江苏专用2020年高考数学一轮复习考点26数系的扩充与复数的引入必刷题含解析

第一节数系的扩充与复数的引入 一、基础知识批注——理解深一点1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．复数z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )的对应点的坐标为(a ，b )，而不是(a ，b i ).(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c ＋d ＋bc －ad c ＋d i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律设z 1，z 2，z 3∈C ，则复数加法满足以下运算律： ①交换律：z 1＋z 2＝z 2＋z 1；②结合律：(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．二、常用结论汇总——规律多一点(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)；i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈N *)．(4)z ·z ＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n.三、基础小题强化——功底牢一点(一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( ) (4)原点是实轴与虚轴的交点．( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√(二)选一选1．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i 1－2i ＝( )A ．－45－35iB ．－45＋35iC ．－35－45iD ．－35＋45i解析：选D 1＋2i 1－2i ＝(1＋2i )2(1－2i )(1＋2i )＝－3＋4i 5＝－35＋45i.2．设(1－i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则x ＋y i 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选D ∵(1－i)x ＝1＋y i ⇒x －x i ＝1＋y i ⇒(x －1)－(x ＋y )i ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋y ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y i ＝1－i ，其在复平面内所对应的点为(1，－1)，在第四象限，故选D. 3．若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝( ) A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：选A 因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＝a 2＋1－a2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.(三)填一填4．已知复数z ＝|(3－i)i|＋i 5(i 为虚数单位)，则复数z 的共轭复数是________． 解析：由题意知z ＝|3i ＋1|＋i ＝12＋(3)2＋i ＝2＋i ，则z ＝2－i. 答案：2－i5．设复数z 1＝2－i ，z 2＝a ＋2i(i 是虚数单位，a ∈R )，若z 1z 2∈R ，则a ＝________. 解析：依题意，复数z 1z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i 是实数，因此4－a ＝0，a ＝4.答案：4考点一 复数的四则运算[典例] (1)(2017·山东高考)已知i 是虚数单位，若复数z 满足z i ＝1＋i ，则z 2＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－2D ．2(2)(2019·山东师大附中模拟)计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＝( )A ．2B ．－2C ．2iD ．－2i[解析] (1)∵z i ＝1＋i ， ∴z ＝1＋i i ＝1i ＋1＝1－i.∴z 2＝(1－i)2＝1＋i 2－2i ＝－2i.(2)(2＋i )(1－i )21－2i ＝－(2＋i )2i 1－2i ＝2－4i1－2i ＝2，故选A.[答案] (1)A (2)A[解题技法] 复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[题组训练]1．(2019·合肥质检)已知i 为虚数单位，则(2＋i )(3－4i )2－i ＝( )A ．5B ．5iC ．－75－125iD ．－75＋125i解析：选A 法一：(2＋i )(3－4i )2－i ＝10－5i2－i ＝5，故选A.法二：(2＋i )(3－4i )2－i ＝(2＋i )2(3－4i )(2＋i )(2－i )＝(3＋4i )(3－4i )5＝5，故选A.2．(2018·济南外国语学校模块考试)已知(1－i )2z ＝1＋i(i 为虚数单位)，则复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选D 由题意，得z ＝(1－i )21＋i ＝－2i 1＋i ＝－1－i ，故选D.3．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ，则复数z ＝________.解析：因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i ＝(－1＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2i2＝i.答案：i考点二 复数的有关概念[典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知i 为虚数单位，若复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－1C ．－13D ．－53(2)(2018·全国卷Ⅰ)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A ．0B.12C ．1 D. 2[解析] (1)z ＝a 1－2i ＋i ＝a (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＋i ＝a 5＋2a ＋55i ，∵复数z ＝a1－2i＋i(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，∴－a 5＝2a ＋55，解得a ＝－53.