算多幅图像做处理，不改变像素的空间位置；

几何运算对单幅图像做处理，改变像素的空间位置； 几何运算包含两个独立的算法：空间变换算法和灰度 级插值算法。
高频增强输出图的傅立叶变换： Ge(u, v) = k G(u, v) + c F(u, v) 反变换回去： ge(x, y) = k g(x, y) + c f (x, y)
第4章 频率域图像增强 第27页
5.3 频率域锐化滤波器

例5.5高通滤波增强
(a)比较模糊的图像 (b)阶为1的巴特沃斯高通滤波 (c)高通滤波增强的结果
第30页
第4章 频率域图像增强
第31页
第4章 频率域图像增强

第5章 图像的增强与变换

第5章 图像的增强与变换

第五章图像的增强与变换§5.1 图像增强与变换§5.2 光谱增强§5.3 空间增强§5.4 多源信息的复合§5.1 图像增强与变换图像增强和变换为了突出相关的专题信息，提高图像的视觉效果，使分析者能更容易地识别图像内容，从图像中提取更有用的定量化信息。

按其作用的空间可分两种：光谱增强空间增强§5.2 光谱增强光谱增强对应于每个像元，与像元的空间排列和结构无关。

因此又叫点操作。

1. 彩色合成2. 对比度增强（直方图增强）3. 图像间运算为了充分利用色彩在遥感图像判读和信息提取中的优势，常常利用彩色合成的方法对多光谱图像进行处理，以得到彩色图像。

单波段彩色变换（密度分割）多波段彩色变换（真彩色，假彩色）HLS变换：色调(hue)、明度(lightness)和饱和度(saturation)的色彩模式。

即RGB模式ÆHLS模式。

1. 彩色合成单波段彩色变换(密度分割)（1）求图像的极大值dmax 和极小值d min ；（2）求图像的密度区间ΔD=dmax -d min +1；（3）求分割层的密度差Δd=ΔD／n，其中n为需分割的层数；（4）求各层的密度区间；（5）定出各密度层灰度值或颜色。

1.彩色合成1.彩色合成多波段彩色变换真彩色合成真彩色图像上影像的颜色与地物颜色基本一致。

把红色波段的影像作为合成图像中的红色分量、把绿色波段的影像作为合成图像中的绿色分量、把蓝色波段的影像作为合成图像中的蓝色分量进行合成的结果。

如TM321分别用RGB合成的图像。

假彩色合成假彩色图像是指图像上影像的色调与实际地物色调不一致的图像。

遥感中最常见的假彩色图像是彩色红外合成的标准假彩色图像。

它是在彩色合成时，把近红外波段的影像作为合成图像中的红色分量、把红色波段的影像作为合成图像中的绿色分量、把绿色波段的影像作为合成图像中的蓝色分量进行合成的结果。

如TM432用RGB合成的图像为标准假彩色图像。

第5章 图像频域增强

第5章 图像频域增强
图像细节没有办法辨认，采用一般的灰度级线性变换法是不行的 图像的同态滤波属于图像频率域处理范畴，其作用是对图像灰度范围进行调整，通过 消除图像上照明不均的问题，增强暗区的图像细节，同时又不损失亮区的图像细节
我们人眼能分别得出图像的灰度不仅仅是由于光照函数（照射分量）决定，而且还与 反射函数（反射分量）有关： 反射函数反映出图像的具体内容。光照强度一般具有一致性，在空间上通常会有缓 慢变化的性质，在傅立叶变换下变现为低频分量 然而不一样的材料的反射率差异较大，经常会引起反射光的急剧变化，从而使图像 的灰度值发生变化，这种变化与高低频分量有关。 为了消除不均匀照度的影响，增强图像的高频部分的细节，可以采用建立在频域的 同态滤波器对光照不足或者有光照变化的图像进行处理，可以尽量减少因光照不足 引起的图像质量下降，并对感兴趣的景物进行有效增强，这样就在很大程度上做到 了原图像的图像增强。 同态滤波器能够减少低频并且增加高频，从而能减少光照变化并锐化边缘细节。
频域空间中，图像的信息表现为不同频率分量的组合。通过抑制某些频率分 量的输出，改变频率分布，达到不同的增强目的。 频域空间的增强有三个步骤： step 1：空域 频域 step 2：频域内增强 step 3：频域 空域
卷积定理
去除（抑制）图像中的高频分量而使低频通过，达到平滑和去除噪音 的效果。 （1）理想低通滤波器 截止频率 (5.2.1)
（3）带通和带阻滤波器的联系 两者是互补关系。
带通滤波器 带阻滤波器
陷波滤波器可以阻止或通过以某个频率为中心的邻域里的频率，所以本质上仍然是带 阻或带通滤波器 可分为陷波带阻滤波器和陷波带通滤波器 借助陷波滤波器可以消除周期噪声
理想陷波带阻滤波器
根据Fourier 变换的对称性，为了消除不是以原点为中心的给定区域内的频率，陷波带

