八年级数学勾股定理全章复习(含答案)

一、选择题1.如图，把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，其中∠B=90∘，AB=2，△ABD的周长为8，则四边形ABDE的面积是( )A．83B．133C．6D．72.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，点E在AC上，现将△BCE沿BE翻折，使点C落在点Cʹ处连接ACʹ，则ACʹ长度的最小值是( )A．0.5cm B．1cm C．2cm D．2.5cm3.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是( )A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤134.已知a，b，c是三角形的三边，满足(a−3)2+√b−4+∣c−5∣=0，则三角形的形状是( )A．腰和底不相等的等腰三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．直角三角形5.正方形ABCD的边长为1，其面积记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2，⋯按此规律继续下去，则S2019的值为( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20186. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是 ( ) A ． 1，2，3B ． 2，3，4C ． 3，4，5D ． 4，5，67. 如图，已知 ∠ABC =90∘，AB =6，BC =8，AD =CD =7，若点 P 到 AC 的距离为 5，则点 P 在四边形 ABCD 边上的个数为 ( )A ． 0B ． 2C ． 3D ． 48. 如图，小明（视为小黑点）站在一个高为 10 米的高台 A 上，利用旗杆 OM 顶部的绳索，划过 90∘ 到达与高台 A 水平距离为 17 米，高为 3 米的矮台 B ．那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度 MN 是 ( )A ． 2 米B ． 2.2 米C ． 2.5 米D ． 2.7 米9. 如图，将一根长 27 厘米的筷子，置于高为 11 厘米的圆柱形水杯中，且筷子露在杯子外面的长度最少为 (27−√157) 厘米，则底面半径为 ( ) 厘米．A ． 6B ． 3C ． 2D ． 1210. 如图，圆柱形玻璃杯，高为 12 cm ，底面周长为 18 cm ，在杯内离杯底 4 cm 的点 C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 4 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ( ) cm ．A．15B．√97C．12D．18二、填空题11.如图，在高2米，坡角为30∘的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．12.在△ABC中，∠A=90∘，AB=AC，BC=8，则△ABC的面积是．13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=8．D是BC的中点，点E在边AB上，将△BDE沿直线DE翻折，使得点B落在同一平面内的点Bʹ处，线段BʹD交边AB于点F，连接ABʹ．当△ABʹF是直角三角形时，BE的长为．14.等腰三角形ABC的周长为16，底边BC上的高为4，则其底边BC的长为．15.如图：5米长的滑梯AB开始在B点距墙面水平距离3米，当向后移动1米，A点也随着向下滑一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．16.如图，圆柱形玻璃杯高为13cm，底面周长为40cm，在杯内壁离底1cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁到内壁B处的最短距离为．17. 小明用三角板测得一个圆锥形漏斗尺寸如下图所示，那么漏斗斜壁 AB 的长度 cm ．三、解答题18. 已知：如图，四边形 ABCD 中，∠ACB =90∘，AB =15，BC =9，AD =5，DC =13．试判断△ACD 的形状，并说明理由．19. 已知 AB =2，AC =4√12，BC =25√125，在图所示的网格内画 △ABC ，使它的顶点都在格点上，图中每个小正方形的边长都为 1．(1) 求 △ABC 的面积； (2) 求点 A 到 BC 边的距离．20. 如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于点 D ，且 AD =BD ，在 AD 上截取 DE =DC ，延长 BE 交 AC于点 F ，连接 CE ．(1) 证明：△BDE≌△ADC．(2) ∠ABF和∠ACE相等吗？说明理由．(3) 若BD=12 cm，CD=5 cm，求线段BF的长度．21.如图，每个小正方形的边长为1．(1) 求四边形ABCD的周长；(2) 求证：∠BCD=90∘．22.回答下列各题：(1) 特例研究：如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高．(2) 经验提升：如图②，在△ABC中，AB=AC≠BC，点P为线段BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC垂足分别为D，E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由．x+3，l2:y=−3x+3，若线(3) 综合应用：如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1:y=34段BC上有一点M到l1的距离是1，请运用(2)中的结论求出点M的坐标．23.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．24.为了绿化环境，某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，AB=26m，BC=24m．(1) 求出空地ABCD的面积．(2) 若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？25.请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径为5，高AB为5，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如图（2）所示．设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2．路线2：高线AB+底面直径BC．如图（1）所示．设路线2的长度为l2，则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225，∵l12−l22=25+25π2−225=25π2−200=25(π2−8)>0，∴l12>l22，∴l1>l2，∴选择路线2较短．(1) 小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1，高AB为5”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=；路线2：l22=(AB+BC)2=．∵l12l22，∴l1l2（填“>”或“<”），∴应选择路线（填1或2）较短．(2) 请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为ℎ时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．答案一、选择题1. 【答案】B【解析】∵把三角形纸片△ABC沿着DE对折，点C恰好与A重合，得到△ABD，∴AD=CD，∠AED=∠CED=90∘，AE=CE，∵△ABD的周长为8，∴AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=8，∴BC=6，∵AD2=AB2+BD2，∴CD2=4+(6−CD)2，∴CD=103，∴BD=83，∴S△ABD=12×2×83=83，S△ACD=12×2×103=103，∵AE=EC，∴S△AED=53，∴四边形ABDE的面积=133，故选：B．【知识点】勾股定理之折叠问题2. 【答案】C【解析】当Cʹ落在AB上，ACʹ长度的值最小，∵∠C=90∘，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=5cm，由折叠的性质知，BCʹ=BC=3cm，∴ACʹ=AB−BCʹ=2cm．【知识点】勾股定理之折叠问题、折叠问题3. 【答案】A【解析】a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：√52+122=13．即a的取值范围是12≤a≤13．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】D【解析】因为a，b，c为三角形三边，则a，b，c均大于0，又因为满足 (a −3)2+√b −4+∣c −5∣=0， 又因为 (a −3)2≥0，√b −4≥0，∣c −5∣≥0， 所以 (a −3)2=0，√b −4=0，∣c −5∣=0， 所以 a =3，b =4，c =5， 因为 a 2+b 2=32+42=52=c 2， 所以，三角形为直角三角形． 【知识点】勾股逆定理5. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律6. 【答案】C【解析】A ．因为 12+22≠32，所以三条线段不能组成直角三角形； B ．因为 22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形； C ．因为 32+42=52，所以三条线段能组成直角三角形； D ．因为 42+52≠62，所以三条线段不能组成直角三角形． 【知识点】勾股逆定理7. 【答案】A【解析】如图，过点 B ，D 分别作 BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为 E ，F ． 在 Rt △ABC 中，由勾股定理，得 AC 2=AB 2+BC 2=62+82=100， 所以 AC =10．再由 12AB ⋅BC =12AC ⋅BE ，可得 BE =4.8．由AD=CD=7且DF⊥AC，得AF=12AC=5，由勾股定理，得DF2=72−52=24，故DF<5．又因为BE<5，所以到直线AC的距离为5的两条平行线与四边形ABCD的边没有交点．故选A．【知识点】勾股定理8. 【答案】A【解析】作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA=∠BFO=90∘，因为∠AOE+∠BOF=∠BOF+∠OBF=90∘，所以∠AOE=∠OBF．在△AOE和△OBF中，{∠OEA=∠BFO,∠AOE=∠OBF, OA=OB,所以△AOE≌△OBF(AAS)，所以OE=BF，AE=OF，所以OE+OF=AE+BF=CD=17（米），因为EF=EM−FM=AC−BD=10−3=7（米），因为OE+OF=2EO+EF=17米，所以2OE=17−7=10（米），所以BF=OE=5米，OF=12米，所以CM=CD−DM=CD−BF=17−5=12（米），OM=OF+FM=12+3=15（米），由勾股定理得：ON=OA=√AE2+OE2=√122+52=13（米），所以MN=OM−OF=15−13=2（米）．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】27−(27−√157)=√157（厘米），筷子，圆柱的高，圆柱的直径正好构成直角三角形，√(√157)2−112=6（厘米），6÷2=3（厘米）．故底面半径为3厘米．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】A【解析】沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点Aʹ，连接AʹC交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE=AʹE，AʹP=AP，∴AP+PC=AʹP+PC=AʹC，×18cm=9cm，AʹQ=12cm−4cm+4cm=12cm，∵CQ=12在Rt△AʹQC中，由勾股定理得：AʹC=√122+92=15cm．【知识点】平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】(2+2√3)【知识点】勾股定理的实际应用12. 【答案】16【知识点】三角形的面积、勾股定理13. 【答案】2或4017【知识点】勾股定理之折叠问题14. 【答案】6【解析】设底边长为2x．=8−x．∴腰长为16−2x2利用勾股定理：(8−x)2=x2+42，∴x=3，∴其底边BC的长为6，故答案为：6．【知识点】一元二次方程的应用、勾股定理15. 【答案】等于【知识点】勾股定理的实际应用16. 【答案】25cm【解析】如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点Aʹ，连接AʹB，则AʹB即为最短距离，AʹB=√AʹD2+BD2=√202+152=25(cm)．【知识点】平面展开-最短路径问题17. 【答案】√34【解析】√32+52=√34．【知识点】勾股定理的实际应用三、解答题18. 【答案】∵AB=15，BC=9，∠ACB=90∘，∴AC=√152−92=12，∵52+122=132，∴AD2+AC2=CD2，∴∠DAC=90∘，∴△ACD是直角三角形．【知识点】勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) ∵AC=4√12=4×√24=2√2，BC=25√125=25×√25×5=25×5√5=2√5，AB=2，∴△ABC如图所示（长度正确，顶点在格点上即可，画法不唯一）．过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则CD=2，∴S△ABC=12AB⋅CD=12×2×2=2．(2) 过点A作AE⊥BC于点E，则S△ABC=12BC⋅AE．∵S△ABC=2，BC=2√5．∴AE=2S△ABCBC =2√5=√5=√5√5×√5=25√5，即点A到BC边的距离为25√5．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理20. 【答案】(1) 在△BDE和△ADC中，∵AD⊥BC，∴∠BDE=∠ADC=90∘，在△BDE和△ADC中，{AD=BD,∠BDE=∠ADC, DE=DC,∴△BDE≌△ADC．(2) ∵△BDE≌△ADC，∴∠EBD=∠CAD，在Rt△ADB中，AD=BD，∴∠ABD=∠BAD=45∘，同理∠DEC=∠DCE=45∘，∵∠ABF=45∘−∠EBD，∠ACE=45∘−∠CAD，∴∠ABF=∠ACE．(3) ∵∠EBD=∠CAD，∠BED=∠AEF，∠EBD+∠BED=90∘，∴∠CAD+∠AEF=90∘，∴BF⊥AC，∵BD=12 cm，∴AD=12 cm，在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC=13 cm，S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BF，∴12×(12+5)×12=12×13×BF，解得BF=20413cm．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理、边角边、等腰三角形的性质、全等形的概念及性质21. 【答案】(1) 根据勾股定理可知AB=3√2，BC=√34，CD=√34，AD=5√2，∴四边形ABCD的周长为8√2+2√34．(2) 连接BD．∵BC=√34，CD=√34，DB=√68，∴BC2+CD2=BD2．∴△BCD是直角三角形，即∠BCD=90∘．【知识点】勾股逆定理、勾股定理22. 【答案】(1) 如图①，过点A作AG⊥BC于G，∵△ABC是等边三角形，∴BG=12BC=4，在Rt△ABG中，AB=8，∴AG=√AB2−BG2=4√3，则等边△ABC的高为4√3．(2) ①当点P在边BC上时，PD+PE=CF，如图②，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD+PE=CF．②当点P在BC的延长线上时，PD−PE=CF，理由：如图③，连接AP，∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF∵S△ABP−S△ACP=S△ABC∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF∵AB=AC，∴PD−PE=CF．(3) 如图④，由题意可求得A(−4,0)，B(0,3)，C(1,0)，∴AB=5，AC=5，BC=√12+32=√10，OB=3，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P，Q．∵l2上的一点M到l1的距离是1，∴MQ=1．由图②的结论得：MP+MQ=3，∴MP=2，∴M点的纵坐标为2，又∵M在直线y=−3x+3，∴当y=2时，x=13∴M坐标为(13,2)．【知识点】一般三角形面积公式、一次函数与三角形的综合、勾股定理23. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边24. 【答案】(1) 如图所示，连接AC，由题意可知∠ADC=90∘，CD=6m，AD=8m，所以AC=√AD2+CD2=√82+62=10m，又因为AB=26m，BC=24m，且102+242=262，所以△ACB为直角三角形，则空地ABCD面积即为△ACB的面积：12⋅AC⋅BC=12×10×24=120m2．答：空地ABCD的面积为120m2．(2) 由题意得：200×120=24000（元），答：共需投入24000元．【知识点】勾股定理的实际应用25. 【答案】(1) AB2+BC2=52+π2=25+π2；(5+2)2=49；<；<；1(2) l12=AC2=AB2+BC2=ℎ2+(πr)2，l22=(AB+BC)2=(ℎ+2r)2，∴l12−l22=ℎ2+(πr)2−(ℎ+2r)2=r(π2r−4r−4ℎ)=r[(π2−4)r−4ℎ],时，l12=l22；∴当r=4ℎπ2−4时，l12>l22；当r>4ℎπ2−4当r<4ℎ时，l12<l22．π2−4【知识点】勾股定理的实际应用。

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列结论中，错误的有（）①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠A＝90°；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形；A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，将一副三角板如图放置，如果DB＝2，那么点E到BC的距离为（）A．﹣1 B．3﹣C．2﹣2 D．+13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝2，BC＝，则CD为（）A．B．2 C．D．34．如图，将△ABC放在正方形网格中（图巾每个小正方形边长均为1）点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）A．90°B．60°C．45°D．30°5．如图，已知数轴上点P表示的数为﹣1，点A表示的数为1，过点A作直线l垂直于PA，在l上取点B，使AB＝1，以点P为圆心，以PB为半径作弧，弧与数轴的交点C所表示的数为（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D．已知AB＝15，Rt△ABC的周长为15+9，则CD的长为（）A．5 B．C．9D．67．如图，设小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条B．3条C．4条D．5条8．如图，已知在Rt△ABC中，E，F分别是边AB，AC上的点，AE＝AB，AF＝AC，分别以BE、EF、FC为直径作半圆，面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）A．S1+S3＝2S2 B．S1+S3＝4S2C．S1＝S3＝S2 D．S2＝（S1+S3）9．如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B′．则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺10．一云梯AB长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米，如果云梯的顶端下滑了4米，那么它的底端在水平方向滑动BB'的长是（）A．10米B．8米C．6米D．4米二．填空题（共6小题）11．若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判断△ABC是直角三角形的是（填序号）．12．已知，△ABC的三边长分别为：2，，，则△ABC的面积是．13．如图，BD为△ABC的中线，AB＝10，AD＝6，BD＝8，△ABC的周长是．14．若8，a，17是一组勾股数，则a＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．16．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8cm，AB＝6cm，BC＝10cm，点Q 从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2cm/s的速度向C点运动，P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时另一点也停止运动．若DP≠DQ，当t＝s 时，△DPQ是等腰三角形．三．解答题（共6小题）17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC的高BH，CM交于点P．（1）求证：PB＝PC．（2）若PB＝5，PH＝3，求AB．19．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．20．平面直角坐标系中如果任意两点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则A、B两点之间的距离可表示为|AB|＝；在平面直角坐标系中．（1）若点C的坐标为（3，4），O为坐标原点，则C、O两点之间的距离为．（2）若点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），求E、F两点之间的距离．21．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．22．阅读下列材料：小明遇到一个问题：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC 的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（1）图2是一个6×6的正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答卷的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算①中△DEF的面积为；（直接写出答案）（2）如图3，已知△PQR，以PQ，PR为边向外作正方形PQAF，正方形PRDE，连接EF．①判断△PQR与△PEF面积之间的关系，并说明理由．②若PQ＝，PR＝，QR＝3，直接．．写出六边形AQRDEF的面积为．