初一数学-第三十讲一元一次方程——追及问题1

一元一次方程——行程问题（追及问题）【基本关系式】（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程=速度×时间时间＝路程÷速度速度＝路程÷时间（2）基本类型①相遇问题：快行距＋慢行距＝原距②追及问题：快行距－慢行距＝原距速度差：快车比慢车单位时间内多行的路程。

即快车每小时比慢车多行的或每分钟多行的路程。

追及时间：快车追上慢车所用的时间。

路程差：快车开始和慢车相差的路程。

熟悉追及问题的三个基本公式：路程差=速度差×追及时间；速度差=路程差÷追及时间；追及时间=路程差÷速度差追及问题（同向而行），这类问题的等量关系是：两人的路程差等于追及的路程或以追及时间为等量关系。

①同时不同地：甲的时间=乙的时间甲走的路程-乙走的路程=原来甲、乙相距的路程②同地不同时：甲的时间=乙的时间-时间差甲的路程=乙的路程③环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。

解题技巧：在理解行驶时间、地点、方向等关系的基础上画出线段图，分析题意思，寻找路程差及另外两个量之间的关系，最终找到解答方法。

【经典例题】例题1.甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行140公里。

（1）慢车先开出1小时，快车再开。

两车相向而行。

问快车开出多少小时后两车相遇？（2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600公里？（3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600公里？（4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？（5）慢车开出1小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

行程（追击）问题例1.甲、乙两人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分钟走60米，乙每分钟走75米，两人同时向南出发，几分钟后乙追上甲？例2.骑车人与行人同一条街同方向前进，行人在骑自行车人前面450米处，行人每分钟步行60米，两人同时出发，3分钟后骑自行车的人追上行人，骑自行车的人每分钟行多少米？例3.两辆汽车从A地到B地，第一辆汽车每小时行54千米，第二辆汽车每小时行63千米，第一辆汽车先行一会后，第二辆汽车才出发，12小时后追上第一辆车，问第二辆汽车出发时相距第一辆汽车多少千米？例4.甲、乙两架飞机同时从一个机场起飞，向同一方向飞行，乙起飞时甲已飞出300千米，甲机每小时行300千米，乙2小时后追上甲飞机，乙飞机每小时飞行多少千米？练习1.姐姐步行速度是75米/分，妹妹步行速度是45米/分。

一元一次方程的应用之追及问题问题描述追及问题是数学中一个常见的应用问题，也是一元一次方程的经典应用之一。

考虑如下情境：A 、B 两人从同一地点出发，A 的速度为 v1 m/s ，B 的速度为 v2m/s 。

如果 A 比 B 先出发 t 秒，那么 B 多久能追上 A ？构建方程为了解决这个追及问题，我们需要先构建一个一元一次方程来代表 A 和 B 的位置关系。

首先，我们根据题意可以得到 A 和 B 的距离和时间之间的关系：•A 的距离 = (A 的速度) * (时间 + t)，即 d1 = v1 * (t + t)•B 的距离 = B 的速度 * 时间，即 d2 = v2 * t其中，d1 和 d2 分别表示 A 和 B 的距离，t 表示 A 比 B 先出发的时间差。

根据题意，当 A、B 两人相遇时，他们的距离相等。

因此，我们可以得到以下方程：v1 * (t + t) = v2 * t将上述方程变换一下，得到一元一次方程的标准形式：v1 * t + v1 * t = v2 * t再进一步整理得到：(v1 - v2) * t = 0根据一元一次方程的定义，我们可以推断出 t = 0 或 v1 - v2 = 0。

由于 t 表示 A比 B 先出发的时间差，而实际问题中 A 必然比 B 先出发，所以 t 不能等于 0。

因此，我们只需考虑 v1 - v2 = 0 的情况。

当 v1 - v2 = 0 时，即 A 和 B 的速度相等，这时无论谁先出发，B 都无法追上 A。

因此，追及问题存在的条件是v1 ≠ v2。

判断追及问题是否有解在解追及问题之前，我们需要先判断问题是否有解。

根据一元一次方程的定义，我们知道如果方程的系数一致，方程有解。

因此，当v1 ≠ v2 时，追及问题有解；当 v1 = v2 时，追及问题无解。

解追及问题当追及问题有解时，我们可以利用一元一次方程的求解方法来计算出相遇的时间 t。

将 v1 和 v2 带入 t 的方程中，求解得到 t 的值。

一元一次方程的应用之追及问题追及问题是一种经典的一元一次方程应用问题，常常出现在物理学、运动学以及交通领域中。

它描述的是两个物体相互追赶、追及的情况，通过建立一元一次方程来求解物体的速度、距离和时间等相关问题。

例如，假设有两个人A和B，他们在同一条直线上同时从不同的位置出发，A的速度是5米/秒，B的速度是4米/秒。

问题1：如果A和B同时出发后，多久之后他们能够相遇？问题2：相遇时，A和B分别走了多少米？首先，可以设定A和B同时出发的时间为t，那么A和B在t时间内分别走过的距离可以用速度乘以时间来表示。