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2i ＝ －2i2＋2i ＝i ，∴|z |＝1.故选C. [答案] (1)D (2)C[解题技法] 紧扣定义解决复数概念、共轭复数问题(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．[题组训练]1．(2019·山西八校第一次联考)已知a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若3－4i 3＝2－b ia ＋i，则a ＋b 等于( )A ．－9B ．5C ．13D ．9解析：选A 由3－4i 3＝2－b i a ＋i ，得3＋4i ＝2－b ia ＋i，即(a ＋i)(3＋4i)＝2－b i ，(3a －4)＋(4a＋3)i ＝2－b i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4＝2，4a ＋3＝－b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－11，故a ＋b ＝－9.故选A.2．(2019·贵阳适应性考试)设z 是复数z 的共轭复数，满足z ＝4i1＋i ，则|z |＝( )A ．2B ．2 2 C.22D.12解析：选B 法一：由z ＝4i 1＋i ＝4i (1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋2i ， 得|z |＝|z |＝22＋22＝22，故选B.法二：由模的性质，得|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪4i 1＋i ＝|4i||1＋i|＝42＝2 2.故选B.3．若复数z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a 的值是________． 解析：由于z ＝a 2－a －2＋(a ＋1)i 为纯虚数，因此a 2－a －2＝0且a ＋1≠0，解得a ＝2.答案：2考点三 复数的几何意义[典例] (1)如图，在复平面内，复数z1，z 2对应的向量分别是OA ―→，OB ―→，若zz 2＝z 1，则z 的共轭复数z ＝( )A.12＋32i B.12－32i C ．－12＋32iD ．－12－32i(2)复数z ＝4i 2 018－5i1＋2i(其中i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[解析] (1)由题意知z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋i ，故z (－1＋i)＝1＋2i ， 即z ＝1＋2i －1＋i ＝(1＋2i )(1＋i )(－1＋i )(1＋i )＝1－3i 2＝12－32i ，z ＝12＋32i ，故选A.(2)z ＝4i 2 018－5i1＋2i ＝4×i 2 016·i 2－5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝－4－5(2＋i )5＝－6－i ，故z 在复平面内对应的点在第三象限． [答案] (1)A (2)C[解题技法] 对复数几何意义的再理解(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ ―→相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ ―→. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[题组训练]1．(2019·安徽知名示范高中联考)已知复数z 满足(2－i)z ＝i ＋i 2，则z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝i ＋i 22－i ＝－1＋i 2－i ＝(－1＋i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝－3＋i 5＝－35＋15i ，则复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－35，15，该点位于第二象限．故选B. 2．若复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，则z 在复平面内所对应的图形的面积为________．解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋(y －1)2≤ 2， 所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π.答案：2π 3．已知复数z ＝2＋a i1＋2i，其中a 为整数，且z 在复平面内对应的点在第四象限，则a 的最大值为________．解析：因为z ＝2＋a i 1＋2i ＝(2＋a i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2＋2a ＋(a －4)i5，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫2＋2a 5，a －45， 所以⎩⎨⎧2＋2a5＞0，a －45＜0，解得－1＜a ＜4，又a 为整数，所以a 的最大值为3. 答案：3[课时跟踪检测]1．(2019·广州五校联考)1＋2i(1－i )2＝( )A ．－1－12iB ．1＋12iC ．－1＋12iD ．1－12i解析：选C1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i＝(1＋2i )i 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，选C. 2．(2018·洛阳第一次统考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i1＋i为纯虚数，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C ∵a －i 1＋i ＝(a －i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝a －12－a ＋12i 为纯虚数，∴a －12＝0且a ＋12≠0，解得a ＝1，故选C.3.(2018·甘肃诊断性考试)如图所示，向量OZ1―→，OZ 2―→所对应的复数分别为z 1，z 2，则z 1·z 2＝( )A ．4＋2iB ．2＋iC ．2＋2iD ．3＋i解析：选A 由图可知，z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2＝(1＋i)(3－i)＝4＋2i ，故选A.4．