高三数学最新一轮训练：第七篇第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图

第七篇立体几何(必修2)第1节空间几何体的结构及三视图和直观图课时训练练题感提知能【选题明细表】A组一、选择题1.(2013山东烟台模拟)如图是底面半径为1,母线长均为2的圆锥和圆柱的组合体,则该组合体的侧(左)视图的面积为( C )(A)8π(B)6π(C)4+(D)2+解析:该组合体的侧(左)视图为其中正方形的边长为2,三角形为边长为2的三角形,所以侧(左)视图的面积为22+×22×=4+,故选C.2.(2013山东莱州模拟)一个简单几何体的正(主)视图,侧(左)视图如图所示,则其俯视图不可能为①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是( C )(A)①(B)② (C)③ (D)④解析:当该几何体的俯视图为圆时,由三视图知,该几何体为圆柱,此时,正(主)视图和侧(左)视图应相同,所以该几何体的俯视图不可能是圆,其余都有可能.故选C.3.(2013韶关市高三调研)某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的数据,可得这个几何体的表面积为( B )(A)4+4 (B)4+4(C) (D)12解析:由三视图知该几何体为正四棱锥P ABCD,底面边长为2,高PO=2,如图所示,取CD的中点E,连接OE、PE,则PE==,因此几何体的表面积为2×2+×2×4×=4+4,故选B.4.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( A )(A)2+(B)(C)(D)1+解析:由题意画出斜二测直观图及还原后原图,由直观图中底角均为45°,腰和上底长度均为1,得下底长为1+,所以原图上、下底分别为1,1+,高为2的直角梯形.所以面积S=(1++1)×2=2+.故选A.5.(2013北京东城区模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( D )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示,利用长方体模型可知,此三棱锥A BCD的四个面中,全部是直角三角形.故选D.6.(2013广州市毕业班测试(二))一个圆锥的正(主)视图及其尺寸如图所示,若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1∶7的上、下两部分,则截面的面积为( C )(A)π(B)π (C)π(D)4π解析:由题意知,该几何体是底面半径为3,高为4的圆锥.由截面性质知截面圆半径为×3=,故截面的面积为π·（）2=,故选C.7.下面是关于四棱柱的四个命题:①若有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;②若过两个相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱;③若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱;④若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱.其中真命题为( D )(A)①②(B)①③(C)②③(D)②④解析:对于①,平行六面体的两个相对侧面与底面垂直且互相平行,而另两个相对侧面可能与底面不垂直,则不是直棱柱,故①假;对于②,两截面的交线平行于侧棱,且垂直于底面,故②真;对于③,作正四棱柱的两个平行菱形截面,可得满足条件的斜四棱柱(如图(1)所示),故③假;对于④,四棱柱一个对角面的两条对角线,恰为四棱柱的对角线,故对角面为矩形,于是侧棱垂直于底面的一条对角线,同样侧棱也垂直于底面的另一条对角线,故侧棱垂直于底面,故④真.故选D.二、填空题8.如图所示的Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周得到的图形是.解析:过Rt△ABC的顶点C作线段CD⊥AB,垂足为D,所以Rt△ABC绕着它的斜边AB旋转一周后应得到的是以CD作为底面圆的半径的两个圆锥的组合体.答案:两个圆锥的组合体9.一个几何体的正(主)视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的(填入所有可能的几何体前的编号).①三棱锥;②四棱锥;③三棱柱;④四棱柱;⑤圆锥;⑥圆柱.解析:显然①②⑤均有可能;当三棱柱放倒时,其正(主)视图可能是三角形,所以③有可能,④不可能.答案:①②③⑤10.如图,点O为正方体ABCD A′B′C′D′的中心,点E为平面B′BCC′的中心,点F为B′C′的中点,则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的投影可能是(填出所有可能的序号).解析:空间四边形D′OEF在正方体的平面DCC′D′上的投影是①;在平面BCC′B′上的投影是②;在平面ABCD上的投影是③,而不可能出现投影为④的情况.答案:①②③11.(2013山东烟台模拟)如图,三棱柱的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形,AA1⊥面A1B1C1,正(主)视图是边长为2的正方形,俯视图为正三角形,则侧(左)视图的面积为.解析:因为俯视图为正三角形,所以俯视图的高为,侧视图为两直角边分别为2、的矩形,所以侧(左)视图的面积为2.答案:2三、解答题12.(2013西工大附中模拟)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,求此四棱锥的四个侧面的面积中最大值.解:由三视图可知该几何体是如图所示的四棱锥,顶点P在底面的射影是底面矩形的顶点D.底面矩形边长分别为3,2,△PDC是直角三角形,直角边为3与2,所以S△PDC=×2×3=3.△PBC是直角三角形,直角边长为2,,三角形的面积为×2×=.△PAB是直角三角形,直角边长为3,2;其面积为×3×2=3.△PAD也是直角三角形,直角边长为2,2,三角形的面积为×2×2=2. 所以四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是前面三角形的面积为3.13.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.解:圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm和3x cm,延长AA1交OO1的延长线于点S.在Rt△SOA中,∠ASO=45°,则∠SAO=45°.所以SO=AO=3x,OO1=2x.又×(6x+2x)×2x=392,解得x=7.所以圆台高OO母线长l=OO1=14 cm,底面半径分别为7 cm和21 cm.B组14.(2013广州高三调研)已知四棱锥P ABCD的三视图如图所示,则四棱锥P ABCD的四个侧面中面积最大的是( C )(A)3 (B)2(C)6 (D)8解析:四棱锥如图所示,PM=3,×4×=2,S△PDC=S△PAB=×4×3=6,S△PBC=S△PAD=×2×3=3,故四个侧面中面积最大的是6.15.(2013北京西城检测)三棱锥D ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD的长为.解析:取AC的中点E,连结BE,DE,由正(主)视图可知BE⊥AC,BE⊥DE.DC⊥平面ABC且DC=4,BE=2,AE=EC=2.所以BC====4,即BD====4.答案:416.三棱锥V ABC的底面是正三角形,顶点在底面ABC上的射影为正△ABC的中心,其三视图如图所示:(1)画出该三棱锥的直观图;(2)求出侧(左)视图的面积.解:(1)直观图如图所示.(2)根据三视图间的关系可得BC=2,作AM⊥BC于M,连结VM,过V作VO⊥AM于O,过O作EF∥BC交AB,AC于F、E,则△VEF即侧(左)视图.由=,得EF=.又VA=4,AM==3.则AO=2,VO===2.××2=4.所以S即侧(左)视图的面积为4.。