根据题目中给出的数据，A 和B的速度分别是5米/秒和4米/秒，那么他们走过的距离可以表示为：A的距离=5tB的距离=4t问题1：他们相遇的时间是多久？由于他们在相遇时走过的距离是相等的，所以我们可以将A的距离和B的距离相等，即5t=4t。

解这个方程可以得到t=0，表示他们在出发后立即相遇。

但根据题意可知，他们是同时出发的，所以这个解是不符合实际情况的。

因此，我们可以设定他们相遇的时间为t，即5t=4t。

解这个方程可以得到t=0。

这个解同样不符合实际情况，所以可以排除。

问题2：相遇时，A和B分别走了多少米？我们可以将相遇时的距离设为d，即A和B相遇时的距离是d，那么根据上面的分析，A和B分别走过的距离分别是5d和4d。

根据题意，A 和B相遇时的距离是相等的，所以可以写出5d=4d，从而解得d=0。

同样不符合实际情况。

通过上面的分析可以看出，在这个问题中，A和B根本无法相遇。

这是因为在他们的出发速度中，A的速度5米/秒大于B的速度4米/秒，A 始终能够保持在B的前方，无论经过多久都不可能相遇。

通过这个例子，我们可以看到追及问题中一元一次方程的应用。

尽管上述问题中我们没有得到实际的解，但这并不妨碍追及问题在实际情况中的应用。

例如，在交通运输领域中，追及问题可以用于计算不同车辆之间的距离，以及不同车辆的相对速度和时间。

抚松外国语七年级数学“一元一次方程的应用追及问题”师生共用导学稿审核: 序号:【学习目标】1.知识与技能：会找追及问题类型应用题的相等关系设未知数列方程2.过程与方法：通过学生观察、独立思考等过程，培养学生分析解决问题的能力；3.情感态度价值观：激发学生浓厚的学习兴趣，使学生有独立思考、勇于创新的精神，养成按客观规律办事的良好习惯；重点：找相等关系，设未知数列方程．难点：分析题意，找追及问题类型应用题的相等关系设未知数列方程。

一．自主探究（前置性学习）探究活动（一）甲，乙两人登一座山，甲每分钟登高10米，并且先出发30分钟，乙每分钟登高15米，两人同时登上山顶。

甲用多少时间登山？这座山有多高？（二）知识盘点：追击问题：寻找相等关系的方法：第一，同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；第二，同时不同地出发：前者走的路程+两地距离=追者所走的路程（三）学习中还有哪些疑问没有解决？二．合作探究（一）交流展示（二）体验成功1 . 一队学生去学校外进行军事训练,他们以每小时5千米的速度行进,走了18分钟,学校要将一个紧急通知传给队长,通讯员从学校出发,骑自行车以每小时14千米的速度按原路追上去,通讯员需要多少时间可以追上学生队伍?2、甲乙两人去同一地点办事，甲每小时走5千米，乙每小时走6千米，甲有急事先出发1小时后，乙才出发，经过几小时后能追上甲？3、.休息日弟弟和妈妈从家里出发一同去外婆家，他们走了1小时后，哥哥发现带给外婆的礼品忘在家里，便立刻带上礼品以每小时6千米的速度去追，如果弟弟和妈妈每小时行2千米，他们从家里到外婆家需要1小时45分钟，问哥哥能在弟弟和妈妈到外婆家之前追上他们吗？4、甲、乙两地相距240千米，从甲站开出来一列慢车，速度为每小时80千米;从乙站开出一列快车，速度为每小时120千米。

