四川省雅安市雅安中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)

四川省雅安中学高二年级文科半期考试卷

一、选择题（每题5分共60分）

1.设是可导函数，且，则（ ）

A. 2 B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据导数的定义，将所给式子化成，从而求得结果.

【详解】

本题正确选项：

【点睛】本题考查导数的定义，属于基础题.

2.已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.

详解：根据题意，可知，因为，

所以，即，

所以椭圆的离心率为，故选C.

点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.

3.已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，

所以抛物线焦点坐标为，故答案选

考点：抛物线方程和性质.

4.下列函数中，在（2，＋∞）内为增函数的是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据单调性排除；利用导函数在上的正负可判断出在的单调性，进而排除，可得正确结果.

【详解】选项：时，不单调，即不单调，可知错误；

选项：，当时，，即在上为增函数，可知正确；

选项：，当时，，即在上单调递减，可知错误；

选项：，当时，，即在上为减函数，可知错误.

本题正确选项：

【点睛】本题考查函数单调性的判断，关键是考查导函数的正负与函数单调性之间的关系.

5.已知a，b为两个不相等的非零实数，则方程与所表示的曲线可能是（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

试题分析：先把曲线方程整理成=1的形式，直线方程整理成y=ax+b，通过观察选项中的直线判断出a和b与0的关系，进而推断曲线方程形式推断其图象．

解：把曲线方程整理成=1的形式，整理直线方程得y=ax+b

A，C选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故C正确，A错误．

B项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故B项错误．

对于D选项观察直线图象可知a＞0，b＞0，则曲线的方程的图象一定是椭圆，故D不符合．

故选：C．

考点：曲线与方程．

6.函数的极值点的个数是（ ）

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

求导后，利用导函数的正负判断出的单调性，根据极值点的定义可得极值点个数.

【详解】

令，解得：，

当时，；当时，

在，上单调递增；在上单调递减

在处取极大值；在处取极小值

即有两个极值点

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值的问题，属于基础题.

7.已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

求导后，结合基本不等式求解出切线斜率的范围，利用，得到倾斜角的正切值所处的范围，结合直线倾斜角的范围可得的范围.

【详解】，即切线斜率：

（当且仅当，即时取等号）

，又

又

本题正确选项：

【点睛】本题考查导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系，关键是能够通过导函数所处的范围，结合基本不等式求解出切线斜率所处的范围.

8.已知在区间上不单调，实数的取值范围是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：因为函数在区间上不单调，所以在上有零点，即，所以，故选D.

考点：导数与函数单调性.

9.双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，若这两曲线的一个交点满足轴，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据抛物线方程得点坐标，得；根据轴可知既是抛物线通径长的一半，又是双曲线通径长的一半，从而可得的关系；通过构造出关于的方程，解方程求得结果.

【详解】由题意得：，即

轴 为抛物线通径长一半

又为双曲线通径长的一半，即

由得：，解得：（舍）或

本题正确选项：

【点睛】本题考查双曲线和抛物线的几何性质的应用，属于基础题.

10.已知椭圆Γ：的离心率为，过右焦点F且斜率为的直线与Γ相交于A，B两点．若，则（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

设

，设

设直线 方程为

代入①中消去 ，可得 ，由可得

解得 ．故选D

11.已知，（是自然对数的底数），，则的大小关系是( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

由题意构造函数，利用函数单调性即可比较大小.

【详解】记，,可得x=e

可知：在上单调递增，又

∴，即

故选：A

【点睛】本题考查三个数的大小的比较，考查构造函数，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数与方程思

想，属于中档题.

12.设点分别是函数和图象上的点，，若直线轴，则两点间距离的最小值为（ ）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由轴可得，从而可用表示出，将问题转化为求解的最小值；构造函数，利用导数可求得，则可得.

【详解】轴 两点间距离为：

由得：，则

设，则

当时，，即在上单调递减

本题正确选项：

【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，关键是能够将问题转化为求解的最值问题，从而通过，的关系可构造出新函数，将问题变为求解新函数的最值问题.

二、填空题（每题5分共20分）

13.已知双曲线则该曲线的虚轴长为_______．

【答案】2

【解析】

【分析】

根据双曲线方程得，进而可得虚轴长.

【详解】由题意得：，则虚轴长为：

本题正确结果：

【点睛】本题考查双曲线标准方程中的基本定义，属于基础题.

14.已知函数，则在时的导数为_________.

【答案】

【解析】

【分析】

求导得，代入求得结果.

【详解】由题意得：

则

本题正确结果：

【点睛】本题考查导数值的求解问题，属于基础题.

15.已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，，则的面积为________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据椭圆方程求得，利用余弦定理构造出关于的方程，解出结果后代入三角形面积公式即可求得结果.

【详解】由椭圆方程得：，，

设，，则

中，由余弦定理得：

解得：

本题正确结果：

【点睛】本题考查椭圆焦点三角形面积的求解，关键是能够通过余弦定理构造出关于焦半径乘积的方程，从而

求得结果；也可以利用焦点三角形面积公式直接求解得到结果.

16.过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A，B两点，记抛物线在A，B两点处的切线的交点为P，则面积的最小值为________________.

【答案】4

【解析】

【分析】

联立直线方程与抛物线方程，可得韦达定理的形式；利用导数可列出在两点的切线方程，求解得到点坐标，结合韦达定理得到，根据斜率关系可知，利用弦长公式和两点间距离公式分别求解出和，从而可将三角形面积表示为：，进而可求得最小值.

【详解】由得：

设直线方程为：，，，且

则联立得：

则：，

由得： ，

则时，，即点处切线斜率为：

同理可得：

则：，即

，，则

又

面积的最小值为

本题正确结果：

【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，关键是能够利用导数快速求解出切线的斜率，从而求得两切线的交点坐标，再利用弦长公式和两点间距离公式得到三角形底和高，从而构造出关于面积的函数关系式，属于较难题.

三、解答题（17题10分 ； 其余各题都是12分；共70分）

17.已知函数.

（1）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，求的值；

（2）在（1）条件下，求函数的单调区间和极值；

【答案】（1）0（2）单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，在处取得极大值，为

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得,解得的值；（2）求出导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值

试题解析：解：（1）函数

所以又曲线处的切线与直线平行，所以

（2）令

当x变化时，的变化情况如下表：

+

0 —

极大值

由表可知：的单调递增区间是，单调递减区间是

所以处取得极大值，

18.已知椭圆及直线：

（1）当直线与该椭圆有公共点时，求实数的取值范围；

（2）当时，求直线被椭圆截得的弦长