第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图【最新考纲】 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图.3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．2．旋转体的形成直角三角形(1)三视图的名称几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．4．空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( )(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．( )(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( )(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．( )答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．如图，长方体ABCD A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是( )A．棱台B．四棱柱C．五棱柱D．简单组合体解析：由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱．答案：C3．(2016·邯郸调研)一几何体的直观图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是( )解析：由于组合体的上部分(五面体)与下部分(长方体)有相同的底面，则几何体在下底面的投影为图形B.答案：B4．(2015·课标全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：如图所示，由条件知，截去部分是正三棱锥DABC.设正方体的棱长为a ，则V DABC ＝a 36，因此剩余部分的体积V 剩＝56a 3，故它们的体积之比为15.答案：D5．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于________．解析：由题意得圆柱的底面半径r ＝1，母线l ＝1. 所以圆柱的侧面积S ＝2πrl ＝2π. 答案：2π一种思想棱台和圆台是分别用平行于棱锥和圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的，所以在解决棱台和圆台的相关问题时，常“还台为锥”，体现了转化的数学思想．两点注意1．注意空间几何体的不同放置对三视图的影响． 2．画直观图注意平行性、长度两个要素．(1)平行性不变；(2)平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴、z 轴的线段长度不变． 三条规则——画三视图应遵循的三条规则 1．画法规则：“长对正，宽相等，高平齐”．2．摆放规则：侧视图在正视图的右侧，俯视图在正视图的正下方．3．实虚线的画法规则：可见轮廓线和棱用实线画出，不可见线和棱用虚线画出．一、选择题1．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体 D ．三棱柱解析：由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图为三角形，而圆柱的正视图不可能为三角形．答案：A3．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12D. 2 解析：由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为 2.答案：D4．(2014·北京卷)在空间直角坐标系O xyz 中，已知A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(1，1，2)．若S 1，S 2，S 3分别是三棱锥D ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则( )A ．S 1＝S 2＝S 3B ．S 2＝S 1且S 2≠S 3C ．S 3＝S 1且S 3≠S 2D ．S 3＝S 2且S 3≠S 1解析：如右图所示。

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第1讲空间几何体的结构及其三视图和直观图板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2018·银川模拟]三视图如图的几何体是（）A。

三棱锥 B．四棱锥 C．四棱台 D．三棱台答案B解析几何体底面为四边形，侧面是三角形．故选B.2．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述的物体是下列哪个几何体？( )答案D解析由三视图知该几何体是一个组合体，上部是圆锥,下部是圆柱．故选D。

3．某几何体的正视图和侧视图完全相同,均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )答案D解析几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．故选D.4．[2018·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( ）答案D解析根据几何体的结构特征进行分析即可．故选D。