频率域图像增强PPT课件

频率域图像增强PPT课件

D二（阶u是，有v效）的=[低(u通-P滤/糊2波)2和是+(可v由-接Q受/2于振)2铃]高0之. 频间好成的折分中比。 较弱产生的。频率域锐化就是为了消 用（-1）x+y乘fp(x除，y模)移糊到变，换的突中出心。边缘。因此采用高通滤波器让高频成分通过，
这截样止我 频们率就分可别以为进10行,使3傅0里,低6叶0,频变16换0成和4分60削弱，再经逆傅立叶变换得到边缘锐化的图像。
主题
图像增强的目的主要包括：①消除噪声，改善图像的视觉 效果；②突出边缘，有利于识别和处理。前面是关于图像空间 域增强的知识，下面介绍频率域增强的方法。
频率域增强是对图像经傅立叶变换后的频谱成分进行处理， 然后逆傅立叶变换获得所需的图像。
频率域
1.低通滤波 2.高通滤波 3.同态滤波增强
频率域滤波基础
高斯低通滤波器
如之前一样，分别是透视图，图像显示和径向剖面图 与BLPF相比，对于相同的截止频率，平滑效果稍弱。
我们可以从两者之间的剖面图进行比较，GLPF没 有BLPF那样紧凑。 但是重要的是，GLPF中没有振铃。
比较
截止 频率 分别 为 10,3 0,60 ,160 和 460
2阶布特沃斯低通滤波
这由样于我 高们频就成第可分一以包进含幅行有傅大图里量为叶的变边理换缘信想息低，因通此采滤用波该滤器波器变在换去噪函声的数同的时将透会导视致图边缘信息损失而使图像边模糊。 ▽前2面f是(x关,y于第)=图ζ 二-像1[空H幅间(u域图,v增)F为强(u的,图v知)]识像，形下面式介绍显频示率域的增强滤的波方法器。 图像中照射第分三量i（幅x，图y）为通滤常由波慢的器空径间变向化来横表截征，面而反射分量旺旺引发突变。
• 理想低通滤波器 • 布特沃斯低通滤波器 • 高斯低通滤波器 • 梯形滤波器

第5章傅立叶变换与频域图像增强

第5章傅立叶变换与频域图像增强

1 F (u , v) N


x பைடு நூலகம் y 0
N 1
N 1
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
F(u,v)通常是复数。
7
1 F (u , v) N

x 0 y 0
N 1 N 1
f ( x, y ) cos(
频谱图像|F(u,v)|特点：
低频部分集中了大部分能量；
F (0,0) N f
高频部分对应边缘和噪声等细节内容。

频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。 频域滤波器：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率 不同，因而可获得不同的增强效果。
30

频域增强方法的三个步骤：
1.将图像从图像空间转换到频域空间（如傅里叶变换）；

x 0 y 0
N 1
N 1
ux vy f ( x, y ) exp[ j2( )] N
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N

x 0 y 0
N 1
N 1
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) exp j (u, v)

f (x,y)、h (x,y)均补零扩充为P×Q，
P=2N-1;
Q=2N-1.
G(u, v) H (u, v) F (u, v) g ( x, y) : N N

