“杨辉三角”与二项式系数的性质(第二课时)

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实用文档 ☆ 蔡老师高考与中考数学研究中心（21216123）△ 第 □ 讲

“杨辉三角”与二项式系数的性质

【知识要点】：

由“杨辉三角表”可以看出，二项式定理具有下面的性质:(1)表中每行的两端都是1，而且除1外的每一个数都等于它肩上两个数的和。事实上，设表中任一不为1的数为rn+1C，那么肩上的两个数分别为和 ,由组合数的性质,有rn+1C

+ 。

（2）当首末两端“等距离”的两个二项系数

（3）当时,二项式系数是逐渐增大的,当

时，二项式系数是逐渐减小的，且系数呈对称性，从而可知二项式系数在取得最大值。若n为偶数，则中间的一项取得最大值；若n为奇数，则中间的两项

相等，且同时取得最大值。

（4）()nab的展开式中的各个二项式系数的和等于。

【规律总结】：变式引申：1.7()xy的展开式中，系数绝对值最大的项是()

A.第4项B.第4、5两项 C.第5项 D.第3、4两项

2.若321()nxx展开式中的第6项的系数最大，则不含x的项等于()

A.210 B.120 C.461 D.416

例3（2004年天津）若20042012(12)xaaxax

20042004)(Raxx，则0102()()aaaa

0302004()()aaaa .(用数字作答)

【分级训练】：

A.基础训练

1对于二项展开式21()nab，下列结论中成立的是()

A.中间一项的二项式系数最大第页精品文档

实用文档二项式的系数共有三要性质：一是对称性，这条性质可结合公式mn-mnnCC来理解，不必死记；二是增减性与最大值，研究增减性，用到了证明不等式的方法，研究最大值时，应注意它的个数与n的奇偶性的关系；三是各项的二项式系数的和，它表明：若集合S中含有n个元素，那么它的所有子集（包括空集）的个数是2n，性质3还可以写成nn12CC

21nnnC，它表示每次从n个不同元素中依次取出1个，2个，…，n个元素的所有集合数的总和是21n个。

【典例探究】：

例1如果7270127(12)xaaxaxax，那么127aaa的值等于()

21A. B. C.0 D.2

变式引申：1.1242()n123nnnnnCCCC

12nnnn3-13A.3 B.3-1 C. D.2

2.求值：975383333332468199999CCCCC

642333357999CCC。 B.中间两项的二项式系数相等且最大

C.中间两项的二项式系数相等且最小

D.中间两项的二项式系数互为相反数

2.设423401234(23)xaaxaxaxax，则

01234()aaaaa

A.1 B.2 C.3 D.4

3.设n为自然数,则122(1)2nnknknnn01kCCC

(1)()nnnC

1nA.2 B.0 C. D.1

4.8(23)xy中的各项二项式系数的最大值是

，它是二项展开式中的第项的二项式系数。

B.能力培养

5.已知2222729nnnnn012nCCCC,则n1C

n3C的值等于()

A.64 B.32 C.63 D.31

6.若230(1)(1)(1)(1)naaaab 精品文档

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例2(12)nx的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中第二项式系数最大的项和系数最大的项。

212,nnbababa且012nbbbb

30，则自然数n的值为()

A.3 B.4 C.5 D.6

7.设345001(1)(1)(1)xxxaax

250250(01)axaxxx且，则3a的值是

()

433450505151A.C B.2C C.C D.C

8.(1)nx展开式中的系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是。

C.综合提高

9.设75363333,3AB2461377777CCCCC

4233157C，则AB的值为()

7A.128 B.129 C.4 D.0

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☆ 蔡老师高考与中考数学研究中心（21216123）△ 第 □ 讲

“杨辉三角”与二项式系数的性质

10.设2220122(1)nnnxxaaxaxax

，则01242naaaaa等于()

1122nnnn+133A.2 B. C.2 D.

11.在822()xx的展开式中，

(1)系数的绝对值最大的项是第几项？

(2)求二项式系数最大的项；

(3)求系数最大的项；

(4)求系数最小的项。

【备选练习】：

12.（2002年北京春季）对于二项式31()(nxnx

)N，四位同学作出了如下四种判断：①存在n

N，展开式中有常数项；②对任意nN，

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实用文档展开式中没有常数项；③对任意nN，展开式中没有x的一次项；④存在nN，展开式中有x的一次项。上述判断中，正确的是()

A.①③ B.②③ C.②④ D.①④

13.（2000年上海）在二项式11(1)x的展开式中，系数最小的项的系数为（结果用数值表示）

14.已知9()2axx的展开式中3x的系数为94，则常数a的值是。

“杨辉三角”与二项式系数的性质练习

2013—2014学年第一学期高二年级数学（理）限时练

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

编写：张审核：高二数学组（理）

一、选择题

1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a10x10，则a8等于( )

A．180 B．－180 C．45 D．－45

2．若naa)1(32的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（）

A．10 B．11 C．12 D．13

3．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )

A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项

4．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（）

A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34

5．若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )

A．10 B．20 C．30 D．120

6．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋„＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋„＋a11的值为( )

A．－2 B．－1 C．1 D．2

7．(1＋x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )

A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3

8．x＋33xn展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )

A．4 B．5 C．6 D．7

二、填空题

9．在(1－x)10中，系数最大的项为________．

优秀观摩课《“杨辉三角”与二项式系数的性质》

“杨辉三角”与二项式系数的性质

教学说明

1．内容和内容解析

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书

人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论

与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可

以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之

一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生

进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二

项式定理为基础，

由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的

角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用

函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结

合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思

路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和

实践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识.

研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建

立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形

都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.

根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：

体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.

2．教学目标分析

“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显

示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一

的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原理等

知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体

验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师

引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，

培育学生理性精神.

根据以上分析特制定教学目标如下：

1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1．杨辉三角的特点

(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．

(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cr－1n＋Crn

2．二项式系数的性质

题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别

例1、已知(x23 ＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.

(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．

[解析] 令x＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.

又展开式中二项式系数和为2n，∴22n2n＝32，n＝5.

(1)∵n＝5，展开式共6项，

∴二项式系数最大的项为第三、四两项，

∴T3＝C25(x23 )3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23 )2(3x2)3＝270x223 .

(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，

则由Tk＋1＝Ck5(x23 )5－k(3x2)k＝3kCk5x10+4k3 ，

得 3kCk5≥3k－1Ck－15，3kCk5≥3k＋1Ck＋15，∴72≤k≤92，∴k＝4，

即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x23 )(3x2)4＝405x263 .

例2、(1)若nxx421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．

(2)在(1＋2x)n的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________．

[答案] (1)7·x35 和7·x74 (2)15360x7

题型二、求展开式中各项系数之和

例3、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.

求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

[解析] 令x＝1，则对称性与首末两端“________”的两个二项式系数相等(即Cmn＝Cn－mn)．