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：①在Rt△ABC中，已知两边长分别为3和4，则第三边的长为5或，错误；②△ABC的三边长分别为AB，BC，AC，若BC2+AC2＝AB2，则∠C＝90°，错误；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，正确；④若三角形的三边长之比为3：4：5，则该三角形是直角三角形，正确；故选：C．2．解：作EF⊥BC于F，设EF＝x，则BF＝x，BE＝x，CE＝2x，则AC＝，AE＝﹣x，则（﹣x）2+（）2＝（2x）2，x2+2x﹣6＝0，解得x1＝3﹣，x2＝﹣3﹣（舍去）．故点E到BC的距离为3﹣．故选：B．3．解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，根据勾股定理得：AB＝＝3，∵△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝AC•BC＝AB•CD，即AC•BC＝AB•CD，∴CD＝＝2，故选：B．4．解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，∴AB＝AC，AC2+AB2＝BC2，∴△ACB是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°，故选：C．5．解：PB＝，∴PB＝PC，∴OC＝PC﹣1＝﹣1，∴点C的数为﹣1，故选：B．6．解：如图所示：∵Rt△ABC的周长为15+9，∠ACB＝90°，AB＝15，∴AC+BC＝9，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，∴（AC+BC）2＝（9）2，即AC2+2AC×BC+BC2＝405，∴2AC×BC＝405﹣225＝180，∴AC×BC＝90，∵AB×CD＝AC×BC，∴CD＝＝＝6；故选：D．7．解：∵＝，∴是直角边长为2，3的直角三角形的斜边，如图所示，AB，CD，BE，DF的长都等于；故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，AE＝AB，AF＝AC，∴AE＝BE，AF＝CF，EF2＝AE2+AF2，∴EF2＝BE2+CF2．∴π•EF2＝π•（BE2+CF2），即S2＝（S1+S3）．∴S1+S3＝4S2．故选：B．9．解：设芦苇长AB＝AB′＝x尺，则水深AC＝（x﹣1）尺，因为边长为10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52+（x﹣1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，芦苇长13尺．故选：D．10．解：由题意可得：AB＝25m，OB＝7m，则OA＝＝24（m），当云梯的顶端下滑了4米，则A′O＝24﹣4＝20（m），故OB′＝＝15（m），则BB′＝CB′﹣BC＝（15﹣7）m＝8m．答：它的底部在水平方向滑动了8米，故选：B．二．填空题（共6小题）11．解：∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠C+∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故①符合题意；∵a2＝（b+c）（b﹣c）∴a2+c2＝b2，∴△ABC是直角三角形，故②符合题意；∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，∴△ABC不是直角三角形，故③不符合题意；∵a：b：c＝5：12：13，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故④符合题意；故答案为：①②④．12．解：∵△ABC的三边长分别为：2，，，∴22+（）2＝（）2，∴△ABC是直角三角形，斜边为，∴△ABC的面积为＝，故答案为：．13．解：∵AB＝10，AD＝6，BD＝8，∴AB2＝AD2+BD2＝100，∴△ABD是直角三角形且AD⊥BD．又BD为△ABC的中线，∴AB＝BC＝10，AD＝CD＝6．∴，△ABC的周长＝AB+BC+AD＝2AB+2AD＝20+12＝32．故答案是：32．14．解：①a为最长边，a＝＝，不是正整数，不符合题意；②17为最长边，a＝＝15，三边是整数，能构成勾股数，符合题意．故答案为：15．15．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．16．解：由运动知，AQ＝t，BP＝2t，∵AD＝8，BC＝10，∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）（cm），PC＝BC﹣BP＝（10﹣2t）（cm），∵△DPQ是等腰三角形，且DQ≠DP，∴①当DP＝QP时，∴点P在DQ的垂直平分线上，∴AQ+DQ＝BP，∴t+（8﹣t）＝2t，∴t＝，②当DQ＝PQ时，如图，Ⅰ、过点Q作QE⊥BC于E，∴∠BEQ＝∠OEQ＝90°，∵AD∥BC，∠B＝90°，∴∠A＝∠B＝90°，∴四边形ABEQ是矩形，∴EQ＝AB＝6，BE＝AQ＝t，∴PE＝BP﹣BE＝t，在Rt△PEQ中，PQ＝＝，∵DQ＝8﹣t∴＝8﹣t，∴t＝，∵点P在边BC上，不和C重合，∴0≤2t＜10，∴0≤t＜5，∴此种情况符合题意，即t＝或s时，△DPQ是等腰三角形．故答案为：或．三．解答题（共6小题）17．解：根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．∵经检验，x＝6为原方程的解，∴原方程的解为x＝6．∴．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∵BH，CM为△ABC的高，∴∠BMC＝∠CHB＝90°．∴∠ABC+∠BCM＝90°，∠ACB+∠CBH＝90°．∴∠BCM＝∠CBH．∴PB＝PC．（2）解：∵PB＝PC，PB＝5，∴PC＝5．∵PH＝3，∠CHB＝90°，∴CH＝4．设AB＝x，则AH＝x﹣4．在Rt△ABH中，∵AH2+BH2＝AB2，∴（x﹣4）2+（5+3）2＝x2．∴x＝10．即AB＝10．19．解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15、DB＝9，∴CD＝＝＝12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20、CD＝12，∴AD＝＝＝16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．20．解：（1）∵O为原点，∴O坐标为（0，0），∵点C的坐标为（3，4），∴CO＝＝5，故答案为：5；（2）∵点E（﹣2，3）、F（4，﹣5），E、F两点之间的距离可表示为|EF|＝，∴EF＝＝＝10．21．解：（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．22．解：（1）①如图所示：②△DEF的面积为4×5﹣×2×3﹣×2×4﹣×2×5＝8；（2）①如图3，△PEF的面积为6×2﹣×1×6﹣×1×3﹣×3×2＝，△PQR的面积为×3×3＝，∴△PQR与△PEF面积相等；②六边形AQRDEF的面积为（）2+++（）2＝13+9+10＝32．故答案为：8；32．。

勾股定理1．勾股定理勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的__________等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．【注意】（1）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是__________；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．（2）如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．2．勾股定理的应用勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边确定另两边的关系；（3）证明包含平方（算术平方根）关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长度，解决生产、生活中的实际问题．一、勾股定理已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式．【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为A．5 B C或5 D二、勾股定理的证明勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt △ABC 中，∠ACB =90°，若AC b =，BC a =．请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明222a b c +=；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求()2a b +的值．三、勾股定理点的应用利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．【例3】如图，有一只小鸟在一棵高13 m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12 m ，高8 m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2 m /s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？习题1．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，c ．若a =5，b =12，则c 的长为 A ．119 B ．13 C ．18D ．1692．如果Rt △的两直角边长分别为k 2-1，2k （k >1），那么它的斜边长是 A ．2kB ．k +1C ．k 2-1D ．k 2+13．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为A ．4米B ．8米C ．9米D ．7米4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3 m 处折断，树顶端落在离树底部4 m 处，则树折断之前高A ．5 mB ．7 mC ．8 mD ．10 m5．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为1和9，则b 的面积为A ．8B ．9C ．10D ．116．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为 A ．22B ．32C ．62D ．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2 m ，宽为1.5 m ，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC 中，∠C =90°．（1）若a =5，b =12，则c =__________； （2）若a =6，c =10，则b =__________；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a =__________，b =__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A ，B 两站，在A ，B 的正北方向分别有C ，D 两个蔬菜基地，其中C 到A 站的距离为24千米，D 到B 站的距离为12千米．在铁路AB 上有一个蔬菜加工厂E ，蔬菜基地C ，D 到E 的距离相等，且AC =BE ，则E 站距A 站__________千米．11．在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．（1）若a ∶b =3∶4，c =75 cm ，求a 、b ； （2）若a ∶c =15∶17，b =24，求△ABC 的面积； （3）若c -a =4，b =16，求a 、c ；（4）若∠A =30°，c =24，求c 边上的高h c ； （5）若a 、b 、c 为连续整数，求a +b +c ．12．已知：△ABC 中，AD 为BC 中线，求证：22222()AB AC BD AD +=+．13．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长．14．如图，一个圆桶，底面直径为16 cm ，高为18 cm ，则一只小虫从下底部点A 爬到上底B 处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）A ．50 cmB ．40 cmC ．30 cmD ．20 cm15．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A ．22B ．32C ．62D ．8216．如图，AC 是电线杆的一根拉线，测得BC =6米，∠ACB =60°，则AB 的长为A ．12米B ．3米C ．6米D ．317．如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥，AD CE ⊥，垂足分别为E ，D ，13AC =，5BE =，则DE =__________．18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7 m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3 m，木板顶端向下滑动了0.9 m，则小猫在木板上爬动了__________m．19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10 cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40 cm（如图）．请部：水深多少？20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。

一、选择题1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，62.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，133.如图，矩形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于( )A．1B．2C．3D．44.我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴案，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为( )A．x2+102=(x+1)2B．(x−1)2+52=x2C．x2+52=(x+1)2D．(x−1)2+102=x25.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，D是AB的中点，CE⊥BE，交CD的延长线于点E，若AC=2，BC=2√2，则BE的长为( )A．2√63B．√62C．√3D．√26.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是( )A．1，√3，2B．7，12，15C．3，4，5D．5，12，137.【例3】如图，在三个正方形中，其中两个的面积S1=25，S2=144，则另一个正方形的面积S3为( )A．13B．200C．169D．2258.如图，有一张直角三角形纸片，两直角边长AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则CD等于( )A．254cm B．223cm C．74cm D．53cm9.若△ABC的三条边a，b，c满足(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，则△ABC是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定10.如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB=5，AD=3，则BC的长为( )A．5B．6C．8D．10二、填空题11.勾股定理a2+b2=c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解(a,b,c)通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯．分析上面勾股数组可以发现，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，分析上面规律，第5个勾股数组为．12.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90∘，AB=BC=4，P是△ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的最大值为．13.在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠BAC的平分线，BC=10cm，BD=6cm，则点D到AB的距离是cm．14.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从顶点A出发，经过3个面爬到顶点B，如果它运动的路径是最短的，则AB的长为．15.如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90∘，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D．若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1,△ABC的三个顶点都在格点上．(1) 直接写出边AB，AC，BC的长．(2) 判断△ABC的形状，并说明理由．19.如图，在四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=9，BC=12，AD=8，CD=17．求：(1) AC的长．(2) 四边形ABCD的面积．20.我们学习了勾股定理后，都知道"勾三、股四、弦五"．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；……，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1) 请你根据上述的规律写出下一组勾股数：；(2) 若第一个数用字母n（n为奇数，且n≥3）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表示为和，请用所学知识说明它们是一组勾股数．21.如图，一块三角形的铁皮，边BC的长为40厘米，BC上的高AD为30厘米，要把它加工成一块矩形铁皮，使矩形的一边FG在BC上，其余两个顶点E，H分别在AB，AC上，且矩形的面积是三角形面积的一半，这个矩形的长和宽各是多少？22.葛藤是一种刁钻的植物，它自已腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘旋上升的路线，总是沿着最短路线盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？(1) 如图，如果树的周长为3cm，从点A绕圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行的路程是多少厘米？(2) 如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？23.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是∠A的平分线，BD=5，CD=3．求AB的长．24.如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE．已知该纸片宽AB=3 cm，长BC=5 cm．求EC的长．25.阅读：小明同学在某材料中看到如下问题及部分证明．如图①，已知在△ABC和△A1B1C1中，BD=DC，B1D1=D1C1，AB=A1B1，AC=A1C1，AD=A1D1，求证：∠1=∠2．证明：延长AD到E，使DE=AD，连接CE，延长A1D1到E1，使D1E1=A1D1，连接C1E1，在△ABD和△ECD中，∵AD=DE（已作），∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=DC（已知），∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB=EC（全等三角形的对应边相等），同理可证，A1B1=E1C1，未完待续⋯⋯(1) 请你补全这个证明．(2) 应用：如图②，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=5，AC=3，则AD长的范围是．(3) 拓展：如图③，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=√89，AC=5，AD=4，则△ABC的面积是．答案一、选择题1. 【答案】C【解析】∵12+22≠32，∴三条线段不能组成直角三角形；∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形；∵32+42=52，∴三条线段能组成直角三角形；∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形．【知识点】勾股逆定理2. 【答案】B【知识点】勾股逆定理3. 【答案】B【知识点】勾股定理之折叠问题4. 【答案】B【知识点】勾股定理的实际应用5. 【答案】A【解析】方法1：在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3,∵D是AB的中点，∴BD=CD=√3，设DE=x，由勾股定理得：(√3)2−x2=(2√2)2−(√3+x)2，解得：x=√3，3∴在Rt△BED中，BE=√BD2−DE2=√(√3)2−(√33) 2=2√63.方法2：三角形ABC的面积=12×AC×BC=12×2×2√2=2√2，∵D是AB中点，∴△BCD的面积=△ABC面积×12=√2，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=2，BC=2√2，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√22+(2√2)2=2√3，∵D是AB的中点，∴CD=√3，∴BE=√2×2÷√3=2√63．【知识点】勾股定理6. 【答案】B【知识点】勾股逆定理7. 【答案】C【解析】由题可知，在直角三角形中两直角边的平方分别为25和144，所以斜边的平方为144+25=169，即面积S3为169．【知识点】勾股定理8. 【答案】C【知识点】勾股定理之折叠问题、图形成轴对称9. 【答案】B【解析】∵(a−8)2+∣15−b∣+√c−17=0，∴a−8=0，15−b=0，c−17=0，∴a=8，b=15，c=17，∴a2+b2=c2．∴△ABC是直角三角形．【知识点】勾股逆定理10. 【答案】C【解析】∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD=CD，∵AB=5，AD=3，∴BD=√AB2−AD2=4，∴BC=2BD=8，故选C．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理二、填空题11. 【答案】(11,60,61)【解析】在勾股数组：(3,4,5)，(5,12,13)，(7,24,25)，⋯中，4=1×(3+1)，12=2×(5+1)，24=3×(7+1)，⋯⋯，可得第4组勾股数组中间的数为4×(9+1)=40，故对应的勾股数组为(9,40,41)；第5组勾股数组中间的数为5×(11+1)=60，故对应的勾股数组为(11,60,61)，故答案为(11,60,61)．【知识点】勾股数12. 【答案】2√5+2【解析】∵PA⊥PB，∴∠APB=90∘，∴点P在以AB为直径的圆上，取AB的中点，连接CO，如图，则OC=√22+42=2√5，∵点P为CO的延长线于⊙O的交点时，CP最大，∴PC的最大值为2√5+2．