5．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是( ）答案A解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项A中的图．故选A. 6．[2017·北京高考］某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的最长棱的长度为( ）A.3错误! B．2错误! C．2错误! D．2答案B解析在正方体中还原该四棱锥,如图所示,可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝错误!＝2错误!。

课时提升作业(四十二)一、选择题1.以下四个命题:①正棱锥的所有侧棱相等;②直棱柱的侧面都是全等的矩形;③圆柱的母线垂直于底面;④用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形.其中,真命题的个数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)12.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是( )(A)①②(B)①③(C)①④(D)②④3.(2013·沈阳模拟)一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是( )4.如图,△ABC为正三角形,AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC且3AA′=错误！未找到引用源。

BB′=CC′=AB,则多面体ABC-A′B′C′的主视图是( )5.(2013·宁波模拟)一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示),∠ABC=45°,AB=AD=1,DC⊥BC,则这个平面图形的面积为( )(A)错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

(B)2+错误！未找到引用源。

(C)错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

(D)错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

6.一个正方体截去两个角后所得几何体的主视图、左视图如图所示,则其俯视图为( )7.(2013·西安模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的主视图是( )(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④二、填空题8.等腰梯形ABCD,上底CD=1,腰AD=CB=错误！未找到引用源。

,下底AB=3,以下底所在直线为x轴,则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为.9.(2013·临沂模拟)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是错误！未找到引用源。

