06 频域图像增强解析

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Ch06 频域图像增强

6.1 低通滤波器
6.2 高通滤波器
6.3 带阻带通滤波器 6.4 同态滤波器 6.5 空域技术与频域技术
第6章频域图像增强
第9页
6.1 低通滤波器
低通（平滑）滤波器
图像中的边缘和噪声都对应图像傅立叶频谱中的高频部分，所以如要在频域中消弱其影响就要设法减弱这部分频率的分量。根据频域增强技术的原理，需要选择一个合适的 H(u, v)以得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v)。
D0：截断频率（非负整数） D(u, v)是从点(u, v)到频率平面原点的距离： D(u, v) = (u2 +v2)1/2
第6章频域图像增强
第11页
6.1 低通滤波器
1、理想低通滤波器理想低通滤波器在数学上定义得很清
楚，在计算机模拟中也可实现，但在 “理想”是指小于 D0 的频率可以完全不受影响地通过滤截断频率处直上直下的理想低通滤波波器，而大于 D0 的频率则完全通不过。
3、高频增强滤波器高通滤波的结果：边缘加强，光滑区域变暗方法：改进转移函数
高通滤波：G(u, v) = H(u, v)F(u,v)
高频增强转移函数：He(u, v) = H(u, v) + c
高频增强输出图的傅立叶变换：
将原图像中的一些低频分量加回去，使得既能 Ge(u, v) = G(u, v) + c F(u, v) 保持光滑区域的灰度又改善边缘区域对比度
g=ifftshift(g); g=uint8(real(ifft2(g))); subplot(333); imshow(g);
6.1 低通滤波器
例6.1.2 理想低通滤波器
图b中4个圆周半径分别为5 ，11，45 和68

频域滤波算法在图像增强中的应用探究

频域滤波算法在图像增强中的应用探究近年来，随着数字图像在生活中的广泛应用，图像质量的提高成为了人们的追求。

图像增强技术就是实现图像质量提高的重要手段之一。

而频域滤波算法在图像增强中的应用，无疑是一种有效的方法。

一、频域滤波算法的基本概念频域滤波算法是指将图像转换为频域进行滤波处理，在滤波后再将图像进行逆变换恢复。

这种算法是一种广泛应用于图像处理中的算法，其基本原理是运用傅里叶变换等数学方法对图像进行频谱分析，再进行滤波处理，最后再将处理后的图像恢复到空域。

二、频域滤波算法在图像增强中的应用频域滤波算法在图像增强中的应用有很多，其中最主要的是降噪和锐化。

1. 降噪：由于图像在采集过程中，往往会受到各种噪声的干扰，如高斯噪声、椒盐噪声等等，这些噪声会使图像的质量下降，降低识别率和信噪比。

频域滤波算法可以通过滤波去除图像中的噪声，从而提高图像质量。

2. 锐化：由于图像在采集过程中不可避免地会丢失一些细节信息，导致图像边缘不够清晰，这样视觉效果就会变得模糊。

利用频域滤波算法可以增强图像边缘细节，使图像更加清晰明了。

三、常见的频域滤波算法目前常见的频域滤波算法有低通滤波、高通滤波、带通滤波、带阻滤波等等。

每一种滤波算法都有其适用的特定领域和优缺点。

1. 低通滤波：低通滤波是一种保留图像大体结构的滤波算法，其原理是将输入图像通过低通滤波器，滤除高频成分，只保留低频成分，从而得到一幅更平滑、更模糊的图像。

在图像去噪和平滑处理中应用较多。

2. 高通滤波：高通滤波是指滤除低频成分，只保留高频成分的滤波算法，其效果可以提高图像边缘的清晰度和锐度，使图像更加鲜明。

在图像锐化处理中应用较多。

3. 带通滤波：带通滤波是指滤除高频和低频成分，只保留中间部分频率的信号处理。

广泛应用于图像增强和识别、分割等领域。

4. 带阻滤波：带阻滤波是指将某一段频率范围的信号滤除，但保留其他范围内的信号。

常用于信号去噪和图像增强处理。

四、频域滤波算法存在的问题虽然频域滤波算法在图像增强中具有重要的应用价值，但也存在一些不足之处。

实验报告六频域图像增强的方法

实验报告六频域图像增强的方法实验报告六姓名：学号：班级：实验日期： 2016.5.13 实验成绩：实验题目：频域图像增强的方法一．实验目的（1）熟练掌握频域滤波增强的各类滤波器的原理及实现。