【知识点】圆周角定理推论、勾股定理13. 【答案】4【知识点】角平分线的性质、勾股定理14. 【答案】2√10【解析】将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，AB=√62+22=2√10．【知识点】平面展开-最短路径问题15. 【答案】 4【解析】设 BN =x ，由折叠的性质可得 DN =AN =9−x ， ∵D 是 BC 的中点， ∴BD =3，在 Rt △BND 中，x 2+32=(9−x )2， 解得 x =4．故线段 BN 的长为 4． 【知识点】勾股定理之折叠问题16. 【答案】 3【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH =3√3+√52 或 3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) AB =√12+22=√5，AC =√22+12=√5，BC =√12+32=√10；(2) △ABC 是等腰直角三角形，∵AB 2+AC 2=5+5=10=BC 2，∵AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理、勾股逆定理19. 【答案】(1) AC =√AB 2+BC 2=15．(2) ∵AD =8，AC =15，CD =17，∴AD 2+AC 2=CD 2，∴△ADC 是直角三角形，∴∠DAC =90∘，∴四边形ABCD 的面积=S △ABC +S △ADC =12×9×12+12×8×15=114.【知识点】勾股逆定理、勾股定理20. 【答案】(1) 11，60，61(2) 后两个数表示为n 2−12和n 2+12． ∵n 2+(n 2−12)2=n 2+n 4−2n 2+14=n 4+2n 2+14， (n 2+12)2=n 4+2n 2+14， ∴n 2+(n 2−12)2=(n 2+12)2．∵n ≥3，且 n 为奇数，∴ 由 n ，n 2−12，n 2+12 三个数组成的数是勾股数． 【解析】(1) 下一个勾为 11，根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以勾股数为 11，60，61 ．(2) 根据所提供的例子发现股是勾的平方减去 1 的二分之一，弦是勾的平方加 1 的二分之一． 所以后两个数为 n 2−12和n 2+12．【知识点】勾股定理21. 【答案】矩形的长和宽分别为 20 cm 和 15 cm ．【知识点】矩形的面积、一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) 如果树的周长为 3 cm ，绕一圈升高 4 cm ，则葛藤绕树爬行的最短路程为；32+42=52，则爬行的路程是 5 cm ．(2) 如果树的周长为 8 cm ，绕一圈爬行 10 cm ，则爬行一圈升高：102−82=62，则升高 6 cm ，如果爬行 10 圈到达树顶，则树干高为：10×6=60(cm )．【知识点】平面展开-最短路径问题23. 【答案】提示：过点 D 作 AB 的垂线，垂足为 E ，则 DE =3，可求出 BE =4，根据 AC 2+BC 2=AB 2，可求出 AC =6，即 AE =6，所以 AB =10．【知识点】勾股定理24. 【答案】 ∵ 折叠，∴AF =AD =BC =5 cm ，∵ 在 Rt △ABF 中，BF 2+AB 2=AF 2，AB =3 cm ，∴BF =4 cm ，∴CF =BC −BF =5−4=1 cm ，设 EC =x cm ，则 EF =ED =CD −CE =(3−x )cm ，∵ 在 Rt △CEF 中，CF 2+CE 2=EF 2，∴12+x 2=(3−x )2，∴x=43，∴CE=43cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) ∵AD=A1D1，∴2AD=2A1D1，即AE=A1E1，在△AEC和△A1E1C1中，{AE=A1E1, AC=A1C1, EC=E1C1,∴△AEC≌△A1E1C1(SSS)，∴∠1=∠2．(2) 1<AD<4(3) 20【解析】(2) 延长AD至E，使DA=DE，连接BE，CE，由（1）可知，AB=CE=5，∴5−3<2AD<5+3，∴1<AD<4．(3) 延长AD至E，使DA=DE，连接CE，同理可证，CE=AB=√89，AE=2AD=8，∴AE2+AC2=CE2，∴△AEC是Rt△，∴S△ABC=S△AEC=8×5×12=20．【知识点】勾股逆定理、边角边。

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（）A．3B．C．D．12．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）A．三内角的度数之比为1：2：3B．三内角的度数之比为3：4：5C．三边长之比为3：4：5D．三边长的平方之比为1：2：33．一个直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则其斜边上的高为（）A．B．13C．6D．254．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1B．2018C．2019D．20205．历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB 在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA+S△CEB＝S△CDBC．S四边形CDAE＝S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB＝S四边形ABCD6．校园内有两棵树，相距12米，一棵树高为13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞（）A．10米B．11米C．12米D．13米7．如图，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）A．4米B．5米C．7米D．10米8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为（）A．﹣1B．+1C．﹣1D．+19．△ABC是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地．已知∠C＝90°，AC＝30米，AB ＝50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a元计算，那么共需要资金（）A．600a元B．50a元C．1200a元D．1500a元10．放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是200米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．1400米二．填空题（共7小题）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝9，则AB＝．12．有一个直角三角形的两边为4、5，要使三角形为直角三角形，则第三边等于．13．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E 表示的实数是．14．观察下列式子：当n＝2时，a＝2×2＝4，b＝22﹣1＝3，c＝22+1＝5n＝3时，a＝2×3＝6，b＝32﹣1＝8，c＝32+1＝10n＝4时，a＝2×4＝8，b＝42﹣1＝15，c＝42+1＝17…根据上述发现的规律，用含n（n≥2的整数）的代数式表示上述特点的勾股数a＝，b＝，c＝．15．如图，正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，则∠ACD+∠BDC＝°．16．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D为BC边上一点，若△ABD为“准互余三角形”，则BD的长为．17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AB＝BC+AD，∠DAC＝45°，E为CD上一点，且∠BAE＝45°，若CD＝4，则DE长为．三．解答题（共5小题）18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，求斜边AB上的高CD．19．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．20．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P 处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？21．一架方梯AB长13米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙OB为5米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了3米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？22．这是某商场自动扶梯示意图，若将扶梯AC水平放置，则刚好与AB一样长．已知扶梯高度CE＝5cm，CD＝1cm，求扶梯AC的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．B．3．A．4．D．5．D．6．D．7．C．8．D．9．A．10．C．二．填空题（共7小题）11．15．12．3或．13．﹣1．14．2n，n2﹣1，n2+1．15．90．16．或．17．．三．解答题（共5小题）18．解：∵∠ACB＝90°，AB＝，∴AC＝＝，∵×AB•CD＝×AC•BC∴CD＝＝＝．19．解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．20．某消防队进行消防演练，在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12米，即AD＝BC＝12米，此时建筑物中距地面12.8米高的P 处有一被困人员需要救援，已知消防云梯的车身高AB是3.8米．为此消防车的云梯至少应伸长多少米？解：由题意可知：AB＝CD＝3.8米，AD＝12米，PC＝12.8米，∠ADP＝90°，∴PD＝PC﹣CD＝9米，在Rt△ADP中，AP＝＝15米，答：此消防车的云梯至少应伸长15米．21．解：（1）∵AO⊥DO，∴AO＝＝＝12（m），（2）∵AA′＝3m，∴A′O＝AO﹣AA′＝9m，∴OB′＝＝＝，∴BB′＝OB′﹣OB＝﹣5＝2﹣5（m），∴梯子的底端在水平方向滑动了2﹣5米．22．解：设AC的长为x米，∵AC＝AB，∴AB＝AC＝x米，∵EB＝CD＝1米，∴AE＝（x﹣1）米，在Rt△ACE中，AC2＝CE2+AE2，即：x2＝52+（x﹣1）2，解得：x＝13，答：扶梯AC的长为13米．。

一、选择题1. 如图，AB ，BC ，CD ，DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒，点 A 、 C 、 E 共线．若 AC =6 cm ，CD ⊥BC ，则线段 CE 的长度是 ( )A ． 6 cmB ． 7 cmC ． 6√2 cmD ． 8 cm2. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A ． 1，√3，√5B ． √3，√6，3C ． 10，8，6D ． 7，24，253. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深 ( )A ． 3.5 尺B ． 4 尺C ． 4.5 尺D ． 5 尺4. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20185. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C ´ 上，若 AB =6，BC =9，则 BF 的长为 ( )A．4B．3√2C．4.5D．56.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为( )A．6B．12C．6πD．12π7.如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为(8,6)，将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为( )A．214B．6C．12D．2128.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．13.如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC=∘（点A，B，C，D是网格线交点）．14.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．15.如图，圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是．（结果保留根式）16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，BC=4，AB=5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？(1) 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：（用含字母a，b，c的式子表示）；化简证得勾股定理：a2+b2=c2．(2) 【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积∶大正方形面积=；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为．(3) 【迁移运用】如果用三张含60∘的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60∘的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60∘的直角三角形，对边y∶斜边x=定值k．19.在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．(1) 在图（1）中画出长度为√17的线段，要求线段的端点在格点上．(2) 在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2√2，√5的三角形，使它的端点都在格点上．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC，AB于点D，E．(1) 求证：△ABC为直角三角形；(2) 求AE的长．21.在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．(1) 在图中画△ABC，使AB=2√2，BC=3，AC=√5；(2) 作出AC边上的高线BH，并求BH的长．22.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90∘，180∘和270∘，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1) 请利用这个图形证明勾股定理；(2) 请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；(3) 请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？23.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h．一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到点C处，有一车速检测仪在路对面的30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离变为50m．这辆小汽车超速了吗？24.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1) FC的长；(2) EF的长.25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm，AC=6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC=∠CND=90∘，AM=CM=12AC=12×6=3，CN=EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90∘，∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90∘，∴∠CBM=∠DCN，在△BCM和△CDN中，{∠CBM=∠DCN,∠BMC=∠CND, BC=DC,∴△BCM=△CDN(AAS)，∴BM=CN，在Rt△BCM中，∵BC=5，CM=3，∴BM=√BC2−CM2=√52−32=4，∴CN=4，∴CE=2CN=2×4=8．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】C【解析】如答图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长．设水深 ℎ 尺，由题意得在 Rt △ABC 中，AB =ℎ，AC =ℎ+3，BC =6， 由勾股定理得 AC 2=AB 2+BC 2， 即 (ℎ+3)2=ℎ2+62，解得 ℎ=4.5．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律5. 【答案】A【知识点】勾股定理之折叠问题6. 【答案】A【解析】 ∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴AB 2=AC 2+BC 2， ∴AB =5．∵S 阴影=S 半圆BC +S 半圆AC +S △ABC −S 半圆AB=12π×(BC 2)2+12π×(AC 2)2+12AC ⋅BC −12π×(AB 2)2=6.【知识点】勾股定理7. 【答案】D【解析】∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，∴∠EMF=∠C=90∘，EC=EM，CF=MF，∴∠DME+∠FMB=90∘，而ED⊥OB，∴∠DME+∠DEM=90∘，∴∠DEM=∠FMB，∴Rt△DEM∼Rt△BMF，又∵EC=AC−AE=8−k6，CF=BC−BF=6−k8，∴EM=8−k6，MF=6−k8，∴EMMF =8−k66−k8=43；∴ED:MB=EM:MF=4:3，而ED=6，∴MB=92，在Rt△MBF中，MF2=MB2+BF2，即(6−k8)2=(92)2+(k8)2，解得k=212．【知识点】反比例函数与四边形综合、勾股定理之折叠问题8. 【答案】B【解析】Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm，同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm，故拉长后橡皮筋的长度为10cm，故选B．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理13. 【答案】45【解析】取格点F，连接FB=FD，设网格正方形边长为1，所以BF=√22+32=√13，DF=√22+32=√13，BD=√12+52=√26，所以BF2+DF2=13+13=26，BD2=(√26)2=26所以BF2+DF2=BD2，且BF=DF，所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠FBD=45∘，由图可知，∠ABC=∠FBC，所以∠ABC+∠CBD=∠FBC+∠CBD=∠FBD=45∘．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、勾股逆定理14. 【答案】42或32【解析】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5．∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42．（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4，∴△ABC的周长为：15+13+4=32，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【知识点】勾股定理15. 【答案】8√2【解析】该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形，如答图所示，所以圆心角∠AOAʹ=90∘，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AAʹ的长，由勾股定理可得为8√2．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理16. 【答案】53【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示，∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，∴DE=DC，∵BC=4，AB=5，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12AB⋅DE+12BC⋅DC=12BC⋅AC，∴ 12×5⋅DC +12×4⋅DC =12×3×4， 解得，DC =43，∴ AD =AC −CD =3−43=53，故答案为：53．【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH=3√3+√52或3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) (a+b)2=c2+4×12ab(2) 5∶9；28(3) 结论：a2+b2−ab=c2．理由：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，即12(a+b)×k(a+b)=3×12×b×ka+12×c×ck，∴(a+b)2=3ab+c2，∴a2+b2−ab=c2．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、等边三角形面积公式19. 【答案】(1) 如图（1）所示，线段AB即为所求：(2) 如图（2）所示，△CDE即为三边长分别为3，2√2，√5的三角形．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 由已知可得AC=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形．(2) 连接CE，如图，设AE=x，则BE=4−x，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，在Rt△AEC中，x2+32=(4−x)2，x=78，∴AE长为78．【知识点】垂直平分线的性质、勾股定理、勾股逆定理21. 【答案】(1) 如图所示：△ABC即为所求．(2) S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，∴12×3×2=12×√5×BH∴BH=6√55．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) ∵边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，它的面积为4×12ab+(a–b)2=a2+b2，∴c2=a2+b2．(2) ∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．