数学_2013年上海市普陀区高考数学二模试卷(理科)_(含答案)

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.

1. 函数𝑦=√log2(𝑥−1)的定义域为________．

2. 若𝑧1=𝑎+2𝑖，𝑧2=1+𝑖（𝑖表示虚数单位），且𝑧1𝑧2为纯虚数，则实数𝑎=________．

3. 若sin𝜃=35且sin2𝜃<0，则tan𝜃2=________．

4. 若点(4, 2)在幂函数𝑓(𝑥)的图象上，则函数𝑓(𝑥)的反函数𝑓−1(𝑥)=________．

5. 若(2𝑥+1)11＝𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+...+𝑎11𝑥11，则(𝑎0+𝑎2+...+𝑎10)2−(𝑎1+𝑎3+...+𝑎11)2＝________．

6. 若函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+1是偶函数，则函数𝑦=𝑓(𝑥)|𝑥|的最小值为________．

7. 已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的焦距为10，点𝑃(2, 1)在𝐶的渐近线上，则𝐶的方程为________．

8. 某班从4名男生、2名女生中选出3人参加志愿者服务，若选出的男生人数为𝜉，则𝜉的方差𝐷𝜉=________．

9. 若曲线Γ：{𝑥=1+3cos𝜃𝑦=2+3sin𝜃(𝜃为参数且𝜋3≤𝜃≤2𝜋3)，则Γ的长度为________．

10. 若三条直线𝑎𝑥+𝑦+3=0，𝑥+𝑦+2=0和2𝑥−𝑦+1=0相交于一点，则行列式|𝑎131122−11|的值为________．

11. △𝐴𝐵𝐶中，角𝐴、𝐵、𝐶所对的边为𝑎、𝑏、𝑐，若𝐴=𝜋3，𝑏=2𝑐，则𝐶=________．

12. 若圆𝐶的半径为3，单位向量𝑒→所在的直线与圆相切于定点𝐴，点𝐵是圆上的动点，则𝑒→⋅𝐴𝐵→的最大值为________．

13. 函数𝑦=sin2𝑥+2cos𝑥在区间[−2𝜋3, 𝑎]上的值域为[−14, 2]，则𝑎的取值范围是________．

14. 若𝑎𝑖,𝑗表示𝑛×𝑛阶矩阵[ 1111…123…3…⋮…⋮𝑛…………𝑎𝑛,𝑛]

中第𝑖行、第𝑗列的元素，其中第1行的元素均为1，第1列的元素为1，2，3，…，𝑛，且𝑎𝑖+1,𝑗+1=𝑎𝑖+1,𝑗+𝑎𝑖,𝑗(𝑖、𝑗=1, 2,…,𝑛−1)，则𝑎3,𝑛=________．

二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.

15. 若集合𝐴={𝑥|𝑦2=4𝑥, 𝑦∈𝑅}，𝐵={𝑥|1−𝑥2+𝑥≥0}，则𝐴∩𝐵=( ) A [0, 1] B (−2, 1] C (−2, +∞) D [1, +∞)

16. 若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为𝑆1、𝑆2，则𝑆1:𝑆2=( )

A 1:1 B 2:1 C 3:2 D 4:1

17. 若𝑎∈𝑅，则“关于𝑥的方程𝑥2+𝑎𝑥+1=0无实根”是“𝑧=(2𝑎−1)+(𝑎−1)𝑖（其中𝑖表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（ ）

A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件

18. 如图，△𝐴𝐵𝐶是边长为1的正三角形，点𝑃在△𝐴𝐵𝐶所在的平面内，且|𝑃𝐴→|2+|𝑃𝐵→|2+|𝑃𝐶→|2=𝑎（𝑎为常数）．下列结论中，正确的是（ ）

A 当0<𝑎<1时，满足条件的点𝑃有且只有一个 B 当𝑎＝1时，满足条件的点𝑃有三个 C 当𝑎>1时，满足条件的点𝑃有无数个 D 当𝑎为任意正实数时，满足条件的点𝑃是有限个