（2）分析不同用途的滤波器对频域滤波增强效果的影响，并分析不同的滤波器截止频率对频域滤波增强效果的影响。

二．实验原理变换最慢的频率分量与图像的平均灰度成正比，当远离变换的原点时，低频对应于图像中变换缓慢的灰度分量，当从原点离开得更远时，较高的频率开始对应图像中越来越快的灰度变换，频率域滤波是通过傅里叶变换在频域上对频谱进行修改后再回到空间域的一种方法，在频域中直流项决定了图像的平均灰度，衰减高频通过低频的低通滤波器会模糊一副图像，而衰减低频通过高频的高通滤波器则会增加尖锐的细节，但会导致图像对比度的降低。

三．实验内容及结果（1）选择图像fig620.jpg，对其进行傅里叶变换，在频率域中实现五种不同半径（截止频率）的butterworth低通滤波器的平滑作用。

显示原始图像和滤波图像。

图 1 不同半径巴特沃斯低通滤波图（2）选择图像fig620.jpg，对其进行傅里叶变换，在频率域中实现五种不同半径（截止频率）的butterworth高通滤波的锐化效果，显示原始图像和滤波图像。

图2 不同半径巴特沃斯高通滤波图四．结果分析(1)观察图1，可以发现巴特沃斯低通滤波器半径越小，图像越模糊，但图像的背景亮度大小和原图像别无二致，这是因为低通滤波器实现的是滤除高频分量，保留低频分量的功能，所以半径越小，通过的低频分量越少，所以越模糊，但不论半径多小，它的整体亮度不变，这是由于决定图像平均灰度的直流分量处于图像中点（经过fftshift平移后），它一直是通过的，同时观察变量区的原图像傅里叶变换后的数据矩阵发现，最大数据小于并接近100，所以第五个滤波器设定为100半径，但是发现，滤波后图像的小a还是有一定的模糊，这是因为巴特沃斯滤波器不是理想滤波器，在截止频率处存在一定的过度带，所以小尺寸的物体可能会有模糊。

第四章频率域图像增强

一、频率域介绍
低通滤波器
低通滤波函数
原图
低通滤波结果：模糊
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波器：使高频通过而使低频衰减的滤波器
被高通滤波的图像比原始图像少灰度级的平滑过渡而突出边缘等细节部分
对比空间域的梯度算子、拉普拉斯算子
一、频率域介绍
高通滤波器
高通滤波函数
原图
高通滤波结果：锐化
G(u,v)=F(u,v)H(u,v)
最后将G(u,v)进行IDFT变换即可得到频域滤波后的图像
频域滤波的步骤
具体实施步骤如下: （1）用(-1)x+y乘以输入图像f(x,y)来进行中心变换;
f ( x, y)(1)x y F (u M / 2, v N / 2)
（2）由(1)计算图像的DFT,得到F(u,v); （3）用频域滤波器H(u,v)乘以F(u,v); （4）将(3)中得到的结果进行IDFT; （5）取(4)中结果的实部; （6）用(-1)x+y乘以(5)中的结果,即可得滤波图像。
uv
理想低通滤波器举例
500×500像素的原图图像的傅里叶频谱
圆环具有半径5,15,30,80和230个像素图像功率为92.0%,94.6%,96.4%,98.0%和99.5%
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径越小，模糊越大；半径越大，模糊越小
原图
半径是5的理想低通滤波,滤除8%的总功率，模糊说明多数尖锐细节在这8%的功率之内
二、频率域平滑滤波器
理想低通滤波器
总图像功率值PT
M 1 N 1
PT P(u, v)
u0 v0
P(u, v) | F (u, v) |2 R(u, v)2 I (u, v)2