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图随堂演练巩固1.下列命题正确的是( )A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D.棱台各侧棱的延长线交于一点【答案】D【解析】如果上、下两个面平行,但它们是大小不一样的多边形,即使各面是四边形,那也不能A B C 但图中的几何体每相邻两个四边形的公共边并是棱柱,A错;如图,图中平面ABC∥平面111不都互相平行,故不是棱柱,B错;棱锥有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体,而棱台是用一个平行于底面的平面去截棱锥而得到的,故C错,D对.2.直线x+y-2=0与坐标轴围成的平面图形,绕该直线旋转360形成的封闭曲面所围成的几何体为( )A.底面半径为2的圆锥B.底面半径为2的圆锥C.两个有公共底面且底面半径为2的组合体D.两个有公共底面且底面半径为2的组合体【答案】D【解析】如图所示,直线x+y-2=0与坐标轴围成等腰直角三角形,等腰直角三角形绕该直线也即绕斜边旋转,所得几何体是两个圆锥共用一底面的组合体,底面半径为等腰直角三角形斜边上的高,2.3.图甲所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是( )【答案】C【解析】根据斜二测画法的规则,将直观图还原,可知选C.4.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )【答案】B【解析】A中几何体的正视图为: ;C中几何体的俯视图为: ;D 中几何体的侧视图为: . 显然选B.5.如图,是一个正方体的展开图,在原正方体中,相对的面分别是 .【答案】①④;②⑥;③⑤【解析】折叠后知①④;②⑥;③⑤对应.课后作业夯基基础巩固1.在下面四个命题中,真命题有( )①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱;②斜三棱柱的侧面一定都不是矩形;③底面为矩形的平行六面体是长方体;④侧面是正方形的正四棱柱是正方体. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A【解析】由棱柱、直棱柱的概念可得④正确.2.如果四棱锥的四条侧棱都相等,就称它为”等腰四棱锥”,四条侧棱称为它的腰,以下四个命题中,假命题是( )A.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等B.等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补C.等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆D.等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上 【答案】B【解析】选项B 由于底面形状未定,仅依靠等腰不能确定侧面高是否相等.3.如图所示,已知△ABC 的水平放置的直观图是等腰Rt △A ′B ′C ′,且A ∠′=90,A ′B ′2=,则△ABC 的面积是( )2 B.22C.42D.1【答案】B【解析】因A ∠′B′C′=45,A′B′2=,从而B′C′=2,所以△ABC 为直角三角形90B ,∠=,AB =2A′B′=22 所以1222222ABCS=⨯=4.(2012湖南联考)一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ABC 是边长为2的正三角形,俯视图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为( )A.32B.12C.1D.2【答案】 A【解析】 由三视图知该几何体为正六棱锥,底面边长为1,高为3.侧视图为等腰三角形,底边边长为3,高为3,所以侧视图的面积为313322⨯⨯=.5.棱长为1的正方体ABCD -1111A B C D 的8个顶点都在球O 的表面上,E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点,则直线E F 被球O 截得的线段长为( )A.2 B.1 C.21+D.2【答案】 D【解析】由题知球O 半径为32,球心O 到直线E F 的距离为12,所以直线E F 被球O 截得的线段长d =312244-=.6.已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示,则在下列图形中,可以是该几何体的俯视图的图形有( )A.①②③⑤B.②③④⑤C.①②④⑤D.①②③④ 【答案】D【解析】因几何体的正视图和侧视图一样,所以易判断出其俯视图可能为①②③④,故选D.7.如图是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图,则此几何体共由 块木块堆成.【答案】5【解析】根据题意可知,几何体的最底层有4块长方体木块,第2层有1块长方体木块,一共有5块. 8.棱长为a 的正四面体ABCD 的四个顶点均在一个球面上,则此球的半径R = . 【答案】64a 【解析】如图所示,设正四面体ABCD 内接于球O ,由D 点向底面ABC 作垂线,垂足为H ,连接A H ,O A,则可求得3AH a =,2236()33DH a a a =-=,在Rt △A OH 中,22236()()a a R R +-=,解得6R a =.9.有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，45ABC ∠=1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为 .【答案】222+【解析】在直观图中,过点A 作AE BC ⊥,垂足为E , 则在Rt △ABE 中145AB ABE ,=,∠=,∴22BE =. 而四边形A E CD 为矩形,AD=1, ∴E C=AD=1.∴212BC BE EC =+=+. 由此可还原原图形如图.在原图形中,A′D′=1,A′B′=2, B′C′21=+, 且A′D′∥B′C′,A′B′B ⊥′C′, ∴这块菜地的面积为1(2S A =′D′+B′C′)A ⋅′B′221(11)22222=⨯++⨯=+. 10.如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的,现用一个平面去截这个几何体,若这个平面垂直于圆柱底面所在平面,那么所截得的图形可能是下图中的 .(把可能的图的序号都填上)【答案】①③【解析】截面为轴截面时可得①,不是轴截面时可得③.11.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积等于392 cm 2,母线与轴的夹角为45,求这个圆台的高、母线长和底面半径. 【解】 圆台的轴截面如图.设圆台的上、下底面半径分别为x cm 和3x cm,延长1AA 交1OO 的延长线于点S . 在Rt △SO A 中45ASO ,∠=,则45SAO ∠=. 所以132SO AO x OO x ==,=. 又1(62)23922x x x ⨯+⨯=,解得x =7,所以圆台的高114OO = cm,母线长12l OO ==142 cm,底面半径分别为7 cm 和21 cm. 12.在半径为25 cm 的球内有一个截面,它的面积是49π cm 2,求球心到这个截面的距离. 【解】设球半径为R ,截面圆的半径为r,球心到截面的距离为d ,如图.∵S =π249r =π cm 2, ∴r=7(cm).∴2222257d R r =-=-=24(cm). ∴球心到这个截面的距离为24 cm.13.如图(1),在四棱锥P ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面ABCD 垂直,图(2)为该四棱锥的正视图和侧视图,它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形.(1)根据图(2)所给的正视图、侧视图,画出相应的俯视图,并求出该俯视图的面积; (2)求PA.【解】(1)该四棱锥的俯视图为内含对角线,边长为6 cm 的正方形,如图,其面积为36 2cm .(2)由侧视图可求得22226662PD PC CD =+=+=. 由正视图可知AD=6且AD PD ⊥.所以在Rt △APD 中2222(62)663PA PD AD ,=+=+= (cm).拓展延伸14.从一个底面半径和高均为R 的圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体,如果用一个与圆柱下底面距离等于l 并且平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.【解】几何体轴截面如图所示,被平行于下底面的平面所截的圆柱截面半径1O C R =,设圆锥截面半径1O D x =, ∵O A=AB =R ,∴△OAB 为等腰直角三角形. 又CD ∥O A,∴BC=CD=R -x , 又BC=R -l ,故x =l ,截面面积为S =π2R -π2l =π22()R l -.。