图像进行傅立叶变换，需将其看作周期函数的一个 周期；
周期函数进行卷积，为避免周期折叠误差，需对函 数进行补零扩展。

第5章 频域增强

第5章 频域增强

数字图像处理
图5.11 高斯低通滤波器(GLPF) (a) GLPF传递函数的透视图； (b) 以图像显示的GLPF； (c) 各种D0值的滤波器剖面图。
数字图像处理
图5.12 GLPF与ILPF 和BLPF结果比较
(a) 原图像； (b)~(f) 用高斯低通滤 波器滤波的结果，其 截止频率同图5.6， 取半径值为5、15、 30、80和230。图中 无振铃。平滑程度不 如二阶BLPF。
(a)BLPF透视图
(b)以图像显示的BLPF
(c)阶数(n)从1~4的滤波器剖面图
图5.8 巴特沃斯低通滤波器
数字图像处理
图5.9 巴特沃斯低通滤波器 上：空间图像表示； 下：滤波器剖面图 (a)~(d) 阶数为1、2、5、20的BLPF 一阶BLPF滤波器没有振铃，阶数增高振铃明显。
数字图像处理
二维：
2 f ( x, y) 2 f ( x, y) 2 2 F ( ju ) F ( u , v ) ( jv ) F (u, v) 2 2 y x (u 2 v 2 ) F (u, v)
即：
F
2
f ( x, y) (u
2
v ) F (u, v)
在 H(u,v)=1 和 H(u,v)=0 之间的过渡点。 • 通过计算包含图像总功率值 PT 的范围，建立 标准截止频率位置：
PT P(u, v)
u 0 v 0 N 1 N 1
• 用r 表示半径， 表示图像能量百分比，则：
100 P(u, v) ur vr P(u, v) u 0 v 0
(b) 图的傅里叶频谱显示了沿 ±45°方向对应于(a)中特征(1)， 沿垂直轴偏左有垂直成分对应 于氧化突起的边缘。 低频对应缓慢变化分量； 高频对应灰度快速变化分量 （边缘、噪声）。

第五章 图像增强1

第五章 图像增强1
第五章 图像增强
• 用直方图修改技术进行图像增强 • 图像点处理 • 图像平滑处理 • 图像尖锐化处理 • 卷积方法 • 彩色图像处理 • 图像几何处理
2020年5月25日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作
1
(C)
图像增强是图像处理的基本内容之一。图像增强是指 按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，削弱或 去除某些不需要的信息。这类处理是为了某种应用目的去 改善图像质量，处理的结果更适合于人的视觉特性或机器 识别系统。增强处理并不能增加原始图像的信息，而只能 增强对某种信息的辨识能力，并且这种处理有可能损失一 些其它信息。
5
(C)
5.1.3 用直方图修改图像 设变量r代表图像中像素灰度级,在图像中，像素的灰
度级可作归一化处理，这样r的值将限定在下述范围之内： 0≤r≤1
在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图 像来说，每一个像素取得[0,1]区间内的灰度级是随机的， 也就是说，是一个随机变量。
在离散的形式下，用rk代表离散灰度级，用P(rk)代表 概率密度函数，并且有下式成立：
图像增强技术主要包括直方图处理、图像点处理、图 像平滑处理、图像锐化处理、伪彩色技术及图像几何处理 等。
图像增强处理技术基本上可以分成两大类，一类是频 域处方法，一类是空域处理方法。
频域处理方法的基础是卷积定理，它采用修改图像富 里叶变换的方法实现对图像的增强处理。
2020年5月25日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作
软件实现的查找表是以输入象素的值作为数组的索引，返回的新值 作为该象素的输出值。当然,事先要根据图像处理所需的变换对查找表 的数组进行赋值。对硬件实现的查找表来说，可以在RAM中单独分出一 部分作为查找表，输入象素的值作为RAM的地址，RAM中相应单元的值作 为输出象素值。同样，事先必须根据所要进行的变换对RAM各单元赋值。

第五章图像增强课件

第五章图像增强课件
数字图像的直方图
其中
5.3.1 直方图基本概念
原始图像
直方图
5.3.1 直方图基本概念
不同图像内容具有相同直方图的实例。
由灰度直方图的定义可知，数字图像的灰度直方图具有以下几个特性：
（1）直方图的位置缺失性。
灰度直方图仅仅反映了数字图像中各灰度级出现频数的分布，但对那些
具有同一灰度值的像素在图像中的空间位置一无所知，即灰度直方图具有位
（1）空间域法。
是指在空间域中，直接对图像进行各种线性或非线性运算，对图像的
像素灰度值作增强处理。
（2）频域法。
是在图像的变换域中，把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维
傅立叶变换的信号增强。
二、图像增强分类
点运算
空域法
模板处理
点运算是作用于单个像素的空间域处理方法，包括图像灰度变换、直
方图修正、伪彩色增强等技术；
当邻域为单个像素，即1×1时，输出仅仅依赖 f在(x,y) 处的像素灰度
值，此时的处理方式通常称为点处理。
5.2.2 线性灰度变换
线性变换的表达式
5.2.2 线性灰度变换
[0-32]范围
[0-128]范围
[0-64]范围
[0-256]范围
5.2.2 线性灰度变换
灰度拉伸的范围越小，像素间的灰度值越相近，图像的表现力越差。
（1）在 0 ≤ ≤ 1
区间内， T[r] 为单值单调递增函数；
（2）对于 0 ≤ ≤ 1 ，对 应有0≤s=T[r]≤1 。
变换函数的求解：
5.3.2 直方图均衡化
对于数字图像，其灰度 k 出现的概率可近似表示：
5.3.2 直方图均衡化
利用直方图均衡进行图像增强的过程可分成以下几个步骤：