若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为( ) A ．－20 B ．－2 C ．4D ．6解析：选A 因为(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，所以复数(z 1－z 2)i 的实部为－20. 5．(2019·太原模拟)若复数z ＝1＋m i1＋i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选A 法一：因为z ＝1＋m i 1＋i ＝(1＋m i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋m 2＋m －12i 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫1＋m 2，m －12，且在第四象限，所以⎩⎨⎧1＋m2>0，m －12<0，解得－1<m <1，故选A.法二：当m ＝0时，z ＝11＋i ＝1－i (1＋i )(1－i )＝12－12i ，在复平面内对应的点在第四象限，所以排除选项B 、C 、D ，故选A.6．(2018·昆明高三摸底)设复数z 满足(1＋i)z ＝i ，则z 的共轭复数 z ＝( ) A.12＋12i B.12－12i C ．－12＋12iD ．－12－12i解析：选B 法一：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法二：∵(1＋i)z ＝i ，∴z ＝i 1＋i ＝2i2(1＋i )＝(1＋i )22(1＋i )＝1＋i 2＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B.法三：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，∵(1＋i)z ＝i ，∴(1＋i)(a ＋b i)＝i ，∴(a －b )＋(a ＋b )i ＝i ，由复数相等的条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12，∴z ＝12＋12i ，∴复数z 的共轭复数z ＝12－12i ，故选B. 7．设复数z 满足i(z ＋1)＝－3＋2i(i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 由i(z ＋1)＝－3＋2i ，得z ＝－3＋2i i －1＝3i 2＋2ii －1＝2＋3i －1＝1＋3i ，它在复平面内对应的点为(1,3)，位于第一象限．8．已知复数z ＝m i1＋i，z ·z ＝1，则正数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C.22D.12解析：选A 法一：z ＝m i 1＋i ＝m i (1－i )(1＋i )(1－i )＝m 2＋m 2i ，z ＝m 2－m 2i ，z ·z ＝m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.法二：由题意知|z |＝|m i||1＋i|＝|m |2，由z ·z ＝|z |2，得m 22＝1，则正数m ＝2，故选A.9．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1＋i)(1－b i)＝a ，则ab 的值为________．解析：因为(1＋i)(1－b i)＝1＋b ＋(1－b )i ＝a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋b ＝a ，1－b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2，所以a b ＝2.答案：210．复数|1＋2i|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3i 1＋i 2＝________.解析：原式＝12＋(2)2＋(1－3i )2(1＋i )2＝3＋－2－23i2i ＝3＋i －3＝i. 答案：i11．(2019·重庆调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋3i2＋i，复数|z |＝________.解析：法一：因为z ＝1＋3i 2＋i ＝(1＋3i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝5＋5i5＝1＋i ，所以|z |＝12＋12＝ 2.法二：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋3i 2＋i ＝|1＋3i||2＋i|＝105＝ 2.答案： 212．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝________.解析：∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i－2－23i＝3＋i －2(1＋3i )＝(3＋i )(1－3i )－2(1＋3i )(1－3i )＝23－2i －8＝－34＋14i ，∴z ·z ＝|z |2＝316＋116＝14.答案：1413．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i－i＝－1－3i.(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i2＋i ＝i (2－i )5＝15＋25i.(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i2＝－1. (4)1－3i (3＋i )2＝(3＋i )(－i )(3＋i )2＝－i 3＋i＝(－i )(3－i )4＝－14－34i.。

第四单元平面向量、数系的扩充与复数的引入课时作业(二十四)第24讲平面向量的概念及其线性运算基础热身1.下列说法中正确的是()A.向量a与b共线,向量b与c共线,则向量a与c共线B.向量a与b不共线,向量b与c不共线,则向量a与c不共线C.向量与共线,则A,B,C,D四点一定共线D.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量2.下列四项中不能化简为的是()A.+-B.(+)+(+)C.(+)+D.-+3.已知点O为△ABC的外接圆的圆心,且+-=0,则△ABC的内角A等于 ()A.30°B.60°C.90°D.120°4.已知D为三角形ABC的边BC的中点,点P满足++=0,=λ,则实数λ的值为.5.已知四边形OABC中,=,若=a,=b,则= .能力提升6.[2017·赣州二模]如图K24-1所示,已知=a,=b,=3,=2,则= ()图K24-1A.b-aB.a-bC.a-bD.b-a7.已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则= ()A.