数字图像处理之频率域图像增强

易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域对图像进行操作，通过改变图像的频率成分来改善图像的质量。
02
频率域增强方法通常涉及将图像从空间域转换到频率域，对频率域中的成分进行操作，然后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强方法，其基本思想是根据特定的需求或目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可以根据具体的应用场景和需求，定制不同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始图像进行直方图统计，然后根据规定的灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成分进行调整，从而实现对图像的精细控制。例如，可以增强高频细节或降低噪声。
总结与展望数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适当的措施，可能会导致频谱混叠现象，影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速，但对于某些复杂的图像处理任务，其计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两个函数的和或差经过傅立叶变换后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即一个函数沿x轴平移a个单位后，其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS

第6章-频域增强技术

D(u, v) ≤ D0 D0 < D(u, v) ≤ D1
(6-8)
⎪⎩0
D(u, v) > D1
[实例]
(a) 使用高斯低通滤波器的实例：
6
图 6-10 高斯低通滤波器效果
(b) 应用低通滤波从一幅尖锐的原像产生平滑、柔和的图像：
图 6-11 高斯低通滤波器效果
(c) 低通滤波器通过消除比感兴趣特征小的特征来简化图像分析：
10
图 6-19 频域带通和带阻滤波增强示例
6.5 同态滤波器*
z 消除物体因为照度明暗不匀的影响而又不损失图像细节。所以希望分离反射分量，照射分量。二者在空域上是相乘的关系。
z 反射分量反映图像内容，在高频部分；照射分量在空间上通常具有缓慢变化的性质，所以在低频；
z f(x,y) → ln → H(u,v) → IFFT → exp → g(x,y), H(u,v)是高频增强函数。
0
图 6-15 阶为 1 的巴特沃斯高通滤波器
[例] 频域高通滤波增强示例图(a)为 1 幅比较模糊的图像，图(b)给出用阶数为 1 的巴特沃斯高通滤波器进行处理所
得到的结果。图(c)为对频域里的高通滤波器的转移函数加 1 个常数进行处理所得到的结果。
9
(a)
(b)
(c)
图 6-16 阶数为 1 的巴特沃斯高通滤波器效果
(6-2)
其中：F(u,v) 原始图像频谱， G(u,v) 平滑图像频谱， H(u,v) 滤波器转移函数。
[分类] 低通滤波：滤除高频成分，保留低频成分，在频域中实现平滑、去噪处理。
高通滤波：滤除低频成分，保留高频成分，增强边缘。
带通和带阻滤波：
同态滤波：

第六讲频域图像增强(精)

H (u , v) e
D0 D ( u ,v )
n
梯形高通滤波器
D(u, v) D1 0; D(u, v) D1 H (u, v) ; D1 D(u, v) D0 D D 0 1 D(u, v) D0 1;
同态滤波
第六讲频域图像增强
低通滤波高通滤波带通滤波同态滤波
频域滤波相关知识复习

视觉的空间频率特性二维图像信号的数学表示线性移不变系统的输出响应卷积，二维离散卷积计算空域滤波中的平滑锐化滤波器积分变化，Fourier变换，卷积定理
f(i，j)
线性移不变系统L[.]
g(i,j)
f (i, j )
m n

f (m, n) (i m, j n)
g (i, j )
m n

f (m, n)h (i m, j n)
2.均值滤波

将定义的(2a+1)×(2b+1)模板W（例如3×3的模板）在图像f（x,y）上滑动，视模板中每一个元素为加权系数，将每个点（x,y）赋为模板与对应的象素点
其中D0 < D1。一般情况下，定义D0为截止频率。
四种低通滤波器的比较
高通滤波
高通滤波与低通滤波的作用相反，它使高频分量顺利通过，而使低频分量受到削弱。与低通滤波器相对应，频率域内常用的高通滤波器有4种： 1. 理想高通滤波器 2. 巴特沃斯高通滤波器 3. 指数高通滤波器 4. 梯形高通滤波器
图像：取对数：
f ( x, y) i( x, y)r ( x, y) z ( x, y) ln f ( x, y) ln i( x, y) ln r ( x, y)

