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习题9-1 多元函数的基本概念1.求下列各函数的定义域： （1）ln(z y x =-（2）u =2.求下列各极限： （1）(,)(0,0)limx y →；（2）(,)(2,0)tan()limx y xy y →.（3）2222()lim()x y x y x y e-+→∞→∞+令22u x y =+，原式1limlim 0u uu u u e e →∞→∞===（4）()(,0,0limx y →令t =23220001sin 1cos 12lim lim lim 336t t t xt t t t t t +++→→→--==== 习题9-2 偏导数1.求下列函数的偏导数： （1）2sin()cos ()z xy xy =+；（2）(1)y z xy =+；（3）arctan()z u x y =-.（4）设()23y z xy x ϕ=+，其中()u ϕ可导，证明22z z x y xy x y∂∂+=∂∂ 解 ()()222,33z y z yy xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂左边()()22222233z y y x y x y xy y xy x xy x x ϕϕ∂⎡⎤''=+=-++=+=⎢⎥∂⎣⎦右边2.求下列函数的22z x ∂∂，22z y ∂∂和2zx y∂∂∂.（1）arctany z x=；（2）x z y =.习题9-3 全微分1.求下列函数的全微分： （1）y xz e =；（2）yzu x =.（3）sin2yz yu x e =++. 解11,c o s ,22yz yz u u y uze ye x y z∂∂∂==+=∂∂∂，所求的全微分为 1cos 22yz yz y du dx ze dy ye dz ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭‘（4）()222tanz y x u ++=解 u x ∂=∂， u y ∂=∂u z ∂=∂)du xdx ydy zdz =++2.求函数yz x=，当2x =，1y =，0.1x ∆=，0.2y ∆=-时的全增量和全微分。
偏导数知识点总结方法一、偏导数的定义偏导数是多变量函数在某一点上的导数。
对于一个多变量函数f(x, y)，其在点(x0, y0)处的偏导数可以表示为∂f/∂x和∂f/∂y。
其中，∂f/∂x表示在y固定的条件下，f对x的变化率；∂f/∂y表示在x固定的条件下，f对y的变化率。
在数学上，可以用以下的极限定义来表示偏导数：∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x+Δx, y) - f(x, y)] / Δx∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y+Δy) - f(x, y)] / Δy其中，Δx和Δy分别表示x和y的增量。
这样，我们就可以得到一个多变量函数在某一点上的偏导数值。
二、偏导数的性质偏导数具有一些特有的性质，这些性质可以帮助我们更好地理解和计算偏导数。
下面是一些偏导数的性质：1. 常数乘法法则：如果f(x, y)是一个多变量函数，k是一个常数，那么∂(kf)/∂x = k∂f/∂x，∂(kf)/∂y = k∂f/∂y。
2. 和差法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(f+g)/∂x = ∂f/∂x + ∂g/∂x，∂(f+g)/∂y = ∂f/∂y + ∂g/∂y。
3. 乘积法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(fg)/∂x = g∂f/∂x + f∂g/∂x，∂(fg)/∂y = g∂f/∂y + f∂g/∂y。
4. 商法则：如果f(x, y)和g(x, y)是两个多变量函数，那么∂(f/g)/∂x = (g∂f/∂x - f∂g/∂x) /g^2，∂(f/g)/∂y = (g∂f/∂y - f∂g/∂y) / g^2。
5. 复合函数法则：如果z=f(x, y)，x=g(u, v)，y=h(u, v)，那么∂z/∂u = (∂z/∂x)(∂x/∂u) +(∂z/∂y)(∂y/∂u)，∂z/∂v = (∂z/∂x)(∂x/∂v) + (∂z/∂y)(∂y/∂v)。
561§9. 2 偏 导 数内容提要：偏导数的定义、计算、几何意义；高阶偏导数 重点分析：偏导数的计算难点分析：多元函数偏导数与一元函数导数之间的联系与区别因为多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多。
在本节中，我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率。