λ(+),λ∈(0,1)B.λ(+),λ∈C.λ(-),λ∈(0,1)D.λ(-),λ∈8.[2017·北京海淀区期末]如图K24-2所示,在正方形ABCD中,E为DC的中点,若=λ+μ,则λ-μ=()图K24-2A.3B.2C.1D.-39.[2017·鞍山第一中学模拟]已知△ABC的外心P满足3=+,则cos A=()A. B.C.-D.10.[2017·湖南长郡中学月考]设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且=2,=2,=2,则++与()A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直11.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是.12.[2017·哈尔滨三模]在△ABC中,已知AB⊥AC,AB=AC,点M满足=t+(1-t),若∠BAM=,则t= .13.(15分)设两个非零向量a与b不共线.(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线.(2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线.14.(15分)如图K24-3所示,在△OCB中,点A是BC的中点,点D满足OD=2BD,DC与OA交于点E.设=a,=b.(1)用向量a,b表示,;(2)若=λ,求实数λ的值.图K24-3难点突破15.(5分)[2017·太原三模]在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=60°,点P是△ABC内一点(含边界),若=+λ,则的取值范围为()A.B.C.D.16.(5分)如图K24-4所示,将两个直角三角形拼在一起,当E点在线段AB上移动时,若=λ+μ,则当λ取得最大值时,λ-μ的值是.图K24-4课时作业(二十五)第25讲平面向量基本定理及坐标表示基础热身1.若a,b是平面内的一组基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是 ()A.a-b,b-aB.a+b,a-bC.2b-3a,6a-4bD.2a+b,a+b2.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,0)D.(4,3)3.在△ABC中,D为BC上一点,且=,以向量,作为一组基底,则= ()A.+B.+C.+D.+4.[2017·北京昌平区二模]已知a=(1,),b=(,k),若a∥b,则k= .5.[2017·合肥一中、马鞍山二中等六校联考]在△ABC中,D为边BC上靠近点B的三等分点,连接AD,E为AD的中点,若=m+n,则m+n= .能力提升6.[2017·广州月考]已知点A(1,-1),B(2,t),若向量=(1,3),则t=()A.2B.3C.4D.-27.已知向量a=(1,2),b=(-3,5),c=(4,x),若a+b=λc(λ∈R),则λ+x的值为()A.-B.C.-D.8.[2017·吉林梅河口一模]向量a,b,c在正方形网格中的位置如图K25-1所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则=()图K25-1A.2B.4C.5D.79.[2017·四川凉山一诊]设向量a=(cos x,-sin x),b=-cos-x,cos x,且a=tb,t≠0,则sin 2x=()A.1B.-1C.±1D.010.如图K25-2所示,在△ABC中,=,P是BN上的一点,若=m++,则实数m的值为()图K25-2A. B.C.1D.311.[2017·株洲一模]平面内有三点A(0,-3),B(3,3),C(x,-1),且与共线,则x= .12.[2017·潮州二模]在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点.若=(4,3),=(1,5),则= (用坐标表示).13.(15分)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.(1)求3a+b-3c;(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;(3)求M,N的坐标及向量的坐标.14.(15分)[2017·太原模拟]已知点O为坐标原点,A(0,2),B(4,6),=t1+t2.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件.(2)求证:当t1=1时,不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.难点突破15.(5分)[2017·湖北重点中学联考]已知G为△ADE的重心,点P为△DEG内一点(含边界),B,C分别为AD,AE上的三等分点(B,C均靠近点A),若=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是()A.[1,2]B.C.D.16.(5分)[2017·四川资阳三诊]在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD∥BC,AB=BC=2AD=2,E,F分别为BC,CD的中点,以A 为圆心,AD为半径的半圆分别交BA及BA的延长线于点M,N,点P在上运动(如图K25-3所示).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则2λ-5μ的取值范围为()A.[-2,2]B.[-2,2]C.[-2,2]D.[-2,2]图K25-3课时作业(二十六)第26讲平面向量的数量积与平面向量应用举例基础热身1.[2017·贵阳二模]已知向量a,b满足|a+b|=2,a·b=2,则|a-b|=()A.8B.4C.2D.12.已知a=(1,2),b=(-1,3),则|2a-b|=()A.2B.C.10D.3.[2017·北京东城区二模]已知向量a=(1,2),b=(x,4),且a⊥b,则x=()A.-2B.-4C.-8D.-164.[2017·唐山模拟]已知向量a=(3,-1),b=(2,1),则a在b方向上的投影为.5.[2017·南充三诊]已知平面向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b夹角的正弦值为.能力提升6.[2017·东莞模拟]已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角为120°,则|a-3b|=()A.B.C.D.47.[2017·鹰潭模拟]已知向量a=(1,2),b=(x,-1),若a∥(a-b),则a·b=()A.-B.C.2D.-28.已知向量与的夹角为120°,且=2,=4,若=+λ,且⊥,则实数λ的值为()A. B.-C. D.-9.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=a+λb(λ∈R),向量d如图K26-1所示,则()图K26-1A.