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业A组——基础对点练1.如图所示，四面体ABCD的四个极点是长方体的四个极点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的正视图、侧视图、俯视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A．①②⑥B．①②③C．④⑤⑥D．③④⑤解析：正视图应为边长为3和4的长方形，且正视图中右上到左下的对角线应为实线，故正视图为①；侧视图应为边长为4和5的长方形，且侧视图中左上到右下的对角线应为实线，故侧视图为②；俯视图应为边长为3和5的长方形，且俯视图中左上到右下的对角线应为实线，故俯视图为③，故选B.答案：B2．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( ) A．8 B．43C．4 2 D．4解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S＝3×4＝4 3.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )A．3 3 B．2 6C.21 D．2 5解析：由三视图得，该几何体是四棱锥P­ABCD，如图所示，ABCD为矩形，AB＝2，BC＝3，平面PAD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B.答案：B4．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．12＋4 2B ．18＋8 2C ．28D ．20＋8 2解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．则该几何体的表面积为S ＝2×12×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D.答案：D5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )A ．(25＋35)πB ．(25＋317)πC ．(29＋35)πD ．(29＋317)π解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，所以该几何体的表面积为π＋π×(1＋2)×17＋2×π×2×4＋4π×222＝π＋317π＋16π＋8π＝(25＋317)π，故选B.答案：B6．(2021·长沙模拟)某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A ．①③B ．①③④C ．①②③D ．①②③④解析：若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，故选A. 答案：A7．(2021·石家庄市模拟)某几何体的三视图如图所示，则其体积为( )A.3π4B ．π＋24C.π＋12D ．3π＋24解析：由几何体的三视图知，该几何体的一部份是以腰长为1的等腰直角三角形为底面，高为3的三棱锥，另一部份是底面半径为1，高为3的圆锥的四分之三．所以几何体的体积为13×3π4×3＋13×12×1×1×3＝3π4＋12＝3π＋24，故选D. 答案：D8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：由三视图恢复的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图．其中长方体的长、宽、高别离是4,2,2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4.∴长方体的体积V 1＝4×2×2＝16， 半个圆柱的体积V 2＝12×22×π×4＝8π.∴这个几何体的体积是16＋8π. 答案：A9．一个半径为2的球体通过切割以后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．16πB ．12πC ．14πD ．17π解析：按照三视图可知几何体是一个球体切去四分之一，则该几何体的表面是四分之三球面和两个截面(半圆)． 由题意知球的半径是2，∴该几何体的表面积S ＝34×4π×22＋π×22＝16π.答案：A10．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.72 m 3 B ．92 m 3 C.73m 3 D ．94m 3 解析：由三视图可知，几何体为如图所示的几何体，其体积为3个小正方体的体积加三棱柱的体积，所以V ＝3＋12＝72(m 3)，故选A.答案：A11．球面上有A ，B ，C 三点，球心O 到平面ABC 的距离是球半径的13，且AB ＝22，AC ⊥BC ，则球O 的表面积是( ) A ．81π B ．9π C.81π4D ．9π4解析：由题意可知，AB 为△ABC 的外接圆的直径，设球O 的半径为R ，则R 2＝(R3)2＋(2)2，可得R ＝32，则球的表面积S ＝4πR 2＝9π.故选B.答案：B12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：将三视图还原成直观图，取得如图所示几何体，设BC 的中点为G ，连接AG ，DG ，△ABC 是一个边长为2的等边三角形，其高AG ＝ 3.该几何体可以看成一个三棱锥与一个四棱锥组合而成．∴该几何体的体积V ＝V三棱锥D ­ABG＋V四棱锥A ­DECG＝13×S △ABG ×DG ＋13×S 四边形DECG×AG ＝13×12×1×3×2＋13×2×1×3＝ 3.答案： 313．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．解析：由题意取得几何体的直观图如图，即从四棱锥P ABCD 中挖去了一个半圆锥．其体积V ＝13×2×2×2－12×13×π×12×2＝8－π3.答案：8－π314.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是________．解析：依题意得，零件可视为从一个半球中挖去一个小圆锥所剩余的几何体，其体积为12×4π3×23－13×π×22×1＝4π(cm 3)．答案：4π cm 3B 组——能力提升练1．若三棱锥S ­ABC 的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，AB ＝SA ＝SB ＝SC ＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为( ) A.16π3B ．8π3C.43π3D ．4π3解析：在等腰直角三角形ABC 中，AB 是斜边且AB ＝2，取AB 的中点D ，连接CD ，SD .∴CD ＝AD ＝BD ＝1.又SA ＝SB ＝SC ＝2，∴SD ⊥AB ，且SD ＝3，在△SCD 中，SD 2＋CD 2＝SC 2，∴SD ⊥CD ，∴SD ⊥平面ABC .∴三棱锥S ­ABC 的外接球球心在SD 上，记为O ，设球半径为R ，连接OA ，则SO ＝OA ＝R ，∴在Rt △AOD 中，AD ＝1，OD ＝3－R ，AO ＝R ，∴12＋(3－R )2＝R 2⇒R ＝233，∴三棱锥S ­ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝4π×(233)2＝16π3.故选A.