四川省雅安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
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雅安中学2017—2018学年下期高一年级
数学（理科）半期考试试题
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个选项符合题意，请将正确答案转涂到答题卡相应的位置）
1. 已知等差数列 的通项公式，则它的公差为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】分析：可用后项减前项得出.
详解：∵，∴，∴，
故选D.
点睛：本题考查等差数列的概念，等差数列的公差是数列的后项减前项，因此只要求出相邻两项即可求得公差.
2. 已知， ，且，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵b
∴设b=−1，a=−2，d=2，c=3，
选项B,(−2)×3>(−1)×2，不成立，
选项C，−2−3>−1−2，不成立，
选项D，−2×2>−1×3，不成立，
本题选择A选项.
3. 已知向量则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据向量的坐标运算进行验证.
详解：由已知，A错误；
又，∴不平行，B错误；
，，∴，C正确；
，D错误.
故选C.
4. 不等式的解集为 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：不等式等价于解得，所以选A.
考点：分式不等式的解法.
5. 已知a>0，b>0，且2是2a与b的等差中项，则的最大值为 ( )
A. B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】分析：由等差中项定义列出的关系式，再由基本不等式求得最值.
详解：∵2是2a与b的等差中项，∴，
∴，∴，当且仅当时等号成立，
故选C.
点睛：本题考查等差中项的概念和用基本不等式求最值，只要掌握相应的概念即可求解，属于基础题.
6. 如果依次成等比数列，那么 ( )
A. b＝3， ＝9 B. b＝3， ＝－9
C. b＝－3， ＝－9 D. b＝－3， ＝9
【答案】D
【解析】分析：由等比数列的性质，等比中项的定义求解，注意等比数列中奇数项同号，偶数项同号.
详解：由题意，又，∴，∴，
故选D.
点睛：本题考查等比数列的概念，等比中项的定义，其中掌握性质：等比数列的奇数项同号，偶数项同号是解题关键.
7. 如图，在△中，为线段上的一点，，且,则(
)
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】A
【解析】由题可知＝＋，又＝2，所以＝＋ ＝＋(－)＝ ＋ ，所以x＝，y＝，故选A.
8. 如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度为(
)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：由已知得∠ACB＝45°，从而在ΔABC中求得AC，再在ΔACM中求得MC，最后在ΔMNC中求得MC.
详解：∵AD//BC，∴∠ACB＝∠DAC＝45°，∴AC＝AB＝，
又∠MCA＝180°－60°－45°＝75°，∠MAC＝15°＋45°＝60°，∴∠AMC＝45°，
在ΔAMC中，，∴，
∴，
故选A.
点睛：本题考查解三角形的实际应用，首先要掌握测量中的俯角、仰角等概念，其次掌握解三角形的常用定理，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解直角三角形等知识，特别要能够通过分析已知条件、隐含条件选用正确的公式求解.
9. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何?题意是:有两 只老鼠从墙的两边打洞穿墙.大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”如果墙足够厚， 为前天两只老鼠打洞长度之和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】大老鼠、小老鼠每天打洞进度分别构成等比数列，公比分别为2、。首项都为1，所以。故选B。
10. 若方程对应图形过点，则的最小值等于（ ）
A. 3 B. C. 4 D.
【答案】B
【解析】分析：将（1，2）代入直线得：+=1，从而a+b=（+）（a+b），利用基本不等式求出即可．
详解：∵直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，2），
∴+=1（a＞0，b＞0），
所以a+b=（+）（a+b）=3++≥3+2= ，
当且仅当=即a=时取等号，
∴a+b最小值是，
故选：B．
点睛：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
11. 设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得最大值，则该数列首项的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】试题分析：等差数列满足所以，
或（舍）；当时，，且仅当时，数列的前项和取得最大值，
故选C．
考点：数列与三角函数的综合
12. .若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：
详解：不等式在上恒成立，
即在上恒成立
∴，即
设
则在上单调递增，∴
∴
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 等差数列的前项和，若则______.
【答案】8
【解析】分析：利用等差数列性质可迅速求解.
详解：，
故答案为8.
点睛：设，数列是等差数列，若，则，特别若，则，
利用此性质可简化等差数列的一些计算，不需要再求出首项和公差.
14. 在中，三个角所对的边分别为．若角成等差数列，且边成等比数列，则的形状为______.
【答案】等边三角形
【解析】分析：利用角在成等差数列得，利用边成等比数列得，再用正弦定理化为角的关系，代入化简可得.
详解：∵成等差数列，∴，∴，
∵成等比数列，∴，∴，
，
整理得，∴，，从而，
∴是等边三角形，
故答案为等边三角形.
点睛：三角形三角成等差数列，对应三边成等比数列，此三角形为等边三角形，如果利用积化和差公式可很简单得出结论： ，，则，由此得为等边三角形.
15. 在矩形中，，．边上（包含、）上的动点与延长线上（包含点）的动点满足，则的最小值为 ______．
【答案】
【解析】分析：建立直角坐标系，设出P点坐标，把向量的数量积用坐标表示出来后，可求最小值.
详解：以为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则，设，则，，
，
∴ ，
∴当时，取最小值，
故答案为.
点睛：在平面向量的运算中，如果有垂直，则可以建立平面直角坐标系，把向量的运算用坐标表示出来，这样就把形转化为数，使问题得到了简化．象本题求数量积的最小值，通过建立坐标系，函数关系式非常容易找到，而且很方便地求出最小值．这种方法我们在平常学习中要多注意体会．
16. 如图,在中,是边上一点， ,，则______.
【答案】
【解析】试题分析：由题意不妨取,则,且,由余弦定理，可得,,由正弦定理得,从而.
考点：正弦定理、余弦定理的应用.
【易错点晴】此题主要考查解三角形中余弦定理、正弦定理方面等知识的综合应用，属于中档题.根据题目中的条件“ ”，可有多种方法假设，比如：设，则；或者取,则有，…，代入余弦定理、正弦定理进行运算，注意在取值时候要按照题目所给的比例合理进行，更要注意新引入参数的范围.
三．解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，求该企业每天可获得的最大利润。
甲 乙 原料限额
A(吨) 3 2 12
B(吨) 1 2 8
【答案】18
【解析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，
则 ，目标函数为 z=3x+4y．
作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．
由z=3x+4y得，
平移直线，由图象可知当直线经过点B时，截距最大，
此时z最大，
解方程组 ，解得 ，即B的坐标为x=2，y=3，
∴zmax=3x+4y=6+12=18．
即每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元，
故答案为：18．
点睛：（1）利用线性规划求最值的步骤
①在平面直角坐标系内作出可行域；
②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；
③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；
④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．
求线性目标函数最值应注意的问题：
求二元一次函数的最值，将函数转化为直线的斜截式：，通过（2）求直线的
截距的最值间接求出的最值，应注意以下两点：
①若，则截距取最大值时，也取最大值；截距取最小值时，也取最小值．
②若，则截距取最大值时，取最小值；截距取最小值时，取最大值．
18. （1）已知求与的夹角；
（2）已知若求实数的值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）求出的模与积数量积，利用平面向量夹角公式可得结果；（2）先求得，利用向量垂直数量积为零，列方程求解即可.
试题解析：（1）
夹角为
（2），
即
【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
19. 已知在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小：
（2）若，．求的面积．
【答案】（1）（2）4
【解析】分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据求出，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，再由b，sinA的值，利用三角形面积公式求出