三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴cos(𝜔𝑥+𝜙)(𝐴>0, 𝜔>0, −𝜋2<𝜙<0)的图象与𝑦轴的交点为(0, 1)，它在𝑦轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(𝑥0, 2)和(𝑥0+2𝜋, −2)

（1）求函数𝑓(𝑥)的解析式；

（2）若锐角𝜃满足cos𝜃=13，求𝑓(2𝜃)的值．

20. 已知𝑎>0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥+1)，𝑔(𝑥)=log𝑎11−𝑥，记𝐹(𝑥)=2𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)．

（1）求函数𝐹(𝑥)的定义域𝐷及其零点；

（2）若关于𝑥的方程𝐹(𝑥)−𝑚=0在区间[0, 1)内仅有一解，求实数𝑚的取值范围．

21. 如图，正方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1的棱长为1

（1）求直线𝐷𝐵与平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1所成角的大小；

（2）求四棱锥𝐷−𝐵𝐶𝐷1𝐴1的体积． 22. 在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，方向向量为𝑑→=(1,𝑘)的直线𝑙经过椭圆𝑥218+𝑦29=1的右焦点𝐹，与椭圆相交于𝐴、𝐵两点

（1）若点𝐴在𝑥轴的上方，且|𝑂𝐴→|=|𝑂𝐹→|，求直线𝑙的方程；

（2）若𝑘>0，𝑃(6, 0)且△𝑃𝐴𝐵的面积为6，求𝑘的值；

（3）当𝑘(𝑘≠0)变化时，是否存在一点𝐶(𝑥0, 0)，使得直线𝐴𝐶和𝐵𝐶的斜率之和为0，若存在，求出𝑥0的值；若不存在，请说明理由．

23. 对于任意的𝑛∈𝑁∗，若数列{𝑎𝑛}同时满足下列两个条件，则称数列{𝑎𝑛}具有“性质𝑚”：

①𝑎𝑛+𝑎𝑛+22<𝑎𝑛+1； ②存在实数𝑀，使得𝑎𝑛≤𝑀成立．

（1）数列{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}中，𝑎𝑛=𝑛、𝑏𝑛=2sin𝑛𝜋6(𝑛=1, 2, 3, 4, 5)，判断{𝑎𝑛}、{𝑏𝑛}是否具有“性质𝑚”；

（2）若各项为正数的等比数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑐3=14，𝑆3=74，证明：数列{𝑆𝑛}具有“性质𝑚”，并指出𝑀的取值范围；

（3）若数列{𝑑𝑛}的通项公式𝑑𝑛=𝑡(3⋅2𝑛−𝑛)+12𝑛(𝑛∈𝑁∗)．对于任意的𝑛≥3(𝑛∈𝑁∗)．

2013年上海市普陀区高考数学二模试卷（理科）答案

1. [2, +∞)

2. −2

3. 3

4. 𝑥2(𝑥≥0)

5. −311

6. 2

7. 𝑥220−𝑦25=1

8. 0.4

9. 𝜋

10. 0

11. 𝜋6

12. 3

13. [0, 2𝜋3] 14. 12𝑛2+12𝑛+2

15. A

16. C

17. B

18. C

19. 解：（1）由题意可得𝐴=2…

𝑇2=2𝜋即𝑇=4𝜋，𝜔=12…

𝑓(𝑥)=2cos(12𝑥+𝜙)，𝑓(0)=1

由cos𝜙=12且−𝜋2<𝜙<0，得𝜙=−𝜋3

函数𝑓(𝑥)=2cos(12𝑥−𝜋3)

（2）由于cos𝜃=13且𝜃为锐角，所以sin𝜃=2√23

𝑓(2𝜃)=2cos(𝜃−𝜋3)=2(cos𝜃cos𝜋3+sin𝜃sin𝜋3)

=2⋅(13×12+2√23×√32)=1+2√63

20. 解：（1）𝐹(𝑥)=2𝑓(𝑥)+𝑔(𝑥)=2log𝑎(𝑥+1)+log𝑎11−𝑥(𝑎>0且𝑎≠1)