存在λ>0,使c⊥dB.存在λ>0,使<c,d>=60°C.存在λ<0,使<c,d>=30°D.存在λ>0,使c=md(m是不为0的常数)10.已知非零向量与满足·=0,且·=-,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.等腰非等边三角形C.三边均不相等的三角形D.直角三角形11.若向量a与b的夹角为,且|a|=2,|b|=1,则a与a+2b的夹角为.12.[2017·武汉模拟]已知平面向量a,b满足=1,a与b-a的夹角为60°,记m=λa+(1-λ)b(λ∈R),则的取值范围为.13.(15分)[2017·黄山模拟]在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(,1),n=(cos A+1,sin A),且m·n=2+.(1)求角A的大小;(2)若a=,cos B=,求△ABC的面积.14.(15分)已知向量a=sin x+,1,b=(4,4cos x-).(1)若a⊥b,求sin x+的值;(2)设f(x)=a·b,若α∈0,,fα-=2,求cos α的值.难点突破15.(5分)[2017·上饶重点中学联考]在等腰三角形AOB中,若==5,且|+|≥||,则·的取值范围为()A.[-15,25)B.C.D.16.(5分)已知△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=2,A为钝角,M是BC的中点,则·=()A.3B.4C.5D.6课时作业(二十七)第27讲数系的扩充与复数的引入基础热身1.设i为虚数单位,则i3+i5=()A.0B.1C.-1D.22.[2017·遂宁三诊]复数z=cos+isin在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.[2017·豫北重点中学联考]复数z=(2+3i)i的实部与虚部之和为 ()A.1B.-1C.5D.-54.[2017·石家庄三模]复数= .5.设i为虚数单位,复数z1=1-2i,z2=4+3i,则|z1+z2|= .能力提升6.[2017·山西实验中学联考]若复数z满足=1,其中i为虚数单位,则复数z的共轭复数为()A.-+B.--C.-D.+7.[2017·成都三诊]已知复数z1=2+6i,z2=-2i.若z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,线段AB的中点C对应的复数为z,则=()A.B.5C.2D.28.[2017·大同三模]如图K27-1所示的网格纸中小正方形的边长是1,复平面内点Z对应的复数z满足(z1-i)·z=1,则复数z1=()图K27-1A.-+iB.+iC.-iD.--i9.[2017·长郡中学模拟]若复数z=a+2i(a∈R),且满足=|-i|,则a=()A.±1B.1C.±2D.210.[2017·抚州第一中学模拟]已知集合A=N,B={x∈R|z=3+x i,且|z|=5}(i为虚数单位),则A∩B=()A.4B.-4C.D.11.[2017·广元三诊]欧拉公式e i x=cos x+isin x(i为虚数单位)是瑞士数学家欧拉发明的,将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的联系,被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知,表示的复数的模为()A. B.1C.D.12.已知复数z=,则复数z的虚部为.13.[2017·郑州模拟]已知=b+2i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a-b= .14.[2017·池州联考]已知复数z=,其中a为整数,且z在复平面内对应的点在第四象限,则a的最大值为.难点突破15.(5分)[2017·枣庄模拟]已知m为实数,i为虚数单位,若m+(m2-4)i>0,则=()A.iB.1C.-iD.-116.(5分)[2017·鹰潭模拟]“复数z=-(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ=+2kπ(k∈Z)”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件课时作业(二十四)1.D[解析] 当b=0时,a与c不一定共线,∴A错误;如图所示,a=,c=,b=,b与a,c均不共线,但a与c共线,∴B错误;在▱ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,∴C错误;若a与b中有一个为零向量,则a与b一定共线,∴当a与b不共线时,a与b一定都是非零向量,故D正确.2.A[解析] 根据向量的线性运算可知,+-=2+≠,故选A.3.A[解析] 由+-=0得+=,如图所示,由O为△ABC的外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知,四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°,故A=30°.故选A.4.-2[解析] 因为D是BC的中点,所以+=2.由++=0,得=.又=λ,所以点P是以AB,AC为邻边的平行四边形的第四个顶点(如图所示),因此=+=2=-2,所以λ=-2.5.-a+b [解析] =-,=+=b+a,所以=b+a-a=b-a.6.D[解析] 由平面向量的三角形法则可知,=+=+=(-)-=-+=-a+b,故选D.7.A[解析] 根据向量的平行四边形法则,得=+.因为点P在对角线AC上(不包括端点A,C),所以与共线,所以=λ=λ(+),λ∈(0,1),故选A.8.D[解析] ∵E是DC的中点,∴=(+),∴=-+2,∴λ=-1,μ=2,则λ-μ=-1-2=-3.9.A[解析] 设点D为BC的中点,则+=2,结合题意可得2=3,据此可知△ABC的外心与重心重合,则△ABC是等边三角形,所以cos A=cos =,故选A.10.A[解析] 因为=2,所以=,则=-=-,同理=+,=-,则++=-,即++与反向平行,故选A.11.梯形[解析] 由已知得=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,故与共线,且||≠,所以四边形ABCD是梯形.12.[解析] 由题意可得=t+-t,所以-=t-t,即=t,所以与共线,即B,M,C三点共线,且t=.又由条件知=,所以t=.在△ABC中,由正弦定理知===,所以t==.13.解:(1)证明:∵=a+b,=2a+8b,=3(a-b),∴=+=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5,∴与共线.又与有公共点B,∴A,B,D三点共线.(2)若ka+b与a+kb共线,则存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b.