2013—2014学年第一学期高二年级数学（理）限时练
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
编写：张 审核：高二数学组（理）
一、选择题
1．已知(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋„＋a10x10，则a8等于( )
A．180 B．－180 C．45 D．－45
2．若naa)1(32的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2，则n是（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
3．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项
4．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ）
A．1.23 B．1.24 C．1.33 D．1.34
5．若x＋1xn展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )
A．10 B．20 C．30 D．120
6．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋„＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋„＋a11的值为( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
7．(1＋x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )
A．n，n＋1 B．n－1，n C．n＋1，n＋2 D．n＋2，n＋3
8．x＋33xn展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
二、填空题
9．在(1－x)10中，系数最大的项为________．
“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学说明
1．内容和内容解析
《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书
人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论
与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可
以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之
一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生
进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二
项式定理为基础，
由于二项式系数组成的数列就是一个离散函数，引导学生从函数的
角度研究二项式系数的性质，便于建立知识的前后联系，使学生体会用
函数知识研究问题的方法，可以画出它的图象，利用几何直观、数形结
合、特殊到一般的数学思想方法进行思考，这对发现规律，形成证明思
路等都有好处. 这一过程不仅有利于培养学生的思维能力、理性精神和
实践能力；也有利于学生理解数学知识，培养其数学应用意识.
研究二项式系数这组特定的组合数的性质，对巩固二项式定理，建
立相关知识之间的联系，进一步认识组合数、进行组合数的计算和变形
都有重要的作用，对后续学习微分方程等也具有重要地位.
根据以上对教材及学情的分析，特制定教学重点如下：
体会用函数知识研究问题的方法，理解二项式系数的性质.
2．教学目标分析
“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，蕴含了丰富的内容，显
示了我国古代人民的卓越智慧和才能，了解我国古代数学成就之一
的“杨辉三角”包含的规律，结合“杨辉三角”，运用函数的知识深化对二项式系数性质的理解，联系函数图象和性质、赋值法、两个计数原理等
知识探究证明二项式系数的性质，体会用函数知识研究问题的方法，体
验数形结合、特殊到一般进行归纳等数学思想的渗透和运用，体现教师
引导、学生探究的教学方式，培养学生问题意识，提高数学思维能力，
培育学生理性精神.
根据以上分析特制定教学目标如下：
1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Crn＋1＝Cr－1n＋Crn
2．二项式系数的性质
题型一、二项式系数与二项展开式中项的系数的区别
例1、已知(x23 ＋3x2)n的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．
[解析] 令x＝1得，展开式中各项系数和为(1＋3)n＝22n.
又展开式中二项式系数和为2n，∴22n2n＝32，n＝5.
(1)∵n＝5，展开式共6项，
∴二项式系数最大的项为第三、四两项，
∴T3＝C25(x23 )3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23 )2(3x2)3＝270x223 .
(2)设展开式中第k＋1项的系数最大，
则由Tk＋1＝Ck5(x23 )5－k(3x2)k＝3kCk5x10+4k3 ，
得 3kCk5≥3k－1Ck－15，3kCk5≥3k＋1Ck＋15，∴72≤k≤92，∴k＝4，
即展开式中系数最大的项为T5＝C45(x23 )(3x2)4＝405x263 .
例2、(1)若nxx421展开式中前三项系数成等差数列．则展开式中系数最大的项为________．
(2)在(1＋2x)n的展开式中，末三项的二项式系数和为56，则展开式中系数最大的项为________．
[答案] (1)7·x35 和7·x74 (2)15360x7
题型二、求展开式中各项系数之和
例3、已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.
求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
[解析] 令x＝1，则 对称性 与首末两端“________”的两个二项式系数相等(即Cmn＝Cn－mn)．
杨辉三角和二项式定理
杨辉三角和二项式定理是数学中经典的基本概念和定理，被广泛应用于组合数学、数理统计、微积分等领域。本文将介绍杨辉三角和二项式定理的定义、性质以及应用。
一、杨辉三角
杨辉三角是一种数学图形，是由数字排列成三角形的形式，数字排列的规律性很强，主要是由二项式系数的各个项的系数构成的，又称为帕斯卡三角。
杨辉三角的构造方法如下：
1.第一行写上数字1；
2.从第二行开始，每相邻的两个数字都是上一行数字的相邻两个数字之和；
例子：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
二、二项式定理
二项式定理是代数学中的基本定理，它阐述了将一个二项式求幂的基本方法。二项式定理的全称为“任意实数a和b以及非负整数n，有：
(a+b)^n = C(n, 0)a^n + C(n, 1)a^(n-1)b + … + C(n, n)b^n”
其中C(n, k)为组合数，在组合数学中有明确的定义，即从n个不同元素中选取k个元素的不同组合数。组合数用符号C(n, k)表示，其计算公式为：
C(n, k) = n! / [k! (n-k)!]
这样，我们就得到了二项式定理的定义。 三、杨辉三角和二项式定理的联系和应用
二项式定理中的系数C(n, k)可以在杨辉三角中找到，这也是杨辉三角的一个重要应用。具体来说，杨辉三角的第n行第k个数就是C(n, k)。
另外，杨辉三角还可以用来计算排列组合中的一些问题。例如，需要在n个元素中选取m个元素的不同组合数，这就可以通过杨辉三角中的组合数来解决。
杨辉三角和二项式定理还可以应用于微积分中的泰勒公式、数理统计中的二项分布等问题。在统计学中，二项分布是一个离散的概率分布，用来计算在n个独立的是/非试验中成功k次的概率。
杨辉三角和二项式定理在数学中属于基本概念和基本定理，对于理解和应用数学知识是非常重要的。通过了解杨辉三角和二项式定理的定义和性质，可以更好地应用它们来解决实际问题。