(3) 依题意得2(x+y)=8，∴x+y=4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2+y2=(x+y)2−2xy，∴4xy≤(x+y)2，∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=502−302=402，所以BC=40m，所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s)．即小汽车的速度是72km/h，故小汽车超速了．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 由题意，得AF=AD=10(cm)，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=√AF2−AB2=6(cm)，∴FC=BC−BF=10−6=4(cm)．(2) 由题意，得EF=DE，设DE的长为x，则EC=8−x，在Rt△EFC中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) a2+b2=c2(2) (a+b)2；S；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列各组数是勾股数的是（）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5C．7，24，25 D．，，2．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．a2+b2＝c2B．a＝5，b＝12，c＝13C．∠A：∠B：∠C═3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C3．如图，长方形ABCD中，AB＝3，AD＝1，AB在数轴上，若以点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为（）A．﹣1 B．﹣1 C．2 D．4．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC＝4，BC＝6，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．56 B．24 C．64 D．325．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为（）A．B．3 C．D．56．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和7．如图，今年第9号台风利奇马”过后，市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是（）A．7m B．8m C．9m D．12m8．将一根长为25厘米的筷子置于底面直径为5厘米，高为12厘米的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外的长为h厘米，则h的取值范围是（）A．12≤h≤13 B．11≤h≤12 C．11≤h≤13 D．10≤h≤129．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为（）A．11 B．15 C．10 D．2210．如图，高速公路上有A、B两点相距25km，C、D为两村庄，已知DA＝10km，CB＝15km．DA ⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则AE的长是（）km．A．5 B．10 C．15 D．25二．填空题（共6小题）11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．AD平分∠BAC交BC边于点D，则BD＝．12．如图，有赵爽弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝27，S3＝1，则S1的值是．13．观察下列各式：32+42＝52；82+62＝102；152+82＝172；242+102＝262；…；你有没有发现其中的规律？请用你发现的规律写出接下来的式子：．14．如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为．15．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范同内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则AD＝米．16．如图，△ABC是边长为12cm的正三角形，动点P从A向B以2cm/s匀速运动，同时动点Q从B向C以1cm/s匀速运动，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为t秒，则t＝时，△PBQ为直角三角形．三．解答题（共5小题）17．如图，已知在四边形ABCD中，AB＝20cm，BC＝15cm，CD＝7cm，AD＝24cm，∠ABC＝90°．（1）连结AC，求AC的长；（2）求∠ADC的度数；（3）求出四边形ABCD的面积18．分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．OA22＝（）2+1＝2 S1＝；OA32＝（）2+1＝3 S2＝；OA42＝（）2+1＝4 S3＝…（1）请用含有n（n为正整数）的式子表示S n＝；（2）推算出OA10＝．（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值．19．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A（观测点）正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）20．如图1，在△ABC中，∠B＝22.5°，AC＝5，AD是BC边上的高，AB的垂直平分线交AB 于点E，交BC于点F．（1）判别AD与DF的数量关系并证明；（2）过F点作FG⊥AC于点G，交AD于点O（如图2），若OD＝3，求BC的长度．21．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．解：A、22+32≠42，故此选项错误；B、0.3，0.4，0.5不是正整数，故此选项错误；C、72+242＝252，故此选项正确；D、（）2+（）2≠（）2，同时它们也不是正整数，故此选项错误．故选：C．2．解：A、∵a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵a＝5，b＝12，c＝13，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴最大角∠C＝×180°≠90°，∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；D、∵∠A＝∠B+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：C．3．解：∵AB＝3，AD＝1，∴AC＝＝，∵点A为圆心，AC的长为半径作弧交数轴于点M，AM＝AC＝，∵A点表示﹣1，∴M点表示的数为：﹣1，故选：A．4．解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2＝82+62＝100所以x＝10所以“数学风车”的周长是：（10+4）×4＝56．故选：A．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，∴BC2＝EC2﹣EB2＝22﹣12＝3，∴正方形ABCD的面积＝BC2＝3．故选：B．6．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．7．解：根据勾股定理可知：折断的树高＝＝5米，则这棵大树折断前的树高＝3+5＝8米．故选：B．8．解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝25﹣12＝13cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB＝＝＝13cm，故h＝25﹣13＝12cm．故h的取值范围是12cm≤h≤13cm．故选：A．9．解：利用勾股定理可得S a＝S1+S2，S b＝S2+S3，S c＝S3+S4，∴S a+S b+S c＝S a＝S1+S2+S2+S3+S3+S4＝7+4+4＝15．故选：B．10．解：设AE＝x，则BE＝25﹣x，由勾股定理得：在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝102+x2，在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2＝152+（25﹣x）2，由题意可知：DE＝CE，所以：102+x2＝152+（25﹣x）2，解得：x＝15km．所以，E应建在距A点15km处．故选：C．二．填空题（共6小题）11．解：作DE⊥AC于E，如图所示：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．∴DB⊥AB，AC＝＝10，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，∴DE＝DB，在Rt△AED和Rt△ABD中，，∴Rt△AED≌Rt△ABD（HL），∴AE＝AB＝6，∴CE＝AC﹣AE＝4，设DE＝DB＝x，则CD＝8﹣x，在Rt△CDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BD＝3；故答案为：3．12．解：∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，∴CG＝NG，CF＝DG＝NF，∴S1＝（CG+DG）2＝CG2+DG2+2CG•DG＝GF2+2CG•DG，S2＝GF2，S3＝（NG﹣NF）2＝NG2+NF2﹣2NG•NF，∴S1+S2+S3＝GF2+2CG•DG+GF2+NG2+NF2﹣2NG•NF＝3GF2＝27，∴GF2＝9，∴S2＝9，∵S3＝1，∴S1的值是17．故答案为17．13．解：根据规律，下一个式子是：352+122＝372．14．解：作辅助线：连接AB，因为△ABD是直角三角形，所以AB＝＝＝5，因为52+122＝132，所以△ABC是直角三角形，则要求的面积即是两个直角三角形的面积差，即×12×5﹣×3×4＝30﹣6＝24．15．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，则AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案是：1.5．16．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60°，当∠PQB＝90°时，∠BPQ＝30°，∴BP＝2BQ．∵BP＝12﹣2x，BQ＝x，∴12﹣2x＝2x，解得x＝3；当∠QPB＝90°时，∠PQB＝30°，∴BQ＝2PB，∴x＝2（12﹣2x），解得x＝．答：3或秒时，△BPQ是直角三角形．故答案为3或．三．解答题（共5小题）17．解：（1）连接AC，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∵AB＝20cm，BC＝15cm，∴由勾股定理可得：AC＝cm；（2）∵在△ADC中，CD＝7cm，AD＝24cm，∴CD2+AD2＝AC2，∴∠ADC＝90°；（3）由（2）知，∠ADC＝90°，∴四边形ABCD的面积＝，18．解：（1）+1＝n+1Sn＝（n是正整数）；故答案是：；（2）∵OA12＝1，OA22＝（）2+1＝2，OA32＝（）2+1＝3，OA42＝（）2+1＝4，∴OA12＝，OA2＝，OA3＝，…∴OA10＝；故答案是：；（3）S12+S22+S32+…+S102＝（）2+（）2+（）2+…+（）2＝（1+2+3+ (10)＝．即：S12+S22+S32+…+S102＝．19．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m，由勾股定理可得：BC＝＝40（m），∴小汽车的速度为v＝40÷2＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h），∵72（km/h）＞70（km/h），∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．20．（1）AD＝DF，理由如下：证明：如图1，连结AF，∵EF是AB的垂直平分线，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝22.5°，∴∠AFD＝45°，∵AD是BC边上的高，∴△AFD是等腰直角三角形，∴AD＝DF；（2）解：∵FG⊥AC，AD⊥BC，∴∠FGC＝∠ADF＝90°，∠GFC+∠C＝90°，∠DAC+∠C＝90°，∴∠GFC＝∠DAC，∵AD＝DF，∴△ODF≌△CDA，∴OD＝CD＝3，在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝4，连结AF，在Rt△ADF中，AD＝DF＝4，∴AF＝＝＝4，∴BF＝AF＝4，∴BC＝BF+DF+CD＝4+4+3＝7+4．21．解：（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S＝×4×t＝2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3﹣＝．。

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《第3章勾股定理》期末综合复习题（附答案）一．选择题1．下列各组数，可以作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4B．7，24，25C．8，12，20D．5，13，15 2．在平面直角坐标系中，点P（3，4）到原点的距离是（）A．3B．4C．5D．±53．一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）A．5B．C．D．5或4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为（）A．（10，0）B．（0，4）C．（4，0）D．（2，0）5．已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距（）A．35海里B．40海里C．45海里D．50海里6．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE 的长是（）A．3B．4C．5D．67．如图，数轴上的点A表示的数是﹣2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC＝2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（）A．B．+2C．﹣2D．28．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤139．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米10．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6二．填空题11．在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校六号楼前有一块长方形花圃（如图所示），有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，请你计算，他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．12．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，分别以AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则S1+S2的值等于．14．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．15．如图所示，圆柱的高AB＝15cm，底面周长为40cm，现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离是．16．某小区楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为20元，楼梯宽为2m，则购买这种地毯至少需要元．17．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4＝．三．解答题18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝16km，CB＝11km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？19．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？20．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）21．在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为500米，与公路上另一停靠站B的距离为1200米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．22．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．23．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米．（1）求梯子顶端A与地面的距离AC的长；（2）若梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得BD＝0.5米，求梯子顶端A 下滑了多少米？24．如图，正方形网格中有△ABC．若每个小方格边长均为1，请你根据所学的知识解答下列问题：（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求△ABC中BC边上的高．25．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？参考答案一．选择题1．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形；B、∵72+242＝252，∴能构成直角三角形；C、∵82+122≠202，∴不能构成直角三角形；D、∵52+132≠152，∴不能构成直角三角形．故选：B．2．解：∵点P（3，4），∴点P到原点的距离是＝5．故选：C．3．解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，故选：D．4．解：∵点A，B的坐标分别为（﹣6，0），（0，8），∴OA＝6，OB＝8，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10，∴AC＝AB＝10，∴OC＝10﹣6＝4，∴点C的坐标为（4，0），故选：C．5．解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根据勾股定理得：＝50（海里）．故选：D．6．解：根据翻折的性质得，AE＝CE，设BE＝x，∵长方形ABCD的长为8，∴AE＝CE＝8﹣x，在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2＝AB2+BE2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得x＝3，所以，BE的长为3．故选：A．7．解：由题意可得，AB＝3，BC＝2，AB⊥BC，∴AC＝＝＝，∴AD＝．∴点D表示数为﹣2．故选：C．8．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．9．解：如图，设大树高为AB＝10m，小树高为CD＝4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB＝4m，EC＝8m，AE＝AB﹣EB＝10﹣4＝6m，在Rt△AEC中，AC＝＝10m，故选：B．10．解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，∴BC＝8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，∴CE＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，CF＝＝＝4，设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，故选：D．二．填空题11．解：根据勾股定理可得斜边长是＝5m．则少走的距离是3+4﹣5＝2m，∵2步为1米，∴少走了4步，故答案为：4．12．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．故答案为：49cm2．13．解：S1＝π（）2＝πAC2，S2＝πBC2，所以S1+S2＝π（AC2+BC2）＝πAB2＝8π．故答案为：8π．14．解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．15．解：把圆柱侧面展开，展开图如右图所示，点A、C的最短距离为线段AC的长．在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，CD＝AB＝15，AD为底面半圆弧长，AD＝40＝20，所以AC＝＝＝25，故答案为：25cm．16．解：已知直角三角形的一条直角边是3m，斜边是5m，根据勾股定理得到：水平的直角边是4m，地毯水平的部分的和是水平边的长，竖直的部分的和是竖直边的长，则购买这种地毯的长是3m+4m＝7m，则面积是14m2，价格是14×20＝280（元）．17．解：观察发现，∵AB＝BE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∴∠ABC+∠BAC＝90°，∠ABC+∠EBD＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC＝ED，∵AB2＝AC2+BC2，∴AB2＝AC2+ED2＝S1+S2，即S1+S2＝1，同理S3+S4＝3．则S1+S2+S3+S4＝1+3＝4．故答案为：4．三．解答题18．解：设AE＝xkm，∵C、D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2，由勾股定理，得x2+162＝112+（25﹣x）2，解得x＝9.8，∴E站应建在离A站9.8 km处．19．解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝（x+1）2，解得：x＝12，则x+1＝13，答：水深12尺，芦苇长13尺．20．解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；根据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v＝＝20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．21．解：公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝1200米，AC＝500米，所以，根据勾股定理有AB＝＝1300（米）．因为S△ABC＝AB•CD＝BC•AC所以CD＝＝＝（米）．由于400米＜米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．22．（1）解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；（2）证明：∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝42+32＝52＝BC2，∴△BCD是直角三角形．23．解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°根据勾股定理，得：AC＝＝＝2（米）∴梯子顶端A与地面的距离AC为2米；（2）依题意，得：CD＝BC+BD＝1.5+0.5＝2（米）在Rt△CDE中，∠C＝90°，根据勾股定理，得：∴AE＝AC﹣CE＝2﹣1.5＝0.5（米）∴梯子顶端A下滑了0.5米．24．解：（1）∵由勾股定理得：AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AB＝，AC＝2，BC＝5，设△ABC的边BC上的高为h，则AB×AC＝×h，∴×2＝5h，h＝2，即△ABC中BC边上的高是2．25．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120（千米），则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．。