又a与b是不共线的非零向量,∴k-λ=λk-1=0,∴k2-1=0,∴k=±1.14.解:(1)∵=(+),∴=2-=2a-b,∴=-=-=2a-b.(2)∵D,E,C三点共线,∴=m=2ma-mb(0<m<1)①.在△ODE中,=-=λ-=λa-b②.由①②得2ma-mb=λa-b,即解得15.D[解析] 在AB上取一点D,使得=,过D作DH∥AC,交BC于H.∵=+λ,且点P是△ABC内一点(含边界),∴点P在线段DH上.当P在D点时,||取得最小值2;当P在H点时,||取得最大值,此时B,P,C三点共线,∵=+λ,∴λ=,∴=+,∴=++·=,∴||=.故||的取值范围为2,.故选D.16.-2[解析] 如图所示,作BM∥AD交AC于M,作BN∥AC交AD于N,则AM∥BN且AM=BN.由题意知,当λ取得最大值时,点E与点B重合.在Rt△ABC中,=,在△ABM中,由正弦定理得==,则λmax==.又在Rt△ABD中,=||,在△ABN中,由正弦定理得==||,则μ==,∴λ-μ=-2.课时作业(二十五)1.B[解析] 显然向量a+b与向量a-b不共线,故选B.2.A[解析] 易得b-a=(3-1,1-2)=(2,-1),故选A.3.D[解析] 由题意得=+=+(-)=+,故选D.4.3[解析] ∵a=(1,),b=(,k),a∥b,∴k×1-×=0,∴k=3.5.-[解析] 由图可知=(+)=-=(-)-=-,∴m+n=-=-.6.A[解析] 由题意得=(2-1,t+1)=(1,3),则t+1=3,解得t=2,故选A.7.C[解析] 由已知可得(1,2)+(-3,5)=λ(4,x),∴∴∴λ+x=-,故选C.8.B[解析] 以a的终点,b的起点为坐标原点建立平面直角坐标系,如图所示,则a=(-1,1),b=(6,2),c=(-1,-3).由题意得c=(-λ+6μ,λ+2μ)=(-1,-3),则有解得故=4.9.C[解析] 因为b=-cos-x,cos x=(-sin x,cos x),a=tb,所以cos x cos x-(-sin x)(-sin x)=0,即cos2x-sin2x=0,所以tan2x=1,即tan x=±1,所以x=+(k∈Z),则2x=kπ+(k∈Z),所以sin 2x=±1,故选C.10.A[解析] =m++=m+,设=t(0≤t≤1),则=+=+t(+)=+t-=(1-t)+t,所以m=1-t且=,故m=1-t=1-=,故选A.11.1[解析] 由题知=(3,6),=(x-3,-4).因为与共线,所以3×(-4)-6(x-3)=0,解得x=1.12.(-6,21)[解析] 依题意得=3.因为点Q是AC的中点,所以+=2,所以=2-=(-2,7),故=3=(-6,21).13.解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).(1)3a+b-3c=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n),∴解得(3)设O为坐标原点,∵=-=3c,∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),∴M(0,20).又∵=-=-2b,∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N(9,2),∴=(9,-18).14.解:(1)=t1+t2=t1(0,2)+t2(4,4)=(4t2,2t1+4t2).当点M在第二或第三象限时,则有故所求的充要条件为t2<0且t1+2t2≠0.(2)证明:当t1=1时,由(1)知=(4t2,4t2+2).因为=-=(4,4),所以=-=(4t2,4t2)=t2(4,4)=t2,又与有公共点A,所以不论t2为何实数,A,B,M三点都共线.15.D[解析] 由题意可知,点P位于D,E,G三点时,α+β取得最值.当点P在点D处时,α=3,β=0,则α+β=3;当点P在点E处时,α=0,β=3,则α+β=;当点P在点G处时,α=1,β=1,则α+β=.故选D.16.C[解析] 建立平面直角坐标系如图所示,则B(2,0),D(0,1),E(2,1),F1,.设P(cos α,sin α)(0≤α≤π),由=λ+μ得(cos α,sin α)=λ(2,1)+μ-1,,则2λ-5μ=2cos α-2sin α=2sinα+,又0≤α≤π,所以≤α+≤,则-2≤2sinα+≤2,所以2λ-5μ的取值范围是[-2,2],故选C.课时作业(二十六)1.C[解析] |a-b|2=(a-b)2=(a+b)2-4a·b=(2)2-4×2=4,∴|a-b|=2.故选C.2.D[解析] ∵2a-b=2(1,2)-(-1,3)=(3,1),∴|2a-b|==,故选D.3.C[解析] ∵a⊥b,∴a·b=x+8=0,∴x=-8,故选C.4.[解析] a在b方向上的投影为==.5.[解析] ∵a·(a+b)=a2+a·b=3,∴a·b=-1,∴cos<a,b>==-,∴向量a与b夹角的正弦值为.6.C[解析] |a-3b|2=a2-6a·b+9b2=1-6cos 120°+9=13,所以|a-3b|=.7.A[解析] 由题意得a-b=(1-x,3).∵a∥(a-b),∴1×3=2(1-x),解得x=-,则a·b=1×+2×(-1)=-.8.C[解析] 因为·=2×4×cos 120°=-4,所以·=(+λ)·(-)=-4+16λ-4+4λ=0,解得λ=,故选C.9.D[解析] 由图知d=(4,3),由题得c=a+λb=(1,λ).若c⊥d,则4+3λ=0,解得λ=-,故A错误;若向量c与d的夹角为60°,则有4+3λ=5cos 60°,即11λ2+96λ+39=0,有两个负根,故B错误;若向量c与d的夹角为30°,则有4+3λ=5cos 30°,即39λ2-96λ+11=0,有两个正根,故C错误;若向量c与d共线,则有4λ=3,解得λ=>0,故选D.10.B[解析] 表示与同向的单位向量,表示与同向的单位向量,所以+表示以与同向的单位向量和与同向的单位向量为邻边的平行四边形的对角线.因为+·=0,所以=,又由·=-得与的夹角为120°,所以△ABC为等腰非等边三角形,故选B.11.[解析] 由题意得a·b=2×1×=1,则a·(a+2b)=a2+2a·b=22+2×1=6,|a+2b|===2,所以cos<a,a+2b>===,则a与a+2b的夹角为.12.[解析] 如图所示,设=a,=b,=m,则||=1,∠OAB=120°.∵m=λa+(1-λ)b(λ∈R),∴A,B,C三点共线.∵点O到直线AB的距离为||·sin 60°=,∴||≥,∴|m|的取值范围为,+∞.13.解:(1) ∵m·n=cos A++sin A=2sin A++=2+,∴sin A+=1.又∵0<A<π,∴A=.(2)∵cos B=,∴sin B=,由=得b==2,∴S△ABC=ab sin C=××2×sin(A+B)=(sin A cos B+cos A sin B)=+.14.解:(1)因为a⊥b,所以a·b=4sin x++4cos x-=2sin x+6cos x-=4sin x+-=0,所以sin x+=,所以sin x+=-sin x+=-.