由{𝑥+1>01−𝑥>0，可解得−1<𝑥<1，

所以函数𝐹(𝑥)的定义域为(−1, 1)

令𝐹(𝑥)=0，则2log𝑎(𝑥+1)+log𝑎11−𝑥=0…(∗)

方程变为log𝑎(𝑥+1)2=log𝑎(1−𝑥)，即(𝑥+1)2=1−𝑥，即𝑥2+3𝑥=0

解得𝑥1=0，𝑥2=−3，经检验𝑥=−3是(∗)的增根，所以方程(∗)的解为𝑥=0

即函数𝐹(𝑥)的零点为0．

（2）方程可化为𝑚=2log𝑎(𝑥+1)+log𝑎11−𝑥

=log𝑎𝑥2+2𝑥+11−𝑥=log𝑎(1−𝑥+41−𝑥−4)，

故𝑎𝑚=1−𝑥+41−𝑥−4，设1−𝑥=𝑡∈(0, 1]

函数𝑦=𝑡+4𝑡在区间(0, 1]上是减函数

当𝑡=1时，此时𝑥=0，𝑦min=5，所以𝑎𝑚≥1

①若𝑎>1，由𝑎𝑚≥1可解得𝑚≥0，

②若0<𝑎<1，由𝑎𝑚≥1可解得𝑚≤0，

故当𝑎>1时，实数𝑚的取值范围为：𝑚≥0，

当0<𝑎<1时，实数𝑚的取值范围为：𝑚≤0 21. 解：（1）以𝐷为坐标原点，分别以射线𝐷𝐴、𝐷𝐶、𝐷𝐷1为𝑥、𝑦、𝑧轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

则𝐷(0, 0, 0)，𝐵(1, 1, 0)，𝐶(0, 1, 0)，𝐷1(0, 0, 1)．

𝐷𝐵→=(1,1,0)，𝐵𝐶→=(−1,0,0)，𝐶𝐷1→=(0,−1,1)．

设𝑛→=(𝑥,𝑦,𝑧)是平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1的法向量，则{𝑛→⋅𝐶𝐷1→=0˙，即{𝑥=0𝑧−𝑦=0令𝑧=1，则𝑦=1，𝑥=0，∴ 𝑛→=(0,1,1)．

设直线𝐷𝐵与平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1所成角为𝜃，则sin𝜃=|cos<𝑛→，𝐷𝐵→>|=|𝑛→||𝐷𝐵→|˙=1√2×√2=12．

由于0≤𝜃≤𝜋2，∴ 𝜃=𝜋6．

即直线𝐷𝐵与平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1所成角的大小为𝜋6；

（2）由（1）得𝑛0→=𝑛→|𝑛→|=(0,1√2,1√2)．

∴ 点𝐷到平面𝐴1𝐵𝐶𝐷1的距离𝑑=|𝑛0→⋅𝐷𝐵→|=√22．

∵ 四边形𝐴1𝐵𝐶𝐷1是矩形，∴ 面积𝑆=𝐵𝐶⋅𝐶𝐷1=1×√2=√2．

∴ 𝑉𝐷−𝐵𝐶𝐷1𝐴1=13𝑠ℎ=13×√22×√2=13．

22. 解 （1）∵ 椭圆方程为𝑥218+𝑦29=1

∴ 𝑎2=18，𝑏2=9，得𝑐=√𝑎2−𝑏2=3，可得𝐹(3, 0)…

∵ |𝑂𝐴→|=|𝑂𝐹→|且点𝐴在𝑥轴的上方，…

∴ 可得𝐴在椭圆上且|𝑂𝐴→|=3，得𝐴是椭圆的上顶点，坐标为𝐴(0, 3)

由此可得𝑙的斜率𝑘=−1，𝑑→=(1,−1)…

因此，直线𝑙的方程为：𝑥−31=𝑦−0−1，化简得𝑥+𝑦−3=0…