2025高考数学一轮复习-8.1-直线的方程【课件】

1 2014年高考一轮复习热点难点精讲精析：8.1直线与方程

一、直线的倾斜角与斜率

（一）直线的倾斜角※相关链接※

2．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为(0,)

2

的子集，且k=tan

为增函数；若k为负数，则的范围为(,)

2

的子集，且k=tan为增函数。若k的范围有正有负，

则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

※例题解析※

〖例〗已知直线的斜率k=-cos(∈R).求直线的倾斜角的取值范围。

思路解析：cos的范围斜率k的范围tan的范围倾斜角的取值范围。解答：

1cos1,1cos1.11,1tan1,

3

0,

44

3

[0,],.

44k













即

或

倾斜角的范围为

（二）直线的斜率及应用

※相关链接※

1、斜率公式：21

21yy

k

xx



与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；

2、求斜率的一般方法：

（1）已知直线上两点，根据斜率公式 21

21

21()yy

kxx

xx



求斜率；

（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据tank来求斜率；

3、利用斜率证明三点共线的方法：

2已知112233(,),(,),(,),AxyBxyCxy若123ABACxxxkk或，则有A、B、C三点共线。

注：斜率变化分成两段，090是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

※例题解析※

〖例〗设,,abc是互不相等的三个实数，如果333(,)(,)(,)AaaBbbCcc、、在同一直线上，求证：

0abc

思路解析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在。

解答：

33

22

33

22

2222,,

,

.

,()()0.

,0.AB

AC

ABACabcA

ab

aabb

ab

ac

aacc

ac

ABC

aaccaaccbcabc

bcabc





1 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[备考方向要明了]

考 什 么 怎 么 考

1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．

2.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直．

3.掌握确定直线位置的几何要素；掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等)，了解斜截式与一次函数的关系. 1.对直线的倾斜角和斜率概念的考查，很少单独命题，但作为解析几何的基础，复习时要加深理解．

2.对两条直线平行或垂直的考查，多与其他知识结合考查，如2012年浙江T3等．

3.直线方程一直是高考考查的重点，且具有以下特点：

(1)一般不单独命题，考查形式多与其他知识结合，以选择题为主．

(2)主要是涉及直线方程和斜率.

[归纳·知识整合]

1．直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①一个前提：直线l与x轴相交；

一个基准：取x轴作为基准；

两个方向：x轴正方向与直线l向上方向． 2 ②当直线l与x轴平行或重合时，规定：它的倾斜角为0°.

③倾斜角的取值范围为[0，π)．

(2)直线的斜率

①定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tan_α.

②计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝y2－y1x2－x1.

[探究] 1.直线的倾角θ越大，斜率k就越大，这种说法正确吗？

提示：这种说法不正确．由k＝tan θθ≠π2知，当 θ∈0，π2时，θ越大，斜率越大且为正；当θ∈π2，π时，θ越大，斜率也越大且为负．但综合起来说是错误的．

2．两条直线的斜率与它们平行、垂直的关系

[探究] 2.两条直线l1，l2垂直的充要条件是斜率之积为－1，这句话正确吗？

提示：不正确，当一条直线与x轴平行，另一条与y轴平行时，两直线垂直，但一条直线斜率不存在．

3．直线方程的几种形式

名称 条件 方程 适用范围

点斜式 斜率k与点(x0，y0) y－y0＝

平面解析几何 第八章平面解析几何

[2017高考导航]

知识点

1•在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线 位置的几何要素.

2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直 线斜率的计算公式.

3. 掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形 式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数 的关系.

1. 能麻两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂 直.

2/能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会 求两条平行直线间的距离. 直线的

方程

两直线

的位置

关系 第八章平面解析几何

考纲下载

掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程和一 般方程.

1•能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的 位置关系；能根据给定两个圆的方程判断圆与圆 的位置关系.

2. 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.

3. 初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几 何性质（范围、对称性、顶点、离心率）. 知识点

圆的方

程

直线、

圆的位

置关系 111 第八章平面解析几何

考纲下载

了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知知识点

双曲线 道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离

心率、渐近线）.

了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知

抛物线 道其简单的几何性质（范围、对称性、顶点、离

心率）•

圆锥曲线的 理解数形结合的思想，了解圆锥曲线的简单应

简单应用 用. 第八章平面解析几何

第1讲直线的倾斜角与斜率、直线的方程⑵倾斜角的范围为 [0,兀）

教材回顾▼夯实基础

1. 直线的倾斜角

⑴定义：兀轴正向与直线向上方向之间所成的角叫 做这条直线的倾斜角.当直线与兀轴平行或重合时，规定它

的倾斜角为 __________ 课本温故追根求源

2. 直线的斜率

率，斜率常用小写字母k表示，即k=tan S倾斜角是90° 的直线没有斜率.

§8.1 直线的方程

（挖空）删掉后边黑色背景

1．直线的方向向量

设A，B是直线上的两点，则AB→就是这条直线的方向向量．

2．直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴作为基准， 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.

3．直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α(α≠90°)．

(2)过两点的直线的斜率公式

如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1.

4．直线方程的五种形式

名称 方程 适用范围

点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0

斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线

两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1

截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用

微思考（删除） 1．直线的倾斜角越大，斜率越大对吗？

提示 不对．设直线的倾斜角为α，斜率为k.

α的大小 0° 0°

k的范围 k＝0 k>0 不存在 k<0

k的增减性 随α的增大而增大

随α的增大而增大

2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？

提示 “截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．

题型一 直线的倾斜角与斜率（去掉背景，左对齐，空格2字符）

例1 (1)已知两点A(－1,2)，B(m,3)，且m∈－33－1，3－1，则直线AB的倾斜角α的取值范围是( )

A.π6，π2 B.π2，2π3