答案：A2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.163B.203C.152D.132解析：该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－13×12×2×2×2－13×12×1×1×1＝132.故选D.答案：D3.如图是一个底面半径为1的圆柱被平面截开所得的几何体，截面与底面所成的角为45°，过圆柱的轴的平面截该几何体所得的四边形ABB ′A ′为矩形，若沿AA ′将其侧面剪开，其侧面展开图的形状大致为( )解析：过AB 作平行于底面的半平面α，如图，取截面边界上任一点P ，过P 作PP ′垂直于半平面α，垂足为P ′，延长PP ′交圆柱底面于点P 1，过P作PM ⊥AB ，垂足为M ，连接MP ′，则MP ′⊥AB ，∠PMP ′就是截面与底面所成的角，∠PMP ′＝45°，设AB 的中点为O ，连接OP ′.设l AP ′＝x ，则∠AOP ′＝x1＝x ，在Rt △PP ′M 中，PP ′＝MP ′，在Rt △OP ′M 中，MP ′＝OP ′sin∠MOP ′＝sin x ，∴PP ′＝sin x ，PP 1＝AA ′＋sin x ，故选A.答案：A4．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个极点间距离的最大值是( )A ．4B ．5C ．3 2D ．3 3解析：作出直观图如图所示，通过计算可知AF 最长且|AF |＝|BF |2＋|AB |2＝3 3.答案：D5.高为4的直三棱柱被削去一部份后取得一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( ) A.34 B ．14 C.12D ．38解析：由侧视图、俯视图知该几何体是高为二、底面积为12×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为4.易知直三棱柱的体积为8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的48＝12，故选C.答案：C6．(2021·昆明市检测)我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，提出下面的体积计算原理(祖暅原理)：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面面积，“势”是几何体的高．意思是：若两个等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等．现有一旋转体D (如图1所示)，它是由抛物线y ＝x 2(x ≥0)，直线y ＝4及y 轴围成的封锁图形绕y 轴旋转一周形成的几何体，旋转体D 的参照体的三视图如图2所示，利用祖暅原理，则旋转体D 的体积是( )A.16π3B ．6πC ．8πD ．16π解析：由三视图知参照体是一个直三棱柱，其体积V ＝12×4×4×π＝8π，故旋转体D 的体积为8π，故选C. 答案：C7．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图别离是直角三角形、等腰三角形和等边三角形．若该三棱锥的极点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．27πB ．48πC ．64πD ．81π 解析：由三视图可知该几何体为三棱锥，该棱锥的高VA ＝4，棱锥底面ABC 是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示．因为△ABC 是边长为6的等边三角形，所之外接球的球心D 在底面ABC 上的投影为△ABC 的中心O ，过D 作DE ⊥VA 于E ，则E 为VA 的中点，连接OD ，OA ，DA ，则DE ＝OA＝23×33＝23，AE ＝12VA ＝2，DA 为外接球的半径，所以DA ＝DE 2＋AE 2＝4，所以外接球的表面积S ＝4πr 2＝64π.故选C. 答案：C8．(2021·天津测试)若一个几何体的表面积和体积相同，则称这个几何体为“同积几何体”．已知某几何体为“同积几何体”，其三视图如图所示，则a ＝( )A.14＋223B ．8＋223C.12＋223D ．8＋2 2解析：按照几何体的三视图可知该几何体是一个四棱柱，如图所示，可得其体积为12(a ＋2a )·a ·a ＝32a 3，其表面积为12·(2a ＋a )·a ·2＋a 2＋a 2＋2a ·a ＋2a ·a ＝7a 2＋2a 2，所以7a 2＋2a 2＝32a 3，解得a ＝14＋223，故选A.答案：A9.(2021·郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．32πD ．64π解析：还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高别离为22，22，4的长方体，则该长方体外接球的半径r ＝222＋222＋422＝22，则所求外接球的表面积为4πr 2＝32π.答案：C10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．18＋2πB ．20＋πC ．20＋π2D ．16＋π 解析：由三视图可知，这个几何体是一个棱长为2的正方体割去了两个半径为一、高为1的14圆柱，其表面积相当于正方体五个面的面积与两个14圆柱的侧面积的和，即该几何体的表面积S ＝4×5＋2×2π×1×1×14＝20＋π，故选B. 答案：B11．(2021·南昌模拟)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥最长的一条侧棱的长度是________．解析：由题意可知该几何体是一个底面为直角梯形的四棱锥，梯形的两底边长别离为4,2，高为3，棱锥的高为2，所以最长侧棱的长度为22＋32＋42＝29.答案：2912．在三棱锥A BCD 中，侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，△ABC ，△ACD ，△ADB 的面积别离为22，32，62，则该三棱锥外接球的表面积为________．解析：设彼此垂直的三条侧棱AB ，AC ，AD 别离为a ，b ，c ，则12ab ＝22，12bc ＝32，12ac ＝62，解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.所以三棱锥A BCD 的外接球的直径2R ＝a 2＋b 2＋c 2＝6，则其外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.答案：6π13．一个直三棱柱被削去一部份后的几何体ABCDE 及其侧视图、俯视图如图所示，其中侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．设M 是BD 的中点，点N 在棱DC 上，且MN ⊥平面BDE ，则CN ＝_____________________________.解析：由题意可得，DC ⊥平面ABC ，所以DC ⊥CB .若MN ⊥平面BDE ，则MN ⊥BD .又因为∠MDN ＝∠CDB ，所以△DMN ∽△DCB ，所以DN DB ＝DM DC ，故DN 26＝64，解得DN ＝3，所以CN ＝CD －DN ＝1.答案：114．(2021·武汉市模拟)棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体的棱长为________．解析：将棱长均相等的四面体ABCD 补成正方体，设正方体的棱长为a ，则正四面体ABCD 的棱长为2a ，正方体的体对角线长为3a ，由3a ＝2⇒a ＝233，则2a ＝263. 答案：263。