第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．下列说法中正确的是（）A．已知a，b，c是三角形的三边，则a2+b2＝c2B．在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C．在Rt△ABC中，∠C＝90°，所以a2+b2＝c2D．在Rt△ABC中，∠B＝90°，所以a2+b2＝c22．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a（a＞0）；⑤m2﹣n2，2mn，m2+n2（m，n为正整数，且m＞n）其中可以构成直角三角形的有（）A．5组B．4组C．3组D．2组3．下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（）A．1，1，B．1，，C．，， D．，，4．如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，则BC边长的高为（）A．B．C．D．5．如图，四边形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝3，BC＝4，CD＝5，则AD的长为（）A．1 B．3C．4 D．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD＝AC，点D在AB上，AF⊥CD交于点E，交CB于点F，则CF的长是（）A．2.5 B．2 C．1.8 D．1.57．在平面直角坐标系中，已知点A（1，1）和B（4，5），则线段AB 的长是（）A．3 B．5 C．4 D．38．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2米，∠B＝90°，AB＝8米，BC＝6米．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE＝（）米时，有DC2＝AE2+BC2．A．2 B．2.5 C．3.4 D．3.69．如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A、B、C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则以B、C、D为顶点的三角形面积为（）A．B．C．D．10．如图，在△ABC中，AB＝2，∠C＝45°，高AD＝6，则△ABC 的面积为（）A．12 B．24 C．36 D．48二．填空题（共5小题）11．在△ABC中，a2+b2＝25，ab＝12，且c＝5，则最大边上的高是．12．如图，一块形如“z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC ＝EF＝GF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，则AF＝．13．如图，由四个相同直角三角形与中间一个正方形拼成一个大正方形，大正方形边长为13cm，小正方形边长为7cm．则每个三角形较短直角边为．14．一颗大树在一次强烈的地震中于离树根B处4米的C处折断倒下（如图），树顶A落在离树根B处3米，则大树AB的原长为米．15．如图，一架长25m的云梯，斜靠在墙上，云梯底端在点A处离墙7米，如果云梯的底部在水平方向左滑动8米到点B处，那么云梯的顶端向下滑了m．三．解答题（共5小题）16．如图，A（﹣2，3），B（4，3），C（﹣1，﹣3）（1）点C到x轴的距离为．（2）△ABC的三边长为：AB＝，AC＝，BC＝．（3）当点P在y轴上，且△ABP的面积为6时，点P的坐标为：．17．已知△ABC中，BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）当∠A＝30°时，求m，n满足的关系式．18．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米．（1）若拉索AB⊥AC，求固定点B、C之间的距离；（2）若固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度．19．定义：若三角形三个内角的度数分别是x、y和z，满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形．（1）根据上述定义，“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题；（2）已知一勾股三角形三个内角从小到大依次为x、y和z，且xy ＝2160，求x+y的值；（3）如图，△ABC中，AB＝，BC＝2，AC＝1+，求证：△ABC 是勾股三角形．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．B．3．D．4．C．5．B．6．D．7．B．8．C．9．D．10．B．二．填空题（共5小题）11．2.4．12．5．13．5．14．8．15．13．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵C（﹣1，﹣3），∴点C到x轴的距离为3；（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，AC ＝＝，BC＝＝；（3）∵点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，∴P到AB的距离为：6÷（×6）＝2，故点P的坐标为（0，1）或（0，5）．故答案为：3；6，，；（0，1）或（0，5）．17．解：（1）∵BC＝m﹣n（m＞n＞0），AC＝2，AB＝m+n，∴AC2+CB2＝（m﹣n）2+4mn＝m2+n2﹣2mn+4mn＝m2+n2+2mn＝（m+n）2＝AB2．∴∠C＝90°．∴△ABC是为直角三角形；（2）∵∠A＝30°，∴＝＝，∴m＝3n．18．解：（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵AB、AC长分别为13米、20米，∴BC＝＝＝m，答：固定点B、C之间的距离为m；（2）∵BC＝21，∴BD＝21﹣CD，∵AD⊥BC，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，∴132﹣BD2＝202﹣（21﹣BD）2，∴BD＝5，∴AD＝＝＝12．19．（1）解：“直角三角形是勾股三角形”是假命题；理由如下：∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x°、y°和z°，若满足x2+y2＝z2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；（2）解：由题意可得：，解得：x+y＝102；（3）证明：过B作BH⊥AC于H，如图所示：设AH＝xRt△ABH中，BH＝，Rt△CBH中，（）2+（1+﹣x）2＝4，解得：x＝，∴AH＝BH＝，HC＝1，∴∠A＝∠ABH＝45°，∴tan∠HBC＝＝＝，∴∠HBC＝30°，∴∠BCH＝60°，∠B＝75°，∴452+602＝752∴△ABC是勾股三角形．20．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则 2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）若P在C点的左侧，CP＝16﹣2t．AP＝20﹣2t（20﹣2t）2＝（16﹣2t）2+82解得：t＝5，若P在C点的右侧，CP＝2t﹣16．AP＝2t﹣12；（2t﹣12）2＝（2t﹣16）2+82解得：t＝11答：当t为5或11时，能使DE＝CD．。

单元复习课第一章勾股定理答案：①平方和②斜边的平方③直角三角形④正整数考点1 勾股定理与面积的探索1．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出(C)A.直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边长为b，较短直角边长为a，由勾股定理得，c2＝a2＋b2，阴影部分的面积＝c2－b2－a(c－b)＝a2－ac＋ab＝a(a＋b－c)，较小两个正方形重叠部分的宽＝a－(c－b)，长＝a，则较小两个正方形重叠部分的面积＝a(a＋b－c)，∴知道题图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积．2．(2022·西安期中)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点．若DA＝DB＝15，△ABD的面积为90，则AC的长是(D)A.9 B．12C．15 D．24【解析】∵△ABD的面积为90，DA＝15，∴12×15×BC＝90，解得：BC＝12，在Rt△BCD中，由勾股定理得CD＝9，∴AC＝AD＋CD＝15＋9＝24.【加固训练】一直角三角形的三边长分别为5，12，x，那么以x为边长的正方形的面积为__169或119__．【解析】当12是直角边长时，根据勾股定理，得x2＝25＋144＝169；当12是斜边长时，根据勾股定理，得x2＝144－25＝119.所以以x为边长的正方形的面积为169或119. 3．(2022·南通质检)如图，在四边形ABCD中，AB＝15，BC＝12，CD＝16，AD＝25，且∠C ＝90°，则四边形ABCD的面积是__246__．【解析】连接BD.∵∠C＝90°，BC＝12，CD＝16，∴BD＝BC2＋CD2＝20，在△ABD中，∵BD＝20，AB＝15，DA＝25，152＋202＝252，即AB2＋BD2＝AD2，∴△ABD是直角三角形．∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝12AB·BD＋12BC·CD＝12×15×20＋12×12×16＝150＋96＝246.【方法技巧】割补法求不规则多边形的面积利用“割补”(连接对角线、延长构造交点、作垂直等)的方法，构造直角三角形，运用勾股定理求得．特别提醒：考点2 直角三角形的判定及应用4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(B)A．4，6，8 B．6，8，10C．6，9，10 D．5，11，13【解析】A.42＋62＝52≠82，C.62＋92＝117≠102，D．52＋112＝146≠132，不能构成直角三角形，故A，C，D选项不符合题意；B．62＋82＝102，可以构成直角三角形，符合题意．5．(2022·温州期中)如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上(也称格点)，若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有(C)A.1个 B．2个 C．3个 D．4个【解析】如图，分情况讨论：①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C有2个；②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C有1个．共有3个点．6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝15米，∠A＝60°，BC＝20米，∠ABC＝150°.小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度．你同意小明的说法吗？若同意，请求出CD的长度；若不同意，请说明理由．【解析】同意小明的说法．理由：连接BD，∵AB＝AD＝15 m，∠A＝60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB＝AD＝BD＝15 m，且∠ABD＝60°，∵∠ABC＝150°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝90°，在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，BC＝20 m，BD＝15 m，根据勾股定理得：BC2＋BD2＝CD2，∴CD2＝BC2＋BD2＝202＋152＝625(m)，即CD＝25(m).答：CD的长度为25 m.【方法技巧】判定直角三角形的三种方法(1)有一个角(最大角)等于90°的三角形；(2)三角形中，两角互余；(3)勾股定理的逆定理．特别提醒：各角度的比、各边长的比满足特定比例关系也可说明是直角三角形．考点3 利用勾股定理解决实际问题7．(2021·襄阳中考)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何．”(丈、尺是长度单位，1丈＝10尺)其大意为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水深为(C)A.10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺【解析】设水深为h尺，则芦苇长为(h＋1)尺，根据勾股定理，得(h＋1)2－h2＝(10÷2)2，解得h＝12，∴水深为12尺．8．(2021·凉山州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为(D)A．198B．2 C．254D．74【解析】∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，∴AE＝BE，AD＝BD＝12AB＝5，设AE＝x，则CE＝AC－AE＝8－x，BE＝x，在Rt△BCE中，∵BE2＝BC2＋CE2，∴x2＝62＋(8－x)2，解得x＝254，∴CE＝8－254＝74.9.(2021·玉林中考)如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后两船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿__北偏东50°__方向航行．【解析】由题意知：AP＝12海里，BP＝16海里，AB＝20海里，∵122＋162＝202，∴△APB是直角三角形，∴∠APB＝90°，由题意知∠APN＝40°，∴∠BPN＝90°－∠APN＝90°－40°＝50°，即乙船沿北偏东50°方向航行．【方法技巧】1．善于将问题转化(1)将问题转化为三角形，利用勾股定理或勾股定理的逆定理解决问题．(2)借助方程思想，通过列方程解决问题．2．善于寻找直角三角形(1)题目中含有直角三角形，可直接利用．(2)通过作辅助线构造直角三角形，解决问题．易错提醒：将实际问题转化为三角形问题后，一定要明确该三角形是否是直角三角形，若不是则需作辅助线构造直角三角形．1．(2020·雅安中考)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图，“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O.若AD＝2，BC＝4，则AB2＋CD2的值为(C)A．6 B．12 C．20 D．40【解析】∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2＋CD2＝22＋42＝20.2．(2021·常德中考)阅读理解：若一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即m ＝a2＋b2，则称m为广义勾股数．下列四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数．正确的是(C) A．②④B．①②④C．①②D．①④【解析】①∵7＝1＋6或2＋5或3＋4，∴7不是广义勾股数，故①结论正确；②∵13＝22＋32，∴13是广义勾股数，故②结论正确；③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；④设m1＝a2＋b2，m2＝c2＋d2，则m1·m2＝(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝(a2c2＋b2d2＋2abcd)＋(a2d2＋b2c2－2abcd)＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，当a＝c，b＝d时，ad－bc＝0，∴两个广义勾股数的积不一定是广义勾股数，如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论错误，∴正确的是①②.。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题二（含答案）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长备几何？”=尺）这个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈10的正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为__________．【答案】222x x+=+5(1)【解析】试题解析：设由题意可得：222+=+．5(1)x x故答案为222+=+．5(1)x x82．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE 绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为_____．【答案】【解析】【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【详解】过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，（2﹣x），∴x＝2解得x＝﹣2，∴EM＝﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝﹣2，∴BF＝BC+CF＝2＝．故答案为：．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及角平分线的性质，解题的关键是求出线段CF的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合角平分线以及等腰直角三角形的性质求出线段的长度是关键．三、解答题83．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者几何？”译文为：一根竹子，原来高一丈，虫伤之后，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处与原竹子底部距离三尺，问原处还有多高的竹子？请解答上述问题．【答案】原处还有4.55尺高的竹子.【解析】【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为-尺．利用勾股定理解题即可．(10)x【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10)x-尺，根据勾股定理得：222+=-3(10)x xx=．解得： 4.55答：原处还有4.55尺高的竹子．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．84．如图，已知正方形ABCD边长为2，E是BC边上一点，将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD上，求BE的长.【答案】BE=4-【解析】【分析】根据正方形的性质得到CD=2，BD=，∠EBD=45°，根据折叠的性质得到DC′=DC=2，∠DC′E=∠C=90°，由等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】∵在正方形ABCD中，AD=AB=2，∠A=90°，∴BD=∠EBD=45°，∵将此正方形的一只角DCE沿直线DE折叠，使C点恰好落在对角线BD 上，∴C′D=CD=2，∠DC′E=∠C=90°，∴CE=C′E=CB=2，∴2)4=-=-本题考查了正方形中的折叠问题，熟练掌握正方形，等腰直角三角形及折叠的性质是解题的关键．，宽b85．已知长方形长a①求长方形的周长；①求与长方形等面积的正方形的周长，并比较长方形周长与正方形周长大小关系．【答案】①②正方形的周长为，长方形的周长大于正方形的周长．【解析】【分析】①根据长方形的周长公式列出算式，然后根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可；②先求出正方形的边长，然后利用周长公式进行求解即可.【详解】①长方形的周长为2×＝2×＝②＝6，，∴此正方形的周长为，∴∴，则长方形的周长大于正方形的周长．本题考查了二次根式的混合运算，实数大小比较等，熟练掌握相关知识和运算法则以及求解方法是解题的关键.86．如图，一架梯子长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米，如果梯子的顶端下滑0.4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了多少米？【答案】梯子的底部在水平方向上滑动了0.8米．【解析】【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC，根据AD、AC求CD，根据CD计算CE，根据CE，BC计算BE，即可解题．【详解】解：由题意知AB＝DE＝2.5米，BC＝0.7米，AD＝0.4米，∵在直角△ABC中，AC为直角边，∴AC＝2.4米，已知AD＝0.4米，则CD＝2.4﹣0.4＝2(米)，∵在直角△CDE中，CE为直角边∴CE＝ 1.5(米)，BE＝1.5米﹣0.7米＝0.8米．答：梯子的底部在水平方向上滑动了0.8米．【点睛】考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键．87．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连结CM.（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若△PMC的形状，并说明理由.【答案】（1）AP=CM；（2）∴PMC是直角三角形.【解析】【分析】（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现∠ABP和∠MBC都是60°-∠PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件．因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；（2）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1PMC是直角三角形．【详解】解：（１）AP=CM.证明:因为△ABC 是等边三角形,所以AB=BC,∠ABC ＝60°,而△PBM 也是等边三角形,所以PB=MB,∠PBM ＝60°,则∠ABP ＝∠MBC.所以△ABP ≌△CBM ．所以AP ＝CM.(2) △PMC 是直角三角形.因为PA:PB:PC=1:设PA=k, PB=k, PC=k.因为△PBM 是等边三角形,所以k.又因为由(1)知AP=CM,所以CM=PA=k.则,PM 2=2k 2,CM 2=k 2,PC 2=3k 2,且2k 2+k 2=3k 2,即CM 2+PM 2=PC 2.所以△PMC 是直角三角形.