+8.2两条直线的位置关系课件——2025届高三数学一轮复习

第二节 两条直线的位置关系

[最新考纲] 1.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两平行直线间的距离．

1．两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

①对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1＝k2.

②当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.

(2)两条直线垂直

①如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.

②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2.

2．两条直线的交点的求法

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．

3．三种距离公式

(1)平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.

特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)的距离|OP|＝x2＋y2.

(2)点P(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离为d＝|C1－C2|A2＋B2.

[常用结论]

由一般式方程确定两直线位置关系的方法

直线方程l1与l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)

l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)

垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0

平行的充分条件 A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)

相交的充分条件 A1A2≠B1B2(A2B2≠0)

重合的充分条件

A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)

第八篇 平面解析几何

专题8.02 两直线的位置关系

【考试要求】

1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；

2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；

3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.

【知识梳理】

1.两条直线平行与垂直的判定

(1)两条直线平行

对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2平行.

(2)两条直线垂直

如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线垂直.

2.两直线相交

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解一一对应.

相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；

平行⇔方程组无解；

重合⇔方程组有无数个解.

3.距离公式

(1)两点间的距离公式

平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝（x2－x1）2＋（y2－y1）2.

特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝x2＋y2.

(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.

(3)两条平行线间的距离公式

一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.

【微点提醒】

1.两直线平行的充要条件

直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0).

2.两直线垂直的充要条件

高三数学一轮复习教案

1 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

考纲传真 1.理解空间直线，平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理．

2．能运用公理，定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.

1．平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．

公理2：过不共线的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线 直线与平面

平面与平面

平行

关系

图形

语言

符号

语言 a∥b a∥α α∥β

相交

关系

图形

语言

符号

语言 a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l

独有 高三数学一轮复习教案

2 关系

图形

语言

符号

语言 a，b是异面直线 a⊂α

3.异面直线所成的角

(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a与b所成的角．

(2)范围：(0，π2』．

4．平行公理

平行于同一条直线的两条直线平行．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

1．(人教A版教材习题改编)下列命题正确的个数为( )

①梯形可以确定一个平面；②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0 B．1 C．2 D．3

『解析』 ②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．

『答案』 C

2．已知a、b是异面直线，直线c∥直线a，那么c与b( )

A．一定是异面直线 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线

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高三数学一轮复习试题：两条直线的位置关系

导读：高考，比的不是智商高低，比的是谁的耐心好，经过一轮、二轮、三轮复习的摧残还能有几个小伙伴说自己屹立不倒的?今天本文库末宝就给大家带来了高考数学一轮复习的同步练习，快来看看吧。

1.已知两条直线l1：(a-1)x+2y+1=0，l2：x+ay+3=0平行，则a=()

A.-1 B.2

C.0或-2 D.-1或2

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2

6.直线(a-1)x+y-a-3=0(a>1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是()

A.1 B.

C.2 D.3

7.若直线l1：2x-5y+20=0，l2：mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则实数m的值为__________。

【解析】：l1、l2与坐标轴围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补。因为两坐标轴垂直，故l1⊥l2，

即2m+10=0，∴m=-5。 精品资料欢迎阅读

3

【答案】：-5

9.已知点A(-5,4)和B(3,2)，则过点C(-1,2)且与点A，B的距离相等的直线方程为__________。

10.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l′的方程。

(1)l′与l平行且过点(-1,3);

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(2)l′与l垂直且l′与两坐标轴围成的三角形面积为4;

(3)l′是l绕原点旋转180°而得到的直线。