一、偏导数的定义及其计算法 1、定义一元函数()y f x = ，00()()()limlim x x y f x x f x f x x x→→+-'==二元函数 000(,),(,),(,)z f x y x y D P x y D =∈∈考虑0y y =，x 从00x x x →+ ，000100(,)(,)P x y P x x y →+ 偏增量 0000(,)(,)x z f x x y f x y =+-（p12）定义1 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内有定义，当y 固定在0y 而x 在0x 处有增量x ∆时，相应地函数有增量),(),(0000y x f y x x f -∆+，如果xy x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对x 的偏导数，记为0y y x x xz ==∂∂，0y y x x xf ==∂∂，00y y x x xz ==或),(00y x f x 。
（也可记作,x x z f ''）即 0000000(,)(,)(,)limx x f x x y f x y f x y x∆→+∆-=∆。
注：偏导记号为一整体记号，不能拆分。
562同理，yy x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000为函数),(y x f z =在点),(00y x 处对y 的偏导数，记为0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂，00y y x x yz ==或),(00y x f y 。
如果函数),(y x f z =在区域D 内任一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x 、y 的函数，称为函数),(y x f z =对自变量x 的偏导函（简称偏导数）， 记作x z ∂∂，xf∂∂，x z 或),(y x f x 。
同理，可以定义函数),(y x f z =对自变量y 的偏导数，记作y z ∂∂，yf ∂∂，y z 或),(y x f y 。
显然有：0000(,)(,)(,)x x x y f x y f x y =，0000(,)(,)(,)y y x y f x y f x y =即(,)f x y 在点00(,)x y 处对()x y 的偏导数等于偏导函数(,)((,))x y f x y f x y 在点00(,)x y 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数，如),,(z y x f u =在 ),,(z y x 处,),,(),,(lim),,(0xz y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆,),,(),,(lim ),,(0y z y x f z y y x f z y x f y y ∆-∆+=→∆.),,(),,(lim),,(0zz y x f z z y x f z y x f z z ∆-∆+=→∆例1 （与p14例1同类型） 求 32z xy x xy =++在点(1,1)-处的偏导数。
解：=∂∂x z 223y x y ++； =∂∂yz 2x xy +563111315x y z x=-=∂∴=++=∂ ，11123x y z y=-=∂=--=-∂ 。
2、偏导数的几何意义,),()),(,,(00000上一点为曲面设y x f z y x f y x M =如图几何意义:偏导数0000(,)(,)x x x df x y f x y dx==就是曲面被平面0y y =所截得的曲线在点0M 处的切线x T M 0对x 轴的斜率；偏导数0000(,)(,)y y y df x y f x y dy==就是曲面被平面0x x =所截得的曲线在点0M 处的切线y T M 0对y 轴的斜率。
（举一个几何意义的题） ３、偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导 →连续，多元函数中在某点偏导数存在是否可得连续？例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f ,依定义知在)0,0(处，0)0,0()0,0(==y x f f 。
但函数在该点处并不连续。
故偏导数存在不能得到连续。
564例2（p14例3） 设yx z =)1,0(≠>x x ，求证z yzx x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂。
证：=∂∂x z ,1-y yx =∂∂yz ,ln x x y y z x x z y x ∂∂+∂∂ln 1 x x xyx y x yy ln ln 11+=-y y x x += .2z =原结论成立。
例3 设22arcsiny x x z +=，求x z ∂∂，yz∂∂。
解： =∂∂xz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-xy x x y x x 2222211322222)(||y x y y y x +⋅+= |)|(2y y = .||22yx y +==∂∂yz '⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+-yy x x y x x 222221132222)()(||y x xy y y x +-⋅+= yy x x 1sgn 22+-= )0(≠y 所以，=≠∂∂y x y z 不存在。
例4 设(1)yz xy =+，求,z z x y∂∂∂∂。