第4章频域图像增强

4.1背景知识

法国数学家傅里叶在1822提出傅里叶级数理论。任何周期函数都表示为频率不同的正(余)弦和的形式，每个正 (余)弦乘以不同的系数，称为傅里叶级数。
4.1背景知识
•
非周期函数可以用正(余)弦和乘以系数的积分表示，称为傅里叶变换。
傅里叶级数或变换表示的函数可以完全通过逆过程重建，不丢失任何信息⇒频域中的处理转化到原始域不会丢失任何信息 1950’s后计算机技术的发展和1965年CooleyTukey提出FFT，在信号处理领域产生了巨大变革。
4.4 单变量的离散傅里叶变换 p140

例4.4：离散函数f的值 f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3 求其傅里叶变换
4.5.5 二维傅里叶变换
离散形式DFT
147页
M 1N 1 N 11 1M j 2 ( ux / M vy / N ) uu ,v f( ,,yy )e 正变换 F F(( ,) v ) f (x x )e j 2 ( ux / M vy / N ) MN y x x 00 y 00

for u 0,1,2,...,M 1, v 0,1,2,..., N 1
M 1 N 1M 1 N 1
式4.5-15
1 j 2 ( ux / M j vy N )/ M vy / N ) 式4.5-16 2 / ( ux f ( x , y ) F ( u , v ) e x , y ) F ( u , v ) e 反变换 MN u 0 v 0 u 0 v 0 for x 0,1,2,...,M 1, y 0,1,2,..., N 1
4.6二维傅里叶变换的性质

第六章频域图像增强

频域增强
频域增强的原理
– 频率平面与图象空域特性的关系
»图象变化平缓的部分靠近频率平面的圆心，这个区域为低频区域
»图象中的边、噪音、变化陡峻的部分，以放射方向离开频率平面的圆心，这个区域为高频区域
频域增强
频域增强的原理
边缘、噪音、变化陡峭部分
u
变化平缓部分
v
频域增强
频域增强的处理方法
对于给定的图象f(x,y)和目标 – 用（-1）x+y * f(x,y)进行中心变换 – 计算出它的傅立叶变换F(u,v) – 选择一个变换函数H(u,v)，计算H(u,v) F(u,v) /*并非
0
(a)
D0
D(u, v)
(b)
0
D0
D(u, v)
(c)
ILPF、 BLPF、 ELPF特征曲线 (a) ILPF特征曲线； (b) BLPF特征曲线； (c) ELPF特征曲线
高斯低通过滤器—没振铃
高斯低通过滤结果
图像增强:频域过滤
BLPF 特性曲线(不同阶数)
ELPF 特性曲线(不同半径)
2
3
D(u,v)/D0
Butterworth高通过滤器截止频率设计
– 变换函数中不存在一个不连续点作为一个通过的和被过滤掉的截止频率的明显划分
转移函数以图像方式显示对应的空间滤波器通过滤波器中心的灰度级剖面图理想低通过滤器的截止频率的设计如果将变换作中心平移则一个以频域中心为原点r为半径的圆就包含了百分之的能量理想低通过滤器的截止频率的设计理想低通过滤器的截止频率的设计1530802309294696498995理想低通过滤器的分析整个能量的90被一个半径为8的小圆周包含大部分尖锐的细节信息都存在于被去掉的10的能量中小的边界和其它尖锐细节信息被包含在频谱的至多05的能量中被钝化的图像被一种非常严重的振铃效果理想低通滤波器的一种特性所影响理想低通滤波结果半径分别为153080滤去的能量为54362理想低通过滤器的分析振铃效果理想低通滤波器的一种特性振铃效应a半径为5的脉冲图像ilpfb相应的空间滤波器c空域的5个脉冲d滤波结果空域卷积63761实用低通滤波器巴特沃斯低通滤波器阶为n截断频率为d0505在高低频率间的过渡比较光滑取使h最大值降到某个百分比的频率为截断频率butterworth低通过滤器的定义butterworth低通过滤器blpf的变换函数如下

