2025年高考数学一轮复习 第九章 -第八节 直线与圆锥曲线【课件】

专题16圆锥曲线的标准方程与几何性质

（思维构建+知识盘点+重点突破+方法技巧+易混易错）

知识点1椭圆

1、椭圆的定义

（1）平面内与两个定点F

1，F

2的距离的和等于常数(大于|F

1F

2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

（2）集合P＝{M||MF

1|＋|MF

2|＝2a}，|F

1F

2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a>|F

1F

2|时，M点的轨迹为椭圆；

②当2a＝|F

1F

2|时，M点的轨迹为线段F

1F

2；

③当2a<|F

1F

2|时，M点的轨迹不存在．

2、椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋y2

b2＝1(a>b>0)y2

a2＋x2

b2＝1(a>b>0)

图形

性

质范围－a≤x≤a

－b≤y≤b－b≤x≤b

－a≤y≤a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A

1(－a,0)，A

2(a,0)，

B

1(0，－b)，B

2(0，b)A

1(0，－a)，A

2(0，a)，

B

1(－b,0)，B

2(b,0)

离心率e＝c

a，且e∈(0,1)

a，b，c的关系c2

＝a2

－b2

3、椭圆中的几个常用结论

（1）过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦，长为2b2

a，过焦点最长弦为长轴．

（2）过原点最长弦为长轴长2a，最短弦为短轴长2b.

（3）与椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)有共同焦点的椭圆方程为x2

a2

＋λ＋y2

b2

＋λ＝1(λ＞－b2)．（4）焦点三角形：椭圆上的点P(x

0，y

0)与两焦点F

1，F

2构成的△PF

1F

2叫做焦点三角形．

若r

1＝|PF

1|，r

2＝|PF

2|，∠F

1PF

2＝θ，△PF

1F

2的面积为S，则在椭圆x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)中：

①当r

1＝r

2，即点P为短轴端点时，θ最大；

②S＝1

2|PF

1||PF

2|sinθ＝c|y

0|，当|y

0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc；

③△PF

1F

2的周长为2(a＋c)．

知识点2双曲线

1、双曲线的定义

高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何

9.12 圆锥曲线中的探索性与综合性问题

题型一 探索性问题

例1 已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)与C2：y29－x23＝1有相同的渐近线，点F(2,0)为C1的右焦点，A，B为C1的左、右顶点．

(1)求双曲线C1的标准方程；

(2)若直线l过点F交双曲线C1的右支于M，N两点，设直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，是否存在实数λ使得k1＝λk2？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

解 (1)∵C2的渐近线方程为y＝±3x，

∴ba＝3，

∵c＝a2＋b2＝2，∴a＝1，b＝3，

∴双曲线C1的标准方程为x2－y23＝1.

(2)由已知，A(－1,0)，B(1,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

l过点F(2,0)与右支交于两点，则l斜率不为零，

设l：x＝my＋2，由 x2－y23＝1，x＝my＋2，消元得(3m2－1)y2＋12my＋9＝0，

∵l与双曲线右支交于两点，

∴ 3m2－1≠0，y1y2＝93m2－1<0，解得m∈－33，33，

Δ＝(12m)2－4×9(3m2－1)＝36(m2＋1)>0，

∴y1＋y2＝－12m3m2－1，y1y2＝93m2－1，

∵k1＝y1x1＋1，k2＝y2x2－1≠0，

∴k1k2＝y1x2－1y2x1＋1＝y1my2＋1y2my1＋3＝my1y2＋y1my1y2＋3y2，

∵y1＋y2y1y2＝－12m9＝－4m3，

∴my1y2＝－34(y1＋y2)，

∴k1k2＝－34y1＋y2＋y1－34y1＋y2＋3y2＝14y1－34y2－34y1＋94y2

＝－13，

∴存在λ＝－13使得k1＝λk2.

教师备选

(2022·洛阳模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为33，点E，F分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且△EOF的面积为2.

圆锥曲线角度问题

方法提示

角度的证明往往转为斜率问题或者坐标问题，其中角相等问题优先考虑转为斜率之和为零处理，或者考虑用向量进行计算。

典例

例1、如图，已知椭圆C：22xa＋22yb＝1(a>b>0)的离心率为13，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF1与y轴相交于点B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝43.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x 轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m(k≠0)与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N＝∠MF2N.

例2、已知椭圆2222:10xyCabab的离心率为22，右焦点为F，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线20xy相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，过定点0(2)P，的直线l交椭圆C于A，B两点，连接AF并延长交C于M，求证：PFMPFB.

例3、在平面直角坐标系xOy中，已知点E(0，2)，以OE为直径的圆与抛物线C∶x2=2py(p>0)交于点M，N(异于原点O)，MN恰为该圆的直径，过点E作直线交抛物线与A，B两点，过A，B两点分别做拋物线C的切线交于点P.

（1）求证∶点P的纵坐标为定值；

（2）若F是抛物线C的焦点，证明∶∠PFA=∠PFB.

综合练习

1、已知动圆Q经过定点0,Fa，且与定直线:lya相切（其中a为常数，且0a）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点P的坐标为0,a，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：AFMAFN.

2、椭圆E：222210xyabab，经过点0,1A，且离心率为22.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过椭圆右焦点的直线与椭圆E交于，PQ两点，点2,0M，O为坐标原点，证明：OMPOMQ.

20229.1

第九章 解析几何

9。1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

必备知识预案自诊

知识梳理

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准,x轴

与直线l 的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 .

（2）直线的倾斜角α的取值范围为 。

2.直线的斜率

（1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率。

(2)过两点的直线的斜率公式

经过两点P1(x1，y1），P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公式为k=𝑦2-𝑦1𝑥2-𝑥1.

3。直线方程的五种形式

名称 几何条件 方 程 适用条件

点过点（x0， 与20229.1

斜式 y0)，斜率为k x轴不垂直的直线 斜截式 在y轴上的截距为b,斜率为k

两点式 过两点(x1,y1)，(x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2） 与两坐标轴均不垂直的直线

截距式 在x轴、y轴上的截距分别为 不过原20229.1

a,b（a,b≠0)

点,且与两坐标轴均不垂直的直线

一般式 — Ax+By+C=0

(A2+B2≠0) 平面内所有直线

20229.1

1.特殊直线的方程:

(1）过点P1(x1，y1）,垂直于x轴的直线方程为x=x1;

（2）过点P1（x1,y1）,垂直于y轴的直线方程为y=y1；

(3）y轴的方程为x=0；

(4)x轴的方程为y=0。

2.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:

α 0° 0°〈α<90° 90° 90°

k 0 k〉0 不存在 k〈0

考点自诊

1。判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.

（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大. （ ）

(2）过点M(a，b），N（b,a）(a≠b)的直线的倾斜角是45°. （ ）