第七章§1：空间几何体的结构特征及其三视图和直观图(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为2．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．下图为水平放置的正方形ABCO ，它在直角坐标系xOy 中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为A ．12B ．22C ．1D ． 2 4．某简单几何体的一条对角线长为a ，在该几何体的正视图、侧视图与俯视 图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a 等于 A ． 2 B ． 3 C ．1 D ．25．一个正方体内接于一个球，过球心作截面，其截面图形可能是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．正视图为一个三角形的几何体可以是________(写出三种)．7．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为__________．8．下面关于四棱柱的四个命题：①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是______(写出所有真命题的编号)．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台的母线长．10．（本小题满分18分）已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍，求两底面的半径与两底面面积之和．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D两项，侧视图中小长方形在右上方，对应俯视图应该在下方，排除A项，故选C项．答案：C2．解析：正方体的正视、侧视、俯视图都为正方形；圆锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆；三棱台的正视、侧视、俯视图依次为梯形、梯形、三角形；正四棱锥的正视、侧视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形．故选D项．答案：D3．解析：如图，在平面直观图中，B′C′＝1，∠B′C′D′＝45°，所以B′D′＝2 2.答案：B4．解析：可构造一对角线长为a的长方体，设其长、宽、高分别为x，y，z，则x2＋y2＝2，y2＋z2＝2，z2＋x2＝2，相加得2(x2＋y2＋z2)＝2a2＝6，得a＝ 3.答案：B5．解析：画出一个正方体内接于球的直观图，逐一考查可得．答案：C二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：利用所学锥体、台体、柱体依次选择易得答案．答案：三棱锥、圆锥、三棱柱．(其他正确答案也可)7．解析：由几何体的三视图知，几何体为正方体的一个面和一个侧棱构成的四棱锥，其最长棱为正方体的对角线，因正方体棱长为2，因此最长棱为2 3.答案：2 38．解析：①错，必须是两个相邻的侧面；②正确；③错，反例，可以是斜四棱柱；④正确，对角线两两相等，则此两对角线所在的平行四边形为矩形．答案：②④三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：设圆台的母线长为l ，截得圆台的上、下底面半径分别为r,4r.根据相似三角形的性质得33＋l ＝r 4r ， 解得l ＝9 cm.所以圆台的母线长为9 cm.10.（本小题满分18分）解：如图所示，设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，且∠ASO ＝30°，在Rt △SO ′A ′中，r SA ′＝sin30°， ∴SA ′＝2r.在Rt △SOA 中，2r SA＝sin30°，∴SA ＝4r. ∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r ＝2a ，r ＝a.∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r)2＝5πr 2＝5πa 2.故圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.。