《频域图像增强》课件

《频域图像增强》PPT课件
在本课程中，我们将探索频域图像增强的概念、原理和应用。了解傅里叶变换、频率域滤波、统计频域增强方法和空间频率滤波等常见技术。
什么是频域图像增强
频域图像增强是一种图像处理技术，通过在图像的频域进行操作，改善图像的质量和增强图像的细节。它基于信号处理和数学变换的原理，可以优化图像的视觉效果。
常见的频域图像增强技术
傅里叶变换
通过将图像转换到频域，可以分析和改变图像的频率成分。
统计频域增强方法
通过统计图像的频域特征，可以对图像进行增强和修复。
频率域滤波
利用频域滤波器，可以增强或抑制图像的特定频率成分。
空间频率滤波
利用空间领域和频率领域的关系，可以改善图像的细节和对比度。
频域图像增强的应用领域
频域图像增强的作用和意义
频域图像增强可以提高图像的可视性，使图像更清晰、更鲜艳。它可以增强图像的细节，并减少噪点和模糊。频域图像增强在许多应用领域都起到重要的作用。
频域图像增强的基本原理
频域图像增强的基本原理是将图像转换到频域，并利用频域滤波和变换等方法对图像进行处理。通过对图像的频域表示进行操作，可以改变图像的频率分布，从而改善图像的质量。
挑战：频域图像增强需要高级数学和信号处理技术，同时需要根据具体应用场景选择适当的算法和参数。
1 医学图像处理
频域图像增强在医学影像诊断和治疗中起着重要作用，帮助医生提取和分析图像特征。
2 航空航天图像处理
频域图像增强可以改善航空航天图像的清晰度和对比度，提高目标检测和识别的准确性。
3 摄影图像处理
频域图像增强可用于提升摄影作品的质量，改善细节和色彩还原。
频域图像增强的优势和挑战

6第六章频率域图像增强解析

n 1
直流分量基波分量 n =1 谐波分量 n>1

2 1 T1
n1
7
直流系数
余弦分量系数
1 a0 T1

t 0 T1
t0
f (t ).dt
2 t0 T1 an f (t ).cos n1t.dt T1 t0
2 bn T1
正弦分量
系数

t0 T1
t0
f (t ).sin n1t.dt
rk WN WN 2 2 r (k N ) 2
N 都是 2

一维傅里叶变换及其反变换
设 x：空间变量（实变量） f(x)：实变量x的连续函数 u：频率变量（实变量）
F(u)：频率函数（有实部和虚部）
傅里叶正变换为：
F u

f x e
j 2 u x
dx
若已知F(u), 则利用傅里叶反变换，可求得f(x)
f x F u e
1 cos nx 1 cos nx 2 1 cos nπ π n π π nπ n 0
1 0 1 π (1)sin nx d x 1 sin nxdx 0 π π π π 0
2 1 (1) n nπ
令
(谐波迭加)
an An sin n , bn An cos n ,
a0 (an cos n x bn sin n x ) 2 n 1
得函数项级数
称上述形式的级数为三角级数.
三角函数的傅里叶级数:
6
f1 (t ) a0 (an cosn1t bn sin n1t )
一旦找到一个特殊应用的滤波器，通常在空间域采用硬件实现它