5.图像的频域增强及傅里叶变换

5.图像的频域增强及傅里叶变换

5. 图像的频域增强及傅里叶变换傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。

因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。

印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。

连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。

离散情况下，傅里叶变换一定存在。

冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。

棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。

傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。

当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。

同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。

傅立叶变换有很多优良的性质。

比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。

这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。

（图像处理里面这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。

第5章频率域图像增强(第二版)

第5章频率域图像增强(第二版)
可见，该矩阵的值仅与N有关，与f(x,y)无关。
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 2、可分离性
式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成 如下的分离形式：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
以式(5.9)：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得： 1 N 1 j 2vy F ( x, v) f ( x, y) exp[ ] (5.11) N N y 0 然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(列)变换而得到最
F (u, v) F (u mM, v nN)
(m,n=0,±1, ±2,…） (5.17)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(5.1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( )] MN u 0 v0 M N
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1) (5.2)
5.1.1 二维离散傅里叶变换的定义及意义 1、二维离散傅里叶变换的定义
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
《数字图像处理》研究生课程

频域增强(图像平滑)

频域增强(图像平滑)
n n
exp{ 0 . 347 [ D ( u , v ) D 0 ] }
D(u,v)=D0，H(u,v)降为最大值的 n为阶数。
1 2
。
3阶指数形低通滤波器转移函数剖面图
（4）梯形低通滤波器
1 H ( u , v ) [ D ( u , v ) D 1 ] ( D 0 D 1 ) 0 D (u , v ) D 0 D 0 D (u , v ) D1 D (u , v ) D1
（2）巴特沃思低通滤波器
H (u , v ) 1 1 ( 2 1)[ D ( u , v ) D 0 ] 1 1 0 . 414 [ D ( u , v ) D 0 ]
1 2
2n

2n
D(u,v)=D0，H(u,v)降为最大值的 n为阶数。
。
（3）指数形低通滤波器
H ( u , v ) exp{[ln( 1 2 )][ D ( u , v ) D 0 ] }
4.4.2 低通滤波法
低通滤波法： 滤除高频成分，保留低频成分，在频域中实 现平滑处理。 滤波公式： G ( u , v ) H ( u , v ) F ( u , v ) F(u,v) 原始图象频谱， G(u,v) 平滑图象频谱， H(u,v) 转移函数。
空间域与频率域
傅氏光谱图像 中间高频，四周低频
4.4
频域增强
4.4.1 原理与分类 设原始图像f(x,y)，增强后的图g（x,y），线性位不变算 子h(x,y)。F（u,v），G(u,v)，H(u,v)分别是对应傅立叶变 换，（在线性系统里H(u,v)称为转移函数），则有： g(x,y)＝F-1[H(u,v)F(u,v)] 由上式可知频域中增强是相当直观的，其步骤： a.计算原始图像f(x,y)的傅立叶变换F(u,v)。 b.将F(u,v)与转移函数（根据需要设计）相乘。 c.将结果施于傅立叶反变换即得增强图。 上述原理是基于卷积为基础，即g(x,y)=h(x,y)*f(x,y),根 据卷积定理有G(u,v)=H(u,v)F(u,v)。 分类：常用频域增强方法有低通滤波、高通滤波、带通和 带阻滤波、同态滤波。
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Contents