问：如果两车同向开出，同向而行（快车在后），那么经过多长时间快车可以追上慢车？5、市实验中学学生步行到郊外旅行。

一元一次方程追及问题一元一次方程追及问题是初中数学中的一个重要知识点，也是我们日常生活中常见的问题。

例如，当两个人在同一条直道上奔跑，若他们起始位置不同、速度不同，那么在什么时间，一个人能够追上另一个人，这就是一元一次方程追及问题。

当然，在现实生活中，追及问题不仅仅局限于奔跑，还有车辆、同船漂流等情况。

下面本文将详细介绍一元一次方程追及问题以及解题方法。

一、理论基础在学习一元一次方程追及问题之前，我们需要了解一些基本的知识点。

首先是速度的概念，速度可以理解为某个物体的位移变化量与时间的比值。

在追及问题中，速度是一个非常重要的参数，通常表示为v（velocity）。

其次，我们需要了解时间和路程的概念，时间就是指某个物体运动所需要的时间，通常表示为t（time），路程就是指某个物体在特定时间内所运动的距离，通常表示为s （distance）。

此外，在物理学中，还有一个常用单位——米每秒，也就是m/s，是表示速度的标准单位。

在了解了这些基本概念后，我们就可以开始解决一元一次方程追及问题了。

对于一元一次方程追及问题，我们通常需要建立起一个关于时间的方程。

在方程中，我们需要确定两个物体的初始位置、速度以及它们的相对关系。

然后，把这些信息代入方程中，就可以求得它们相遇所需要的时间。

二、解题方法具体来说，解决一元一次方程追及问题的方法主要有以下几种：1、建立关于时间的方程式在解决一元一次方程追及问题中，首先需要建立起一个关于时间的方程。

方程中的未知量通常是时间t，利用题目中所给出的速度v和距离s，我们可以将题目中的关键信息代入方程中，从而得到一个关于时间的方程。

例如，这里给出一个样例：若A从地点1开始，以10m/s的速度向地点2移动，当他到达地点2时，B从地点3以20m/s的速度出发向地点2移动，求A、B两人相遇的时间和位置。

首先，我们设两人相遇的时间为t，那么在这段时间里，A和B所运动的路程分别是10t和20(t-t1)（t1为B 先行的时间）。

一元一次方程应用题追及问题一、引言一元一次方程是初中阶段数学中的一个重要知识点，也是学生学习的一个重要内容。

在现实生活中，一元一次方程有着广泛的应用，例如追及问题就是一元一次方程应用的一个典型例子。

本文将通过追及问题来探讨一元一次方程在实际生活中的应用，内容主要包括追及问题的概念、解题方法、应用实例和解决问题的思维方式等。

二、追及问题的概念追及问题是指两个物体在同一直线上相向运动，当它们起始位置、速度和方向都已知的情况下，求它们相遇时的时间和地点。

追及问题是一种典型的应用题，它可以用一元一次方程来解决。

在追及问题中，一般可以将两个物体的运动过程分别用两个一元一次方程来表示，通过求解这两个方程，就可以得到它们相遇的时间和地点。

三、解题方法1.建立方程在追及问题中，首先要根据题目中所给的信息，建立两个物体的运动方程。

通常可以采用以下步骤来建立方程：（1）确定变量及其含义：在问题中，通常需要确定两个物体的位置、速度和时间等变量，然后通过这些变量来建立方程。

（2）建立运动方程：根据两个物体的起始位置、速度和方向等信息，可以建立它们的运动方程。

例如，假设两个物体分别以v1和v2的速度从两个不同的地点出发，那么它们的位置与时间的关系可以表示为s1= v1t + s0和s2 = v2t + s0。

2.求解方程建立方程之后，接下来就是求解方程。

通常可以采用以下方法来求解一元一次方程：（1）代入法：将一个方程中的某个变量的值用另一个方程中的变量表示，然后将此值代入另一个方程中，求出另一个变量的值。

（2）消元法：通过两个方程的加减法，将一个变量消去，然后求解另一个变量。

3.检验解的合理性求解方程之后，还需要检验解的合理性。

通常可以通过代入原方程进行检验，如果代入后等式成立，则说明解是正确的；如果等式不成立，则需要重新检查解题过程。

四、应用实例下面通过几个实际的应用实例来说明追及问题的具体应用：实例一：小明骑自行车以每小时12公里的速度从A地出发，2小时后小红驾车以每小时20公里的速度从B地出发，两人在5小时后相遇，请问A、B两地的距离各是多少公里？解：设A、B两地的距离分别为x公里。