且∠PMC ＝90°.【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定．通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键．88．如图，某居民楼A 与公路MN 相距60m （AB=60m ），在公路MN 上行驶的汽车在距居民楼A100m 的点P 处就可使其受到噪音的影响，求在公路上以10m/s 的速度行驶的汽车给居民楼A 的居民带来多长时间的噪音影响．【答案】16秒【解析】试题分析：设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．由勾股定理得到AP的长，然后求得PP′长，利用速度路程时间之间的关系求得时间即可．试题解析：如图，设汽车行驶到点P′处噪音影响结束，连接AP′，则AP′=AP．∵由勾股定理得到：==80，∴PP′=2PB=2×80=160米，∴影响时间为160÷10=16秒，答：影响时间为16秒．89．如图，两条公路1l、2l交予点O，在公路2l旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路1l的距离AM为80m．一大货车从O点出发，行驶在公路1l上，汽车周围100m范围内有噪音影响．（1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？km h，则学校受噪音影响多少秒钟？（2）若汽车速度为180/【答案】（1）货车开过时，学校会受噪音影响，证明见解析．（2）学校受噪音影响2.4s ．【解析】【分析】（1）根据80100AM m m =<，即可判断货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，根据勾股定理求出CM 、BM 的长，即可得到BC 的长，即可求解学校受噪音影响的时间．【详解】（1）∵80100AM m m =<∴货车开过学校会受噪音影响．（2）以点A 为圆心，半径为100m 画圆，与直线1l 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ．∵AM MO ⊥∴90AMO AMB ==︒∠∠∴60CM m ==，60BM m ===∴6060120BC CM BM m =+=+= ∵180000180//50/3600km h m s m s == ∴12050 2.4s ÷=故若汽车速度为180/km h ，则学校受噪音影响2.4s ．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握勾股定理的性质以及解法是解题的关键．90．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x 轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由；，点M是y轴上一（3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ＝3个动点，求△AQM的最小周长．【答案】（1）y ＝21462x x -+；（2）存在，点P 的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，P （4，3）；（3）【解析】【分析】（1）求得点A 的坐标，根据抛物线过点A 、B 、C 三点，从而可以求得抛物线的解析式；（2））△ABP 为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据直角三角形的性质和勾股定理列方程解决问题；（3）求出点Q 的坐标为（108,33），在x 轴上取点G （﹣2，0），连接QG 交y 轴于点M ，则此时△AQM 的周长最小，求出QG +AQ 的值即可得出答案．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A 、B 两点，对称轴为直线x ＝4，∴点A 的坐标为（2，0）．∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 过点A （2，0），B （6，0），C （0，6），4203660,6a b c a b c c ++=⎧⎪∴++=⎨⎪=⎩解得a ＝12，b ＝﹣4，c ＝6． ∴抛物线的解析式为：y ＝21462x x -+； （2）设P （4，y ），∵B （6，0），C （0，6），∴BC 2＝62+62＝72，PB 2＝22+y 2，PC 2＝42+（y ﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3±．∴P（4，3+P（4，3．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，）或P（4，3）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝3，∴CH＝QH＝10, 323=∴OH＝108 6,33 -=∴点Q的坐标为（108,33），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ3=QG＝=∴AQ+QG=∴△AQM的最小周长为【点睛】本题考查的是用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，利用轴对称求三角形周长的最小值，掌握以上知识点是解题的关键．。

一、选择题1.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是( )A．5，12，13B．5，6，7C．1，4，9D．5，11，122.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是( )A．30cm2B．30πcm2C．60πcm2D．120cm23.中国数学史上最先完成勾股定理证明的数学家是公元3世纪三国时期的赵爽，他为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图 2 由“弦图”变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．将图中正方形MNKT，正方形EFGH，正方形ABCD的面积分别记为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=18，则正方形EFGH的面积为( )A．9B．6C．5D．924.如图，A，B两点在直线l的两侧，点A到直线l的距离AC=2，点B到直线l的距离BD=1，且CD=3，P为直线CD上的动点，则∣PA−PB∣的最大值是( )A．2B．√2C．√10D．35.如图，△ABD≌△EBC，AB=12，BC=5，则下列结论中：① CD⊥AE；② AD⊥CE；③ CDAE =513；④ ∠EAD=∠ECD．正确的是( )A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④6.在锐角等腰△ABC中，AB=AC，sinA=45，则cosC的值是( )A．12B．2C．2√55D．√557.在Rt△ABC中，∠C=90∘，ACAB =23，则cosB的值为( )A．23B．35C．3√55D．√538.如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm(π=3)，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约( )A．10cm B．12cm C．19cm D．20cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，点D从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，当点D运动到线段AB的中垂线与线段AC的交点处时，运动时间是( )A．252秒B．254秒C．132秒D．72秒二、填空题11.在一张边长为8，宽为6的矩形纸片上剪下一个腰长为5的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积是．12.已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边．（1）若b=0.3，c=0.5，则a=；（2）若a=40，b=9，则c=；（3）若a=6，c=10，则b=；（4）若c=25，b=15，则a=．13.已知Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，直线m经过点C，分别过点A，B作直线m的垂线，垂足分别为点E，F，若AE=3，AC=5，则线段EF的长为．14.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠C=∠D=60∘，AB=4，AD=2√3，点P为CD边上一动点，若∠APB=45∘，则DP的长为．15.如图1是一种广场三联漫步机，其侧面示意图，如图2所示，其中AB=AC=120 cm，BC=80 cm，AD=30 cm，∠DAC=90∘．（1）A到地面的高度是cm．（2）点D到地面的高度是cm．16.在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S1+S2−S3−S4=．17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=10，AC=8，点D是AC的中点，点E在边AB上，将△ADE沿DE翻折，使得点A落在点Aʹ处，当AʹE⊥AB时，那么AʹA的长为．三、解答题18.如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=8，BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．(1) 当t=3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；(2) 当△ABP为等腰三角形时，求t的值；(3) 过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？19.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90∘，AC+AB=10，BC=3，求AC的长．20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（不需要写画法）(1) 在图1中，画一个正方形，使它的面积是10．(2) 在图2中，画一个三角形ABC，使它的三边长分别为：AB=√2，BC=2√2，AC=√10，并计算AC边上的高为．（直接写出结果）21.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=BC，点D为AC边中点，求cos∠DBC，sin∠ABD的值．22.如图，已知△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90∘，点D在线段AC上．(1) 求∠DCE的度数；(2) 当点D在线段AC上运动时（D不与A重合），请写出一个反映DA，DC，DB之间关系的等式，并加以证明．⏜为半圆，C是BE⏜上一动点，连接CA，CB，已知23.如图，点E在弦AB所对的优弧上，且BEAB=4cm，设B，C两点间的距离为x cm，点C到弦AB所在直线的距离为y1cm，A，C 两点间的距离为y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：(1) 按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0123456y1/cm00.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm4 4.69 5.26 5.96 5.94 4.47(2) 在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数y1，y2的图象．(3) 解决问题：①连接BE，则BE的长约为cm．②当以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形时，BC的长度约为cm．24.如图，四边形ABCD中，∠ADC=90∘，AD=4cm，CD=3cm，AB=13cm，BC=12cm，求这个四边形的面积？25.小霞和爸爸，妈妈到人民公园玩，回家后，她利用平面直角坐标系画出了公园的景区图（横轴和纵轴均为小正方形的边所在的直线，每个小正方形边长为1个单位长度）．(1) 若小霞建立的平面直角坐标系中，游乐园D的坐标为(2,−1)，请你在图中画出这个平面直角坐标系．(2) 根据（1）中建立的平面直角坐标系，写出景点A，B的坐标．A，B；(3) 在图中，位于原点西北方向的是哪个景区？并求出表示该景区的点到原点的距离．答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】勾股逆定理2. 【答案】C【解析】∵它的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．∴BC=√82+62=10(cm)，∴这个圆锥漏斗的侧面积是：πrl=π×6×10=60π(cm2)．【知识点】勾股定理、圆锥的计算3. 【答案】B【知识点】勾股定理4. 【答案】C【解析】作点B于直线I的对称点Bʹ，连ABʹ并延长交直线I于P．则BʹD=BD=1．∵AB∥BʹD，∴PDPC =BʹDAC．即PDPD+3=12，解得PD=3，PC=3+3=6，∴PA=√PC2+AC2=√62+22=2√10，PBʹ=√PD2+BʹD2=√32+12=√10，∴∣PA−PB∣的最大值=2√10−√10=√10．【知识点】勾股定理5. 【答案】B【解析】延长CD交AE于点F，∵△ABD≌△EBC∴∠ABD=∠EBC=90∘，BD=BC，AB=EB，∴∠EDF=∠BDC=∠BCD=45∘，∠AEB=∠EAB=45∘，∴∠EFD=180∘−45∘−45∘=90∘，∴CD⊥AE，故①正确；延长AD交CE于点M，∵△ABD≌△EBC，∴∠BAD=∠BEC，∵∠BEC+∠BCE=180∘−∠EBC=180∘−90∘=90∘，∴∠BAD+∠BCE=90∘，∴∠AMC=90∘，即：AD⊥CE，故②正确；∵在等腰Rt△BCD中，BC2+BD2=CD2，∴CD=√BC2+BD2=√52+52=5√2．同理：AE=√AB2+EB2=√122+122=12√2．∴CDAE =512，故③错误；∵在等腰Rt△ABE中，∠EAD+∠BAD=45∘，又∵∠BEC+∠ECD=∠BDC=45∘，∠BAD=∠BEC，∴∠EAD=∠ECD，故④正确．【知识点】勾股定理、全等形的概念及性质6. 【答案】D【解析】如图，过B作BD⊥AC于D，∵sinA=BDAB =45，设BD=4k，AB=5k，∴AD=√AB2−BD2=3k，∵AB=AC=5k，∴.CD=2k，∴BC=√BD2+CD2=2√5k，∴cosC=CDBC =2√5k=√55．【知识点】等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的概念、勾股定理7. 【答案】D【解析】设AC=2x，∵ACAB =23，∴AB=3x，由勾股定理得，BC=√AB2−AC2=√(3x)2−(2x)2=√5x,则cos=BCAB =√53．【知识点】余弦、勾股定理8. 【答案】A【知识点】平面展开-最短路径问题9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】B【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm，∴AB=√AC2+BC2=10cm∵EDʹ是AB的中垂线，∴BE=5，连接BDʹ，∴BDʹ=ADʹ，在Rt△CBDʹ中，BDʹ2=CDʹ2+BC2，即ADʹ2=62+(8−ADʹ)2，解得：ADʹ=254，∴当点D运动到线段AB的中垂线上时，运动时间为254秒．【知识点】勾股定理二、填空题11. 【答案】252或5√6或10【解析】分三种情况计算：（1）当AE=AF=5时，如图：∴S△AEF=12AE⋅AF=12×5×5=252．（2）当AE=EF=5时，如图：则BE=6−5=1，BF=√EF2−BE2=√52−12=2√6，∴S△AEF=12⋅AE⋅BF=52×2√6=5√6．（3）当AE=EF=5时，如图：则DE=8−5=3，DF=√EF2−DE2=√52−32=4，∴S△AEF=12AE⋅DF=12×5×4=10．【知识点】勾股定理12. 【答案】0.4；41；8；20【知识点】勾股定理13. 【答案】1或7【解析】分两种情况：①如图1所示：∵∠ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE−CF=4−3=1．②如图2所示：∵△ACB=90∘，∴∠1+∠2=90∘，∵BF⊥m，∴∠BFC=90∘，∴∠2+∠3=90∘，∴∠1=∠3，∵AE⊥m，∴∠AEC=90∘，∴CE=√AC2−AE2=√52−32=4，在△BCF和△CAE中，{∠3=∠1,∠BFC=∠AEC=90∘, BC=AC,∴△BCF≌△CAE(AAS)，∴CF=AE=3，∴EF=CE+CF=4+3=7．综上所述：线段EF的长为：1或7．故答案为：1或7．【知识点】勾股定理14. 【答案】2+√3−√7或2+√3+√7【解析】如图，作AH⊥CD于H，以AB为底边向下作等腰直角△AOB，以O为圆心OA为半径作⊙O交CD于P1，P2，连接AP1，BP1，AP2，BP2，OP1，OP2，作OE⊥AB于E交CD于F．则∠AP1B=∠AP2B=45∘，OE=AE=EB=OP1=OP2=2√2，在Rt△ADH中，∵AD=2√3，∠D=60∘，AD=√3，AH=EF=3，OF=EF−OE=1，∴DH=12∴FP1=FP2=√22−12√(2√2)2−12=√7，∵DF=DH+FH=√3+2，∴DP1=2+√3−√7，DP2=2+√3+√7．【知识点】等腰直角三角形、勾股定理15. 【答案】80√2；(10+80√2)【解析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H，∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF=FC=12BC=40 cm，根据勾股定理，得AF=√AB2−BF2=√1202−402=80√2(cm)．（2）∵∠DHA=∠DAC=∠AFC=90∘，∴∠DAH+∠FAC=90∘，∠C+∠FAC=90∘，∴∠DAH=∠C，∴△DAH∽△ACF，∴AHFC =ADAC，∴AH40=30120，∴AH=10 cm，∴HF=(10+80√2)cm．【知识点】相似三角形的性质与判定、勾股定理、等腰三角形的性质16. 【答案】−2【解析】由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S3+S4=3，故S1+S2−S3−S4=(S1+S2)−(S3+S4)=1−3=−2，故答案为−2．【知识点】勾股定理17. 【答案】285√2或45√2【知识点】勾股定理之折叠问题三、解答题18. 【答案】(1) 根据题意，得BP=2t，PC=16−2t=16−2×3=10，AC=8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP=√AC2+PC2=√164=2√41．答：AP的长为2√41．(2) 在Rt△ABC中，AC=8，BC=16，根据勾股定理，得AB=√64+256=√320=8√5若BA=BP，则2t=8√5，解得t=4√5；若AB=AP，则BP=32，2t=32，解得t=16；若PA=PB，则(2t)2=(16−2t)2+82，解得t=5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4√5，16，5．(3) 若P在C点的左侧，CP=16−2t，AP=20−2t，(20−2t)2=(16−2t)2+82，解得：t=5；若P在C点的右侧，CP=2t−16，AP=2t−12，(2t−12)2=(2t−16)2+82，解得：t=11．答：当t为5或11时，能使DE=CD．【知识点】几何问题、勾股定理19. 【答案】∵AC+AB=10，∴AB=10−AC．在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即AC2+32=(10−AC)2，解得AC=4.55．【知识点】勾股定理的实际应用20. 【答案】(1) 画一个正方形，它的面积为10，如图所示．(2) △ABC如图所示；2√105【解析】(2) ∵AB=√2，BC=2√2，AC=√10，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90∘，设AC边上的高为ℎ，∴S△ABC=12AB⋅BC=12AC⋅ℎ，∴√2×2√2=√10 h，∴AC边上的高为2√105．【知识点】勾股逆定理、勾股定理21. 【答案】如图，作DE⊥AB于E，∵∠C=90∘，AC=BC，∴∠A=45∘．设AE=DE=1，则AD=√2，∵D为AC中点，∴CD=√2，AC=BC=2√2，∴BD=√DC2+BC2=√(√2)2+(2√2)2=√10．∴cos∠DBC=BCBD =√2√10=25√5．∴sin∠ABD=DEBD =√10=√1010．【知识点】特殊角的三角函数值、勾股定理22. 【答案】(1) ∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠ABC=90∘，∠A=∠ACB=45∘，同理可得：DB=BE，∠DBE=90∘，∠BDE=∠BED=45∘，∴∠ABD=∠CBE．在△ABD与△CBE中，{AB=AC,∠ABD=∠CBE, AD=CE,∴△ABD≌△CBE．∴∠A=∠BCE=45∘，∴∠DCE=∠ACB＋∠BCE=90∘．(2) 2BD2=DA2+DC2．证明如下：∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE=√2BD．∵△ABD≌△CBE，∴AD=CE，∴DE2=DC2+CE2=AD2+CD2，故2BD2=AD2＋CD2．【知识点】等腰直角三角形、全等三角形的性质与判定、勾股定理23. 【答案】(1) 由表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值知：BC=3cm时，CD=2.85cm，从点C与点B重合开始，一直到BC=4，CD，AC随着BC 的增大而增大，则CD一直与AB的延长线相交，如图所示：∵CD⊥AB，∴BD=√BC2−CD2≈0.9367(cm)，得出AD=AB+BD=4.9367(cm)，∴AC=√CD2+AD2=√2.852+4.93672≈5.70(cm)．补充完成如下表：x/cm0123456y1/cm00.78 1.76 2.85 3.98 4.95 4.47y2/cm4 4.69 5.26 5.70 5.96 5.94 4.47(2) 描出补全后的表中各组数值所对应的点(x,y1)，(x,y2)，并画出函数为y1，y2的图象．如图所示：(3) ① 6② 6或4.47【解析】(3) ① ∵BC=6cm时，CD=AC=4.47cm，即点C与点E重合，CD与AC重合，BC为直径．∴BE=BC=6cm．②以A，B，C为顶点组成的三角形是直角三角形时，分两种情况：当∠CAB=90∘时，AC=CD，即图象y1与y2的交点，由图象可得：BC=6cm；当∠CBA=90∘时，BC=AD，由圆的对称性与∠CAB=90∘时对称，AC=6cm，由图象可得：BC=4.47cm．综上所述：BC的长度约为6cm或4.47cm．【知识点】图像法、勾股定理24. 【答案】连接AC．∵AD=4cm，CD=3cm，∠ADC=90∘，∴AC=√CD2+AD2=√32+42=5(cm)，CD⋅AD=6(cm2)．∴S△ACD=12在△ABC中，∵52+122=132，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，即∠ACB=90∘，AC⋅BC=30(cm2)．∴S△ABC=12=S△ABC−S△ACD=30−6=24(cm2)．∴S四边形ABCD答：四边形ABCD的面积为24cm2．【知识点】勾股逆定理25. 