第6章频域图像增强

例
128*128 原始图像
理想低通滤波后图像（模糊和振铃现象）
10
讨论题
〔数字信号处理〕
理想的低通滤波器在工程上是不存在的，为什么？
理想低通滤波器的单位取样响应hd（n)为无限长、非因果序列，实际工程中是不可实现的。
11
• 1.理想的低通滤波器是不存在的，实际工程中如何实现低通滤波？
35
例
原始图像
一副图像在获得时由于光照不均匀或光动态范围过大而使图像的某些细节分辨不清，为消除这种光照影响可以用同态滤波来解决。在动态范围压缩的同时，使对比度增加。
36
光照下获得景物图像模型：
f(x,y)=i(x,y) r(x,y)
其中： f(x,y)为所获得图像. i(x,y)为入射光随坐标（x,y)不同的照度分量. r(x,y)为从景物反射到眼睛的反射分量.
同态滤波步骤：
f(x,y)=i(x,y) r(x,y)
(1)将上式两边取对数： lnf(x,y)=lni(x,y)+lnr(x,y) (2)将上式两边取傅立叶变换,从空域到频域： F(u,v)=I(u,v)+R(u,v) (3)在频域中用转移函数处理F(u,v)： H(u,v)F(u,v)=H(u,v)I(u,v)+H(u,v)R(u,v) (4)将上式两边取傅立叶反变换,从频域到空域： hf(x,y)=hi(x,y)+hr(x,y) (5)将上式两边取指数： g(x,y)=exp|hf(x,y)| =exp|hi(x,y)|+exp|hr(x,y)|
从透视图可以看出两个透视图可以合成一个高度为H(u,v)的方体。
28
带阻滤波器转移函数： 0 D1(u,v) ≤ D0 或 D2(u,v) ≤ D0 H(u,v) 1 其他其中：D1(u,v)=[(u-u0)2+(v-v0)2)1/2,是频域中以(u0,v0)