空间几何体的结构及三视图和直观图基础热身1．给出下列命题：①各个面都是三角形的几何体是三棱锥；②圆台也可看成是圆锥被平行于底面的平面所截得截面与底面之间的部份；③若四棱柱有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④圆柱的任意两条母线所在的直线是彼此平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③ C．①③ D．②④2．下列说法中正确的是( )A．彼此垂直的两条直线的直观图仍然是彼此垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形3．一个锥体的主视图和左视图.K39－1所示，下面选项中，不可能是．．．．该锥体的俯视图的是( )K394．在一个几何体的三视图中，主视图和左视图.K39－3所示，则相应的左视图可以为( )图K39－3 图K39－4能力提升5．.K39－5，直观图所表示的平面图形是( )A．正三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图别离.K39－6所示，则该几何体的俯视图为( )K39－6K39－7．已知某一空间几何体的主视图与左视图.K39－8所示，则在下列①②③④⑤对应图形中，可以是该几何体的左视图的图形有( )－A．①②③⑤ B．②③④⑤C．①②④⑤ D．①②③④8．设计一个杯子，其三视图.K39－10所示，此刻向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t转变的图像是( )图K39－10图K39－11图K39－12－12是长和宽别离相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其主视图、俯视图.K39－12；②存在四棱柱，其主视图、俯视图.；③存在圆柱，其主视图、俯视图.．其中真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．010．对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法作出其直观图，其直观图的面积是原三角形面积的________．－13，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．图K39－1312．已知一几何体的三视图.K39－14，主视图和左视图都是矩形，左视图为正方形，在该几何体上任意选择4个极点，它们可能是如下各类几何形体的4个极点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号)________．－14①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每一个面都是直角三角形的四面体．13．.K39－15是由大小相同的长方体木块堆成的几何体的三视图，则此几何体共由________块木块堆成．图K39－1514．(10分)一几何体的表面展开图.K39－16，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图．并计算该几何体的最长的一条棱的长．图K39－1615．(13分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(.K39－17所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每1 m2菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(精准到1元)图K39－17难点突破16．(12分)某几何体的一条棱长为7，在该几何体的主视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的左视图与俯视图中，这条棱的投影别离是长为a和b的线段，求a＋b 的最大值．答案解析【基础热身】1．D [解析] ①是错误的，由两个结构相同的三棱锥叠放在一路组成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥；对于③，构造斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1，其中侧面A1ABB1和D1DCC1都垂直于底面ABCD，故③不正确；按照圆柱、圆台的概念和性质可知，②④两个命题是正确的，故选D.2．D [解析] 直观图不能保证垂直关系，故A错；平行性不变，B错；由斜二测画法知矩形的直观图为平行四边形，C错；由直观图的斜二测画法知，D正确．故选D.3．C [解析] 由主视图和左视图可知该锥体的长和宽均为1，C中的宽为正三角形的高，显然不为1，故不可能是该锥体的俯视图的是C.4．D [解析] 由主视图和俯视图知该几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，.，故左视图选D.【能力提升】5．D [解析] A′C′，B′C′在直观图中别离与y′轴，x′轴平行，则在原图中AC，BC别离与y轴，x轴平行，所以AC与BC垂直．6．C [解析] 从主视图可以看出去掉的小长方体在原长方体的左上位置，从左视图可以看出去掉的小长方体在原长方体的右上位置，所以其俯视图只有C符合．7．D [解析] 图⑤的俯视图长宽不等，与主视图和左视图反映的信息不符，其他图形都知足要求，故选D.8．B [解析] 由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下、大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的转变是相同的，反映在图像上，选项B符合题意．9．A [解析] ①可以是放倒的三棱柱，所以正确；容易判断②正确；③可以是放倒的圆柱，所以也正确．[解析] 设原三角形底边上的高的长度为h，按照斜二测画法，在直观图中，其长度变成h2，而且与x轴夹角为45°，设此时直观图中三角形的高为h1，则h1＝h2sin45°＝24h.而底边长度不变，故面积变成原来的24.11．①②③[解析] 空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③，故填①②③.12．①③④[解答] .，长方体为几何体的直观图．被选择的四个点为B1、B、C、C1时，可知①正确；被选择B、A、B1、C时，可知③正确；被选择A、B、D、D1时，可知④正确．13．5 [解析] 按照题意可知，几何体的最底层有4块长方体，第2层有1块长方体，一共有5块．14．[解答] 该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱VA与底面ABCD垂直，直观图.(1)所示．主视图、左视图、俯视图别离是等腰直角三角形、等腰直角三角形、正方形，则三视图.(2)所示．该几何体的最长的一条棱的长为VC＝62＋622＝6 3.15．[解答] 在直观图中，过A′点作A′E⊥B′C′，垂足为E，则在Rt△A′B′E中，A′B′＝1 m ，∠A ′B ′E ＝45°，∴B ′E ＝22m. 而四边形A ′EC ′D ′为矩形，A ′D ′＝1 m ，∴B ′C ′＝B ′E ＋EC ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1m.由此可还原图形，在原图形中，AD ＝1 m ，AB ＝2 m ，BC ＝⎝⎛⎭⎪⎫22＋1m ，且AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∴这块菜地的面积为S ＝12(AD ＋BC )·AB ＝12×1＋1＋22×2＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋22(m 2)， 所以这块菜地所产生的总的经济效益是300S ≈300(2＋＝≈812(元)．【难点冲破】16．[解答] 把几何体放到长方体中，使得长方体的对角线恰好为几何体的已知棱，设长方体的对角线A 1C ＝7，则它的主视图投影长为A 1B ＝6，左视图投影长为A 1D ＝a ，俯视图投影长为A 1C 1＝b ，则a 2＋b 2＋(6)2＝2·(7)2，即a 2＋b 2＝8， 又a ＋b 2≤a 2＋b 22，∴a ＋b ≤4.从而a ＋b 的最大值为4.。