【答案】(1) 如图1所示：(2) (0,5)；(3,4)(3) ∵图的方向为上北下南，左西右东，∴位于原点西北方向的是湖心亭，连接OC，作CH⊥OA于H，如图2所示：则∠OHC=90∘，在Rt△OHC中，CH=3，HO=3∴CO=√CH2+OH2−√32+32=3√2，∴湖心亭景区的点到原点的距离为：3√2．【解析】(2) 由（1）建立的平面直角坐标系，则A点的坐标为：(0,5)，B点的坐标为：(3,4)，故答案为：(0,5)，(3,4)．【知识点】建立坐标系，描述物体的位置、勾股定理、由点的位置写出它的坐标。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题二（含答案）如图（1）所示，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面所成的角α为60度.（1）求图（1）中的AO 与BO 的长度;（2）若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图（2）所示，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，请计算AC 的长度;②如图（3）所示，当A 点下滑到A '，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P '点，若'15POP ︒∠=，试求'AA 的长度.【答案】（1）2米 ；（2）；②（ 【解析】【分析】 （1）根据锐角三角函数的定义，即可求解；（2）①设23AC a BD a ==，，根据勾股定理，列方程，即可求解；②根据直角三角形的性质，可知：'2OP AP OP A P ====′′，从而可得∆OP ′A ′是等腰直角三角形，进而得'A O =【详解】（1）∵梯子与地面所成的角α为60︒，∴4sin 6042AO =⨯︒=⨯=，14cos60422BO =⨯︒=⨯=（米）； （2）①设23AC a BD a ==，，∵Rt COD ∆中，222OC OD CD +=，∴()()2222234a a ++=，解得：120a a ==（舍去），∴24213AC a ==（米）； ②点'P P ，分别是''AB A B ，的中点，'2OP AP OP A P ∴====′′（米），∴=30PAO POA ∠=︒∠，'15POP ∠=︒，∴''''45P OA P A O =∠=︒∠，即∆OP ′A ′是等腰直角三角形，∴'A O =，''AA AO A O ∴=-=米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，直角三角形的性质以及勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．102．如图，在ABC ∆中，AE BC ⊥于点E ，22.5B ∠=，AB 的垂直平分线DN 交BC 于点D ，交AB 于点N ，DF AC ⊥于点F ，交AE 于点M ．求证：（1）AE DE =；（2）EM EC =．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，得到∠DAB=∠B=22.5°，根据三角形的外角性质得到∠ADE=∠DAB+∠B=45°，利用等腰三角形的性质证明；（2）证明△MDE ≌△CAE ，根据全等三角形的性质证明结论．【详解】证明：（1）∵DN 是AB 的垂直平分线，∴DA DB =，∴22.5DAB B ∠=∠=，∴45ADE DAB B ∠=∠+∠=，∵AE BC ⊥，∴90AED ∠=，∴45DAE ADE ∠=∠=，∴AE DE =；（2）∵DF AC ⊥，AE BC ⊥，∴90AFM DEM ∠=∠=又∵AMF DME ∠=∠，∴MDE CAE ∠=∠，在MDE ∆和CAE ∆中，MDE CAE DE AEDEM AEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()MDE CAE ASA ∆≅∆，∴EM EC =．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质应用，熟记图形的性质是解题的关键．103．如图，在ABC ∆中，5AB =，13AC =，点D 为BC 的中点，6AD =，求BC 的长及ABC ∆的面积.【答案】BC＝30【解析】【分析】延长AD 到E 使AD=DE ，连接CE,先证明△CDE ≌△BDA,则CE=5 ,S △ACE=S △CAB, 接下来，依据勾股定理的逆定理可证明△ACE 为直角三角形， 最后依据12ABC ACE S S AE CE ∆∆==求解，再根据ABD ECD ∆∆≌和勾股定理即可求出BC.【详解】如图，延长AD 于点E ，使AD DE =，连接CE ，则ABD ECD ∆∆≌．6DE AD ∴==，5CE AB ==，212AE DE ∴==，5CE =，13AC =．22251213+=，222AE CE AC ∴+=，90AEC ∴∠=︒．ABC ABD ACD CED ACD ACE S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∴=+=+=1125302=⨯⨯=． 90AEC =︒∠，90BAD ∴∠=︒，2222256BD AB AD ∴=+=+．BD ∴=2BC BD ==【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键.104．若()2320a b ++-=，求的20192018()()a b a b +-+值． 【答案】-2【解析】【分析】直接利用非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可得出答案．【详解】解：因为()2320++-=a b所以a+3=0，b-2=0，解得：a=-3，b=2，所以20192018+-+a b a b()()=20192018-+--+(32)(32)=-1-1=-2．【点睛】本题考查非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．105．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.2米，求梯子顶端A下落了多少米？【答案】0.17米【解析】【分析】根据已知条件，在Rt△ABC中，根据勾股定理求得AC=2米，在Rt△CDE中，根据勾股定理求得CE≈1.83米，即可求得AE=0.17米，即梯子的顶端下滑了0.17米．【详解】在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，由勾股定理可得AC=2米，在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=1.5+0.2=1.7米，由勾股定理可得=≈米，1.83△AE=AC-CE=2-1.83=0.17米答：梯子顶端A下落了约0.17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，运用勾股定理求得AC和CE的长是解决问题的关键．106．矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转至矩形EGCF（其中E、G、F分别与A、B、D对应）．（1）如图1，当点G落在AD边上时，直接写出AG的长为；（2）如图2，当点G落在线段AE上时，AD与CG交于点H，求GH的长；（3）如图3，记O为矩形ABCD对角线的交点，S为△OGE的面积，求S的取值范围．；（3）4≤S≤【答案】（1）4﹣（2）3【解析】【分析】（1）在Rt△DCG中，利用勾股定理求出DG即可解决问题；（2）首先证明AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣HD＝4﹣m，在Rt△DHC中，根据CH2＝CD2+DH2，构建方程求出m即可解决问题；（3）如图，当点G在对角线AC上时，△OGE的面积最小，当点G在AC 的延长线上时，△OE′G′的面积最大，分别求出面积的最小值，最大值即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝CG＝4，∠D＝90°，∵AB＝CD＝2，∴DG∴AG＝AB﹣BG＝4﹣故答案为:4﹣（2）如图2中，由四边形CGEF是矩形，得到∠CGE＝90°，∵点G在线段AE上，∴∠AGC＝90°，∵CA＝CA，CB＝CG，∴Rt△ACG≌Rt△ACB（HL）．∴∠ACB＝∠ACG，∵AB∥CD∴∠ACG＝∠DAC，∴∠ACH＝∠HAC，∴AH＝CH，设AH＝CH＝m，则DH＝AD﹣AH＝5﹣m，在Rt△DHC中，∵CH2＝DC2+DH2，∴m2＝22+（4﹣m）2，∴m＝52，∴AH ＝52，GH 32． （3）在Rt △ABC 中，AC =152OC AC ，由题可知，G 点在以C 点为圆心，BC 为半径的圆上运动，且GE 与该圆相切，因为GE=AB 不变，所以O 到直线GE 的距离即为△OGE 的高，当点G 在对角线AC 上时，OG 最短，即△OGE 的面积最小，最小值＝12×OG ×EG ＝12×2×（44当点G 在AC 的延长线上时，OG 最长，即△OE ′G ′的面积最大．最大值＝12×E ′G ′×OG ′＝12×2×（）＝综上所述，4S ≤【点睛】本题考查求一点到圆上点距离的最值、矩形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换、勾股定理.（1）比较简单，掌握勾股定理和旋转的性质是解决此问的关键；（2）能表示Rt △DHC 三边，借助方程思想是解决此问的关键；（2）理解线段GE 的运动轨迹，得出面积最小（大）时G 点的位置是解决此问的关键.107．如图，∠B ＝∠OAF ＝90°，BO ＝3cm ，AB ＝4cm ，AF ＝12cm ，求：(1)AO ，FO 的长；(2)图中半圆的面积．【答案】（1）FO ＝13cm ；（2）1698π(cm 2)． 【解析】【分析】（1）根据勾股定理分别求出AO ，FO 的长；（2）利用半圆面积公式计算即可.【详解】（1）∵在Rt △ABO 中，∠B ＝90°，BO ＝3cm ，AB ＝4cm ，∴AO 2＝BO 2＋AB 2＝25，∴AO ＝5cm.在Rt △AFO 中，由勾股定理得FO 2＝AO 2＋AF 2＝132，∴FO ＝13cm ； （2）图中半圆的面积为12π×2FO 2（）＝12π×1694＝1698π(cm 2). 【点睛】此题考查勾股定理，在直角三角形中已知两条边长即可利用勾股定理求得第三条边的长度.108．已知Rt △ABC 中，∠B=90°，（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）：①作∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ；②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；③连接ED．（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△≌△并加以证明．【答案】（1）画图见解析；（2）Rt△AEH≌Rt△DEH，证明见解析.【解析】利用尺规作图，根据相似三角形的判定定理，从图中根据全等三角形的判定条件，利用HL 可判断Rt△AEH≌Rt△DEH．如图所示：（2）Rt△AEH△Rt△DEH，∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=ED，∠AHE=∠EHD，在Rt△AEH和Rt△DEH中，AE=ED，EH=EH，∴Rt△AEH≌Rt△DEH（HL），109．如图，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 沿直线CE 折叠，使点B 落在OA 边上的点D 处．()1CDE ∠的大小= （度）；()2若3,4AE k AD k ==，用含k 的代数式表示,DE BE ．则DE = BE = ()3在()2的条件下，已知折痕CE E 的坐标．【答案】（1）90°；（2）5k ，5k ；（3）点E 的坐标为35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用折叠的性质：对应角相等即可得出答案；（2）在Rt ADE ∆中，利用勾股定理得出DE 的长度，进而得出BE 的长度；（3）设CB x =，在Rt OCD ∆中得出10x k =，在Rt CBE ∆中得出12k =，进而求出点E 的坐标即可．【详解】解：（1）∵边BC 沿直线CE 折叠，使点B 落在OA 边上的点D 处，∵由折叠的性质可知：CDE CBE ∆∆≌，∵=90CDE CBE ∠∠=︒，故答案为：90︒；（2）由题意可知：90DAE ∠=︒，∴在Rt ADE ∆中，由勾股定理得：222DE AD AE =+，即：()()22243DE k k =+， 解得：5DE k =，由折叠的性质可知：CDE CBE ∆∆≌，∴5BE DE k ==，故答案为：5,5k k ；()3设CB x =四边形OABC 是矩形，OA CB x ∴==，4OD OA AD x k =-=-，358OC AB k k k ==+=，由折叠后点B 与点D 重合，由折叠的性质可知：CDE CBE ∆∆≌，CD CB x ∴==在Rt OCD ∆中，由勾股定理得：222=CD OC OD +即：()()22284x k x k =+-，解得：10x k =， 10CB k ∴=在Rt CBE ∆中，由勾股定理得：222CE CB BE =+，即：()()222105k k =+， 解得12k =， 3 5,2OA AE ∴==， ∴点E 的坐标为35,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质，折叠的性质，点的坐标的表示，涉及的基础知识较多，解决本题的关键是折叠前后的两个图形全等的灵活应用以及合理的使用勾股定理．110．如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C 落在第二象限.其斜边两端点A 、B 分别落在x 轴的负半轴、y 轴的正半轴上，且12AB cm =.（1）若6OB cm =.①求点C 的坐标；②若点A 向右滑动的距离与点B 向上滑动的距离相等，求滑动的距离.（2）求出OC 取最大值时点C 的坐标.【答案】（1）①()-②6（2）(-【解析】【分析】（1）①先过点C 作y 轴的垂线，再利用含30角的直角三角形的性质解答即可；②可利用特殊角三角函数值求出线段OA ，然后利用勾股定理构建方程求解.（2）通常采用两种解法，或过点C 作x 轴、y 轴的垂线构造三角形相似，再进一步推出点C 的横坐标与纵坐标的数量关系，最后由勾股定理结合点C 到y 轴的最大距离求解；或先推出当OC 取最大值时四边形AOBC 恰好为矩形，再求出点C 的坐标.【详解】解（1）①过点C 作y 轴的垂线，垂足为D ，如图2.在Rt ABC ∆中，∵12AB =，30BAC ∠=︒，∴6BC =.在Rt AOB ∆中，∵12AB =，6OB =，∴30BAO ∠=︒，60ABO ∠=︒.又∵60CBA ∠=︒，∴60CBD ∠=︒，30BCD ∠=︒，∴3BD =，CD =9OD OB BD =+=，∴点C 的坐标为()-.②设点A 向右滑动的距离为x ，根据题意得点B 向上滑动的距离也为x ，如图3.12cos 12cos30AO BAO =⋅∠=⋅︒=∴'A O x =，'6B O x =+，''12A B AB ==.在''A OB ∆中，由勾股定理得，()()222612x x ++=，解得：10x =（舍去），26x =，∴滑动的距离为6.（2）设点C 的坐标为(),x y ，过C 作CE x ⊥轴，CD y ⊥轴，垂足分别为E 、D ，如图4，则OE x =-，OD y =.∵90ACE BCE ∠+∠=︒，90DCB BCE ∠+∠=︒，∴ACE DCB ∠=∠.又∵90AEC BDC ∠=∠=︒，∴ACEBCD ∆∆，∴CE AC CD BC =，即tan 60CE CD=︒=∴y =，()2222224x y x OC x =+=+=，∴当x 取最大值时，即点C 到y 轴距离最大时，2OC 有最大值，即OC 取最大值，如图4，即当''C B 旋转到与y 轴垂直时，点C 到y 轴距离最大，此时6CD CB ==，CE CA ==.∴当OC 取最大值时点C 的坐标(-.【点睛】试题以三角尺为载体，集中考查了特殊角的三角函数值、勾股定理、相似三角形、特殊四边形的判定与性质、最大值的探究等核心知识.试题设计由易到难，既重视考查运动变化、数形结合、化归与转化、函数与方程等重要数学思想，又较好检测探究能力和合情推理等能力.。

第3章　勾股定理单元复习习题精选(满分100分,限时60分钟)一、选择题(每小题3分,共24分)1.直角三角形的三边长分别为2,4,x,则x 的值有( )A.1个B.2个C.3个D.4个2.(2022江苏徐州期中)用三张正方形纸片按如图所示的方式构成图案,若要使所围成的三角形是直角三角形,则选取的三张正方形纸片的面积不可以是( )A.1,2,3B.2,2,4C.3,4,5D.2,3,53.(2022江苏宿迁期中)下列各组数中,是勾股数的是( )A.35,45,1B.30,40,50C.-6,-8,-10D.0.3,0.4,0.54.(2022江苏溧阳期中)一座建筑物发生了火灾,消防车到达现场后,发现最多只能靠近建筑物底端7米,消防车的云梯最大伸长为25米,则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.16米B.20米C.24米D.25米5.(2022独家原创)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,已知BC=5,AB=13,点D 是斜边AB 上的动点,则CD 的最小值为( )A.6013B.365C.94D.12256.(2022江苏南京期中)如图,以一个直角三角形的三边为直径作3个半圆,若半圆B、C 的面积分别是4、5,则半圆A的面积是( )A.1B.3C.4.5D.97.有一个边长为1的正方形,以它的一条边为斜边,向外作一个直角三角形,再分别以直角三角形的两条直角边为边,向外各作一个正方形,称为第一次“生长”(如图1);再分别以这两个正方形的边为斜边,向外各自作一个直角三角形,然后分别以这两个直角三角形的直角边为边,向外各作一个正方形,称为第二次“生长”(如图2);……如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2 021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )图1 图2A.1B.2 020C.2 021D.2 0228.如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD和AB上的动点,则PA+PQ的最小值是( )A.2.4B.4.8C.4D.5二、填空题(每小题3分,共24分)9.(2022独家原创)在Rt△ABC中,∠C=90°,已知AC=24,AB=25,则△ABC的面积为 .10.(2021湖南岳阳中考)《九章算术》是我国古代数学名著,书中有下列问题:“今有户高多于广六尺八寸,两隅相去适一丈.问户高、广各几何?”其意思:今有一门,高比宽多6尺8寸,门对角线的长恰好为1丈.问门高、宽各是多少?(1丈=10尺,1尺=10寸)如图,设门高AB为x尺,根据题意,可列方程为 .11.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了 步路(假设2步为1米),却踩伤了花草.12.已知a、b、c是△ABC的三边长,且满足关系式|c2-a2-b2|+(a-b)2=0,则△ABC的形状为 .13.如图所示的网格是正方形网格(每个小正方形的边长为1),则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P在小正方形的顶点上).14.利用图①②中两个图形的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理,这个定理称为 ,其数学表达式是 .图① 图②15.(2022江苏邳州期中)观察下列各组勾股数:(1)3,4,5;(2)5,12,13;(3)7,24,25;(4)9,40,41;……照此规律,将第n组勾股数按从小到大的顺序排列,排在中间的数,用含n的代数式可表示为 .16.如图,圆柱形玻璃杯的高为7 cm,底面周长为16 cm,在杯内离杯底2 cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿1 cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短路径为 cm.三、解答题(共52分)17.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E.若AC=8,BC=4,求AE的长.18.(8分)勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,当两个全等的直角三角形按如图所示的方式摆放时,也可以用面积法来证明勾股定理,请完成证明过程.(提示:BD和AC都可以分割四边形ABCD)19.(2022江苏南京期中)(8分)如图,在四边形ABCD中,∠B=90°,AB=20,BC=15,CD=7,AD=24.求四边形ABCD的面积.20.(8分)如图,在B港有甲、乙两艘渔船同时航行,若甲船沿北偏东60°方向以8千米/时的速度前进,乙船沿南偏东某方向以15千米/时的速度前进,2小时后甲船到达M岛,乙船到达P岛,两岛相距34千米,你知道乙船沿哪个方向航行吗?21.(2021江苏无锡新吴期中)(10分)满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.(1)请把下列三组勾股数补充完整:① ,8,10;②5, ,13;③8,15, ;(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数;(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数,求m+n的值.22.(2022江苏南京期末)(10分)【知识生成】通过不同的方法表示同一图形的面积,可以探求相应的等式,两个边长分别为a,b的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成如图①所示的梯形,请用两种方法计算梯形面积.(1)方法一可表示为　;方法二可表示为　;(2)根据方法一和方法二,得出a,b,c之间的数量关系是 (等式的两边需写成最简形式);(3)由上可知,若一直角三角形的两条直角边长为6和8,则其斜边长为 ;【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积,也可以探求相应的等式.如图②是边长为a+b的正方体,被如图所示的分割线分成8块.(4)用不同方法计算这个正方体的体积,就可以得到一个等式,这个等式为 ;(等号两边需化为最简形式)(5)已知2m-n=4,mn=2,利用上面的规律求8m3-n3的值.图① 图②答案全解全析1.B 当x 为斜边长时,x 2=22+42=20;当4为斜边长时,x 2=42-22=12.故x 的值有2个.2.C 由题意可知,三角形各边长的平方是对应的正方形的面积,∵所围成的三角形是直角三角形,∴斜边对应的正方形的面积=两直角边对应的正方形的面积和.∵1+2=3,2+2=4,3+4≠5,2+3=5,∴选取的三张正方形纸片的面积不可以是3,4,5.故选C.3.B A.35,45不是正整数,∴不是勾股数;B.302+402=502,∴是勾股数;C.-6,-8,-10不是正整数,∴不是勾股数;D.0.3,0.4,0.5不是正整数,∴不是勾股数.故选B.4.C 如图所示,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=25米,BC=7米.由勾股定理,得AC 2=AB 2-BC 2=252-72=576,所以AC=24米.故选C.5.A 在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,BC=5,AB=13,∴AC 2=AB 2-BC 2=132-52=144,∴AC=12.根据垂线段最短可知,当CD ⊥AB 时,CD 的值最小,为12AC·BC 12AB =5×1213=6013.故选A.6.A 如图,∵△DEF 是直角三角形,∴DE 2+DF 2=EF 2,∴π8DE 2+π8DF 2=π8EF 2,∴S B +S A =S C .∵半圆B 、C 的面积分别是4、5,∴半圆A 的面积是1.