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D(u,v)降到1/2时取为截止频率D0
图 1阶的巴特沃斯低通滤波器剖面示意图
由图可见, 低通巴特沃斯滤波器在高低频率间的过渡比较光滑, 所以用巴特沃斯滤波器得到的输出图其振铃效应不明显。
▪ BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果
例频域低通滤波器消除虚假轮廓
当图象由于量化不足产生虚假轮廓时常可用低通滤波进行平滑以改进图象质量。
❖ 理想低通滤波器的分析：理想滤波器传递函数在通带内所有频率分量完
全无损地通过，而在阻带内所有频率分量完全衰减。
理想滤波器有陡峭频率的截止特性，但会产生 “振铃(ring)”现象使图象变得模糊。
振铃效应解释频域 F(u,v)•H(u,v) = G(u,v)
DFT IDFT
IDFT
空域 f(x,y)*h(x,y) = g(x,y)
形状与低通滤波器的形状正好相反
0 H (u, v) 1
如 D(u, v) ≤ D0 如 D(u, v) D0
D0：截止频率 D(u, v)是从点(u, v)到频率平面原点的距离
D0增加时, 产生数量
较多但较窄的同心圆环, 图像模糊得比较少;
▪ 振铃效果——理想低通滤波器的一种特性
理想低通滤波产生模糊效应图象能量百分比
B
100
P(u,v)
N 1 N 1
P(u, v)
uR vR
u0 v0
B：能量百分比，R：圆周半径，P(u, v)：功率谱
例频域低通滤波所产生的模糊
巴特沃思低通滤波器优缺点
优点：阻带、通带之间没有明显的不连续性，
模糊程度减少，可减少振铃现象，去除虚假轮廓；
缺点：计算量大一些；
3、其他低通滤波器
梯形
指数
6.3 高通滤波
因为图象中的边缘对应高频分量, 所以要锐化图象可用高通滤波器。
高通滤波是要保留图像中的高频分量而除去低频分量.
1、理想高通滤波器
第六章频域图像增强
宋华军中国石油大学（华东）信控学院
第6章频域图像增强
思路（频域方法）
信号变化的快慢与频率域的频率有关。噪声、边缘、跳跃部分代表图像的高频分量；背景区域和慢变部分代表图像的低频分量；频域法设计一个滤波器用点操作的方法加工频谱数据（变换系数），然后再进行反变换，即完成处理工作。关键在于设计频域（变换域）滤波器的传递函数H(u,v)。
6.1 原理和分类
卷积理论是频域技术的基础
• 设函数f (x, y)与线性移位不变算子h(x, y)的卷积结果是g(x, y) 即g(x, y) = h(x, y) * f (x, y)，那么根据卷积定理在频域有：
G(u,v) H (u, v)F(u, v)
卷积在频域变成点积 • G(u, v),H(u, v),F(u, v)分别是g(x, y),h(x, y),f (x, y)的傅里叶变换 • G(u, v)是平滑后图像的傅里叶变换; • H(u, v)为频域滤波函数(传递函数 H); • F(u, v)为含噪图像的傅里叶变换（频域）；
例频域低通滤波所产生的模糊
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
理想低通滤波器的优缺点：
❖ 优点：概念清楚，通阻分明； ❖ 缺点：产生模糊和振铃现象 ❖ D0越小，模糊越厉害 ❖ 理想低通滤波器在数学上定义得很清楚，在计算机模
拟中也可实现，但在截断频率处直上直下的理想低通滤波器是不能用实际的电子器件实现的
6.2 低通滤波
低通滤波是要保留图像中的低频分量而去除高频分量
图象中的边缘和噪声都对应图象傅里叶变换中的高频部分，所以通过在频域中的低通滤波可以去除或消弱噪声的影响, 与空域中的平滑方法类似
根据频域增强技术的原理，要实现低通滤波需要选择一个合适的H(u, v)以得到消弱F(u, v)高频分量的G(u, v)
1、理想低通滤波器 ILPF(Idea Low-Pass Filter)
1个2-D理想低通滤波器的转移/滤波函数H(u, v) 满足下列条件
1 H (u, v) 0
如 D(u, v) ≤ D0 通行如 D(u, v) D0 阻断
D0：是一个非负整数, 理想低通滤波器的截止频率；
D(u, v)是从点(u, v)到频率平面原点的距离
D(u, v) = (u2 +v2)1/2
理想指小于D0的频率可以完全不受影响地通过滤波器，而大于D0的频率则完全通不过,被阻断
图(a) H的1个剖面图 (设D对原点对称)
图(b) H的1个透视图 (相当于将图(a)剖面绕H(u,v)轴旋转的结果)
D0: 理想低通滤波器的截止频率小于D0的频率可以通过；大于D0的频率则被阻断;
在具体增强应用中，f (x, y)是给定的（所以 F(u, v)可利用变换得到），需要确定的是H(u, v)， g(x, y)就可由式G(u, v)=H(u, v)F(u, v)算出G(u, v)而得到：
g(x, y) IDFT H(u,v)F(u,v)
•频域空间的增强方法的步骤： (1) 将图像从图像空间转换到频域空间; (2) 在频域空间对图像进行增强; (3) 再将图像从频率空间转换回图像空间
2、巴特沃斯低通滤波器 BLPF
(Butterworth Low-Pass Filter) 物理上可实现一种低通滤波器
一个阶为n,截断频率为Do的巴特沃斯低通滤波器的转移函数为
H (u,v) 1
0
D (u,v) D0
H
(u,
v)
1
1Байду номын сангаас
D(u, v)
/
D0
2n
D(u,v) 1时H (u,v) 0.5 D0
频域中剧烈的滤波（也就是选择小的D0）,则在 h(x,y)的NN区域中产生大量的环，因此，在g(x,y)中产生明显的振铃效应。
理想低通滤波器的模糊
理想低通滤波所产生的“振铃”现象，在2-D图象上表现为一系列同心圆环
同心圆环的半径反比
于截断频率D0的值 D0较小, 产生较少但
较宽的同心圆环, 图像模糊得比较厉害;
卷积定理 G(u,v) H(u,v)F(u,v)
增强图 g(x, y) IDFT H(u,v)F(u,v)
频域滤波主要步骤
(1)计算需增强图的傅里叶变换 (2)将其与1个(根据需要设计的)转移函数相乘 (3)再将结果进行傅里叶反变换得到增强的图
常用频域增强方法有:
低通滤波高通滤波带通和带阻滤波同态滤波