滤波基础 低通滤波器 高通滤波器 拉普拉斯频域滤波器 带通、带阻与陷波滤波器 空域滤波与频域滤波的关系 同态滤波
6
频域图像增强
频域指图像的傅里叶变换域，频域一词首次出现 在1953年。 离散傅里叶变换将图像从空域转换到频域，利用 频域滤波器对图像的不同频率成分进行处理。
式中，
是点 (u; v )到频谱中心
的距离，
为截止频率。 当 它的 。 时， ，即从最大值1下降到
19
巴特沃斯低通滤波器
通带到阻带之间平滑过渡，因而滤波图像的振铃效应不 明显。
三维网格图
以图像方式显示
径向剖面图
二阶巴特沃斯低通滤波器的传递函数
20
巴特沃斯低通滤波器
滤波器的阶数越高，从通带到阻带振幅衰减速度越快。 若阶数 充分大，则当 时 ， ； 当 ， 。
图像平滑具有等效的作用；
– 高通滤波是指允许频谱中的高频成分通过，并限制低 频成分通过，突出边缘和细节，与空域图像锐化具有 等效的作用。
8
频域滤波基本步骤
频域滤波的核心是设计滤波器的传递函数 。 根据卷积定理，频域滤波表示为频域滤波器的传递函数与 输入图像频谱乘积的形式： 式中， 为滤波器的传递函数， 为 的离散 傅里叶变换， 和 的乘积是逐元素相乘。 对频域滤波结果 式中，
第五章 频域图像增强 Chapter 5 Image Enhancement in the Frequency Domain
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强

图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来就是图像增强技术的 完整内容。
式中，W为带宽，半径 为频带中心， 分别为下限和上限截止频率， 是点 离。
和 到频谱中心的距
50
带通滤波器
理想带通滤波器并不存在。物理可实现的滤波器并不能 够完全阻止期望频带以外的所有频率成分，在通带与阻 带之间有一个衰减范围并非完全阻止。 n阶巴特沃斯带通滤波器的传递函数定义为
式中， 是点 (u; v)到频谱中心 的距离， 为截止频率。 二维离散傅里叶变换频率矩形 的中心位于 。 从点 到频谱中心 的距离为
理想低通滤波器的锐截止频率不能用电子器件实现的， 且会产生振铃效应，表现为在图像灰度剧烈变化的邻域 产生灰度振荡。
16
理想低通滤波器传递函数
理想低通滤波器的锐截止频率是不能用电子器件实现的。
48
带通、带阻与陷波滤波器
带通滤波器允许一定频带的信号通过，用于抑制低于或 高于该频带的信号、噪声干扰。 带阻滤波器用于抑制一定频带内的信号，允许该频带以 外的信号通过。
陷波滤波器是一种限制窄带频率范围通过的特殊带阻滤 波器，通常用于单一频率的陷波。
49
带通滤波器
带通滤波器允许某一带宽范围的频率成分通过，而限制带宽范 围以外的频率成分通过。 理想带通滤波器具有完全平坦的通带，在通带内没有增益或者 衰减，完全阻止通带之外的所有频率成分，通带与阻带之间的 过渡在瞬时频率完成，其传递函数定义为
会改变输出图像频谱的相位。
式中，
和
分别为
滤波器的传递函数
的实部和虚部。
输出图像
输入图像
10
频域滤波的基本流程
频域滤波的基本流程
– 空域 频域 – 频域滤波 – 频域 空域
F (u; v )
输入图像 傅里叶变换
H (u; v ) F (u; v )
滤波函数
f (x; y )
H (x; y )
傅里叶逆变换
图像平滑
均值平滑模板 高斯平滑模板
图像锐化
4邻域拉普拉斯 8邻域拉普拉斯
知识回顾(2)
第4章 频域变换

傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。

频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
理想高通滤波器完全截断频谱中的低频成分，传递函数 定义为
式中，
为点
到频谱中心的距离， 为截止频率。
理想高通滤波器也无法用电子器件实现的，且会产生明 显的振铃效应。
三维网格图
图像显示
径向剖面图
34
理想高通滤波器
理想高通滤波器也会产生明显的振铃效应。从冲激响应 函数的比较可以看到，随着理想高通滤波器截止频率的 增大，允许通过的高频成分减少，振铃效应更明显。
– 频域图像增强利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理，频域滤波原理是允许特定频率成分通过， 而限制或减弱其他频率成分通过。 – 通过频域图像增强的学习，可以从频域直观地理解空 域图像增强的原理和方法。
7
频域滤波的意义
在频域中滤波的意义很直观。
– 低通滤波是指允许频谱中的低频成分通过，限制高频 成分通过，滤除噪声和不必要的细节和纹理，与空域
37
巴特沃斯高通滤波器
巴特沃斯高通滤波器是一种物理可实现的高通滤波器，n 阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数定义
式中，
为点
到频谱中心的距离，
为截止频率。
38
巴特沃斯高通滤波器
与巴特沃斯低通滤波器相同，巴特沃斯高通滤波器在阻 带与通带之间不是锐截止。
三维网格图
图像显示
径向剖面图
二阶巴特沃斯高通滤波器的传递函数
截止半径为5、15、30、50、90的巴特沃斯低通滤波器的滤波效果图
25
指数低通滤波器
指数低通滤波器也是一种物理可实现的低通滤波器， 阶 指数低通滤波器的传递函数定义为，
式中，
是点 (u; v )到频谱中心
的距离，
为截止频率。 当 到它的 。 时， ，即从最大值1下降
26
指数低通滤波器
通带到阻带之间平滑过渡，因而其滤波图像的振铃效应 不明显。
截止频率为15
截止频率为30
理想高通滤波器的传递函数及其冲激响应函数
35
理想高通滤波器
高通滤波器的空域冲激响应函数中心都有一个冲激，这 是因为
式中，
为单位脉冲函数，
表示互为傅里叶变换对。
36
理想高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
截止频率为30
截止频率为60
不同截止频率下的理想高通滤波器滤波结果
增强图像
g (x; y )
11
频域滤波的具体步骤
频域滤波的具体步骤： – 计算 的二维离散傅里叶变换 。输入 图像 乘以 使图像的低频成分移到频谱的中 央部分。 直流成分
3 2D DFT 图像 2D IDFT 1 4 2 3 2 低频成分 高频成分 低频成分 1 高频成分 中心移位 4
二维离散傅里叶谱的频率成分分布图
输入图像
进行傅里叶逆变换，转换回空域中： 表示傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换 增强图像
为滤波图像，
F (u; v )
傅里叶变换 滤波函数
H (u; v ) F (u; v )
f (x; y )
H (x; y )
g (x; y )
频域滤波的方框图
9
频域滤波基本步骤
传递函数 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不
31
高通滤波器
高通滤波器的原理：允许图像的高频成分通过，而限制 低频成分通过。 空域图像锐化在频域中用高通滤波器实现。
高通滤波器的传递函数与低通滤波器的传递函数有如下
关系：
32
低通滤波器的可实现性
理想高通滤波器 巴特沃斯高通滤波器
物理可实现


物理不可实现
指数高通滤波器
33
理想高通滤波器
39
巴特沃斯高通滤波器
截止频率15下、不同阶巴特沃斯高通滤波器传递函数及其冲激响应函数
阶为1
阶为2
阶为5
阶为20
40
巴特沃斯高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
截止频率为30
截止频率为60
不同截止频率指数低通滤波器的滤波结果
41
指数高通滤波器
指数高通滤波器也是一种物理可实现的高通滤波器，n阶 指数高通滤波器的传递函数定义为
– 设计频域滤波器的传递函数 ，与输入图像的频 谱 相乘，获得频域滤波结果 。 – 计算 的二维离散傅里叶逆变换 ，截取它的 实部 ，并乘以 以抵消第1步的移位。
12
在频域中研究图像增强的作用
在频域中研究图像增强的作用： – 滤波在频域更为直观，它可以解释空域滤波的某些性质；
-1 1
1 16 £
式中，
为点
到频谱中心的距离，
为截止频率。
42
指数高通滤波器
与指数低通滤波器相同，指数高通滤波器在阻带与通带 之间不是锐截止。
三维网格图
图像显示
径向剖面图
二阶指数高通滤波器的传递函数
43
指数高通滤波器
阶为1
阶为2
截止频率15下不同阶指数高通滤波器传递函数及其冲激响应函数
阶为5
阶为20
44
指数高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
截止频率为30
截止频率为60
不同截止频率指数低通滤波器的滤波结果
45
拉普拉斯频域滤波器
空域拉普拉斯算子是二阶差分算子：
傅里叶变换的一对微分性质：
利用傅里叶变换的微分性质，可以推导出空域拉普拉斯 算子的频域滤波器的传递函数。