一元一次方程的应用：追及问题初中数学学习目标一、考点突破追及问题是两物体同向行驶，快的（后出发的）追上慢的（先出发的）。

通过本讲的学习，弄清这类问题的数量关系，能够正确找到相等关系并列方程求解，学会熟练地画线段图解决行程问题。

二、重难点提示重点：弄清追及问题的各种类型及其数量关系。

难点：环形跑道和时钟的问题。

考点精讲1. 追及问题的特点：两物体在同一直线或封闭图形上运动所涉及的追及、相遇问题，通常归为追及问题。

这类常常会在考试考到，一般分为两种：一种是双人追及、双人相遇，此类问题比较简单；另一种是多人追及、多人相遇，此类则较困难。

2. 追及问题的数量关系：速度差×追及时间＝路程差，路程差÷速度差＝追及时间（同向追及）等。

这类问题的等量关系是：同时不同地：甲的时间＝乙的时间，甲走的路程－乙走的路程＝原来甲、乙相距的路程；同地不同时：甲的时间＝乙的时间－时间差，甲的路程＝乙的路程。

3. 环形跑道上的相遇和追及问题：同地反向而行的等量关系是两人走的路程和＝一圈的路程；同地同向而行的等量关系是两人所走的路程差＝一圈的路程。

示例甲、乙两人在400 米长的环形跑道上跑步，甲每分钟跑240 米，乙每分钟跑200米，两人同时同地同向出发，几分钟后两人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？思路分析：等量关系：两人同时同地同向出发，甲的路程－乙的路程＝400 米两人背向跑：甲的路程＋乙的路程＝400 米典例精讲例题1 甲、乙两人练习赛跑，甲每秒钟跑7 米，乙每秒钟跑6.5 米，他俩从同一地点起跑，乙先跑5 米后，甲出发追赶乙。

设甲出发x 秒后追上乙，则下列四个方程中正确的是()A. 7x ＝6.5x＋5B. 7x ＝6.5x－5C. 7x＋5 ＝6.5xD.（7＋6.5）x ＝5思路分析：首先理解题意找出题中存在的等量关系：乙跑的路程＝甲跑的路程，根据此等式列方程即可。

答案：设甲出发x 秒钟后追上乙，则甲所跑的路程为7x，而此时乙所跑的路程为6.5x +5；根据此时“甲追上乙”那么他们的总路程应该相同，即7x ＝6.5x＋5 ，故选A。

一元一次方程应用：解决追及问题解决追及问题追及问题是一个经典的问题，它涉及到物体在相互追逐、相互靠近、相向而行等情形下的位置关系和时间关系。

在现实生活中，这种问题很常见。

例如，两辆车在同一条路上，一辆车比另一辆车快，想要追上它；或者两个人在同一运动场上，一个人从A点出发，另一个人从B点出发，问他们何时相遇。

在数学中，这种问题可以用一元一次方程解决。

一元一次方程又称为一次方程，通常为形如ax+b=c的形式，其中a、b、c均为常数，x为未知数。

解一次方程的方法很简单，我们只需要将同类项移到一边，把未知数系数约掉，就能得到x的解。

下面我们将介绍如何用一元一次方程解决追及问题。

例1：两辆车相向而行，一个车速为50km/h，另一个车速为70km/h，两车距离相隔320km，问它们何时相遇？我们需要假设t小时后，相遇时的距离为0km，根据题意可画出下图：!图1显然，当两车相遇时，它们走过的距离之和等于320km，即(50t+70t)=320。

将变量移到一边，得到120t=320，即t=320/120=2.67（约）小时，也就是说，两辆车在约2.67小时后相遇。

例2：两架飞机相向而行，一个速度为800km/h，另一个速度为1000km/h，两架飞机起点距离1600km，问它们何时相遇？同样，我们需假设t小时后，相遇时的距离为0km，根据题意可画出下图：!图2可知，两架飞机相遇时，走过的距离之和为(800t+1000t)=1600。

将变量移到一边，得到1800t=1600，即t=1600/1800=0.89（约）小时，也就是说，两架飞机在约0.89小时后相遇。

以上两例仅仅是追及问题中的两个简单例子，实际情况可能会更为复杂。

例如，当两个物体以不同的速度相互追逐，或者它们的起点和终点不同，这就需要使用更复杂的一元二次方程来解决。

但在解决的过程中，我们总是可以把问题抽象为一个关于未知数的简单方程，并进行解答。

总而言之，追及问题在现实生活中很常见，而解决这种问题的数学工具——一元一次方程，也是我们在学习数学时首先要掌握的知识点之一。

一元一次方程的应用---------追及问题教学目标：1.利用“线段图”、“表格”分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题, .能充分利用行程中的速度、路程、时间之间的关系列方程解应用题.2.采用启发探究式的方法，使学生逐步学会从较复杂的生活情境中抽象出数学模型，培养观察发现问题的能力及创新的意识。