故选A.7.D 由题意得S A =1,由勾股定理,得S B +S C =1,∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2.同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,……∴“生长”了2 021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2 022.故选D.8.B 如图所示.作点Q 关于直线BD 的对称点Q',因为BD 平分∠ABC,所以点Q'在BC 上,连接PQ',则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ'的最小值,∴当A 、P 、Q'三点共线且AQ'⊥BC 时,PA+PQ 的值最小,过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长.∵AB=6,BC=10,∴由勾股定理得AC 2=BC 2-AB 2=102-62=82,∴AC=8,∵S △ABC =12AM·BC=12AB·AC,∴AM=AB ·AC BC=4810=4.8.故选B.9.答案 84解析　在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=25,AC=24,∴BC 2=AB 2-AC 2=252-242=49,∴BC=7,∴△ABC 的面积为12AC·BC=12×24×7=84.10.答案 x 2+(x-6.8)2=102解析　门高AB 为x 尺,则门的宽为(x-6.8)尺,AC=1丈=10尺,由勾股定理,得AB 2+BC 2=AC 2,即x 2+(x-6.8)2=102.11.答案 4解析　设“路”的长度是x 米,由勾股定理,得x 2=42+32=25,∴x=5,∴他们少走了3+4-5=2(米),即2×2=4步.12.答案 等腰直角三角形解析　由关系式|c 2-a 2-b 2|+(a-b)2=0得,c 2-a 2-b 2=0且a-b=0,即a 2+b 2=c 2且a=b,∴△ABC 是等腰直角三角形.13.答案 45解析　延长AP 交网格线于D,连接BD.则PD2=BD2=12+22=5,PB2=12+32=10,∴PD2+DB2=PB2,PD=BD,∴∠PDB=90°,∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°.故答案为45.14.答案勾股定理;a2+b2=c2解析　借助题图①,根据大正方形的面积=小正方形的面积+四个直角三角形的面积,得ab,化简后可得c2=a2+b2.借助题图②,根据大正方形的面积=小正方形的面c2=(b-a)2+4×12ab,化简得a2+b2=c2.积+四个直角三角形的面积,得(a+b)2=c2+4×1215.2n2+2n;解析　(1)3,4,5中,3=2×1+1,4=32-12;(2)5,12,13中,5=2×2+1,12=52-12;(3)7,24,25中,7=2×3+1,24=72-12;(4)9,40,41中,9=2×4+1,40=92-12……,即2n2+2n.以此类推,第n组勾股数中,最小的数为2n+1,排在中间的数为(2n+1)2-12故答案为2n2+2n.16.答案 10解析　如图(图中数据的单位:cm),将杯子的侧面展开,作A关于EF的对称点A',连接A'C,易知A'C的长为所求的最短路程,根据勾股定理得A'C2=A'D2+CD2=82+62=102,所以A'C=10 cm,即所求的最短路程为10 cm.17.解析　连接BE.∵DE 垂直平分AB,∴AE=BE.设AE=BE=x,则CE=8-x,在Rt △BCE 中,由勾股定理,得BC 2+CE 2=BE 2,∴42+(8-x)2=x 2,解得x=5,∴AE=5.18.解析　连接DB,过点D 作BC 边上的高DF,则DF=EC=b-a.∵S 四边形ABCD =S △ACD +S △ABC =12b 2+12ab,S 四边形ABCD =S △ADB +S △DCB =12c 2+12a(b-a),∴12b 2+12ab=12c 2+12a(b-a),∴a 2+b 2=c 2.19.解析　连接AC.在△ABC 中,∠B=90°,由勾股定理,得AB 2+BC 2=AC 2.∵AB=20,BC=15,∴AC 2=202+152=625,∴AC=25.∵CD=7,AD=24,AC=25,∴CD 2+AD 2=72+242=49+576=625,AC 2=252=625,∴CD 2+AD 2=AC 2,∴△ACD 是直角三角形,即∠D=90°,∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB·BC+12AD·CD=12×20×15+12×24×7=234.20.解析　由题意知,BM=8×2=16千米,BP=15×2=30千米,在△BMP 中,BM 2+BP 2=256+900=1 156,PM 2=342=1 156,∴BM 2+BP 2=MP 2,∴△BMP 是直角三角形,∠MBP=90°,∴∠ABP=180°-90°-60°=30°,∴乙船沿南偏东30°方向航行.21.解析　(1)6;12;17.(2)证明:∵(m 2-n 2)2+(2mn)2=m 4+n 4-2m 2n 2+4m 2n 2=m 4+n 4+2m 2n 2,(m 2+n 2)2=m 4+n 4+2m 2n 2,∴(m 2-n 2)2+(2mn)2=(m 2+n 2)2,∴m 2-n 2,m 2+n 2,2mn 是勾股数.(3)把21,72,75分别除以3,得7,24,25,∵偶数24=2×4×3,25=42+32,7=42-32,∴m=4,n=3,∴m+n=4+3=7.22.解析　(1)方法一可表示为12ab+12ab+12c 2;方法二可表示为12(a+b)2.故答案为12ab+12ab+12c 2;12(a+b)2.(2)由题意可得12ab+12ab+12c 2=12(a+b)2,整理得c 2=a 2+b 2.故答案为c 2=a 2+b 2.(3)10.(4)方法一可表示为(a+b)3;方法二可表示为a 3+3a 2b+3ab 2+b 3.∴等式为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3.故答案为(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3.(5)由(4)可得(2m-n)3=8m 3-12m 2n+6mn 2-n 3=8m 3-n 3-6mn(2m-n),∵2m-n=4,mn=2,∴64=8m 3-n 3-6×2×4,∴8m 3-n 3=64+48=112.。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题二（含答案）1．下列是勾股数的是（）A．12，15，18 B．6，10，7C．11，60，61 D【答案】C【解析】试题分析：勾股数是指两个较小的数的平方和等于最大数的平方.222116061+≠，222+=≠，则11,60,61能1215186710+≠，222构成勾股数.2．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a=，HG b=，则斜边BD的长是（）A．+a b B．⋅a b C D【答案】C【解析】【分析】根据全等三角形的性质，设CD=AH=x，DE=AG=BC=y，由CE a=，HG b=建立方程组，求解即可得出,22a b a b CDx BC y ，然后借助勾股定理即可表示BD.【详解】 解：根据图象是由四个全等的直角三角形拼成，设CD=AH=x ，DE=AG=BC=y ，∵CE a =，HG b =，∴x y a y x b +=⎧⎨-=⎩解得：22a b x a b y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 故,22a b a b CD BC在Rt BCD ∆中，根据勾股定理得：2222222222a b a b a b BD BC CD +-+⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴BD =. 故选:C.【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，能借助方程思想用含a ，b 的代数式表示CD 和BC 是解决此题的关键.3．如图，做一个宽80厘米，高60厘米的长方形木框，需在相对角顶点加一根加固木条，则木条长为（ ）A．90厘米B．100厘米C．105厘米D．110厘米【答案】B【解析】【分析】由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，故可利用勾股定理解答．【详解】设这条木板的长度为x厘米，由勾股定理得：x2=802+602，解得：x=100厘米．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，属较简单题目，注意细心运算即可．4．刘徽是我国三国时期杰出的数学大师，他的一生是为数学刻苦探究的一生，在数学理论上的贡献与成就十分突出，被称为“中国数学史上的牛顿”．刘徽精编了九个测量问题，都是利用测量的方法来计算高、深、广、远问题的，这本著作是（）．A．《周髀算经》B．《九章算术》C．《孙子算经》D．《海岛算经》【答案】D【解析】【分析】运用《九章算术注》相关知识即可直接解答．【详解】解：由于《九章算术注》是我国学者编撰的最早的一部测量数学著作，该书第一卷的第一个问题是求海岛上的山峰的高度，故本书的名称是《海岛算经》．故答案为D．【点睛】本题主要考查了数学常识，了解一定的数学史以及数学著作是解答本题的关键．5．下列图形是四棱柱的侧面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】根据四棱柱是由四个大小相同的长方形和两个全等的正方形构成的解答即可.【详解】四棱柱的侧面是由四个同样大小的长方形围成的，故选：A.【点睛】此题考查了简单几何体的侧面展开图，正确掌握几何体的构成是解题的关键.6．如图，在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，则下列各图的三角形不是直角三角形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据勾股定理求出三角形各边的长，再根据勾股定理的逆定理即可求解．【详解】A==）2）2＝（22，三角形是直角三角形；B==22）2，三角形是直角三角形；C==,2＋（2≠52，三角形不是直角三角形；D=，（）2＋（）2＝42，三角形是直角三角形．故选：C．【点睛】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是求出三角形各边的长．7．一个带盖的长方体盒子的长，宽，高分别是8cm，8cm，12cm，已知蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，则蚂蚁要爬行的最短行程是（）A．28cm B．C．D．20cm【答案】D【解析】【分析】将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，根据勾股定理求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【详解】如图1，把长方体侧面展开，根据勾股定理得，20=cm；如图2，把长方体侧面展开，根据勾股定理得，=cm.∵20<，∴蚂蚁要爬行的最短行程是20cm.故选D【点睛】此题考查了两点之间线段最短，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．8．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AD＝5，AE＝4，则△ADC 的周长是（）A．9 B．13 C．14 D．18【答案】D【解析】【分析】由DE 是AC 的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，可得AD＝CD ＝5，AC＝2AE＝8，继而求得△ADC 的周长.【详解】∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AD＝CD＝5，AC＝2AE＝8，∴△ADC 的周长是：AD＋CD＋AC＝18.故选D.【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质.注意垂直平分线上任意一点到线段两端距离相等.9．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S2=1，S2+S3=2，S3+S4=3，S1+S2+S3+S4=4，故选A．点睛：勾股定理包含几何与数论两个方面，几何方面，一个直角三角形的斜边的平方等于另外两边的平方和．这里，边的平方的几何意义就是以该边为边的正方形的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的△O交BC于点D，连结OD，AD．以下结论：△△ADB＝90°；△D是BC的中点；△AD是△BAC 的平分线；△OD∥AC，其中正确结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】【分析】由AB=AC，得到∠B=∠C，由于AB为⊙O的直径，得到∠ADB＝90°，得到①正确，再根据等腰三角形三线合一性质得到②③正确，由于OB=OD，于是得到∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，根据同位角相等，两直线平行即可得到④正确．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD，∴D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，∴①②③正确，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴④正确，故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，平行线的判定，熟练掌握等腰三角形的性质-三线合一是解题的关键．。

勾股定理全章复习与巩固（基础）巩固练习一.选择题1．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高( )A.5mB.7mC.8mD.10m2．如图，从台阶的下端点B到上端点A的直线距离为( )A.21012 B.3C.586 D.53.下列命题中是假命题的是（）A.三个内角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形；B.三个内角的度数之比为1：3：2的三角形是直角三角形；C.三边长度之比1：3：2的三角形是直角三角形；D.三边长度之比2：2：2的三角形是直角三角形；4. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点E、F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）．A．6 B．12 C．24 D．305．下列三角形中，是直角三角形的是( )A.三角形的三边满足关系a b c+= B.三角形的三边比为1∶2∶3C.三角形的一边等于另一边的一半D.三角形的三边为9，40，416．某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )A.450a元B.225a元C.150a元D.300a元7.（2018•江阴市模拟）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5．分别以AB、AC、BC为边在AB的同侧作正方形ABDE、ACFG、BCIH，四块阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4．则S1+S2+S3+S4等于（）A.90B.60C.169D.1448. 已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A.32cmcm D.122cm B.42cm C.62二.填空题9．若一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形中最短边上的高为______．10．若等边三角形的边长为2，则它的面积为______．11．如图，B，C是河岸边两点，A是对岸岸边一点，测得∠ABC＝45°，∠ACB＝45°，BC＝60米，则点A到岸边BC 的距离是______米．12.下列命题中，其逆．命题成立的是______________．（只填写序号）①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；④如果三角形的三边长a b c、、满足222+=，那么这个三a b c角形是直角三角形．13.（2018•杭州模拟）如图，圆柱形容器中，高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为cm．（容器厚度忽略不计）14．在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为______．15.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是102cm，则其中最大的正方形的边长为______cm．16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与△ABC的BC边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为__________．三.解答题17.若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此三角形的面积.18．（2018春•安次区校级月考）甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35°方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由．19．如图，△ABC中，∠A＝90°，AC＝20，AB＝10，延长AB到D，使CD＋DB＝AC＋AB，求BD的长．20.如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，B'为CD边上的点，CB'＝3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点B '处，点A 的对应点为A '，折痕分别与AD ，BC 边交于点M ，N ．求BN 的长.【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】C ；【解析】树高为3358=+=.2.【答案】A ；=3.【答案】B ； 4.【答案】A ；【解析】由题意BEF CEF S S =△△，∴ 13462ABD S S ==⨯⨯=△阴影．5.【答案】D ；6.【答案】C ；【解析】作高，求得高为15 m ，所以面积为120151502⨯⨯=2m .7.【答案】A ；【解析】解：过D 作BM 的垂线交BM 于N ，∵图中S 2=S Rt △DOI ，S △BOC =S △MND ，∴S2+S4=S Rt△ABC．可证明Rt△AGE≌Rt△ABC，Rt△DNB≌Rt△BHD，∴S1+S2+S3+S4=S1+S3+（S2+S4），=Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积+Rt△ABC的面积=Rt△ABC的面积×3=12×5÷2×3=90．故选：A．8.【答案】C；【解析】设AE＝x，则DE＝BE＝9－x，在Rt△ABE中，. 二.填空题9．【答案】8；10．；⨯=2211.【答案】30；12.【答案】①④；【解析】①的逆命题“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命题“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可以互为相反数，所以该命题不正确；④的逆命题“如果三角形是直角三角形，那么三角形的三边长a b c、、满足222+=”也是a b c正确的，这是勾股定理的内容.13.【答案】130；【解析】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D=50cm，BD=120cm，∴在直角△A′DB中，A′B===130（cm）．故答案是：130．14．【答案】132cm ；【解析】由题意()222111n n +=+，解得60n =，所以周长为11＋60＋61＝132. 15.【答案】【解析】根据勾股定理，四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积. 16.【答案】81；三.解答题 17.【解析】解：设此直角三角形两直角边分别是3x ，4x ，由勾股定理得： ()()2223420x x +=化简得：216x =∴直角三角形的面积为： 21346962x x x ⨯⨯==.18．【解析】解：由题意得：甲2小时的路程=30×2=60海里，乙2小时的路程=40×2=80海里，∵602+802=1002， ∴∠BAC=90°，∵C 岛在A 北偏东35°方向， ∴B 岛在A 北偏西55°方向． ∴乙船所走方向是北偏西55°方向．19．【解析】解：设BD ＝x ，则CD ＝30－x ．在Rt △ACD 中根据勾股定理列出()222(30)1020x x -=++， 解得x ＝5． 所以BD ＝5. 20. 【解析】解：点A 与点A '，点B 与点B '分别关于直线MN 对称， ∴AM A M '=，BN B N '=． 设BN B N x '==，则9CN x =-． ∵ 正方形ABCD ， ∴ o 90C ∠=． ∴ 222CN B C B N ''+=．∵ C B '＝3， ∴ 222(9)3x x -+=．解得5x =．∴5BN .。

初中八年级数学下册第十七章勾股定理单元复习试题一（含答案）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？【答案】该河的宽度BC为120米【解析】【分析】根据题意可知△ABC为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边BC的距离．【详解】根据题意可知AB＝50米，AC＝BC+10米，设BC＝x，由勾股定理得AC2＝AB2+BC2，即（x+10）2＝502+x2，解得x＝120．答：该河的宽度BC为120米．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，根据题意构建直角三角形及三边的数量关系是解题的关键.112．有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行多少米．？【答案】它至少要飞行10米． 【解析】 【分析】根据题意画出对应的几何图形，如图，过点D 作DE AB ⊥，则四边形ACDE 是矩形，故可得AE ，DE 的长度，在Rt BDE △中利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意画出图形如下：其中8m AB =，2m CD =，8m AC =，求BD 的长， 过点D 作DE AB ⊥，则四边形ACDE 是矩形， ∴2m AE CD ==，8m DE AC ==， ∴6m BE AB AE =-=，在Rt BDE △中，10m BD ==，答：一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10米． 【点睛】本题考查矩形的判定与性质、勾股定理等内容，根据题意画出对应的几何图形是解题的关键．113．（问题探究）(1)如图①，点E是正△ABC高AD上的一定点,请在AB上找一点F，使AE，并说明理由；EF=12AM+MC(2)如图②，点M是边长为2的正△ABC高AD上的一动点，求12的最小值；（问题解决）(3)如图③，A、B两地相距600km,AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的最短距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路。