证：121(1)(1)y y zy xy y y xy x--∂=+⋅=+∂； 令ln(1)y xy z e+=，则ln(1)ln(1)(1)ln(1)11y xy y z x xy e xy y xy xy y xy xy +⎡⎤⎡⎤∂=⋅++⋅=+⋅++⎢⎥⎢⎥∂++⎣⎦⎣⎦。
565例5 设sin z xy xy =，求,z z x y∂∂∂∂。
证：2sin cos zy xy xy xy x∂=+∂；2sin cos zx xy x y xy y∂=+∂ 例6（书例5）已知理想气体的状态方程pV RT =（R 为常数），求证：1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pT T V V p . 证： ⇒=V RT p ;2VRTV p -=∂∂ ⇒=p RT V ;p R T V =∂∂ ⇒=R pV T ;RVp T =∂∂ =∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p 2V RT - p R ⋅ R V ⋅ pVRT-= .1-=求偏导数的方法：1、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；如，设(,)z f x y ==(0,0),(0,0)x y f f 。
解： xx f x x 0|0|lim)0,0(0-⋅=→ 0= ).0,0(y f =2、用求导法则，先将偏导函数求出，再将点代入； * 将一个自变量看作固定的，仍用一元函数微分法求， 如求fx∂∂，将y 暂看作常量而对x 求导数； 求fy∂∂，将x 暂看作常量而对y 求导数。
566二、高阶偏导数函数),(y x f z =的二阶偏导数为),,(22y x f x z x z x xx =∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(22y x f y zy z y yy =∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂纯偏导 ),,(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂混合偏导 定义2：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
例7(p16例6) 设13323+--=xy xy y x z ，求22x z ∂∂、x y z ∂∂∂2、y x z∂∂∂2、22yz ∂∂。
解：x z ∂∂ ,33322y y y x --= yz∂∂ ;9223x xy y x --= 22x z ∂∂ ,62xy = 33x z ∂∂ ,62y = 22yz ∂∂ ;1823xy x -= y x z ∂∂∂2 ,19622--=y y x xy z ∂∂∂2 .19622--=y y x 例8 设by e u axcos =，求二阶偏导数。
解： ,cos by ae x u ax =∂∂ ;sin by be yu ax-=∂∂ ,cos 222by e a x u ax =∂∂ ,cos 222by e b y u ax -=∂∂,sin 2by abe y x u ax -=∂∂∂ .sin 2by abe xy u ax -=∂∂∂ 观察上两例中二阶混合偏导函数间的关系：有x y z ∂∂∂2＝yx z ∂∂∂2，这是偶然的吗？问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？事实上，我们有下列定理：567定理 如果函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域 D 内连续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。
（可推广到高阶导数）例9（p17例7） 验证函数22ln ),(y x y x u +=满足拉普拉斯方程：22220u ux y∂∂+=∂∂。
解),ln(21ln 2222y x y x +=+ ,22y x x x u +=∂∂∴ ,22y x y y u +=∂∂ ,)()(2)(222222222222y x x y y x x x y x x u +-=+⋅-+=∂∂∴ .)()(2)(222222222222y x y x y x y y y x y u +-=+⋅-+=∂∂ 222222222222220()()u u y x x y x y x y x y ∂∂--∴+=+=∂∂++ 例10（p17例8）u =2222220u u ux y z ∂∂∂++=∂∂∂。
——拉普拉斯方程证明(略，见书本p17)例11 设ln()z x xy =，求y x z∂∂∂2、32z x y ∂∂∂、32z x y∂∂∂。
解： 1ln()ln()1z xy x y xy x xy ∂=+⋅⋅=+∂，221z y x xy x∂==∂ 211z x x y xy y ∂=⋅=∂∂，320z x y ∂=∂∂，3221z x y y∂=-∂∂。
568三、小结1、偏导数的定义（偏增量比的极限）2、偏导数的计算、偏导数的几何意义3、高阶偏导数：纯偏导、混合偏导（相等的条件）作业：p18，ex1（1）（4）（5）（7），ex4，ex6（2）（3），ex7思考题：若函数),(y x f 在点),(000y x P 连续，能否断定),(y x f 在点),(000y x P 的偏导数必定存在？ 思考题解答： 不能。