了解“未知”转化成“已知”的数学思想。

提高分析和解决问题的能力和严谨、细致的学习习惯。

3.培养学生文字语言、图形语言、符号语言这三种语言转换的能力.4. 经历从生活中发现数学和应用数学解决实际问题的过程，树立多种方法解决实际问题的创新意识，品尝成功的喜悦，激发学生应用数学的热情。

教学重点：会借助“线段图”、“表格”分析复杂问题中的数量关系.教学难点：从较复杂的问题中挖掘条件，找等量关系，建立一元一次方程模型。

一、复习提问：1、运用方程解决实际问题的一般过程是什么？2、解行程问题的应用题要用到路程、速度、时间之间的关系，如果用s、v、t分别表示路程、速度、时间，那么s、v、t三个量的关系为s= ，或v= ，或t= 。

3、相遇问题：特点：相向而行。

数量关系：（1）两者所用时间相同（2）甲的行程+乙的行程=总路程二、创设情境问题：例1：小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000米的学校上学。

小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。

于是，爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。

（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？分析：当爸爸追上小明时，两人所行距离相等。

在解决这个问题时要抓住这个等量关系。

（引导学生画出线路图）设经x分钟后爸爸追上小明；180x相等关系：爸爸走的路程=小明走5分钟的路程+ 小明走x分钟的路程= 小明走的总路程爸爸所用的时间= 小明所用总时间– 5分钟解：(1)设经x分钟后爸爸追上小明；由题意，得80×5+80X=180X.解这个方程，得x=4.因此，爸爸追上小明用了4分.（2）因为180×4=7201000－720=280所以，追上小明时，距离学校还有280米.三、练习A、B两站间的路程为500km，甲车从A站开出，每小时行驶20km；乙车从B站开出，每小时行驶30km；两车同时开出，同向而行，若甲车在前，多少小时后乙车追上甲车？四、小结：1、行程问题中的基本等量关系为：路程=速度×时间2、一般可从下面两个方面寻找追及问题中的等量关系：（1）从时间考虑：速度慢的用时－速度快的用时＝多用的时间（2）从路程考虑：速度快的行程－速度慢的行程＝两者的距离3、解决路程问题的关键是……，方法是……五、作业：P102。

一元一次方程之追及问题及公式(总14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--甲、乙两车站相距400千米慢车每小时行驶100千米，快车每小时行驶140千米先让慢车行驶100千米，然后快车再出发问多长时间快车能追上慢车如果不是快车慢车的那再给你找一些追及应用题吧1、甲车在乙车前500千米，同时出发，速度分别为每小时40千米和每小时60千米，多少小时候，乙车追上甲车2、甲乙两人相距6千米，乙在前，甲在后，两人同时同向出发，3小时甲追上乙。

乙每小时行4千米，甲每小时行多少千米3、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，10分钟后两人相距多远4、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，这时，乙离终点还有多远5、在长跑比赛中，甲运动员每分跑320米，乙每分跑305米，甲出发后30分钟到达终点，甲到达终点后原路返回起跑点，起跑后多少分两人相遇6、一辆货车以每小时60千米的速度前进，一辆客车在它后面30千米，以每小时75千米的速度前进，问客车多长时间能追上货车7、甲车1小时行驶60千米，1小时后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时80千米，几小时后可以追上甲车8、兄弟俩骑车郊游，弟弟先出发，速度为每分钟行200米，5分钟后哥哥带一条狗出发，以每分钟250米的速度去追弟弟，而狗则以每分钟300米的速度向弟弟跑去，追上弟弟后就又返回，遇到哥哥后又立即向弟弟追去，直到哥哥追上弟弟时狗跑了多少米9、甲乙两站相距360千米，客车与货车同时从甲站出发驶向乙站，客车每小时行驶60千米，货车每小时行驶40千米，客车到达乙站后又以原速度返回甲站，两车在开出几小时后相遇10、甲乙两人在周长是400米的环形跑道上跑步，甲比乙跑得快，如果两人从同一地点出发，背向而行，那么经过2分钟相遇，如果两人从同一地点同向而行，那么经过20分钟甲追上乙，求甲乙各自的速度是多少11.小张从甲地到乙地，每小时步行5千米，小王从乙地到甲地每小时步行4千米。

一元一次方程追及相遇问题追及问题两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。

慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。

有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。

解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。

解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。

基本公式有：追及（或领先）的路程÷速度差=追及时间速度差×追及时间=追及（或领先）的路程追及（或领先）的路程÷追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。

如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。

相遇问题两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。

这类问题即为相遇问题。

相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝(甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。

则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。

相遇问题的核心是“速度和”问题。

利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。