(2)由(1)知f(x)=4sin x+-,所以由fα-=2得sinα+=.又α∈0,,所以α+∈,,又因为<,所以α+∈,,所以cosα+=,所以cos α=cosα+-=cosα+cos+sinα+sin=×+×=.15.A[解析] |+|≥||=|-|,所以|+|2≥|-|2,即(+)2≥(-)2,所以+2·+≥(-2·+),即52+2·+52≥(52-2·+52),则·≥-15.又·≤||||=5×5=25,当且仅当与同向时取等号,因此上式等号不成立,所以·的取值范围为[-15,25),故选A.16.C[解析] ∵M是BC的中点,∴=(+).∵O是△ABC的外接圆的圆心,∴·=||·||cos∠BAO=||2=×(2)2=6,同理可得·=||2=×(2)2=4,∴·=(+)·=·+·=×(6+4)=5.故选C.课时作业(二十七)1.A[解析] i3+i5=-i+i=0,故选A.2.B[解析] 因为cos<0,sin>0,所以复数z=cos+isin在复平面内对应的点位于第二象限,故选B.3.B[解析] z=(2+3i)i=-3+2i,所以复数z的实部与虚部之和为-3+2=-1,故选B.4.1+i[解析] ==1+i.5.[解析] 由已知得z1+z2=5+i,则|z1+z2|==.6.B[解析] 由=1得z(1-i)=i,即z===-+i,则复数z的共轭复数为--,故选B.7.A[解析] 由题意知A(2,6),B(0,-2),则C(1,2),∴z=1+2i,则|z|=,故选A.8.B[解析] 由题得z=2+i,所以z1=+i=+i=+i.9.A[解析] 由z=a+2i得=a-2i,则z=a2+4,所以=|-i|⇒=1⇒a=±1.10.C[解析] 由题意可得==5,则x=±4,所以B={-4,4},由于A=N,因此A∩B={4},故选C.11.B[解析] =cos+isin=+i,所以==1,故选B.12.[解析] 由题意可得z=====-+i,则复数z的虚部为.13.-3[解析] 因为=1-a i=b+2i(a,b∈R),所以b=1,a=-2,则a-b=-3.14.3[解析] 复数z===,则z在复平面内对应的点为,,以解得-1<a<4,又a为整数,所以a的最大值为3.15.A[解析] 因为m+(m2-4)i>0,所以⇒m=2,故==i,故选A.16.B[解析] z=-=sin θ--icos θ,若z为纯虚数,则即θ=2kπ+(k∈Z)或θ=2kπ+π(k∈Z).故“复数z=-(其中i是虚数单位)是纯虚数”是“θ=+2kπ(k∈Z)”的必要不充分条件,故选B.。

考点26 数系的扩充与复数的引入1．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）已知i 是虚数单位，复数z 满足3ii 4iz -=，则复数z 的实部为_____． 【答案】-4 【解析】24343z i i i =+=-+，实部为4-.2．（苏省南通市2019届高三模拟练习卷四模）已知复数221z i i=++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为_______．【答案】1i - 【解析】22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -∴=+=+=-+=+++- ∴1z i =-． 故答案为：1i -．3．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）设复数2(12)z i =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为_______. 【答案】34i -- 【解析】14434z i i =+-=-+ z ∴的共轭复数为：34i --本题正确结果：34i --．4．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）若11abi i+=-，其中i 为虚数单位，,a b R ∈，则ab 的值为________. 【答案】-2 【解析】 因为(1)1(1)(1)222a a i a ai a a bi bi bi b i i i i ++⎛⎫+=+=+=++ ⎪--+⎝⎭， 又11a bi i +=-，所以122a a b i ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，所以有122aab⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2,1a b==-，因此2ab=-.故答案为2-．5．（江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷）设i是虚数单位，复数i2iaz-=的模为1，则正数a的值为_______．【解析】由题得i1i2i22a az-==--，因为复数z的模为1，所以21144a+=，解之得正数a．6．（江苏省南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟考试）复数i2iz=-+（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第_______象限．【答案】三【解析】复数i2iz=-+＝i(2i)12555i--=--，所以z在复平面内对应的点的坐标为12(,)55--.在第三象限.故答案为：三7．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研i___．【答案】-3 【解析】因为复数8．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知复数34i5iz +=，其中i 是虚数单位，则z ＝_______． 【答案】1 【解析】 因为()243534i 34i 435i 5i 55i i z i ++-+==-==-所以1z ==． 9．（江苏省2019届高三第二学期联合调研测试）在复平面内，复数12iz i+=对应的点位于第_____象限． 【答案】四 【解析】因为()21212i 22i 1i i iz i i ++-+====-- 所以复数z 对应的点为()2,1-，位于第四象限 故答案为：四.10．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）已知复数z 满足()123z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的值为________．【解析】()()3i 12i 3i 17z i 12i 555---===-+，z ==11．（江苏省七市2019届(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)高三第二次调研考试）复数2i2iz =+（i 为虚数单位）的实部为____． 【答案】25【解析】()()()2i 2i 2i 24z i,2i 2i 2i 55-===+++-故实部为25故答案为25． 12．（江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟考试）若复数z 满足2zi a i=+（i 为虚数单位），且实部和虚部相等，则实数a 的值为______. 【答案】2- 【解析】由题得z=(a+2i)i=-2+ai,因为复数的实部与虚部相等，所以a=-2. 故答案为：-2．13．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）已知复数(2i)i (2i)z a =+-⋅-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数a 的值为__． 【答案】2 【解析】()()()222212z i ai ai a a i =+-+=-+-z 为纯虚数 20120a a -=⎧⇒⎨-≠⎩ 2a ⇒=本题正确结果：2．14．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知复数i 为虚数单位），则复数z 的模为_____.【答案】【解析】则复数z 的模为．故答案为：15．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知复数)_________．【答案】5【解析：故答案为：5．16．（江苏省淮安市淮安区2019为虚数单位）_______．【答案】【解析】∵z1•z2＝（2﹣i）（m+i）＝2m+1+（2﹣m）i为纯虚数，∴2﹣m≠0且2m+1=0，解得m故答案为：17．（江苏省南通市2019位)是纯虚数，则实数________．【答案】【解析】∵z=a+3i，∴z2=a2﹣9+6ai，又z2是纯虚数，a=3，a=﹣3，故答案为：18．（江苏省南京市2019届高三上学期综合模拟）复数数为________.【答案】【解析】所以19．（江苏省南京市六校联合体2019届高三12月联考）______．【答案】【解析】∴故答案为：20．（江苏省清江中学2019_____________________.【答案】2【解析】因为复数z故答案为：2．21．（江苏省苏锡常镇2018届高三3月教学情况调研一）已知复数（数单位）．【答案】5【解析】22．（江苏省苏州市2018届高三调研测试）已知i为虚数单位，_____．【答案】【解析】，故答案为23．（江苏省扬州市仪征中学2019是实数），其中i 【答案】-2 【解析】，故答案为-2.24．（江苏省南通市2018复数为____． 【答案】【解析】．25．（江苏省苏州市2018届高三调研测试三）已知i 是虚数单位，复数12aii+-的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________． 【答案】-3 【解析】()()()()12122122255ai i ai a a i i i i +++-+==+--+的实部与虚部互为相反数， ∴221055a a -++=，即3a =-. 故答案为：-3.。

第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4讲数系的扩充与复数的引入教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源Ml谋梳理严1.复数的有关概念⑴复数的概念：形如a+bi(a9方UR)的数叫复数，其中”，b 分别是它的实部和虚部.若b = 0,则a-hbi为实数；若〃工0, 贝|a+bi为虚数；若。

=0且方H0,贝|| a+bi为纯虚数・(2)复数相等：a+"i=c+〃iOa=c 且方=〃(a, b, c9〃WR).(3)共轨复数：〃+方i 与c+〃i 共辘0a=c, b = —(l(a9 b, c9 〃WR).(4)复数的模：向量庞的模厂叫做复数z=a+bi(a f b^R)的模，记作Izl或l«+MI,即lzl = l“+bil=Q/+庆.2.复数的几何意义⑴复数Z=a+bi一-复平面内的点Z(«, b)(a,方ER).(2)复数z=a+〃i(a,方WR)—~平面向量OZ・3. 复数的运算设Zi=a+"i, Z2=c+d\(a, b, c, "WR),则①加法：Zi +Z2=(a +〃i)+(c +〃i) = (a+c) + (〃 +〃)i ；②减法:习一Z2=(a+bi)—(c+〃i) = (a —c) + (〃一〃)i；Zi • Z2=(«+^i)e (c + Ji) = (ac —bd) +(ad+bc)i ；Zi_a+〃i_ (a+〃i) (c —〃i) _ac^rbd be —ad ⑴复数的加、减、乘、 除运算法则③乘法: ④除法:Zi c+〃i (c+〃i) (c—Ji) c2^rd2c2+iZ2（2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，有Z1+Z2=Z2+Z1，（Z1+Z2）+Z3=Z1 +（Z2+Z3）・產D【做二做〕1.已知复数z=*则该复数的虚部为_____________ . 解析:严力（;—l） =]+i,该复数的虚部为1・52 •若a+bi=2潭是虚数单位心〃 $ R），则"= -解析：a+方2i,所以a = l f b = —2, ab = ~2.3.已知复数Zi = —l+2i, Z2=l—i，Z3=3—4i,它们在复平面上对应的点分别为A, B, C,若OC=lOA+pOB^f旳，则2+“的值是].解析：由条件得荒=(3,—4),鬲=(一1, 2), OB=(l f -1),根据O C=2,OA-\-pOB得(3, —4)=2(—1, 2)+“(1, —1) = (—2 A —/z),所以2+“ = 1・4.设复数z=-l-i（i为虚数单位），z的共轨复数为s则1（1解析：依题意得(l-z)-z=(2+i)(-l+i) = -3+i, l(l-z)-zl = l-3+il=^ (-3) 2+l2=^10.5.化简:卩+f|6边+佝 (1—i 丿 \[3—\[2i 解：原式=*+ （边+価）i1.必明辨的3个易错点(1)判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.(2)利用复数相等a+bi=c+〃i列方程时，注意a, b, c, d WR的前提条件.(3)Z2<0在复数范围内有可能成立.2.常用的3个结论(1) (l±i)2=±2i；1+i •口=1•4w + .4n _ 1 + j4n—2 9產0；、缘二绦］1.复数Z=(2—i)i在复平面内对应的点位于第_____ 象限. 解析：z=(2-i)i=2i-i2=l+2i,故复数z=(2-i)i在复平面内对应的点为(1, 2),位于第一象限.=b+i(a9 bWR)其中i为虚数单位，贝l| a+b = 解2.已知申析：根据已知可得葺2^b+i今2—ai=〃+iO即1 2\从而a+b = l.2+i3・复数爲的共轨复数是一所以其共轨复数为一i ・解析：因为Hi 4+i ) l-2i (l-2i)(l+2i) 5i (l+2i) =?4.设。